Χρήστος Λ. Βοζίκης Φυσικός, ιδάκτωρ Α.Π.Θ. Σηµειώσεις για το Εργαστήριο του µαθήµατος ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ. Τµήµα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τ.Ε.Ι.

Χρήστος Λ. Βοζίκης Φυσικός, ιδάκτωρ Α.Π.Θ. Σηµειώσεις για το Εργαστήριο του µαθήµατος ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ Τµήµα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τ.Ε.Ι. Σερρών Σέρρες 2001

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κανονισµός εργαστηρίου 3 Άσκηση 1 Γενικά για µικροκύµατα. ηµιουργία ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. 5 Άσκηση 2 Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου. 15 Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου. 31 Άσκηση 4 Συµβολή - Στάσιµα κύµατα. 47 Άσκηση 5 ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. 53 Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο 63 Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 71 Άσκηση 8 Περίθλαση από διπλή σχισµή. 81 Άσκηση 9 ιάθλαση. Ολική ανάκλαση. ιάδοση µέσα σε κυµατοδηγό. 91 Άσκηση 10 Doppler Radar. Μεταφορά σήµατος µε την βοήθεια των µικροκυµάτων. 101 Βιβλιογραφία 111

2 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 3 Κανονισµός Εργαστηρίου Η παρακολούθηση των εργαστηριακών ασκήσεων είναι υποχρεωτική. Οι σπουδαστές µπορούν να απουσιάσουν το πολύ σε δύο (2) από τις προβλεπόµενες δέκα (10) εργαστηριακές ασκήσεις. Κατά την είσοδό τους στην αίθουσα του εργαστηρίου επιδεικνύουν την σπουδαστική τους ταυτότητα στους διδάσκοντες και υπογράφουν στο παρουσιολόγιο. Η υπογραφή στο παρουσιολόγιο είναι αποκλιστικά ευθύνη των σπουδαστών. Για κάθε εργαστηριακή άσκηση οι σπουδαστές παραδίδουν µία εργασία. Η εργασία είναι ατοµική και παραδίδεται στους διδάσκοντες την ηµέρα παρακολούθησης της επoµένης εργαστηριακής άσκησης (1 εργάσιµη εβδοµάδα) την στιγµή που υπογράφουν στο παρουσιολόγιο. Η µη εµπρόθεσµη παράδοση της εργασίας έχει ως αποτέλεσµα να θεωρηθεί ο σπουδαστής ως αποτυχών στην συγκεκριµένη εργαστηριακή άσκηση. Οι σπουδαστές που ήταν απόντες σε κάποια εργαστηριακή άσκηση δεν παραδίδουν εργασία στην άσκηση αυτή. Η εργασία, κείµενο και γραφικές παραστάσεις, πρέπει να είναι ΟΠΩΣ ΗΠΟΤΕ γραµµένη σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Χειρόγραφες εργασίες ΕΝ γίνονται δεκτές. Οι εργασίες βαθµολογούνται από τους διδάσκοντες και ο σπουδαστής πρέπει να βαθµολογηθεί µε τουλάχιστον πέντε (5) σε κάθε µία εργασία. Σε περίπτωση που ο σπουδαστής βαθµολογηθεί µε βαθµό µικρότερο του πέντε (5) σε περισσότερες από δύο (2) εργασίες υποχρεούται, µέσα σε αποκλιστική προθεσµία µίας (1) εβδοµάδος, να φέρει νέες, βελτιωµένες, εργασίες, αλλίως θεωρείται ότι απέτυχε στο εργαστήριο. Προσοχή, η αντιγραφή εργασιών από άλλους σπουδαστές απαγορεύεται αυστηρά. Σε περίπτωση που διαπιστωθεί αντιγραφή, οι εργασίες µηδενίζονται (και οι δύο!). Στο τέλος του εξαµήνου οι σπουδαστές εξετάζονται γραπτά σε θέµατα των εργαστηριακών ασκήσεων. Εφόσον στην γραπτή εξέταση λάβουν βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο µε πέντε (5), δεν έχουν απουσιάσει σε περισσότερες από 2 εργαστηριακές ασκήσεις και έχουν παραδόσει τις απαιτούµενες εργασίας οι οποίες έχουν γίνει δεκτές, θεωρείται ότι παρακολούθησαν µε επιτυχία το εργαστήριο. Ο τελικός βαθµός του εργαστηρίου είναι ο µέσος όρος του βαθµού της γραπτής εξέτασης και του µέσου όρου των Ν-2 καλύτερων εργασιών (Ν = αριθµός εργαστηριακών ασκήσεων που πραγµατοποιήθηκαν). ηλαδή αν πραγµατοποιηθούν και οι δέκα εργαστηριακές ασκήσεις λαµβάνονται υπόψιν οι οκτώ καλύτερες εργασίες.

4 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 5 1. Άσκηση 1 Γενικά για µικροκύµατα. ηµιουργία ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων. 1.1 Εισαγωγή Τα µικροκύµατα είναι ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία όπως το ορατό φώς, οι ακτίνες Χ, οι ακτίνες γ κ.λ.π. Οι συχνότητες f των µικροκυµατικών αντινοβολιών είναι περίπου στο διάστηµα από 300 MHz έως 300 GHz. Το µήκος κύµατος λ και η συχνότητα f, µιας ακτινοβολίας όταν διαδίδεται στο κενό, συνδέονται µε την σχέση c = f λ ( 1.1) όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό (300 000 km/sec περίπου). Άρα, οι συχνότητες αυτές αντιστοιχούν (στο κενό) σε µήκη κύµατος λ από 1 m µέχρι 1 mm. Φυσικά, άν η ακτινοβολία διαδίδεται σε κάποιο άλλο µέσο, π.χ. στο νερό, η ταχύτητα είναι µικρότερη και συνεπώς το αντίστοιχο µήκος κύµατος είναι µεγαλύτερο. Στον αέρα η ταχύτητα του φωτός διαφέρει ελάχιστα από την ταχύτητα στο κενό. Έτσι στις περισσότερες περιπτώσεις δεχόµαστε ότι η ταχύτητα του φωτός στον αέρα είναι επίσης 300 000 km/sec ή αλλίως 10 8 m/sec. Οι χαµηλές συχνότητες των µικροκυµάτων πλησιάζουν το φάσµα συχνοτήτων εκποµπής των ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών σταθµών. Την σηµερινή εποχή όλο και περισσότεροι σταθµοί εκπέµπουν το σήµα τους µέσω δορυφόρων στη ζώνη των µικροκυµάτων. Τα κινητά τηλέφωνα επίσης εκπέµπουν (περίπου) στην ζώνη αυτή. Οι υψηλότερες συχνότητες (10 11-10 12 Hz) παρόλο που είναι περίπου 3 τάξεις µεγέθους µικρότερες από το ορατό φως (10 15 Hz) παρουσιάζουν χαρακτηριστικά που µπορούν να συγκριθούν µε αυτά του ορατού φωτός, έτσι ώστε πολλά φαινόµενα που παρατηρούνται στο ορατό φως (π.χ. ανάκλαση, διάθλαση, περίθλαση) να µπορούν να παρατηρηθούν και στα µικροκύµατα. Ορισµένα µάλιστα φαινόµενα που το αποτέλεσµά τους είναι ανάλογο του µήκους κύµατος όπως για παράδειγµα τα στάσιµα κύµατα, παρατηρούνται ευκολότερα στα µικροκύµατα παρά στο ορατό φως. Η πηγή των µικροκυµάτων που θα χρησιµοποιήσουµε στο εργαστήριο είναι ένας ταλαντωτής Gunn που εκπέµπει ακτινοβολία συχνότητας f = 9.4 GHz. Η ισχύς του ταλαντωτή Gunn είναι περίπου 20 mw. Αυτή η ισχύς είναι γενικά µικρή και δεν

