Εξετάσεις Θ.Ε. ΠΛΗ22 Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ Περίοδος (01/07/2012)

Εξετάσεις Θ.Ε. ΠΛΗ Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ Περίοδος 0-0 (0/07/0) Ονοματεπώνυμο:...Υπογραφή... Να απαντηθούν και τα 5 θέματα Διάρκεια Διαγωνίσματος:.5 h ΘΕΜΑ Έστω τα σήματα x( t) sin(00 t) cos(400 t) και y( t) cos(400 t). Το σήμα z( t) x( t) y( t) μεταδίδεται είτε με αναλογική διαμόρφωση SSB, ή AM, ή ψηφιακά με PCM. Στο PCM ο εφαρμοζόμενος ρυθμός δειγματοληψίας είναι διπλάσιος του ρυθμού Nyquist και για την κβάντιση πλάτους χρησιμοποιούνται 6 ζώνες ίδιου εύρους. α) Είναι το σήμα z(t) περιοδικό; Αν ναι, να υπολογίσετε την περίοδό του. β) Σχεδιάστε το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους και υπολογίστε το εύρος ζώνης και την συχνότητα Nyquist του z(t). γ) Υπολογίστε το απαιτούμενο εύρος ζώνης με τους τρεις διαφορετικούς τρόπους μετάδοσης (SSB, AM, PCM). δ) Yποθέστε ότι το εύρος ζώνης του PCM σήματος θα πρέπει να μειωθεί στα.4khz. Προκειμένου να γίνει αυτό, θα πρέπει το σήμα z(t) να διέλθει από ιδανικό φίλτρο και στη συνέχεια η έξοδος του φίλτρου να δειγματιστεί με κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας. Να υπολογιστεί το πεδίο των τιμών της συχνότητας αποκοπής του φίλτρου και να υπολογιστεί η νέα συχνότητα δειγματοληψίας. Απάντηση α) z( t) sin(00 t) cos(400 t) cos(400 t) cos(400 t) = sin(00 t) sin(600 t) cos(800 t) cos(000 t) Για την περιοδικότητα θα πρέπει να υπάρχουν m, m, m, m 4 T m T m T m T m T 4 4 T m m m m4 600 800 900 500 T 00 β) έτσι ώστε Στο z(t) περιέχονται οι συχνότητες (500, 600, 800, 900) Hz

Z() 0.5-900 -800-600 -500 0 500 600 800 900 (Hz) Το εύρος ζώνης είναι B z = 900 Hz επομένως ο ρυθμός Nyquist είναι 800 δείγματα/sec. γ) Για το SSB απαιτείται εύρος ζώνης W SSB =B z =900 Hz, και για το AM απαιτείται εύρος ζώνης W AM =B z =800 Hz. Για το PCM ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι διπλάσιος του Nyquist, δηλαδή Fs=*800 δείγματα/sec = 600 δείγματα/sec. Συνεπώς το εύρος ζώνης θα είναι W PCM = Fs log6 *600* 4 700 Hz. δ) Το εύρος ζώνης του PCM σήματος θα πρέπει να μειωθεί στα.4κhz Η νέα συχνότητα δειγματοληψίας υπολογίζεται ως εξής: W PCM =0.5*s*log6=>400=*s=>s=700Hz Άρα η μέγιστη συχνότητα του σήματος θα πρέπει να είναι max=s/=850hz Οπότε χρειαζόμαστε ένα βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής 800Hz<c<900Hz.

ΘΕΜΑ Δίνεται το σήμα x t t 00sinc 00. Το σήμα δειγματίζεται με την ελάχιστη δυνατή συχνότητα δειγματοληψίας s,min, και στη συνέχεια διέρχεται από κατάλληλο ιδανικό φίλτρο οπότε στην έξοδό του προκύπτει σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης x t, του οποίου το φάσμα X έχει μέγιστο πλάτος ίσο με τη μονάδα και ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ίση με s,min, 600 Hz. Ζητούνται τα εξής: (α) Να υπολογισθεί και να σχεδιαστεί το φάσμα πλάτους του αρχικού σήματος X και να προσδιοριστεί η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας s,min,. (β) Να προσδιοριστούν οι εκφράσεις του δειγματισμένου σήματος στο πεδίο του χρόνου x και στο πεδίο των συχνοτήτων X,. (γ) Να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί το φάσμα πλάτους X του σήματος. Επίσης να αποδειχτεί ότι η έκφρασή του στο πεδίο του χρόνου είναι: j00t j00t x t e e 00sin c 00t (δ) Να υποθέσετε ότι το σήμα t διαμορφώνει κατά συχνότητα (FM) με σταθερά απόκλισης x συχνότητας k 40 συνημιτονικό φέρον σήμα πλάτους A0 0 Volt και συχνότητας 0 0 khz. Να προσδιορίσετε την έκφραση του διαμορφωμένου σήματος στο πεδίο του χρόνου και να υπολογίσετε το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος. (Να λάβετε υπόψη ότι η μέγιστη απόκλιση συχνότητας για διαμόρφωση FM συνημιτονικού φέροντος από τυχαίο σήμα πληροφορίας z(t) δίνεται από τη σχέση: max max z( t) Απάντηση α) Δίνεται ότι x t t Έχουμε: F sinc t tri 00 sinc 00 F sinc 00t tri F 00sinc 00t tri 00 00 00 k.), n x t t tri X 00 F 00sinc 00

