Συντελεστές ασφαλείας για την εφαρµογή της στατικής ανελαστικής ανάλυσης

Συντελεστές ασφαλείας για την εφαρµογή της στατικής ανελαστικής ανάλυσης Κ.Γ. Τρέζος, Γ.Κ. Θώµος Εργαστήριο Ωπλισµένου Σκυροδέµατος Ε.Μ.Π. Λέξεις κλειδιά: στατική ανελαστική ανάλυση, προσοµοίωση Monte Carlo, αξιοπιστία κατασκευών, ωπλισµένο σκυρόδεµα ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Κατά την εφαρµογή της στατικής ανελαστικής ανάλυσης η αντοχή της κατασκευής αναπαριστάνεται από την καµπύλη αντίστασης. Για τον υπολογισµό της καµπύλης αντίστασης συνηθίζεται να χρησιµοποιούνται µέσες τιµές για τις τυχαίες µεταβλητές που υπεισέρχονται στον υπολογισµό της (γεωµετρία, φορτία, ιδιότητες υλικών κλπ). Η προσδοκία αυτής της θεώρησης είναι η υπολογιζόµενη καµπύλη αντίστασης να αντιστοιχεί στην «µέση» καµπύλη αντίστασης. Λόγω όµως της έντονης µη γραµµικότητας, η µέση καµπύλη δεν αντιστοιχεί στην καµπύλη που υπολογίζεται από τις µέσες τιµές των µεταβλητών. Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η διασπορά που παρουσιάζει η καµπύλη αντίστασης. Η τυχαία φύση της καµπύλης λαµβάνεται υπόψη εφαρµόζοντας µεθόδους προσοµοίωσης. Η προκύπτουσα «µέση» καµπύλη αντίστασης συγκρίνεται, για διάφορα κτίρια, µε την καµπύλη αντίστασης που προκύπτει από προσδιορισµική ανάλυση µε τις µέσες τιµές και προτείνονται οι κατάλληλοι συντελεστές ασφαλείας ώστε οι δυο αυτές καµπύλες να συµπίπτουν. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η στατική ανελαστική ανάλυση εφαρµόζεται εναλλακτικώς προς την δυναµική ανελαστική ανάλυση για την εκτίµηση της σεισµικής απόκρισης των κατασκευών. Προκειµένου να εκτιµηθεί η σεισµική απόκριση µιας κατασκευής, χρησιµοποιώντας την στατική ανελαστική ανάλυση, η σεισµική διέγερση προσοµοιώνεται µε ένα ισοδύναµο, στατικώς επιβαλλόµενο, φορτίο. Η απόκριση της κατασκευής αναπαρίσταται συνοπτικά από µια καµπύλη, την καµπύλη αντίστασης του κτιρίου, η οποία εν γένει χαράσσεται σε όρους τέµνουσας βάσης συναρτήσει της µετακίνησης ενός χαρακτηριστικού σηµείου (που συνήθως λαµβάνεται στην κορυφή του). Η απόκριση της κατασκευής υπό την επιβολή ενός επιταχυνσιογραφήµατος προκύπτει εφαρµόζοντας µια από τις µεθόδους εκτίµησης της σεισµικής απόκρισης των κατασκευών βάσει της στατικής ανελαστικής ανάλυσης [π.χ. Μέθοδος Ικανοτικού Φάσµατος (Capacity Spectrum Method, ΑTC4(1996)), Μέθοδος Ελέγχου των Μετακινήσεων (Displacement Coefficient Method, FEMA 273 (1997)), Μέθοδος ιαγράµµατος Απαιτούµενης Ικανότητας (Capacity- Demand- Diagram Method, Chopra & Goel (1999)), Μέθοδος «Ν2» (Fajfar (1999))]. Οι µέθοδοι αυτές χρησιµοποιούν ως βασική πληροφορία την καµπύλη αντίστασης και αναφέρονται κυρίως στην αναζήτηση της µετακίνησης κορυφής της κατασκευής η οποία θα αναπτυχθεί εάν ο φορέας διεγερθεί µε έναν συγκεκριµένο σεισµό. Για την προσεγγιστική επιβολή της σεισµικής διέγερσης χρησιµοποιείται το ελαστικό φάσµα επιταχύνσεων του εξεταζόµενου επιταχυνσιογραφήµατος το οποίο αποµειώνεται λόγω της αναµενόµενης ανελαστικής συµπεριφοράς της κατασκευής. Η µετακίνηση κορυφής της κατασκευής υπό την επιβολή του δεδοµένου επιταχυνσιογραφήµατος προκύπτει από την τοµή του ανελαστικού φάσµατος επιταχύνσεων και της καµπύλης αντίστασης (αµφότερα εκπεφρασµένα σε όρους µετακινήσεων- επιταχύνσεων). Στον υπολογισµό της σεισµικής απόκρισης µιας κατασκευής, χρησιµοποιώντας την στατική ανελαστική ανάλυση, υπεισέρχονται αβεβαιότητες οι οποίες µπορούν να οµαδοποιηθούν σε τρεις 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 1

