ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 5 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: nsagias@uop.gr

2 Δειγματοληψία Τα φυσικά σήματα είναι αναλογικά Για να τα επεξεργαστούμε ή/και να τα αποθηκεύσουμε πρέπει να τα ψηφιοποιήσουμε Η διαδικασία ψηφιοποίηση ονομάζεται αναλογικοψηφιακή (A/D) μετατροπή και πραγματοποιείται με A/D μετατροπείς (ADC) Η διαδικασία A/D αποτελείται από τα εξής στάδια: Δειγματοληψία Κβάντιση Κωδικοποίηση Η αντίστροφη διαδικασία οναμάζεται ψηφιακοαναλογική (D/A) μετατροπή και πραγματοποιείται με D/A μετατροπείς (DAC) σήμα διακριτού χρόνου ADC κβαντισμένο σήμα αναλογικό σήμα Δειγματολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής ψηφιακό σήμα 2

3 Θεωρούμε ομοιόμορφη δειγματοληψία όπου λαμβάνονται δείγματα κάθε T s δευτερόλεπτα x[n] = x a (n T s ) Ο ρυθμός δειγματοληψίας (sampling rate) είναι F s = 1/T s δειγματολήπτης αναλογικό σήμα x a (t) F s = 1/T s x[n]= x a (nt s ) σήμα διακριτού χρόνου T s 3

4 Ας θεωρήσουμε αναλογικό ημιτονοειδές σήμα συχνότητας F, x a (t) = A cos(2 π F t + θ) Τότε, x[n] = x a (n T s ) = A cos(2 π F n T s + θ) = A cos[2 π (F/F s ) n + θ] και συνεπώς η συχνότητα του δειγματοληπτημένου σήματος είναι η = F / F s Δεδομένου ότι - < F < και -1/2 1/2, εύκολα προκύπτει ότι Fs Fs F 2 2 Άρα, συχνότητα του αναλογικού σήματος πρέπει να είναι μικρότερη από την F max = F s / 2 Στο αναλογικό σήμα x a (t) αντιστοιχούν άπειρα δειγματοληπτημένα σήματα συχνότητας F k F k = F + k F s (k =, 1, 2, ) k = F k / F s 1/2 -F s /2 F s /2 -F s -1/2 F s F F = = π + θ = Fs [ ] ( ) cos 2 a s k x n x nt A n F+ kf F s = Acos 2π n+ θ = Acos 2π n+ θ F F s s 4

5 Σύνολο Α: Συχνότητες αναλογικού σήματος διακριτού χρόνου F Σύνολο Β: Συχνότητες σήματος διακριτού χρόνου Σύνολο C B (C υποσύνολο του B): Συχνότητες σήματος διακριτού χρόνου με 1/2 F a 1 2 F a Σύνολο A Σύνολο C 3 Σύνολο B 5

6 Παράδειγμα αλλοίωσης; Θεωρούμε αναλογικό ημιτονοειδές σήμα της μορφής x a (t) = 3 cos(1 π t) Για ρυθμό δειγματοληψίας F s = 8Hz, το αλλοιωμένο σήμα που προκύπτει είναι x a (t) = 3 cos(6 π t) 4 x(t) = 3 cos(1 π t) x(t) = 3 cos(6 π t) δείγματα Πλάτος (volt) Χρόνος (msec) 6

7 Ερώτημα: Δεδομένου ενός αναλογικού σήματος βασικής ζώνης με εύρος ζώνης B, πώς γίνεται η επιλογή του ρυθμού δειγματοληψίας; Απάντηση: Η επιλογή γίνεται με βάση την μέγιστη συχνότητα που φέρει. Το αναλογικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως K ( ) ( ) ( ) ( ) xa t = Ak t sin 2 π Fk t t+ θk t k = 1 Αν η μέγιστη συχνότητα ανάμεσα στις {F 1, F 2,, F N } είναι η F max = B, τότε για να αποφευχθεί το πρόβλημα της αλλοίωσης πρέπει F s 2 B Η ελάχιστη τιμή του F s ονομάζεται ρυθμός Nyquist F s,min = 2 B Η παραπάνω σχέση εξασφαλίζει επίσης ότι και τα N ημιτονοειδή σήματα δειγματοληπτούνται χωρίς να αλλοιώνονται -B 2B X a () B Μετασχηματισμός Fourier σήματος βασικής ζώνης 7

