Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 9: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Β Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creaive Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Υπολογισμός του χρόνου στον σύνθετο τόκο ή ανατοκισμό Έστω κεφάλαιο τα οποίο τοκίζεται με επιτόκιο i για χρονικό διάστημα χρονικών περιόδων και με ανατοκισμό. Ο γενικός τύπος της τελικής αξίας του κεφαλαίου στο τέλος της περιόδου είναι ( i) όπου προκύπτει ότι: ( i) Στη συνέχεια αναζητούμε από τους ειδικούς πίνακες στο τέλος των διδακτικών βιβλίων των οικονομικών μαθηματικών την τιμή του για
ορισμένο επιτόκιο i, η οποία αντιστοιχεί στο πηλίκο. Στην περίπτωση όμως που το πηλίκο δεν αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο αριθμό ετών, τότε υπολογίζουμε το με τη μέθοδο της παρεμβολής. Παράδειγμα. Σε πόσο χρόνο κεφάλαιο 3. ευρώ το οποίο ανατοκίζεται με επιτόκιο 5,5% γίνεται 6.73,27 ευρώ; ΛΥΣΗ Εφαρμόζουμε τον γενικό τύπο του ανατοκισμού και έχουμε:
( i) (,55) 6.73,27 3. 2,57739 Αναζητούμε στους πίνακες τη στήλη που αντιστοιχεί στο επιτόκιο 5,5% τον αριθμό 2,57739 και βρίσκουμε ότι 3 έτη. Παράδειγμα 2. Μετά από πόσο χρόνο κεφάλαιο 2. ευρώ ανατοκιζόμενο με επιτόκιο 5% γίνεται 35. ευρώ; ΛΥΣΗ Εφαρμόζουμε τον γενικό τύπο του ανατοκισμού και έχουμε: ( i),75 (,5) 35. 2.
Πηγαίνουμε στον πίνακα με επιτόκιο 5% και αναζητούμε τον αριθμό,75. Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει αυτός ο αριθμός, αλλά περιέχεται μεταξύ των αριθμών,733 και,79585, δηλ. μεταξύ των ετών και 2, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τον ζητούμενο αριθμό ως εξής: Α) Υπολογίζουμε τη διαφορά των αριθμών μεταξύ μικρότερου και μεγαλύτερου χρόνου, δηλ.:,79585 -,733 =,8552 Β) Υπολογίζουμε τη διαφορά των αριθμών μεταξύ αγνώστου και μεγαλύτερου χρόνου, δηλ.:,75 -,733 =,3967
Γ) Εφαρμόζουμε την απλή μέθοδο των τριών, δηλ.: Σε διαφορά αριθμού,8552 αντιστοιχούν 2 μήνες. Σε διαφορά αριθμού,3967 αντιστοιχούν x μήνες. 2,3967 Συνεπώς: x 5, 57,8552 δηλ., 5 μήνες και 7 ημέρες. Επομένως, ο ζητούμενος χρόνος είναι: έτη 5 μήνες και 7 ημέρες Υπολογισμός του επιτοκίου στον σύνθετο τόκο ή ανατοκισμό Ο υπολογισμός του επιτοκίου πραγματοποιείται με την ίδια διαδικασία που έγινε για τον υπολογισμό του χρόνου.
Από τον γενικό τύπο του ανατοκισμού έχουμε ότι: ( i) Στη συνέχεια αναζητούμε από τους ειδικούς πίνακες την τιμή του i για ορισμένο χρόνο, η οποία αντιστοιχεί στο πηλίκο. Στην περίπτωση όμως που το πηλίκο δεν αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο επιτόκιο, τότε υπολογίζουμε το i με τη μέθοδο της παρεμβολής. Παράδειγμα 3. Με ποιο επιτόκιο κεφάλαιο 4. ευρώ γίνεται 64. ευρώ μετά από έτη ανατοκισμού;
ΛΥΣΗ Εφαρμόζουμε τον τύπο ( i) και 64. έχουμε: ( i ), 6 4. Πηγαίνουμε στον πίνακα με έτη και αναζητούμε τον αριθμό,6. Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει αυτός ο αριθμός, αλλά περιέχεται μεταξύ των αριθμών,55297 και,62889, δηλ. μεταξύ των επιτοκίων 4,5% και 5%, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, βρίσκουμε το ζητούμενο επιτόκιο ως εξής: Α) Υπολογίζουμε τη διαφορά των αριθμών μεταξύ μικρότερου και μεγαλύτερου επιτοκίου, δηλ.:,62889 -,55297 =,7592
Β) Υπολογίζουμε τη διαφορά των αριθμών μεταξύ αγνώστου και μικρότερου επιτοκίου, δηλ.:,6 -, 55297 =,473 Γ) Σε διαφορά επιτοκίου,5,45 =,5 έχουμε διαφορά αριθμού,7592. Σε διαφορά αγνώστου επιτοκίου x έχουμε διαφορά αριθμού,473.,5,473 Συνεπώς: x, 3,7592 δηλ., 5 μήνες και 7 ημέρες. Επομένως, το ζητούμενο επιτόκιο είναι:,45 +,3 =,48, δηλ. 4,8%.
ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΠΙΤΟΚΙΑ Δύο επιτόκια που αντιστοιχούν σε διάφορες χρονικές περιόδους (έτος, εξάμηνο, τρίμηνο, κ.λπ.) λέγονται ανάλογα όταν δίνουν την ίδια τελική αξία και τον ίδιο συνολικό τόκο για το ίδιο κεφάλαιο και για τον ίδιο συνολικό χρόνο. Με άλλα λόγια, αν το ετήσιο επιτόκιο είναι,5 τότε το εξαμηνιαίο επιτόκιο θα είναι,5 : 2 =,25 και το τριμηνιαίο επιτόκιο θα είναι,5 : 4 =,25. Τα επιτόκια αυτά είναι ανάλογα. Παράδειγμα 4. Κεφάλαιο. ευρώ τοκίζεται για 2 έτη με απλό τόκο και ετήσιο επιτόκιο 8% ή εξαμηνιαίο επιτόκιο 4% ή τριμηνιαίο
επιτόκιο 2%. Να βρεθεί ο συνολικός τόκος και η τελική αξία. ΛΥΣΗ Περίοδος παραγωγής τόκου το έτος I FV i 2 6.. 2,8 6. i. 6. Περίοδος παραγωγής τόκου το εξάμηνο I i. 4,4 6. FV i. 6. 6. Περίοδος παραγωγής τόκου το τρίμηνο I i.8,2 6. FV 6. i. 6.
Στην περίπτωση του ανατοκισμού ή σύνθετου τόκου, τα ανάλογα επιτόκια δεν εφαρμόζονται διότι δίνουν διαφορετική τελική αξία και διαφορετικό συνολικό τόκο. Για να έχουμε και στον ανατοκισμό την ίδια τελική αξία, θα πρέπει ο ανατοκισμός να γίνεται όχι προς τα ανάλογα, αλλά προς τα ισοδύναμα επιτόκια. Δύο επιτόκια που αναφέρονται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους λέγονται ισοδύναμα, αν δίνουν στον ανατοκισμό με το ίδιο αρχικό κεφάλαιο σε ίσο χρονικό διάστημα την ίδια τελική αξία.
Υπολογισμός του ισοδύναμου επιτοκίου Έστω ότι τοκίστηκαν νομισματικές μονάδες με ετήσιο επιτόκιο i και με ανατοκισμό. Στο τέλος του έτους η τελική αξία θα είναι ( i). Έστω επίσης ότι i είναι το ισοδύναμο επιτόκιο με το οποίο αν ανατοκίσουμε νομισματικές μονάδες φορές μέσα στο έτος θα προκύψει η ίδια τελική αξία. Δηλαδή, i 2 είναι το εξαμηνιαίο επιτόκιο, i το 4 τριμηνιαίο επιτόκιο, κ.λπ. Αφού τα επιτόκια i και i είναι ισοδύναμα, οι τελικές αξίες θα είναι ίσες, δηλαδή: ( i) ( i ) i ( i )
Επομένως, αν λύσουμε ως προς i θα έχουμε: i ( i) Από τη σχέση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε το επιτόκιο i, δηλαδή το πραγματικό εξαμηνιαίο, τριμηνιαίο ή μηνιαίο επιτόκιο, όταν γνωρίζουμε το πραγματικό ετήσιο επιτόκιο i. Η τιμή του ( i) για διάφορες τιμές των i και δίνεται από τους ειδικούς πίνακες. Προεξόφληση στον ανατοκισμό Ονομάζουμε προεξόφληση E στον ανατοκισμό τη διαφορά μεταξύ της ονομαστικής αξίας μιας συναλλαγματικής και της παρούσας αξίας αυτής, δηλαδή:
E E E ( U ( i) ) ( i) Στον ανατοκισμό εφαρμόζεται μόνο η εσωτερική προεξόφληση, διότι η εξωτερική οδηγεί πολλές φορές σε σημείο ώστε το προεξόφλημα να γίνεται ίσο ή μεγαλύτερο από την τελική αξία του κεφαλαίου. Ισοδυναμία στον ανατοκισμό Έστω τα κεφάλαια,..., είναι πληρωτέα μετά από, 2 τα οποία,,..., 2 έτη και αντικαθίστανται από ένα κεφάλαιο το οποίο λήγει μετά από έτη και με επιτόκιο i.
Εάν λάβουμε ως εποχή ισοδυναμίας την ημέρα υπολογισμού τότε θα έχουμε: U U U U... 2 2 2 Εάν λάβουμε ως εποχή ισοδυναμίας την κοινή λήξη τότε θα έχουμε: U U U... 2 2 2
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creaive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».
[]hp://creaivecommons.org/licenses/ από-nc-sa/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να
χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. διαθέσιμο με άδεια CC-BY Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC ublic Domain Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού.
διαθέσιμο ως κοινό κτήμα Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. χωρίς σήμανση Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.