6 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ θεωρείται επικίνδυνη αλλά παρόλα αυτά καλό θα είναι να αποφεύγεται η µακρόχρονη έκθεση στην ακτινοβολία. Ενα σηµείο που χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή είναι ότι ΕΝ θα πρέπει ΠΟΤΕ να βλέπουµε απευθείας το σηµείο εκποµπής των µικροκυµάτων. Ο αµφιβληστροειδής χειτώνας του οφθαλµού είναι πολύ ευαίσθητος και η µικροκυµατική ακτινοβολία µπορεί να προκαλέσει σοβαρά προβλήµατα. Επειδή η ισχύς των µικροκυµάτων που θα χρησιµοποιήσουµε στο εργαστήριο είναι χαµηλή για λόγους ασφαλείας, οι απώλειες κατά την µετάδοσή τους στον αέρα είναι µεγάλες. Ένας τρόπος για να λύσουµε το πρόβληµα είναι να αυξήσουµε την λήψη από την κεραία του δέκτη χρησιµοποιώντας ανακλαστήρες, συγκεντρώνοντας περισσότερη ακτινοβολία. Η χρήση των ανακλαστήρων όµως δηµιουργεί ένα άλλο πρόβληµα. Παραµορφώνει την κατανοµή του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Ένας άλλος, πολύ καλύτερος, τρόπος είναι να ενισχύσουµε το σήµα που λαµβάνουµε χρησιµοποιώντας έναν ενισχυτή, έτσι ώστε το σήµα να ανεβεί σε επίπεδο τέτοιο που να είναι πιό εύκολο να µελετηθεί. Σχήµα 1.1 Ο ταλαντωτής Gunn. 1) Κυµατοδηγός, 2) ιάφραγµα µε οπή, 3) Μονάδα διόδου Gunn, 4) Οπίσθιο τοίχωµα 1.2 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Η γνωριµία µε την λειτουργία του ταλαντωτή Gunn και του ανιχνευτή ηλεκτρικού πεδίου (E-field). Πως επιδρά η οπή του διαφράγµατος και η χοάνη ακτινοβολίας στην ισχύ της µικροκυµατικής ακτινοβολίας που εκπέµπεται από τον ταλαντωτή Gunn.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 7 1.3 Ο Ταλαντωτής Gunn Ο ταλαντωτής Gunn χωρίζεται στα µέρη που φαίνονται στο Σχήµα 1.1. Η µονάδα της διόδου Gunn αποτελείται από ένα µικρό τµήµα ενός ορθογώνιου κυµατοδηγού. Περίπου 5 mm από το πίσω τοίχωµα υπάρχει ένα µικρό κεραµικό σώµα το οποίο περιέχει την δίοδο Gunn. Το εµπρόσθιο διαφράγµατα µε την οπή µαζί µε τον κυµατοδηγό της µονάδας Gunn και το οπίσθιο τοίχωµα δηµιουργούν µία κοιλότητα εντός της οποίας δηµιουργούνται στάσιµα κύµατα. Το µήκος κύµατος των στασίµων κυµάτων εξαρτάται από τις διαστάσεις του κοιλώµατος. Με τον ίδιο τρόπο που δηµιουργούνται ταλαντώσεις σε ένα κύκλωµα που αποτελείται από ένα πηνίο και ένα πυκνωτή, ταλαντώσεις του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου δηµιουργούνται µεσα σ αυτή την κοιλότητα συντονισµού. Φυσικά η κοιλότητα δεν είναι από µόνη της ένας ταλαντωτής. Οι ταλαντώσεις που δη- µιουργούνται µέσα σ αυτήν είναι φθίνουσες, δηλαδή το πλάτος τους µειώνεται εκθετικά µε τον χρόνο, όπως στο Σχήµα 1.2. Η εξασθένιση αυτή οφείλεται στην όχι τέλεια αγωγιµότητα των µεταλλικών τοιχω- µάτων, στις απώλειες στα διηλεκτρικά υλικά κ.λ.π. Πλάτος ταλάντωσης 1.0 0.5 0.0-0.5-1.0 0 2 4 6 8 Αν θέλουµε να διατηρήσουµε µία ταλάντωση έτσι ώστε να µην φθίνει µε τον χρόνο και Σχήµα 1.2 Φθίνουσες ταλαντώσεις. να εκπέµπει µικροκυ- µατική ισχύ, πρέπει µε κάποιο τρόπο να τροφοδοτούµε το σύστηµα µε ενέργεια, έτσι ώστε να αναπληρώνεται αυτή που χάνεται. Είναι επίσης σηµαντικό το σύστηµα να τροφοδοτείται µε ενέργεια µε τον ίδιο ρυθµό που αυτό ταλαντώνεται. Χρειαζόµαστε λοιπόν ένα ενεργό στοιχείο που θα αντιλαµβάνεται την ταλάντωση και θα τροφοδοτεί στο σύστηµα την απαιτούµενη ενέργεια. Στην περίπτωσή µας το ενεργό στοιχείο είναι η δίοδος Gunn. O ακριβής τρόπος λειτουργίας του στοιχείου Gunn είναι έξω από τα πλαίσια του εργαστηρίου. Σε γενικές γραµµές, µε την µείωση του ηλεκτρικού πεδίου το ρεύµα που διατρέχει το στοιχείο Gunn αυξάνεται µε αποτέλεσµα την εκποµπή µικροκυµατικής ακτινοβολίας και την ενίσχυση ξανά του ηλεκτρικού πεδίου. e -at T Χρόνος (t)

8 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Σχήµα 1.3 To ηλεκτρικό πεδίο εντός της κοιλότητας του ταλαντωτή Gunn. Οπως αναφέραµε προηγουµένως τα µικροκύµατα σχηµατίζονται µέσα στην κοιλότητα. Αν η κοιλότητα ήταν τελείως κλειστή τότε τα κύµατα θα έµεναν στο εσωτερικό της. Για το σκοπό αυτό το εµπρόσθιο διάφραγµα έχει µια µικρή οπή. Από την οπή αυτή η µικροκυµατική ακτινοβολια εξέρχεται από την κοιλότητα και µέσω ενός κυµατοδηγού τροφοδοτεί τη χοάνη ακτινοβολίας. Φυσικά η οπή πρέπει να είναι σχετικά µικρή έτσι ώστε η κοιλότητα να θεωρείται (για τα µικροκύµατα) πρακτικά κλειστή. Για να ισχύει αυτό η οπή πρέπει να είναι µικρότερη του µήκους κύµατος των µικροκυµάτων. Στο Σχήµα 1.3 φαίνονται το ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο σε διάφορες χρονικές στιγµές καθώς και η καµπύλη της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου µέσα στην κοιλότητα της µονάδας Gunn. Σχήµα 1.4 Η συσκευή εκποµπής µικροκυµάτων. 1) ταλαντωτής Gunn, 2) χοάνη ακτινοβολίας, 3) και 4) ράβδος και βάση στήριξης. Η συχνότητα της µικροκυµατικής ακτινοβολίας που εκπέ- µπεται εξαρτάται από τον όγκο του κοιλώµατος. Όσο µικρότερος είναι ο

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 9 όγκος τόσο µεγαλύτερη ειναι η συχνότητα της εκπεµπόµενης ακτινοβολιας. Φυσικά η συχνότητα µπορεί να µεταβλήθει και µε την προσθήκη ενός διηλεκτρικού εντός της κοιλότητας. Στην απλή περίπτωση του Σχήµατος 1.3 η συχνότητα f δίνεται από την σχέση 1 1 f = Q + a 2 s 2 (1.2) όπου a και s οι διαστάσεις της κοιλότητας και Q µία σταθερά ίση µε Q=15 GHz cm. H πλήρης συσκευή εκποµπής µικροκυµάτων που αποτελείται από 1) τον ταλαντωτή Gunn, 2) την χοάνη ακτινοβολίας, 3) την ράβδο στήριξης του στοιχείων του κυµατοδηγού και 4) την βάση στήριξης, φαίνεται στο Σχήµα 1.4 1.4 Ο Ανιχνευτής Ηλεκτρικού Πεδίου (E-Field) Ο ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου χρησιµοποιείται για την ανίχνευση του ηλεκτρικού (µόνο) πεδίου της µικροκυµατικής ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Αποτελεί τον δέκτη που λαµβάνει και ανορθώνει τα κύµατα που εκπέµπονται από τον ποµπό. Στο Σχήµα 1.5 φαίνονται τα βασικά µέρη του ανιχνευτή. Σχήµα 1.5 O ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου.

10 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Τα µικρά κοµµάτια αγωγού (2) δρούν σαν µιά διπολική κεραία που λαµβάνει τα µικροκύµατα που στέλνει ο ποµπός. Είναι τοποθετηµένα κάθετα και συγκοληµένα µε την δίοδο-ανιχνευτή (1). Ο ανιχνευτής πρέπει να είναι τοποθετηµένος κάθετα στη διεύθυνση εκποµπής των µικροκυµάτων, έτσι ώστε το µετρούµενο πεδίο να διαταράσσεται όσο το δυνατόν λιγότερο. Για τον λόγο αυτό η κάθοδος δεν είναι από µεταλλικούς αγωγούς αλλά από µια µεγάλης ωµικής αντίστασης πλάκας (3) από γραφίτη (άνθρακα). Το ηλεκτρικό πεδίο της µικροκυµατικής ακτινοβολίας επιδρά στα ελεύθερα ηλεκτρόνια του ανιχνευτή αναγκάζοντας τα να κινηθούν. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα την δηµιουργία διαφοράς δυναµικού (τάσης) στα άκρα των δύο αγωγών. Για να µειωθεί το ρεύµα που τυχόν λαµβάνουµε από το µαγνητικό πεδίο (µαγνητική επαγωγή στους αγωγούς) και το οποίο δεν είναι επιθυµητό µιά και θέλουµε ο ανιχνευτής να ανιχνεύει µόνο το ηλεκτρικό πεδίο, οι αγωγοί στο κάτω µέρος του ανιχνευτή (4) έχουν συστραφεί. Ολο το κύκλωµα είναι τοποθετηµένο πάνω σε ένα στρώµα από µονωτικό υλικό που χρησιµοποιείται στα τυπωµένα κυκλώµατα (5) και βρίσκεται εντός διαφανούς πλαστικού προστατευτικού καλύµατος (6). Το ανορθωµένο σήµα λαµβάνεται στην τύπου BNC έξοδο (9) που βρίσκεται στα πλάγια της µεταλλικής βάσης (7). Οι µικρές τρύπες (8) στο κάτω µέρος της βάσης χρησιµοποιούνται ώς σηµεία αναφοράς για τις µετρήσεις. Ο ανιχνευτής ανταποκρίνεται µόνο σε σήµατα στα οποία η διεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου είναι παράλληλη µε το δίπολο. Αν το λαµβανόµενο σήµα είναι πολωµένο, η διευθυνση πόλωσης µπορεί εύκολα να βρεθεί στρέφοντας απλώς τον ανιχνευτή. Στη περίπτωση που ο ανιχνευτής λαµβάνει αρκετά ασθενή σήµατα ( στην πράξη αυτό συµβαίνει σε όλες τις περιπτώσεις εδώ) το σήµα εξόδου είναι ανάλογο µε την ισχύ των µικροκυµάτων (η οποία είναι ανάλογη µε το τετράγωνο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου). 1.5 Τροφοδοτικό του Ταλαντωτή Gunn και Ενισχυτής Εξόδου. Ο ταλαντωτής Gunn χρειάζεται για να λειτουργήσει τροφοδοσία συνεχούς ρεύµατος DC τάσεως περίπου 9V. Η συσκευή του Σχήµατος 1.7 παρέχει στον ταλαντωτή Gunn την απαιτούµενη τάση. Ο ταλαντωτής Gunn συνδέεται στην BNC έξοδο (1). Η τάση του συνεχούς ρεύµατος είναι επίσης δυνατόν να ελέγχεται από µία γεννήτρια σηµάτων που συνδέεται στους ακροδέκτες (2) και (3) και αυτό έχει σαν αποτέλεσµα την διαµόρφωση του πλάτους του σήµατος των µικροκυµάτων, όπως θα δούµε στην Άσκηση 10.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 11 Επειδή τα λαµβανόµενα σήµατα από τον ανιχνευτή ηλεκτρικού πεδίου είναι γενικά πολύ ασθενή, είναι απαραίτητη η ενίσχυσή τους πρίν από την σύνδεση µε το όργανο µέτρησής, δηλαδή το βολτό- µετρο. Ο ενισχυτής (που στην περίπτωσή µας είναι ενσωµατω- µένος στη ίδια συσκευή µε το τροφοδοτικό) δίνει µιά Σχήµα 1.6 Η συσκευή τροφοδοσίας του ταλαντωτή Gunn ενίσχυση σε DC ρεύκαι ενίσχυσης εξόδου. µα περίπου 100 φορές. Ο ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου συνδέεται στην BNC είσοδο (4) και το ενισχυµένο ρεύµα λαµβάνεται στις εξόδους (6), (7) και (8). Οι έξοδοι (6) και (7) χρησιµοποιούνται για την σύνδεση µε το βολτόµετρο, ενώ οι έξοδοι (6) και (8) για σύνδεση µε µονάδα µεγαφώνου (την οποία θα χρησιµοποιήσουµε στην Άσκηση 10). Η συσκευή συνδέεται µε το δίκτυο πόλης µέσω ενός µετασχηµατιστή 220 Volts AC σε 9 Volts DC που συνδέεται στην είσοδο (5). 1.6 Πειραµατική ιαδικασία Στο Σχήµα 1.7 φαίνεται η πλήρης εγκατάσταση των συσκευών του πειράµατος. 1. Συνδέστε το τροφοδοτικό στο ρεύµα. 2. Μετρήστε την τάση U REC του λαµβανόµενου σήµατος κατευθείαν από την έξοδο του ανιχνευτή (χωρίς τον ενισχυτή). 3. Μετρήστε την τάση U REC του λαµβανόµενου σήµατος χρησιµοποιώντας τον ενισχυτή εξόδου. 4. Βγάλτε την χοάνη ακτινοβολίας (χωρίς να µετακινήσετε τίποτα άλλο, ιδιαίτερα την συσκευή Gunn ή τον ανιχνευτή E-field). Μετρήστε την τάση U REC του λαµβανόµενου σήµατος.