8 x a (t) Ιδανική δειγματοληψία δειγματολήπτης x d [n] = x a (nt s ) F s = 1/T s -n T s -T s T s n T s t ( ) = δ ( ) x t t nt δ n = x a (t) x d [n] s Πεδίο χρόνου: Πεδίο συχνότητας: x t = x t x t = x nt t nt ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) d a δ a s s n= ( ) ( ) Το φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος αποτελείται από θεωρητικά άπειρα το πλήθος πανομοιότυπα αντίγραφα του φάσματος του αναλογικού σήματος Οι θέσεις των φασμάτων είναι σε ακέραια πολλαπλάσια της F s Το πλάτος του κάθε φάσματος είναι πολλαπλασιασμένο με F s { } { ( ) ( )} ( ) ( ) Xd = F xd t = F xa t xδ t = Xa Xδ = = X F nf = F X nf ( ) δ ( ) ( ) a s s s a s n= n= 8

9 x a (t) δειγματολήπτης x d [n] = x a (nt s ) F s = 1/T s T s X a () αναλογικό & δειγματοληπτημένο σήμα στο πεδίο του χρόνου -B B αναλογικό & δειγματοληπτημένο σήμα στο πεδίο της συχνότητας F s > 2 B X d () -n F s -F s -B -F s +B -B B F s -B F s +B n F s -F s F s X d () F s < 2 B (αλλοίωση) -n F s -3 F s -2 F s -F -B B s F s 2 F s 3 F s n F s 9

10 Θεώρημα δειγματοληψίας: Αν η μέγιστη συχνότητα που εμπεριέχεται σε αναλογικό σήμα, x a (t), είναι F max = B και αυτό δειγματοληπτηθεί με ρυθμό F s > 2 B, τότε το x a (t) μπορεί να ανακτηθεί από τα δείγματά του διερχόμενα από φίλτρο με κρουστική απόκριση τη συνάρτηση παρεμβολής ( ) sinc( 2 Bt) g t = = sin 2 ( π Bt) 2π Bt Το x a (t) γράφεται ως ένα άθροισμα χρονικά ολισθημένων εκδόσεων του g(t) με βάρη τα δείγματα του x a (t) x a (t) sinc ( x) = sin ( π x) π x x a a s s n= ( ) = ( ) ( ) x t x nt g t nt x a (nτ s ) g(t - nτ s ) Πρόβλημα: Απαίτηση για άπειρο αριθμό δειγμάτων! Η δειγματοληψία με την g(t) είναι ιδανική και συνεπώς παρουσιάζει μόνο θεωρητικό ενδιαφέρον 1

11 Το αναλογικό σήμα μπορεί να ανακτηθεί από τα δείγματά του αν αυτά διέλθουν από ιδανικό φίλτρο βασικής ζώνης εύρους ζώνης B με συνάρτηση μεταφοράς H R ( ) 1, B =,διαφορετικά Το φίλτρο θα επιτρέψει τη διέλευση μόνο του φασματικού περιεχομένου της βασικής ζώνης, ενώ το φασματικό περιεχόμενο των υπόλοιπων περιοχών θα απορριφθεί H R () X d () -F s -B -F s +B -B B F s -B F s +B -F s F s 11

12 -B X a () B X a () ( ) = δ ( ) X F nf δ s n = s LPF H R () -B B xˆa ( t) ανακτημένο αναλογικό σήμα F s > 2 B H R () X d () -F s -B -F s +B -B B F s -B F s +B -F s F s { } F ( ) ( ) ( ) F ˆ ( ) { } ( ) ( ) xˆ t = X = H X = h t x t = 1 1 a a R d R d s a s s s a s s n= n= ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) = 2 BT sinc 2 Bt x nt t nt = 2 BT x nt sinc 2 B t nt 12

13 Ερώτημα: Δεδομένου ενός αναλογικού σήματος διέλευσης ζώνης με εύρος ζώνης B, πώς γίνεται η επιλογή του ρυθμού δειγματοληψίας; Απάντηση: Ο ελάχιστος ρυθμός δειγματοληψίας είναι: F s = 2 F h m F l και F h : ελάχιστη και μέγιστη συχνότητα του σήματος, αντίστοιχα και B = F h F l m = 1, 2, 3, με Fh Fh 1< m B B Αποδεικνύεται ότι ο ελάχιστος ρυθμός δειγματοληψίας είναι μεταξύ 2B και 4B 2 Β < F s 4 Β Το αναλογικό σήμα μπορεί να αν ανακτηθεί από τα δείγματά του διερχόμενα από ιδανικό φίλτρο διέλευσης ζώνης με συνάρτηση μεταφοράς X a () H R ( ) 1, Fl F B B h =,διαφορετικά F l F h -F l -F h Μετασχηματισμός Fourier σήματος διέλευσης ζώνης 13

14 4 F s / Β F s = F m 2 h m = 1 m = 2 m = 3 m = F h / Β Καθώς το F h / B αυξάνει, ο λόγος F s / B τείνει να γίνει ίσος με 2 14