ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει να αυξήσει την ταχύτητα k του αυτοκινήτου του. Έτσι, σε 1 ανεβάζει την ταχύτητά του στα 45, σε η k k ταχύτητά του φτάνει τα 54, σε 3 το ταχύµετρό του δείχνει 63 και σε 4 η k ταχύτητά του έχει φτάσει τα 7. Πόσο αυξάνει την ταχύτητά του κάθε δευτερόλεπτο; Μπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε ότι κάθε δευτερόλεπτο αυξάνει την ταχύτητά k του κατά 9. Αυτό το ρυθµό αύξησης της ταχύτητας ενός κινητού τον ονοµάζουµε k επιτάχυνση. Λέµε «Η επιτάχυνση του αυτοκινήτου είναι 9 ανά» ή «Η k επιτάχυνση του αυτοκινήτου είναι 9.» Αυτή η µονάδα µέτρησης της επιτάχυνσης k δείχνει περίπλοκη, γι αυτό είναι καλύτερο να µετατρέψουµε τα σε. k 9 9 = =,5. 36 Έτσι λοιπόν µπορούµε να πούµε ότι η επιτάχυνση του αυτοκινήτου είναι,5 ή κάνοντας το σύνθετο κλάσµα απλό µπορούµε ακόµα πιο απλά να πούµε ότι η επιτάχυνση του αυτοκινήτου είναι,5. Συνοψίζοντας: Ονοµάζουµε επιτάχυνση ενός κινητού το ρυθµό µε τον οποίο αυξάνει την ταχύτητά του δηλαδή το πόσο αυξάνει την ταχύτητά του κάθε δευτερόλεπτο. k Μονάδες επιτάχυνσης είναι τα ή καλύτερα τα. Όταν λέµε ότι η επιτάχυνση ενός κινητού είναι 1 εννοούµε ότι αυξάνει την ταχύτητά του κατά 1 κάθε. Πώς όµως µπορούµε να υπολογίσουµε την επιτάχυνση ενός κινητού αν µας δίνεται µόνο η αρχική και η τελική ταχύτητα καθώς και ο χρόνος µέσα στον οποίο η ταχύτητα έχει µεταβληθεί; 7

Ας δούµε ξανά το παραπάνω παράδειγµα. k k Ένα αυτοκίνητο αυξάνει την ταχύτητά του από 36 σε 7 µέσα σε 4. Πόση είναι η επιτάχυνση του αυτοκινήτου; Είναι προφανές ότι κατ αρχήν θα πρέπει να βρούµε την µεταβολή της ταχύτητάς του και στη συνέχεια να τη διαιρέσουµε µε το χρόνο µέσα στον οποίο πραγµατοποιήθηκε. Έτσι έχουµε: k k k 7-36 = 36 k Είναι καλύτερο να µετατρέψουµε τα σε 36 1 k 4 36. = = 1 36 =,5 Η επιτάχυνση λοιπόν του κινητού είναι,5 Άρα: µεταβολήταχύτητας Επιτάχυνση = ή µε σύµβολα: αντίστοιχοςχρόνος v v α = τελ αρχ ( α: επιτάχυνση από το αγγλικό acceleration ) t Πολλές φορές η επιτάχυνση του κινητού είναι σταθερή για κάποιο χρονικό διάστηµα, δηλαδή ο ρυθµός µε τον οποίο αυξάνεται η ταχύτητα παραµένει σταθερός όπως συµβαίνει και µε το προηγούµενο παράδειγµα (κάθε δευτερόλεπτο η ταχύτητα µεγαλώνει κατά,5 ). Τότε λέµε την κίνηση αυτή ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη. ηλαδή: Λέµε ότι ένα σώµα κινείται µε ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση αν κινείται σε ευθύγραµµη τροχιά και η ταχύτητά του αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό, δηλαδή η επιτάχυνσή του είναι σταθερή. Τι συµβαίνει αν η αρχική ταχύτητα ισούται µε µηδέν; Ας προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε την επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου όταν (όπως συνήθως αναφέρεται στα προβλήµατα ) ξεκινά από την ηρεµία, δηλαδή η αρχική του ταχύτητα ισούται µε µηδέν. 8