12 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Σχήµα 1.7 Η πλήρης εγκατάσταση του βασικού πειράµατος της δηµιουργίας και ανίχνευσης µικροκυµατικής ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. 1) συσκευή εκποµπής µικροκυµάτων Gunn, 2) ανιχνευτής E-field 3) Τροφοδοτικό συσκευής Gunn και 4) ενισχυτής εξόδου. 5. Τοποθετήστε την χοάνη κάθετα (στραµένη κατά 90 ) στην διεύθυνση του κυµατοδηγού. Μετρήστε την τάση U REC του λαµβανόµενου σήµατος. 6. Βγάλτε το διάφραγµα µε την οπή και ξαναµετρήστε την τάση U REC του λαµβανόµενου σήµατος. 1.7 Εργασία Σπουδαστών Εισαγωγή Γράψτε µία µικρή (3-4 γραµµές) περιγραφή του ταλαντωτή Gunn και του ανιχνευτή ηλεκτρικού πεδίου. Για τον ταλαντωτή Gunn υπολογίστε το µήκος κύµατος της εκπεµπόµενης µικροκυµατικής ακτινοβολίας

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 13 Ρόλος του ανιχνευτή Αναφέρεται τις µετρήσεις της τάσης U REC του λαµβανόµενου σήµατος χωρίς και µε την χρήση του ενισχυτή εξόδου (βήµατα 2 και 3) και υπολογίστε την ενίσχυση. Ρόλος της χοάνης ακτινοβολίας Αναφέρεται τις µετρήσεις της τάσης U REC του λαµβανόµενου σήµατος στα βήµατα 3, 4 και 5 και σχολιάστε τον ρόλο της χοάνης ακτινοβολίας µε βάση τις µετρήσεις. Ρόλος του διαφράγµατος Αναφέρεται τη µέτρηση της τάσης U REC του λαµβανόµενου σήµατος χωρίς το διάφραγµα (βήµα 6). Εξηγήστε το αποτέλεσµα.

14 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 15 2. Άσκηση 2 Πόλωση ηλεκτρικού πεδίου 2.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την πόλωση των µικροκυµάτων και την εγκάρσια διάδοσή τους. Η πόλωση των µικροκυµάτων υπακούει στον νόµο του Malus. Το πλέγµα πόλωσης τοποθετείται σε θέση για εγκάρσια πόλωση των κυµάτων. 2.2 Εισαγωγή 2.2.1 Πόλωση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα, όπως είναι τα µικροκύµατα, το ορατό φως, οι ακτίνες Χ κ.λ.π, αποτελούνται όπως έχουµε ήδη αναφέρει από ένα µαγνητικό και ένα ηλεκτρικό πεδίο που ταλαντώνονται. Τα επίπεδα ταλάντωσης των δύο πεδίων είναι πάντοτε κάθετα µεταξύ του και κάθετα προς την διεύθυνση διάδοσης του κύµατος ( σχήµα 2.1 ) Για να µελετήσουµε τα φαινόµενα που συνδέονται µε τη διάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων ( για την περίπτωσή µας των µικροκυµάτων ), αρκεί να µελετήσουµε τη συµπεριφορά του ηλεκτρικού ή του µαγνητικού πεδίου. Προκειµένου να γίνει επιλογή ανάµεσα στα Σχήµα 2.1 Ηλεκτροµαγνητικό κύµα που διαδίδεται κατά την διεύθυνση του άξονα x. Το ηλεκτρικό πεδίο Ε και το µαγνητικό πεδίο Β είναι πάντοτε κάθετα µεταξύ τους. δύο, διαλέγουµε αυθαίρετα το ηλεκτρικό πεδίο. Η επιλογή βέβαια δεν είναι τελείως

16 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ αυθαίρετη, αλλά έχει να κάνει µε την δυσκολία κατασκευής και το κόστος των συσκευής ανίχνευσης των πεδίων. Η πόλωση ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µπορεί να περιγραφεί από τη διεύθυνση του διανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου Ε σε ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Έτσι λοιπόν, σαν φυσικό ή µη πολωµένο φως χαρακτηρίζουµε εκείνο το φως του οποίου το διάνυσµα Ε του ηλεκτρικού πεδίου κινείται τυχαία στο χώρο και δεν εµφανίζει µια συγκεκριµµένη κατευθυντικότητα. εν κινείται δηλαδή πάντα πάνω στη ίδια ευθεία, ούτε διαγράφει για παράδειγµα κυκλική τροχια κ.λ.π. Όταν όµως το πέρας του διανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου Ε διαγράφει µια ορισµένη τροχιά στο χώρο, τότε λέµε ότι το φως είναι πολωµένο. Στη φύση δεν υπάρχει τελείως πολωµένο φως ούτε υπάρχουν διατάξεις που να µετατρέπουν το φυσικό φως σε 100% πολωµένο. Πάντοτε ένα µικρό ποσοστό φυσικού φωτός θα περιέχεται µέσα στη δέσµη του πολωµένου φωτός και έτσι µιλούµε για µερικώς πολωµένο φως. Ε Ε Ε Σχήµα 2.2 ιάφορα είδη πόλωσης. Το ηλεκτρικό πεδίο ταλαντώνεται πάνω στο επίπεδο x,y. Η διεύθυνση διάδοσης του κύµατος είναι ο άξονας z (από το βιβλίο προς τον αναγνώστη) Ανάλογα µε την διεύθυνση ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου διακρίνουµε διάφορα είδη πόλωσης. Έτσι, αν η διεύθυνση του διανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου Ε είναι η ίδια σε κάθε χρονική στιγµή, το πέρας του διανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου Ε δηλαδή ταλαντώνεται πάντα πάνω στην ίδια ευθεία, τότε έχουµε ένα γραµµικά πολωµένο κύµα και η πόλωση ονοµάζεται γραµµική πόλωση. Αν το τέλος του διανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου Ε διαγράφει µια κυκλική τροχιά, τότε έχουµε κυκλική πόλωση. Ενώ, όταν το πέρας του διανύσµατος του ηλεκτρικού πεδίου Ε διαγράφει µια ελλειπτική τροχιά, τότε έχουµε ελλειπτική πόλωση. Η κυκλική και η ελλειπτική πόλωση, ανάλογα µε την φορά περιστροφής του διανύσµατος Ε του ηλεκτρικού πεδίου διακρίνονται σε αριστερόστροφη και δεξιόστροφη.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 17 Η ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία η οποία εκπέµπεται από µία απλή πηγή, όπως για παράδειγµα το φώς που εκπέµπεται κατά την αποδιέγερση ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτοµο, ή το ραδιοφωνικό κύµα που εκπέµπεται από µία απλή διπολική κεραία είναι πάντοτε γραµµικά πολωµένη. Το γραµµικά πολωµένο φως δηλαδή είναι η βασική, η πιο απλή, µορφή φωτός. Στην φύση, όπως προαναφέρθηκε, δεν υπάρχει 100% πολωµένο φως. Αυτό συµβαίνει γιατί το φως που λαµβάνουµε συνήθως από µία πηγή, π.χ. ένα φακό, δεν προέρχεται από την αποδιέγερση ενός και µόνο ατόµου αλλά αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτροµαγνητικών ακτινοβολιών που προέρχονται από διάφορα άτοµα, κάθε µία από τις οποίες έχει την δικιά της διεύθυνση πόλωσης. Έτσι το συνιστάµενο κύµα το οποίο τελικά λαµβάνουµε δεν εµφανίζει καµµία σταθερή διεύθυνση πόλωσης, γιαυτό και το ονοµάζουµε µή πολωµένο ή φυσικό φώς. Το κυκλικά πολωµένο φώς είναι και αυτό µιά σχετικά απλή µορφή πολωµένου φωτός. Προέρχεται από την επιπρόσθεση δύο γραµµικά πολωµένων κυµάτων που έχουν διευθύνσεις πόλωσης κάθετες µεταξύ τους και οι ταλαντώσεις των ηλεκτρικών τους πεδίων έχουν ίδια συχνότητα αλλά παρουσιάζουν διαφορά φάσεις 90 (Σχήµα 2.3). Τα ηλεκτρικά y πεδία των δύο κυµάτων έχουν φυσικά το ίδιο πλάτος. Έτσι άν Ε x και E y τα ηλεκτρικά πεδία των δύο κυµάτων E E y E = E cos( 2πf t) x 0 E x x Ex = E0 cos( 2πf t + 90 ) = E sin( 2πf t) 0 το συνιστάµενο κύµα θα έχει ένταση µε σταθερό µέτρο Σχήµα 2.3 ηµιουργία κυκλικά πολω- µένου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µε την επιπρόσθεση δύο καθέτων γραµ- µικά πολωµένων κυµάτων. 2 2 E= E + E = E x y 0 που όµως θα περιστρέφεται πάνω στην περιφέρεια κύκλου µε συχνότητα f. Ελλειπτικά πολωµένο φως µπορεί να δηµιουργηθεί µε τον ίδιο τρόπο µε το κυκλικά πολωµένο φως µόνο που σ αυτή την περίπτωση τα δύο κάθετα κύµατα δέν έχουν το ίδιο πλάτος. 2.2.2 Πολωτές Μια οπτική διάταξη, η είσοδος της οποίας δέχεται φυσικό φως και εξέρχεται (από αυτή) κάποια µορφή πολωµένου φωτός, λέγεται πολωτής. Ανάλογα µε τη πόλωση που έχει το εξερχόµενο πολωµένο φως διακρίνουµε τους πολωτές σε γραµµικούς πολωτές, κυκλικούς πολωτές, κ.λ.π.

