Κυκλική κίνηση Στη Φυσική, κυκλική κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία η τροχιά ενός κινητού ταυτίζεται με την περιφέρεια ενός κύκλου. Η πιο απλή από τις κυκλικές κινήσεις είναι η ομαλή, κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κινητού παραμένει σταθερή. Παραδείγματα κυκλικής κίνησης αποτελούν οι δείκτες στο ρολόι και η κίνηση του ανεμιστήρα. Η ομαλή κυκλική κίνηση εντάσσεται σε μία γενικότερη κατηγορία κινήσεων που λέγονται περιοδικές. Λόγω της κυκλικής συμμετρίας του φαινομένου, η χρήση πολικών συντεταγμένων ενδείκνυται λόγω της απλότητας που λαμβάνουν οι εξισώσεις που περιγράφουν το πρόβλημα. Βασικές έννοιες Γωνιακή μετατόπιση Στη γενική περίπτωση της κυκλικής κίνησης, η ακτίνα θέσης του κινητού είναι σταθερή και ίση (κατά μέτρο) με την ακτίνα της τροχιάς. Η θέση του σώματος προσδιορίζεται πλήρως από μια γωνία και μία ακτίνα αναφοράς. Το σώμα βρίσκεται στη θέση που υποβάλλει η ακτίνα αναφοράς μία δεδομένη στιγμή t=0. Η γωνία αυτή ονομάζεται γωνιακή μετατόπιση. Σε πολικές συντεταγμένες, η γωνιακή μετατόπιση συμβολίζεται με το πεζό ελληνικό γράμμα θ και η φορά της προσδιορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Γωνιακή ταχύτητα Η γωνιακή ταχύτητα, ω, ενός κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση ορίζεται ως ο ρυθμός με τον οποίο η ακτίνα θέσης του κινητού σαρώνει γωνιακές αποστάσεις. Η γωνιακή ταχύτητα περιγράφεται πολλές φορές με ένα διάνυσμα με διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του κύκλου και φορά που προσδιορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Επίσημη μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας είναι το 1s -1, αν και είθισται να χρησιμοποιείται το 1rad/s καθώς με τον τρόπο αυτό γίνεται πιο κατανοητή η φυσική σημασία του εν λόγω μεγέθους. Θέση Αν επιλεγεί ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς με κέντρο το κέντρο του κύκλου στην αρχή των αξόνων έτσι ώστε το επίπεδο x-y να ταυτίζεται με το επίπεδο του κύκλου, τότε οι συντεταγμένες (x,y,z) της θέσης του σώματος κάθε χρονική στιγμή περιγράφονται από τις εξισώσεις: x=rcosθ, y=rsinθ, z=0 όπου R η ακτίνα του κύκλου και θ η γωνιακή μετατόπιση. Ισοδύναμα, οι συντεταγμένες (x,y) του κινητού στο επίπεδο της τροχιάς ικανοποιούν πάντοτε την εξίσωση x 2 +y 2 =R 2 1
Περίοδος Ο χρόνος που χρειάζεται το κινητό για να εκτελέσει μία πλήρη περιστροφή ονομάζεται περίοδος της κυκλικής κίνησης και συμβολίζεται συνήθως με το κεφαλαίο T. Μονάδα της περιόδου στο S.I. είναι τo δευτερόλεπτο (s). Ισχύει: T=2π/ω Συχνότητα Το πηλίκο του αριθμού των περιφορών που εκτελεί ένα κινητό προς τον χρόνο στον οποίο εκτελούνται ονομάζεται συχνότητα της κυκλικής κίνησης και συμβολίζεται συνήθως με το πεζό f. Μονάδα της συχνότητας στο S.I. είναι το 1s -1, το οποίο είθισται να συμβολίζεται ως Hz (1Hz=1s -1 ). Ισχύει δε η σχέση: f=1/t=ω/2π Εφαπτομενική ταχύτητα Αν ένα σώμα εκτελεί κυκλική κίνηση, η ταχύτητά του είναι εφαπτόμενη στην τροχιά, δηλαδή τον κύκλο. Η εφαπτομενική ταχύτητα, v ε, ενός κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση ισούται κατά μέτρο με το μήκος τόξου που διαγράφει η τροχιά του σώματος σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα προς το ίδιο χρονικό διάστημα και έχει φορά εφαπτομενική προς την περιφέρεια του κύκλου που διαγράφει κατά την κίνησή του. Μονάδα μέτρησης της εφαπτομενικής ταχύτητας στο S.I. είναι το 1m/s. Αν τοποθετήσουμε την αρχή των αξόνων στο κέντρο του κύκλου, τότε η ταχύτητα δίνεται διανυσματικά από την εξίσωση: v=ωr θ Ενώ κατά μέτρο ισχύει: v=ωr=2πr/t Επιτάχυνση 2
