Πανεπιστημιακό Φροντιστήριο "ρούλα μακρή" Εξετάσεις Θ.Ε. ΠΛΗ22 Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ Περίοδος (15/06/2011)

Transcript

1 Εξετάσεις Θ.Ε. ΠΛΗ Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ Περίοδος - (5/6/) Ονοματεπώνυμο:...Υπογραφή... Να απαντηθούν και τα 5 θέματα Διάρκεια Διαγωνίσματος: 3.5 h ΘΕΜΑ Δίνεται το σήμα xt με χρονική κυματομορφή που απεικονίζεται παρακάτω: x(t) t (α) Να υπολογιστεί το φάσμα πλάτους του σήματος X f (β) Το xt πολλαπλασιάζεται στο πεδίο του χρόνου με κατάλληλο σήμα άπειρης χρονικής διάρκειας gt για το οποίο ισχύει ότι g t όταν t και προκύπτει το σήμα y t rect t.5 rect t.5. Να υπολογιστεί η χρονική έκφραση του gt και το φάσμα πλάτους του G f. (γ) Να υπολογιστεί το φάσμα πλάτους του προκύπτοντος σήματος Y f.

2 (δ) Το σήμα yt διέρχεται από ένα σύστημα στην έξοδο του οποίου προκύπτει το σήμα φάσμα Z f cos 6 f sinc f συστήματος είναι ίση με H f cos3 f Απάντηση (α) zt με. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση μεταφοράς του Από το δεδομένο σχήμα το σήμα. t t x t rect rect tri t. 4 Συνεπώς το φάσμα πλάτους ισούται με: X f 4sinc 4 f sinc f sin c f (β) Το xt ισούται με: xtπολλαπλασιάζεται στο πεδίο του χρόνου με κατάλληλο σήμα σήμα y t rect t.5 rect t.5. Για να γίνει αυτό θα πρέπει το σήμα gt και προκύπτει το g t να λειτουργεί ως υψιπερατό φίλτρο στο πεδίο του χρόνου με την κρουστική απόκριση να ισούται με t g t rect ενώ το φάσμα του θα ισούται με G f f sinc f. (γ) Έχουμε y t rect t.5 rect t.5 Το φάσμα του ισούται με. j f.5 j f.5 sinc sinc j f.5 j f.5 e e sinc f cos 3 f sinc f Y f e f e f (δ) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι η ακόλουθη: Z f cos 6 f sinc f H f Y f cos 3 f sinc f. Κι επειδή ισχύει ότι cos 6 f cos 3 f τελικά έχουμε: Z f cos 3 f sinc f H f cos3 f Y f cos 3 f sinc f

3 ΘΕΜΑ Έστω τα σήματα x( t) sin(4 t) sin(8 t) και y( t) cos(4 t)cos( t). Το σήμα z( t) x( t) y( t) πρέπει να μεταδοθεί είτε με αναλογική διαμόρφωση SSB, ή AM, ή ψηφιακά με PCM. Στο PCM ο εφαρμοζόμενος ρυθμός δειγματοληψίας είναι διπλάσιος του Nyqist και για την κβάντιση πλάτους χρησιμοποιούνται 8 ζώνες ίδιου εύρους. α) Είναι τα σήματα x(t), y(t) περιοδικά, και αν ναι, υπολογίστε τις περιόδους τους. β) Υπολογίστε το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους, το εύρος ζώνης και τη συχνότητα Nyqist του z(t). γ) Υπολογίστε το απαιτούμενο εύρος ζώνης με τους τρεις διαφορετικούς τρόπους μετάδοσης δ) Yποθέστε ότι το εύρος ζώνης του PCM σήματος θα πρέπει να μειωθεί στα.khz. Προκειμένου να γίνει αυτό, θα πρέπει το σήμα z(t) να διέλθει από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο και στη συνέχεια η έξοδος του φίλτρου να δειγματιστεί με κατάλληλη συχνότητα δειγματοληψίας. Να υπολογιστεί το πεδίο των τιμών της συχνότητας αποκοπής του φίλτρου και να υπολογιστεί η νέα συχνότητα δειγματοληψίας. Απάντηση α) Ισχύει: x( t) sin(4 t) sin(8 t) = cos(4 t) cos( t) Τα επιμέρους σήματα είναι περιοδικά με περιόδους T και T. 4 7 k m m Για την περιοδικότητα θα πρέπει να ισχύει T kt mt. 7 k 7 7 Ο λόγος τους ΕΙΝΑΙ ρητός αριθμός, συνεπώς το σήμα ΕΙΝΑΙ περιοδικό. Η κοινή περίοδος είναι το ΕΚΠ, δηλαδή T sec. Παρόμοια για το y( t) cos(4 t) cos( t) = cos( 4 t) cos( 4 t) Τα επιμέρους σήματα είναι περιοδικά με περιόδους T και 4 5 T. 4 5 Για την περιοδικότητα θα πρέπει να ισχύει k m k 5 T kt mt. 5 5 m 5 Ο λόγος τους ΔΕΝ είναι ρητός αριθμός, συνεπώς το σήμα y(t) ΔΕΝ είναι περιοδικό. β) Έχω: z( t) cos(4 t) cos( t) cos( 4 t) cos( 4 t) Συνεπώς περιέχονται οι συχνότητες 7 Hz, Hz, 4 5 / 359,5 Hz, και 4 5 / 4,85 Hz.