κατηγορίες: α) Αβεβαιότητες που σχετίζονται µε την «αντίσταση» της κατασκευής. Οι αβεβαιότητες αυτές αναφέρονται στις τυχαίες µεταβλητές των ιδίων των κατασκευών (διαστάσεις, ιδιότητες υλικών, αβεβαιότητες µηχανικών προσοµοιωµάτων κ.λ.π.) οι οποίες και επηρεάζουν την καµπύλη αντίστασης. β) Αβεβαιότητες που αφορούν στη «δράση» επί της κατασκευής. Οι αβεβαιότητες της «δράσης» αναφέρονται στην τυχαία φύση της σεισµικής δράσης και των χαρακτηριστικών του εδάφους έδρασης. Αφορούν δηλαδή τις αβεβαιότητες του φάσµατος επιταχύνσεων το οποίο χρησιµοποιείται ως «δράση», κατά την εφαρµογή της στατικής ανελαστικής ανάλυσης και γ) Αβεβαιότητες που σχετίζονται µε το προσοµοίωµα της στατικής ανελαστικής ανάλυσης ως µεθόδου υπολογισµού της σεισµικής απόκρισης των κατασκευών. Στην εργασία αυτή εξετάζονται οι αβεβαιότητες που σχετίζονται µε την «αντίσταση» των κατασκευών. Οι αβεβαιότητες που σχετίζονται µε την σεισµική δράση και την µεθοδολογία της στατικής ανελαστικής ανάλυσης δεν λαµβάνονται υπόψη. Προκειµένου να υπολογιστεί η σεισµική απόκριση των κατασκευών λαµβάνοντας υπόψη τις τυχαίες µεταβλητές, αναπτύχθηκε µια µεθοδολογία πιθανοτικής εκτίµησης της καµπύλης αντίστασης. Η µεθοδολογία αυτή βασίζεται σε τεχνικές προσοµοίωσης. Οι τυχαίες µεταβλητές των κατασκευών προσοµοιώνονται χρησιµοποιώντας την µέθοδο Monte Carlo σε συνδυασµό µε την τεχνική δειγµατοληψίας Latin Hypercube Sampling (LHS) [McKay et al. (1979)]. Η στατική ανελαστική ανάλυση εφαρµόζεται στα δηµιουργούµενα δείγµατα των τυχαίων µεταβλητών και παράγεται ένα δείγµα από καµπύλες αντίστασης. Από το δείγµα αυτό υπολογίζονται τα διάφορα πιθανοτικά µεγέθη (διασπορά, µέση τιµή κλπ) της καµπύλης αντίστασης, της µέγιστης τέµνουσας βάσης, της µέγιστης µετακίνησης οροφής κ.λ.π.. Έµφαση δίνεται στην σύγκριση των καµπυλών αντίστασης που προκύπτουν από προσδιοριστικές αναλύσεις µε τις καµπύλες αντίστασης που υπολογίζονται µε τον πιθανοτικό αυτό τρόπο. Η εφαρµογή της στατικής ανελαστικής ανάλυσης ως µεθόδου αποτίµησης της σεισµικής ικανότητας υφισταµένων κατασκευών γίνεται χρησιµοποιώντας για τις τυχαίες µεταβλητές µέσες τιµές. Η χρησιµοποίηση των µέσων τιµών αποβλέπει στον υπολογισµό της µέσης φέρουσας ικανότητας για την κατασκευή. Εξετάζεται αν η πρακτική αυτή οδηγεί πράγµατι στο επιθυµητό αποτέλεσµα. ηλαδή, εξετάζεται αν η καµπύλη αντίστασης που υπολογίζεται εφαρµόζοντας µία προσδιοριστική ανάλυση χρησιµοποιώντας µέσες τιµές για τις τυχαίες µεταβλητές είναι ίδια µε την «µέση» καµπύλη αντίσταση υπολογισµένη µε πιθανοτικό τρόπο. 2 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ 2.1 Τυχαίες µεταβλητές Για την επίλυση προβληµάτων αξιοπιστίας των κατασκευών απαιτείται η γνώση των παραµέτρων των τυχαίων µεταβλητών που υπεισέρχονται στην διαµόρφωση του προβλήµατος. Στην περίπτωση της καµπύλης αντίστασης κατασκευών από ωπλισµένο σκυρόδεµα, οι τυχαίες µεταβλητές του προβλήµατος είναι οι µηχανικές ιδιότητες του σκυροδέµατος και του χάλυβα, οι διαστάσεις των στοιχείων της κατασκευής, τα ωφέλιµα φορτία και τα ίδια βάρη της κατασκευής καθώς και οι µεταβλητές που περιγράφουν τις αβεβαιότητες των προσοµοιωµάτων υπολογισµού της αντοχής. Συνοπτικά οι παραδοχές που έχουν γίνει για τις παραµέτρους αυτών των τυχαίων µεταβλητών παρουσιάζονται στην συνέχεια. Αναλυτικότερα οι παράµετροι των τυχαίων µεταβλητών παρουσιάζονται αλλού [Θώµος (26), Thomos & Trezos (26)]. Ωφέλιµα φορτία Τα ωφέλιµα φορτία διαχωρίζονται µε βάση τη διάρκεια επιβολής τους σε µόνιµα ωφέλιµα φορτία και σε παροδικά ωφέλιµα φορτία. Τα µόνιµα ωφέλιµα φορτία είναι τα φορτία που αναφέρονται σε µεγάλες χρονικές περιόδους παραµονής (π.χ. τα έπιπλα, οι οικιακές συσκευές, εξοπλισµοί κ.λ.π.). 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 2

