1.1 ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ 1.1.1 Ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα Ορισμός Κατάταξη των υλικών Η ηλεκτρική αγωγιμότητα (G) είναι μια ιδιότητα μεταφοράς όπως η θερμική αγωγιμότητα και το ιξώδες των σωμάτων. Συγκεκριμένα εκφράζει, την ευκολία μεταφοράς ηλεκτρικού ρεύματος διαμέσου του σώματος. Είναι το αντίστροφο της ηλεκτρικής αντίστασης (R) και σαν μονάδες μέτρησής της χρησιμοποιούνται οι ισοδύναμες Ω -1, ohm -1, mho, siemens (S). Συνηθέστερα χρησιμοποιείται η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα (σ) που είναι το αντίστροφο της ειδικής ηλεκτρικής αντίστασης (ρ) δηλ. σ = 1/ρ (1.1) με μονάδες μέτρησης τις Ω -1 m -1, mho -1 m -1, S m -1. Η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα ορίζεται και με τη βοήθεια του γνωστού μας νόμου του Ohm. Σύμφωνα με το νόμο αυτό η σταθερά αναλογία της πυκνότητας της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος J, και της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ξ σε ένα υλικό, δεν είναι τίποτα διαφορετικό από την ειδική ηλεκτρική αντίσταση σ που περιγράφηκε λίγο παραπάνω : J = σ. ξ (νόμος του Ohm) (1.) Η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα είναι τελικά δηλαδή η ποσότητα του ηλεκτρικού φορτίου q που μεταφέρεται στη μονάδα του χρόνου t, κατά μήκος μιας μοναδιαίας επιφάνειας τομής του υλικού υπό την επίδραση μοναδιαίας μεταβολής δυναμικού dv/dx : σ = (dq / dt) A.(dV / dx) (1.) Ποιο είναι όμως εκείνο το ιδιαίτερο γνώρισμα της ειδικής ηλεκτρικής αγωγιμότητας το οποίο θεμελιώνει το συλλογισμό, ότι μας οδήγησε στη διάκριση των σωμάτων σε μονωτές, αγωγούς και ημιαγωγούς? Η απάντηση είναι ότι διαθέτει το μεγαλύτερο εύρος μεταβολών τιμών από όλες τις άλλες μακροσκοπικές ιδιότητες των υλικών. Για παράδειγμα αναφέρεται ότι σ ag ~ 10 8 ohm -1 m -1, ενώ σ s ~ 10-15 ohm -1 m -1. Παρατηρείται δηλαδή μια διαφορά τάξεων μεγέθους που τεκμηριώνει την παραπάνω διάκριση των υλικών. Μία διάκριση που οφείλεται σε θεμελιώδεις διαφορές στη δομή των παραπάνω σωμάτων. Στο σχήμα 1.1 παρουσιάζεται μια κατάταξη των υλικών με βάση την ειδική ηλεκτρική τους αγωγιμότητα. Βέβαια υπάρχουν και σημαντικές αποκλίσεις και επικαλύψεις που γίνονται ακόμα πιο σημαντικές αν ληφθεί υπόψη η επίδραση θερμοκρασίας, ακτινοβολιών και προσμίξεων στην αγωγιμότητα των σωμάτων.
Οι τρεις κυριότερες κατηγορίες υλικών σωμάτων (μονωτές, ημιαγωγοί και μέταλλα) παρουσιάζουν τεράστιες διαφορές όσο αφορά την τιμή της ειδικής ηλεκτρικής τους αγωγιμότητας σ στη συνηθισμένη θερμοκρασία περιβάλλοντος. Σχήμα 1.1 : Κατάταξη των υλικών με βάση την ειδική ηλεκτρική τους αγωγιμότητα. [9] Οι μονωτές παρουσιάζουν τη μικρότερη τιμή η οποία και έχει εύρος μέχρι 10-6 Ω -1 m -1.H μικρή αυτή τιμή οφείλεται στην έλλειψη ηλεκτρικών φορέων που μπορούν να μετακινηθούν υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου και να καταστήσουν αγώγιμο το μονωτικό σώμα. H διαφορετικότητα στην ηλεκτρική συμπεριφορά των υλικών πηγάζει από τη διαφορετικότητα στη δομή τους. Συγκεκριμένα είναι γνωστό ότι τα διηλεκτρικά υλικά άπειρης αντίστασης (μονωτές), είναι είτε ιοντικά στερεά, είτε ομοιοπολικά σώματα, είτε πολυμερή. Στην πρώτη περίπτωση τα ανιόντα συγκρατούν ισχυρά τα ηλεκτρόνια σθένους που έχουν λάβει από τα κατιόντα, με αποτέλεσμα οι μονωτές να έχουν σαν φορείς τα δυσκίνητα και ογκώδη ιόντα. Τα τελευταία δεν παρουσιάζουν σημαντική απόκριση στην περίπτωση επιβολής ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Στη δεύτερη περίπτωση (ομοιοπολικά και πολυμερή υλικά), υπάρχει έλλειψη φορέων που θα μπορούσαν να μετακινηθούν με την επιβολή εξωτερικού πεδίου, επειδή τα ηλεκτρόνια σθένους είναι ισχυρά συνδεδεμένα με τα άτομα που είναι ενωμένα με ομοιοπολικούς δεσμούς και δεν μπορούν να απομακρυνθούν από αυτά. Τα μέταλλα παρουσιάζουν τιμές ειδικής ηλεκτρικής αγωγιμότητας μεταξύ 10 5 και 10 8 Ω -1 m -1. Και στην περίπτωση των μετάλλων μπορούμε να εξηγήσουμε τις τιμές αυτές με βάση την εσωτερική τους δομή. Τα μέταλλα και τα κράματα ως γνωστό αποτελούνται από πλήθος κατιόντων τα οποία συγκρατούνται σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα με τη βοήθεια ενός «ηλεκτρονικού νέφους», δηλ. ενός μεγάλου αριθμού ηλεκτρονίων σθένους τα οποία δεν ανήκουν σε κανένα άτομο και κυκλοφορούν ελεύθερα μέσα στο υλικό. Τα ηλεκτρόνια αυτά αποτελούν τους φορείς ηλεκτρικού ρεύματος σε περίπτωση επιβολής εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Θα γίνει τώρα μια γρήγορη αναφορά στις υπόλοιπες λιγότερο συνηθισμένες κατηγορίες υλικών που αναφέρονται στην παραπάνω κατάταξη των σωμάτων. Οι κρυοαγωγοί και οι υπεραγωγοί είναι υλικά τα οποία παρουσιάζουν πολύ μεγάλη αγωγιμότητα σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες. Παραδείγματα υπεραγωγών είναι ο μόλυβδος, το νιόβιο και διάφορες διαμεταλλικές ενώσεις και κράματα κυρίως του νιοβίου όπως το Nb Sn. Τα ημιμέταλλα είναι ουσιαστικά μέταλλα των οποίων η μικρότερη αγωγιμότητα οφείλεται στην αραιότερη κρυσταλλική τους δομή. Τα υπεριονικά στερεά 4
είναι ιοντικά στερεά τα οποία περιέχουν ευκίνητα ιόντα. Οι τιμές της ειδικής ηλεκτρικής τους αγωγιμότητας επικαλύπτονται με εκείνη των ημιαγωγών. Η ηλεκτρική αγωγιμότητα των ημιαγωγών οφείλεται όμως σε πολύ διαφορετικά αίτια και επομένως δεν μπορούν να τοποθετηθούν στην ίδια κατηγορία. 1.1. Δημιουργία ενεργειακών ζωνών Προσέγγιση ισχυρού δεσμού Για να περιγραφεί η εσωτερική δομή των ημιαγωγών θα χρησιμοποιηθεί σαν εργαλείο η θεωρία των ενεργειακών ζωνών. Η θεωρία αυτή μπορεί να προσεγγιστεί με δύο διαφορετικούς τρόπους, οι οποίοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα. Ο πρώτος τρόπος, ο οποίος και περιγράφεται στις αμέσως επόμενες ενότητες είναι η προσέγγιση ισχυρού δεσμού, που ασχολείται με τη διεύρυνση των ενεργειακών σταθμών ενός ατόμου σε ενεργειακές ζώνες. Θα περιγραφεί όμως καταρχάς τι είναι οι ενεργειακές στάθμες των ηλεκτρονίων στο άτομο και πως πηγάζουν. Το ηλεκτρόνιο σύμφωνα με την κβαντομηχανική περιγράφεται από ένα στάσιμο κύμα δηλ. από μια κυματοσυνάρτηση χωριζομένων μεταβλητών της μορφής : Ψ = ψ (x, y, z). ημπνt (1.4) Η παράμετρος του χρόνου μπορεί να απομονωθεί και να παραμείνει μόνο το πλάτος της ταλάντωσης, το οποίο αναφέρεται σαν κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου: Ψ = ψ (x, y, z) (1.5) H κβαντομηχανική προβλέπει ότι η πιθανότητα παρουσίας του ηλεκτρονίου σε ένα σημείο (x,y,z) του χώρου είναι ανάλογη με την ενέργεια που μεταφέρεται από την κύμανση στο σημείο αυτό. Η ενέργεια αυτή είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους της ταλάντωσης. Άρα το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης (Ψ ) μας δίνει το μέτρο της πιθανότητας να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε ένα σημείο του χώρου. O Erwin Schrödinger, χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας για ένα ηλεκτρόνιο, καθόρισε τη μαθηματική μορφή που οφείλει να έχει η κυματοσυνάρτηση, ώστε να περιγράφει την κατάσταση ενός οποιουδήποτε ηλεκτρονίου. Αυτή είναι μια διαφορική εξίσωση, οι λύσεις της οποίας, ονομάζονται τροχιακά και εκφράζονται σε συνάρτηση με την εκάστοτε θέση του ηλεκτρονίου : ψ ψ ψ m + + x y z + Ε ( x, y, z) ψ ( x, y, z) = Ε ψ ( x, y, z) (1.6) όπου είναι η ανηγμένη μορφή της σταθεράς δράσης του Plank (h/π), m η μάζα του ηλεκτρονίου, Ε Δ η δυναμική του ενέργεια και Ε η συνολική του ενέργεια. Για παράδειγμα, η λύση της παραπάνω εξίσωσης για το άτομο του υδρογόνου έχει τη μορφή : 5