Χ () -00 00 Η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ισούται με Hz s,min, 00 (β) Οι εκφράσεις του δειγματισμένου σήματος είναι οι εξής: Στο πεδίο του χρόνου x, n x t 00sin c 00 n 00sin c 00 n, n Z tnt,,min, 00 s s και στο πεδίο των συχνοτήτων m00 X, s,min, X ms,min, 00 tri, m Z m m 00. (γ) Με βάση την περιγραφή το φάσμα εξόδου είναι το: 00 00 X tri tri tri 00 00 00

Χ () -00-00 00 00 και η έκφραση του σήματος εξόδου στο πεδίο του χρόνου είναι: j00t j00t x t e e 00sin c 00t (δ) Έχουμε ότι j00t j00t x t e e 00sin c 00t Το σήμα x t διαμορφώνει κατά συχνότητα (FM) με σταθερά απόκλισης συχνότητας k 0 συνημιτονικό φέρον σήμα πλάτους A0 0 Volt και συχνότητας 0 0 khz. Το διαμορφωμένο σήμα FM γράφεται: t xfm t A0 cos 0t k x d t j 00 j 00 0 cos 0000t 40 e e 00sin c 00 d To εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος δίνεται από τον κανόνα του Carson: W D x όπου D max Το σήμα πληροφορίας Επίσης, x x t έχει εύρος ζώνης ίσο με max 00Hz x ισχύει ότι

j00t j00t max x t max e e 00sin c 00t 00 επειδή j00t j00t max e e max cos( 00 t), max 00sin c 00t 00, όταν t 0 Συνεπώς, έχουμε ότι: k max 40 max x ( t) 00 6000Hz max 6000 οπότε, D 0 00 x και τελικά το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος θα ισούται με: W 0 00 Hz 600 Hz.6 khz ΘΕΜΑ α) Δίκτυο πολλαπλής πρόσβασης αποτελείται από 00 κόμβους οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους μέσω ενός ομοαξονικού καλωδίου. Με την χρήση κάποιου πρωτοκόλλου πολλαπλής πρόσβασης, ο κάθε κόμβος κατορθώνει και μεταδίδει 50 πακέτα/sec, όπου το μέσο μήκος του κάθε πακέτου είναι 000 bits. O ρυθμός μετάδοσης του μέσου πολλαπλής πρόσβασης είναι 00 Mbps (όπου Mbps=.000.000 bps). Ποια είναι η απόδοση του πρωτοκόλλου συνολικά; β) Θεωρείστε έναν σύνδεσμο μήκους 000 χιλιομέτρων με ρυθμό μετάδοσης δεδομένων Gb/s (0 9 b/s) που συνδέει τον αποστολέα με τον δέκτη. Υποθέστε ότι όλα τα πακέτα έχουν σταθερό μήκος ίσο με 50 bytes (byte = 8 bits) ενώ η ταχύτητα διάδοσης στο μέσο είναι 00000 Km/sec. Υποθέστε επίσης ότι ο αποστολέας έχει πάντα πακέτα να στείλει και ότι τα πακέτα δεν χάνονται ποτέ (πάντα φτάνουν αλλά μπορεί να έχουν λάθη). i. Στον σύνδεσμο αυτό χρησιμοποιείται μια παραλλαγή του πρωτοκόλλου STOP&WAIT, όπου αντί για ένα πακέτο τη φορά στέλνονται πακέτα κάθε φορά ενώ ο δέκτης με την παραλαβή των πακέτων στέλνει ένα ενιαίο πακέτο επιβεβαίωσης μήκους bit που ενημερώνει αν υπήρχαν λάθη σε ένα από τα δυο πακέτα, χωρίς να λέει σε ποιο. Επομένως, αν έστω και ένα από τα δύο πακέτα ληφθεί με λάθη τότε στον επόμενο γύρο ξαναστέλνονται και τα δύο πακέτα. Υποθέτουμε ότι κάθε πακέτο δεδομένων φτάνει σωστά με πιθανότητα p=0.9, ενώ τα πακέτα επιβεβαίωσης φτάνουν πάντα σωστά. Λόγω του ότι έχουν μήκος ίσο με bit, θεωρούμε ότι ο χρόνος μετάδοσης είναι αμελητέος, δηλαδή TRANSA=0 ενώ θεωρούμε ότι η προθεσμία επανεκπομπής T=S. Ποια είναι η απόδοση του πρωτοκόλλου αυτού; ii. Στον ίδιο σύνδεσμο χρησιμοποιείται μια άλλη παραλλαγή του πρωτοκόλλου STOP&WAIT, του ερωτήματος (βi) όπου κάθε φορά που στέλνονται πακέτα ο δέκτης με την παραλαβή τους στέλνει ένα ενιαίο πακέτο επιβεβαίωσης μήκους bits αυτή τη φορά που ενημερώνει ποια ή ποιο πακέτο έφτασε σωστό και ποιο όχι (πχ. Η επιβεβαίωση σημαίνει ότι και τα έφτασαν σωστά, 0 ότι το πρώτο έφτασε σωστά και το δεύτερο λάθος κοκ). Αν και τα δυο πακέτα φτάσουν σωστά τότε ο πομπός προχωράει και στον επόμενο γύρο στέλνει νέα πακέτα. Αν και τα δυο πακέτα φτάσουν με λάθη, τότε στον επόμενο γύρο ξαναστέλνονται και τα δύο πακέτα. Αν το ένα πακέτο φτάσει σωστά και το άλλο με λάθη, τότε στον επόμενο γύρο

