Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
|
|
- Ἀριστόδημε Ισίδωρα Διαμαντόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1
2 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει άπειρο αριθμό τιμών. Δεν μπορούμε να απαριθμήσουμε τις πιθανές τιμές επειδή υπάρχει άπειρος αριθμός αυτών. Επειδή υπάρχουν άπειρες τιμές, η πιθανότητα κάθε μεμονωμένης τιμής είναι πρακτικά μηδενική. Copyright 2009m Cengage Learning 8.2
3 Πιθανότητες Τιμών είναι Μηδενικές Επειδή υπάρχει άπειρος αριθμός τιμών, η πιθανότητα κάθε επιμέρους τιμής είναι στην πραγματικότητα μηδενική. Επομένως, μπορούμε να καθορίσουμε μόνο την πιθανότητα ενός φάσματος τιμών. Π.χ. σε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, όπως το ρίξιμο ενός ζαριού, έχει νόημα να μιλήσουμε για P(X=5), ας πούμε. Σε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή (π.χ. με τον χρόνο να είναι η τυχαία μεταβλητή), η πιθανότητα η εν λόγω μεταβλητή, ας πούμε η διάρκεια ενός καθήκοντος, να είναι ακριβώς 5 λεπτά είναι απειροελάχιστη, επομένως P(X=5) = 0. Έχει νόημα να μιλάμε για P(X 5). Copyright 2009m Cengage Learning 8.3
4 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανοτήτων Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων (με πεδίο ορισμού a x b) εάν πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις: 1) f(x) 0 για κάθε x μεταξύ a και b, και f(x) a εμβαδόν=1 2) Το συνολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μεταξύ a και b είναι 1 b x Copyright 2009m Cengage Learning 8.4
5 Ομοιόμορφη Κατανομή Η ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων (μερικές φορές ονομάζεται ορθογώνια κατανομή πιθανοτήτων) ορίζεται από τη συνάρτηση: f(x) a b x εμβαδόν = πλάτος x ύψος= 1 Copyright 2009m Cengage Learning 8.5
6 Παράδειγμα 8.1(α) Η ποσότητα βενζίνης που πωλείται ημερησίως σε ένα βενζινάδικο κατανέμεται ομοιόμορφα με ελάχιστη τιμή τα 2,000 και μέγιστη τα 5,000 γαλόνια. f(x) 2,000 5,000 x Βρείτε την πιθανότητα οι ημερήσιες πωλήσεις να είναι μεταξύ 2,500 και 3,000 γαλονιών. Ποια είναι η P(2,500 X 3,000); Copyright 2009m Cengage Learning 8.6
7 Παράδειγμα 8.1(α) P(2,500 X 3,000) = (3,000 2,500) x = f(x) 2,000 5,000 x «υπάρχει πιθανότητα περίπου 17% να οι πωλήσεις βενζίνης σε μια δεδομένη ημέρα να είναι μεταξύ 2,500 και 3,000 γαλονιών» Copyright 2009m Cengage Learning 8.7
8 Παράδειγμα 8.1(β) Η ποσότητα βενζίνης που πωλείται ημερησίως σε ένα βενζινάδικο κατανέμεται ομοιόμορφα με ελάχιστη τιμή τα 2,000 και μέγιστη τα 5,000 γαλόνια. f(x) 2,000 5,000 x Ποια είναι η πιθανότητα να πουλήσει το βενζινάδικο τουλάχιστον 4,000 γαλόνια; Αλγεβρικά: ποια είναι η P(X 4,000); Copyright 2009m Cengage Learning 8.8
9 Παράδειγμα 8.1(β) P(X 4,000) = (5,000 4,000) x = f(x) 2,000 5,000 x «Υπάρχει μία στις τρεις πιθανότητες το βενζινάδικο να πουλήσει περισσότερα από 4,000 γαλόνια βενζίνης σε μια οποιαδήποτε δεδομένη ημέρα» Copyright 2009m Cengage Learning 8.9