4 X(f) / << -359,5-4,85 >> 4,85 359,5 7 f Το εύρος ζώνης είναι B x = Hz και ο ρυθμός Nyqist είναι δείγματα/sec. γ) Για το SSB απαιτείται εύρος ζώνης W SSB =B x = Hz, και για το AM απαιτείται εύρος ζώνης W AM =B x = Hz. Για το PCM ο ρυθμός δειγματοληψίας είναι διπλάσιος του Nyqist, δηλαδή Fs=* = 44 samples/sec. Συνεπώς το εύρος θα είναι Fs log 8 * 44*3 66 Hz. δ) Το εύρος ζώνης του PCM σήματος θα πρέπει να μειωθεί στα Hz Η νέα συχνότητα δειγματοληψίας υπολογίζεται ως εξής: Bpcm=.5*fs*log8=>=.5*fs=>fs=4Hz Άρα η μέγιστη συχνότητα του σήματος θα πρέπει να είναι fmax=fs/=7hz Οπότε το βαθυπερατό φίλτρο θα έχει συχνότητα αποκοπής 7Hz<fc<Hz Εναλλακτικά, εάν υιοθετήσει κανείς για το ερώτημα αυτό την εκφώνηση για το (α), ότι δηλαδή «Στο PCM ο εφαρμοζόμενος ρυθμός δειγματοληψίας είναι διπλάσιος του Nyqist» τότε Fs=*Fnyq => Fnyq=4/ = 7 Hz. Η μέγιστη συχνότητα fmax=fnyq/=35hz. Συνεπώς το βαθυπερατό φίλτρο θα έχει συχνότητα αποκοπής 35 Hz<fc<359,5 Hz.

5 ΘΕΜΑ 3 Ένα ABP πρωτόκολλο (δηλ. πρωτόκολλο παύσης και αναμονής) τρέχει πάνω από ένα κανάλι χρησιμοποιώντας μετρητή (timer) για να αναμεταδίδει μετά από ένα διάστημα προθεσμίας επανεκπομπής (ΤΙΜΕOUT) πλαίσια για τα οποία δεν λαμβάνεται πίσω θετική επιβεβαίωση (λόγω λαθών στο πλαίσιο με τα δεδομένα ή στις επιβεβαιώσεις). Ο μετρητής ξεκινάει μόλις ο αποστολέας αρχίσει να στέλνει ένα πλαίσιο και όχι αφού το στείλει. Έχετε τα εξής δεδομένα: Ζητούνται: - Ταχύτητα μετάδοσης καναλιού ίση με Mbits/sec. - Μήκος πλαισίου ίσο με bits. - Χρόνος μετάδοσης επιβεβαίωσης ΤRΑΝSA= λόγω πολύ μικρού μήκους των επιβεβαιώσεων. - Απόδοση πρωτοκόλλου δίχως λάθη ίση με 33.3%. - Πιθανότητα λάθους ίση με p=.5 ( στα πλαίσια κατά μέσον όρο χρειάζεται να μεταδοθεί ξανά). - Απόδοση πρωτοκόλλου με λάθη ίση με %. α) Ο χρόνος μετάδοσης ενός πλαισίου TRANSP β) Η καθυστέρηση διάδοσης (μονής κατεύθυνσης) PROP του σήματος στο κανάλι. γ) Η διάρκεια TIMEOUT της προθεσμίας επανεκπομπής. Απάντηση Ο χρόνος μετάδοσης ενός πλαισίου είναι TRANSP= bits/( Mbits/sec)= μsec. Όταν δεν γίνονται λάθη η απόδοση είναι.333= TRANSP/( TRANSP+PROP) οπότε PROP=TRANSP= μsec Στην περίπτωση τώρα που υπάρχουν λάθη: Εστω Υ ο μέσoς χρόνος που μεσολαβεί από τη στιγμή που ένα πακέτο αρχίζει να στέλνεται για πρώτη φορά μέχρι την στιγμή που θα σταλεί το επόμενο πακέτο. Ο χρόνος Υ περιλαμβάνει και τυχόν αναμεταδόσεις του ίδιου πακέτου σε περίπτωση που η αρχική μετάδοση ληφθεί με λάθη. Τότε έχουμε Υ=.95 (TRANSP+PROP)+.5 (TIMEOUT+Y) Στην παραπάνω σχέση πήραμε υπόψιν μας ότι αν συμβει ένα λάθος, τότε χάνεται μέσος χρόνος ίσος με TIMEOUT + Y (δεδομένου ότι μετά το λάθος και το TIMEOUT, είμαστε πάλι στην ίδια κατάσταση και το πλαίσιο που θα στείλουμε μπορεί πάλι να ληφθεί με λάθη). Ισοδύναμα, έχουμε.95υ=.95x3μsec +.5xTIMEOUT ή Υ=3μsec + TIMEOUT/9 Δίδεται ότι η απόδοση του ΑΒΡ παρουσία λαθών είναι.= TRANSP/Υ οπότε Υ= μsec