Τα παροδικά ωφέλιµα φορτία είναι τα φορτία που προκαλούνται από ένα ασυνήθιστο γεγονός (π.χ. η συγκέντρωση πολλών ανθρώπων σε ένα δωµάτιο λόγω κάποιας έκτακτης κατάστασης, η συγκέντρωση πολλών αντικειµένων σε έναν όροφο κατά τη διάρκεια µιας µετακόµισης κ.λ.π.). Τα µόνιµα ωφέλιµα φορτία κατοικιών προσοµοιώνονται χρησιµοποιώντας την κατανοµή Γαµµα µε παραµέτρους: E[q sust ]=.3 kn/m 2, σ qsust =.34 kn/m 2. Τα παροδικά ωφέλιµα φορτία θεωρείται ότι ακολουθούν την εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή E[q int ]=.3 kn/m 2. Ίδια βάρη Η προσοµοίωση του ιδίου βάρους ενός µέλους προσοµοιώνεται ως το γινόµενο δύο τυχαίων µεταβλητών: G i =V i ρ (1) Όπου, ρ, τυχαία µεταβλητή που αντιπροσωπεύει για το σύνολο της κατασκευής την πυκνότητα των υλικών και ακολουθεί λογαριθµοκανονική κατανοµή µε µέση τιµή 24 kn/m 3 και συντελεστή διασποράς.28. V i, τυχαία µεταβλητή που αντιπροσωπεύει τον όγκο του µέλους και ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή ίση µε την ονοµαστική τιµή του όγκου του και συντελεστή διασποράς Cov[V i ]=.4. Απερίσφιγκτο σκυρόδεµα Οι µηχανικές ιδιότητες του απερίσφιγκτου σκυροδέµατος προσοµοιώνονται λαµβάνοντας υπόψη τις αβεβαιότητες που οφείλονται στην διαδικασία παραγωγής του σκυροδέµατος και τις αβεβαιότητες που εισάγονται λόγω των συνθηκών µεταφοράς, σκυροδέτησης και συντήρησης. Οι τυχαίες µεταβλητές που σχετίζονται µε τις ιδιότητες του σκυροδέµατος σε ένα σηµείο i της κατασκευής σε ένα όροφο j έχουν ως εξής: Θλιπτική αντοχή: f c,ij = f co,ij Y 1,j (2) Μέτρο ελαστικότητας: E c,ij =1.5 f c,ij 1/3 Y 2,j (3) Παραµόρφωση αστοχίας: ε cu,ij =6 1-3 f c,ij -1/6 Y 3,j (4) Όπου, f co,ij τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή που προκύπτει από την χαρακτηριστική τιµή [P(f co,ij <f co,k ) =5%] της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος και τυπική απόκλιση που αντιστοιχεί σε συντελεστή διασποράς Cov[f co,ij ]=.15: f co,ij,m = f co,ij,k /(1-1.64 Cov[f co,ij ]), σ fco,ij = f co,ij,m Cov[f co,ij ]. Y 1,j, Y 2,j, Y 3,j τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν λογαριθµοκανονική κατανοµή µε µοναδιαίες µέσες τιµές και συντελεστές διασποράς.6,.15 και.15 αντίστοιχα. Εκφράζουν τις αβεβαιότητες των αντίστοιχων προσοµοιωµάτων. Περισφιγµένο σκυρόδεµα. Για το περισφιγµένο σκυρόδεµα χρησιµοποιείται το προσοµοίωµα των Tassios & Lefas (1984). Για να ληφθούν υπόψη οι αβεβαιότητες του προσοµοιώµατος εισάγονται οι µεταβλητές Y conf,1,y conf,2 και Y conf,3. * 1 + 2.5 α ωw, forkωw.1/ α fc,ij = Υconf,1,i fc,ij 1.125 + 1.25 α ωw, forkωw >.1/ α (5) * co,ij conf,2,i co,ij * ( f / f ) 2 ε = Υ ε (6) c,ij c,ij ( ε +. α ω ) * cu,ij = Υconf,3,i cu,ij 1 ε (7) Όπου, w 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 3

Y conf,1,y conf,2,y conf,3 : Τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν λογαριθµοκανονική κατανοµή µε µέση τιµή 1 και συντελεστές διασποράς.15,.1 και.5 αντίστοιχα. α : Συντελεστής αποδοτικότητας περισφίγξεως. ω w : Ογκοµετρικό µηχανικό ποσοστό του εγκάρσιου οπλισµού. Χάλυβας Η τάση διαρροής f sy,i των ράβδων οπλισµού έχει θεωρηθεί πως ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή που προκύπτει από την χαρακτηριστική τιµή της τάσης διαρροής του χάλυβα [P(f sy,i <f sy,k ) =5%] και τυπική απόκλιση που αντιστοιχεί σε συντελεστή διασποράς Cov[f sy,i ]=.5: f sy,i,m = f sy,k /(1-1.64 Cov[f sy,i ]), σ fsy,i = f sy,m Cov[f sy,i ] Η τάση θραύσεως του χάλυβα f su,i και η παραµόρφωση διαρροής ε sy,i έχουν θεωρηθεί πλήρως συσχετισµένες µε την τάση διαρροή: f su,i = 1.15 f sy,i (8) ε sy,i =f sy,i /E sy (9) Η παραµόρφωση αστοχίας του χάλυβα ε su,i έχει θεωρηθεί πως ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή.5 και συντελεστή διασποράς.1. ιαστάσεις Οι διαστάσεις των διατοµών κάθε µέλους (υποστυλώµατα, δοκοί) έχουν θεωρηθεί ως τυχαίες µεταβλητές. Η διάσταση Χ i της διατοµής του µέλους i έχει θεωρηθεί πως ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή την ονοµαστική τιµή, X i,nom, και τυπική απόκλιση σ Xi =4mm+.6 X i,nom. Η επιφάνεια Α s,i κάθε µιας ράβδου οπλισµού έχει θεωρηθεί ως µια ανεξάρτητη τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή την ονοµαστική τιµή, Α s,i,nom, και συντελεστή µεταβλητότητας.2. ιατµητική αντοχή Για τον υπολογισµό της διατµητικής αντοχής του κάθε µέλους χρησιµοποιούνται οι σχέσεις υπολογισµού της αντοχής σε τέµνουσα του ΕΚΩΣ(2). Οι αβεβαιότητες του υπολογιστικού προσοµοιώµατος της διατµητικής αντοχής λαµβάνονται υπόψη εισάγοντας τρεις τυχαίες