18 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Η χρήση φίλτρων πόλωσης είναι ευρύτερα διαδεδοµένη στο χώρο της οπτικής. Τα µικροκύµατα γενικά συµπεριφέρονται σαν κύµατα ορατού φωτός τα οποία (κύµατα φωτός ή οπτικά κύµατα) διαφέρουν µόνο από τα µικροκύµατα στο ότι έχουν ένα πολύ µικρότερο µήκος κύµατος (µ.κ), λ. Η πόλωση του πεδίου των µικροκυµάτων µπορεί να εκδηλωθεί χρησιµοποιώντας ένα πλέγµα πόλωσης. Σχήµα 2.4 Το πλέγµα πόλωσης που χρησιµοποιούµε στο εργαστήριο (Σχήµα 2.4) έχει σχεδιαστεί σαν ένα τυπωµένο κύκλωµα. Αποτελείται, δηλαδή από µεταλλικούς αγωγούς που είναι κολληµένοι πάνω σε µία βάση για τυπωµένα κυκλώµατα. Μπορεί να περιστραφεί και είναι εφοδιασµένο µε µια γωνιοµετρική κλίµακα. ηλεκτρόνιο αγωγός E E θ E // Μέσα στο πλέγµα πόλωσης τα λεπτά φύλλα του µετάλλου (στο πλέγµα πόλωσης του εργαστηρίου είναι λεπτά φύλλα χαλκού µε επικάλυψη κασσιτέρου), εµποδίζουν την διάδοση ενός ηλεκτρικού πεδίου που είναι παράλληλο µε την διαµήκη διεύθυνση των φύλλων του µετάλλου. Ηλεκτρικό πεδίο Ε µπορεί να περάσει µόνο αν είναι κάθετο στην διεύθυνση των µεταλλικών φύλλων. Σχήµα 2.5 Επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου στα ηλεκτρόνια των αγωγών του πλέγµατος πόλωσης. Για να καταλάβουµε καλύτερα τι συµβαίνει ας υποθέσουµε ότι το πεδίο Ε ήταν µόνο παράλληλο στα µεταλλικά φύλλα. Τότε το ηλεκτρικό πεδίο θα ανάγκαζε τα ελεύθερα ηλεκτρόνια των αγωγών να κινηθούν κατά µήκος των αγωγών λόγω της δύναµης που εξασκεί το πεδίο πάνω στα φορτία (βλέπε και Σχήµα 2.5). Κίνηση όµως των ηλεκτρονίων σηµαίνει ότι τα ηλεκτρόνια απέκτησαν κινητική ενέργεια. Άρα, λοιπόν, τα ηλεκτρόνια απορρόφησαν από κάπου ενέργεια, η οποία µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια. Η µόνη πηγή ενέργειας στον πολωτή είναι το ηλεκτρικό πεδίο του κύµατος. Έτσι, όλη η ενέργεια του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος απορροφάται από τα ελεύθερα ηλεκτρόνια των αγωγών του πολωτή µε αποτέλεσµα το κύµα να µην περνάει από την άλλη πλευρά του πολωτή.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 19 Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν το ηλεκτρικό πεδίο του κύµατος είναι κάθετο στους αγωγούς του πολωτή, το ηλεκτρικό πεδίο και πάλι εξασκεί µιά δύναµη πάνω στα ελεύθερα ηλεκτρόνια τοων αγωγών προσπαθώντας να τα θέσει σε κίνηση. Στην περίπτωση όµως αυτή ο χώρος κίνησης των ελεύθερων ηλεκτρονίων είναι πολύ περιορισµένος, πρακτικά µηδενικός, και έτσι τα ελεύθερα ηλεκτρόνια δεν απορροφούν την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου και το ηλεκτροµαγνητικό κύµα περνά χωρίς σχεδόν καµµία µεταβολή από το πλέγµα των αγωγών του πολωτή. Στην γενική περίπτωση που πάνω στον πολωτή πέσει ηλεκτροµαγνητικό κύµα που το ηλεκτρικό πεδίο του σχηµατίζει γωνία θ µε την διέυθυνση των αγωγών του πολωτή, τότε ο πολωτής απορροφά µόνο την παράλληλη συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου ενλω αφήνει την κάθετη συνιστώσα να περάσει ανέπαφη. Πιό αναλυτικά, αν Ε είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου το προσπίπτωντος κύµατος, αναλύουµε την ένταση του πεδίου σε δύο συνιστώσες (βλέπε Σχήµα 2.5): µία παράλληλη µε την διεύθυνση των αγωγών του πολωτή E// = Ecosθ (2.1) και µία κάθετη στην διεύθυνση των αγωγών του πολωτή E = Esinθ (2.2) Η παράλληλη συνιστώσα Ε // απορροφάται πλήρως, ενώ η κάθετη Ε περνά ανέπαφη. Έτσι το εξερχώµενο κύµα είναι πολωµένο µε διεύθυνση πόλωσης κάθετη στη διεύθυνση των αγωγών και η ένταση της διερχόµενης ακτινοβολιας Ι δ σε σχέση µε την ένταση της προσπίπτωσας Ι δ είναι: Iδ = Iπsin 2 θ (2.3) Συµπερασµατικά λοιπόν µπορούµε να πούµε ότι ένα πλέγµα από παράλληλα τοποθετηµένους αγωγούς πολώνει το ηλεκτρικό πεδίο κάθετα ως προς την διεύθυνση των αγωγών. Όπως προαναφέραµε τα µεταλλικά φύλλα είναι προσαρµοσµένα σε µία βάση για τυπωµένα κυκλώµατα, δηλαδή σε ένα λεπτό διηλεκτρικό υπόστρωµα. Υποθέτουµε ότι σ αυτό το επίπεδο δεν υπάρχει κανένα σηµαντικό φαινόµενο στα µικροκύµατα (π.χ. απορρόφυση, ανάκλαση) λόγω αυτού του διηλεκτρικού. 2.2.3 Ανίχνευση της γραµµικής πόλωσης Για να εξετάσουµε αν µια ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία είναι ή όχι γραµµικά πολωµένη χρησιµοποιούµε ένα γραµµικό πολωτή όπως αυτόν που