10 Παράδειγμα 8.1(γ) Η ποσότητα βενζίνης που πωλείται ημερησίως σε ένα βενζινάδικο κατανέμεται ομοιόμορφα με ελάχιστη τιμή τα 2,000 και μέγιστη τα 5,000 γαλόνια. f(x) 2,000 5,000 x Ποια είναι η πιθανότητα το βενζινάδικο να πουλήσει ακριβώς 2,500 γαλόνια; Αλγεβρικά: ποια είναι η P(X = 2,500); Copyright 2009m Cengage Learning 8.10
11 Παράδειγμα 8.1(γ) P(X = 2,500) = (2,500 2,500) x = 0 f(x) 2,000 5,000 x «Η πιθανότητα να πουλήσει το βενζινάδικο ακριβώς 2,500 γαλόνια βενζίνης είναι μηδενική». Copyright 2009m Cengage Learning 8.11
12 Κανονική Κατανομή Η κανονική κατανομή είναι η σημαντικότερη όλων των κατανομών πιθανοτήτων. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής δίδεται από τη σχέση: Έχει την εξής μορφή: Σχήμα καμπάνας- Συμμετρική γύρω από τον αριθμητικό μέσο Copyright 2009m Cengage Learning 8.12
13 Κανονική Κατανομή Σημαντικές σημειώσεις: Η κανονική κατανομή ορίζεται πλήρως από δύο παραμέτρους: την τυπική απόκλιση και τον αριθμητικό μέσο Η κανονική κατανομή έχει σχήμα καμπάνας και είναι συμμετρική γύρω από τον αριθμητικό μέσο Αντίθετα με το εύρος της ομοιόμορφης κατανομής (a x b) οι κανονικές κατανομές κυμαίνονται από το μείον άπειρο έως το συν άπειρο Copyright 2009m Cengage Learning 8.13
14 Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Μια κανονική κατανομή της οποίας ο αριθμητικός μέσος είναι μηδενικός και η τυπική απόκλιση είναι ίση με μονάδα ονομάζεται τυποποιημένη κανονική κατανομή Όπως θα δούμε σύντομα, κάθε κανονική κατανομή μπορεί να μετατρέπεται σε τυποποιημένη κανονική κατανομή με απλή άλγεβρα. Αυτό κάνει τους υπολογισμούς πολύ ευκολότερους. Copyright 2009m Cengage Learning 8.14
15 Κανονική Κατανομή Η κανονική κατανομή ορίζεται από δύο παραμέτρους: Τον αριθμητικό μέσο μ και την τυπική απόκλιση σ. Η αύξηση του αριθμητικού μέσου μετατοπίζει την καμπύλη προς τα δεξιά Copyright 2009m Cengage Learning 8.15
16 Κανονική Κατανομή Η κανονική κατανομή ορίζεται από δύο παραμέτρους: Τον αριθμητικό μέσο μ και την τυπική απόκλιση σ. Η αύξηση της τυπικής απόκλισης κάνει την καμπύλη «πιο επίπεδη» Copyright 2009m Cengage Learning 8.16
17 Υπολογισμός Πιθανοτήτων σε Κανονική Κατανομή Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω συνάρτηση για να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή. 0 Copyright 2009m Cengage Learning 8.17
18 Υπολογισμός Πιθανοτήτων σε Κανονική Κατανομή Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω συνάρτηση για να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή. Αυτό μετατοπίζει τον αριθμητικό μέσο της Χ στο μηδέν. 0 Copyright 2009m Cengage Learning 8.18
19 Υπολογισμός Πιθανοτήτων σε Κανονική Κατανομή Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω συνάρτηση για να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή. 0 Αυτό μεταβάλλει τη μορφή της καμπύλης. Copyright 2009m Cengage Learning 8.19
