ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙςΤΗΜΗς & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑς ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 2 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: nsagias@uop.gr

2 Ατζέντα 1. 06/10 Εισαγωγή 2. 13/10 Δειγματοληψία I 3. 20/10 Δειγματοληψία II 4. 27/10 (κενό) 5. 03/11 Κβάντιση 6. 10/11 Κωδικοποίηση και PCM 7. 17/11 Συστήματα βασικής ζώνης Ι 8. 24/11 Συστήματα βασικής ζώνης ΙΙ 9. 01/12 Συστήματα βασικής ζώνης ΙΙΙ /12 Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης Ι /12 Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης ΙΙ /12 Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης ΙΙΙ /01 Επανάληψη 2

3 Εισαγωγή στα Σήματα Σήμα: Φυσικό μέγεθος το οποία μεταβάλλεται με το χρόνο, χώρο, ή άλλη μεταβλητή (ή μεταβλητές) Μίας μεταβλητής, π.χ. x(t) = 3t Περισσότερων μεταβλητών, π.χ. x(t,u) = 3t + 5u 2 Φυσικά σήματα, π.χ. φωνή x ( t) = A ( t) sin 2π F ( t) t+ θ ( t) K a k k k k = 1 3

4 Εισαγωγή στα Σήματα Κατηγοριοποίηση σημάτων x(t) x[n] Συνεχούς/διακριτού χρόνου Συνεχών/διακριτών τιμών Ντετερμινιστικά/τυχαία t Συνεχούς χρόνου & τιμών (αναλογικό σήμα) Διακριτού χρόνου & συνεχών τιμών n x(t) +A x[n] -2A +A x(t) x(t) -A Συνεχούς χρόνου & διακριτών τιμών t -A -2A Διακριτού χρόνου & τιμών (ψηφιακό σήμα) n t t s(t) = cos(2 π F t) θόρυβος 4

5 Εισαγωγή στα Σήματα Ημιτονοειδή σήματα συνεχούς χρόνου ( ) ( π θ) x t = Acos 2 Ft+, < t< a Α: πλάτος F: η συχνότητα (Hz) t: χρόνος (sec) θ: η φάση (rad) Ω: κυκλική συχνότητα (rad/s), Ω = 2 π F T: η περίοδος (s) T = 1/F Ιδιότητες ημιτονοειδών σημάτων Α = 1, θ = π / 2 Είναι περιοδικά, x α (t + T) = x α (t) Ημιτονοειδή σήματα με διαφορετικές συχνότητες είναι διαφορετικά σήματα Αυξάνοντας την συχνότητα ελαττώνεται η περίοδος Γενικεύοντας, έχουμε μιγαδικά εκθετικά σήματα (φάσορες) A A xa ( t) = Acos( Ω t+ θ) = exp j( t θ) exp j( t θ) Γωνιακή συχνότητα ±Ω 2 Ω + + Ω + 2 Θεωρούμε θετικές και αρνητικές συχνότητες, - < F < πλάτος χρόνος Im Ω Α/2 Ωt + θ Ωt + θ Α/2 Ω Re 5

6 Εισαγωγή στα Σήματα x[n] Ημιτονοειδή σήματα διακριτού χρόνου xn [ ] = Acos( 2 π fn+ θ), n= 0, ± 1, ± 2, Α: πλάτος f: η συχνότητα (κύκλοι/δείγμα) n: αριθμός δείγματος θ: η φάση (rad) ω: κυκλική συχνότητα (rad/δείγμα), ω = 2 π f Ορισμός: Είναι περιοδικό εάν και μόνο εάν Δείγματα, n x[n + N] = x[n] Η μικρότερη τιμή του Ν > 0 για την οποία ισχύει το παραπάνω ονομάζεται θεμελιώδης περίοδος Ιδιότητες ημιτονοειδών σημάτων διακριτού χρόνου Είναι περιοδικό μόνο αν η συχνότητα είναι ρητός αριθμός Για k (k = 0, ±1, ±2, ) και N πρώτους, η συχνότητα γράφεται ως f 0 = k / N Τα x 1 [n] και x 2 [n] είναι ταυτόσημα αν η διαφορά συχνότητας είναι ακέραιος Σήματα με f 1/2 είναι μοναδικά, ενώ σήματα με f > 1/2 είναι αλλοιώσεις (alias) Ο υψηλότερος ρυθμός ταλάντωσης επιτυγχάνεται όταν f = ±1/2 κύκλοι/δείγμα Πλάτος 6