20 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ περιγράψαµε πιο πάνω. Τοποθετούµε τον πολωτή µεταξύ της πηγής και του δέκτη (ανιχνευτή) της ακτινοβολίας. Αν περιστρέφοντας τον πολωτή υπάρχει γωνία στην οποία η ένταση της ακτινοβολίας µηδενίζεται ενώ περιστρέφοντας τον ακόµη 90 πέρνουµε το µέγιστο της ακτινοβολίας, τότε µπορούµε να συµπεράνουµε ότι η ακτινοβολία είναι γραµµικά πολωµένη, µε επίπεδο πόλωσης το επίπεδο της διεύθυνσης διάδοσης του πολωτή όταν πέρνουµε την µέγιστη ακτινοβολία. Ο ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου που έχουµε στο εργαστήριο, λόγω της κατασκευής του, µπορεί να χρησιµοποιηθεί επίσης από µόνος του για την ανίχνευση της πόλωσης του ηλεκτρικού πεδίου των µικροκυµάτων του. Ο ανιχνευτής αντιλαµβάνεται το ηλεκτρικό πεδίο µόνο όταν αυτό είναι παράλληλο µε την διεύθυνση της διόδου του (που είναι η διεύθυνση του µακρόστενου άξονα του). Έτσι αν ο ανιχνευτής είναι τοποθετηµένος έτσι ώστε ο άξονας του να είναι παράλληλος µε την διεύθυνση πόλωσης του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος, η έξοδος του ανιχνευτή µας δίνει τη µέγιστη τάση. Αντίθετα, άν ο ανιχνευτής είναι κάθετος στο επίπεδο πόλωσης του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος, η έξοδος του ανιχνευτή θα είναι µηδέν. 2.3 Εργαστηριακός Εξοπλισµός Ο εργαστηριακός εξοπλισµός είναι ο ίδιος µε την Άσκηση 1 (Σχήµα 1.6) µόνο που τώρα θα χρησιµοποιήσουµε και το µεταλλικό πλέγµα που αναφέραµε προηγουµένως. Το πλέγµα τοποθετείται ανάµεσα στην χοάνη ακτινοβολίας του ταλαντωτή Gunn (Σχήµα 1.4) και στον ανιχνευτή του ηλεκτρικού πεδίου (Σχήµα 1.5) 2.4 Πειραµατική ιαδικασία Μέρος Α : Προσδιορισµός της πόλωσης µπροστά από την χοάνη ακτινοβολίας. Χρησιµοποιείστε το στάνταρ πειραµατικό σετ που φαίνεται στο Σχήµα 1.6. Ο ανιχνευτής του πεδίου Ε να τοποθετηθεί (κατά προσέγγιση) 300mm µπροστά από την χοάνη ακτινοβολίας. Γράψτε την τάση του δέκτη U REC-V όταν ο ανιχνευτής του πεδίου Ε είναι τοποθετηµένος κατακόρυφα. Βάλτε τον ανιχνευτή του πεδίου Ε οριζόντια στο πεδίο της χοάνης ακτινοβολίας. Προσπαθείστε να τοποθετήσετε την δίοδο του ανιχνευτή περίπου την ίδια θέση µε προηγουµένως. Γράψτε την τάση του δέκτη U REC-H (οριζόντια θέση του ανιχνευτή του πεδίου Ε).

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 21 Μέρος Β : Μέτρηση της πόλωσης µε τον ανιχνευτή τοποθετηµένο κάθετα. Τοποθετείστε το πλέγµα πόλωσης ανάµεσα στη χοάνη ακτινοβολίας και στον ανιχνευτή του πεδίου Ε. Βεβαιωθείτε ότι η χοάνη ακτινοβολίας, το πλέγµα πόλωσης και ο ανιχνευτής του πεδίου Ε είναι ευθυγραµµισµένα (Σχήµα 2.6). Σχήµα 2.6. Μέτρηση της πόλωσης των µικροκυµάτων µε τον ανιχνευτή τοποθετηµένο κάθετα (εργαστηριακή συσκευή Β µέρους) Μετρήστε την τάση του δέκτη U REC σε συνάρτηση της γωνίας περιστροφής θ, για στροφή µε βήµατα των 10 ο ξεκινώντας από 0 ο ως τις 180 ο. Εδώ, η γωνία θ είναι η γωνία ανάµεσα στα µεταλλικά φύλλα του πολωτή και στη κατακόρυφη διεύθυνση (δηλαδή στην διεύθυνση του εισερχόµενου διανύσµατος του πεδίου Ε). Βάλτε τα αποτελέσµατα στην στήλη 2 του πίνακα 2.1.

22 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1 θ ( o ) U REC ( Volts ) U REC / U MAX sin 4 θ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 Μέρος Γ : Μέτρηση της πόλωσης µε τον ανιχνευτή τοποθετηµένο οριζόντια. Ο πολωτής τοποθετείται ανάµεσα στην κάθετα πολωµένη χοάνη της κεραίας και στον οριζόντια πολωµένο ανιχνευτή του πεδίου Ε (Σχήµα 2.7). Τοποθετήστε τον ανιχνευτή του πεδίου Ε σε οριζόντια θέση. Η θέση του ανιχνευτή του πεδίου Ε να είναι όσο το δυνατό ψηλότερα και η θέση του ποµπού µικροκυµάτων όσο το δυνατό χαµηλότερα! Μετρήστε την τάση του δέκτη U REC σε συνάρτηση της γωνίας περιστροφής θ, για στροφή µε βήµατα των 5 ο ξεκινώντας από 0 ο ως τις 90 ο. Και εδώ, η γωνία θ είναι η γωνία ανάµεσα στα µεταλλικά φύλλα του πολωτή και στη κατακόρυφη διεύθυνση. Βάλτε τα αποτελέσµατα των µετρήσεων στον πίνακα 2.2.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 23 Σχήµα 2.7 Μέτρηση της πόλωσης των µικροκυµάτων µε τον ανιχνευτή τοποθετηµένο οριζόντια (εργαστηριακή συσκευή Γ µέρους). ΠΙΝΑΚΑΣ 2.2 θ ( ο ) U REC ( Volts ) U REC / U MAX sin 2 (2θ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

24 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 2.5 Σηµειώσεις - Παρατηρήσεις Στα περισσότερα βιβλία της οπτικής (όπως και στο βιβλίο θεωρίας της Φυσικής ΙΙ) η εξερχόµενη ένταση µιας γραµµικά πολωµένης ακτινοβολίας που περνά µέσα από ένα γραµµικό πολωτή, στην διεύθυνση διάδοσης του πολωτή, περιγράφεται από το νόµο του Malus που είναι: 2 I( θ) = I 0 cos θ (2.4) Στον τύπο αυτό, η γωνία θ είναι η γωνία µεταξύ της διεύθυνσης του διανύσµατος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου της προσπίπτουσας πολωµένης ακτινοβολίας και της διεύθυνσης διάδοσης του πολωτή. Επίσης θεωρούµε ότι χρησιµοποιούµε έναν µη πολωτικό ανιχνευτή. Στα πειράµατα µας, η γωνία θ που µετράµε, είναι η γωνία µεταξύ της διεύθυνσης του διανύσµατος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου της προσπίπτουσας πολωµένης ακτινοβολίας και της διεύθυνσης των µεταλλικών αγωγών του πολωτή, δηλαδή της διεύθυνσης απορρόφησης του πολωτή που είναι κάθετη στην διεύθυνση διάδοσης του. Έτσι λοιπόν, στην εξίσωση 2.4 η γωνία θ θα αντικατασταθεί από την συµπληρωµατική της γωνία οπότε το συνηµίτονο θα αντικατασταθεί από το ηµίτονο. Επιπλέον ο ανιχνευτής του πεδίου Ε ανιχνεύει µόνο τις συνιστώσες του πεδίου Ε κατά τη διαµήκη διεύθυνση του διπόλου. Έτσι το πεδίο πίσω από τον πολωτή υφίσταται µια ακόµη ανάλυση διανύσµατος, αυτή τη φορά κατά τον κύριο άξονα του ανιχνευτή του πεδίου Ε. Ας δούµε λοιπόν πως µετατρέπεται ο νόµος του Malus σε κάθε µία από τις δύο περιπτώσεις (µία µε τον ανιχνευτή ηλεκτρικού πεδίου τοποθετηµένο κάθετα και µία µε τον ανιχνευτή τοποθετηµένο οριζόντια) που µελετάµε στο εργαστήριο. Και στις δύο περιπτώσεις ο ταλαντωτής Gunn και ο πολωτής βρίσκονται στην ίδια θέση. Ας εξετάσουµε πρώτα τι συµβαίνει µε την ακτινοβολία που εκπέµπει ο ταλαντωτής και περνά από τον πολωτή. Στο Μέρος Α της εργαστηριακής άσκησης, βλέπουµε ότι ο ταλαντωτής εκπέµπει µικροκύµατα τα οποία είναι γραµµικά πολωµένα. Το επίπεδο πόλωσης των εκπεµπόµενων µικροκυµάτων είναι κάθετο. Τα µικροκύµατα αυτά περνούν µέσα από τον πολωτή, το πλέγµα των αγωγών του οποίου σχηµατίζει γωνία θ µε την κάθετο. Όπως ξέρουµε, οι αγωγοί του πολωτή απορροφούν πλήρως την συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου που είναι παράλληλη µε την διεύθυνσή τους. Ετσι λοιπόν (βλέπε και Σχήµα 2.8) ας αναλύσουµε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε 0 της προσπίπτουσας ακτινοβολίας σε δύο συνιστώσες, µία παράλληλη µε τους αγωγούς Ε 1 και µία κάθετη στους αγωγούς Ε π. Οι δύο αυτές συνιστώσες δίνονται από τις σχέσεις E π = E 0 sin θ (2.5)

