Page 1 of 9 (T1) Σωστό ή Λάθος Απαντήστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (True) ή λάθος (False). Στο Φύλλο Απαντήσεων (Summary Answer-sheet), σηµειώστε τη σωστή απάντηση (TRUE / FALSE) για κάθε πρόταση. Δεν χρειάζεται να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (T1.1) Σε µια φωτογραφία του ανέφελου ουρανού σε µια νύχτα µε Πανσέληνο, µε µεγάλο χρόνο έκθεσης, το χρώµα του ουρανού φαίνεται µπλε όπως και κατά την διάρκεια της ηµέρας. (T1.) Ένας αστρονόµος στο Bhubaneswar σηµειώνει τη θέση του Ήλιου στον ουρανό στις 05:00 UT κάθε µέρα κατά τη διάρκεια ενός έτους. Αν άξονα της Γης ήταν κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς της, οι θέσεις αυτές θα διέγραφαν τόξο µεγάλου κύκλου. (T1.) Εάν η τροχιακή περίοδος ενός συγκεκριµένου µικρού σώµατος που περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο µε στο επίπεδο της εκλειπτικής είναι µικρότερη από την τροχιακή περίοδο του πλανήτη Ουρανού, τότε η τροχιά της πρέπει απαραιτήτως να είναι πλήρως εντός της τροχιάς του Ουρανού. (T1.) Το κέντρο µάζας του ηλιακού συστήµατος βρίσκεται πάντα στο εσωτερικό του Ήλιου. (T1.5) Ένα φωτόνιο κινείται σε ελεύθερο χώρο. Καθώς το Σύµπαν διαστέλλεται, η ορµή του µειώνεται. (T) Αέρια στον Τιτάνα Τα σωµατίδια αερίων που υπάρχουν στις ατµόσφαιρες των πλανητών, κινούνται µε ένα ευρύ φάσµα ταχυτήτων. Εάν η τυπική απόκλιση (διασπορά), λόγω της θερµικής κίνησης, που διέπει τα σωµατίδια ενός συγκεκριµένο µονοατοµικού αερίου υπερβαίνει το 1/ της ταχύτητας διαφυγής, σχεδόν όλο το συγκεκριµένο αέριο θα διαφύγει από τον πλανήτη. Ποιο είναι το ελάχιστο ατοµικό βάρος (σχετικό ατοµικό βάρος), A min, ενός ιδανικού µονοατοµικού αερίου, έτσι ώστε να µην διαφύγει από την ατµόσφαιρα του Τιτάνα; 10 Δίνονται: η µάζα του Τιτάνα M! = 1. 10!" kg, η ακτίνα του Τιτάνα R! = 575 km και η επιφανειακή θερµοκρασία του T! = 9.7 K. (T) Νεαρό Σύµπαν Τα κοσµολογικά πρότυπα δέχονται ότι η πυκνότητα της ενέργειας ακτινοβολίας, ρ!, του Σύµπαντος είναι ανάλογη του 1 + z και η πυκνότητα της ενέργειας µάζας, ρ!, είναι ανάλογη του 1 + z, όπου το z είναι η ερυθροµετάθεση. Η αδιάστατη παράµετρος πυκνότητας, Ω, δίνεται από τη σχέση Ω = ρ/ρ!, όπου ρ c είναι η κρίσιµη πυκνότητα ενέργειας του Σύµπαντος. Στο Σύµπαν σήµερα, οι παράµετροι πυκνότητας της ακτινοβολίας και της πυκνότητα µάζας είναι Ω!! = 10!! και Ω!! = 0., αντίστοιχα. (T.1) Υπολογίστε την ερυθροµετάθεση, z!, στην οποία η πυκνότητα ενέργειας ακτινοβολίας και η πυκνότητα ενέργειας µάζας είναι ίσες. (T.) Θεωρώντας ότι η ακτινοβολία του νεαρού Σύµπαντος υπακούει στο νόµο του Planck, θερµοκρασίας.7 Κ, εκτιµήστε τη θερµοκρασία ακτινοβολίας του, T!, για ερυθροµετάθεση ίση µε z! (T.) Εκτιµήστε την τυπική ενέργεια των φωτονίων, E! (σε ev) της ακτινοβολίας, όπως αυτή εκπέµπεται σε ερυθροµετάθεση z!. (T) Σκιές Ένας παρατηρητής στο βόρειο ηµισφαίριο παρατήρησε ότι το µήκος της µικρότερης σκιάς µιας κατακορύφου ράβδου ύψους 1,000 m (1 µέτρο) ήταν 1,7 m. Την ίδια µέρα το µήκος της µεγαλύτερης σκιάς της ίδιας ράβδου ήταν 5,71 m. 10