µεταβλητές Y VR2,i, Y VRw,i, Y VRc,i στις αντίστοιχες σχέσεις: V R2,ij =.5 ν f c,ij b w,i z i 1.67(1-σ cp,eff,i / f c,ij ) Y VR2,i (1) V Rw,ij = A sw,i /s i.9 d i f yw,i Y VRw,i (11) V Rc,ij = [τ R,i k i (1.2+4ρ l,i )+.15 σ cp,i ] Y VRc,i (12) Oι τυχαίες µεταβλητές Y VR2,i, Y VRw,i και Y VRc,i θεωρείται πως ακολουθούν την λογαριθµοκανονική κατανοµή µε µέση τιµή 1 και συντελεστή διασποράς.1. Καµπτική αντοχή Η ανάλυση των φορέων έχει γίνει προσοµοιώνοντας τα υποστυλώµατα µε στοιχεία ινών και τις δοκούς µε στοιχεία συγκεντρωµένης πλαστιµότητας. Η στροφική ικανότητα των υποστυλωµάτων εξαρτάται από την παραµόρφωση αστοχίας του περισφιγµένου σκυροδέµατος, ε cu,ij *, και την παραµόρφωση αστοχίας του χάλυβα, ε su,i. Υπέρβαση µιας εκ των δύο παραµορφώσεων, ε cu,ij * ή ε su,i, σε οποιαδήποτε ίνα θεωρείται πως ισοδυναµεί µε αστοχία του αντίστοιχου υποστυλώµατος. Συνεπώς η διαθέσιµη καµπτική στροφή των υποστυλωµάτων είναι µια τυχαία µεταβλητή της οποίας η διασπορά διαµορφώνεται από την διασπορά των ε cu,ij * και ε su,i. Η στροφική ικανότητα των δοκών υπολογίζεται χρησιµοποιώντας το µηχανικό προσοµοίωµα του ισοδύναµου µήκους πλαστικής άρθρωσης. Για τον υπολογισµό του ισοδύναµου µήκους πλαστικής άρθρωσης, l pl,i, χρησιµοποιείται το προσοµοίωµα των Paulay & Priestley (1992). Προκειµένου να ληφθούν υπόψη οι αβεβαιότητες του προσοµοιώµατος εισήχθη µια επιπλέον τυχαία µεταβλητή, 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 4

Y θ,i, στην σχέση υπολογισµού της στροφικής ικανότητας των δοκών, για την οποία θεωρήθηκε ότι ακολουθεί λογαριθµοκανονική κατανοµή µε µέση τιµή 1 και συντελεστή διασποράς.5: θ u,i =θ e,i +θ p,i = θ e,i + (φ u,i φ y,i ) l pl,i Y θ,i (13) 2.2 Παραδοχές για την εφαρµογή της στατικής ανελαστικής ανάλυσης Η στατική ανελαστική ανάλυση εφαρµόζεται χρησιµοποιώντας το πρόγραµµα drain2dx [Allahabadi & Powell (1988)] το οποίο έχει δυνατότητα ανάλυσης δισδιάστατων φορέων. Εξ αιτίας του περιορισµού του προγράµµατος, τα εξεταζόµενα κτίρια αναλύονται ως επίπεδοι φορείς εν σειρά. Οι οριζόντιες µετακινήσεις των κόµβων κάθε ορόφου δεσµεύονται µε βάση τις µετακινήσεις ενός εκ των κόµβων του ορόφου έτσι ώστε να ληφθεί υπόψη η διαφραγµατική λειτουργία των πλακών. Τα υποστυλώµατα προσοµοιώνονται µε πεπερασµένα στοιχεία µορφής ινών. Χρησιµοποιείται το στοιχείο «fiber beam- column element (type 15)» του προγράµµατος drain2dx. Η προσοµοίωση των υποστυλωµάτων µε τα εν λόγω στοιχεία γίνεται διαχωρίζοντας τα υποστυλώµατα εγκαρσίως σε 25 έως 35 ίνες (οι οποίες έχουν την µορφή λωρίδων καθώς αφορά επίπεδη ανάλυση) ανάλογα µε τον αριθµό των διαµήκων ράβδων οπλισµού (σχήµα 1). Καθ ύψος, τα υποστυλώµατα διαχωρίζονται σε 6 τµήµατα. Το µήκος των ακραίων τµηµάτων είναι µικρότερο από τα µεσαία τµήµατα έτσι ώστε οι ενδεχόµενες θέσεις εµφάνισης της µετελαστικής συµπεριφοράς να προσοµοιώνονται όσο το δυνατόν καλύτερα. Οι δοκοί προσοµοιώνονται µε ραβδόµορφα ελαστικά πεπερασµένα στοιχεία, στα άκρα των οποίων τοποθετούνται στοιχεία συγκεντρωµένης πλαστιµότητας. Χρησιµοποιείται το στοιχείο «plastic hinge beam- column element (type 2)» του προγράµµατος drain2dx. Για την προσοµοίωση µίας δοκού χρησιµοποιούνται τρία τέτοια στοιχεία προκειµένου να προσοµοιωθεί η ενδεχόµενη εµφάνιση µετελαστικής συµπεριφοράς στα άκρα της δοκού καθώς και στα τρίτα του µήκους της. 6 τµήµατα 25 έως 35 ίνες (fibers), ανάλογα µε τον αριθµό των διαµήκων ράβδων οπλισµού Σχήµα 1. Προσοµοίωση υποστυλώµατος µε στοιχεία ινών επίπεδης έντασης. Η ακαµψία των δοκών θεωρείται σταθερή µέχρι τη διαρροή τους. Προκειµένου, να ληφθεί υπόψη το φαινόµενο της µείωσης της δυσκαµψίας λόγω της καµπτικής ρηγµάτωσης, εφαρµόζεται η σύσταση του ΕΚΩΣ (2) για την τέµνουσα δυσκαµψία : EI ef =.5 EI g (14) Όπου EI g, η αρχική δυσκαµψία της αρηγµάτωτης δοκού. Η δυσκαµψία των δοκών, µετά τη διαρροή τους, καθορίζεται από τον λόγο (M u -M y )/(φ u -φ y ). Όπου M u, M y και φ u, φ y οι ροπές και οι καµπυλότητες αστοχίας και διαρροής αντιστοίχως. Η καθ ύψος κατανοµή της οριζόντιας φόρτισης, κατά τη στατική ανελαστική ανάλυση, είναι σε κάθε στάθµη του φορέα ανάλογη µε τη µάζα της στάθµης και την 1η ιδιοµορφή 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 5