Η επιτάχυνση είναι μία διανυσματική ποσότητα που ανήκει στο επίπεδο της τροχιάς, ώστε εν γένει να αναλύεται δύο συνιστώσες μία ακτινική και μία εφαπτομενική στην τροχιά. Αν και η ακριβής διανυσματική μορφή που έχει η επιτάχυνση εξαρτάται από το αν η κίνηση είναι ομαλή (σταθερή γωνιακή ταχύτητα) ή ομαλά επιταχυνόμενη (χρονικά μεταβαλλόμενη γωνιακή ταχύτητα), το γεγονός ότι το διάνυσμα της ταχύτητας του κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση αλλάζει φορά κατά την πάροδο του χρόνου σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει κάποια επιτάχυνση. Μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης στο S.I. είναι το 1m/s 2. Η επιτάχυνση ισούται με: a= ω 2 R r+αr θ Η ακτινική συνιστώσα ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση (a κ ) και η εφαπτομενική επιτρόχια επιτάχυνση (a ε ) Οι δύο συνιστώσες είναι κάθετες. Το μέτρο των δύο συνιστωσών είναι δε: aκ=v 2 /R aϵ=αr όπου α η γωνιακή επιτάχυνση, η οποία ισούται με το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας (α=dω/dt). Η παραπάνω σχέση αποδεικνύει (βάσει του 2 ου νόμου του Νεύτωνα F=ma) ότι για να διατηρηθεί μία κυκλική κίνηση είναι απαραίτητο η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα να έχει μία συγκεκριμένη κεντρομόλο συνιστώσα, η οποία ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη. Αν η επιτρόχια επιτάχυνση είναι μηδέν, τότε το μέτρο της ταχύτητας δεν αλλάζει και η κίνηση είναι ομαλή κυκλική κίνηση. Σχέση γωνιακών και γραμμικών μεγεθών Τα γραμμικά μεγέθη είναι ανάλογα με τα αντίστοιχα γωνιακά με συντελεστή αναλογίας την ακτίνα R. Πιο συγκεκριμένα: s=θr v=ωr aϵ=αr όπου θ η γωνιακή μετατόπιση, s το μήκος τόξου που διανύει το κινητό, v η ταχύτητα, ω η γωνιακή ταχύτητα και a ε η επιτρόχια επιτάχυνση. Στροφορμή Η στροφορμή, L, του σώματος ισούται με: L=r p=r (mv)=mωr z όπου m η μάζα του σώματος και r το διάνυσμα θέσης του. Η στροφορμή έχει λοιπόν διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς και φορά που εξαρτάται από το πρόσημο της γωνιακής ταχύτητας του κινητού θετική αν η κίνηση γίνεται δεξιόστροφα (ω>0) και 3
αρνητική αν η κίνηση γίνεται αριστερόστροφα (ω<0). Ο όρος «θετική» ή «αριστερή» φορά ορίζεται με βάση τον άξονα z, ο οποίος σύμφωνα με την καθιερωμένη σύμβαση θεωρείται κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς. Ομαλή κυκλική κίνηση Η ομαλή κυκλική κίνηση είναι μία από τις πιο σημαντικές περιοδικές κινήσεις. Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό, ενώ η κατεύθυνσή της μεταβάλλεται συνεχώς. Η γραμμική ταχύτητα είναι ανάλογη με το τόξο που διαγράφει το κινητό κατά την κίνηση του προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα που απαιτήθηκε. Σε χρονικό διάστημα μίας περιόδου, η μετατόπιση επί του κύκλου ισούται με την περιφέρειά του, δηλαδή 2πR. Απλή αρμονική ταλάντωση Η απλή αρμονική ταλάντωση συνδέεται με την ομαλή κυκλική κίνηση. Στην περιγραφή της θέσης όπως αναφέρεται πιο πάνω στη σχετική θεματική ενότητα οι δύο πρώτες συνιστώσες είναι εξισώσεις απλών αρμονικών ταλαντώσεων, αν η κίνηση είναι ομαλή. Η γωνιακή ταχύτητα της ομαλής κυκλικής κίνησης ισούται με την φασική συχνότητα της απλής αρμόνικής ταλάντωσης αν έχουν την ίδια συχνότητα. Για την ακρίβεια, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ισχύει ότι ω=2πf όπου ω η φασική ταχύτητα ή γωνιακή συχνότητα, και f η συχνότητα. Για αυτό το λόγο η ποσότητα ω είτε αναπαριστά γωνιακή ταχύτητα είτε αναπαριστά φασική συχνότητα ονομάζεται κυκλική συχνότητα. Δυνάμεις στην ομαλή κυκλική κίνηση Για έναν αδρανειακό παρατηρητή που βρίσκεται στο κέντρο της τροχιάς ενός σώματος που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, η μοναδική δύναμη που δέχεται το σώμα αυτό είναι η κεντρομόλος δύναμη. Η κεντρομόλος δύναμη είναι αυτή που καθορίζει την κυκλική τροχιά του σώματος. Σε πραγματικά φυσικά προβλήματα, η κεντρομόλος δύναμη μπορεί να είναι είτε δύναμη εξ' επαφής (π.χ. η τάση ενός νήματος στην άκρη του οποίου είναι δεμένο ένα αντικείμενο το οποίο περιστρέφουμε με σταθερή ταχύτητα), είτε εξ' αποστάσεως (π.χ. η δύναμη της βαρύτητας που ασκεί ένας πλανήτης σε έναν δορυφόρο του που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση). Αν κανείς επιχειρήσει να αναγκάσει ένα σώμα (π.χ. ένα μπαλάκι του τένις δεμένο στην άκρη ενός νήματος) να εκτελέσει κυκλική κίνηση θα ανακαλύψει ότι όσο ταχύτερα εκείνος το περιστρέφει, τόσο αυξάνεται η αντίσταση που προβάλλει το σώμα αυτό (στο συγκεκριμένο παράδειγμα που αναφέρθηκε προηγουμένως η τάση του νήματος στο 4
οποίο είναι δεμένο το μπαλάκι του τένις). Αυτό οφείλεται στο ότι το περιστρεφόμενο σώμα αντιστέκεται στην επίδραση της κεντρομόλου δύναμης λόγω της αδράνειάς του. Από την άποψη του συστήματος αναφοράς που περιστρέφεται μαζί με το κινούμενο σώμα τα πράγματα αλλάζουν διότι το σύστημα αυτό δεν είναι αδρανειακό, συνεπώς δεν μπορούν να εφαρμοσθούν οι νόμοι του Νεύτωνα. Για να εφαρμόσει κανείς τον 2 ο νόμο του Νεύτωνα σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, πρέπει να συμπεριλάβει ψευδοδυνάμεις οι οποίες αναφέρονται πάντα σε σχέση με κάποιο αντίστοιχο αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Εν προκειμένω, αν θέλει κανείς να μελετήσει το πρόβλημα της ομαλής κυκλικής κίνησης από τη σκοπιά του συστήματος αναφοράς που περιστρέφεται μαζί με το κινούμενο σώμα, πρέπει κατά την εφαρμογή του 2 ου νόμου του Νεύτωνα να συμπεριλάβει την φυγόκεντρο δύναμη. Η φυγόκεντρος δύναμη, F φ, σε πολικές συντεταγμένες με αρχή των αξόνων που ταυτίζεται με το κέντρο της κυκλικής τροχιάς δίνεται διανυσματικά από την εξίσωση: Fφ=mω 2 R r= Fκ, όπου F κ η κεντρομόλος δύναμη. Σύμφωνα με τον περιστρεφόμενο παρατηρητή ο ίδιος βρίσκεται σε ακινησία, συνεπώς το σύνολο των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Άρα στο παράδειγμα της περιστρεφόμενης μπάλας του τένις, ένας παρατηρητής που κινείται σε κυκλική τροχιά μαζί με τη μπάλα θεωρεί ότι βρίσκεται ακίνητος διότι η τάση του νήματος εξισορροπεί τη φυγόκεντρο δύναμη. Φυγοκέντριση Η φυγοκέντριση είναι μία διαδικασία διαχωρισμού μιγμάτων κατά την οποία γίνεται χρήση της φυγοκέντρου δυνάμεως. Κατά