6 Επομένως TIMEOUT=9x7 μsec=33 μsec=3,3 msec ΘΕΜΑ 4 Έστω η πηγή χωρίς μνήμη S που παράγει τα σύμβολα {α,β,γ,δ,ε} βάσει της κατανομής {.,.,.,.,.} και η πηγή με μνήμη S, η οποία χαρακτηρίζεται από τον πίνακα μετάβασης ενώ οι στατικές πιθανότητες π i, i=,,3,4,5 που προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος πp=π είναι όπως στην περίπτωση της πηγής χωρίς μνήμη δηλαδή π i =., i=,,3,4,5. α) Να βρείτε ποια από τις δύο πηγές έχει την μικρότερη εντροπία. β) Αν θεωρήσουμε τον παραπάνω πίνακα μετάβασης ως τον πίνακα μετάβασης ενός καναλιού και ότι η S είναι η πηγή συμβόλων που αποστέλλονται με την κατανομή του ερωτήματος (α) πάνω από αυτό το κανάλι βρείτε τα παρακάτω: Απάντηση (i) Τι είδους χαρακτηριστικό κανάλι αντιπροσωπεύει ο πίνακας μετάβασης Ρ; (ii) Βρείτε την χωρητικότητα του καναλιού αυτού. Είναι δυνατόν το πληροφορικό περιεχόμενο που μετάδωσε η πηγή S πάνω από το κανάλι να είναι ίσο με την χωρητικότητα του καναλιού; Εξηγείστε την απάντησή σας. α) Η πηγή με μνήμη έχει μικρότερη εντροπία από την αντίστοιχη χωρίς μνήμη λόγω του ότι η εξάρτηση μειώνει την εντροπία της πηγής. Άρα Η(S)>H(S). Εναλλακτικά για να υπολογίσουμε την εντροπία της πηγής S η οποία είναι χωρίς μνήμη και άρα τα σύμβολα παράγονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο εφαρμόζουμε τον τύπο της εντροπίας 5 5 H S p log p. log..3 bits i i i i Στην περίπτωση της πηγής με μνήμη S η εντροπία της πηγής είναι H S i pij log pij. log log i j i log log 3 log log bits Οπότε H(S)>H(S).

7 β) Ο πίνακας μετάβασης αντιπροσωπεύει κανάλι το οποίο συμπεριφέρεται ως ενθόρυβη γραφομηχανή. Για να βρούμε τη χωρητικότητα του καναλιού πρέπει πρώτα να βρούμε την αμοιβαία πληροφορία Ι(Χ;Ύ) Άρα Οπότε προκύπτει ότι Ι(Χ;Υ)=Η(Υ)-Η(Υ/Χ) 5 5 H Y X P X j P Y i X j P Y i X j j i / / log / 5 H Y / X P X j log log j log log H 3 I X ; Y H Y H 3 Αφού βρήκαμε την αμοιβαία πληροφορία, προχωρούμε να βρούμε την χωρητικότητα του καναλιού που προκύπτει από αυτή μέσω της μεγιστοποίησή της