n (1) j φ, j j= 1 (1) ( Fx = V mi φ i i m ). Τα φαινόµενα 2 ας τάξεως λαµβάνονται υπόψη καθώς τα κατακόρυφα φορτία επιβάλλονται ταυτόχρονα µε τη σταδιακώς αυξανόµενη οριζόντια φόρτιση. Η αστοχία µιας δοκού θεωρείται ότι συµβαίνει είτε όταν ξεπερνιέται η διατµητική της αντοχή είτε όταν παραµορφώνεται µε στροφή µεγαλύτερη της στροφικής της ικανότητας. Για τον υπολογισµό της διατµητικής αντοχής των δοκών χρησιµοποιούνται οι σχέσεις (1), (11) και (12). Η στροφική ικανότητα των δοκών υπολογίζεται χρησιµοποιώντας την σχέση (13). Η αστοχία ενός υποστυλώµατος θεωρείται ότι συµβαίνει όταν ξεπερνιέται είτε η διατµητική του αντοχή είτε η στροφική του ικανότητα. Για τον υπολογισµό της διατµητικής αντοχής των υποστυλωµάτων χρησιµοποιούνται οι σχέσεις (1), (11) και (12). Η στροφική ικανότητα ενός υποστυλώµατος θεωρείται ότι ξεπερνιέται όταν σε µία εκ των ινών του υποστυλώµατος που αντιστοιχεί σε περισφιγµένο σκυρόδεµα ξεπεραστεί η παραµόρφωση αστοχίας (ε cu * ) ή όταν σε µία εκ των λωρίδων του µέλους που αντιστοιχεί σε ράβδο οπλισµού ξεπεραστεί η παραµόρφωση αστοχίας του χάλυβα (ε su ). Η αστοχία του κτιρίου θεωρείται ότι συµβαίνει όταν αστοχήσει ένα από τα µέλη του κτιρίου, υποστύλωµα ή δοκός. 2.3 Εφαρµογή προσοµοιώσεων για τον πιθανοτικό υπολογισµό της καµπύλη αντίστασης Για την εισαγωγή του πιθανοτικού χαρακτήρα στην στατική ανελαστική ανάλυση χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος Monte Carlo σε συνδυασµό µε την τεχνική Latin Hypercube Sampling (LHS). H LHS είναι µια τεχνική δειγµατοληψίας µε την εφαρµογή της οποίας η Monte Carlo γίνεται αποδοτικότερη. Αναλυτικότερα στη συνέχεια παρουσιάζεται µέσω πέντε βηµάτων η διαδικασία που ακολουθείται προκειµένου να υπολογιστεί µε πιθανοτικό τρόπο η καµπύλη αντίστασης για ένα κτίριο. i. Αρχικά, προσοµοιώνονται οι τυχαίες µεταβλητές του κτιρίου, δηµιουργώντας δείγµατα µεγέθους 1 τιµών για κάθε µεταβλητή εφαρµόζοντας την τεχνική LHS. ii. Εφαρµόζεται η στατική ανελαστική ανάλυση 1 φορές, χρησιµοποιώντας το πρόγραµµα drain2dx (καθώς µεγέθους 1 τιµών είναι τα δείγµατα των τυχαίων µεταβλητών τα οποία έχουν παραχθεί). iii. Σχεδιάζονται οι 1 καµπύλες αντίστασης του κτιρίου όπως αυτές προκύπτουν από τις στατικές ανελαστικές αναλύσεις και προσδιορίζεται το πέρας της κάθε καµπύλης εφαρµόζοντας το κριτήριο αστοχίας. iv. Από το δείγµα των 1 καµπυλών αντίστασης υπολογίζεται η διασπορά που παρουσιάζει η καµπύλη αντίστασης. ηλαδή η διασπορά της τέµνουσας βάσης, της µετακίνησης οροφής κ.λ.π.. Επίσης οποιοδήποτε άλλο µέγεθος της απόκρισης του κτιρίου (π.χ. ένταση, παραµορφώσεις των µελών, η αποτίµηση της σεισµικής ικανότητας του κτιρίου εφαρµόζοντας την µέθοδο του Ικανοτικού Φάσµτας κ.λ.π.) είναι εφικτό να υπολογιστεί µε πιθανοτικό τρόπο. 3 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Τα κτίρια του σχήµατος 2 αναλύθηκαν εφαρµόζοντας την µέθοδο της παραγράφου 2.3. Τα κτίρια σχεδιάστηκαν σύµφωνα µε τους Ελληνικούς Κανονισµούς [ΕΑΚ(2), ΕΚΩΣ(2)]. Έγιναν οι εξής παραδοχές: µέγιστη οριζόντια σεισµική επιτάχυνσης του εδάφους a=.16g, συντελεστής φασµατικής ενίσχυσης β ο =2.5, συντελεστής συµπεριφοράς q=3.5, χαρακτηριστικές περίοδοι του φάσµατος T 1 =.16s T 2 =.6s, συντελεστής σπουδαιότητας γ Ι =1, συντελεστής επιρροής της θεµελίωσης θ=1. Τα υλικά που χρησιµοποιήθηκαν είναι σκυρόδεµα C2/25 και χάλυβας S5. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 6