Ψ 1s 1/ 1 r / a = (1.7) πα e όπου α είναι μια σταθερά και r είναι η απόσταση του ηλεκτρονίου από τον πυρήνα. Ο δείκτης 1s υποδηλώνει ότι στη λύση αυτή αντιστοιχεί ο κύριος κβαντικός αριθμός 1 και ο δευτερεύων κβαντικός αριθμός s (ή 0). Η λύση αυτή περιγράφει τη θεμελιώδη κατάσταση του μοναδικού ηλεκτρονίου του ατόμου του υδρογόνου δηλ. την χαμηλότερη δυνατή ενέργειά του. Ο κύριος κβαντικός αριθμός υποδηλώνει την στιβάδα και ο δευτερεύων κβαντικός αριθμός την υποστιβάδα στην οποία ανήκει το ηλεκτρόνιο. Tα ατομικά τροχιακά που λαμβάνουν μέρος στο σχηματισμό χημικό ενώσεων (μόρια, κρύσταλλοι κ.τ.λ.) είναι τα τροχιακά των εξωτερικών στιβάδων των ατόμων. Η επικάλυψη δύο ατομικών τροχιακών που οδηγεί στη δημιουργία μοριακών τροχιακών είναι αντίστοιχη με τη συμβολή δύο κυμάνσεων. Αν αυτή η συμβολή είναι ομοφασική (βλ. σχήμα 1.α), η κύμανση στην περιοχή του χώρου μεταξύ των δυο πυρήνων των ατόμων ενισχύεται. Τότε υπάρχει πολύ μεγάλη πιθανότητα να βρεθούν σε αυτήν την περιοχή τα ηλεκτρόνια. Έλκονται επομένως ισχυρά και από τους δύο πυρήνες, με αποτέλεσμα την ελάττωση της ενέργειας του μορίου που προκύπτει. Αν όμως οι κυμάνσεις συμβάλλουν με αντίθεση φάσης (βλ. σχήμα 1.β), η κύμανση στην περιοχή μεταξύ των πυρήνων παρουσιάζεται σημαντικά εξασθενημένη. Υπάρχει ελάχιστη πιθανότητα να βρεθούν τα ηλεκτρόνια στην περιοχή αυτή με αποτέλεσμα την αποσταθεροποίηση του προκύπτοντος μορίου και την αύξηση της ενέργειάς του. Είναι άλλωστε γνωστό ότι τα άτομα σχηματίζουν χημικές ενώσεις μόνο όταν ο συνδυασμός τους προκαλεί την υποβάθμιση της συνολικής ενέργειας του συστήματος. Σχήμα 1. : Σχηματισμός δεσμικών και αντιδεσμικών μοριακών τροχιακών. [9] Το μοριακό τροχιακό υψηλότερης ενέργειας ονομάζεται αντιδεσμικό μοριακό τροχιακό (Ψ μ- ) και δεν ευνοεί το σχηματισμό χημικού δεσμού, ενώ το μοριακό τροχιακό χαμηλότερης ενέργειας ονομάζεται δεσμικό (Ψ μ+ ) και ευνοεί το σχηματισμό χημικού δεσμού. 6
Έτσι κατά το σχηματισμό χημικού δεσμού καθορίζονται καταρχάς τα άτομα και ειδικότερα τα ατομικά τροχιακά των στιβάδων σθένους τους. Κατόπιν προσδιορίζονται τα δεσμικά και αντιδεσμικά μοριακά τροχιακά που προκύπτουν. Τέλος κατανέμονται σε αυτά τα ηλεκτρόνια αρχίζοντας από το τροχιακό με την ελάχιστη ενέργεια. Πριν περιγραφεί ο σχηματισμός ενός κρυστάλλου Si (ο σημαντικότερος ημιαγωγός κατά τη σημερινή εποχή) από τα άτομα Si, θα πρέπει να αναλυθεί ένα φαινόμενο που παρατηρείται στο Si καθώς και σε άλλα τετρασθενή στοιχεία. Τα τέσσερα ηλεκτρόνια της εξωτερικής στιβάδας ανήκουν, τα δύο σε τροχιακό της μορφής s (δευτερεύων κβαντικός αριθμός 0), και τα δύο σε τροχιακά της μορφής p (δευτερεύων κβαντικός αριθμός 1). Τα παραπάνω πηγάζουν μετά την κατανομή των ηλεκτρονίων σε τροχιακά που προκύπτουν από την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger και την εφαρμογή του κανόνα της ελάχιστης ενέργειας. Η κατανομή των 14 ηλεκτρονίων του πυριτίου σύμφωνα με τα παραπάνω είναι ως εξής: 1s s p 6 s p. Τα ηλεκτρόνια της εξωτερικής στιβάδας συμβολίζονται ως s p αφού υπάρχουν δύο e - στο τροχιακό s και δύο στο τροχιακό p (p x και p y ). Συνήθως όμως πριν το σχηματισμό χημικού δεσμού ένα ηλεκτρόνιο σθένους από το συμπληρωμένο τροχιακό s μεταβαίνει στο κενό τροχιακό p z. Tα τέσσερα τώρα τροχιακά συνδυάζονται μεταξύ τους, και σχηματίζουν τέσσερα καινούρια και ισοδύναμα (ακριβώς στην ίδια ενεργειακή στάθμη) τροχιακά τα οποία συμβολίζονται sp και ονομάζονται υβριδικά. Αυτά έχουν τη μορφή ενός συστήματος τεσσάρων ζευγών λοβών, προσανατολισμένων κατά τη διεύθυνση των κορυφών τετραέδρου (βλ. σχήμα 1.). Τώρα είμαστε σε θέση να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση ισχυρού δεσμού για να πάρουμε σαν αποτέλεσμα τη δημιουργία των ενεργειακών ζωνών στους ημιαγωγούς αλλά και στα άλλα υλικά σώματα. Θα χρησιμοποιηθεί ως παράδειγμα για μια ακόμη φορά το πυρίτιο. Καθώς τα άτομα του Si πλησιάζουν για να δημιουργήσουν τον κρύσταλλο Si, τα ατομικά τροχιακά των στιβάδων σθένους μετατρέπονται σε δεσμικά και αντιδεσμικά υβριδικά μοριακά τροχιακά. Ταυτόχρονα οι ενεργειακές στάθμες που τα καθορίζουν μετατρέπονται σε ενεργειακές ζώνες, εξαιτίας της αλληλεπίδρασης ενός πολύ μεγάλου αριθμού όμοιων τροχιακών με πολύ παραπλήσιες τιμές ενέργειας. Στο σχήμα 1.4 απεικονίζεται η μεταβολή του πάχους και της απόστασης των σχηματιζόμενων Σχήμα 1. : H μορφή των ενεργειακών ζωνών του Si σε σχέση με την απόσταση υβριδικών τροχιακών sp. [10] των ατόμων του. Παρατηρείται επίσης κάποια επικάλυψη των ενεργειακών ζωνών σε συγκεκριμένες αποστάσεις καθώς και μεταβολή του εύρους των απαγορευμένων τιμών ενέργειας μεταξύ των ζωνών αυτών. Η επικάλυψη και υβριδοποίηση των δύο δεσμικών ζωνών s και p αρχίζει περίπου σε απόσταση 0,5nm. Στην ίδια απόσταση αρχίζει και η επικάλυψη και υβριδοποίηση των αντιδεσμικών ζωνών s και p. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τη δημιουργία τεσσάρων δεσμικών και τεσσάρων αντιδεσμικών τροχιακών sp. Τα τέσσερα δεσμικά τροχιακά είναι πλήρως συμπληρωμένα από 8 ηλεκτρόνια αφού παρατηρείται πάντοτε η επικάλυψη 7
των τροχιακών sp με αντίστοιχα τροχιακά γειτονικού ατόμου Si και η συνεπακόλουθη δημιουργία ομοιοπολικού δεσμού. Άρα τα τέσσερα αντιδεσμικά τροχιακά υψηλής παραμένουν κενά αφού δεν περισσεύει πια κανένα ηλεκτρόνιο σθένους. Σχήμα 1.4 : Σχηματισμός ενεργειακών ζωνών στο πυρίτιο. [9] Θεωρώντας την αλληλεπίδραση Ν ατόμων πυριτίου για το σχηματισμό του κρυστάλλου παίρνουμε σαν αποτέλεσμα ότι η δεσμική ζώνη του σχήματος είναι πλήρως καλυμμένη με 4Ν ηλεκτρόνια. Η ζώνη αυτή ονομάζεται ζώνη σθένους του Si. Αντίστοιχα η κενή αντιδεσμική ζώνη έχει και αυτή 4Ν κενές θέσεις e - και ονομάζεται ζώνη αγωγιμότητας του Si. Το πλέγμα του Si έχει σταθερά ίση με a=0,4nm. Στην απόσταση αυτή παρατηρείται ότι η απαγορευμένη ζώνη ενέργειας μεταξύ της ζώνης αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους είναι ίση με διάκενο 1,1eV. Η τιμή αυτή του διακένου μεταβάλλεται ελαφρά σε συνάρτηση με τη θερμοκρασία, λόγω της μεταβολής της σταθεράς πλέγματος με θερμοκρασιακές διαστολές και συστολές. Η απεικόνιση επομένως της δομής του Si περιλαμβάνει ζώνη σθένους και ζώνη αγωγιμότητας, οι οποίες χωρίζονται από απαγορευμένο ενεργειακό διάκενο. Η δομή αυτή όπως θα υποδειχθεί παρακάτω εξηγεί την ημιαγώγιμη συμπεριφορά του Si, ενώ είναι αντίστοιχη και με τις δομές των υπολοίπων ημιαγωγών. Για την περιγραφή της δομής αυτής των ημιαγωγών χρησιμοποιήθηκε ως μέσο η προσέγγιση ισχυρού δεσμού, δηλ. η προσέγγιση που σχετίζεται με ισχυρώς συνδεόμενα άτομα στο κρυσταλλικό πλέγμα. Στην αμέσως επόμενη παράγραφο θα ληφθεί το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα, χρησιμοποιώντας αρχικά μια εντελώς διαφορετική προσέγγιση, η οποία ονομάζεται προσέγγιση ελεύθερου ηλεκτρονίου. 8