Page of 9 Να βρείτε το γεωγραφικό πλάτος, φ, του παρατηρητή και την απόκλιση του Ήλιου, δ, την ηµέρα αυτή. Υποθέσατε ότι ο Ήλιος είναι σηµειακή πηγή και αγνοείστε την ατµοσφαιρική διάθλαση. (T5) Η διακριτική ικανότητα του τηλεσκοπίου GMRT To Giant Metrewave Radio Telescope (GMRT), ένα από τα µεγαλύτερα ραδιοτηλεσκόπια στον κόσµο, σε µήκη κύµατος της τάξεως του ενός µέτρου, είναι εγκατεστηµένο στη δυτική Ινδία (γεωγραφικό πλάτος: 19 N, γεωγραφικό µήκος 7 E). Το GMRT αποτελείται από 0 κεραίες, διαµέτρου 5,0 µέτρων η κάθε µία. Με τη βοήθεια του άξονα περιστροφής της δέσµης της, µια από τις 0 κεραίες του GMRT, σκόπευσε ένα σηµείο του ουρανού επί του µεσηµβρινού του παρατηρητή προς τον βορρά, του οποίου η ζενίθεια γωνία ήταν 9. Το σηµείο αυτό επιλέχθηκε, έτσι ώστε όταν µια σηµειακή ραδιοπηγή µεσουρανήσει, διασχίζοντας τον µεσηµβρινό, να «κόψει» τη δέσµη κατά διάµετρο. 10 Ποιος θα είναι ο χρόνος διάβασης, T!"#$%&!, που θα χρειαστεί η πηγή για να διέλθει από τη γωνιώδη δέσµη µισής ισχύος (full width at half maximum FWHM) της κεραίας του GMRT, αν η παρατήρηση γίνει στα 00 MHz; Υπόδειξη: Η γωνιώδης δέσµη µισής ισχύος µιας κεραίας, που κάνει παρατηρήσεις σε µια συχνότητα, είναι ίση µε τη διακριτική ικανότητα της κεραίας. Υποθέσατε ότι η απόδοση της κεραίας είναι οµοιόµορφη σε όλη της επιφάνειά της. (T) Ταλαντώσεις Κηφειδών Ο αστέρας β-doradus είναι ένας µεταβλητός Κηφείδης αστέρας µε περίοδο ταλαντώσεων (αναπάλσεων) 9, ηµέρες. Κάνουµε την εξής απλουστευτική παραδοχή ότι ο αστέρας είναι πιο λαµπρός όταν βρίσκεται στη φάση της ελάχιστης συστολής (µε ακτίνα R 1 ) και είναι πιο αµυδρός όταν βρίσκεται στη φάση της µέγιστης διαστολής (µε ακτίνα R ). Για λόγους απλότητας, ας υποθέσουµε ότι ο αστέρας διατηρεί σφαιρικό σχήµα και συµπεριφέρεται ως ένα τέλειο µελανό σώµα συνεχώς κατά τη διάρκεια ολόκληρου του περιοδικού κύκλου του. Το βολοµετρικό µέγεθος του αστέρα κυµαίνεται µεταξύ,,0. Από µετρήσεις Doppler, γνωρίζουµε ότι κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεών του, η αστρική επιφάνεια διαστέλλεται ή συστέλλεται µε µέση ακτινική ταχύτητα 1, km s -1. Κατά την περίοδο των ταλαντώσεών του, το µέγιστο της (ενεργούς) θερµικής ακτινοβολίας του αστέρα µεταβάλλεται από 51,0 nm έως 9,1 nm. (T.1) Να βρείτε το λόγο της ελάχιστης ακτίνας (κατά τη συστολή) προς τη µέγιστη ακτίνα (κατά τη διαστολή) του αστέρα (R! /R! ). (T.) Να βρείτε την ελάχιστη και την µέγιστη ακτίνα (R! και R! ) του αστέρα (σε µέτρα). (T.) Να βρείτε διαστολής. τη πυκνότητα ροής (ισχύ) του αστέρα, F!, κατά τη στιγµή της µέγιστης (T.) Να βρείτε τη απόσταση του αστέρα, D!"