ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 81 8. Άσκηση 8 Περίθλαση από διπλή σχισµή. 8.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε τα φράγµατα περίθλασης και ειδικότερα την περίπτωση της περίθλασης από διπλή σχισµή, όπου η εκόνα που εµφανίζεται είναι το τελικό ταυτόχρονο αποτέλεσµα φαινόµενων περίθλασης και συµβολής. 8. Εισαγωγή Στη προηγούµενη εργαστηριακή άσκηση µελετήσαµε το φαινόµενο της περίθλασης από µία λεπτή σχισµή. Είδαµε µάλιστα ότι αν η σχισµή µας είναι πολύ µικρότερη του µήκους κύµατος τότε η σχισµή εµφανίζεται σαν δευτερεύουσα πηγή ακτινοβολίας που εκπέµπει σχεδόν την ίδια ένταση προς όλες τις διευθύνσεις. Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχουµε δύο ίδιες παράλληλες σχισµές S 1 και S, πλάτους D, που βρίσκονται σε απόσταση d µεταξύ τους (Σχήµα 8.1). Ας υποθέσουµε επίσης ότι το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας που περνά µέσα από τις σχισµές είναι πολύ µεγαλύτερο του πλάτους D των σχισµών. Στην περίπτωση αυτή η δύο σχισµές δρουν σαν δευτερεύουσες πηγές φωτός εκπέµποντας προς όλες τις κατευθύνσεις. Επιπλέον οι δύο δευτερεύουσες πηγές έχουν το ίδιο µήκος κύµατος και είναι συµφωνές (έχουν δηλαδή την ίδια φάση). Αυτό είναι φυσικό µια και το φώς που εκπέµπεται από τις δύο σχισµές είναι ουσιαστικά το φώς που πέφτει σ αυτές και που προέρχεται από την ίδια πηγή. Σε ένα σηµείο του χώρου Σ, πίσω από τις σχισµές, το φώς που έρχεται από την µία πηγή συµβάλει µε το φως που έρχεται από την αλλη (όπως είδαµε και στην Εργαστηριακή Άσκηση 4) και το τελικό αποτέλεσµα είναι η επιπρόσθεση των δύο αυτών κυµάτων.
8 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ x 1 Σ S 1 d Θ x S Σχήµα 8.1 Συµβολή των ακτινοβολιών που εκπέµπονται από δύο λεπτές παράλληλες σχισµές. Αν E 1 η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου της ακτινοβολίας που έρχεται στο σηµείο Σ από την πηγή S 1 και Ε η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που έρχεται στο σηµείο Σ από την πηγή S, τότε η συνολική ένταση στο Σ θα είναι Ε Σ = Ε 1 + Ε. Αναλυτικά λοιπόν θα έχουµε για τις δύο ακτινοβολίες στο σηµείο Σ ( ω ) ( ω ) E = E sin kx t 1 1 E = E sin kx t (8.1) και E = Σ E + E 1 [ sin( ω ) sin( ω )] = E kx t + kx t 1 E k x = x k x x 1 1+ cos sin ωt (8.) όπου στην τελευταία σχέση χρησιµοποιήσαµε την γνωστή τριγωνοµετρική εξίσωση (4.4) της Άσκησης 4.
ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 83 Βλέπουµε λοιπόν ότι το πεδίο στο Σ θα είναι ένα κύµα µε πλάτος ίσο µε E k x cos x 1 Το πλάτος δηλαδή εξαρτάται από την διαφορά διαδροµής µεταξύ των δύο πηγών και του σηµείου Σ. Από το Σχήµα 8.1 βλέπουµε πως η διαφορά διαδροµής είναι ίση µε δ= x1 x = dsinθ Μια µικρή παρατήρηση στο σηµείο αυτό. εν έχει σηµασία αν η διαφορά διαδροµής είναι θετική ή αρνητική µιας και το cos(δ) = cos( δ). Επειδή η ένταση της ακτινοβολίας σε ένα σηµείο είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, συµπεραίνουµε ότι η ένταση θα είναι ίση µε : I= I k x x cos = I = I 1 k d sinθ cos d cos π sinθ (8.3) όπου στην τελευταία σχέση αντικαταστήσαµε τον κυµατάριθµο k µε k = π/λ. Η εικόνα που θα σχηµατιστεί λοιπόν στο χώρο πίσω από τις σχισµές αποτελείται από µια σειρά µεγίστων (φωτεινών) και ελαχίστων (σκοτεινών) περιοχών που ονοµάζονται κροσσοί συµβολής. Στο Σχήµα 8. παρουσιάζεται η κατανοµή της σχετικής έντασης Ι(Θ)/Ι, της ακτινοβολίας για σχισµές που απέχουν απόσταση d = 1 mm και η ακτινοβολία έχει µήκος κύµατος λ = 3 mm. Τα σηµεία (οι γωνίες Θ δηλαδή) που εµφανίζονται τα µέγιστα και τα ελάχιστα της σχέσης (8.3) µπορούν πολύ εύκολα να υπολογιστούν. Έτσι έχουµε ελάχιστα όταν d cos π sinθ = d π π sin Θ = ( n 1) λ (8.4) ( n 1) λ sinθ = d όπου το n φυσικά πέρνει της ακέραιες τιµές 1,, µέχρι την τιµή d/λ+1/.