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 25 Ε 0 Ε 0 Ε π 90 -θ θ Ε 1 θ Σχήµα 2.8 E = E cosθ (2.6) 1 0 Η παράλληλη µε τους αγωγούς συνιστώσα Ε 1 απορροφάται πλήρως ενώ η κάθετη Ε π διέρχεται ανέπαφη. Έτσι µετά τον πολωτή, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου θα είναι µόνο η Ε π. Μέρος Β : Με τον ανιχνευτή τοποθετηµένο κάθετα. Ας εξετάσουµε Ε π Ε π Ε θ πρώτα την περίπτωση που ο ανιχευτής του 90 -θ 90 -θ ηλεκτρικού πεδίου είναι τοποθετηµένος κάθετα. θ Ε 2 Πάνω στον ανινευτή πέφτει η εξερχώµενη από τον πολωτή ακτινοβολία της οποίας το ηλεκτρικό πεδίο Ε π σχηµατίζει µε την Σχήµα 2.9 κάθετο γωνία 90 θ (βλέπε Σχήµα 2.9). Ας αναλύσουµε την προσπίπτουσα Ε π σε δύο συνιστώσες, µία κάθετη Ε θ (παράλληλη

26 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ δηλαδή µε τον άξονα του ανιχνευτή) και µία οριζόντια Ε 2. Οι δύο αυτές συνιστώσες δίνονται από τις σχέσεις : Eθ = Eπsin θ (2.7) E = 2 Eπ cos θ (2.8) Ο ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου, όπως έχουµε ήδη αναφέρει, µπορεί να ανιχνεύσει µόνο την συνιστώσα που είναι παράλληλη µε τον άξονά του. Έτσι ανιχνεύει µόνο την Ε θ. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2.5) και (2.7) πέρνουµε E θ = 0 2 E sin θ (2.9) Γνωρίζουµε επίσης ότι η ένταση της ακτινοβολίας είναι ανάλογη µε το τετράγωνο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Άρα : I θ 4 = I 0 sin θ (2.10) Για τον ανιχνευτή ηλεκτρικού πεδίου και για την ένταση ακτινοβολίας των µικροκυµάτων που χρησιµοποιούµε στο εργαστήριο, η τάση εξόδου του ανιχνευτή είναι ανάλογη της έντασης της ακτινοβολίας. Έτσι η τάση εξόδου U REC (θ) του ανιχνευτή, όταν η γωνία του πολωτή είναι ίση µε θ, θα είναι U ( θ) REC U = 0 sin 4 θ (2.11) Η τάση U 0 είναι η τάση εξόδου του ανιχνευτή άν δεν υπήρχε καµµία απορρόφυση, λόγω πόλωσης, κατά την διαδροµή των µικροκυµάτων από τον ταλαντωτή Gunn µέχρι τον ανιχνευτή. Η τάση αυτή µας είναι όµως άγνωστη. Παρατηρώντας την σχέση (2.11) βλέπουµε ότι πέρνουµε την µέγιστη τάση εξόδου όταν θ=90. Στην περίπτωση αυτή έχουµε U = 4 MAX U = 0 sin 90 U (2.12) 0 ιαιρώντας, λοιπόν, τις σχέσεις (2.11) και (2.12) κατά µέλη βρίσκουµε ότι στην περίπτωση του πειράµατος µε τον ανιχνευτή σε κατακόρυφη θέση, θα έχουµε : U U REC ( θ) = sin MAX 4 θ (2.13) Η σχέση (2.13) αποτελεί την θεωρητική καµπύλη του Μέρους Β του πειράµατος.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 27 Μέρος Γ : Με τον ανιχνευτή τοποθετηµένο οριζόντια. Ε π 90 -θ Ε π θ 90 -θ Ε 3 Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση που ο ανιχευτής του ηλεκτρικού πεδίου είναι τοποθετηµένος οριζοντια. Πάνω στον ανινευτή πέφτει η εξερχώµενη από τον πολωτή ακτινοβολία Ε π που σχηµατίζει µε την Σχήµα 2.10 κάθετο γωνία 90 θ (βλέπε Σχήµα 2.10). Ας αναλύσουµε την προσπίπτουσα Ε π σε δύο συνιστώσες, µία οριζόντια, αυτή την φορά, Ε θ (παράλληλη δηλαδή µε τον άξονα του ανιχνευτή) και µία κάθετη Ε 3. Οι δύο αυτές συνιστώσες δίνονται από τις σχέσεις : E = 3 Eπ sin θ (2.14) Eθ = Eπcos θ (2.15) Ο ανιχνευτής ηλεκτρικού πεδίου, όπως έχουµε ήδη αναφέρει, µπορεί να ανιχνεύσει µόνο την συνιστώσα που είναι παράλληλη µε τον άξονά του. Έτσι ανιχνεύει µόνο την Ε θ. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2.5) και (2.15) πέρνουµε Eθ = E 0 sinθcos θ (2.16) Όπως αναφέραµε προηγουµένως, η ένταση της ακτινοβολίας Ι είναι ανάλογη του τετραγώνου της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Ε και η τάση εξόδου του ανιχνευτή U REC είναι ανάλογη της έντασης της ακτινοβολίας Ι. Αρα : U 2 2 Iθ = I 0 sin θcos θ (2.17) REC ( θ 2 ) U sin θ 2 cos θ (2.18) = 0 Ε θ Η τάση στην εξίσωση (2.18) πέρνει την µέγιστη τιµή της όταν θ=45 (ή καλύτερα, 2 2 όπως καταλήγουµε µετά από λίγες πράξεις, όταν sin θ= cos θ, δηλαδή θ = 45, 135, 215,, γενικά δηλαδή όταν θ = κ 90 + 45, όπου κ = 0, 1, 2, ). Η µέγιστη τάση U MAX θα είναι :

28 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ U = 2 U 2 MAX 0 sin 45 cos 45 = U 2 2 0 2 2 4 = U0 16 U0 = 4 2 2 (2.19) ιαιρώντας λοιπόν τις σχέσεις (2.18) και (2.19) κατα µέλη, βρίσκουµε ότι στην περίπτωση του πειράµατος µε τον ανιχνευτή σε οριζόντια θέση, θα έχουµε : U U REC ( θ) = 4 sin MAX = ( 2 sinθcosθ) = sin 2 θcos θ 2 2 ( 2θ) 2 (2.20) Η σχέση (2.20) αποτελεί την θεωρητική καµπύλη του Μέρους Γ του πειράµατος. 2.6 Εργασία Σπουδαστών. Μέρος Α Γράψτε τις µετρήσεις της τάσης εξόδου. Από τις µετρήσεις τι συµπεραίνεται για την πόλωση της ακτινοβολίας που εκπέµπεται από τον ταλαντωτή Gunn ; Μέρος Β Αντιγράψτε τον Πίνακα 2.1 µε τις µετρήσεις συµπληρώνοντας τις υπόλοιπες στήλες του. Σχεδιάστε µια γραφική παράσταση µε τα πειραµατικά σηµεία (U REC /U MAX σαν συνάρτηση του θ) και την θεωρητική καµπύλη (sin 4 θ). Η θεωρητική καµπύλη να εµφανίζεται µε µια συνεχή γραµµή ενώ τα πειραµατικά δεδοµένα µε σηµεία. Στο Σχήµα 2.11 δίνεται ένα παράδειγµα της γραφικής παράστασης που πρέπει να περιέχει η εργασία. Οι πειραµατικές τιµές του Σχήµατος 2.11 είναι φυσικά τυχαίες.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 29 Μέτρηση πόλωσης µε τον ανιχνευτή σε κατακόρυφη θέση 1.0 Πειραµατικές τιµές Θεωρητική καµπύλη 0.8 U REC / U MAX 0.6 0.4 0.2 0.0 0 30 60 90 120 150 180 θ (σε µοίρες) Σχήµα 2.11 Παράδειγµα γραφικής παράστασης θεωρητικών και πειραµατικών τιµών για το Μέρος Β της εργαστηριακής άσκησης. Μέρος Γ Αντιγράψτε τον Πίνακα 2.2 µε τις µετρήσεις συµπληρώνοντας τις υπόλοιπες στήλες του. Σχεδιάστε µια γραφική παράσταση µε τα πειραµατικά σηµεία (U REC /U MAX σαν συνάρτηση του θ) και την θεωρητική καµπύλη ( sin 2 (2θ) ). Η θεωρητική καµπύλη να εµφανίζεται µε µια συνεχή γραµµή ενώ τα πειραµατικά δεδοµένα µε σηµεία.

30 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά από την χοάνη της κεραίας. 3.2 Εισαγωγή Το ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο το οποίο εκπέµπεται από µία πηγή ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων, όπως για παράδειγµα από την χοάνη ακτινοβολίας του ταλαντωτή Gunn ή από µιά κεραία ενός ποµπού τηλεόρασης ή ραδιοφώνου, παρουσιάζει µία ορισµένη κατανοµή στο χώρο που εξαρτάται κυρίως από το είδος και την γεωµετρία της πηγής. Την κατανοµή αυτή, φυσικά, την επιρεάζουν και διάφοροι εξωτερικοί παράγοντες, όπως θα δούµε στις επώµενες εργαστηριακές ασκήσεις. Τέτοιοι παράγωντες είναι για παράδειγµα ανακλάσεις από διάφορα εµπόδια όπως βουνά, κτίρια, απορρόφηση από διαφορετικά στρώµατα αέρα, σύννεφα κ.λ.π. Στην εργαστηριακή αυτή άσκηση θα αγνοήσουµε τις επιρροές των διαφόρων εξωτερικών παραγόντων πάνω στο πεδίο προσπαθώντας να µειώσουµε όσο το δυνατόν την επίδρασή τους. Σύµφωνα λοιπόν και µε το Σχήµα 3.1, κάθε σηµείο στο χώρο µπροστά από την κεραία µπορεί να περιγραφεί καθορίζοντας τις συντεταγµένες του. Σχήµα 3.1 Στην τεχνολογία της κεραίας, υπάρχει µια σαφής διάκριση ανάµεσα στο κοντινό και στο µακρινό πεδίο.