7 Δειγματοληψία Τα φυσικά σήματα είναι αναλογικά. Για να τα επεξεργαστούμε ή/και να τα αποθηκεύσουμε πρέπει να τα ψηφιοποιήσουμε Η διαδικασία ψηφιοποίηση ονομάζεται αναλογικοψηφιακή (A/D) μετατροπή και πραγματοποιείται με A/D μετατροπείς (ADC) Η διαδικασία A/D αποτελείται από τα εξής στάδια: Δειγματοληψία Κβάντιση Κωδικοποίηση Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται ψηφιακοαναλογική (D/A) μετατροπή και πραγματοποιείται με D/A μετατροπείς (DAC) σήμα διακριτού χρόνου ADC κβαντισμένο σήμα αναλογικό σήμα Δειγματολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής ψηφιακό σήμα 7

8 Ιδανική Δειγματοληψία Θεωρούμε ομοιόμορφη δειγματοληψία όπου λαμβάνεται ένα δείγμα κάθε T s δευτερόλεπτα x[n] = x a (n T s ) Ο ρυθμός δειγματοληψίας (sampling rate) είναι F s = 1/T s δειγματολήπτης αναλογικό σήμα F s = 1/T s x[n]= x a (nt s ) σήμα διακριτού χρόνου T s 8

9 Ιδανική Δειγματοληψία Ας θεωρήσουμε αναλογικό ημιτονοειδές σήμα συχνότητας F, = A cos(2 π F t + θ) Τότε, x[n] = x a (n T s ) = A cos(2 π F n T s + θ) = A cos[2 π (F/F s ) n + θ] και συνεπώς η συχνότητα του δειγματοληπτημένου σήματος είναι η f = F / F s Δεδομένου ότι - < F < και -1/2 f 1/2, εύκολα προκύπτει ότι Fs Fs F 2 2 Άρα, η συχνότητα του αναλογικού σήματος πρέπει να είναι μικρότερη από την F max = F s / 2 Στο αναλογικό σήμα αντιστοιχούν άπειρα δειγματοληπτημένα σήματα συχνότητας F k F k = F + k F s (k = 0, ±1, ±2, ) f k = F k / F s 1/2 -F s /2 -F s 0-1/2 F s /2 F s F F = = + θ = Fs [ ] ( ) cos 2 k x n x nt A π n a s F+ kf F s = Acos 2π n+ θ = Acos 2π n+ θ F F s s 9

10 Ιδανική Δειγματοληψία Σύνολο Α: Συχνότητες αναλογικού σήματος F Σύνολο Β: Συχνότητες σήματος διακριτού χρόνου f Σύνολο C B (C υποσύνολο του B): Συχνότητες σήματος διακριτού χρόνου με f 1/2 F a f 1 f 2 F 0 f 0 f a Σύνολο A Σύνολο C f 3 Σύνολο B 10

11 Ιδανική Δειγματοληψία Παράδειγμα αλλοίωσης; Θεωρούμε αναλογικό ημιτονοειδές σήμα της μορφής = 3 cos(100 π t) Για ρυθμό δειγματοληψίας F s = 80Hz, το αλλοιωμένο σήμα που προκύπτει είναι = 3 cos(60 π t) 4 x(t) = 3 cos(100 π t) x(t) = 3 cos(60 π t) δείγματα Πλάτος (volt) Χρόνος (msec) 11