#$, σε parsecs. (T7) Οπτικά συστήµατα τηλεσκοπίων Σε ένα διοπτρικό τηλεσκόπιο µε εστιακό λόγο f/5, ο αντικειµενικός φακός του έχει εστιακή απόσταση 100 cm και ο προσοφθάλµιος φακός του έχει εστιακή απόσταση 1 cm. (T7.1) Ποια είναι η γωνιώδης µεγέθυνση, m!, του τηλεσκοπίου; Ποιο είναι το µήκος του τηλεσκοπίου, L!, δηλαδή η απόσταση του αντικειµενικού φακού από τον προσοφθάλµιο φακό; Η εισαγωγή ενός κοίλου φακού (φακός Barlow) µεταξύ του αντικειµενικού φακού και της κυρίας εστίας του, είναι ένας συνηθισµένος τρόπος για να αυξήσετε τη µεγέθυνση χωρίς να αυξηθεί σηµαντικά το µήκος του τηλεσκοπίου. Σε ένα τηλεσκόπιο, ένας φακός Barlow εστιακού µήκους 1 cm τοποθετείται µεταξύ του αντικειµενικού φακού και του προσοφθάλµιου για να διπλασιαστεί η µεγέθυνση αυτού. (T7.) Σε ποια απόσταση, d!, από την κύρια εστία του τηλεσκοπίου πρέπει να τοποθετηθεί ένα φακός Barlow, για να επιτευχθεί ο επιθυµητός διπλασιασµός της µεγέθυνσης; (T7.) Κατά πόσο θα αυξηθεί το µήκος, ΔL, του τηλεσκοπίου; 7 5 5
Page of 9 Στη συνέχεια κατασκευάζουµε ένα τηλεσκόπιο χρησιµοποιώντας τον αντικειµενικό φακό που αναφέρεται παραπάνω και ένα ανιχνευτή (κάµερα) CCD, που τοποθετείται στην κύρια εστία (χωρίς φακό Barlow ή προσοφθάλµιο φακό). Οι διαστάσεις των ψηφίδων (pixels) του ανιχνευτή CCD είναι 10µm. (T7.) Ποια θα είναι η απόσταση, n p, των ψηφίδων (pixels) που βρίσκονται στα κέντρα των ειδώλων δύο αστέρων που καταγράφηκαν στον ανιχνευτή CCD, αν οι αστέρες απέχουν 0 στον ουρανό. (T) Φωτοµετρία στην περιοχή συχνοτήτων U Ένας αστέρας έχει στην περιοχή (µπάντα) υπεριώδους (U), φαινόµενο µέγεθος m! = 15.0. Το φίλτρο στη µπάντα-u είναι ιδανικό, δηλ., έχει τέλεια (100%) διαπερατότητα στις συχνότητες της µπάντας-u και είναι εντελώς αδιαφανές (0% διαπερατότητα) εκτός της περιοχής. Το κέντρο της µπάντας του φίλτρου είναι στα 0 nm, και έχει ένα εύρος 0 nm. Ας θεωρηθεί ότι ο αστέρας έχει επίσης ένα επίπεδο ενεργειακό φάσµα ως προς τη συχνότητα. Η µετατροπή µεταξύ του µεγέθους, m, σε κάθε περιοχή συχνοτήτων και της πυκνότητας ροής (ισχύος), f, ενός αστέρα σε µονάδες Jansky (1 Jy = 1 10!!" W Hz!! m!! ) δίνεται από τη σχέση f = 1 10!!.!! Jy (T.1) Βρείτε κατά προσέγγιση πόσα φωτόνια, N!, στη µπάντα-u που προέρχονται από τον αστέρα, θα προσπίπτουν καθέτως σε µια επιφάνεια 1 m! στην ανώτερη ατµόσφαιρα της Γης κάθε δευτερόλεπτο; Ο αστέρας παρατηρείται στην µπάντα-u µε τη βοήθεια ενός επίγειου τηλεσκοπίου του οποίου το πρωτεύον κάτοπτρο έχει διάµετρο,0 m. Η ατµοσφαιρική απορρόφηση στην µπάντα-u, κατά τη διάρκεια της παρατήρησης, είναι 50%. Μπορείτε να υποθέσετε ότι το seeing δεν επηρεάζεται από σφάλµατα περίθλασης. Η µέση επιφανειακή λαµπρότητα του νυκτερινού ουρανού στη µπάντα-u µετρήθηκε και ήταν.0 mag/arcsec!. (T.) Ποιος είναι ο λόγος, R, του πλήθους των φωτονίων που λαµβάνονται από τον αστέρα ανά δευτερόλεπτο προς το πλήθος των φωτονίων που λαµβάνονται από τον ουρανό, όταν µετρώνται µε ένα κυκλικό διάφραγµα διαµέτρου? (T.) Στην πράξη, µόνο το 0% των φωτονίων της µπάντας-u που προσπίπτουν στο πρωτεύον κάτοπτρο ανιχνεύονται. Πόσα φωτόνια, N!, προερχόµενα