32 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Το κοντινό πεδίο βρίσκεται στο χώρο που είναι γύρω από την κεραία και γενικά έχει µια περίπλοκη κατανοµή του πεδίου. Σχήµα 3.2 Το ηλεκτρικό πεδίο της εκπεµπόµενης ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας από µία κεραία µισού µήκους κύµατος (κατακόρυφο ευθύγραµµο τµήµα στο κέντρο του σχήµατος). Το µακρινό πεδίο φτάνει σε µεγάλη απόσταση r από την κεραία και η κατανοµή του είναι σχετικά απλή. Στο Σχήµα 3.2 φαίνεται η κατανοµή του ηλεκτρικού πεδίου που εκπέµπεται από µία απλή διπολική κεραία µισού µήκους κύµατος (µια απλή κεραία που το µήκος της είναι το µισό του µήκους κύµατος της ακτινοβολίας που εκπέµπει). Το όριο (σύνορο) ανάµεσα στο κοντινό και το µακρινό πεδίο δεν είναι σαφώς ορισµένο. ηλαδή δεν µπορούµε να πούµε ότι σε µια συγκεκριµένη απόσταση το κοντινό πεδίο σταµατά, σαν να κόβεται µε µαχαίρι, και αρχίζει το µακρινό πεδίο. Προφανώς υπάρχει µια σχετικά οµαλή µετάβαση από το ένα είδος πεδίου στο άλλο. Γενικά όµως µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το µακρινό πεδίο αρχίζει από µία απόσταση r 0 από την πηγή και µετά, η οποία µπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο r 0 2 2 D = H λ (3.1) 0 όπου D H είναι, για την περίπτωση της διπολικής κεραίας, το µήκος της κεραίας. Για τον ταλαντωτή Gunn που χρησιµοποιούµε στο εργαστήριον ως D H µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την µεγαλύτερη διάσταση της χοάνης ακτινοβολίας (βλέπε Σχήµα 3.1). Για το µακρινό πεδίο της κεραίας ισχύουν τα ακόλουθα: Το ηλεκτρικό πεδίο και το µαγνητικό πεδίο (που αποτελούν τις συνιστώσες του µακρινού πεδίου) είναι πάντοτε εφαπτόµενα στην επιφάνεια σφαίρας σταθερής ακτίνας r. ηλαδή το πεδίο δεν έχει συνιστώσες κατά µήκος της διεύθυνσης r. Η πυκνότητα ισχύος S εξαρτάται από την απόσταση r και ελατώνεται σύµφωνα µε τη σχέση:

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 33 Σχήµα 3.3 S 1 r 2 (3.2) Η σχέση (3.2) είναι αποτέλεσµα διασποράς του κύµατος σε µεγαλύτερο χώρο και όχι µείωσης της ακτινοβολίας λόγω απώλειας ενέργειας από κάποια αιτία π.χ. απορρόφυσης. Η θεωρητική απόδειξη όµως της σχέσης (3.2) την οποία θα αποδείξουµε πειραµατικά στην συνέχεια θα δοθεί στο µάθηµα της θεωρίας. 3.3 Εργαστηριακός εξοπλισµός Τα υλικά που θα συναρµολογηθούν για την πραγµατοποίηση του πειράµατος είναι αυτά της Ασκησης 1. Επιπλέον, χρειάζεται ο ακόλουθος εξοπλισµός: 3 φύλλα από millimetre χαρτί µεγέθους Α4 ή µία µετρική ταινία µήκους τουλάχιστον 1 µέτρου. Προτείνεται επίσης η χρήση του σετ απορρόφησης µικροκυµάτων. 3.4 Πειραµατική διαδικασία Το πείραµα αυτό πρέπει να γίνει χωρίς ανακλάσεις. Ο άξονας της χοάνης της κεραίας δεν θα πρέπει να απέχει από την πλησιέστερη κάθετη επιφάνεια απόσταση µικρότερη από 4-5 m. Αν αυτό δεν είναι δυνατό συνιστάται η επιφάνεια να είναι χαµηλής ανάκλασης. Μια τέτοια επιφάνεια µπορεί να πραγµατοποιηθεί χρησιµοποιώντας το σετ απορρόφησης µικροκυµάτων.

34 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ Μέρος Α : Εγκάρσια κατανοµή του ηλεκτρικού πεδίου. Τοποθετείστε τα 3 φύλλα από millimetre χαρτί µαζί (το ένα πίσω από το άλλο) σχηµατίζοντας έτσι µια ταινία που έχει µήκος περίπου 80 cm, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.2 ή χρησιµοποιήστε µια µετρική ταινία µήκους τουλάχιστον 1 µέτρου. Μετρήστε την κατανοµή του πεδίου κατά την εγκάρσια (Χ) διεύθυνση. Καλύψτε το διάστηµα από Χ = 40 cm ως Χ = +40 cm, µε βήµατα των 4 cm. Για Χ=0 cm, δηλαδή ακριβώς µπροστά από την χοάνη, η απόσταση ανάµεσα στη χοάνη της κεραίας και τον ανιχνευτή του πεδίου Ε είναι Ζ=10 cm. Γράψτε τα αποτελέσµατά σας στον πίνακα 3.1. Επαναλάβατε τη µέτρηση για απόσταση ανάµεσα στη χοάνη της κεραίας και στον ανιχνευτή του πεδίου Ε (για Χ=0 cm) Ζ=20 cm. Z = 10 cm Πίνακας 3.1 Z = 20 cm Χ (cm) U REC (V) U REC / U MAX U REC (V) U REC / U MAX -40-36 -32-28 -24-20 -16-12 -8-4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 35 Μέρος Β : ιαµήκης κατανοµή του ηλεκτρικού πεδίου. Μετρείστε την µεγαλύτερη διάσταση της χοάνης ακτινοβολίας D H έτσι ώστε να µπορέσετε να υπολογίσετε από την σχέση (3.1) την απόσταση από την οποία αρχίζει το µακρινό πεδίο. Μετρείστε την κατανοµή του πεδίου κατά την διαµήκη διεύθυνση Ζ. Καλύψτε το διάστηµα από Ζ =10 cm εως 110 cm, µε βήµατα των 4 cm. Γράψτε τα αποτελέσµατά σας στον πίνακα 3.2. Πίνακας 3.2 Z (cm) U REC (V) Z (cm) U REC (V) 10 62 14 66 18 70 22 74 26 78 30 82 34 86 38 90 42 94 46 98 50 102 54 106 58 110 3.5 Σηµειώσεις - Παρατηρήσεις Όταν µελετάµε πειραµατικά ένα φαινόµενο, ένα από τα πιο συµµαντικά βήµατα της ανάλυσης των αποτελεσµάτων του πειράµατος είναι, αρχικά, η παρουσίαση των µετρήσεων σε µία (κατάλληλη) γραφική παράσταση και στη συνέχεια, µε την βοήθεια της γραφικής παράστασης, η προσπάθεια εύρεσης µιας σχέσης (εξίσωσης) η οποία να συνδέει τις µετρήσεις. Έστω, λοιπόν, ότι από το πείραµα έχουµε πάρει ένα σετ από Ν µετρήσεις (x i, y i ) µε i = 1, N όπου x η ανεξάρτητη µεταβλητή, την οποία µεταβάλουµε εµείς στο πείραµα και y η εξαρτηµένη µεταβλητή, την τιµή τις οποίας µετράµε. Για παράδειγµα ας πούµε ότι µετράµε την ένταση του ρεύµατος Ι που διαρρέει µία αντίσταση σε σχέση µε την τάση U που εφαρµόζουµε στα άκρα της. Συνδέουµε λοιπόν την αντίσταση σε µία πηγή της οποίας µπορούµε να µεταβάλουµε την τάση. Για κάθε τιµή της τάσης U i που

36 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ εφαρµόζουµε µετράµε την αντίστοιχη τιµή της έντασης I i. Η τάση U λοιπόν που εφαρµόζουµε αποτελεί την ανεξάρτητη µεταβλητή x και η ένταση που µετράµε την εξαρτηµένη µεταβλητή y. Αν επαναλάβουµε το πείραµα για Ν διαφορετικές τιµές της τάσης έχουµε ένα σετ από Ν ζευγάρια τιµών (U i, I i ) µε i = 1, N. Σαν πρώτο βήµα λοιπόν τοποθετούµε τα ζευγάρια των µετρήσεων µας σε ένα διάγραµµα x-y ή όπως αλλίως λέγεται σε γραµµικό διάγραµµα. Κάθε ζευγάρι (x i, y i ) σχεδιάζεται µε ένα σηµείο στο διάγραµµα µας. Από την κατανοµή που παρουσιάζουν τα σηµεία πέρνουµε µια πρώτη ιδέα για την σχέση που συνδέει τα x και y. Σε ορισµένες περιπτώσεις η σχέση των µεταβλητών x και y είναι γραµµική, δηλαδή είναι της µορφής y = α x+ β (3.3) όπου α και β δύο αριθµητικές σταθερές. Μια τέτοια περίπτωση είναι το παραπάνω παράδειγµα µε την τάση και την ένταση του ρεύµατος πάνω σε µία αντίσταση. Στην περίπτωση αυτή όπως γνωρίζουµε I = 1 R U. I (A) 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Σχήµα 3.4 U (V) Η σταθερές δηλαδή α και β της ευθείας είναι α = 1/R και β = 0. Φυσικά, λόγω σφαλµάτων στις µετρήσεις 1, τα πειραµατικά µας σηµεία δεν πρόκειται να είναι όλα ακριβώς πάνω στην ίδια ευθεία. Τα σηµεία θα παρουσιάζουν κάποια διασπορά, αλλά η γραµµική σχέση θα είναι εµφανής, όπως για παράδειγµα στο Σχήµα 3.4. Στην περίπτωση λοιπόν που διαπιστώσουµε από την γραφική παράσταση ότι τα πειραµατικά µας σηµεία συνδέονται µε µία γραµµική σχέση, ππορούµε να βρούµε την σχέση αυτή χρησιµοποιώντας την µέθοδο της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων (linear least square fit) ή, όπως αλλιώς ονοµάζεται, την µέθοδο της 1 Για περισσότερες πληροφορίες πάνω στα σφάλµατα των µετρήσεων µπορείτε να ανατρέξετε στο εργαστηριακό βιβλίο του µαθήµατος Φυσική Ι του καθηγητή κ. Χασάπη.