ξαναστέλνεται το πακέτο που ελήφθη με λάθη μαζί με ένα άλλο (νέο) πακέτο. Υποθέτουμε ότι το κάθε πακέτο δεδομένων φτάνει σωστά με πιθανότητα p=0.9, ενώ τα πακέτα επιβεβαίωσης φτάνουν πάντα σωστά. Λόγω του ότι έχουν μήκος ίσο με bits, θεωρούμε ότι ο χρόνος μετάδοσης είναι αμελητέος, δηλαδή TRANSA=0 ενώ θεωρούμε ότι η προθεσμία επανεκπομπής T=S. Ποιά είναι η απόδοση του πρωτοκόλλου αυτού; (Υπόδειξη για το υποερώτημα ii: Προτείνεται να υπολογίσετε πρώτα το μέσο αριθμό πακέτων που τελικά μεταδίδονται κατά την περίοδο S λαμβάνοντας υπόψη όλες τις περιπτώσεις επιτυχούς μετάδοσης ενός πακέτου) Απάντηση α) Η ρυθμαπόδοση κάθε κόμβου = 50 πακέτα/sec=50x000 bits/sec=00.000 bits/sec Ρυθμαπόδοση του συστήματος = 00 x 00.000 bits/sec = 0.000.000 bits/sec = 0Mbps Μέγιστος ρυθμός μετάδοσης = 00Mbps Απόδοση = 0Mbps/00Mbps = 0, ή 0% βi) Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την απόδοση του πρωτοκόλλου και στις περιπτώσεις (παραλλαγές) πρέπει να βρούμε το χρόνο μετάδοσης μετ επιστροφής S. Πιο συγκεκριμένα έχουμε: Χρόνος μετάδοσης ενός πακέτου TRANSP=50x8/0 9 = 0.0ms. Kαθυστέρηση διάδοσης μονής κατεύθυνσης είναι: Ενώ TRANSA = 0 Άρα PROP=(000 Km)/(00000 Km/sec) = 0 ms S = xtransp+prop+transa = xtransp+prop+0= 0.0 msec Οπότε στην περίπτωση αυτής της παραλλαγής του πρωτοκόλλου η απόδοση είναι αυτή του κανονικού STOP & WAIT όπου ο χρόνος μετάδοσης είναι TRANSP ενώ η πιθανότητα επιτυχούς μετάδοσης είναι p. Άρα κάνοντας χρήση του τύπου της απόδοσης του πρωτοκόλλου STOP & WAIT με σφάλματα μεταφοράς του βιβλίου σας (4.4) σελ. 09 έχουμε ότι TRANSP p TRANSP 0,8 0,0 0.08% E X S 0,0 βii) Σε κάθε χρόνο S ο αναμενόμενος αριθμός πακέτων που φτάνουν σωστά είναι p, Αυτό προκύπτει αν λάβουμε υπόψη τις εξής περιπτώσεις:. Και τα δύο πακέτα φτάνουν σωστά με πιθανότητα p. Το ένα από τα δύο πακέτα φτάνει σωστά με πιθανότητα p(-p).

(αυτό προκύπτει σύμφωνα με υποπεριπτώσεις δηλαδή το πρώτο πακέτο από τα δύο είναι σωστό και το δεύτερο λάθος με πιθανότητα p(-p) ή το πρώτο είναι λάθος και το δεύτερο σωστό με πιθανότητα (-p)p). Και τα δύο πακέτα είναι λάθος με πιθανότητα (-p) Άρα η μέση τιμή των πακέτων που παραλαμβάνονται επιτυχώς από το δέκτη είναι E N p p p 0 p p Συνεπώς o μέσος χρόνος που χρησιμοποιείται αποδοτικά το κανάλι είναι p ΤRANSP. Άρα η απόδοση είναι ptransp 0,9 0,0 0.09% S 0,0 Βλέπουμε δηλαδή ότι σε αυτή την περίπτωση η απόδοση είναι μεγαλύτερη της απόδοσης του προηγούμενου ερωτήματος αφού δεν αναγκαζόμαστε να ξαναστείλουμε σωστά πακέτα μαζί με αυτά που παραλήφθησαν λάθος. ΘΕΜΑ 4 Ένας κωδικοποιητής ο οποίος βασίζεται σε γραμμικό συστηματικό κώδικα μήκους 6 και διάστασης στέλνει κωδικές λέξεις πάνω από ένα κανάλι. Αν ο αποκωδικοποιητής έχει λάβει την παρακάτω αλληλουχία από bits (με πρώτο bit το αριστερό) 0000000000000 Να αποκωδικοποιήσετε την παραπάνω σειρά bits σε ψηφία μηνύματος γνωρίζοντας ότι οι τρεις πρώτες λέξεις είναι κωδικές λέξεις και ο αποκωδικοποιητής αποκωδικοποιεί με τη μέθοδο ΑΑΜΠ. Απάντηση Εφόσον οι κωδικές λέξεις που αποστέλλονται μεταξύ κωδικοποιητή/αποκωδικοποιητή είναι μήκους 6 από την σειρά των bits διακρίνουμε τις παρακάτω λέξεις οι οποίες παρελήφθησαν από τον αποκωδικοποιητή 0 000 00 000 0000 Από αυτές επειδή για τις πρώτες γνωρίζουμε ότι είναι κωδικές λέξεις άρα δεν είχαν λάθος συμπεραίνουμε ότι πρόκειται για τις κωδικές λέξεις {0, 000, 00}. Επειδή δε ο κώδικας αυτός είναι συστηματικός σημαίνει ότι τα πρώτα bits της κάθε κωδικής λέξης αντιστοιχούν στα ψηφία μηνύματος. Άρα τις τρεις πρώτες κωδικές λέξεις ο αποκωδικοποιητής θα τις αποκωδικοποιήσει στα παρακάτω τρία ψηφία μηνύματος, {0 0}