από τον αστέρα ανιχνεύονται ανά δευτερόλεπτο; (T9) Η Αποστολή Mars Orbiter" της Ινδίας Η αποστολή της Ινδίας στον Άρη, Mars Orbiter Mission (MOM) εκτοξεύτηκε στις 5 Νοεµβρίου 01 µε τη βοήθεια του πυραύλου Polar Satellite Launch Vehicle (PSLV). Η καθαρή (χωρίς τα υγρά καύσιµα) µάζα του MOM (σώµα + όργανα) ήταν 500 kg και µετέφερε καύσιµα συνολικής µάζας 5 kg. Στην αρχή τέθηκε σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη µε περίγειο στα,1 km και απόγειο στα 90, km από την επιφάνεια της Γης. Μετά από έξι συνεχείς ανυψώσεις της τροχιάς, το MOM τέθηκε σε τροχιά προς τον πλανήτη Άρη (ακολουθώντας τροχιά Hohmann). Η πρώτη ανύψωση της αρχικής ελλειπτικής τροχιάς έγινε µε πυροδότηση των µηχανών για πολύ σύντοµο χρονικό διάστηµα κοντά στο περίγειο. Οι µηχανές πυροδοτήθηκαν για να γίνει αλλαγή της τροχιάς, αλλά χωρίς να γίνει αλλαγή του επιπέδου της τροχιάς και χωρίς, επίσης, να γίνει αλλαγή του περιγείου. Αυτή η πυροδότηση έδωσε µια καθαρή ώθηση στο διαστηµόπλοιο 1,7 10! kg m s!!. Αγνοήστε την αλλαγή της µάζας που οφείλεται στην καύση των καυσίµων. (T9.1) Ποιο είναι το ύψος του νέου απόγειου, h!, πάνω από την επιφάνεια της Γης, µετά την πυροδότηση των µηχανών; (T9.) Βρείτε την εκκεντρότητα (e) της νέας τροχιάς µετά την πυροδότηση των µηχανών και την νέα τροχιακή περίοδο (P) του ΜΟΜ σε ώρες. 1 (T10) Τηλεσκόπιο Βαρυτικών Φακών Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν προβλέπει την καµπύλωση της τροχιάς του φωτός όταν περνά κοντά από σώµατα πολύ µεγάλης µάζας. Χάριν απλότητας, ας υποθέσουµε ότι η
Page of 9 καµπύλωση της τροχιάς του φωτός συµβαίνει σε ένα συγκεκριµένο σηµείο για κάθε ακτίνα φωτός, όπως φαίνεται στο σχήµα πιο κάτω. Η γωνία καµπύλωσης, θ!, δίνεται από τη σχέση θ! =!!!"#! όπου R!"# είναι η ακτίνα Schwarzschild που σχετίζεται µε αυτό το βαρυτικό σώµα. Ας ονοµάσουµε µε το γράµµα r την παράµετρο σύγκρουσης, δηλαδή, την απόσταση της τροχιάς του φωτός από τον παράλληλο x-άξονα που διέρχεται από το κέντρο του σώµατος, καθώς το φως πλησιάζει το σώµα. Εξ αυτού συµπεραίνεται ότι ένα σώµα πολύ µεγάλης µάζας συµπεριφέρεται σχεδόν ως βαρυτικός φακός. Οι ακτίνες του φωτός ερχόµενες από το άπειρο πέραν από το µεγάλης µάζας σώµα, και έχοντας την ίδια παράµετρο σύγκρουσης r, συγκλίνουν σε ένα σηµείο κατά µήκος του άξονα, σε µια απόσταση f! από το κέντρο του µεγάλης µάζας σώµατος. Ένας παρατηρητής που βρίσκεται ακριβώς σ αυτό το σηµείο θα ευνοηθεί από την τεράστια µεγέθυνση εξ αιτίας του φαινοµένου του βαρυτικού φακού. Το πολύ µεγάλης µάζας σώµα σ αυτή την περίπτωση χρησιµεύει σαν Τηλεσκόπιο Βαρυτικού Φακού για την ενίσχυση της εικόνας αποµακρυσµένων σηµάτων. (T10.1) Θεωρήστε την πιθανότητα ο Ήλιος µας να παίξει το ρόλο ενός τηλεσκοπίου βαρυτικού φακού. Υπολογίστε την µικρότερη απόσταση, f!"#, από το κέντρο του Ήλιου (σε A.U.) στο οποίο εστιάζονται οι ακτίνες του φωτός. (T10.) Θεωρήστε έναν µικρό κυκλικό ανιχνευτή ακτίνας a, που βρίσκεται σε απόσταση f!"