20 Παράδειγμα 8.2 Έστω ότι σε ένα άλλο βενζινάδικο η ημερήσια ζήτηση απλής βενζίνης έχει κανονική κατανομή με αριθμητικό μέσο 1,000 γαλόνια και τυπική απόκλιση 100 γαλόνια. Ο διευθυντής του βενζινάδικου μόλις άνοιξε το κατάστημα και βλέπει ότι υπάρχουν αποθηκευμένα ακριβώς 1,100 γαλόνια απλής βενζίνης. Η επόμενη παράδοση καυσίμων είναι προγραμματισμένη περίπου στο κλείσιμο του βενζινάδικου. Ο διευθυντής θέλει να γνωρίζει εάν υπάρχει πιθανότητα να έχει αρκετή απλή βενζίνη για να ικανοποιήσει τη ζήτηση της ημέρας. Copyright 2009m Cengage Learning 8.20
21 Παράδειγμα 8.2 Η ζήτηση κατανέμεται κανονικά με αριθμητικό μέσο µ = 1,000 και τυπική απόκλιση σ = 100. Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα P(X < 1,100) Copyright 2009m Cengage Learning 8.21
22 Παράδειγμα 8.2 Το πρώτο βήμα είναι να τυποποιήσουμε το X. Ωστόσο, εάν εκτελέσουμε οποιεσδήποτε πράξεις στη Χ πρέπει να εκτελέσουμε τις ίδιες στο 1,100. Επομένως, X 1,100 1,000 P(X < 1,100) = P = P(Z < 1.00) 100 Copyright 2009m Cengage Learning 8.22
23 Παράδειγμα 8.2 Η παρακάτω απεικόνιση περιγράφει γραφικά την πιθανότητα που αναζητούμε. Copyright 2009m Cengage Learning 8.23
24 Παράδειγμα 8.2 Οι τιμές της Z καθορίζουν την αντίστοιχη τιμή της Χ. Μια τιμή της Ζ = 1 αντιστοιχεί σε μια τιμή της Χ που είναι 1 τυπική απόκλιση πάνω από τον αριθμητικό μέσο. Σημειώστε επίσης ότι ο αριθμητικός μέσος της Ζ, που είναι 0, αντιστοιχεί στον αριθμητικό μέσο της Χ. Copyright 2009m Cengage Learning 8.24
25 Παράδειγμα 8.2 Εάν γνωρίζουμε τον μέσο και την τυπική απόκλιση μιας κανονικής κατανομής τυχαίας μεταβλητής μπορούμε πάντα να μετασχηματίσουμε την διατύπωση πιθανοτήτων για τη Χ σε διατύπωση πιθανοτήτων για την Ζ. Συνεπώς, χρειαζόμαστε μόνο ένα πίνακα, τον Πίνακα 3 στο Παράρτημα B, τον πίνακα τυποποιημένων κανονικών πιθανοτήτων. Copyright 2009m Cengage Learning 8.25
26 Πίνακας 3 Ο πίνακας αυτός καταγράφει αθροιστικές πιθανότητες P(Z < z) για τιμές του z που κυμαίνονται από 3,09 έως +3,09 Copyright 2009m Cengage Learning 8.26
27 Πίνακας 3 Έστω ότι θέλουμε να ορίσουμε την παρακάτω πιθανότητα. P(Z < 1.52) Πρώτα βρίσκουμε 1.5 στο αριστερό περιθώριο. Στη συνέχεια κινούμαστε κατά μήκος αυτής της σειράς μέχρι να βρούμε την πιθανότητα στη στήλη με επικεφαλίδα Επομένως, P(Z < 1.52) = Copyright 2009m Cengage Learning 8.27
28 Πίνακας 3 P(Z < 1.52) = Copyright 2009m Cengage Learning 8.28
29 Πίνακας 3 Όπως και στους Πίνακες 1 και 2, μπορούμε επίσης να ορίσουμε την πιθανότητα η τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή να είναι μεγαλύτερη από κάποια τιμή της z. Για παράδειγμα, βρίσκουμε την πιθανότητα ότι η Ζ είναι μεγαλύτερη από 1.80 προσδιορίζοντας την πιθανότητα ότι η Ζ είναι μικρότερη από 1.80 και αφαιρώντας την τιμή αυτή από την μονάδα. Εφαρμόζοντας τον κανόνα του συμπληρώματος έχουμε P(Z > 1.80) = 1 P(Z < 1.80) = = Copyright 2009m Cengage Learning 8.29
30 Πίνακας 3 P(Z > 1.80) = 1 P(Z < 1.80) = = Copyright 2009m Cengage Learning 8.30