Για τις υπόλοιπες λέξεις μήκους 6 θα πρέπει να ελέγξουμε αν αποτελούν κι αυτές κωδικές λέξεις κι αν όχι να δούμε αν μπορούμε να διορθώσουμε τυχόν λάθος. Θα πρέπει λοιπόν να βρούμε τον πίνακα ισοτιμίας Η ο οποίος όπως γνωρίζουμε προκύπτει από το γεννήτορα πίνακα G. Επειδή ο κώδικάς μας είναι συστηματικός αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να είναι σε μορφή ΠΚΔΓ. Όμως οι τρεις κωδικές λέξεις που γνωρίζουμε από την εκφώνηση δημιουργούν ένα πίνακα σε μορφή ΚΔΓ άρα θα πρέπει αν τον μετατρέψουμε σε μορφή ΠΚΔΓ: 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 0 Από τον γεννήτορα πίνακα βρίσκουμε τον πίνακα ισοτιμίας Η 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Άρα για τις υπόλοιπες λέξεις θα πρέπει να αποφανθούμε αν αποτελούν κωδική λέξη ή έχουν λάθος και αν ο αποκωδικοποιητής μπορεί να διορθώσει. Βλέπουμε ότι [000]*Η=[] και άρα υπάρχει λάθος οπότε ο αποκωδικοποιητής θα προσπαθήσει να διορθώσει. Επειδή το σύνδρομο είναι το και δεν υπάρχει αλλού στον πίνακα ισοτιμίας η ίδια σειρά αυτό σημαίνει ότι το πρότυπο σφάλματος είναι το 00000 και είναι το μοναδικό σε αυτή τη συνομάδα με βάρος (ελάχιστο). Οπότε ο αποκωδικοποιητής θα προσθέσει στην παραληφθείσα λέξη το πρότυπο σφάλματος αυτό διορθώνοντας στη σωστή κωδική λέξη 0000 και στη συνέχεια θα αποκωδικοποιήσει στο μήνυμα στο μήνυμα 00. Τέλος [0000]*Η=[00] άρα η παραληφθείσα λέξη είναι λανθασμένη και πρέπει να διορθωθεί. Βλέπουμε όμως ότι το σύνδρομο 00 είναι σε δύο σειρές του Η και άρα θα υπάρχουν πρότυπα σφάλματος με το ίδιο βάρος δηλαδή τα 00000 και 00000 τα οποία έχουν το ίδιο σύνδρομο με την 0000 και άρα ο αποκωδικοποιητής δεν θα διορθώσει και θα ζητήσει επανεκπομπή.

ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε κανάλι επικοινωνίας με είσοδο την τυχαία μεταβλητή X x, x, x, x 4 την Y y, y, y y και έξοδο, 4. Να αιτιολογήσετε αναλυτικά υπό ποιές προϋποθέσεις μπορεί να είναι σωστές ή αν σε κάθε περίπτωση είναι εσφαλμένες οι ακόλουθες προτάσεις:. H ( X ) bits,. HY ( ) 4 bits,. H ( X, Y ) 4, 5bits, 4. H ( Y / X ), bits, 5. H ( X / Y ) 0 bits, 6. I( X ; Y ) 0 bits, 7. I( X ; Y ) bits, 8. I( X ; Y ), bits, 9. C H (X ), 0. C IX; Y Απάντηση.. H ( X ) bits, είναι σωστό για ισοπίθανες εισόδους,. HY ( ) 4 bits, είναι λάθος, αφού η μέγιστη δυνατή τιμή είναι bits,. H ( X, Y ) 4, 5bits, είναι λάθος, αφού η μέγιστη δυνατή τιμή είναι 4 bits, 4. H ( Y / X ), bits, είναι λάθος, αφού υπερβαίνει τη μέγιστη εντροπία της Υ, 5. H ( X / Y ) 0 bits, είναι σωστό για αθόρυβο κανάλι, 6. I( X ; Y ) 0 bits, είναι σωστό για εξόδους ανεξάρτητες από τις εισόδους, 7. I( X ; Y ) bits, είναι λάθος, αφού η αμοιβαία πληροφορία είναι μη αρνητική, 8. I( X ; Y ), bits, είναι λάθος αφού η αμοιβαία πληροφορία δεν μπορεί να υπερβεί τη μέγιστη εντροπία των τυχαίων μεταβλητών, 9. C H (X ), σωστό για αθόρυβο κανάλι και ισοπίθανες εισόδους, 0. C IX; Y, σωστό, αφού η χωρητικότητα είναι ίση με τη μέγιστη αμοιβαία πληροφορία μεταξύ εισόδου και εξόδου του καναλιού.