# και ο οποίος είναι κεντραρισµένος πάνω στον άξονα x και κάθετος πάνω σ αυτόν. Σηµειώστε ότι µόνο οι ακτίνες φωτός που διέρχονται εντός ενός δακτυλιδιού πλάτους h (όπου h R ) γύρω από τον Ήλιο συναντούν τον ανιχνευτή. Ο παράγοντας ενίσχυσης του ανιχνευτή ορίζεται ως ο λόγος της έντασης του φωτός που προσπίπτει στον ανιχνευτή λόγω της παρουσίας του Ήλιου προς την ένταση λόγω της απουσίας του Ήλιου. Εκφράστε τον παράγοντα ενίσχυσης, A!, στον ανιχνευτή ως συνάρτηση των R και a. (T10.) Θεωρήστε µια σφαιρική κατανοµή µάζας, όπως η σκοτεινή ύλη σε ένα γαλαξιακό σµήνος, διά µέσω του οποίου όταν διέρχονται οι ακτίνες του φωτός υφίστανται βαρυτική καµπύλωση. Υποθέστε, χάριν απλότητας ότι για την βαρυτική καµπύλωση µε παράµετρο σύγκρουσης r, µόνο η µάζα M(r) που βρίσκεται στο εσωτερικό της ακτίνας r είναι σχετική. Ποια θα πρέπει να είναι η κατανοµή µάζας, M(r), έτσι ώστε ο βαρυτικός φακός να συµπεριφέρεται σαν ένας ιδανικός κυρτός οπτικός φακός; (T11) Βαρυτικά Κύµατα Τα πρώτα σήµατα από βαρυτικά κύµατα ανιχνεύθηκαν από τους δύο ανιχνευτές του Αdvanced LIGO, στο Hanford και στο Livingston, στις Η.Π.Α., το Σεπτέµβριο του 015. Ένα από τα ανιχνευθέντα σήµατα αναπαράγεται στο παρακάτω Σχήµα (πλάτος strain ως συνάρτηση του χρόνου σε δευτερόλεπτα). Στο πρόβληµα αυτό, θα θεωρήσουµε ότι το απεικονιζόµενο σήµα οφείλεται στη βαρυτική ακτινοβολία που εκπέµπεται από µια µικρή, δοκιµαστική µάζα, η οποία περιφέρεται γύρω από µια µεγαλύτερη µάζα (δηλαδή, m M), και θα µελετήσουµε τις ιδιότητες της µεγάλης κεντρικής µάζας, χρησιµοποιώντας διάφορα πρότυπα (µοντέλα).
Page 5 of 9 Η δοκιµαστική µάζα χάνει ενέργεια καθώς εκπέµπει βαρυτικά κύµατα. Εξαιτίας της απώλειας ενέργειας, η ακτίνα της τροχιάς ελαττώνεται (η τροχιά συρρικνώνεται), έως ότου η δοκιµαστική µάζα ακουµπήσει την επιφάνεια της κεντρικής µάζας. Στην περίπτωση µελανής οπής, αυτό συµβαίνει όταν η δοκιµαστική µάζα φτάσει την εσωτερική σταθερή κυκλική τροχιά (innermost stable circular orbit ISCO), της οποίας η ακτίνα δίνεται από τη σχέση R ISCO = R sch, όπου R!"# είναι η ακτίνα Schwarzschild της µελανής οπής. Αυτή είναι η στιγµή της συγχώνευσης ( epoch of merger ). Τη στιγµή αυτή, το πλάτος του βαρυτικού κύµατος γίνεται µέγιστο, καθώς επίσης και η συχνότητά του, η οποία είναι διπλάσια της τροχιακής συχνότητας. Στο πρόβληµα αυτό θα εστιάσουµε µόνο στην εκποµπή του βαρυτικού κύµατος πριν τη στιγµή της συγχώνευσης, όσο οι νόµοι του Kepler εξακολουθούν να ισχύουν. Μετά τη συγχώνευση, η µορφή των βαρυτικών κυµάτων αλλάζει δραστικά. (T11.1) Μελετήστε το παρατηρηθέν βαρυτικό κύµα που απεικονίζεται στο παραπάνω Σχήµα. Εκτιµήστε την ελάχιστη περίοδο, T!, λίγο πριν τη στιγµή της συγχώνευσης και από την περίοδο, τη µέγιστη συχνότητα, f!, του βαρυτικού κύµατος λίγο πριν τη στιγµή της συγχώνευσης. (T11.) Για αστέρες της Κύριας Ακολουθίας (Main Sequence MS), η ακτίνα τους, R!", και η µάζα τους, M!", συνδέονται µε τον παρακάτω εκθετικό νόµο, R!" M!"