12 Ιδανική Δειγματοληψία Ερώτημα: Δεδομένου ενός αναλογικού σήματος βασικής ζώνης με εύρος ζώνης B, πώς γίνεται η επιλογή του ρυθμού δειγματοληψίας; Απάντηση: Η επιλογή γίνεται με βάση την μέγιστη συχνότητα που φέρει. Το αναλογικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως K ( ) ( ) ( ) ( ) xa t = Ak t sin 2 π Fk t t+ θk t k = 1 Αν η μέγιστη συχνότητα ανάμεσα στις {F 1, F 2,, F Κ } είναι η B = F max, τότε για να αποφευχθεί το πρόβλημα της αλλοίωσης πρέπει F s 2 B Η ελάχιστη τιμή του F s ονομάζεται ρυθμός Nyquist F s,min = 2 B Η παραπάνω σχέση εξασφαλίζει επίσης ότι και τα N ημιτονοειδή σήματα δειγματοληπτούνται χωρίς να αλλοιώνονται -B 2B X a (f) B Μετασχηματισμός Fourier σήματος βασικής ζώνης f 12

13 Ιδανική Δειγματοληψία Ιδανική δειγματοληψία δειγματολήπτης x d [n] = x a (nt s ) F s = 1/T s -n T s -T s 0 T s n T s t ( ) = δ ( ) x t t nt δ n = x d [n] s Πεδίο χρόνου: Πεδίο συχνότητας: x t = x t x t = x nt t nt ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) d a δ a s s n= ( ) ( ) Το φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος αποτελείται από θεωρητικά άπειρα το πλήθος πανομοιότυπα αντίγραφα του φάσματος του αναλογικού σήματος Οι θέσεις των φασμάτων είναι σε ακέραια πολλαπλάσια της F s Το πλάτος του κάθε φάσματος είναι πολλαπλασιασμένο με F s { } { ( ) ( )} ( ) ( ) Xd f = F xd t = F xa t xδ t = Xa f Xδ f = = X f F f nf = F X f nf ( ) δ ( ) ( ) a s s s a s n= n= 13

14 Ιδανική Δειγματοληψία δειγματολήπτης x d [n] = x a (nt s ) F s = 1/T s T s X a (f) αναλογικό & δειγματοληπτημένο σήμα στο πεδίο του χρόνου -B 0 B f αναλογικό & δειγματοληπτημένο σήμα στο πεδίο της συχνότητας F s > 2 B X d (f) -n F s -F s -B -F s +B -B 0 B F s -B F s +B n F s -F s F s X d (f) F s < 2 B (αλλοίωση) f -n F s -3 F s -2 F s -F -B 0 B s F s 2 F s 3 F s n F s f 14

15 Ιδανική Δειγματοληψία Θεώρημα δειγματοληψίας: Αν η μέγιστη συχνότητα που εμπεριέχεται σε αναλογικό σήμα,, είναι F max = B και αυτό δειγματοληπτηθεί με ρυθμό F s > 2 B, τότε το μπορεί να ανακτηθεί από τα δείγματά του διερχόμενα από φίλτρο με κρουστική απόκριση τη συνάρτηση παρεμβολής ( ) sinc( 2 Bt) g t = = sin 2 ( π Bt) 2π Bt Το γράφεται ως ένα άθροισμα χρονικά ολισθημένων εκδόσεων του g(t) με βάρη τα δείγματα του sinc ( x) = sin ( π x) π x x a a s s n= ( ) = ( ) ( ) x t x nt g t nt x a (nτ s ) g(t - nτ s ) Πρόβλημα: Απαίτηση για άπειρο αριθμό δειγμάτων! Η δειγματοληψία με την g(t) είναι ιδανική και συνεπώς παρουσιάζει μόνο θεωρητικό ενδιαφέρον 15

16 Ιδανική Δειγματοληψία Το αναλογικό σήμα μπορεί να ανακτηθεί από τα δείγματά του αν αυτά διέλθουν από ιδανικό φίλτρο βασικής ζώνης εύρους ζώνης B με συνάρτηση μεταφοράς H R ( f ) 1, f B = 0,διαφορετικά Το φίλτρο θα επιτρέψει τη διέλευση μόνο του φασματικού περιεχομένου της βασικής ζώνης, ενώ το φασματικό περιεχόμενο των υπόλοιπων περιοχών θα απορριφθεί H R (f) X d (f) -F s -B -F s +B -B 0 B F s -B F s +B -F s F s f 16