Ένα αυτοκίνητο είναι σταµατηµένο στα φανάρια. Ανάβει το πράσινο και ξεκινά, k αυξάνει την ταχύτητά του µε σταθερό ρυθµό και φτάνει την ταχύτητα των 18 µέσα σε 1. Πόση είναι η επιτάχυνσή του; Είναι προφανές ότι εφόσον η αρχική του ταχύτητα είναι ίση µε µηδέν, η µεταβολή k της ταχύτητάς του ισούται µε 18. ηλαδή σε αυτή την περίπτωση v τελ v αρχ = v τελ Άρα για να υπολογίσουµε την επιτάχυνση θα διαιρέσουµε µόνο την τελική ταχύτητα µε το χρόνο που χρόνο που χρειάστηκε για να αποκτηθεί. k k 18 1,8 Έτσι έχουµε α = = = 3 1 Συνοψίζοντας: Αν ένα σώµα κινείται σε ευθύγραµµη τροχιά και αυξάνει µε σταθερό ρυθµό την ταχύτητά του ξεκινώντας από την ηρεµία, υπολογίζουµε την επιτάχυνσή του διαιρώντας την τελική του ταχύτητα µε τον χρόνο µέσα στον οποίο την απέκτησε. vτελ a = t Μερικές ασκήσεις k 1. Ένα αυτοκίνητο αποκτά σε ορισµένο χρονικό διάστηµα ταχύτητα 8, ενώ ένα άλλο, µέσα στο ίδιο χρονικό διάστηµα αυξάνει την ταχύτητά του από k k 6 σε 1. Ποιο από τα δύο είχε µεγαλύτερη επιτάχυνση; ικαιολογήστε την απάντησή σας.. Συγκρίνοντας τις επιδόσεις τριών αυτοκινήτων διαβάζουµεπως µπορούν να k «πιάσουν» τα 1,το πρώτο σε 8, το δεύτερο σε 1 και το τρίτο σε 1. Ποιο από τα τρία µπορεί να αποκτήσει µεγαλύτερη επιτάχυνση; ικαιολογήστε την απάντησή σας. 3. Ένα αεροπλάνο βρίσκεται σταµατηµένο στην αρχή του διαδρόµου απογείωσης. Όταν παίρνει εντολή από τον πύργο ελέγχου επιταχύνει και αποκτά ταχύτητα 8 µέσα σε. Πόση ήταν η επιτάχυνση του αεροπλάνου; k 4. Ένα αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα 36. Θέλοντας να προσπεράσει προπορευόµενο όχηµα επιταχύνει και µέσα σε 5 αυξάνει την ταχύτητά του k στα 18.Πόση ήταν η επιτάχυνση του αυτοκινήτου; ( Την απάντησή σας και σε ) 9

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΡΧΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Για να διευκολύνουµε τη µελέτη µας θα εξετάσουµε στη συνέχεια λίγο πιο αναλυτικά την κίνηση ενός σώµατος όταν ενώ στην αρχή είναι ακίνητο αυξάνει την ταχύτητά του µε σταθερό ρυθµό. Ας θεωρήσουµε λοιπόν, ένα αεροπλάνο που είναι σταµατηµένο στο διάδροµο απογείωσης. Παίρνει σήµα από τον πύργο ελέγχου και ξεκινά αυξάνοντας µε σταθερό ρυθµό την ταχύτητά του. Η επιτάχυνσή του είναι 4, δηλαδή, κάθε η ταχύτητά του µεγαλώνει κατά 4. Πόση ταχύτητα θα αποκτήσει µέσα σε ; Στο τέλος του 1 ου δευτερολέπτου η ταχύτητά του θα είναι 4, σε δευτερόλεπτα θα έχει γίνει 8, σε 3 θα έχει φτάσει τα 1 κ.λ.π. Έτσι σε η ταχύτητά του θα είναι 8. ηλαδή, για να υπολογίσουµε την τελική του ταχύτητα µέσα σε ορισµένο χρόνο, πολλαπλασιάζουµε την επιτάχυνση µε τον χρόνο αυτό. Ταχύτητα = επιτάχυνση χρόνος ή µε σύµβολα v = a t Είναι προφανές ότι η ταχύτητα που θα αποκτήσει ένα επιταχυνόµενο όχηµα είναι τόσο µεγαλύτερη όσο µεγαλώνει ο χρόνος κίνησης του οχήµατος. Η ταχύτητα δηλαδή σε αυτή την περίπτωση δεν παραµένει σταθερή (όπως στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση) αλλά είναι ανάλογη µε το χρόνο κίνησης. Ας προσπαθήσουµε να αποδώσουµε γραφικά αυτό το είδος κίνησης. Γι αυτό ας θεωρήσουµε το προηγούµενο παράδειγµα του αεροπλάνου που έχει επιτάχυνση 4. Ας κατασκευάσουµε ένα πίνακα µε διάφορες χρονικές στιγµές και τις αντίστοιχες τιµές που παίρνει η επιτάχυνση ( εν ξεχνάµε ότι στην οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση ο ρυθµός αύξησης της ταχύτητας, δηλαδή η επιτάχυνση παραµένει σταθερή ) t () a ( ) 1 4 4 3 4 4 4 5 4 Ας αποδώσουµε γραφικά την επιτάχυνση σε σχέση µε το χρόνο. 1