! 10 όπου α = 0, for M < M!" = 1,0 for 0,0M M!" M Εάν το κεντρικό αντικείµενο ήταν αστέρας της Κύριας Ακολουθίας, να βρείτε µια σχέση που να συνδέει τη µέγιστη συχνότητα, f!", του βαρυτικού κύµατος, ως συνάρτηση της µάζας του αστέρα, µετρούµενης σε ηλιακές µάζες (M!" /M ) και του εκθέτη του παραπάνω νόµου, α. (T11.) Χρησιµοποιώντας το παραπάνω αποτέλεσµα για τη συχνότητα f!", υπολογίστε την τιµή που πρέπει να λάβει ο εκθέτης α, ώστε να εκπέµψει τη µέγιστη δυνατή συχνότητα, f!",!"#, του βαρυτικού κύµατος, για κάθε αστέρα της Κύριας Ακολουθίας. Υπολογίστε τη συχνότητα αυτή. 9
Page of 9 (T11.) Παροµοίως, η µέγιστη µάζα ενός λευκού νάνου (white dwarf WD) αστέρα είναι 1, M (γνωστή ως όριο του Chandrasekhar) και υπακούει το νόµο µάζας ακτίνας, R M!!!. Η ακτίνα ενός τυπικού λευκού νάνου µε µάζα ίση προς µία ηλιακή µάζα, είναι 000 km. Να βρεθεί η µέγιστη συχνότητα, f!",!"#, του βαρυτικού κύµατος που θα εξέπεµπε η δοκιµαστική µάζα εάν αυτή είχε συγχωνευτεί µε ένα λευκό νάνο, γύρω από τον οποίο περιφερόταν µέχρι αυτή τη στιγµή. (T11.5) Επίσης, οι αστέρες νετρονίων (neutron stars NS), αποτελούν µία ιδιαίτερη κατηγορία συµπαγών αστέρων µε µάζα µεταξύ 1 M και M και ακτίνες µεταξύ 10 15 km. Να βρεθεί η ελάχιστη, f!",!"# και η µέγιστη, f!",!!", συχνότητα βαρυτικών κυµάτων που θα εκπέµψει η δοκιµαστική µάζα, κατά τη συγχώνευσή της µε ένα αστέρα νετρονίων, η ακτίνα του οποίου βρίσκεται εντός των παραπάνω ορίων. (T11.) Εάν η δοκιµαστική µάζα βρισκόταν σε εσωτερική σταθερή κυκλική τροχιά γύρω από µια µελανή οπή (BH), να γράψετε την εξίσωση που διέπει τη συχνότητα, f!", των βαρυτικών κυµάτων που εκπέµφθηκε, ως συνάρτηση της µάζας της µελανής οπής, M!", και της µάζας του Ήλιου, M. (T11.7) Με βάση µόνο την περίοδο (ή τη συχνότητα) του εκπεµφθέντος βαρυτικού κύµατος, λίγο πριν τη στιγµή της συγχώνευσης, διερευνήσετε αν η κεντρική µάζα µπορούσε να είναι ένας αστέρας της Κύριας Ακολουθίας (MS), ένας λευκός νάνος (WD), ένας αστέρας νετρονίων (NS) ή µια µελανή οπή (ΒΗ). Σηµειώστε την απάντησή σας στο Φύλλο Απαντήσεων (Summary Answer-sheet). Υπολογίστε τη µάζα του κεντρικού αντικειµένου, M!"#, σε ηλιακές µονάδες µάζας, M. 7 5 (T1) Εξωηλιακοί πλανήτες Οι δύο κυριότερες µέθοδοι ανίχνευσης εξωηλιακών πλανητών (πλανητών γύρω από αστέρες εκτός του Ήλιου) είναι η µέθοδος της ακτινικής ταχύτητας (ονοµαζόµενης και wobble ) και η µέθοδος των διαβάσεων. Στο πρόβληµα αυτό, θα διαπιστώσουµε ότι µε συνδυασµό των αποτελεσµάτων των δύο αυτών µεθόδων µπορεί να αποκαλυφθεί σηµαντική πληροφορία τόσο για τον περιφερόµενο εξωηλιακό πλανήτη, όσο και για τον αστέρα του. Στο πρόβληµα αυτό εξετάζουµε την περίπτωση ενός πλανήτη µάζας M! και ακτίνας R! που περιφέρεται σε κυκλική τροχιά ακτίνας a γύρω από έναν αστέρα µάζας M! M! M! και ακτίνας R!. Η κάθετος προς το επίπεδο της τροχιάς