17 Ιδανική Δειγματοληψία -B 0 X a (f) B X a (f) f ( ) = δ ( ) X f F f nf δ s n = s LPF H R (f) -B 0 B f xˆa ( t) ανακτημένο αναλογικό σήμα F s > 2 B H R (f) X d (f) -F s -B -F s +B -B 0 B F s -B F s +B -F s F s f { } F ( ) ( ) ( ) F ˆ ( ) { } ( ) ( ) xˆ t = X f = H f X f = h t x t = 1 1 a a R d R d s a s s s a s s n= n= ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) = 2 BT sinc 2 Bt x nt t nt = 2 BT x nt sinc 2 B t nt 17

18 Πρακτική Δειγματοληψία Εσφαλμένες παραδοχές στην ιδανική δειγματοληψία: Θεώρηση κρουστικών ώσεων τύπου Δέλτα συνάρτησης Θεώρηση ιδανικών χαμηλοπερατών σημάτων Θεώρηση ιδανικών χαμηλοπερατών φίλτρων 18

19 Πρακτική Δειγματοληψία Θεώρηση πραγματικών παλμών διάρκειας τ Κύκλος δραστηριότητας (duty cycle): d = τ / T s s a (t) A S a (f) t F τ/2 T s F f s a ( t) A, t τ /2 = 0,αλλιώς a ( ) = τsinc( τ) S f A f 19

20 Πρακτική Δειγματοληψία δειγματολήπτης x d (t) s(t) 0 T s 2T s 3T s 4T s s(t) 0 T s 2T s 3T s 4T s τραίνο παλμών d ( ) = ( ) ( ) x t x t s t a 0 T s 2T s 3T s 4T s τ Α T s = 1 / F s 20

21 Πρακτική Δειγματοληψία s(t) A τ/2 T s t δειγματολήπτης x d (t) F s( t) = sa( t nts) sa( t) δ ( t nts) = S( f ) = F s ( ) ( ) 1 a t δ t nt s = F n= n= n= F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t = x t s t X f = X f S f = d a 1 d a F s a s s a s n= n= ( ) δ ( ) ( ) = F S f f nf = F S f nf s a a s s s a s a s n= n= ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) = F X f S nf f nf = F S nf X f nf Το φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος: Αποτελείται από θεωρητικά άπειρα το πλήθος αντίγραφα του φάσματα του αναλογικού σήματος Τπ πλάτος είναι πολλαπλασιασμένο με F s επί μια αργή περιβάλλουσα Το φασματικό περιεχόμενο είναι ισχυρότερο στη βασική ζώνη! 21

22 Πρακτική Δειγματοληψία X a (f) t -B B f s(t) S(f) -2T s -T s T s 2T s x d (t) t ισχυρότερο φασματικό περιεχόμενο -2F s -F s F s 2F s f X d (f) αργή περιβάλλουσα -2T s -T s T s 2T s t -2F -F -B B s s F s 2F s f Πεδίο χρόνου Πεδίο συχνότητας 22

23 Πρακτική Δειγματοληψία Δειγματοληψία και κατακράτηση (sample & hold): Υπάρχει απαίτηση για σταθερή τιμή πλάτους στην έξοδο του δειγματολήπτη Στην έξοδο του δειγματολήπτη τοποθετείται στοιχείο κατακράτησης, π.χ. πυκνωτής Η τιμή του πυκνωτή καθορίζεται τόσο από την αντίσταση που εμφανίζει η έξοδος του δειγματολήπτη όσο και την αντίσταση εισόδου της επόμενης διάταξης Ο χρόνος ανοίγματος επιλέγεται μικρός ώστε ο χρόνος παρακολούθησης ελάχιστος δειγματολήπτης x d [n] = x a (nt s ) τ κατ F s = 1/T s τ τ παρ (n-1) T s n Ts (n+1) Ts τ απ t τ = τ απ + τ παρ : χρόνος ανοίγματος (opening time) τ απ : χρόνος απόκτησης τ παρ : χρόνος παρακολούθησης (acquisition time) τ κατ : χρόνος κατακράτησης (hold time) 23