8 C max I X; Y max H Y H px px 3 Άρα το πρόβλημα μεγιστοποίησης μεταφέρεται στην μεγιστοποίηση της Η(Υ) η οποία παίρνει την μέγιστη τιμή όταν οι έξοδοι είναι ισοπίθανοι, δηλαδή όταν Άρα η χωρητικότητα του καναλιού είναι Η(,)=log5 C max I X ; Y log 5 H bits px 3 Επειδή η μεγιστοποίηση της Η(Υ) είναι συναρτήσει των πιθανοτήτων εισόδου θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι υπάρχει κατάλληλη κατανομή πιθανοτήτων εισόδου η οποία όντως μεγιστοποιεί την εντροπία εξόδου. Πράγματι παρατηρούμε ότι η πιθανότητες εμφάνισης των συμβόλων της πηγής εισόδου μεγιστοποιούν την εντροπία της εξόδου. 5 / P Y j P Y j X i P X i i / / P Y i X i P X i P Y i X i P X i , για κάθε i,j=,,3,4,5 Άρα στην περίπτωσή μας το πληροφορικό περιεχόμενο ισούται με την μέγιστη χωρητικότητα του καναλιού. ΘΕΜΑ 5 Δίνεται ο γραμμικός κώδικας C με (n,k,d)=(7,4,3) ο οποίος προκύπτει από το ανάπτυγμα του υποσυνόλου S={,,,,}. α) Δείξτε ότι η λέξη [] δεν είναι κωδική λέξη. β) Βρείτε όλα τα σύνδρομα του κώδικα C καθώς και το πλήθος των συνομάδων και το πλήθος των λέξεων που περιέχονται σε κάθε μία από αυτές. γ) Ένας ΠΑΜΠ αποκωδικοποιητής παρέλαβε δύο συνεχόμενες λέξεις x=[] και y=[] στις οποίες ανίχνευσε λάθη λόγω του ότι είχαν το ίδιο μη μηδενικό σύνδρομο. Την πρώτη από αυτές την διόρθωσε στην κωδική λέξη c=[]. Σε ποια κωδική λέξη c θα διορθώσει τη λέξη y; Απάντηση α) Επειδή η απόσταση του κώδικα είναι 3 δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν κωδικές λέξεις βάρους διότι αν υπήρχαν τότε η διάσταση του πίνακα θα ήταν αφού η διάσταση ταυτίζεται με το ελάχιστο μη μηδενικό βάρος των κωδικών λέξεων. Άρα η λέξη [] ΔΕΝ είναι κωδική λέξη διότι έχει βάρος.

9 Ένας άλλος πιο χρονοβόρος τρόπος είναι να βρούμε τον γεννήτορα πίνακα σε μορφή ΠΚΔΓ και να δείξουμε ότι η εν λόγω λέξη δεν είναι κωδική λέξη G Από τον παραπάνω γεννήτορα πίνακα μπορούμε να υπολογίσουμε τον πίνακα ισοτιμίας Η ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί με τη λέξη θα πρέπει να δώσει μη μηδενικό σύνδρομο. H Άρα []*Η=[] που σημαίνει ότι δεν είναι κωδική λέξη. β) Ο πίνακας συνδρόμων αποτελείται από όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των δυαδικών ψηφίων, μήκους 3 διότι η διάσταση είναι k=4 και το μήκος του κώδικα είναι n=7. Άρα το πλήθος των συνδρόμων είναι ίσο με το πλήθος των συνομάδων που είναι n-k = 3 =8 ενώ το πλήθος των λέξεων που ανήκουν σε κάθε συνομάδα είναι ίσο με τα πλήθος των κωδικών λέξεων δηλαδή 4 =6.. γ) Εφόσον οι δύο λέξεις που παρελήφθησαν έχουν το ίδιο σύνδρομο αυτό σημαίνει ότι έχουν και το ίδιο πρότυπο σφάλματος ε βάσει του οποίου αποκωδικοποιήθηκε η πρώτη λέξη. Δηλαδή έχουμε c=x+ε άρα ε=c+x=>[]+[] = []. Άρα ο αποκωδικοποιητής θα αποκωδικοποιήσει την y στη κωδική λέξη c=y+ε=[]+[]=[].

10 Βαρύτητες Θεμάτων ΘΕΜΑ 5 Ερώτημα α 7 Ερώτημα β 6 Ερώτημα γ 6 Ερώτημα δ 6 ΘΕΜΑ Ερώτημα α 7 Ερώτημα β 4 Ερώτημα γ 4 Ερώτημα δ 5 ΘΕΜΑ 3 5 Ερώτημα α Ερώτημα β Ερώτημα γ ΘΕΜΑ 4 Ερώτημα α 5 Ερώτημα β(i) 4 Ερώτημα β(ii) ΘΕΜΑ 5 Ερώτημα α 8 Ερώτημα β 5 Ερώτημα γ 7 ΣΥΝΟΛΟ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!