την φυγοκέντριση τα βαρέα στοιχεία του μίγματος πηγαίνουν στο πυθμένα του σωληναρίου όπου αυτό βρίσκεται ενώ τα ελαφρύτερα παραμένουν πάνω από τον πυθμένα. Τα στοιχεία που πηγαίνουν στο πυθμένα αποτελούν το ίζημα και τα στοιχεία που βρίσκονται στην επιφάνεια αποτελούν το υπερκείμενο. Συνήθως το υπερκείμενο μεταγγίζεται σε χωριστό σωληνάριο οπότε ίζημα και υπερκείμενο διαχωρίζονται πλήρως. Χρήση της φυγοκέντρισης Η φυγοκέντριση χρησιμοποιείται τόσο στα χημικά όσο και βιομηχανικά εργαστήρια. Π.χ. στα κλινικά εργαστήρια χρησιμοποιείται για το διαχωρισμό του πλάσματος από τα κύτταρα του αίματος και στο διαχωρισμό των έμμορφων στοιχείων των ούρων από το νερό των ούρων. Στη βιομηχανία χρησιμοποιείται π.χ. για τον εμπλουτισμό ουρανίου. Σε αυτή αξιοποιείται η μικρή διαφορά μάζας μεταξύ των ατόμων του U-238 και U-235 στο φυσικό αέριο εξαφθοριούχο ουράνιο. Μονάδες μέτρησης Το ποσοστό της φυγοκέντρισης ορίζεται από την γωνιακή ταχύτητα που μετράται σε στροφές ανά λεπτό (Reps per minute ή RPM) και την επιτάχυνση εκφραζόμενη σε g. Ο συντελεστής μετατροπής μεταξύ RPM και g εξαρτάται από την ακτίνα του δείγματος στο στροφείο της φυγόκεντρου. 5
Αρχή λειτουργίας Η φυγοκέντριση αποτελεί μια από τις πιο χρήσιμες πρακτικά εφαρμογές της κυκλικής κινήσεως. Από την φυσική είναι γνωστό ότι τα στερεά σωματίδια αιωρούμενα μέσα σε υγρό με μικρή πυκνότητα έχουν πτωτική τάση κάτω από την επίδραση της βαρύτητας. Η ταχύτητα με την οποία πέφτουν τελικά εξαρτάται από μια σειρά παραγόντων, όπως είναι το σχήμα και το μέγεθος των αιωρούμενων σωματιδίων και η διαφορά πυκνότητας της στερεάς φάσεω. Σύμφωνα με τον νόμο του Stokes, όσο μεγαλώνει η δύναμη της τεχνητά δημιουργούμενης βαρύτητας τόσο και πιο γρήγορα διαχωρίζεται η στερεά φάση από την υγρή. Η δύναμη που απαιτείται για να μπορέσει να διατηρηθεί ένα σωματίδιο σε κυκλική κίνηση σταθερής ακτίνας και ταχύτητας είναι ανάλογη με τη μάζα του. Στις φυγόκεντρες συσκευές επιτυγχάνονται δυνάμεις μεγαλύτερες από τη βαρύτητα. Η δύναμη f πάνω σε ένα σωματίδιο δίνεται από τη σχέση: f = m a Όπου: Η φυγόκεντρος Econospin m = η μάζα του σωματιδίου a = η επιτάχυνσή του Η φυγόκεντρη επιτάχυνση a δίνεται από τη σχέση: a = u 2 /r Όπου: U = η επιτρόχια ή εφαπτόμενη ταχύτητα r = η ακτίνα κύκλου στην περιφέρεια του οποίου κινείται το σωματίδιο Η επιτρόχια ή εφαπτόμενη ταχύτητα κάποιου σημείου που κινείται σε απόσταση r από το κέντρο δίνεται από την σχέση: u = ω r = π n r Όπου: n = ο αριθμός των στροφών ανά λεπτό ω = η γωνιακή ταχύτητα Η δύναμη πάνω στο περιστρεφόμενο σημείο δίνεται από την σχέση: f = m(2πrn) 2 /r = 4mπ 2 rn 2 ή f = mr 4π 2 / T 2 όπου Τ η περίοδος περιστροφής Η δύναμη της βαρύτητας από την εξίσωση F = m g. Κατά συνέπεια ο λόγος Q της φυγόκεντρης δύναμης f προς την δύναμη βαρύτητας F πάνω στο σωματίδιο, δίνεται από την εξίσωση: 6
Q = f/f1 = 4mπ 2 rn 2 /m g = 4π 2 rn/g Αν στην προηγούμενη σχέση αντικατασταθεί το π και το g με τις τιμές τους (3,14 και 9,80 x 100 cm/ sec 2 αντίστοιχα) και συγχρόνως μετατραπούν οι περιστροφές σε στροφές ανά λεπτό προκύπτει η σχέση: Q = 4 (3,14) 2 r(rpm) 2 /9,80 10 2 60 2 = 1,118 10-5 r (rpm) 2 Όπου το r εκφράζεται σε cm. Τελικά προκύπτει η προσεγγιστική σχέση: Q περίπου ίσο με 10-5 r (rpm) 2 7