31 Πίνακας 3 Μπορούμε επίσης εύκολα να καθορίσουμε την πιθανότητα ότι μια τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή βρίσκεται μεταξύ 2 τιμών της z. Για παράδειγμα, βρίσκουμε την πιθανότητα P( 1.30 < Z < 2.10) Βρίσκουμε τις 2 αθροιστικές πιθανότητες και υπολογίζουμε τη διαφορά τους. Δηλαδή και Επομένως, P(Z < 1.30) = P(Z < 2.10) = P( 1.30 < Z < 2.10) = P(Z < 2.10) P(Z < 1.30) = = Copyright 2009m Cengage Learning 8.31
32 Πίνακας 3 P( 1.30 < Z < 2.10) = Copyright 2009m Cengage Learning 8.32
33 Πίνακας 3 Σημειώστε ότι η μεγαλύτερη τιμή της z στον πίνακα είναι 3.09, και ότι P( Z < 3.09) = Αυτό σημαίνει ότι P(Z > 3.09) = = Ωστόσο, επειδή ο πίνακας δεν περιέχει τιμές πέραν της 3.09, υπολογίζουμε κατά προσέγγιση κάθε περιοχή πέραν του 3.10 ως 0. Δηλαδή, P(Z > 3.10) = P(Z < 3.10) 0 Copyright 2009m Cengage Learning 8.33
34 Πίνακας 3 Θυμηθείτε ότι η κανονική τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής και ότι η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να είναι ίση με οποιαδήποτε μεμονωμένη τιμή είναι 0. Copyright 2009m Cengage Learning 8.34
35 Παράδειγμα 8.2 Τέλος, επιστρέφοντας στο Παράδειγμα 8.2, η πιθανότητα που αναζητούμε είναι P(X < 1,100) = P( Z < 1.00) = Copyright 2009m Cengage Learning 8.35
36 Παράδειγμα 8.2 P(X < 1,100) = P( Z < 1.00) = Copyright 2009m Cengage Learning 8.36
37 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ: Μέτρηση Κινδύνου Στην Ενότητα 7.4 αναπτύξαμε μια σημαντική εφαρμογή στα χρηματοοικονομικά, όπου δόθηκε έμφαση στη μείωση της διασποράς των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου. Ωστόσο, δεν δείξαμε γιατί ο κίνδυνος μετράται από τη διασπορά και την τυπική απόκλιση. Το παρακάτω παράδειγμα διορθώνει αυτή την έλλειψη. Copyright 2009m Cengage Learning 8.37
38 Παράδειγμα 8.3 Πάρτε μια επένδυση της οποίας η απόδοση κατανέμεται κανονικά με ένα αριθμητικό μέσο 10% και μια τυπική απόκλιση 5%. a. Καθορίστε την πιθανότητα απώλειας χρημάτων. b. Βρείτε την πιθανότητα απώλειας χρημάτων όταν η τυπική απόκλιση είναι ίση με 10%. Copyright 2009m Cengage Learning 8.38
39 Παράδειγμα 8.3 α Η επένδυση χάνει χρήματα όταν η απόδοση είναι αρνητική. Επομένως θέλουμε να καθορίσουμε P(X < 0) Το πρώτο βήμα είναι να τυποποιήσουμε τόσο τη Χ όσο και το 0 στη διατύπωση πιθανοτήτων. P(X < 0) = P = P(Z < 2.00) X Copyright 2009m Cengage Learning 8.39
40 Παράδειγμα 8.3 Από τον Πίνακα 3 βρίσκουμε P(Z < 2.00) = Επομένως η πιθανότητα απώλειας χρημάτων είναι Copyright 2009m Cengage Learning 8.40
41 Παράδειγμα 8.3 β. Εάν αυξήσουμε την τυπική απόκλιση στο 10%, η πιθανότητα απώλειας χρημάτων γίνεται P(X < 0) = P X = P(Z < 1.00) = Copyright 2009m Cengage Learning 8.41
42 Εύρεση τιμών της Z Συχνά μας ζητείται να βρούμε κάποια τιμή της Ζ για μια δεδομένη πιθανότητα, π.χ. με δεδομένο ένα εμβαδόν (Α) κάτω από την καμπύλη, ποια είναι η αντίστοιχη τιμή z (z A ) στον οριζόντιο άξονα που μας δίνει αυτό το εμβαδόν; Είναι P(Z > z A ) = A Copyright 2009m Cengage Learning 8.42