1.1. Δημιουργία ενεργειακών ζωνών Προσέγγιση ελεύθερου ηλεκτρονίου Η βάση για να χρησιμοποιηθεί η προσέγγιση ελεύθερου ηλεκτρονίου είναι και σε αυτήν την περίπτωση η εξίσωση του Schrödinger για την περιγραφή της κυματοσυνάρτησης των ηλεκτρονίων : ψ ψ ψ m + + x y z + Ε ( x, y, z). ψ ( x, y, z) = Ε. ψ ( x, y, z) (1.8) Γενικά η εξίσωση αυτή στο μονοδιάστατο χώρο x έχει λύσεις της μορφής : Ψ(x) = A 1 coskx + A sinkx (1.9) όπου k είναι το διάνυσμα κύματος (θα δοθούν λεπτομέρειες λίγο παρακάτω) και Α 1, Α σταθερές. Αν λοιπόν αντικατασταθεί μια λύση της παραπάνω μορφής στην εξίσωση του Schrödinger, με τις παραδοχές ότι λαμβάνεται υπόψη μόνο η διάσταση x και ότι το δυναμικό θεωρείται παντού ίσο με μηδέν, θα ληφθεί σαν αποτέλεσμα η εξίσωση 1.10 για την ενέργεια Ε και το διάνυσμα κύματος k ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου : k E = (1.10) m Η παραπάνω σχέση ισχύει μόνο για απολύτως ελεύθερα ηλεκτρόνια, αφού θεωρώντας παντού το δυναμικό ίσο με μηδέν δεν πήραμε υπόψη μας τις επιδράσεις του κρυσταλλικού πλέγματος. Πριν παρασταθεί η γραφική παράσταση της εξίσωσης (1.10), θα δοθούν μερικά στοιχεία για την φυσική έννοια της ποσότητας που ονομάζουμε διάνυσμα κύματος k (ή κυματοδιάνυσμα). Οι διαστάσεις του κυματαριθμού (μέτρο του κυματοδιανύσματος) είναι μήκος εις την -1 και μας δίνει την χωρική περιοδικότητα της κυματοσυνάρτησης. Υποδηλώνει δηλαδή τον αριθμό των κύκλων του κύματος που προκαλείται σε δοσμένο μήκος π μέτρων. Είναι γνωστό και σαν αντίστροφος χώρος και αποτελεί πολύ σπουδαίο και βολικό εργαλείο για την απεικόνιση της ενέργειας των ηλεκτρονίων, επειδή όπως είδαμε η τελευταία είναι ευθέως ανάλογη με το τετράγωνό του. Το Σχήμα 1.5 : Η ενέργεια ελεύθερου ηλεκτρονίου Ε σε συνάρτηση με το διάνυσμα κύματος k. [] κυματοδιάνυσμα k είναι επίσης ικανό να περιγράψει την κίνηση ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου σύμφωνα με τη σχέση : 9
hk p = mv = (1.11) π Αν παρασταθεί γραφικά η ενέργεια ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου σε συνάρτηση το διάνυσμα κύματος k, θα έχουμε σαν αποτέλεσμα μια απλή παραβολή όπως φαίνεται από την εξίσωση (1.10) και από το διάγραμμα του σχήματος 1.5. Στην περίπτωση όμως που δεν θεωρηθεί αμελητέα η επίδραση του περιοδικού πλέγματος, η παραβολική σχέση του παραπάνω σχήματος παύει να ισχύει. Τώρα πια το δυναμικό δεν είναι παντού ίσο με μηδέν, αλλά μεταβάλλεται σύμφωνα με το πλέγμα του σώματος. Η δυναμική ενέργεια των ηλεκτρονίων είναι τώρα τόσο μεγαλύτερη, όσο περισσότερο απομακρυσμένα είναι από τον πυρήνα. Για την ακρίβεια ακολουθεί το διάγραμμα των παρακάτω σχημάτων : Σχήμα 1.6 : Aπεικόνιση της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ηλεκτρονίων σε συνάρτηση με την απόστασή τους από τον πυρήνα. [9] Σχήμα 1.7 : Aπεικόνιση της δυναμικής ενέργειας ηλεκτρονίων σε έναν μονοδιάστατο κρύσταλλο. [9] Στο σημείο αυτό έρχεται η συμβολή των Kronig και Penney, οι οποίοι χρησιμοποιώντας ένα πλήθος παραδεκτών προσεγγίσεων και παραδοχών κατάφεραν να αποδείξουν ότι η ενέργεια των ηλεκτρονίων, που επηρεάζεται από την παρουσία και την επίδραση του πλέγματος του υλικού, πρέπει να ικανοποιεί μια σχέση της μορφής : f(e) = coskα (1.1) 10
όπου α είναι μια σταθερά και k o κυματαριθμός του e -. Είναι φανερό ότι η f(e) επιτρέπεται να παίρνει τιμές μόνο από -1 ως +1. Όσες λοιπόν τιμές της ενέργειας Ε των ηλεκτρονίων δίνουν στην f(e) τιμές πέρα από αυτά τα όρια, είναι απαγορευμένες και αποτελούν τα ενεργειακά διάκενα που συναντήσαμε και στην περίπτωση της προσέγγισης ισχυρού δεσμού. Όλα αυτά μπορούν να φανούν καλύτερα εποπτικά στο σχήμα 1.8. Καταλήξαμε επομένως στο ίδιο συμπέρασμα. Τα ηλεκτρόνια τόσο στους ημιαγωγούς (π.χ. Si), όσο και σε οποιοδήποτε άλλο υλικό, μπορούν να καταλάβουν μόνο συγκεκριμένες τιμές ενεργειών, που αποτελούν τις επιτρεπτές ενεργειακές ζώνες. Το συμπέρασμα αυτό είναι το ίδιο για όλα τα υλικά, επειδή προέρχεται από τη θεμελιώδη επίδραση του πλέγματος στα ηλεκτρόνια, κάτι που συμβαίνει σε κάθε περίπτωση. Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των ενεργειακών ζωνών στους ημιαγωγούς και μια διαφοροποίησή τους στη δομή σε σχέση με τις ενεργειακές ζώνες σε μονωτές και μέταλλα, εξηγεί την διαφορετική ηλεκτρική τους συμπεριφορά και αγωγιμότητα. Στις επόμενες παραγράφους θα αναλυθούν οι θεμελιώδεις αυτές διαφορές στη δομή των ενεργειακών ζωνών. Πρώτα όμως θα πρέπει να καθοριστεί η γενική τους μορφή. Σχήμα 1.8 : Επιτρεπόμενες και απαγορευμένες ζώνες τιμών ενέργειας για τα ηλεκτρόνια ενός κρυσταλλικού στερεού. Επιτρεπόμενες είναι οι τιμές μεταξύ Ε 1 και Ε, Ε και Ε 4, Ε 5 και Ε 6 κ.τ.λ. Οι απαγορευμένες ζώνες τιμών είναι οι γραμμοσκιασμένες. [9] 1.1.4 Μορφή των ενεργειακών ζωνών στον ανάστροφο χώρο Η έννοια της φαινόμενης μάζας. Στην παρούσα ενότητα θα περιγραφεί η μορφή των ενεργειακών ζωνών στον αντίστροφο χώρο k, και θα γίνει μια εισαγωγή στην έννοια των ζωνών Brillouin. Σύμφωνα με την αρχή του δυϊσμού του De Broglie, οι κυματικές ιδιότητες των ηλεκτρονίων συνδέονται με τις σωματιδιακές σύμφωνα με την σχέση : h mv = (1.1) λ άρα χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1.11) μπορούμε να βρούμε ότι μεταξύ του κυματαριθμού και του μήκους κύματος λ, ισχύει η παρακάτω σχέση : π k = (1.14) λ 11