Κτίριο 1 Κτίριο 2 Κτίριο 3 Κτίριο 4 Κτίριο 5 Σχήµα 2. Εξεταζόµενα κτίρια 4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στο σχήµα 3 παρουσιάζονται για τα εξεταζόµενα κτίρια οι καµπύλες αντίστασης, έτσι όπως προκύπτουν µετά την εφαρµογή των προσοµοιώσεων. Στα σχήµατα της πρώτης στήλης οι καµπύλες αντίστασης έχουν σχεδιαστεί δίχως την εφαρµογή κάποιου κριτηρίου αστοχίας, ενώ στα σχήµατα της δεύτερης στήλης κάθε καµπύλη σταµατά όταν ένα από τα µέλη του κτιρίου, δοκός ή υποστύλωµα, αστοχήσει. Η τυχαία φύση της καµπύλης αντίστασης, όπως προκύπτει από το νέφος των καµπυλών της δεύτερης στήλης, παρουσιάζεται τόσο σε σχέση µε την τέµνουσα βάσης για µια δεδοµένη µετακίνηση οροφής, όσο και σε σχέση µε το πέρας της καµπύλης αντίστασης, δηλαδή σε σχέση µε την µετακίνηση οροφής κατά την αστοχία του κτιρίου. 35 3 35 3 25 Τοµή Κάτοψη Κτίριο 1 25 2 2 15 1 15 1 5 5.5.1.15.2.5.1.15.2 Κτίριο 2 12 12 1 1 8 8 6 4 6 4 2 2.5.1.15.2.5.1.15.2 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 7

Κτίριο 3 4 35 3 25 4 35 3 25 2 15 1 2 15 1 5 5.5.1.15.2.25.5.1.15.2.25 Κτίριο 4 1 9 8 7 6 1 9 8 7 6 5 4 3 5 4 3 2 2 1 1.5.1.15.2.25.3.35.4.5.1.15.2.25.3.35.4 Κτίριο 5 6 6 5 5 4 4 3 2 3 2 1 1.2.4.6.8.1.2.4.6.8.1 Σχήµα 3. Καµπύλες αντίστασης για τα εξεταζόµενα κτίρια. Καµπύλες της 1 ης στήλης: χωρίς την εφαρµογή κάποιου κριτηρίου αστοχίας, Καµπύλες της 2 η στήλης: κάθε καµπύλη σταµατά όταν ένα από τα µέλη του κτιρίου, δοκός ή υποστύλωµα, αστοχήσει Στον πίνακα 1 φαίνονται οι µέσες τιµές και οι συντελεστές µεταβλητότητας της µετακίνησης οροφής και τέµνουσας βάσης του πέρατος των καµπυλών αντίστασης. Ο συντελεστής µεταβλητότητας της µετακίνησης οροφής Cov[d roof,u ] είναι για όλα τα κτίρια σηµαντικά µεγαλύτερος από τον συντελεστή µεταβλητότητας της τέµνουσας βάσης Cov[V base,u ]. Πίνακας 1. Μέσες τιµές και συντελεστές µεταβλητότητας της µετακίνησης οροφής και τέµνουσας βάσης κατά την αστοχία. Μέσες τιµές Συντελεστής µεταβλητότητας Κτίρια d roof,u (m) V base,u (kn) d roof,u V base,u 1.1 2238.22.8 2.6 723.27.11 3.12 2869.19.6 4.14 543.31.9 5.5 359.26.13 Στο σχήµα 4 παρουσιάζεται για κάθε κτίριο η «µέση» καµπύλη αντίστασης. Η καµπύλη αυτή προκύπτει από το νέφος των 1 καµπυλών ως η καµπύλη της οποίας η τέµνουσας βάσης είναι, για κάθε τιµή της µετακίνησης οροφής, ίση µε την µέση τιµή της τέµνουσας βάσης. Στα ίδια 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 8

διαγράµµατα έχουν σχεδιαστεί δυο καµπύλες αντίστασης οι οποίες έχουν προκύψει µε την εφαρµογή προσδιοριστικών αναλύσεων, η καµπύλη των µέσων τιµών και η καµπύλη των χαρακτηριστικών τιµών. Η καµπύλη των µέσων τιµών έχει προκύψει από µία προσδιοριστική ανάλυση χρησιµοποιώντας µέσες τιµές για όλες τις τυχαίες µεταβλητές. Η καµπύλη των χαρακτηριστικών τιµών έχει προκύψει από µία προσδιοριστική ανάλυση χρησιµοποιώντας τις χαρακτηριστικές τιµές (µε πιθανότητα υπέρβασης 95%) για τις µηχανικές ιδιότητες του σκυροδέµατος και του χάλυβα καθώς και για τις µεταβλητές µε τις οποίες προσοµοιώνονται τα κριτήρια αστοχίας των µελών (διαθέσιµη καµπτική στροφή, διατµητική αντοχή). Για τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά, επειδή η επίδραση της αβεβαιότητάς τους είναι µικρή, χρησιµοποιήθηκαν οι µέσες-ονοµαστικές τιµές. Στις δυο προσδιοριστικές καµπύλες έχουν σχεδιαστεί και τα αντίστοιχα σηµεία αστοχίας έτσι όπως προκύπτουν µε την εφαρµογή των κριτηρίων αστοχίας. Για την «µέση» καµπύλη έχει χρησιµοποιηθεί ως σηµείο αστοχίας το σηµείο µε συντεταγµένες (Ε[d roof,u ], Ε[V base,u ]). Όπως φαίνεται στο σχήµα 4 η «µέση» καµπύλη συµπίπτει περίπου µε την καµπύλη των µέσων τιµών, όσον αφορά την µορφή της. Η κύρια όµως διαφορά που έχουν οι δύο αυτές καµπύλες είναι στα σηµεία αστοχίας. Στην «µέση» καµπύλη η αστοχία επέρχεται νωρίτερα από ότι στην καµπύλη των µέσων τιµών. Η τιµή της µετακίνησης οροφής κατά την αστοχία d roof,u που υπολογίζεται χρησιµοποιώντας µέσες τιµές για τις τυχαίες µεταβλητές είναι µεγαλύτερη από την µέση τιµή της µετακίνησης οροφής κατά την αστοχία Ε[d roof,u ]. Αν σκοπός µίας προσδιοριστικής ανάλυσης ενός κτιρίου είναι η εκτίµηση της µέσης τιµής της φέρουσας ικανότητας τότε η χρησιµοποίηση µέσω τιµών για όλες τις τυχαίες µεταβλητές και ιδίως για τις µεταβλητές µε τις οποίες προσοµοιώνονται τα κριτήρια αστοχίας των µελών (διαθέσιµη καµπτική στροφή, διατµητική αντοχή) [τρέχουσα πρακτική των ATC4 (1996) και FEMA273 (1997)], δεν οδηγεί σε ασφαλή αποτελέσµατα. Αν χρησιµοποιηθεί για παράδειγµα η καµπύλη των µέσων τιµών για τον υπολογισµό της απόκρισης ενός κτιρίου υπό την επιβολή ενός επιταχυνσιογραφήµατος (εφαρµόζοντας π.