11 Επαναληπτικές Εξετάσεις Θ.Ε. ΠΛΗ Βασικά Ζητήματα Δικτύων Η/Υ Περίοδος - (6/7/) Ονοματεπώνυμο:...Υπογραφή... Να απαντηθούν και τα 5 θέματα Διάρκεια Διαγωνίσματος: 3.5 h ΘΕΜΑ t6 t6 Έστω το σήμα x( t) sin c sin c 4cos t. α) Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε το φάσμα πλάτους του σήματος, X( f ). β) Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε το φάσμα του σήματος που προκύπτει από τη συνέλιξη: Y( f ) X ( f ) f f. γ) Να σχεδιάσετε το φάσμα του σήματος Z( f ) που θα προκύψει όταν το σήμα με φάσμα Y( f ) (που υπολογίστηκε στο προηγούμενο ερώτημα) περάσει από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο μοναδιαίου πλάτους και συχνότητας αποκοπής Hz. Απάντηση (α) Γνωρίζουμε ότι: sin c( t) rect( f ) f sin c( at) rect a a f asin c( at) rect a Eπομένως: t sin c rect f Αλλά: 6 6 sin t sin t c c t 6 t 6 * sin c t. Ο ΜΣ Forier αυτού του σήματος είναι το γινόμενο ενός συνημιτόνου (λόγω του ου όρου) και ενός τετραγωνικού παλμού (λόγω του ου όρου), δηλ. το cos f 6 rect f 4 cos f 6 rect f. Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τον συνδυασμό των ιδιοτήτων χρονικής ολίσθησης και αλλαγής κλίμακας των μετασχηματισμών Forier f t x at t X exp j f a a a Άρα έχουμε για Επομένως έχουμε

12 j f, x t 6 t f sin c sin c e f e Ομοίως j f, x t 6 t f sin c sin c e f e Άρα j f 6 t6 t6 j f 6 j f 6 sin c sin c f e e f cos f 6 4 f cos Οπότε το σήμα x(t) έχει μετασχηματισμό X ( f ) 4cos f f f f Το φάσμα αυτού του σήματος φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. X(f) j f /4 /4 f (β) Η συνέλιξη αυτού του σήματος με το σήμα f f Y ( f ) X ( f ) f f X f X f είναι: f rect f f rect f f f f f 4 cos cos Δηλαδή το X(f) μετατοπίζεται κατά, δηλαδή:

13 Y(f) / / /4 +/4 f (γ) Όταν αυτό περάσει τώρα από ένα βαθυπερατό συχνότητας αποκοπής Hz στην έξοδο θα έχουμε το: Z( f ) Y ( f ) H ( f ) BP 4 cos f rect f cos f rect f f f f 99 f f 99 rect Ή όπως φαίνεται στα επόμενα σχήματα: Y(f) 4 H BP (f) - --/ / /4 +/4 f

14 Z(f) / /4 f ΘΕΜΑ Δίνονται τα παρακάτω σήματα: x ( t ) sin c (5 t )cos( t ), x ( t ) sin c (3 t 5) sin c (3 t 5). Προκειμένου να μεταδοθούν και τα δύο μέσω καναλιού, προσφέρονται δύο εναλλακτικές επιλογές: (Επιλογή ) Να διαμορφωθεί κάθε σήμα με FM (με λόγο απόκλισης D=) σε διαφορετική συχνότητα και να μεταδοθούν και τα δύο με πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας (FDMA), (Επιλογή ) Κάθε σήμα να υποστεί δειγματοληψία σε ρυθμό Nyqist, να κωδικοποιηθεί με PCM 4 bits και να μεταδοθούν και τα δύο πάλι με πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας (FDMA). α) Να υπολογίσετε το εύρος ζώνης των x () t, x () t. β) Να υπολογίσετε το συνολικό απαιτούμενο φάσμα για την επιλογή μετάδοσης (). γ) Να υπολογίσετε το συνολικό απαιτούμενο φάσμα για την επιλογή μετάδοσης (). Απάντηση f α) Το σήμα sin c(5 t) έχει μετασχηματισμό ( ) 5 5 το οποίο έχει εύρος 75Hz. / Hz Όμως ο πολλαπλασιασμός του sin c(5 t) με το cos( t ) δημιουργεί κλιμακωμένα κατά ½ αντίγραφα του αρχικού φάσματος μετατοπισμένα κατά ±5 Hz:

15 sin c(5 t)cos( t ) <--> f 5 f 5 ( ) ( ) / Hz Συνεπώς το εύρος ζώνης του σήματος x () t είναι 5Hz. FT f f Βάσει της ιδιότητας x( at t ) X exp j t a a a το σήμα sin c(3t 5) f f j 3 5 f j f/3 ( ) e ( ) e Παρόμοια, sin c(3t 5) f f j 3 5 f j f/3 ( ) e ( ) e f jf Συνεπώς, sin c(3t 5) sin c(3t 5) ( )( /3 j f e e /3 ) = 3 3 jf /3 jf /3 f e e f f ( )( ) = ( )cos( ) Αν και το cos(πf/3) έχει άπειρο εύρος, προφανώς το συνολικό εύρος ζώνης του x () t ισούται με 5Hz, f όσο δηλαδή ο παλμός ( ) 3 που πολλαπλασιάζει το συνημίτονο. β) Με FM κάθε σήμα θα καταλαμβάνει εύρος (D+)5 και (D+)5 Hz, δηλαδή 5 Hz και 6 Hz αντίστοιχα, συνεπώς το άθροισμα είναι Hz. γ) Το ο σήμα απαιτεί ρυθμό δειγματοληψίας F s =*5=5 samples/sec. Το αντίστοιχο εύρος ζώνης θα είναι FN= 5 * 4 5 Hz s Το ο σήμα απαιτεί ρυθμό δειγματοληψίας F s =*5=3 samples/sec. Το αντίστοιχο εύρος ζώνης θα είναι F N= 3 * 4 6 Hz s Συνεπώς με πολυπλεξία συχνότητας απαιτούνται 5+6= Ηz. Συνεπώς και οι επιλογές μετάδοσης απαιτούν πρακτικά το ίδιο φάσμα στη συγκεκριμένη περίπτωση.

16 ΘΕΜΑ 3 Έστω σταθμός Α που επικοινωνεί με σταθμό Δ μέσω των σταθμών Β και Γ και τριών συνδέσμων (σύνδεσμος μεταξύ ΑΒ, σύνδεσμος μεταξύ ΒΓ, σύνδεσμος 3 μεταξύ ΓΔ). Oι χρόνοι μετάδοσης πλαισίου είναι ίδιοι σε κάθε σύνδεσμο ((TRANSP = TRANSP = TRANSP3 = -4 s), ενώ οι χρόνοι μετάβασης με επιστροφή (S) και προθεσμίας (T) είναι αντίστοιχα S =T =, ms, S =T =,5 ms, και S 3 =T 3 =,ms. T =, ms T =,5 ms T 3 = ms Α S =, ms Β S =,5 ms Γ S 3 = ms Δ Η πιθανότητα σφάλματος πακέτου μονόδρομης μετάδοσης είναι: στον ο σύνδεσμο και στον 3ο σύνδεσμο p err, ενώ στον ο σύνδεσμο p err. Πρέπει να επιλέξετε μεταξύ τριών σεναρίων: ) ένα πρωτόκολλο επανεκπομπής ABP υλοποιείται μεταξύ των σταθμών Α και Δ (end-to-end), με συνέπεια οι Β και Γ να ενεργούν απλά ως αναμεταδότες. Το πρωτόκολλο αυτό έχει μετρηθεί ότι έχει απόδοση,5%. ) ένα πρωτόκολλο επανεκπομπής ABP υλοποιείται μεταξύ των σταθμών Α και Γ με συνέπεια ο Β να ενεργεί ως απλός αναμεταδότης και ένα πρωτόκολλο επανεκπομπής ABP υλοποιείται μεταξύ των σταθμών Γ και Δ. 3) ένα πρωτόκολλο επανεκπομπής ABP υλοποιείται μεταξύ των σταθμών Α και Β και ένα πρωτόκολλο επανεκπομπής ABP υλοποιείται μεταξύ των σταθμών Β και Δ με συνέπεια ο Γ να ενεργεί ως απλός αναμεταδότης. Ποιό από τα τρία σενάρια επιτυγχάνει την καλύτερη απόδοση; Απάντηση Η πιθανότητα επιτυχούς μετάδοσης πακέτου και παραλαβής της επιβεβαίωσης στον ο σύνδεσμο και στον 3ο σύνδεσμο είναι p ( p err ) (, ),99,98 Η πιθανότητα επιτυχούς μετάδοσης πακέτου και παραλαβής της επιβεβαίωσης στον ο σύνδεσμο είναι p ( p err ) (, ),98,964 Η πιθανότητα επιτυχούς μετάδοσης πακέτου και παραλαβής της επιβεβαίωσης στον ο και ο σύνδεσμο και στον ο και 3 ο σύνδεσμο είναι p ( p ) ( p ) p p,94884 err err Για το σενάριο, έχουμε τις αποδόσεις για τις ζεύξεις ΑΓ και ΓΔ. Η απόδοση για την ζεύξη ΑΓ είναι 4 TRANSP TRANSP p TRANSP,94884* 3,76% ABP 3 E[ X] ( p) S S S,5* T p Η απόδοση για την ζεύξη ΓΔ είναι