Το περιοδικό δυναμικό του πλέγματος προκαλεί την ανάκλαση των ηλεκτρονίων στα όρια του. Σε ένα μονοδιάστατο πλέγμα, όπου ισχύει sinθ = 1(θ η γωνία ανάκλασης), έχουμε σύμφωνα με το νόμο του Bragg : α = n λ (1.15) όπου α είναι η σταθερά του πλέγματος του υλικού και n ένας ακέραιος αριθμός. Χρησιμοποιώντας επομένως τις δύο τελευταίες εξισώσεις λαμβάνεται η μαθηματική σχέση : nπ k = (1.16) α που είναι η συνθήκη για την ανάκλαση της κυματοσυνάρτησης ηλεκτρονίου από μονοδιάστατο πλέγμα σταθεράς α. Η συνθήκη αυτή μεταβάλλει το διάγραμμα Ε-k στην περίπτωση που έχουμε δυναμικό πλέγματος και όχι απολύτως ελεύθερα ηλεκτρόνια. Το διάγραμμα τώρα χωρίζεται σε ένα μεγάλο πλήθος ζωνών Brillouin, στα όρια των οποίων πραγματοποιούνται οι ανακλάσεις Bragg : Σχήμα 1.9 : Διάγραμμα Ε-k με παρουσία δυναμικού πλέγματος. [] Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα υπάρχουν τιμές του Ε για τις οποίες δεν αντιστοιχούν τιμές του k. Έτσι συγκεκριμένες τιμές ενέργειας είναι απαγορευμένες. Το παραπάνω διάγραμμα δεν είναι ιδιαίτερα εύχρηστο, γιατί δε μας βοηθάει να ξεχωρίσουμε τις επιτρεπτές από τις απαγορευμένες ενεργειακές στάθμες. Λαμβάνοντας όμως υπόψη τις δυνατότητες που μας δίνει η συμμετρία και η περιοδικότητά του, μπορούν να περιοριστούν όλα τα τμήματά μέσα στην πρώτη ζώνη Brillouin (δηλ. από π/α ως π/α). Αυτό γίνεται πρακτικά διπλώνοντας το διάγραμμα σταδιακά πάνω στα όρια της κάθε 1
ζώνης Brillouin μέχρι να καταλήξουμε στην πρώτη ζώνη. Αυτή η τεχνική απεικόνισης ονομάζεται τεχνική του μειωμένου σχήματος και απεικονίζεται στο σχήμα 1.10: Σχήμα 1.10 : Απεικόνιση τεχνικής μειωμένου σχήματος. [9] Όλα τα παραπάνω ισχύουν βέβαια για μονοδιάστατο πλέγμα. Όταν έχουμε τρισδιάστατες δομές η διαδικασία περιπλέκεται. Στην περίπτωση αυτή γίνονται αναπαραστάσεις δοσμένων σημαντικών δομών στην τρισδιάστατη ζώνη Brillouin σαν μονοδιάστατη Ε ως προς τα k διαγράμματα. Είναι δηλ. σαν να κόβεται η ζώνη Brillouin κατά μήκος συγκεκριμένων διευθύνσεων. Σε στερεά σώματα με επίδραση του πλέγματος στα e - δεν ισχύει πια η απλή παραβολική σχέση : E = Aν όμως αντικατασταθεί η μάζα m των ηλεκτρονίων με την ποσότητα m * που ονομάζεται φαινόμενη μάζα ή ενεργός μάζα του ηλεκτρονίου, τότε η απλή σχέση : k m E = m k (1.17) εξακολουθεί να ισχύει. Το ηλεκτρόνιο βέβαια δεν αλλάζει στην πραγματικότητα την μάζα του. αυτή η θεώρηση είναι απλά ένα τέχνασμα που θα μας βοηθήσει να περιγράψουμε την συμπεριφορά του. h dk Η φαινόμενη μάζα δίνεται από τον τύπο m = (1.18), όπου k ο π dv κυματαριθμός, v η ταχύτητα του ηλεκτρονίου και h η σταθερά του Planck. Για ένα 1
ηλεκτρόνιο που κινείται σε κρυσταλλικό πλέγμα υπό την επίδραση μιας ηλεκτροστατικής δύναμης F ισχύει η σχέση : h dk dv F = (1.19) π dt dv Αν στην τελευταία σχέση αντικατασταθεί ο ορισμός της φαινόμενης μάζας (εξίσωση dv 1.18), θα καταλήξουμε σε μια σχέση της μορφής : F = m, που είναι ο γνωστός μας dt νόμος του Νεύτωνα στην περίπτωση κίνησης e - μέσα σε δυναμικό πλέγματος. Γίνεται εύκολα αντιληπτή η μεγάλη φυσική σημασία της φαινόμενης μάζας των ηλεκτρονίων, όταν αυτά κινούνται υπό την επίδραση ενός κρυσταλλικού πλέγματος. Στην ενότητα αυτή έγινε περιγραφή της μορφής των ενεργειακών ζωνών στον αντίστροφο χώρο. Τώρα υπάρχει το κατάλληλο θεωρητικό υπόβαθρο για να τονιστεί η διαφοροποίηση των ενεργειακών αυτών ζωνών στην περίπτωση των μετάλλων, των μονωτών και των ημιαγωγών. Η μικρή αυτή διαφοροποίηση στη μορφή τους, σε κάθε περίπτωση, καθορίζει πλήρως τις ηλεκτρικές ιδιότητες του υλικού. 1.1.5 Η μορφή και οι διαφορές των ενεργειακών ζωνών σε μέταλλα, μονωτές και ημιαγωγούς Αφού αναλύθηκε η μορφή των ενεργειακών ζωνών στα στερεά υλικά, θα περιγραφεί η κατανομή των ηλεκτρονίων σε αυτές και θα προσεγγιστούν οι διαφοροποιήσεις που παρουσιάζονται στην περίπτωση των μετάλλων, των ημιαγωγών και των μονωτών. Τα ηλεκτρόνια κατανέμονται στις ενεργειακές στάθμες του υλικού με κυρίαρχη αρχή την αρχή της ελαχίστης ενέργειας. Αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε έναν αριθμό από Ν ηλεκτρόνια που πρέπει να κατανεμηθούν σε ένα στερεό, ξεκινάμε την πλήρωση των ενεργειακών σταθμών από τις κατώτερες και προχωράμε σταδιακά προς τις ανώτερες. Οι ενεργειακές αυτές στάθμες ανήκουν στις επιτρεπτές ενεργειακές ζώνες που είδαμε στις προηγούμενες ενότητες. Συνεχίζουμε την κατανομή των e - μέχρι κάθε ηλεκτρόνιο να έχει τοποθετηθεί στην χαμηλότερη εναπομείνασα ενεργειακή στάθμη. Η μέγιστη ενεργειακή στάθμη που είναι κατειλημμένη, ονομάζεται στάθμη Fermi (Fermi level ή E F ) προς τιμή του Ιταλού φυσικού Enrico Fermi. Η στάθμη αυτή που αντιστοιχεί στην ενέργεια Fermi, διαχωρίζει τις κατειλημμένες από τις μη κατειλημμένες ενεργειακές στάθμες στους 0Κ. Η δομή αυτή των ηλεκτρονίων του περιγραφόμενου υλικού ονομάζεται βασική ενεργειακή κατάσταση (ground energy state). Θα ληφθεί ως παράδειγμα ένα μεταλλικό στερεό για να κατανοηθεί καλύτερα, η φυσική σημασία της έννοιας των ενεργειακών ζωνών. Είναι γνωστό ότι η δομή του μεταλλικού στερεού αποτελείται από το ιοντικό κρυσταλλικό πλέγμα και το ηλεκτρονικό νέφος. Τα ηλεκτρόνια αυτά κινούνται σε τυχαίες διευθύνσεις ανάμεσα στο κρυσταλλικό πλέγμα, με τις κινήσεις τους όμως να αντισταθμίζονται στο σύνολό τους, επειδή δεν 14
υφίσταται επιβολή ηλεκτρικού πεδίου και ροή ηλεκτρικού ρεύματος. Με την επιβολή όμως ενός εξωτερικού ηλεκτροστατικού πεδίου η παραπάνω κατάσταση μεταβάλλεται. Τα ηλεκτρόνια που κινούνται στην κατεύθυνση του πεδίου επιταχύνονται, δηλ. η ενέργειά τους αυξάνεται. Αντίθετα μειώνεται η ενέργεια των ηλεκτρονίων που κινούνται αντίθετα με το πεδίο, αφού αυτά επιβραδύνονται. Η απεικόνιση των παραπάνω μπορεί να παρασταθεί με την βοήθεια της έννοιας των ενεργειακών ζωνών, σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα: Σχήμα 1.11 : Eκδήλωση αγωγιμότητας σε ένα υποθετικό στερεό. α)η κίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων υπό την επίδραση εξωτερικού πεδίου. Τα βέλη δηλώνουν την τροχιά και την κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου. Το ηλεκτρόνιο (1) επιταχύνεται και το ηλεκτρόνιο () επιβραδύνεται υπό την επίδραση του πεδίου. β) Οι αντίστοιχες διεγέρσεις και αποδιεγέρσεις των ηλεκτρονίων (1) και () μέσα στην ενεργειακή ζώνη, σε σχέση με τη θέση της στάθμης Fermi του στερεού. [9] Γίνεται αντιληπτό ότι οι ενεργειακές μεταβολές αφορούν τα ηλεκτρόνια που έχουν ενέργειες στην περιοχή της ενέργειας Fermi. Τα ηλεκτρόνια που επιταχύνονται διεγείρονται σε ανώτερες κενές ενεργειακές στάθμες, ενώ εκείνα που επιβραδύνονται αποδιεγείρονται σε κατώτερες κενές ενεργειακές στάθμες. Οι στάθμες αυτές έχουν εκκενωθεί εξαιτίας της θερμικής ή εξαιτίας της ηλεκτροστατικής διέγερσης των ηλεκτρονίων που τις κατείχαν στους 0 Κ. Στα αγώγιμα στερεά παρατηρείται επομένως, ότι είναι δυνατή η διέγερση των ηλεκτρονίων ακόμη και με πολύ μικρή προσφορά ενέργειας, επειδή σε κάθε περίπτωση υπάρχουν κενές ενεργειακές στάθμες, τις οποίες μπορούν να καταλάβουν τα διεγερμένα ηλεκτρόνια. Είναι επίσης φανερό, ότι η ενέργεια Fermi βρίσκεται στο εσωτερικό μιας μερικώς κατειλημμένης ενεργειακής ζώνης η οποία είναι ταυτόχρονα ζώνη σθένους (valence band, E v ) και ζώνη αγωγιμότητας (conduction band E c ) (βλ. σχήμα 1.1). Στην περίπτωση όμως των ημιαγωγών, τα παραπάνω δεν ισχύουν απόλυτα. Η ζώνη σθένους και η ζώνη αγωγιμότητας είναι διακριτές ενεργειακές ζώνες. Ανάμεσα τους υπάρχει ένα απαγορευμένο ενεργειακό διάκενο στο μέσο του οποίου βρίσκεται η ενέργεια Fermi. Έχει ήδη περιγραφεί η περίπτωση του Si με 15