Βαρύτητες Θεμάτων ΘΕΜΑ 0 Ερώτημα α 5 Ερώτημα β 4 Ερώτημα γ 6 Ερώτημα δ 5 ΘΕΜΑ 5 Ερώτημα α 5 Ερώτημα β 6 Ερώτημα γ 7 Ερώτημα δ 7 ΘΕΜΑ 0 Ερώτημα α 6 Ερώτημα βi 6 Ερώτημα βii 8 ΘΕΜΑ 4 0 0 Αν απαντηθεί το ερώτημα σωστά ως προς 4 τις τρεις πρώτες κωδικές λέξεις Αν απαντηθεί το ερώτημα σωστά ως προς 8 την τέταρτη λέξη Αν απαντηθεί το ερώτημα σωστά ως προς 8 την πέμπτη κωδική λέξη ΘΕΜΑ 5 5 Κάθε Σωστό Υποερώτημα,5 ΣΥΝΟΛΟ 00 00 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!

Επαναληπτικές Εξετάσεις Θ.Ε. ΠΛΗ Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ Περίοδος 0-0 (/07/0) Ονοματεπώνυμο:...Υπογραφή... Να απαντηθούν και τα 5 θέματα Διάρκεια Διαγωνίσματος:.5 h ΘΕΜΑ Δίνεται το σήμα x t t. και το σήμα x t t sin 0 cos 0. Για καθένα από τα παρακάτω σήματα να υπολογίσετε (αν υπάρχουν/ορίζονται): (i) την περίοδο του και (ii) την ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας του. x t x t x t (α) a (β) x t x x t t 40 40 x t x t * sin c t x t x t t 5sin c 5t (γ) (δ) Απάντηση (α) 0 xa t xt xt sin 0t cos t sin 0 t : Περιοδικό με περίοδο T = sec 0 0 cos t: Περιοδικό με περίοδο T = sec 0 T Ο λόγος των περιόδων είναι = 0 άρρητος, άρα το σήμα είναι απεριοδικό T 0 Η μέγιστη συχνότητα του σήματος είναι 0Hz ;άρα η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι 0Hz. (β)

t sin cos 0 0 x t x x t t t 0 40 cos t cos t 0 40 cos t cos t 0 cos t: Περιοδικό με περίοδο T = sec 0 40 cos t: Περιοδικό με περίοδο T = sec 40 T Ο λόγος των περιόδων είναι = 0 ρητός, άρα το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο T 40 T T T= sec 0 Η μέγιστη συχνότητα του σήματος είναι 40/π Hz ;άρα η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι 80/π Hz. (γ) 40 40 0 0 F x t x t * sin c t rect 40 0 0 το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο π/0 sec. Η μέγιστη συχνότητα του σήματος είναι 0/π Hz ;άρα η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι 0/π Hz. (δ) F x t x t t 5sin c 5t 0 0 tri j 5 Το σήμα έχει συνεχές φάσμα πλάτους συνεπώς δεν είναι περιοδικό. Επίσης δεν έχει περιορισμένο εύρος ζώνης, συνεπώς δεν ορίζεται ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας

ΘΕΜΑ Δίνεται το σήμα x t a a t a. και το σήμα sinc, 0 x t 4a sinc 4 a t, a 0. Τα δύο σήματα πρέπει να μεταδοθούν με πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας (FDM) ως εξής: Το αμφίπλευρο φάσμα του x t θα τοποθετηθεί στην περιοχή συχνοτήτων [0, α Hz] ενώ το αμφίπλευρο φάσμα του x t θα μετατοπιστεί στην περιοχή συχνοτήτων [α Hz,6α Hz], χωρίς να μεταβληθούν τα πλάτη τους. Η μετατόπιση αυτή γίνεται με κατάλληλη διαμόρφωση DSB του καθενός από τα σήματα x t. Ζητούνται τα εξής: x t, x t οπότε προκύπτει το σήμα (α) Να υπολογισθούν και να σχεδιαστούν τα φάσματα πλάτους των αρχικών σημάτων X, X και να προσδιοριστεί για το καθένα αντίστοιχα η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας s,min,, s,min,. (β) Να υπολογιστεί και να σχεδιαστεί το φάσμα πλάτους X του FDM σήματος. Επίσης να αποδειχθεί ότι η έκφρασή του στο πεδίο του χρόνου είναι: j 4t j 4 t j t j t x t 4asin c4at e e asin c at e e (γ) Να προσδιοριστεί το πλάτος και η συχνότητα του κάθε φέροντος που χρησιμοποιήθηκε για τις μετατοπίσεις φάσματος των x t. (δ) Να υποθέσετε ότι το σήμα x t, x t του ερωτήματος υπόκειται σε δειγματοληψία με συχνότητα 5πλάσια της ελάχιστης κατά Nyquist και στη συνέχεια μετατρέπεται σε ψηφιακό σήμα PCM, για τη μετάδοση του οποίου απαιτείται σηματοθορυβικός λόγος τουλάχιστον 0dB. Να υπολογίσετε το απαιτούμενο εύρος ζώνης για τη μετάδοση του σήματος PCM, υποθέτοντας ότι η παράμετρος a ισούται με 40. (Να θεωρήσετε ότι για τη μετάδοση σήματος με PCM (που προϋποθέτει τη δειγματοληψία του και την ομοιόμορφη κβάντισή του σε L στάθμες) ο απαιτούμενος SNR 0 log 0 L ) σηματοθορυβικός λόγος (σε μονάδες decibel) ισούται με Απάντηση (α) Δίνεται ότι Έχουμε: sinc F t tri x t a sinc a t, a 0 F sinc at tri a a F asinc at tri a x t a at tri X a F sinc