χ. την Μέθοδο του Ικανοτικού Φάσµατος), ενδέχεται να προκύπτει ότι το κτίριο δεν αστοχεί ενώ αν χρησιµοποιηθεί η «µέση» καµπύλη τότε το κτίριο να αστοχεί. ηλαδή η φέρουσα ικανότητα που προκύπτει όταν χρησιµοποιούνται µέσες τιµές για τις τυχαίες µεταβλητές είναι µεγαλύτερη από την µέση τιµή της φέρουσας ικανότητας. Τα σηµεία αστοχίας προσδιορίζονται από την εφαρµογή των κριτηρίων αστοχίας. Προκειµένου λοιπόν το σηµείο αστοχίας της καµπύλης των µέσων τιµών να βρίσκεται πιο κοντά στο σηµείο αστοχίας της «µέσης» καµπύλης αντίστασης θα πρέπει να χρησιµοποιούνται µικρότερες τιµές από τις µέσες για τον υπολογισµό της στροφικής και διατµητικής ικανότητας των µελών. Για κάθε ένα από τα εξεταζόµενα κτίρια του σχήµατος 2 υπολογίστηκε ένας συντελεστής (γ Rm ) µε τον οποίο πρέπει να διαιρεθεί η µέση τιµή της στροφικής και της διατµητικής ικανότητας των µελών του κτιρίου προκειµένου το προκύπτον, από µία προσδιοριστική ανάλυση, σηµείο αστοχίας να συµπίπτει µε το σηµείο αστοχίας των µέσων τιµών (πίνακας 1). Οι συντελεστές γ Rm υπολογίστηκαν µέσω µιας επαναληπτικής διαδικασίας: το κάθε κτίριο αναλύθηκε προσδιοριστικά µε διάφορες τιµές γ Rm µέχρι να προκύψει η τιµή της µετακίνησης οροφής κατά την αστοχία d roof,u ίση µε την µέση τιµή της µετακίνησης οροφής κατά την αστοχία Ε[d roof,u ]. Η καµπύλη των χαρακτηριστικών τιµών βρίσκεται, για όλα τα κτίρια, πιο κάτω από την «µέση» καµπύλη. Η αστοχία της καµπύλης των χαρακτηριστικών τιµών επέρχεται νωρίτερα από ότι στην «µέση» καµπύλη. ηλαδή η χρησιµοποίηση χαρακτηριστικών τιµών κατά την εφαρµογή προσδιοριστικών αναλύσεων οδηγεί σε φέρουσα ικανότητα µικρότερη από την µέση τιµή της φέρουσας ικανότητας καθώς τόσο η τέµνουσα βάσης όσο και η µετακίνηση οροφής κατά την αστοχία που υπολογίζονται είναι µικρότερες από την µέση τιµή της µετακίνησης οροφής και τέµνουσας βάσης κατά την αστοχία αντίστοιχα. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 9

Κτίριο1 Κτίριο 2 35 3 25 2 «Μέση» καµπύλη 15 Καµπύλη µέσων τιµών Καµπύλη Χαρακτηριστικών τιµών 1 Αστοχία «µέσης» καµπύλης 5 Αστοχία καµπύλης µέσων τιµών Αστοχία καµπύλης χαρακτηριστικών τιµών.5.1.15.2.25.3 Κτίριο3 12 1 8 6 «Μέση» καµπύλη Καµπύλη µέσων τιµών 4 Καµπύλη Χαρακτηριστικών τιµών Αστοχία «µέσης» καµπύλης 2 Αστοχία καµπύλης µέσων τιµών Αστοχία καµπύλης χαρακτηριστικών τιµών.5.1.15.2.25 Κτίριο 4 5 45 4 35 3 25 «Μέση» καµπύλη 2 Καµπύλη µέσων τιµών 15 Καµπύλη Χαρακτηριστικών τιµών 1 Αστοχία «µέσης» καµπύλης 5 Αστοχία καµπύλης µέσων τιµών Αστοχία καµπύλης χαρακτηριστικών τιµών.1.2.3.4.5.6 Κτίριο 5 9 8 7 6 5 «Μέση» καµπύλη 4 Καµπύλη µέσων τιµών 3 Καµπύλη Χαρακτηριστικών τιµών 2 Αστοχία «µέσης» καµπύλης Αστοχία καµπύλης µέσων τιµών 1 Αστοχία καµπύλης χαρακτηριστικών τιµών.1.2.3.4.5.6.7 d roof (m) 6 5 4 3 «Μέση» καµπύλη Καµπύλη µέσων τιµών 2 Καµπύλη Χαρακτηριστικών τιµών Αστοχία «µέσης» καµπύλης 1 Αστοχία καµπύλης µέσων τιµών Αστοχία καµπύλης χαρακτηριστικών τιµών.5.1.15.2 Σχήµα 4. Σύγκριση µεταξύ της«µέσης» καµπύλη αντίστασης, της καµπύλης των µέσων τιµών και την καµπύλης των χαρακτηριστικών τιµών. Πίνακας 2. Συντελεστές γ Rm µε τους οποίους, το πέρας της προσδιοριστική καµπύλης συµπίπτει µε το πέρας της «µέσης» καµπύλης αντίστασης. Κτίρια 1 2 3 4 5 γ Rm 1.9 1.7 2.1 1.9 2.8 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 1