43 Εύρεση τιμών της Z Ποια τιμή της z αντιστοιχεί σε ένα εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της τάξης του 2.5%; Δηλαδή, ποια είναι η z ; (1 A) = (1 0,025) = 0,9750 Area =.025 Εάν κάνετε μια «αντίστροφη αναζήτηση» στον Πίνακα 3 για , θα έχετε την αντίστοιχη z A = 1.96 Αφού P(Ζ > 1.96) = 0.025, λέμε ότι: z = 1.96 Copyright 2009m Cengage Learning 8.43
44 Εκθετική Κατανομή Μια άλλη σημαντική συνεχής κατανομή είναι η εκθετική κατανομή, η οποία έχει την εξής συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων: Σημειώστε ότι x 0. Ο χρόνος (για παράδειγμα) είναι ένα μηαρνητικό μέγεθος. Η εκθετική κατανομή συχνά χρησιμοποιείται σε φαινόμενα που σχετίζονται με τον χρόνο, όπως το χρονικό διάστημα μεταξύ τηλεφωνημάτων ή μεταξύ ανταλλακτικών που φθάνουν στο χώρο συναρμολόγησης. Για την εκθετική τυχαία μεταβλητή μ=1/λ=σ Copyright 2009m Cengage Learning 8.44
45 Εκθετική Κατανομή Η εκθετική κατανομή εξαρτάται από την τιμή του λ Μικρότερες τιμές του λ κάνουν την καμπύλη «πιο επίπεδη»: (Π.χ. εκθετικές κατανομές για τιμές = 0.5, 1, 2) Copyright 2009m Cengage Learning 8.45
46 Εκθετική Κατανομή Εάν X είναι μια εκθετική τυχαία μεταβλητή, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες με τις σχέσεις: Copyright 2009m Cengage Learning 8.46
47 Παράδειγμα 8.4 Ο χρόνος ζωής μιας αλκαλικής μπαταρίας (σε ώρες) κατανέμεται εκθετικά με λ = 0.05 Βρείτε την πιθανότητα μια μπαταρία να διαρκέσει μεταξύ 10 και 15 ωρών P(10<X<15) P(10<X<15) «Υπάρχει πιθανότητα περίπου 13% μια μπαταρία να διαρκέσει μόνο 10 έως 15 ώρες» Copyright 2009m Cengage Learning 8.47
48 Άλλες Συνεχείς Κατανομές Εδώ θα γνωρίσουμε τρεις ακόμα συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων που έχουν εκτεταμένη εφαρμογή στη Στατιστική ΙΙ: Κατανομή Student t, Κατανομή «χι τετράγωνο», και Κατανομή F Copyright 2009m Cengage Learning 8.48
49 Κατανομή Student t Εδώ το γράμμα t χρησιμοποιείται για να συμβολίσει την τυχαία μεταβλητή, δηλαδή το όνομα. Η συνάρτηση πυκνότητας για την κατανομή Student t έχει ως εξής: όπου ν είναι οι βαθμοί ελευθερίας, και Γ(k)=(k-1)(k-2) (2)(1), k φυσικός αριθμός. Copyright 2009m Cengage Learning 8.49
50 Κατανομή Student t Παρόμοια με την τυποποιημένη κανονική κατανομή, η κατανομή Student t έχει μορφή «λόφου» και είναι συμμετρική γύρω από τον αριθμητικό μέσο του 0: Ο αριθμητικός μέσος και η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής Student t είναι και E(t) = 0 V(t) = για ν>2. Copyright 2009m Cengage Learning 8.50
51 Κατανομή Student t Με παρόμοιο τρόπο που ο µ και η σ ορίζουν την κανονική κατανομή, το ν, οι βαθμοί ελευθερίας, καθορίζουν την Κατανομή Student t: Όταν ο αριθμός βαθμών ελευθερίας αυξάνει, η κατανομή t προσεγγίζει την τυποποιημένη κανονική κατανομή. Copyright 2009m Cengage Learning 8.51
52 Υπολογισμός Τιμών Student t Η κατανομή student t χρησιμοποιείται εκτεταμένα στην επαγωγική στατιστική. Ο πίνακας 4 στο Παράρτημα καταγράφει τις τιμές του Δηλαδή, τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Student t με ν βαθμούς ελευθερίας έτσι ώστε: Οι τιμές του A (προκαθορισμένες «κρίσιμες» τιμές), είναι συνήθως 10%, 5%, 2.5%, 1% και 0.5%. Copyright 2009m Cengage Learning 8.52