ενεργειακό διάκενο 1,1 ev. Η ζώνη σθένους, στην βασική ενεργειακή κατάσταση ενός ημιαγωγού είναι πλήρως συμπληρωμένη, ενώ η ζώνη αγωγιμότητας είναι πλήρως άδεια (βλ. σχήμα 1.1). Αυτό σημαίνει ότι για να διεγερθούν τα ηλεκτρόνια ενός ημιαγωγού και να δώσουν ηλεκτρικό ρεύμα, πρέπει η ενέργεια που θα απορροφήσουν να είναι ίση ή μεγαλύτερη από το ενεργειακό χάσμα (Ε g ) του υλικού. Σχήμα 1.1 : Aπλοποιημένο διάγραμμα ενεργειακών ζωνών σε ένα μέταλλο. [] Σχήμα 1.1 : Aπλοποιημένο διάγραμμα ενεργειακών ζωνών σε έναν ημιαγωγό. [] Η απεικόνιση των ενεργειακών ζωνών κάθε υλικού στον συμβατικό ή αντίστροφο χώρο k, φαίνεται παραστατικά στα παρακάτω σχήματα. Παρατηρούμε ότι τα αγώγιμα σώματα (μέταλλα) διαθέτουν ενεργειακές ζώνες οι οποίες δεν είναι πλήρως συμπληρωμένες (βλ. σχήμα 1.14α). εναλλακτικά μπορούν να διαθέτουν μια εντελώς συμπληρωμένη ζώνη, η οποία υπερκαλύπτεται από μια εντελώς κενή (βλ. σχήμα 1.14β). Σε κάθε περίπτωση πάντως τα αγώγιμα σώματα, έχουν διαθέσιμες γειτονικές κενές ενεργειακές στάθμες για τα ηλεκτρόνιά τους (τόσο ανώτερες, όσο και κατώτερες). Σε περίπτωση μικρής επικάλυψης ή επαφής των δύο ζωνών, δεν έχουμε τόσο μεγάλη αφθονία διαθέσιμων κενών ενεργειακών σταθμών. Το υλικό ονομάζεται τότε ημιμέταλλο και παρουσιάζει αραιότερη κρυσταλλική διάταξη και χαμηλότερη αγωγιμότητα από τα συνηθισμένα μέταλλα (βλ. σχήμα 1.14γ). 16
Σχήμα 1.14 : Οι σχετικές θέσεις και η πληρότητα με ηλεκτρόνια των δύο ανώτερων ενεργειακών ζωνών. α)σε μέταλλο με συμπληρωμένη τη ζώνη σθένους (π.χ. Na, Cu). β)σε μέταλλο με επικάλυψη πλήρους και κενής ζώνης (π.χ. Mg). γ)σε ημιμέταλλο. δ)σε μονωτή. ε)σε ημιαγωγό σε χαμηλή θερμοκρασία. στ)σε ημιαγωγό σε υψηλή θερμοκρασία, όπου έχει πραγματοποιηθεί διέγερση ηλεκτρονίων. [9] Στην περίπτωση των μονωτών παρατηρείται μια συμπληρωμένη ζώνη σθένους και μια κενή ζώνη αγωγιμότητας οι οποίες χωρίζονται από μεγάλο ενεργειακό χάσμα (βλ. σχήμα 1.14δ). Είναι φανερό ότι η ζώνη σθένους δεν μπορεί να συμβάλλει στην εκδήλωση ηλεκτρικής αγωγιμότητας, επειδή οι διεγέρσεις και αποδιεγέρσεις που πραγματοποιούνται θα αλληλοαναιρούνται. Για να εκδηλωθεί ηλεκτρική αγωγιμότητα θα πρέπει, όπως έχει ήδη αναφερθεί, να προσφερθεί στα ηλεκτρόνια του υλικού ενέργεια ίση ή μεγαλύτερη από το Ε g. Aυτό μπορεί να επιτευχθεί, π.χ. με θερμική διέγερση, ακόμη και στην θερμοκρασία του περιβάλλοντος, αν το ενεργειακό χάσμα του υλικού είναι σχετικά μικρό. Τότε όμως το υλικό δεν ονομάζεται μονωτής αλλά ημιαγωγός (βλ σχήμα 1.14ε). Τα ηλεκτρόνια τότε του ημιαγωγού μεταπηδούν από τη συμπληρωμένη ζώνη σθένους στην κενή ζώνη αγωγιμότητας. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να έχουμε και στις δυο ζώνες ηλεκτρόνια και κενές στάθμες, με αποτέλεσμα να είναι δυνατή η εκδήλωση αγωγιμότητας (βλ σχήμα 1.14στ). Είναι φανερό ότι η αγωγιμότητα θα είναι τόσο μεγαλύτερη, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των ηλεκτρονίων που έχουν μεταφερθεί στη ζώνη αγωγιμότητας. 17
Η τιμή του ενεργειακού διακένου που επιτρέπει στα σώματα να έχουν αξιόλογη αγωγιμότητα ακόμη και στην θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι το περισσότερο ~,5 ev. Αυτό είναι επομένως και το όριο της τιμής του ενεργειακού διακένου για να μπορούμε να χαρακτηρίσουμε ένα σώμα μονωτή ή ημιαγωγό. Ακόμη όμως και σώματα που χαρακτηρίζονται ως μονωτές αποκτούν τις ιδιότητες των ημιαγωγών σε υψηλές θερμοκρασίες. Για παράδειγμα ο αδάμαντας με ενεργειακό διάκενο 5, ev, παρουσιάζει αξιόλογη αγωγιμότητα σε θερμοκρασία 1000 0 C. Έγινε πλήρης ορισμός της κατηγορίας των ημιαγώγιμων σωμάτων, με βάση την θεωρία των ενεργειακών ζωνών. Στην επόμενη παράγραφο θα πραγματοποιηθεί μια σύνοψη των ορισμών που αναφέρθηκαν για τους ημιαγωγούς, και μια γενικότερη σύνοψη της πρώτης ενότητας του κεφαλαίου. 1.1.6 Σύνοψη και τελικός ορισμός των ημιαγωγών Στην πρώτη ενότητα του κεφαλαίου 1, χρησιμοποιήθηκε η θεωρία των ενεργειακών ζωνών για να οριστεί η έννοια των ημιαγώγιμων σωμάτων. Όπως αναφέρθηκε και στο σχήμα της παραγράφου 1.1.1, οι ημιαγωγοί είναι τα στερεά σώματα που παρουσιάζουν τιμές ειδικής ηλεκτρικής αγωγιμότητας από 10-7 ως 10 5 Ω -1 m -1. Έγινε όμως αμέσως αντιληπτό ότι αυτός ο ορισμός δεν είναι ακριβής, καθώς παρουσιάζονται επικαλύψεις με στερεά σώματα που ανήκουν σε άλλες κατηγορίες, όπως τα υπεριονικά στερεά και τα ημιμέταλλα. Η θεωρία των ενεργειακών ζωνών, η οποία προσεγγίστηκε με δύο διαφορετικούς τρόπους, αποτέλεσε απαραίτητο εργαλείο για μια πιο πλήρη προσέγγιση και ορισμό των ημιαγωγών. Σύμφωνα με αυτή, οι ημιαγωγοί είναι τα σώματα με πλήρη ζώνη σθένους και κενή ζώνη αγωγιμότητας (στους 0 Κ), που χωρίζονται με ενεργειακό διάκενο ίσο ή μικρότερο από,5 ev. Ένας ακόμη ορισμός είναι, ότι ημιαγωγοί είναι τα μη μεταλλικά στερεά που παρουσιάζουν αξιόλογη ηλεκτρική αγωγιμότητα στη συνήθη θερμοκρασία. Ο τελευταίος αυτός ορισμός, περιλαμβάνει και σώματα που εκδηλώνουν ηλεκτρική αγωγιμότητα που οφείλεται σε ιόντα, όπως είναι τα υπεριονικά στερεά. Στους ημιαγωγούς όμως η αγωγιμότητα οφείλεται σε ηλεκτρόνια, και όχι σε ευκίνητα ιόντα. Ο ορισμός επομένως θα πρέπει να περιοριστεί μόνο σε ηλεκτρονική αγωγιμότητα. Στην επόμενη ενότητα θα περιγραφούν διεξοδικότερα οι φορείς αγωγιμότητας των ημιαγωγών, καθώς και πως αυτοί συμπεριφέρονται συναρτήσει διαφόρων παραμέτρων όπως η θερμοκρασία και οι προσμίξεις. 18
ΦΟΡΕΙΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΥΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ 1..1 Τα ηλεκτρόνια ως φορείς αγωγιμότητας Η έννοια των οπών Στην παρούσα ενότητα (1.) του πρώτου κεφαλαίου θα περιγραφούν λεπτομερέστερα οι φορείς αγωγιμότητας στα ημιαγώγιμα σώματα. Με τη βοήθειά τους, θα ποσοτικοποιηθεί η αγωγιμότητα των ημιαγωγών και θα καθοριστεί ο τρόπος που αυτή εξαρτάται από μεταβλητούς παράγοντες, όπως η θερμοκρασία, οι ακτινοβολίες και οι προσμίξεις. Καταρχάς θα πρέπει να γίνει μια εισαγωγή στη φύση των φορέων αγωγιμότητας στους ημιαγωγούς, που είναι εκτός από τα ηλεκτρόνια της ζώνης αγωγιμότητας, και οι οπές της ζώνης σθένους. Για να κατανοηθεί η έννοια των οπών, θα πάρουμε σαν παράδειγμα τον πιο συνηθισμένο ημιαγωγό, δηλ. το Si. Το πλέγμα του Si δίνεται απλοποιημένο σε δυο διαστάσεις στο παρακάτω σχήμα : Σχήμα 1.15 : Απλοποιημένη δισδιάστατη απεικόνιση του πλέγματος του Si. [8] Κάθε άτομο είναι ενωμένο με ομοιοπολικούς δεσμούς με 4 γειτονικά άτομα Si. Στην κατάσταση αυτή, που παρατηρείται σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες (π.χ. στους 0 Κ), δεν υπάρχουν ελεύθεροι φορείς που μπορούν να συνεισφέρουν στην εκδήλωση ηλεκτρικής αγωγιμότητας (π.χ. ελεύθερα ηλεκτρόνια που δεν ανήκουν σε κανέναν ομοιοπολικό δεσμό). Είναι δηλαδή ανάλογη με την περίπτωση της εντελώς γεμάτης ζώνης σθένους και της εντελώς άδειας ζώνης αγωγιμότητας στους 0 Κ, όπου οποιαδήποτε διαζωνιακή μεταπήδηση των ηλεκτρονίων είναι αδύνατη, χωρίς την εξωτερική προσφορά φωτονικής ενέργειας. Τα ζεύγη των ηλεκτρονίων των ομοιοπολικών δεσμών μπορούν να παρασταθούν σαν στάσιμα κύματα ή και σαν ηλεκτρονικά νέφη, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.16 : 19