a (/ ) 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1,5 1 3 4 t () Το ότι η επιτάχυνση παριστάνεται µε µία γραµµή παράλληλη στον άξονα του χρόνου µας δείχνει ότι η επιτάχυνση δεν µεταβάλλεται. Ας κατασκευάσουµε στη συνέχεια ένα πίνακα τιµών µε διάφορες χρονικές στιγµές και τις αντίστοιχες τιµές που παίρνει η ταχύτητα. t () v ( ) 1 4 8 3 1 4 16 Ας αποδώσουµε γραφικά την ταχύτητα σε σχέση µε το χρόνο. 5 v ( / ) 15 1 5 1 3 4 5 t ( ) Παρατηρούµε ότι όσο περνά ο χρόνος τόσο µεγαλώνει η ταχύτητα δηλαδή η ταχύτητα είναι ανάλογη µε το χρόνο. Τι συµβαίνει όµως µε τη µετατόπιση ενός σώµατος που κινείται µε ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση; Η απάντηση δεν είναι εύκολη και προφανής. Μπορούµε όµως να σκεφτούµε ότι εφόσον η ταχύτητα του κινητού όσο περνά ο χρόνος µεγαλώνει, η απόσταση που θα διανύει το κινητό κατά τη διάρκεια ενός δευτερολέπτου θα µεγαλώνει όσο µεγαλώνει και η ταχύτητά του. Έτσι µετρήθηκε 11

ότι το αεροπλάνο του παραδείγµατός µας που στην αρχή είναι ακίνητο και στη συνέχεια κινείται µε επιτάχυνση 4, το 1 ο δευτερόλεπτο της κίνησής του διανύει, στο τέλος του ου δευτερολέπτου απέχει από την αφετηρία 8, σε 3 έχει διανύσει 18,σε 4 έχει διανύσει 3 κ.λ.π. Κατασκευάζουµε ένα πίνακα µε αυτές τις τιµές χρόνου και µετατόπισης: t ( ) x ( ) 1 8 3 18 4 3 5 5 Φτιάχνουµε τη γραφική παράσταση µετατόπισης-χρόνου µε τις τιµές αυτές: 6 5 4 x ( ) 3 1 1 3 4 5 t ( ) Αποδεικνύεται (δε θα ασχοληθούµε φέτος πώς) ότι για να υπολογίσουµε τη µετατόπιση σε αυτό το είδος κίνησης πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τον τύπο 1 x = a t Ας κάνουµε ένα απλό παράδειγµα: Πόση απόσταση θα έχει διανύσει το αεροπλάνο του παραδείγµατός µας που στην αρχή είναι ακίνητο και στη συνέχεια κινείται µε σταθερή επιτάχυνση 4 µέσα σε ; εν έχουµε περά να εφαρµόσουµε τον παραπάνω τύπο: x 1 1 = 4 () = 4 4 = 8 Άρα το αεροπλάνο θα διανύσει 8 µέσα σε. 1