5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην εργασία αυτή εξετάστηκε η διασπορά που παρουσιάζει η καµπύλη αντίστασης. Αναπτύχθηκε και εφαρµόστηκε µια µεθοδολογία πιθανοτικού υπολογισµού της καµπύλης αντίστασης η οποία λαµβάνει υπόψη τις αβεβαιότητες των κατασκευών. Η διασπορά που παρουσιάζει η καµπύλη αντίστασης δεν προέκυψε ενιαία για όλα τα κτίρια που εξετάστηκαν. Τα ειδικά χαρακτηριστικά του κάθε κτιρίου (βαθµός υπερστατικότητας, ποσοστό διαµήκους οπλισµού, αριθµός ορόφων, παρουσία µαλακών ορόφων κ.λ.π.) µεταβάλλουν µε ξεχωριστό τρόπο κάθε φορά την βαρύτητα των τυχαίων µεταβλητών. Για όλα τα κτίρια πάντως η διασπορά της τέµνουσα βάσης προέκυψε µεγαλύτερη από την διασπορά την µετακίνησης οροφής κατά την αστοχία. Η «µέση» καµπύλη αντίστασης που προκύπτει από την πιθανοτική ανάλυση συγκρίθηκε µε την καµπύλη αντίστασης που προκύπτει µετά από µία προσδιοριστική ανάλυση χρησιµοποιώντας µέσες τιµές για όλες τις τυχαίες µεταβλητές. Οι δυο καµπύλες προέκυψε ότι έχουν µεν την ίδια µορφή αλλά ότι διαφέρουν στα σηµεία αστοχίας τους. Για να συµπέσουν τα σηµεία αστοχίας των δυο καµπυλών θα πρέπει να χρησιµοποιούνται µικρότερες τιµές από τις µέσες για τα προσοµοιώµατα υπολογισµού της στροφικής και διατµητικής ικανότητας των µελών του κτιρίου. Οι µικρότερες τιµές αυτές υπολογίστηκαν µε δοκιµές και εκφράστηκαν µε ένα συντελεστή γ Rm. Ο συντελεστής γ Rm είναι ο συντελεστής µε τον οποίο πρέπει να διαιρεθεί η µέση τιµή της στροφικής και της διατµητικής ικανότητας των µελών του κτιρίου προκειµένου η καµπύλη αντίστασης που θα προκύψει να είναι ίδια µε την «µέση» καµπύλη αντίστασης. Ο συντελεστής γ Rm δεν είναι σταθερός για όλα τα κτίρια αλλά εξαρτάται από τα διάφορα χαρακτηριστικά του κάθε κτιρίου. Για τα κτίρια που εξετάστηκαν κυµαίνεται από 1.7 έως 2.8. Συνεπώς, όταν αποτιµάται η συµπεριφορά ενός κτιρίου µέσω µιας προσδιοριστικής στατικής ανελαστική ανάλυσης (µε το πέρας της καµπύλης αντίστασης να αντιστοιχεί στην αστοχία του πρώτου µέλους) ο υπολογισµός της µέσης απόκρισης (τέµνουσα βάσεως, µετακίνηση οροφής κατά την αστοχία) θα προκύψει αν χρησιµοποιηθούν µέσες τιµές για όλες τις τυχαίες µεταβλητές εκτός των κριτηρίων αστοχίας των µελών του (στροφική, διατµητική ικανότητα) τα οποία πρέπει να διαιρεθούν µε τον συντελεστή γ Rm. Αν δεν υπάρχει δυνατότητα για πιθανοτική ανάλυση ενός κτιρίου προκειµένου να προκύψει η µέση απόκριση, η χρησιµοποίηση της τιµής γ Rm =2. θα οδηγήσει σε απόκριση που θα προσεγγίζει καλύτερα την µέση απόκριση. 6 ΑΝΑΦΟΡΕΣ-ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Applied Technology Council. 1996. Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings, Report ATC 4 / SSC 96-1, California Chopra, A. K. & Goel, R. K. 1999. Capacity-Demand Diagram Methods Based on Inelastic Design Spectrum, Earthquake Spectra, Vol. 15, No.4, 637-656 Fajfar, P. 1999. Capacity Spectrum Method Based on Inelastic Demand Spectra, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol 28: 979-993 Federal Emergency Management Agency. 1997. NEHRP guidelines for the seismic rehabilitation of buildings, report FEMA 273, Washington, DC McKay, M. D., Conover, W. J. & Beckman, R.J. 1979. A Comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code. Technometrics, Vol. 21: 239-245, Tassios, T.P., Lefas, J. 1984. Ductility of concrete columns due to confinement, Scientific papers of the Faculty of Civil Engineering, NTUA, 8, No. 1-4 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 11

Thomos, G.C. & Trezos C.G. 26. Examination of the probabilistic response of reinforced concrete structures under static non-linear analysis, Engineering Structures, Vol. 28, 12 133 Θώµος, Γ. 26. Αποτίµηση, µε πιθανοτικές µεθόδους, της σεισµικής συµπεριφοράς κατασκευών υπό σταδιακώς αυξανόµενη φόρτιση, ιδακτορική ιατριβή, Τοµέας δοµοστατικής ΕΜΠ Υ.ΠΕ.Χ.Ω..Ε. 2. Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός (Ε.Α.Κ) Υ.ΠΕ.Χ.Ω..Ε.2. Ελληνικός Κανονισµός Ωπλισµένου Σκυροδέµατος (Ε.Κ.Ω.Σ.) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 12