84 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 1..8 Ι(Θ) / Ι.6.4.. -8-6 -4-4 6 8 Θ ( ) Σχήµα 8. Η ένταση της ακτινοβολίας, µήκους κύµατος λ = 3 mm, που προέρχεται από τη συµβολή κυµάτων από δύο σχισµές που βρίσκονται σε απόσταση 1 mm. Έτσι στην περίπτωση του Σχήµατος 8. το n θα λαµβάνει τιµές µικρότερες του 1/3+1/ = 3.65, δηλαδή τις τιµές 1, και 3. Πράγµατι στο Σχήµα παρατηρούµε τρία ελάχιστα στα θετικά Θ και αντίστοιχα άλλα τρία στα αρνητικά. Αντίστοιχα µε τα έλαχιστα βρίσκουµε ότι µέγιστα θα έχουµε όταν d cos π sinθ = 1 d π sinθ = n π λ (8.5) λ sinθ = n d όπου το n πέρνει τιµές n d/λ. Όσα είδαµε µέχρι στιγµής ισχύουν όταν οι σχισµές έχουν πλάτος D µικρότερο του µήκους κύµατος λ, της ακτινοβολίας. Όταν οι σχισµές έχουν πλάτος µικρότερο του λ, τότε, όπως είδαµε στην προηγούµενη εργαστηριακή άσκηση η κάθε σχισµή εκπέµπει ακτινοβολία λόγω περίθλασης που η ένταση της δίνεται από την σχέση :
ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 85 I S = I D sin π sinθ D π sinθ λ (8.6) Οι ακτινοβολίες από τις δύο πηγές συµβάλουν στον χώρο και η τελική ένταση της ακτινοβολίας είναι προϊόν συµβολής των δύο εικόνων περίθλασης. Η τελική ένταση της ακτινοβολίας δίνεται από την σχέση : I( Θ) = I D sin π sinθ d Θ D Θ cos π sin (8.7) π sin λ όπου D το πλάτος των δύο σχισµών και d η απόσταση µεταξύ των µέσων των δύο σχισµών. Η σχέση (8.7) λοιπόν της έντασης της ακτινοβολίας στην περίπτωση της περίθλασης από δύο σχισµές αποτελείται από τον παράγοντα περίθλασης D sin π sinθ D π sinθ λ (8.8) επειδή το φώς περνά από µια σχισµή πλάτους D, επί τον παράγοντα συµβολής cos d π sinθ (8.9) επειδή έχουµε δύο σχισµές σε απόσταση d µεταξύ τους και το φως της µιας συµβάλει µε το φως της άλλης. Το Σχήµα 8.3 παρουσιάζει την κατανοµή της έντασης της ακτινοβολίας λόγω περίθλασης από την απλή σχισµή (διακεκοµµένη γραµµή) και από τη διπλή σχισµή (συνεχής γραµµή). Το πλάτος της σχισµής είναι D=4mm και είναι το ίδιο ακριβώς και στις δύο περιπτώσεις. Η απόσταση ανάµεσα στις δύο σχισµές (στην περίπτωση της περίθλασης από διπλή σχισµή) είναι 1 mm. Στην περίπτωση της περίθλασης από δύο σχισµές η κατανοµή της έντασης (σχέση 8.7) παρουσιάζει ελάχιστα, δηλαδή σκοτεινές περιοχές, και στα σηµεία που ο παράγωντας περίθλασης µηδενίζεται (εξισώσεις 7.7 και 7.9 της Άσκησης 7) αλλά και στα σηµεία που µηδενίζεται ο παράγωντας συµβολής (εξισώση 8.4)
86 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 1..75 I(Θ) / Ι.5.5. -9-6 -3 3 6 9 Θ ( ) Σχήµα 8.3 Κατανοµή της έντασης της ακτινοβολίας στην περίπτωση της περίθλασης από διπλή (συνεχής γραµµή) και από απλή (διακεκοµµένη γραµµή) σχισµή. 8.3 Εργαστηριακός εξοπλισµός Τα υλικά που θα συναρµολογηθούν για την πραγµατοποίηση του πειράµατος είναι αυτά της Άσκησης 1. Επιπλέον, χρειάζεται ο ακόλουθος εξοπλισµός: Μεταλλικές πλάκες διαστάσεων 3 Χ 3. 1 Μεταλλική πλάκα διαστάσεων 6 Χ 3. 3 Στήλες στήριξης. 3 Βάσεις στήριξης. Γωνιοµετρική κλίµακα (χαρτί µε αποτύπωση µοιρών ή µεγάλο µοιρογνωµόνιο).
ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 87 Σχήµα 8.4 Πειραµατική διάταξη. (1) Ταλαντωτής Gunn, () µεταλλικές πλάκες, (3) ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου και (4) γωνιοµετρικό χαρτί. 8.4 Πειραµατική διαδικασία Σχηµατίστε την πειραµατική διάταξη που φαίνεται στο Σχήµα 8.4. Είναι σηµαντικό να υπάρχει όσο το δυνατόν καλύτερη συµµετρία στην πειραµατική αυτή διάταξη. Το πλάτος της κάθε σχισµής είναι D=4mm. Χρησιµοποιείστε το γωνιοµετρικό χαρτί για την µέτρηση της θέσης του ανιχνευτή του πεδίου Ε. Κατανοµή της έντασης στη διπλή σχισµή. Μετρήστε την τάση απολαβής U REC (σε Volts) σαν συνάρτηση της γωνίας Θ που βρίσκεται ο ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου και συµπληρώστε τον πίνακα 8.1.
88 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Πίνακας 8.1 Θ ( ) U REC (V) U REC / U MAX -45-4 -35-3 -5 - -15-1 - 5 5 1 15 5 3 35 4 45 8.5 Εργασία Σπουδαστών. Αναφέρετε τον σκοπό της εργαστηριακής άσκησης. Αντιγράψτε τον Πίνακα 8.1 µε τις µετρήσεις σας. Παρουσιάστε τα αποτελέσµατά σας σε γραφική παράσταση µε άξονες το U REC / U MAX και τη γωνία Θ, σχεδιάζοντας µε συνεχή γραµµή την θεωρητική καµπύλη από την εξίσωση (8.7) και τοποθετώντας µε σηµεία τις µετρήσεις σας από τον πίνακα 8.1.
ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 89 Προσοχή. Η απόσταση µεταξύ των δύο σχισµών δεν είναι d = 6 mm, δηλαδή όσο το µήκος της µικρής εσωτερικής πλάκας αλλα d = 1 mm! Αυτό µπορεί να φαίνεται εκ πρώτης όψεως παράδοξο αλλά όταν µετράµε αποστάσεις µεταξύ δύο αντικειµένων πρέπει πάντα να µετράµε από την ίδια αρχή. Έτσι πρέπει να µετρήσουµε την απόσταση των δύο σχισµών είτε από την αρχή της µίας µέχρι την αρχή της άλλης ή από το µέσον της µίας µέχρι το µέσον της άλλης κ.ο.κ. Ετσι η απόσταση µεταξύ των δύο σχισµών είναι 1 mm. Παρατηρήστε και σχολιάστε το παράξενο αποτέλεσµα ότι ακριβώς πίσω από το µέσον της κεντρικής πλάκας, όπου λογικά θα περιµέναµε την µέγιστη σκιά, έχουµε το ακριβώς αντίθετο, το µέγιστο της ακτινοβολίας! Οι µετρήσεις σας θα απέχουν αρκετά από την θεωρητική καµπύλη, µιά και η εξίσωση (8.1) προϋποθέτει ότι η πηγή, όπως επίσης και ο ανιχνευτής πεδίου είναι σε πού µεγάλη απόσταση από τις σχισµές. Αυτό, στο πείραµά µας, δεν ισχύει µιας και λόγω της χαµηλής ισχύος της πηγής, αναγκαζόµαστε να τοποθετήσουµε την πηγή και των ανιχνευτή σε µικρές αποστάσεις. Επίσης τυχόν ασυµµετρίες της πειραµατικής διάταξης διαταράσουν έντονα την λαµβανόµενη κατανοµή. Σχολιάστε τα αποτελέσµατα των µετρήσεών σας σε σχέση µε την θεωρητική κατανοµή. Υπολογίστε αριθµητικά της γωνίες που εµφανίζονται τα ελάχιστα της ακτινοβολίας.