Μερικές ασκήσεις 1. Ένας µοτοσυκλετιστής ξεκινά από την ηρεµία και κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε σταθερή επιτάχυνση. Να υπολογίσετε την ταχύτητά του µετά από 1 καθώς και την απόσταση που θα έχει διανύσει µέσα στο χρόνο αυτό.. Μας δίνεται το διπλανό διάγραµµα για ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο. Τι είδος κίνησης κάνει το αυτοκίνητο τα πρώτα 3 της κίνησής του; Τι είδος κίνησης κάνει στη συνέχεια; Πόση είναι η ταχύτητά του όταν περάσουν από την ώρα που ξεκίνησε; v ( / ) 1 1 8 6 4 1 3 4 5 t ( ) Πόση ταχύτητα έχει στο 4 ο δευτερόλεπτο της κίνησής του; Πόση είναι η επιτάχυνσή του στα πρώτα 3 της κίνησής του; Πόση στη συνέχεια Πόση απόσταση θα έχει διανύσει στα 3 από τότε που ξεκίνησε; Πόση απόσταση θα διανύσει στα επόµενα ; Πόση απόσταση θα έχει διανύσει συνολικά στα 5; Η ταχύτητα ενός κινητού µπορεί και να µειώνεται Όταν ένα αυτοκίνητο συναντήσει ένα εµπόδιο, ο οδηγός πατά φρένο για να µειώσει την ταχύτητά του ή και για να σταµατήσει. Έχουµε πάλι µεταβολή στην ταχύτητα, όµως αυτή τη φορά δεν πρόκειται για αύξηση ταχύτητας αλλά για µείωσή της. Σε αυτή την περίπτωση µιλάµε για επιβράδυνση. Θα ονοµάζουµε επιβράδυνση ενός κινητού τον ρυθµό µε τον οποίο µειώνει την ταχύτητά του, δηλαδή το πόσο µειώνει την ταχύτητά του κάθε δευτερόλεπτο. Την επιβράδυνση θα την υπολογίζουµε µε τον ίδιο τρόπο που υπολογίζουµε και την επιτάχυνση, δηλαδή θα αφαιρούµε την αρχική ταχύτητα από την τελική για να βρούµε την µεταβολή της ταχύτητας και θα την διαιρούµε µε τον χρόνο µέσα στον οποίο πραγµατοποιήθηκε. vτελ vαρχ a = t Επειδή όµως η τελική ταχύτητα είναι σε αυτή την περίπτωση µικρότερη από την αρχική το τελικό αποτέλεσµα θα έχει αρνητική τιµή. Γι αυτό την επιβράδυνση την ονοµάζουµε και αρνητική επιτάχυνση. Παράδειγµα Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα, όταν ο οδηγός διακρίνει σε µια απόσταση ένα άλλο αυτοκίνητο που κινείται αργά. Για να µη συγκρουστεί, πατά λίγο 13

φρένο και µειώνει την ταχύτητά του στα 1 µέσα σε 5. Πόση είναι η επιβράδυνση του αυτοκινήτου; Όπως είπαµε και παραπάνω θα αφαιρέσουµε την αρχική ταχύτητα από την τελική και θα διαιρέσουµε µε τον χρόνο µέσα στον οποίο έγινε αυτή η µεταβολή. v v 1 1 τελ αρχ a = = = = t 5 5 Λέµε ότι η επιτάχυνσή του είναι ή ότι η επιβράδυνσή του είναι, δηλαδή η ταχύτητά του µειώνεται κατά κάθε. Αποδώστε γραφικά την επιβράδυνση σε σχέση µε το χρόνο για το αυτοκίνητο του παραπάνω παραδείγµατος από τη στιγµή που ο οδηγός πατά φρένο µέχρι να σταµατήσει. Μερικές ασκήσεις Μας δίνεται το παρακάτω διάγραµµα ταχύτητας χρόνου για ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύγραµµη τροχιά 5 v (/) 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 t ( ) Περιγράψτε την κίνηση του αυτοκινήτου. Πότε έχει επιτάχυνση; Πόση; Πότε έχει επιβράδυνση; Πόση; Πότε η ταχύτητά του είναι σταθερή; Ενα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 18 k. Βλέπει ένα εµπόδιο και πατά φρένο οπότε επιβραδύνεται και η επιβράδυνσή του είναι 3. Σε πόσο χρόνο θα σταµατήσει; 14