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 37 γραµµικής παλινδρόµισης (linear regression). Στο σηµείο αυτό δεν θα αναφέρουµε περισσότερα για την µέθοδο αυτή µια και αναφερόµαστε αναλυτικά παρακάτω. Υπάρχει όµως περίπτωση η σχέση που συνδέει τα x και y να µην είναι τόσο απλή όπως η γραµµική αλλά για παράδειγµα να είναι εκθετική, δηλαδή της µορφής ή να εξαρτάται από κάποια δύναµη του x, δηλαδή α x y= Ce = Cexp( α x) (3.4) α y= Cx (3.5) όπου C και α αριθµητικές σταθερές. Στις περιπτώσεις αυτές, τα σηµεία στην γραφική παράσταση δεν θα εµφανίζονται σαν να βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία αλλά θα σχηµατίζουν µια καµπύλη. Μερικές φορές είναι εύκολο να καταλάβουµε µε το µάτι. από το γραµµικό διάγραµµα x-y, τι είδους καµπύλη σχηµατίζουν τα σηµεία µας. Αν είναι δηλαδή της µορφής (3.4) ή τις (3.5). Αν όµως αυτό δεν είναι δυνατόν, είτε λόγω διασποράς των σηµείων ή µικρής καµπυλότητας ή για κάποιο άλλο λόγω, είτε, τέλος λόγω µικρής εµπειρίας µας σε τέτοια θέµατα, τότε θα πρέπει να ακολουθήσουµε κάποιο πιο σίγουρο τρόπο από την εξέταση µε το µάτι της καµπύλης στο γραµµικό διάγραµµα. Ας υποθέσουµε αρχικά ότι η σχέση που συνδέει τα x i και y i είναι της εκθετικής µορφής (3.4). Από την σχέση λοιπόν (3.4) βλέπουµε ότι α x y= Ce α x ln( y) = ln( Ce ) α x = ln( C) + ln( e ) = ln( C) + α x (3.6) Βλέπουµε λοιπόν ότι άν βάλουµε ln(c) = β και ln(y) = Y η σχέση (3.6) γίνεται Y= α x+ β (3.7) ηλαδή παρατηρούµε ότι ενώ τα x και y δεν συνδέονται µε µία απλή γραµµική σχέση, εντούτοις υπάρχει µία γραµµική σχέση ανάµεσα στο x και στο Υ = ln(y). Υπενθυµίζεται ότι µε ln συµβολίζουµε τον φυσικό λογάριθµο ενός αριθµού δηλαδή τον λογάριθµο µε βάση το e = 2.718281828459. Ο δεκαδικός λογάριθµος συµβολίζεται µε log. Αν αντί του φυσικού λογαρίθµου χρησιµοποιούσαµε τον δεκαδικό τότε η σχέση (3.7) θα γινόταν Y= log( e) α x+ β = 0. 434344 α x + β

38 ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 5 1 4 0 3-1 Q 2 ln(q) -2-3 1-4 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t -5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t Σχήµα 3.5 Η εξίσωση εκφόρτισης ενός πυκνωτή σε γραµµικά διαγράµµατα : t-q (αριστερά) και t - ln(q) (δεξιά) Q 1 0.1 0.01 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Σχήµα 3.6 Η εξίσωση εκφόρτισης ενός πυκνωτή σε λογαριθµικό-γραµµικό διάγραµµα. t Ετσι λοιπόν αν κάνουµε µία γραφική παράσταση µε σηµεία τα ζευγάρια ( x i, Υ i = ln(y i ) ) θα δούµε ότι αυτά σχηµατίζουν µία ευθεία. Το ίδιο φυσικά θα βλέπαµε άν σχεδιάζαµε τα ζεύγη (x i, y i ) αλλά ο άξονας τον y ήταν βαθµολογηµένος σε λογαριθµική κλίµακα. Ενα τέτοιο διάγραµµα ονοµάζεται λογαριθµικό-γραµµικό διάγραµµα (log-linear plot). Στο Σχήµα 3.5 παρουσιάζεται η εκφόρτιση ενός πυκνωτή (που εξαρτάται εκθετικά απο τον χρόνο) σε γραµµικό διάγραµµα t-q, και σε γραµµικό διάγραµµα t - ln(q), ενώ στο Σχήµα 3.6 σε λογαριθµικόγραµµικό διάγραµµα t - Q. Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση που τα x i και y i συνδέονται µε µια σχέση της µορφής της εξίσωσεις (3.5). Αν λογαριθµίσουµε και πάλι τα δύο µέρη της εξίσωσης (3.5) θα έχουµε : y= Cx α α log( y) = log( Cx ) α = log( C) + log( x ) = log( C) + αlog( x) (3.8) Καταλήγουµε δηλαδή και πάλι σε µία γραµµική εξίσωση. Αυτό γίνεται πιο φανερό αν αντικαταστήσουµε µε β = log(c), X = log(x) και Υ = log(y). Ετσι η εξίσωση (3.8) γράφεται:

ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 39 Y = α X+ β (3.9) Αν λοιπόν αντί των x i και y i στην γραφική µας παράσταση χρησιµοποιήσουµε τα log(x i ) και log(y i ) τότε τα πειραµατικά µας σηµεία θα σχηµατίζουν µία ευθεία γραµµή Θα υπάρχει φυσικά µια µικρή ή µεγάλη διασπορά γύρω από την ευθεία, ανάλογα µε το σφάλµα που έχουµε στις µετρήσεις µας. Το ίδιο φυσικά αποτέλεσµα θα είχαµε αν, αντί να µετατρέψουµε τα αποτελέσµατά µας σε log(x i ) και log(y i ) και να τα σχεδιάσουµε σε γραµµική κλίµακα, σχεδιάζαµε τα x i και y i χρησιµοποιώντας λογαριθµικές κλίµακες και για τους δύο άξονες. Ενα τέτοιο διάγραµµα λέγεται λογαριθµικό διάγραµµα (log-log plot). Προσδιορίζοντας την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή τα α και β της σχέσης (3.9), µπορούµε να βρούµε την σχέση που συνδέει µεταξύ τους τις πειραµατικές µας µετρήσεις, x i και y i, δηλαδή τις σταθερές α και C της σχέσης (3.5). Συνοψιζοντας λοιπόν όσα αναφέραµε, όταν έχουµε ένα σετ από Ν µετρήσεις (x i, y i ) αρχικά σχεδιάζουµε τα x i και y i σε γραµµική κλίµακα για να πάρουµε µια ιδέα της µορφής της σχέσης που τα συνδέει. Αν τα σηµεία σχηµατίζουν ευθεία υπολογίζουµε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. Αν αντίθετα σχηµατίζουν µία καµπύλη τότε δοκιµάζουµε να τα σχεδιάσουµε σε log-linear ή/και σε log-log διαγράµµατα µήπως σχηµατίζουν ευθεία σε αυτές τις κλίµακες. Στην περίπτωση που είµαστε τυχεροί (!) και σχηµατίζουν µία ευθεία τότε υπολογίζουµε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων στην κλίµακα αυτή. Σε αντίθετη περίπτωση γενικά προσπαθούµε να δούµε µήπως σχηµατίζουν κάποια άλλη γνωστή καµπύλη π.χ. ηµιτονοειδή, κωδωνοειδή (Gaussian) κ.λ.π. είτε απευθείας ή µέσω κάποιου µετασχηµατισµού. Η ανάλυση όµως γι αυτές τις κάπως πιο δύσκολες περιπτώσεις ξεφεύγει από τα πλαίσια του παρόντως µαθήµατος. Για να γίνει καλύτερα κατανοητή η όλη διαδικασία ας δούµε ένα παράδειγµα. Έστω λοιπόν ότι έχουµε ένα κύκλωµα στο οποίο δίνουµε ρεύµα έντασης Ι την οποία µπορούµε να µεταβάλουµε και σαν έξοδο πέρνουµε τάση V την οποία µετράµε µε ένα βολτόµετρο. Έστω λοιπόν ότι έχουµε κάνει τις παρακάτω µετρήσεις Πίνακας 3.3 Ι (Α) V (volts) Ι (Α) V (volts) Ι (Α) V (volts) 1.5 0.00304 6.5 0.27500 11.5 1.45000 2.0 0.00766 7.0 0.34900 12.0 1.71000 2.5 0.01730 7.5 0.45100 12.5 1.87000 3.0 0.02710 8.0 0.47000 13.0 2.05000 3.5 0.04840 8.5 0.57500 13.5 2.20000 4.0 0.05820 9.0 0.71100 14.0 2.47000 4.5 0.10500 9.5 0.83200 14.5 2.81000 5.0 0.12000 10.0 1.10000 15.0 3.07000 5.5 0.18300 10.5 1.17000 15.5 3.42000 6.0 0.21200 11.0 1.38000 16.0 4.27000