17 n ΓΔ = p TRANSP/S 3 = 4,9% Συνεπώς η απόδοση του ου σεναρίου (καθοριζόμενη από τον πιο αργό σύνδεσμο) είναι: 3,76% Για το σενάριο 3, έχουμε τις αποδόσεις για τις ζεύξεις ΑΒ και ΒΔ. Η απόδοση για την ζεύξη ΑΒ είναι n AB = p TRANSP/S = 9,8% Η απόδοση για την ζεύξη ΒΔ είναι n ΒΔ = p TRANSP/(S + S 3 ) =,68% Συνεπώς η απόδοση του 3 ου σεναρίου (καθοριζόμενη από τον πιο αργό σύνδεσμο) είναι:,68% Το δεύτερο σενάριο επιτυγχάνει την καλύτερη απόδοση. ΘΕΜΑ 4 Δίνεται μια πηγή χωρίς μνήμη που παράγει τα σύμβολα {,}, με p()=/4. Ζητούνται τα ακόλουθα: α) Να βρεθεί η κωδικοποίηση όλων των μηνυμάτων της πηγής που αποτελούνται από δύο σύμβολα σύμφωνα με τον αλγόριθμο κωδικοποίησης Shannon. β) Η κωδικοποίηση μηνυμάτων της πηγής που αποτελείται από 3 σύμβολα σύμφωνα με τον αλγόριθμο κωδικοποίησης Shannon δίνεται από τον παρακάτω πίνακα Ακολουθίες Κωδικές Πηγής Λέξεις (i) Βελτιώνεται η συμπίεση με αυτή την κωδικοποίηση (ακολουθία συμβόλων μήκους 3) σε σχέση με την κωδικοποίηση του ερωτήματος α) (ακολουθία συμβόλων μήκους ); (Υπόδειξη: Για να μπορέσετε να αποφανθείτε για τη συμπίεση των δύο κωδικοποιήσεων θα πρέπει να συγκρίνετε το μέσο μήκος που αναλογεί σε κάθε ένα σύμβολο {,} της πηγής για την κάθε μία περίπτωση κωδικοποίησης) (ii) Δείξτε έναν καλύτερο τρόπο συμπίεσης των μηνυμάτων του ερωτήματος (α). Απάντηση α) Ακολουθίες Πιθανότητες P i Μήκος l i Ανάπτυγμα Κωδικές

18 β) Πηγής Συμβόλων του P i Λέξεις 9/6 P = l =. 3/6 P = 9/6 l = 3. 3/6 P 3 = /6 l 3 = 3. /6 P 4 = 5/6 l 4 = 4. (i) Παρατηρούμε ότι το μέσο μήκος κωδικής λέξης για τα μηνύματα μήκους συμβόλων είναι L bits / ή ( ή ) και άρα το μέσο μήκος ανά σύμβολο είναι 3/6/=3/3 bits/σύμβολο Ομοίως για ακολουθίες 3 συμβόλων κάνοντας χρήση του πίνακα της εκφώνησης ως προς το μήκος της κάθε κωδικής λέξης και υπολογίζοντας τις πιθανότητες εμφάνισης του κάθε μηνύματος έχουμε τον παρακάτω πίνακα Ακολουθίες Πιθανότητες Μήκος l i Κωδικές Πηγής Συμβόλων Λέξεις /64 l = 6 3/64 l = 5 3/64 l 3 = 5 9/64 l 4 = 3 3/64 l 5 = 5 9/64 l 6 = 3 9/64 l 7 = 3 7/64 l 8 = Από τον οποίο προκύπτει ότι L bits / ή ( ή 3) και άρα το μέσο μήκος ανά σύμβολο είναι (86/64)/3=3/3 bits/σύμβολο Παρατηρούμε δηλαδή ότι η συμπίεση στις δύο περιπτώσεις είναι ίδια και άρα δεν βελτιώνεται με την αύξηση των μηνυμάτων από μήκος σε 3 σύμβολα. Αντιθέτως αν αυξήσουμε το μήκος σε 4 τότε παρατηρείται βελτίωση της συμπίεσης. Για να το δούμε αυτό αρκεί να βρούμε το μέσο μήκος μηνύματος και στη συνέχεια να βρούμε το μέσο μήκος ανά σύμβολο. (ii) Για να επιτύχουμε καλύτερη συμπίεση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο κωδικοποίησης Hffman για τα μηνύματα μήκους καθότι γνωρίζουμε ότι πετυχαίνει βέλτιστη συμπίεση. Ακολουθίες Πιθανότητες Κωδικές Πηγής Συμβόλων Λέξεις 9/6 9/6 9/6