0 Σχήμα 1.16 : Ζεύγη ηλεκτρονίων ομοιοπολικών δεσμών α)σαν στάσιμα κύματα. β)σαν ηλεκτρονικά νέφη. [9] Όταν όμως οι ημιαγωγοί απορροφήσουν κάποια αξιόλογη ενέργεια, η παραπάνω κατάσταση αλλάζει. Στη θερμοκρασία π.χ. του περιβάλλοντος παρατηρείται απόσπαση ηλεκτρονίων από τους ομοιοπολικούς δεσμούς. Τα ηλεκτρόνια αυτά μπορούν να κυκλοφορούν ελεύθερα ανάμεσα στο κρυσταλλικό πλέγμα, και δεν είναι άλλα από τα ηλεκτρόνια που έχουν αυξημένη ενέργεια και έχουν επομένως μεταπηδήσει στη ζώνη αγωγιμότητας του ημιαγωγού. Στο σχήμα 1.17 φαίνεται η απόσπαση ενός ηλεκτρονίου από τον ομοιοπολικό δεσμό. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η διαδικασία αυτή δεν θέτει σε κίνδυνο τη σταθερότητα του κρυσταλλικού πλέγματος για δύο λόγους. Καταρχάς το πλήθος των ελεύθερων ηλεκτρονίων είναι πολύ μικρό σε σχέση με το σύνολο των δεσμών. Π.χ. για το Si στη θερμοκρασία του περιβάλλοντος, η αναλογία είναι της τάξης του 1/10 1. Επίσης τα Σχήμα 1.17 : Διέγερση ενός ηλεκτρονίου που αποσπάται από ένα δεσμό και κινείται ελεύθερα στο στερεό. Ταυτόχρονα στη θέση Α δημιουργήθηκε μια οπή. [9] άτομα που συνδέει ένας δεσμός, από τον οποίο αποσπάστηκαν ηλεκτρόνια, εξακολουθούν να είναι συνδεδεμένα με τρεις άθικτους ομοιοπολικούς δεσμούς, καθώς και με έναν ατελή δεσμό ενός ηλεκτρονίου. Οι δεσμοί αυτοί είναι αρκετοί για να εξασφαλίσουν τη στερεά τους σύνδεση και την σταθερότητα του κρυσταλλικού πλέγματος. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια ονομάζονται ηλεκτρόνια αγωγιμότητας, περιφέρονται άτακτα στο σώμα και με αυτήν την κινητικότητά τους συνεισφέρουν στην εκδήλωση αγωγιμότητας από τον ημιαγωγό. Αν όμως για κάποιον λόγο μειωθεί η αυξημένη τους ενέργεια, τότε αυτά επιστρέφουν σε κενή θέση κάποιου ατελούς δεσμού. Η κενή θέση βέβαια, δεν είναι απαραίτητο να συμπληρωθεί μόνο από ελεύθερα ηλεκτρόνια, αλλά μπορεί να συμπληρωθεί και από δεσμευμένα ηλεκτρόνια της γειτονιάς της. Αυτά εγκαταλείπουν την αρχική τους θέση, δημιουργώντας μια νέα κενή θέση και συμπληρώνοντας την παλιά. Αυτό μπορεί να γίνει, επειδή είναι ενεργειακά αδιάφορη η
θέση του ατελούς δεσμού. Γίνεται δηλαδή φανερό ότι υπάρχει μια συνεχής μετατόπιση της κενής θέσης στη γειτονιά της. Αυτή η μετατόπιση παύει να υφίσταται όταν η κενή αυτή θέση παγιδέψει ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο που έχασε ενέργεια, και ο δεσμός μετατραπεί σε πλήρη ομοιοπολικό δεσμό με δύο ηλεκτρόνια. Η μεταπήδηση ενός ηλεκτρονίου από έναν πλήρη σε έναν ελλειμματικό δεσμό απεικονίζεται στο σχήμα 1.18. Παρατηρείται ότι είναι ευκολότερο να περιγραφεί η κίνηση της κενής θέσης, παρά η διαδοχική κίνηση ενός μεγάλου αριθμού ηλεκτρονίων προς αυτή. Δίνοντας επομένως φυσική υπόσταση στις κενές θέσεις τις ονομάζουμε οπές (holes) και τις συμβολίζουμε με το λατινικό γράμμα h. Η έννοια των οπών ορίστηκε δηλαδή για να περιγράφουμε την κίνηση μιας οντότητας, παρά την κίνηση ενός Σχήμα 1.18 : Μετάβαση ενός e - από έναν πλήρη στον ελλειμματικό δεσμό του κρυστάλλου. Ισοδυναμεί με μετακίνηση της οπής από τη θέση Α στη γειτονική θέση Β, που εγκατέλειψε το ηλεκτρόνιο. [9] πλήθους ελεύθερων ηλεκτρονίων προς αυτή. Οι οπές συμπεριφέρονται όπως τα ελεύθερα ηλεκτρόνια κατά την απουσία εξωτερικού πεδίου. Διαγράφουν δηλαδή μια άτακτη κίνηση στο σώμα, καθώς πληρώνονται από ηλεκτρόνια που μπορούν να προέλθουν από οποιαδήποτε κατεύθυνση. Τα πράγματα όμως αλλάζουν κατά την επιβολή εξωτερικού ηλεκτροστατικού πεδίου. Οι οπές πληρώνονται από ηλεκτρόνια τα οποία κινούνται σε συγκεκριμένη κατεύθυνση π.χ. από αριστερά προς τα δεξιά. Η συνεπαγόμενη κίνηση των οπών είναι τότε από δεξιά προς τα αριστερά. Παρατηρείται δηλαδή ένας προσανατολισμός των οπών με την επιβολή εξωτερικού πεδίου. Ο προσανατολισμός αυτός των οπών είναι μάλιστα αντίθετος από εκείνον των ηλεκτρονίων. Μπορεί επομένως να θεωρηθεί, ότι μια οπή είναι αντίστοιχη με ένα σωματίδιο ίσης μάζας και αντιθέτου φορτίου από το ηλεκτρόνιο. Το σωματίδιο αυτό συμβάλλει στην ηλεκτρική αγωγιμότητα του σώματος και αποτελεί το δεύτερο είδος φορέα αγωγιμότητας στους ημιαγωγούς. Πότε όμως χρησιμοποιείται η έννοια των οπών και πότε η έννοια των ελεύθερων ηλεκτρονίων ως φορείς? Όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 1.1.5, ένας ημιαγωγός εκδηλώνει αγωγιμότητα όταν υπάρχουν ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας και κενές θέσεις στη ζώνη σθένους. Είναι επομένως φανερό, ότι η προσπάθεια να ποσοτικοποιηθεί αυτή η αγωγιμότητα, γίνεται ευκολότερη αν μελετηθούν οι κενές θέσεις της ζώνης σθένους (οπές) και τα ηλεκτρόνια της ζώνης αγωγιμότητας. Σε διαφορετική περίπτωση θα έπρεπε να ληφθούν υπόψη ένας πολύ μεγάλος αριθμός ηλεκτρονίων ζώνης σθένους ή οπών ζώνης αγωγιμότητας και το πρόβλημα θα γινόταν εξαιρετικά περίπλοκο. Σαν τελικό συμπέρασμα από αυτήν την παράγραφο λαμβάνεται ότι, οι φορείς αγωγιμότητας στους ημιαγωγούς είναι οι οπές της ζώνης σθένους και τα ηλεκτρόνια της ζώνης αγωγιμότητας. Δεν πρέπει πάντως να λησμονηθεί ότι οι οπές είναι μια υποθετική οντότητα, η θεώρηση όμως των οποίων δεν οδηγεί σε λανθασμένα μονοπάτια περιγραφής της αγωγιμότητας των ημιαγωγών. 1
1.. Η έννοια της κινητικότητας των φορέων Η παράγραφος αυτή θα επικεντρωθεί στην επίδραση των φορέων αγωγιμότητας (ηλεκτρόνια και οπές), στην αγωγιμότητα ενός ημιαγωγού. Θα γίνει εισαγωγή στην έννοια της κινητικότητας των φορέων, καθώς και στις πρώτες εξισώσεις που συνδέουν την κινητικότητα ηλεκτρονίων και οπών με την αγωγιμότητα του σώματος. Αν σε ένα σώμα οι φορείς του ηλεκτρικού ρεύματος είναι σωματίδια με φορτίο π.χ. e = 1,6.10-19 C και με συγκέντρωση n ανά m, τότε η πυκνότητα ρεύματος που το διαρρέει υπό την επίδραση σταθερού ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από την εξίσωση : J = n.e.v d (1.0) όπου v d είναι η μέση ταχύτητα ολίσθησης των παραπάνω φορέων. Όταν η ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου Ε δεν είναι υπερβολικά μεγάλη, τότε η v d είναι ανάλογη με αυτήν, και δίνεται από τη σχέση : v d e. τ = E (1.1) m όπου m είναι η μάζα των φορέων και τ η μέση ελεύθερη διαδρομή μεταξύ των διαδοχικών προσκρούσεων των φορέων στα άτομα του πλέγματος του υλικού. H τιμή του κλάσματος της τελευταίας σχέσης εξαρτάται αποκλειστικά από τα χαρακτηριστικά του φορέα και του πλέγματος, και ονομάζεται κινητικότητα των φορέων μ. δηλ. e.τ µ = (1.) m και επομένως v d = µ. E (1.) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1.0) και (1.) με την σχέση σ = J/E, λαμβάνεται η εξίσωση: σ = n.e.μ (1.4) Η τελευταία αυτή σχέση συνδέει την ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα με την συγκέντρωση και το είδος (φορτίο και κινητικότητα) των φορέων. Είναι δηλαδή η πρώτη σχέση που εκφράζει την ποσοτικοποίηση της ηλεκτρικής αγωγιμότητας ενός σώματος, αν είναι γνωστή η συγκέντρωση των φορέων που την προκαλούν. Έτσι η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα των ημιαγωγών διαμορφώνεται από τη συμβολή των ελευθέρων e - της ζώνης αγωγιμότητας και των οπών της ζώνης σθένους, σύμφωνα με τη σχέση : σ = n.e.μ e + p.e.μ h (1.5)