του πλανήτη έχει γωνία κλίσης i ως προς την ευθεία όρασης i = 90!. Την τροχιά αυτή ας της δώσουµε το όνοµα «τροχιά-προφίλ». Υποθέτουµε ότι δεν υπάρχει κανένας άλλος πλανήτης σε τροχιά γύρω από τον αστέρα και ότι R! a. Μέθοδος Wobble : Όταν ένας πλανήτης κι ένας αστέρας περιφέρονται γύρω από το κέντρο βάρους τους, ο αστέρας φαίνεται ως εάν κινείται ελαφρά, ή ταλαντεύεται, αφού το κέντρο µάζας του αστέρα δεν συµπίπτει µε το κέντρο µάζας του συστήµατος αστέρα-πλανήτη. Ως αποτέλεσµα, το φως που προέρχεται από τον αστέρα υφίσταται µια µικρή µετατόπιση Doppler η οποία συνδέεται µε την ταχύτητα αυτής της ταλάντωσης. Η ταχύτητα ως προς τη διεύθυνση της ευθείας όρασης, v!, του αστέρα µπορεί να προσδιοριστεί από τη µετατόπιση Doppler µιας γνωστής φασµατικής γραµµής, η περιοδική µεταβολή της οποίας ως συνάρτηση του χρόνου, t, απεικονίζεται στο διάγραµµα του παρακάτω σχήµατος. Στο διάγραµµα, απεικονίζονται οι δύο ποσότητες που µπορούν να µετρηθούν µε αυτή τη µέθοδο, δηλαδή, η τροχιακή περίοδος Ρ και η µέγιστη ταχύτητα v! στη διεύθυνση της ευθείας όρασης.
Page 7 of 9 (T1.1) Βρείτε τις εκφράσεις για την τροχιακή ακτίνα (a) και της τροχιακής ταχύτητας (v! ) του πλανήτη ως συνάρτηση των M! και P. (T1.) Βρείτε ένα κάτω όριο της µάζας του πλανήτη, M!,!"# ως συνάρτηση των M!, v! και v!. Μέθοδος Διαβάσεων: Καθώς ο πλανήτης περιφέρεται γύρω από τον αστέρα του, για κλίσεις του τροχιακού επιπέδου που είναι κοντά στην τροχιά-προφίλ (i 90! ), θα διέρχεται περιοδικά ή θα κάνει διαβάσεις, µπροστά από τον δίσκο του αστέρα όπως αυτός φαίνεται από τον παρατηρητή. Αυτό θα προκαλέσει µικρή ελάττωση της φαινόµενης λαµπρότητας, η οποία είναι δυνατόν να µετρηθεί. Το διάγραµµα του παρακάτω σχήµατος (το οποίο ΔΕΝ έχει σχεδιαστεί υπό κλίµακα) δείχνει την κατάσταση από την οπτική γωνία του παρατηρητή και την καµπύλη φωτός της διάβασης (βαθµονοµηµένη λαµπρότητα f, ως συνάρτηση του χρόνου t) για έναν οµοιογενώς λαµπρό δίσκο του αστέρα. Αν η γωνία κλίσης i είναι ακριβώς 90 ο, ο πλανήτης θα φαίνεται να διασχίζει το δίσκο του αστέρα κατά διάµετρο. Για οποιαδήποτε άλλη τιµή του i, η διάβαση λαµβάνει χώρα κατά χορδή, το κέντρο της οποίας βρίσκεται σε απόσταση br! από το κέντρο του δίσκου του αστέρα, όπως φαίνεται στο σχήµα. Η λαµπρότητα του αστέρα εκτός διάβασης έχει βαθµονοµηθεί µε µονάδα (1) και η µέγιστη ελάττωση της λαµπρότητας κατά τη διάρκεια της διάβασης συµβολίζεται µε το γράµµα Δ. Τα τέσσερα σηµαντικά σηµεία της διάβασης είναι η πρώτη, δεύτερη, τρίτη και τέταρτη επαφή, οι οποίες έχουν σηµειωθεί στις θέσεις 1 έως, αντίστοιχα στο παραπάνω σχήµα. Η χρονική διαφορά