Χ () -α α Η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ισούται με α Hz. Δίνεται ότι Έχουμε: F sinc t rect x t 4a sinc 4 a t, a 0 F sinc4at rect 4a 4a F 4asinc4at rect 4a x t a at rect X 4a F 4 sinc4

Χ () -α -α α α Η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ισούται με 4α Hz. (β) Tο φάσμα πλάτους X του FDM σήματος απεικονίζεται ως εξής: Χ () -6α -α -α α α 6α 4a a a 4a X rect tri tri rect 4a a a 4a και η έκφραση στο πεδίο του χρόνου είναι j 4t j 4t jt jt x t 4asin c 4at e e asin c at e e (γ) Για τη μετατόπιση του φάσματος στο X tri a

a a X, tri tri a a το απαιτούμενο φέρον είναι της μορφής x t at c, cos Για τη μετατόπιση του φάσματος X rect 4a στο 4a 4a X, rect rect 4a 4a xc, t cos 4at το απαιτούμενο φέρον είναι της μορφής (δ) Το σήμα x t υπόκειται σε δειγματοληψία με συχνότητα 5πλάσια της ελάχιστης κατά Nyquist και στη συνέχεια μετατρέπεται σε ψηφιακό σήμα PCM, για τη μετάδοση του οποίου απαιτείται σηματοθορυβικός λόγος τουλάχιστον 0dB. Η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι ίση με s,min max 6aHz ahz, συνεπώς η συχνότητα δειγματοληψίας του ερωτήματος είναι 5 s,min 5 ahz 60aHz. Προκειμένου το x t να μεταδοθεί με PCM και SNR 0dB θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα τον απαραίτητο αριθμό σταθμών κβάντισης. S Έχουμε: SNR 0log0 0log0 L 0log L. N Συνεπώς ο αριθμός απαιτούμενων σταθμών ομοιόμορφης κβάντισης θα πρέπει να ικανοποιεί τη 0 0 σχέση 0 log0 L 0 L 0 0 άρα κατ ελάχιστον απαιτούνται L=0 στάθμες και επειδή θα πρέπει να είναι δύναμη του τελικά θα έχουμε 6 στάθμες κβάντισης. Το απαιτούμενο εύρος ζώνης για τη μετάδοση του σήματος PCM είναι BPCM log L 604 0 Hz 040Hz 4.8kHz.

ΘΕΜΑ Δύο κόμβοι Α και Β συνδέονται μεταξύ τους σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, μέσω δύο οπτικών ζεύξεων και οι οποίες χρησιμοποιούν το πρωτόκολλο επανεκπομπής Go-Back-N. Τα πλαίσια πακέτων δεδομένων αποστέλλονται πάντα από τον κόμβο Α στον κόμβο Β. Τα πλαίσια επιβεβαίωσης αναγκαστικά ακολουθούν την ζεύξη του πλαισίου δεδομένων που αντιστοιχούν (δηλαδή αν τα πλαίσια στάλθηκαν από τον κόμβο Α στον Β μέσω της ζεύξης τότε και η επιβεβαίωση θα σταλεί από τον Β προς τον Α μέσω της ζεύξης ). Οι δυο ζεύξεις θεωρείται ότι λειτουργούν χωρίς να υπάρχουν σφάλματα μεταφοράς. Τα στοιχεία των ζεύξεων είναι τα ακόλουθα: Ζεύξη (GBN) Μέγεθος παραθύρου W=0, Ταχύτητα διάδοσης x0 5 Km/s, Απόσταση ζεύξης 540 Km, Ρυθμός μετάδοσης R=0 Mbps, Μέγεθος των πλαισίων δεδομένων ίσο με 000 bits, Μέγεθος της κάθε επιβεβαίωσης ίσο με 000 bits. Ζεύξη (GBN) Μέγεθος παραθύρου W=0, Ταχύτητα διάδοσης x0 5 Km/s, Απόσταση ζεύξης 600 Km, Ρυθμός μετάδοσης R=40 Mbps, Μέγεθος των πλαισίων δεδομένων ίσο με 000 bits, Μέγεθος της κάθε επιβεβαίωσης ίσο με 000 bits. α) Σε ποια από τις ζεύξεις θα επιλέγατε να στείλετε την κίνηση; Εξηγείστε την απάντησή σας. β) Αν τα πλαίσια δεδομένων κατά τη μετάδοση μπορούν να επιλέξουν είτε την ζεύξη με πιθανότητα π=0.75 είτε την ζεύξη με πιθανότητα -π, ποια είναι η μέση ρυθμαπόδοση μεταξύ των Α και Β Απάντηση