όπου n και p οι συγκεντρώσεις των ηλεκτρονίων και των οπών ανά μονάδα όγκου, ενώ μ e και μ h οι κινητικότητές τους. Σημειώνεται ότι στους δύο από τους σημαντικότερους ημιαγωγούς δηλ., το Si και το Ge οι κινητικότητες των ηλεκτρονίων και των οπών είναι αντίστοιχα 0,1 και 0,05 m V -1 s -1 για το Si, και 0,8 και 0,18 m V -1 s -1 για το Ge. 1.. Πυκνότητα καταστάσεων (density of states) Υπάρχει τώρα το κατάλληλο υπόβαθρο για τον υπολογισμό της μαθηματικής έκφρασης της συγκέντρωσης των φορέων σε έναν ημιαγωγό. Το πρώτο βήμα γι αυτή την προσέγγιση θα είναι ο υπολογισμός της πυκνότητας επιτρεπτών ενεργειακών καταστάσεων (density of states). Δηλαδή η εύρεση του αριθμού των διαθέσιμων καταστάσεων σε κάθε ενέργεια Ε. Η ποσότητα των φορέων σε κάθε ενέργεια θα μπορεί μετά εύκολα να υπολογιστεί από το γινόμενο του αριθμού των επιτρεπτών καταστάσεων με την πιθανότητα αυτές να είναι κατειλημμένες από ηλεκτρόνια. Ο αριθμός των επιτρεπτών ενεργειακών καταστάσεων είναι πολύ μεγάλος και εξαρτάται από το μέγεθος του ημιαγωγού. Είναι επομένως προτιμότερο να υπολογιστεί ο αριθμός των διαθέσιμων ενεργειακών καταστάσεων για τους φορείς ανά ενέργεια και μονάδα όγκου. Καταρχάς γίνεται η παραδοχή ότι ο ημιαγωγός είναι ένα απύθμενο πηγάδι, μέσα στο οποίο τα ηλεκτρόνια με ενεργή μάζα m * είναι ελεύθερα να μετακινούνται. Η ενέργεια μέσα στο πηγάδι δυναμικού θεωρείται ίση με μηδέν, και ο ημιαγωγός σαν κύβος με πλευρά L. Αυτή η θεώρηση δεν επηρεάζει προφανώς το τελικό αποτέλεσμα, αφού η πυκνότητα καταστάσεων ανά μονάδα όγκου δεν εξαρτάται από το σχήμα του ημιαγωγού. Η πυκνότητα των επιτρεπτών ενεργειακών καταστάσεων ισούται με την πυκνότητα ανά μονάδα όγκου και ενέργειας του αριθμού των λύσεων της εξίσωσης κύματος του Schrödinger. Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής στην περίπτωση μίας διάστασης με V(x) = 0, έχουν τη μορφή : Ψ = Α sin(k x x) + B cos(k x x) (1.6) όπου τα Α και Β είναι σταθερές που πρέπει να προσδιοριστούν, ενώ το k x δηλώνει τον αντίστροφο χώρο που έχουμε ήδη συναντήσει. Η κυματοσυνάρτηση πρέπει να είναι μηδενική στα όρια του πηγαδιού, αφού η πιθανότητα να υπάρχει φορέας πέρα από αυτά είναι μηδενική. Για x = 0 λαμβάνουμε ότι Β = 0 (για να μηδενίζεται η κυματοσυνάρτηση). Για x = L λαμβάνουμε τις παρακάτω δυνατές τιμές για το k x : n k x = π,n = 1,,,... (1.7) L Αν επαναληφθεί η ίδια διαδικασία και για τις άλλες δυο διαστάσεις του αντίστροφου χώρου, θα πάρουμε ανάλογες εκφράσεις για τα k y και k z. Η απεικόνιση κάθε δυνατής
Σχήμα 1.19 : Υπολογισμός του αριθμού πυκνότητας καταστάσεων με κυματαριθμό μικρότερο από k. [8] 1 4 L N = π k (1.8) 8 π λύσης στον αντίστροφο χώρο φαίνεται στο σχήμα 1.19 και αποτελείται από κύβο με πλευρά nπ/l. O συνoλικός αριθμός των λύσεων με διαφορετικές τιμές για τα k x, k y και k z (πάντα όμως θετικές) και με μέγεθος κυματοδιανύσματος μικρότερο από 1, βρίσκεται υπολογίζοντας το 1/8 του όγκου σφαίρας ακτίνας k και διαιρώντας το με τον όγκο που αντιστοιχεί σε έναν στοιχειώδη κύβο λύσης όπως οι παραπάνω (δηλ. σε έναν κύβο πλευράς π/l και όγκου (π/l). Σύμφωνα δηλαδή με τα παραπάνω : Έγινε εισαγωγή του παράγοντα για να ληφθούν υπόψη τα δύο δυνατά spin κάθε λύσης. Είναι άλλωστε γνωστό ότι σε κάθε τιμή ενέργειας μπορούν να αντιστοιχούν ηλεκτρόνια αντιθέτου spin. Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς k και εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας, λαμβάνεται : dn dn dk L 4 = = πk de dk de π dk de (1.9) Από την εξίσωση όμως 1.10 της παραγράφου 1.1., έχουμε : E = k m Βρίσκεται η λύση ως προς k, η ληφθείσα σχέση παραγωγίζεται ως προς Ε και ακολουθεί αντικατάσταση του dk/de στη σχέση. To αποτέλεσμα που λαμβάνεται είναι η πυκνότητα καταστάσεων ανά μονάδα ενέργειας (δηλ. το dn/de). Το ζητούμενο αποτέλεσμα που είναι η πυκνότητα ενεργειακών θέσεων (καταστάσεων) ανά μονάδα όγκου και ενέργειας (δηλ. το density of states) συμβολίζεται απλά με N(E) και ισούται προφανώς με : N(E) 1 dn 1 dn 8π = = = m V de L de h E, Ε 0 (1.0) Η παραπάνω ανάλυση έγινε για πηγάδι δυναμικού, όπου η ενέργεια μηδενίζεται στον πάτο του πηγαδιού. Στους ημιαγωγούς όμως υπάρχουν επιτρεπτές και μη επιτρεπτές 4
ενεργειακές ζώνες. Χρησιμοποιώντας ακριβώς την ίδια ανάλυση και γνωρίζοντας ότι η ενέργεια των ελευθέρων ηλεκτρονίων (φορείς) είναι Ε c στον πυθμένα της ζώνης αγωγιμότητας, λαμβάνεται η πυκνότητα ενεργειακών θέσεων για τα ηλεκτρόνια της ζώνης αγωγιμότητας : 8π Nc (E) = h m E - E,E E c c (1.1) Αυτή είναι η πυκνότητα ενεργειακών θέσεων για τους φορείς της ζώνης αγωγιμότητας (δηλ. για τα ηλεκτρόνια). Ομοίως λαμβάνεται και η έκφραση της πυκνότητας ενεργειακών θέσεων για τους φορείς της ζώνης σθένους (δηλ. για τις οπές) : 8π N v (E) = h m E v E,E E v (1.) H γραφική απεικόνιση των μαθηματικών εκφράσεων για το Ν c (E) και για το Ν v (E), φαίνεται στα παρακάτω σχήμα : Σχήμα 1.0 : Γραφική απεικόνιση των μαθηματικών εκφράσεων για την πυκνότητα καταστάσεων ηλεκτρονίων αγωγιμότητας και οπών σθένους. [9] 1..4 Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (carrier distribution functions) Στην προηγούμενη παράγραφο έγινε γνωστή η συνάρτηση που περιγράφει την πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων για τους φορείς σε έναν ημιαγωγό. Για να υπολογιστεί όμως η συγκέντρωση των φορέων και κατ επέκταση η αγωγιμότητα του ημιαγωγού, είναι απαραίτητο να καθοριστεί αν αυτές οι ενεργειακές στάθμες είναι κατειλημμένες ή όχι. Η πληροφορία αυτή δίνεται από τις συναρτήσεις πυκνότητας κατανομής ή πυκνότητας πιθανότητας για τους φορείς ενός ημιαγωγού (distribution or 5