Page of 9 µεταξύ της δεύτερης και τρίτης επαφής σηµειώνεται ως t!, όταν ο δίσκος του πλανήτη βρίσκεται εξ ολοκλήρου µπροστά από τον δίσκο του αστέρα. Το χρονικό διάστηµα µεταξύ της πρώτης και τέταρτης επαφής σηµειώνεται ως t!. Αυτά τα σηµεία έχουν σηµειωθεί στο διάγραµµα του κάτω σχήµατος που παρουσιάζει µια πλευρική άποψη της τροχιάς (που ΔΕΝ έχει σχεδιαστεί υπό κλίµακα). Οι ποσότητες που είναι δυνατόν να µετρηθούν µε τη µέθοδο της διάβασης είναι P, t!, t! και Δ. (T1.) Βρείτε την ελάχιστη τιµή του i ως συνάρτηση των R! και a έτσι ώστε η διάβαση να είναι µόλις ορατή από τον µακρινό παρατηρητή. (T1.) Να βρεθεί η σχέση που συνδέει το Δ µε τα R! και R!. (T1.5) Βρείτε τη σχέση που συνδέει τα t! και t! µε τα R!, R!, a, P και b. (T1.) Δείξετε ότι κατά προσέγγιση εάν η ακτίνα της τροχιάς του πλανήτη είναι κατά πολύ µεγαλύτερη από την ακτίνα του αστέρα, η παράµετρος b δίνεται από την σχέση 1 5 1 + t! t! b = 1 + Δ Δ 1 t! t!!!!! (T1.7) Χρησιµοποιείστε το αποτέλεσµα της υποερώτησης (T1.) για να βρείτε τη σχέση που συνδέει το λόγο a/r! ως συνάρτηση των παραµέτρων που µπορούν να µετρηθούν µε τη µέθοδο των διαβάσεων. Χρησιµοποιείστε κατάλληλη προσέγγιση. (T1.) Συνδυάστε τα αποτελέσµατα της µεθόδου της ταλάντωσης ( wobble ) και της µεθόδου των διαβάσεων για να υπολογίσετε την µέση πυκνότητα του αστέρα ρ!!! ως συνάρτηση!!!!! /! των t!, t!, Δ και P. Βραχώδης ή αεριώδης: Ας θεωρήσουµε ένα σύστηµα αστέρα-πλανήτη µε τροχιά-προφίλ (i = 90! ) (κυκλική τροχιά για τον πλανήτη), όπως παρατηρείται από τη Γη. Έστω ότι η µάζα του αστέρα είναι 1,00M και παρατηρούνται διαβάσεις µε περίοδο Ρ = 50,0 ηµέρες και συνολική διάρκεια διάβασης (t! ) ίσες µε 1,00 ώρα. Η ελάττωση της λαµπρότητας (Δ) είναι 0,00. Το ίδιο σύστηµα παρατηρείται µε τη µέθοδο των ταλαντώσεων µε µέγιστη ταχύτητα στην ευθεία όρασης 0.00 ms!!. (T1.9) Να βρείτε την ακτίνα της τροχιάς του πλανήτη a σε AU και σε µέτρα. (T1.10) Να βρείτε τον λόγο t! /t! του συστήµατος. (T1.11) Να βρεθεί η µάζα M! και η ακτίνα R! του πλανήτη µε µονάδες µέτρησης τη µάζα Γης (M ) και της ακτίνας της Γης (R ) αντίστοιχα. Είναι η δοµή του πλανήτη βραχώδης ή αεριώδης; Σηµειώστε την απάντησή σας στο κουτάκι ROCKY (βραχώδης) ή GASEOUS (αεριώδης) στο Φύλλο Απαντήσεων.
Page 9 of 9 Καµπύλες φωτός διαβάσεων µε αστρικές κηλίδες και αµαύρωση χείλους: (T1.1) Έστω µια διάβαση ενός πλανήτη µε γωνία κλίσης i = 90! γύρω από έναν αστέρα στον ισηµερινό του οποίου υπάρχει µια αστρική κηλίδα διάστασης συγκρίσιµης µε την ακτίνα του πλανήτη, R!. Η περίοδος περιστροφής του αστέρα είναι P. Σχεδιάστε πέντε διαγράµµατα καµπυλών φωτός για πέντε διαδοχικές διαβάσεις του πλανήτη (στα παρεχόµενα πρότυπα διαγράµµατα του Φύλλου Απαντήσεων). Βαθµονοµείστε µε µονάδα την εκτός διάβασης λαµπρότητα του αστέρα σε κάθε ένα από τα πέντε διαγράµµατα. Υποθέστε ότι ο πλανήτης δεν περνά µπροστά από την αστρική κηλίδα κατά την πρώτη διάβαση, αλλά περνά κατά τη δεύτερη διάβαση. (T1.1) Μέχρι τώρα στο πρόβληµα έχουµε θεωρήσει ότι αστέρας έχει έναν οµοιογενώς λαµπρό δίσκο. Όµως στην πραγµατικότητα οι δίσκοι των αστέρων παρουσιάζουν αµαύρωση του χείλους. Σχεδιάστε µια καµπύλη φωτός διάβασης όπου ο αστέρας παρουσιάζει το φαινόµενο της αµαύρωσης του χείλους.