1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

Transcript

1 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις πλάτους R, περιόδου T=2π/ω και οι δύο ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης π/2 δηλ. όταν Χ=0, y = ± R X = ± R, y =0 To μέτρο της ταχύτητας του κινητού παραμένει σταθερό U = ω R Όπου ω η γωνιακή ταχύτητα και R η ακτίνα του κύκλου. Αφού ω = 2π U = 2π R T T To κινητό διαγράφει διάστημα ίσο με την περιφέρεια του κύκλου σε μια περίοδο. Σε κάθε χρονική στιγμή t, το διάνυσμα της ταχύτητας U εφάπτεται του κύκλου, στο σημείο του που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t:

2 2 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Δηλ. σχηματίζει γωνιά 90 ο με το διάνυσμα της μετατόπισης από το κέντρο του κύκλου. Επομένως, καθώς το κινητό περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του κύκλου το διάνυσμα της ταχύτητας του αλλάζει αφού η διεύθυνση του διανύσματος αλλάζει. Επομένως, το κινητό επιταχύνεται αλλά στην ομαλή κυκλική κίνηση η επιτάχυνση είναι τέτοια, έτσι ώστε μόνο η διεύθυνση της ταχύτητας να αλλάζει και όχι το μέτρο της. Πώς συμβαίνει αυτό; Εάν το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό, τότε και η κινητική ενέργεια του κινητού πρέπει να παραμένει σταθερή. Επομένως, η δύναμη που προκαλεί την αλλαγή στη διεύθυνση της ταχύτητας πρέπει για κάθε χρονική στιγμή να είναι κάθετη στο διάνυσμα της ταχύτητας. Κι αυτό γιατί εάν η δύναμη που ασκείται σε κάποιο σώμα είναι κάθετη στην κίνηση του, τότε αυτή δεν προκαλεί μεταβολή στην κινητική ενέργεια του σώματος. Επομένως, η διεύθυνση της δύναμης που ασκείται στο κινητό (και της επιτάχυνσης), είναι παράλληλη με την ακτίνα του κύκλου που ενώνει το κέντρο του κύκλου με τη θέση του κινητού πάνω στον κύκλο. Έτσι, η διεύθυνση της δύναμης είναι κάθετη στην ταχύτητα του κινητού. Προφανώς για να κινείται το κινητό πάνω στον κύκλο, η φορά της δύναμης πρέπει να είναι προς το κέντρο του κύκλου. Η δύναμη αυτή ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη και η αντίστοιχη επιτάχυνση, κεντρομόλος επιτάχυνση.

3 3 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Καθώς το κινητό περιστρέφεται, τόσο η διεύθυνση της ταχύτητας όσο και η διεύθυνση της δύναμης αλλάζουν, αλλά η γωνιά που σχηματίζουν είναι πάντα 90 ο. Τώρα παρατηρούμε αμέσως ότι η δύναμη είναι αντιπαράλληλη της μετατόπισης του κινητού από το κέντρο του κύκλου. Μέτρο της κεντρομόλου δύναμης Όπως είπαμε οι προβολές της κίνησης στους άξονες των Χ και Υ είναι αρμονικές ταλαντώσεις. Χ = R συν (ωt) Y = R ημ (ωt) = - R συν (ωt + π/2) Αμέσως γράφουμε τις συνιστώσες της ταχύτητας (Ux, Uy) στους άξονες των x και y. Ux = - ωr ημωt Uy = ωrσυνωt εφαρμόζουμε τους τύπους για μια γραμμική αρμονική ταλάντωση. Το μέτρο της ταχύτητας δίδεται από U 2 = Ux 2 + Uy 2 = ω 2 R 2 (ημ 2 (ωt) + συν 2 (ωt)) = ω 2 R 2 => U = ωr Για τις συνιστώσες της επιτάχυνσης έχουμε: αx = - ω 2 R συνωt αy = - ω 2 R ημωt Επομένως, το μέτρο της επιτάχυνσης δίδεται από: α 2 = αx 2 + αy 2 = ω 4 R 2 (συν 2 ωt + ημ 2 ωt) => α 2 = ω 4 R 2 => α = ω 2 R α = ω 2 R => α κεν = U 2 U = ω R R

4 4 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 2 ος Νόμος του Νεύτωνα F κεν = m α κεν = m U 2 R Η κεντρομόλος δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς και ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας του κινητού. Παράδειγμα: Με πόση γωνιακή ταχύτητα ω πρέπει το σφαιρίδιο μάζας m 1 να περιστρέφεται πάνω σε κάποιο λείο οριζόντιο τραπέζι διαγράφοντας κύκλο ακτίνας r, έτσι ώστε το δεύτερο σώμα μάζας m 2 να ισορροπεί; Αφού το δεύτερο σώμα ισορροπεί, η τάση του νήματος ισούται με το βάρος του. Τ = m 2 g Tώρα η τάση του νήματος είναι και η κεντρομόλος δύναμη υπεύθυνη για την κυκλική κίνηση του σώματος (1) => Τ = m 1 ω 2 r => m 2 g = m 1 ω 2 r => m 2 g = ω m 1 r Με ποιά ταχύτητα πρέπει να κινείται κάποιος δορυφόρος έτσι ώστε να διαγράφει κυκλική τροχιά από μικρό ύψος h από την επιφάνεια της ΓΗΣ;

5 5 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Το κέντρο της τροχιάς είναι το κέντρο της γης. Ακτίνα τροχιάς r = R + h όπου R η ακτίνα της γης F κεν = Β = mg = m U 2 => U = g (R + h) R+h Για μικρά ύψη σε σχέση με την ακτίνα της Γης g = 9,8 m/s 2 Έστω h = 100 miles = 1/40 Rγης => U = (9.8)m/s 2 (6.4 Χ 10 6 m X 10 5 m) = 8 X 10 3 m/s = 8 Km/s h