α) Για να βρούμε ποια ζεύξη είναι η πιο συμφέρουσα θα πρέπει να υπολογίσουμε την ρυθμοαπόδοσή της. Για το λόγο αυτό θα βρούμε πρώτα την απόδοσή της. Θα πρέπει λοιπόν να υπολογίσουμε τους χρόνους μετάβασης μετ επιστροφής για τις δύο ζεύξεις και στη συνέχεια την απόδοσή τους. Με βάση τα δεδομένα του θέματος έχουμε: Ζεύξη TRANSP=000/0000000=0,000 sec = 0. msec TRANSΑ=000/0000000=0,000 sec = 0. msec PROP= 540/x0 5 sec =.8x0 - sec=.8 msec S=TRANSP+TRANSA+PROP=.9 msec Άρα η=min{, WxTRANSP/S}={,,06} = 00% Συνεπώς ο ρυθμός ροής της ζεύξης είναι ρ=0 Mbps αφού η ζεύξη είναι δυνατόν να χρησιμοποιείται συνεχώς Ζεύξη TRANSP=000/40000000=0.00005 sec = 0.05 msec TRANSΑ=000/40000000=0.00005sec= 0.05 msec PROP= 600/x0 5 sec = x0 - sec= msec S=TRANSP+TRANSA+PROP=4.075 msec Άρα η=min{, WxTRANSP/S}={, 0.45} = 4.5% Συνεπώς ο ρυθμός ροής της ζεύξης είναι ρ=η*transp= 9,8 Mbps Παρατηρούμε λοιπόν ότι συμφέρει να χρησιμοποιούμε την πιο αργή ζεύξη αφού έχει τη μεγαλύτερη ρυθμοαπόδοση. β) Επειδή είναι δυνατόν να επιλεγούν για την μετάδοση των πλαισίων του κόμβου Α είτε η ζεύξη είτε η ζεύξη τότε η μέση ρυθμοαπόδοση θα είναι π*ρ+(-π)*ρ=0.75*0+0.5*9.8=9,95 Mbps

ΘΕΜΑ 4 Μια ψηφιακή πηγή συμβόλων x, x, x εκπέμπει τα σύμβολα της γνωρίζοντας ότι η πιθανότητα να εκπεμφθεί το σύμβολο x από την πηγή είναι p ( x ) 0. 4 ενώ οι πιθανότητες εκπομπής των άλλων δύο συμβόλων είναι ίσες. Να απαντηθούν τα ερωτήματα σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις α) Η πηγή μεταδίδει τα σύμβολα σε κανάλι χωρίς θόρυβο. Ζητείται να βρεθούν: i) H χωρητικότητα του καναλιού C και η εντροπία της πηγής Η(Χ) ii) Η εντροπία Η(Χ/Υ) β) Η πηγή μεταδίδει τα σύμβολα σε ενθόρυβο κανάλι με πίνακα μετάβασης, p( y / x ) p( y / x ) p( y / x ) 0.5 0.5 0 P( Y / X ) p( y / x ) p( y / x ) p( y / x ) 0 0.5 0.75 p( y / x) p( y / x) p( y / x) 0.5 0 0.5 Ζητείται να βρεθούν: i) H εντροπία της πηγής Η(Χ) και η Η(Υ/Χ) ii) Η αμοιβαία πληροφορία του ενθόρυβου καναλιού. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε τις παρακάτω τιμές των λογαρίθμων log.58, log 0.4., log 0..77, log 0.75 0.45, Απάντηση log 0.5.55, log 0.75.86, log 0.75.45 ) α). Κανάλι χωρίς θόρυβο i) Οι πιθανότητες εκπομπής των συμβόλων είναι p( x ) 0. 4 ενώ οι υπόλοιπες είναι p( x) p( x) 0. Άρα η εντροπία της πηγής είναι: i H ( X ) p xi log p( xi) 0.4log 0.4 0.log 0. 0.log 0..57 bits Γνωρίζω ότι η χωρητικότητα του καναλιού χωρίς θόρυβο ισούται με τη μέγιστη τιμή του Η(Χ) («Θεωρία Πληροφορίας και Κωδικοποίησης», σελ. 89) η οποία προκύπτει για ισοπίθανα σύμβολα εισόδου. Οπότε p x px px Η χωρητικότητα δίνεται από H( X ) log log (). 58 C max bits/symbol όπου q είναι ο αριθμός συμβόλων εισόδου q q ii) Eπιπλέον, η εντροπία Η(Χ/Υ) ισούται με 0 αφού Χ=Υ κι όπως αποδεικνύεται και στο βιβλίο σελ. 90.

β) Ενθόρυβο Κανάλι i) Αν στο κανάλι εισαγάγουμε θόρυβο δεν αναμένεται να αλλάξει η εντροπία της πηγής αλλά μόνο η χωρητικότητα του καναλιού η οποία αναμένεται να είναι μικρότερη από αυτή του ερωτήματος (α) Επομένως η εντροπία της πηγής Η(Χ) είναι ίδια με αυτή του ερωτήματος (α). Δεδομένου ότι το κανάλι έχει πίνακα μετάβασης p( y / x ) p( y / x ) p( y / x ) 0.5 0.5 0 P( Y / X ) p( y / x ) p( y / x ) p( y / x ) 0 0.5 0.75 p( y / x) p( y / x) p( y / x) 0.5 0 0.5 Η εντροπία Η(Υ/Χ) δίνεται από τον τύπο Άρα για κάθε i=,, έχουμε i i () i H Y X p x H Y X x i j i log j i H Y X x p y x p y x j Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση τις πιθανότητες κάθε γραμμής του πίνακα μετάβασης έχουμε: j j H Y X x p y x log p y x 0.5log 0.5 0.5log 0.5 0log 0 bits j j j H Y X x p y x log p y x 0log 0 0.5log 0.5 0.75log 0.75 0,8 bits j j j H Y X x p y x log p y x 0.5log 0.5 0log 0 0.5log 0.5 bits j Αντικαθιστώντας τώρα τις παραπάνω τιμές στην εξίσωση () έχουμε H Y X p x H Y X x 0.40.0.8 0. 0,94 bits i i ii). Για να βρούμε την αμοιβαία πληροφορία Ι(Χ;Υ) θα κάνουμε χρήση του τύπου I X ; Y H Y H Y X Άρα θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα τις πιθανότητες εξόδου PY p y ) p( y ) p( ) οι οποίες υπολογίζονται ως περιθωριακές πιθανότητες σύμφωνα με το παρακάτω P Y p( y ) p( y ) p( y) p( y, xi ) p( y, xi ) p( y, xi ) i i i i ( y ()