probability density functions). Μια τέτοια συνάρτηση περιγράφει δηλαδή την πιθανότητα, μια διαθέσιμη ενεργειακή κατάσταση να είναι κατειλημμένη ή όχι. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην περίπτωση των ηλεκτρονίων (και των οπών) παρουσιάζει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Fermi - Dirac. Αυτή περιγράφει ακριβέστερα από κάθε άλλη την κατανομή των ηλεκτρονίων, επειδή έχει ισχύ σε φερμιόνια, δηλ. σε σωματίδια με ½ spin, σαν τα ηλεκτρόνια. Όπως έγινε γνωστό στην παράγραφο 1.1.5, σε θερμοκρασία 0 Κ, όλες οι ενεργειακές στάθμες ενός ημιαγωγού είναι κατειλημμένες, μέχρι την ενέργεια Fermi (E F ), η οποία και αποτελεί το όριο μετάβασης από της γεμάτες στις άδειες ενεργειακές στάθμες. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο και σε υψηλότερες θερμοκρασίες, αφού προφανώς κάποια ηλεκτρόνια έχουν κερδίσει ενέργεια και έχουν μεταβεί σε υψηλότερες στάθμες. Αντίστοιχα έχουν αδειάσει κάποιες κατώτερες ενεργειακές στάθμες. Τώρα πια, η ενέργεια Fermi αποτελεί όριο μεταξύ κατειλημμένων και μη κατειλημμένων ενεργειακών σταθμών. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Fermi Dirac δίνει την πιθανότητα στη δεδομένη θερμοκρασία Τ, μια δεδομένη ενεργειακή στάθμη Ε, να είναι γεμάτη από ηλεκτρόνια ή κενή. Η συνάρτηση αυτή δίνεται από την εξίσωση : 1 f(e) = P(E) = ( E-E F ) (1.) / kt 1+ e όπου k είναι η σταθερά Boltzmann και ισούται με 1,8.10 - J.K -1. Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται η γραφική απεικόνιση της f(e) στους 0 Κ, καθώς και σε τρεις υψηλότερες θερμοκρασίες. Παρατηρείται η απότομη μετάβαση στους 0 Κ, από 0% πιθανότητα σε 100% πιθανότητα, με όριο μετάβασης την Ε F. Γίνεται επίσης αντιληπτό ότι όσο υψηλότερη είναι η θερμοκρασία, τόσο πιο ομαλή είναι η μετάβαση από τις ενεργειακές καταστάσεις που έχουν μεγάλη πιθανότητα να είναι κατειλημμένες, σε αυτές που έχουν μικρή πιθανότητα να είναι κατειλημμένες. Η συνάρτηση παύει να είναι βηματική αφού όλο και περισσότερα ηλεκτρόνια διεγείρονται προς ανώτερες ενεργειακές στάθμες. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι σε οποιαδήποτε υψηλότερη θερμοκρασία, ισχύει f(e F ) = 0,5. Σχήμα 1.1 : Γραφική απεικόνιση τις f(e) στους 0Κ. [] 6
Σχήμα 1. : Γραφική απεικόνιση της f(e) σε υψηλότερες θερμοκρασίες. [17] Συχνά στους ημιαγωγούς τα σχετικά μεγέθη της σχέσης επιτρέπουν την εισαγωγή και χρήση μιας απλούστερης μορφής της : P(E) = e 1 [( E-E )/ kt] F = e [( E E) / kt] F = f MB (E) (1.4) H συνάρτηση αυτή ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Maxwell Boltzmann. 1..5 Υπολογισμός συγκεντρώσεων των φορέων στους ημιαγωγούς Η έννοια των nondegenerate ημιαγωγών Στις δύο προηγούμενες παραγράφους έγινε υπολογισμός της πυκνότητας ενεργειακών καταστάσεων και της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής των ηλεκτρονίων σε αυτές. Υπάρχουν επομένως όλα τα απαραίτητα εργαλεία για την εύρεση συγκέντρωσης των φορέων σε έναν ημιαγωγό. Η πυκνότητα των κατειλημμένων ενεργειακών καταστάσεων n(e) από τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας, δίνεται απλά από το γινόμενο της πυκνότητας ενεργειακών καταστάσεων στη ζώνη αγωγιμότητας και της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας των Fermi Dirac : n(e) = Nc (E) P(E) (1.5) Η πυκνότητα κενών ενεργειακών καταστάσεων στη ζώνη σθένους p(e) δηλ. οπών, δίνεται αντίστοιχα από το γινόμενο : p(e) = N v (E) [1- P(E)] (1.6) 7
όπου προφανώς η πιθανότητα 1-Ρ(Ε) ισούται με την πιθανότητα μια ενεργειακή στάθμη της ζώνης σθένους να είναι κενή. H συγκέντρωση των φορέων (ηλεκτρόνια ζώνης αγωγιμότητας και οπές ζώνης σθένους) δίνεται, αν οι εκφράσεις n(e) και p(e) ολοκληρωθούν για όλες τις δυνατές ενέργειες της ζώνης αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους αντίστοιχα. Η συγκέντρωση των φορέων της ζώνης αγωγιμότητας δηλ. των ηλεκτρονίων, θα ισούται επομένως με : κορυφή ζώνης αγωγιμότητας n = δηλαδή = E c n(e)de κορυφή ζώνης αγωγιμότητας n Ν (E).P(E)dE (1.7) Ec c Σχήμα 1. : Γραφική απεικόνιση της συγκέντρωσης ηλεκτρονίων αγωγιμότητας n(e), της πυκνότητας καταστάσεων g c (E) ( ή Ν c (E) ) και της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f(e) (ή Ρ(Ε)). [8] Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η γραφική απεικόνιση των παραπάνω. Θεωρείται ότι Ε c = 0, ενώ απεικονίζονται τα N c (E), P(E) και n(e). Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν ισούται με το παραπάνω ολοκλήρωμα δηλ. με n, ενώ στο σχήμα φαίνεται και η ενέργεια Fermi. Παρατηρείται ότι για να γίνει υπολογισμός του n, δεν είναι απαραίτητος ο καθορισμός του άνω άκρου της ζώνης αγωγιμότητας αφού το Ρ(Ε) τείνει στο 0 σε υψηλές ενέργειες. Το άνω όριο του ολοκληρώματος μπορεί επομένως να αντικατασταθεί από το. Έχοντας υπόψη ότι γίνεται υπολογισμός των φορέων σε θερμική ισορροπία (δηλ. τα n o και p o ), οι αντίστοιχες εκφράσεις για ηλεκτρόνια και οπές διαμορφώνονται ως εξής : n o 8 1 = Nc (E) P(E)dE = π m E - E c de (1.8) E-EF h Ec Ec kt 1+ e και p o E v v 8π = N v (E) [1- P(E)]dE = h E m E v E 1 1+ e EF E kt de (1.9) Τα παραπάνω ολοκληρώματα δεν είναι δυνατό να επιλυθούν αναλυτικά σε μη μηδενικές θερμοκρασίες. Παρόλα αυτά είναι δυνατή η εύρεση κάποιας προσεγγιστικής αναλυτικής λύσης ή κάποιας αριθμητικής λύσης. Θα μελετηθούν τώρα δύο περιπτώσεις 8
επίλυσης των παραπάνω ολοκληρωμάτων και υπολογισμού της συγκέντρωσης των φορέων : α) συγκέντρωση φορέων στους 0 Κ : Στο απόλυτο 0 είναι γνωστό ότι Ρ(Ε) = 0, για Ε < Ε F και Ρ(Ε) = 1, για Ε > Ε F. Επομένως το ολοκλήρωμα για τον υπολογισμό του n o μπορεί να απλοποιηθεί και να επιλυθεί αναλυτικά ως εξής : E F qm n o = Nc ( E)dE το οποίο ισούται με n o = ( E F E c ) h, για Ε F > E c π E c (1.40) β) συγκέντρωση φορέων σε μη-εκφυλισμένους (non-degenerate) ημιαγωγούς : Με τον όρο non-degenerate ορίζονται οι ημιαγωγοί, των οποίων η ενέργεια Fermi είναι σε απόσταση τουλάχιστον kt από το ενεργειακό άκρο κάθε ζώνης. Ο ημιαγωγός που περιγράψαμε στην περίπτωση α) είναι επομένως ισχυρά εκφυλισμένος, αφού η Ε F είναι μέσα στη ζώνη αγωγιμότητας. Η διάκριση σε degenerate και non-degenerate ημιαγωγούς γίνεται επειδή τα σχετικά μεγέθη και αριθμητικές σταθερές των τελευταίων επιτρέπουν την αντικατάσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας των Fermi Dirac με την απλούστερη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Maxwell Boltzmann. Με αυτήν την αντικατάσταση μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά το ολοκλήρωμα που δίνει τη συγκέντρωση των φορέων στους non-degenerate ημιαγωγούς : n o 8π h Ec m e E - E c e EF E kt πm ekt de = h e EF Ec kt (1.41) ομοίως η συγκέντρωση των οπών της ζώνης σθένους ισούται με : p o Ev 8π h - m e E v - E e E EF kt πm hkt de = h e Ev EF kt (1.4) 1..6 Ενδογενείς ημιαγωγοί (intrinsic semiconductors) Η συγκέντρωση των φορέων τους Οι ημιαγωγοί χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες, τους ενδογενείς ημιαγωγούς (intrinsic semiconductors) και τους ημιαγωγούς προσμίξεων ή εξωγενείς ημιαγωγούς (doped ή extrinsic semiconductors). Η παράγραφος αυτή θα επικεντρωθεί στους 9