19 3/6 3/6 7/6 3/6 4/6 /6 Βλέπουμε ότι το μέσο μήκος είναι 7/6 bits/μήνυμα(μήκους ) και άρα το μέσο μήκος ανά σύμβολο είναι 7/3 bits/σύμβολο πού είναι καλύτερη από τις συμπιέσεις των προηγούμενων αλγορίθμων. ΘΕΜΑ 5 Δίδεται γραμμικός κώδικας ελέγχου σφάλματος C. Με,, 3, 4 συμβολίζεται το προς κωδικοποίηση μήνυμα και με c c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 η κάθε κωδική λέξη του γραμμικού κώδικα όπως αυτή προκύπτει από τον ακόλουθο κωδικοποιητή του σχήματος: α) Ζητείται να βρεθούν (i) To πλήθος των κωδικών λέξεων του συγκεκριμένου κώδικα (ii) Ο ρυθμός πληροφορίας του κώδικα β) Ζητείται ο γεννήτορας πίνακας G και ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας Η του κώδικα γ) Να βρεθεί η κωδικοποίηση του μηνύματος [] σύμφωνα με τον παραπάνω κώδικα δ) Να υποτεθεί ότι ο ανωτέρω συστηματικός κώδικας εκπέμπεται μέσα από κανάλι και ο δέκτης λαμβάνει τη λέξη r=[]. Ζητείται να ελεγχθεί η ύπαρξη σφάλματος στη ληφθείσα λέξη και σε περίπτωση που υπάρχει να βρεθεί το σφάλμα ε, καθώς και η αντίστοιχη λέξη μηνύματος (ψηφία μηνύματος) που εστάλη πάνω από το κανάλι. Απάντηση α) (i) Το πλήθος των κωδικών λέξεων εξαρτάται από το μήκος των αρχικών μηνυμάτων και όχι από το k μήκος των κωδικοποιημένων μηνυμάτων, και δίνεται από τι σχέση, όπου k 4 το μήκος του μηνύματος πληροφορίας. Επομένως, το πλήθος των κωδικών λέξεων είναι 6.

20 (ii) O ρυθμός πληροφορίας κάθε κώδικα δίνεται από τη σχέση n k R. Δεδομένου ότι 4 k και 7 n ο ρυθμός πληροφορίας είναι n k R. β) Για να υπολογίσω τον πίνακα γεννήτορα G και τον πίνακα ελέγχου ισοτιμίας H, θα πρέπει να εκφράσω το διάγραμμα σε μαθηματικές εκφράσεις c c c c c c c Οπότε με βάση αυτές τις μαθηματικές εκφράσεις, θα έχουμε πίνακα γεννήτορα G διαστάσεων [4 x 7] και μορφής [Μ I] καθότι τα ψηφία πληροφορίας καταλαμβάνουν τις 4 τελευταίες θέσεις της κάθε κωδικής λέξης. O πίνακας Μ είναι διαστάσεων [4 x 3] και ο μοναδιαίος Ι είναι [4 x 4] M I M G Προσοχή ο πίνακας ισοτιμίας θα είναι της μορφής H και όχι της μορφής H H γ) Η κωδικοποίηση του μηνύματος δίνεται από C G

21 δ) Δεδομένου ότι λήφθηκε το κωδικοποιημένο μήνυμα r=[], για την αποκωδικοποίηση θα έχουμε y r H Το y σύνδρομο αντιστοιχεί στη γραμμή 4 του πίνακα ισοτιμίας και επομένως το σφάλμα στο λαμβανόμενο κωδικοποιημένο μήνυμα βρίσκεται στη ψηφίο 4. Η κωδική λέξη που εστάλη προκύπτει από την αντικατάσταση του ψηφίου 4 με αντί. Οπότε η κωδικοποιημένη λέξη χωρίς σφάλματα δίνεται από r=[] και άρα το σφάλμα είναι ε=[] ενώ το μήνυμα που εστάλη είναι το [ ] Βαρύτητες Θεμάτων ΘΕΜΑ 5 Ερώτημα α 8 Ερώτημα β 9 Ερώτημα γ 8 ΘΕΜΑ Ερώτημα α Ερώτημα β 5 Ερώτημα γ 5 ΘΕΜΑ 3 7 ΘΕΜΑ 4 Ερώτημα α 8 Ερώτημα β(i) 6 Ερώτημα β(ii) 6 ΘΕΜΑ 5 7 Ερώτημα α (i) Ερώτημα α (ii) Ερώτημα β 6 Ερώτημα γ 3 Ερώτημα δ 4 ΣΥΝΟΛΟ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!