Γνωρίζω ότι ισχύει p x, y ) p( x ) p( y / x ) («Θεωρία Πληροφορίας και Κωδικοποίησης», ( i j i j i σελ. 5) και επομένως θα έχουμε p( y, x ) p( y, x ) p( y, x ) P Y, X p( y, x) p( y, x) p( y, x) p ( y, x) p( y, x) p( y, x) p( x ) p( y / x ) p( x ) p( y / x) p( x) p( y / x) p( x) p( y / x) p( x) p( y / x) p( x) p( y / x) p ( x) p( y / x) p( x) p( y / x) p( x) p( y / x) 0.40.5 0.40.5 0 0 0. 0.5 0. 0.75 0.0.5 0 0.0.5 0.0 0.0 0 0 0.075 0.5 0.5 0 0.5 Οπότε το ζητούμενο δίνεται από PY p( y) p( y ) p( y) 0.5 0.75 0.75 p ( y ) 0.5 p ( y ) 0.75 p ( y ) 0.75 i p( y, x ) i i p( y, x ) i i p( y, xi ) Συνεπώς i H ( Y ) p yi log p( yi) 0,5log 0,5 0, 75log 0, 75 0,75log 0,75.57 bits Από την παραπάνω εξίσωση και λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση () έχουμε ότι η αμοιβαία πληροφορία του καναλιού είναι: I X ; Y H Y H Y X.57 0.94 0.6bits

ΘΕΜΑ 5 Δίνονται οι συστηματικοί γραμμικοί κώδικες C={00000, 000, 00, } και C={000000, 000, 000, } και C= {0000000, 000, 000, 0}. Ζητούνται τα ακόλουθα:. Ο ρυθμός πληροφορίας του κάθε κώδικα,. Μια βάση σε μορφή ΠΚΔΓ,. Τη διάσταση και την απόσταση καθενός από τους κώδικες C, C και C. 4. Ο αριθμός των σφαλμάτων που ανιχνεύει και διορθώνει καθένας από τους κώδικες C, C και C. 5. Δείξτε από ένα πρότυπο σφάλματος ελάχιστου βάρους που δεν ανιχνεύει και από ένα πρότυπο σφάλματος ελάχιστου βάρους που δεν διορθώνει σωστά καθένας από τους κώδικες C, C και C. Απάντηση. Αφού όλοι οι κώδικες έχουν 4 κωδικές λέξεις, δηλαδή τα διαφορετικά μηνύματα είναι 4, αρκούν bits για την παράστασή τους. Επομένως, ο ρυθμός πληροφορίας για τον κώδικα C είναι /5, για τον κώδικα C είναι /6 και για τον κώδικα C είναι /7.. Εύκολα μπορούμε να εξάγουμε τις βάσεις των δεδομένων κωδίκων: για τον C η βάση είναι {000, 00}, για τον C {000, 000} και για τον C {000, 000}. Η διάσταση όλων των κωδίκων είναι και οι αποστάσεις τους, και 4, αντίστοιχα διότι είναι οι λέξεις με το ελάχιστο βάρος. 4. Ο κώδικας C ανιχνεύει και δεν διορθώνει κανένα σφάλμα, ο κώδικας, C ανιχνεύει και διορθώνει και C ανιχνεύει και διορθώνει σφάλματα. 5. Ο κώδικας C δεν ανιχνεύει το πρότυπο σφάλματος 000 γιατί το βάρος του συμπίπτει με την απόσταση και δεν διορθώνει το πρότυπο σφάλματος 0000 γιατί το βάρος του είναι μικρότερο της απόστασης d-/. Ομοίως, ο κώδικας, C δεν ανιχνεύει το πρότυπο σφάλματος 000 και δεν διορθώνει το πρότυπο σφάλματος 0000, και ο C δεν ανιχνεύει το πρότυπο σφάλματος 000 και δεν διορθώνει το πρότυπο σφάλματος 00000.

Βαρύτητες Θεμάτων ΘΕΜΑ 0 Ερώτημα α Ερώτημα β 5 Ερώτημα γ 5 Ερώτημα δ 7 ΘΕΜΑ 5 Ερώτημα α 5 Ερώτημα β 6 Ερώτημα γ 7 Ερώτημα δ 7 ΘΕΜΑ 5 Ερώτημα α 0 Ερώτημα β 5 ΘΕΜΑ 4 0 Ερώτημα αi Ερώτημα αii Ερώτημα βi 7 Ερώτημα βii 7 ΘΕΜΑ 5 0 0 Ερώτημα 4 Ερώτημα 4 Ερώτημα 4 Ερώτημα 4 4 Ερώτημα 5 4 ΣΥΝΟΛΟ 00 00 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!