53 Χρήση του πίνακα t (Πίνακας 4) για τιμές Για παράδειγμα, εάν θέλουμε την τιμή του t με 10 βαθμούς ελευθερίας έτσι ώστε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη Student t να είναι 0.05: Εμβαδόν κάτω από την τιμή καμπύλης (t A ) : ΣΤΗΛΗ t.05,10 T 0.05,10 =1.812 Βαθμοί Ελευθερίας : ΣΕΙΡΑ Copyright 2009m Cengage Learning 8.53
54 Κατανομή «χι τετράγωνο» Η συνάρτηση πυκνότητας της «χι τετράγωνο» είναι η: Όπως και πριν, η παράμετρος ν είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας Copyright 2009m Cengage Learning 8.54
55 Κατανομή «χι τετράγωνο» Σημειώσεις: Η κατανομή «χι τετράγωνο» δεν είναι συμμετρική Οι δυνάμεις, π.χ., έχουν μη-αρνητικές τιμές (δηλαδή, η εύρεση P( < 0) δεν είναι λογική). Ο Πίνακας 5 στο Παράρτημα B διευκολύνει την αναζήτηση πιθανοτήτων αυτού του είδους δηλαδή P( > ) = A Copyright 2009m Cengage Learning 8.55
56 Κατανομή «χι τετράγωνο» Για πιθανότητες αυτού του είδους: Χρησιμοποιούμε το 1 A, δηλαδή, καθορίζουμε την P( < ) = A Copyright 2009m Cengage Learning 8.56
57 Παράδειγμα Σε μια κατανομή «χι τετράγωνο», βρίσκουμε το σημείο με 8 βαθμούς ελευθερίας, έτσι ώστε το εμβαδόν στα δεξιά να είναι 0.05, Αναζητούμε την τομή της σειράς των 8 βαθμών ελευθερίας με τη στήλη 0.05, αποδίδοντας μια τιμή 15.5 Copyright 2009m Cengage Learning 8.57
58 Κατανομή F Η συνάρτηση πυκνότητας δίδεται από τη σχέση: Όπου F > 0. Δύο παράμετροι προσδιορίζουν αυτή την κατανομή, και όπως έχετε ήδη δει αυτές είναι και πάλι οι βαθμοί ελευθερίας: είναι οι βαθμοί ελευθερίας του «αριθμητή» και είναι οι βαθμοί ελευθερίας του «παρονομαστή». Copyright 2009m Cengage Learning 8.58
59 Κατανομή F Ο αριθμητικός μέσος και η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής F δίδονται από τις σχέσεις: και Η κατανομή F είναι παρόμοια με την κατανομή ως προς το ότι αρχίζει από το μηδέν (είναι μη-αρνητική) και μη συμμετρική. Copyright 2009m Cengage Learning 8.59
60 Υπολογισμός Τιμών της F Για παράδειγμα, ποια είναι η τιμή της F για 5% του εμβαδού κάτω από την δεξιά «ουρά» της καμπύλης, με ένα βαθμό ελευθερίας αριθμητή 3 και ένα βαθμό ελευθερίας παρονομαστή 7; Λύση: χρησιμοποιείστε τον Πίνακα 6 Υπάρχουν διαφορετικοί πίνακες για διαφορετικές τιμές του A. Βεβαιωθείτε ότι αρχίζετε με τον σωστό πίνακα!! F 0.05,3,7 =4.35 F.05,3,7 Βαθμοί Ελευθερίας Παρονομαστή : ΣΕΙΡΑ Βαθμοί Ελευθερίας Αριθμητή : ΣΤΗΛΗ Copyright 2009m Cengage Learning 8.60
61 Υπολογισμός Τιμών της F Για εμβαδά κάτω από την καμπύλη στην αριστερή πλευρά αυτής, μπορούμε να αξιοποιήσουμε την ακόλουθη σχέση: Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στη σειρά των όρων! Copyright 2009m Cengage Learning 8.61
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΗ Κανονική Κατανομή. Κανονικές Κατανομές με την ίδια διασπορά και διαφορετικές μέσες τιμές.
Η Κανονική Κατανομή 1. Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2, και συμβολίζουμε Χ ~ N (μ, σ 2 ) αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Διαβάστε περισσότερα1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =
Κανονική κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής κατανομή, σε αντίθεση με την διωνυμική που είναι διακριτή κατανομή. Τα
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 3Α: Η Κανονική Κατανομή Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας
Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΔιαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής
Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΔιαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση
Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr
Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός και Ιδιότητες
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής
Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.
ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων
Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές
Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Η σ.κ.π. F() είναι παντού συνεχής F PX t dt H σ.π.π. df d Ισχύει ότι d F Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ0 () Πιθανότητες & Στατιστική
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες
Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon
ΠΙΝΑΚΕΣ Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Πίνακας 1. Διωνυμική Κατανομή Πίνακας 2. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας 3. Oρια Εμπιστοσύνης για την Πιθανότητα p της Διωνυμικής Κατανομής Πίνακας 4. Ποσοστιαία Σημεία
Διαβάστε περισσότεραΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ
9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
Διαβάστε περισσότεραΗ Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή
Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τι κάνει η Στατιστική Στατιστική (Statistics) Μετατρέπει αριθμητικά δεδομένα σε χρήσιμη πληροφορία. Εξάγει συμπεράσματα για έναν πληθυσμό. Τις περισσότερες
Διαβάστε περισσότερα159141,9 64 x n 1 n
Πιθανότητες Στατιστική: Λύσεις θεμάτων. Φεβρουάριος 9. Σειρά Α Ζήτημα ο : Μία ομάδα φοιτητών μετρά 64 φορές μία απόσταση s που δεν γνωρίζουν. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων εμφανίζονται στον διπλανό πίνακα
Διαβάστε περισσότεραX = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 3: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (3/4) Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΚανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.
Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 3: Χρήσιμες Κατανομές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότερα04_Κανονική Τυπική κατανομή εύρεση εμβαδού. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.
Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 04_Κανονική Τυπική κατανομή εύρεση εμβαδού Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Κατανομές Κάθε κατανομή συχνότητας (λίστα από ζεύγη X i,
Διαβάστε περισσότεραP(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου
Τεχνολογία, Καινοτομία & Επιχειρηματικότητα, 9 ο εξάμηνο Σχολή Χ-Μ Ανάλυση ευαισθησίας Ανάλυση ρίσκου Γιώργος Μαυρωτάς Αν. καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Βιομηχανικής & Ενεργειακής Οικονομίας Τομέας ΙΙ, Σχολή
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότεραMέτρα (παράμετροι) θέσεως
Mέτρα (παράμετροι) θέσεως Είδη παραμέτρων Σκοπός μέτρων θέσεως Μέτρα θέσεως Αριθμητικός μέσος Επικρατούσα τιμή Διάμεσος Τεταρτημόρια Σύντομη περιγραφή Το πρώτο βήμα της ανάλυσης των δεδομένων, είναι η
Διαβάστε περισσότεραf x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Πιθανότητες. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Πιθανότητες Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Τυχαίες Μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (random variable) είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας ο οποίος αναθέτει έναν αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C
Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Στατιστική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΑ. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους
Διαβάστε περισσότεραΕίδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Διαβάστε περισσότεραΚατανομές Πιθανοτήτων. Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ.
Κατανομές Πιθανοτήτων Γεωργία Φουτσιτζή, Καθηγήτρια, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ. Έτος 2018-2019 1 Περιεχόμενα Ενότητας Βασικές έννοιες από τη θεωρία Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 6 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΓιατί μετράμε την διασπορά;
Γιατί μετράμε την διασπορά; Παράδειγμα Δίνεται το ετήσιο ποσοστό κέρδους δύο επιχειρήσεων για 6 χρόνια. Αν έπρεπε να επιλέξετε την μετοχή μιας εκ των 2 με κριτήριο το ποσοστό κέρδους αυτά τα 6 χρόνια.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΗ παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών να αντιληφθούν τη σημασία της εν λόγω κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα
Διαβάστε περισσότερα03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.
6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΓια την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0
5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ, ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 9 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ, ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ 9 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών Γιώργος Μαυρωτάς, Αν.Καθηγητής ΕΜΠ mavrotas@chemeng.ntua.gr ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΙΣΚΟΥ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική
Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.
Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο
Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )
Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Εκτιμητική
Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότερα4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου
4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΧημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα