ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΕ ΝΟΕΡΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

1 ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΣΕ ΝΟΕΡΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Λεμονίδης Χαράλαμπος 1, Κερμελή Αλεξάνδρα 2 1 Καθηγητής Διδακτικής Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας 2 Μεταπτυχιακή φοιτήτρια, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας 1 xlemon@uowm.gr, 2 alexia.k06@hotmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στη παρούσα εργασία εξετάζονται και αναλύονται οι συμπεριφορές τριών εκπαιδευτικών πριν και μετά μια πειραματική διδασκαλία σε νοερούς υπολογισμούς ρητών αριθμών στην Στ τάξη του Δημοτικού. Βασικός στόχος της έρευνας αυτής είναι να εξεταστεί αν οι αντιλήψεις και η διδακτική αντιμετώπιση των εκπαιδευτικών αλλάζουν μετά την παρακολούθηση μιας επιμόρφωσης με θέμα τους νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς και την υλοποίηση πειραματικών διδασκαλιών στη λογική της επιμόρφωσης. Τα συμπεράσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι εκπαιδευτικοί δεν γνώριζαν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση νοερών πράξεων με ρητούς αριθμούς και θεωρούσαν ότι μόνο οι καλοί μαθητές μπορούν να εκτελέσουν τέτοιες πράξεις. Λέξεις- κλειδιά: νοεροί υπολογισμοί με ρητούς αριθμούς, αντιλήψεις εκπαιδευτικών, διδακτική αντιμετώπιση, επιμόρφωση 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ρητοί αριθμοί αποτελούν ένα διδακτικό αντικείμενο που πολλοί εκπαιδευτικοί βρίσκουν δύσκολο να κατανοήσουν και να διδάξουν (Ma, 1999; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993 όπως αναφέρεται από τους Clarke & Roche, 2009). Σύμφωνα με την Caney (2004), οι εκπαιδευτικοί προωθούν την νοερή εργασία με ρητούς αριθμούς σε μικρότερο βαθμό σε σύγκριση με τους ακέραιους αριθμούς. Μάλιστα, η διδασκαλία των νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς τις περισσότερες φορές λαμβάνει τη μορφή κατευθυνόμενης διδασκαλίας μιας ποικιλίας στρατηγικών νοερών υπολογισμών από τους εκπαιδευτικούς (Mc Intosh, A., et al., 1995). Ακόμη, οι Caney & Watson (2003) & Mc Intosh et al. (1995) αναφέρουν ότι πολλοί μαθητές δηλώνουν ότι δεν ρωτούνται ποτέ να εκφράσουν τον τρόπο που επιλύουν ένα πρόβλημα στην τάξη, κάτι που υποδηλώνει ότι οι εκπαιδευτικοί δεν γνωρίζουν τα οφέλη της μεταγνωστικής διαδικασίας του αναστοχασμού των μαθητών και δεν τους υποβάλλουν σε αυτή τη διαδικασία. Η Caney (2004) αναφέρει ότι πολλοί μαθητές δεν συνειδητοποιούν πότε οι εκπαιδευτικοί τους ζητούν να ασχοληθούν με νοερά

2 μαθηματικά στην τάξη. Ενώ οι εκπαιδευτικοί ισχυρίζονται ότι αφιερώνουν χρόνο στη διδασκαλία τους για τους νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς, οι περισσότεροι μαθητές δεν το αντιλαμβάνονται. Ιδιαίτερη αναφορά αξίζει να γίνει στο γεγονός ότι οι εκπαιδευτικοί δεν γνωρίζουν τις στρατηγικές, τα λάθη και τις παρανοήσεις των μαθητών τους στο διδακτικό αντικείμενο των ρητών αριθμών. Σύμφωνα με τους Clarke & Roche (2009), οι δάσκαλοι της Αυστραλίας δεν γνωρίζουν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές τους. Μάλιστα, μια πληθώρα εκπαιδευτικών αδυνατεί να χρησιμοποιήσει νοερές εννοιολογικές στρατηγικές. Για παράδειγμα, πολλοί από τους ίδιους τους εκπαιδευτικούς δεν είναι σε θέση να προτείνουν μια πιθανή εναλλακτική στρατηγική για τη σύγκριση των κλασμάτων ¾ και 7/9 εκτός των κοινών παρονομαστών. Ενώ μια μερίδα μαθητών έχει εννοιολογική κατανόηση του μεγέθους των κλασμάτων και χρησιμοποιεί εννοιολογικές στρατηγικές όπως η σκέψη υπολοίπου (residual thinking), και το σημείο αναφοράς (benchmarks), οι στρατηγικές αυτές δεν χρησιμοποιούνται από τους εκπαιδευτικούς στα σχολεία (Clarke & Roche, 2009). Αντίθετα, οι εκπαιδευτικοί καταφεύγουν σε διαδικαστικές παρά σε εννοιολογικές στρατηγικές (Huang, Liu & Lin, 1990). Τέλος, οι εκπαιδευτικοί δεν είναι ενήμεροι των παρανοήσεων των μαθητών όσον αφορά τους ρητούς αριθμούς και στις εξηγήσεις τους προς τους μαθητές είναι πολύ γενικοί ή επιμένουν στην εφαρμογή διαδικαστικών στρατηγικών εις βάρος της εννοιολογικής κατανόησης (Stacey, Helme, Steinle, Baturo, Irwin, Bana, 2001 όπως αναφέρεται από τους Steinle & Stacey, 2004). 2. Η ΕΡΕΥΝΑ Ο σκοπός της παρούσας έρευνας έγκειται στην διερεύνηση των αντιλήψεων και της διδακτικής προσέγγισης των νοερών υπολογισμών στους ρητούς αριθμούς τριών εκπαιδευτικών της Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης του νομού Λάρισας πριν και μετά την επιμόρφωση και την πειραματική διδασκαλία. Η διερεύνηση αυτή έχει ως στόχο να δώσει απάντηση στα εξής ερωτήματα: - Ποιες είναι οι αντιλήψεις των τριών εκπαιδευτικών της ΣΤ Δημοτικού ως προς την σπουδαιότητα των νοερών υπολογισμών στους ρητούς αριθμούς και ποια η διδακτική τους προσέγγιση στην τάξη; - Πώς οι αντιλήψεις των τριών εκπαιδευτικών της ΣΤ Δημοτικού και η διδακτική προσέγγιση των νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς τροποποιούνται μετά την επιμόρφωση, το σχεδιασμό και την υλοποίηση των διδασκαλιών τους στην τάξη; 2.1. Μεθοδολογία Ερευνητική μέθοδος

3 Η ερευνητική μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε είναι η έρευνα δράσης. Στόχος μας ήταν η αλλαγή των αρχικών αντιλήψεων και της διδακτικής αντιμετώπισης των νοερών υπολογισμών στους ρητούς αριθμούς μετά την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών και τη διδασκαλία στις τάξεις τους. Δείγμα Το δείγμα της έρευνας μας αποτελούν τρεις εκπαιδευτικοί της ΣΤ Δημοτικού του νομού Λάρισας. Οι συγκεκριμένες εκπαιδευτικοί διδάσκουν για πρώτη χρονιά στην ΣΤ Δημοτικού και έχουν 11, 18 και 22 χρόνια υπηρεσίας η καθεμία αντίστοιχα. Οι εκπαιδευτικοί αυτοί δεν έχουν επιμορφωθεί στην διδασκαλία των ρητών αριθμών αλλά δηλώνουν ανοιχτές στην τροποποίηση των στάσεων και του τρόπου διδασκαλίας των ρητών αριθμών. Οι ίδιες εκτιμούν τις γνώσεις τους στο διδακτικό αντικείμενο των νοερών υπολογισμών στους ρητούς αριθμούς ως αρκετά καλή (εκπαιδευτικός 2) και πολύ καλή (εκπαιδευτικός 1 και 3 1 ). Η επιλογή των τριών εκπαιδευτικών έγινε ανάμεσα σε εκπαιδευτικούς που ρωτήθηκαν και δήλωσαν ότι θέλουν να συμμετάσχουν στη διαδικασία έρευνας και επιμόρφωσης. Επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι η επιλογή τους δεν είναι τυχαία αλλά αντιπροσωπεύουν εκπαιδευτικούς με ενδιαφέρον για τη δουλειά τους και ανοιχτές σε διδακτικές καινοτομίες. Ερευνητική Διαδικασία και Επιμόρφωση Η ερευνητική διαδικασία πραγματοποιείται σε 4 στάδια. Σε πρώτο στάδιο πραγματοποιήθηκαν προσωπικές συνεντεύξεις σε κάθε εκπαιδευτικό που διήρκησαν 25 λεπτά (με καθεμιά από τις Εκπαιδευτικούς 1 και 2) και 40 λεπτά με την Εκπαιδευτικό 3, όταν ξεκινούσαν τη διδασκαλία των ρητών αριθμών και συγκεκριμένα των κλασματικών αριθμών. Σε δεύτερο στάδιο, πραγματοποιήθηκε επιμόρφωση των τριών εκπαιδευτικών, οι άξονες της οποίας παρουσιάζονται παρακάτω. Η επιμόρφωση διήρκησε 2 ώρες, έγινε ατομικά σε κάθε εκπαιδευτικό εκτός σχολικού χώρου και πραγματοποιήθηκε πριν τις διακοπές των Χριστουγέννων ούτως ώστε οι εκπαιδευτικοί να έχουν αρκετό χρόνο στις διακοπές να μελετήσουν το επιμορφωτικό υλικό, να αναζητήσουν υλικό σε διάφορες πηγές και να σχεδιάσουν τις διδασκαλίες τους. Στο τρίτο στάδιο, που διήρκησε τρεις μήνες οι εκπαιδευτικοί σχεδίασαν και υλοποίησαν τις διδασκαλίες στην τάξη. Τέλος, στο τέταρτο στάδιο πραγματοποιήθηκαν προσωπικές συνεντεύξεις σε κάθε εκπαιδευτικό, που διήρκησαν 24 λεπτά (με καθεμιά από τις Εκπαιδευτικούς 2 και 3) 2, για την διερεύνηση της πιθανής αλλαγής των αντιλήψεων τους και της διδακτικής προσέγγισης των νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς καθώς και των αποτελεσμάτων της εφαρμογής στην τάξη προτάσεων που παρουσιάστηκαν στην επιμόρφωση. Συλλογή και ανάλυση δεδομένων 1 Δεν αναφέρονται τα ονόματα των συμμετεχόντων εκπαιδευτικών στην έρευνα, αντί αυτού αναφέρουμε Εκπαιδευτικός 1, Εκπαιδευτικός 2 και Εκπαιδευτικός 3. 2 Η Εκπαιδευτικός 1 προτίμησε να μην μαγνητοφωνηθεί η τελική συνέντευξη.

4 Η συλλογή των δεδομένων πραγματοποιήθηκε με βάση τις απομαγνητοφωνήσεις των συνεντεύξεων και τις σημειώσεις της ερευνήτριας κατά τη διάρκεια των συνεντεύξεων που έγιναν στο πρώτο και τέταρτο στάδιο. Η ανάλυση των δεδομένων των προσωπικών συνεντεύξεων του πρώτου και τέταρτου σταδίου, έγινε με βάση κάποιες θεματικές περιοχές. Οι άξονες της επιμόρφωση στους εκπαιδευτικούς Η επιμόρφωση στους εκπαιδευτικούς επικεντρώθηκε κυρίως στα παρακάτω θέματα: Η έννοια του νοερού υπολογισμού και διαφορές με το γραπτό αλγόριθμο. Διασαφηνίστηκε η έννοια του νοερού υπολογισμού και η σχέση των νοερών υπολογισμών και των γραπτών αλγορίθμων. Συμβολή των νοερών υπολογισμών με ρητούς στην κατανόηση των αριθμών και πράξεων. Τονίστηκε και έγινε κατανοητό στους εκπαιδευτικούς ότι μέσω των νοερών υπολογισμών στους ρητούς αριθμούς επιτυγχάνεται κατανόηση των πράξεων και των ρητών αριθμών που υπάρχουν στις πράξεις σε αντίθεση με ότι συμβαίνει στους γραπτούς αλγορίθμους όπου δεν υπάρχει κατανόηση. Παρουσίαση των στρατηγικών και των λαθών των μαθητών Παρουσιάστηκαν και ονομάστηκαν οι διάφορες στρατηγικές που είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές όταν εκτελούν πράξεις με ρητούς αριθμούς. Παρουσιάστηκαν και αιτιολογήθηκαν τα συστηματικά λάθη, οι δυσκολίες και οι παρανοήσεις των μαθητών σύμφωνα με τα ερευνητικά δεδομένα. Τρόπος διδασκαλίας και μεταγνωστική διαδικασία Τονίστηκε η σημασία τα χρήσης της μεταγνωστικής διαδικασίας κατά τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών, δηλαδή το να ζητείται από τους μαθητές να μιλήσουν και να εξηγήσουν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκαν. Τονίστηκε επίσης η αρχή του πλουραλισμού στις στρατηγικές, δηλαδή η αναγκαιότητα της παρουσίασης και αποδοχής όλων των στρατηγικών που χρησιμοποιούσαν οι μαθητές. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3.1. Απόψεις των εκπαιδευτικών για τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών στους ρητούς αριθμούς πριν την παρέμβαση Οι τρεις εκπαιδευτικοί έκριναν ως πολύ σημαντική τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και εστίασαν σε διαφορετικά πλεονεκτήματα της. Συγκεκριμένα, η εκπαιδευτικός 1 τόνισε την εννοιολογική κατανόηση που προκύπτει από την

5 ενασχόληση με νοερούς υπολογισμούς, η εκπαιδευτικός 2 εστίασε στη χρησιμότητα των νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς στην καθημερινή ζωή, ενώ η εκπαιδευτικός 3 τόνισε την προοπτική απεξάρτησης των μαθητών από τη διεξαγωγή αλγορίθμων και την επίδραση των νοερών υπολογισμών στη σύνδεση των Μαθηματικών με την καθημερινή ζωή. Χαρακτηριστική είναι η απάντηση της εκπαιδευτικού 1. Θεωρώ πολύ σημαντική τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών. Θεωρώ ότι τα μαθηματικά αν δεν μπορείς να τα καταλάβεις νοερά μηχανικά δεν γίνονται, δεν έχεις καταλάβει τίποτα, αν απλά κάνεις τους αλγόριθμους χωρίς να έχεις καταλάβει τη σημασία της κάθε πράξης για ποιο λόγο γίνεται η πρόσθεση, για ποιο λόγο η αφαίρεση, πότε κάνουμε διαίρεση, και πως θα κάνω τη διαίρεση, τι σημαίνει διαίρεση, τι σημαίνει πολλαπλασιασμός, αν δεν δουλέψεις νοερά, δεν νομίζω ότι θα καταλάβεις τίποτα, θεωρώ λοιπόν πολύ σημαντική τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών. Οι απόψεις των εκπαιδευτικών διαφοροποιήθηκαν ως προς την σημασία που αποδίδουν στη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών σε αντιδιαστολή εκείνης των γραπτών αλγορίθμων και ως προς την σειρά διδασκαλίας τους στην πράξη. Η εκπαιδευτικός 1 κρίνει σημαντικότερη την διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και υποστηρίζει ότι θα πρέπει να προηγείται της διδασκαλίας των γραπτών αλγορίθμων. Η εκπαιδευτικός 2 υποστηρίζει μια συγκεκριμένη πορεία διδασκαλίας, δηλαδή την διδασκαλία των νοερών υπολογισμών πριν την διδασκαλία των γραπτών αλγορίθμων, χωρίς ωστόσο να υποστηρίζει ξεκάθαρα τι θεωρεί πιο σημαντικό γνωστικά για τους μαθητές. Τέλος, η εκπαιδευτικός 3 κρίνει ως ισότιμης σημασίας τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών και των γραπτών αλγορίθμων, ωστόσο υποστηρίζει ότι θα πρέπει να εισάγεται πρώτα ο γραπτός υπολογισμός και μετά ο νοερός υπολογισμός, προβάλλοντας το εξής επιχείρημα: «Πρώτα χρειάζεται η θεωρία και αφού την έχουν καταλάβει, χρειάζεται να τους δείξουμε έξυπνους τρόπους». Τέλος, οι εκπαιδευτικοί 1 και 2 πιστεύουν ότι το σχολικό βιβλίο δεν βοηθά στην προσέγγιση των νοερών υπολογισμών στους ρητούς αριθμούς, ενώ η εκπαιδευτικός 3, κρίνει ότι το βιβλίο του δασκάλου εστιάζει στα λάθη και σε στρατηγικές των μαθητών ενώ παράλληλα τονίζει και το ρόλο της προσωπικής έρευνας του εκπαιδευτικού στη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών. 3.2. Διδακτική προσέγγιση των νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς πριν την επιμόρφωση Από τις δηλώσεις των εκπαιδευτικών φαίνεται ότι αυτές διδάσκουν με διαφορετικό τρόπο την προσέγγιση των νοερών υπολογισμών με ρητούς αριθμούς. Η εκπαιδευτικός 1, δηλώνει ότι τον περισσότερο χρόνο τον αφιερώνει στους νοερούς υπολογισμούς και προσπαθεί κυρίως να οπτικοποιεί τα προβλήματα. Αφιερώνει περισσότερο χρόνο στην κατανόηση και λιγότερο στους αλγορίθμους. Η εκπαιδευτικός 2, απαντά στη διδασκαλία μου εισάγω τους νοερούς υπολογισμούς πριν τους γραπτούς αλγορίθμους. Αφιερώνω χρόνο σε εβδομαδιαία βάση και όχι

6 καθημερινά. Συνήθως, προτείνω στους μαθητές μου να σκέφτονται νοερά με κάποια δικά μου παραδείγματα που δίνω εκτός σχολικού εγχειριδίου. Η εκπαιδευτικός 3, σύμφωνα με αυτά που λέει θεωρεί ότι διδάσκει τους νοερούς υπολογισμούς όταν δίνει εξηγήσεις με μικρούς αριθμούς σε σημεία του γραπτού αλγόριθμου. Και οι τρεις εκπαιδευτικοί ως υλικό χρησιμοποιούν αναπαραστάσεις του βιβλίου ή άλλων βιβλίων και πηγών (π.χ. διαδίκτυο), αναπαραστάσεις στον πίνακα και πράγματα της καθημερινής ή σχολικής ζωής. Οι εκπαιδευτικοί 2 και 3 κάνουν αναφορά στη χρήση της αριθμογραμμής. Ενδιαφέρον είναι ότι και οι τρεις εκπαιδευτικοί δηλώνουν ότι δεν χρησιμοποιούν τον υπολογιστή και κάποιο λογισμικό στη διδασκαλία τους λόγω υλικοτεχνικών δυσκολιών ενώ κατανοούν τη χρησιμότητα της χρήσης της τεχνολογίας. 3.3. Εκτίμηση από τους εκπαιδευτικούς της συμπεριφοράς των μαθητών Οι εκπαιδευτικοί ρωτήθηκαν να εκτιμήσουν αν η πλειοψηφία των μαθητών σε μια τυπική σχολική τάξη είναι σε θέση να αναπτύξει νοερές στρατηγικές στην επίλυση προβλημάτων με ρητούς αριθμούς. Σύμφωνα με τις απαντήσεις τους φαίνεται ότι θεωρούν δύσκολες τις νοερές πράξεις και υποθέτουν ότι δεν θα μπορέσει να ανταποκριθεί η πλειοψηφία των μαθητών αλλά μόνο οι καλοί μαθητές. Ζητήθηκε από τους εκπαιδευτικούς να αναφέρουν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στα κλάσματα, στους δεκαδικούς αριθμούς και στα ποσοστά. Η μια εκπαιδευτικός δηλώνει ότι δεν θυμάται, οι άλλες δύο αναφέρουν ότι στους δεκαδικούς αριθμούς οι μαθητές δουλεύουν όπως στους ακεραίους. Μια χαρακτηριστική δήλωση της εκπαιδευτικού 2 είναι η εξής: Για παράδειγμα, όταν προσθέτουν το 0,15 και 0,25, έρχονται στο μυαλό τους οι ακέραιοι, προσθέτουν τους ακέραιους 15 και 25 για να βρουν το παραπάνω άθροισμα, υπολογίζουν τα ψηφία μετά την υποδιαστολή και έτσι τοποθετούν σωστά την υποδιαστολή. Η εκπαιδευτικός 2 δηλώνει επίσης ότι: Στα κλάσματα, οι μαθητές μου υπολογίζουν τι διαφορά έχει ο αριθμητής από τον παρονομαστή σε κάθε κλάσμα. χωρίς να σχολιάζει ότι δεν είναι μια μέθοδος που ισχύει πάντα για τη σύγκριση των κλασμάτων και διαφαίνεται ότι τη θεωρεί σωστή. Η εκπαιδευτικός 3 δηλώνει επιπλέον ότι τα ετερώνυμα κλάσματα οι μαθητές τα μετατρέπουν σε δεκαδικούς και κάνουν τις πράξεις. Από τις απαντήσεις των εκπαιδευτικών μπορούμε να καταλάβουμε ότι δεν γνωρίζουν γενικά τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές όταν υπολογίζουν με ρητούς εκτός από την αναφορά στους δεκαδικούς αριθμούς που έκαναν οι δύο εκπαιδευτικοί. Στην ερώτηση ποια λάθη των μαθητών γνωρίζουν στα κλάσματα, τους δεκαδικούς και τα ποσοστά και πως τα ερμηνεύουν οι τρεις εκπαιδευτικοί απάντησαν με διαφορετικούς τρόπους και κάθε μια αναφέρθηκε αποσπασματικά σε κάποια λάθη και δυσκολίες των μαθητών. Η εκπαιδευτικός 1 αναφέρθηκε στο ότι οι μαθητές συχνά δεν μετατρέπουν τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα και προσθέτουν αριθμητές με παρονομαστές. Για τους δεκαδικούς αριθμούς είπε ότι οι μαθητές δεν

7 προσέχουν την αξία ψηφίου. Η δασκάλα αυτή επισημαίνει ότι: Νοερά σε καμιά περίπτωση δεν κάνουν διαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς. Επίσης φυσικούς αριθμούς πολλά παιδιά κάνουν νοερά υπολογισμούς, αλλά επίσης δεκαδικούς όχι. Στη διαίρεση κλασμάτων δυσκολεύονται αλλά νοερούς υπολογισμούς γενικά στην πρόσθεση, στη διάταξη, στη σύγκριση και στην αφαίρεση μπορούν να κάνουν.» Η εκπαιδευτικός 2 επισημαίνει τα εξής λάθη: μπερδεύουν δηλαδή το 1/5 με το 1, η κλασματική μονάδα νομίζουν ότι είναι ο αριθμός 1. Επίσης δεκαδικούς αριθμούς μπερδεύουν το 0,4 και το 0,40 και νομίζουν ότι είναι διαφορετικά μεταξύ επίσης. Ακόμη, μεταξύ δύο δεκαδικών αριθμών επίσης το 1,4 και το 1,5 πιστεύουν ότι δεν υπάρχουν άλλοι αριθμοί ανάμεσα επίσης. Η εκπαιδευτικός 3 κάνει νύξη για την γενική δυσκολία στην κατανόηση του κλάσματος και για το ότι επίσης δεκαδικούς αριθμούς όταν πολλαπλασιάζεις μικραίνει, χωρίς να επεκτείνεται περισσότερο και να το αναλύει. Για να φανεί συγκεκριμένα ποιες στρατηγικές γνωρίζουν οι εκπαιδευτικοί τέθηκε η εξής ερώτηση: Ποιες είναι οι πιθανές στρατηγικές που θα χρησιμοποιούσαν οι μαθητές αν τους ζητούσαμε να υπολογίσουν νοερά τις παρακάτω πράξεις: α) 1-1/4, β) ½:1/4, γ) συγκρίνω το κλάσμα 3/7 και 5/8 και δ) βρίσκω το 90% του 40. Για την πρώτη ερώτηση 1-1/4 προτάθηκαν οι παρακάτω τρεις στρατηγικές: 1. Μετατρέπουν το 1 σε 4/4 και αφαιρούν από αυτό το ¼. 2. Σκέφτονται ένα γεωμετρικό σχήμα από το οποίο βγάζουν το ¼. 3. Σκέφτονται το 1 σαν 100, μοιράζουν το 100 σε 4 μέρη και αφαιρούν με αυτόν τον τρόπο. Η εκπαιδευτικός 1 πρότεινε τις στρατηγικές 1 και 2, η εκπαιδευτικός 2 τις 2 και 3 και η εκπαιδευτικός 3 μόνο τη στρατηγική 1. Για την ερώτηση β) ½:1/4 η εκπαιδευτικός 1 δήλωσε ότι είναι πολύ δύσκολο μόνο με τον αλγόριθμο θα το καταλάβαιναν, η εκπαιδευτικός 2 είπε: θα έπαιρναν μια μονάδα και θα την μοίραζαν στη μέση και μετά θα την ξαναμοίραζαν στη μέση κάτι που είναι λάθος και η εκπαιδευτικός 3 δήλωσε: δεν ξέρω πρέπει να το κάνουμε πρώτα. Στην πράξη αυτή της διαίρεσης μόνο η πρώτη εκπαιδευτικός προτείνει τον αλγόριθμο ενώ οι άλλοι δύο φαίνεται ότι δεν γνωρίζουν να λύσουν την άσκηση. Για τη σύγκριση των κλασμάτων 3/7 και 5/8 προτάθηκαν συνολικά οι παρακάτω στρατηγικές: 1. Μετατροπή σε ομώνυμα και σύγκριση, 2. Μετατροπή σε δεκαδικούς. 3. Σύγκριση των δύο κλασμάτων με σημείο αναφοράς το ½. Η εκπαιδευτικός 1 πρότεινε τις στρατηγικές 1 και 3, η εκπαιδευτικός 2 δηλώνει: θα έλεγαν ότι το 3 από το 7 απέχει περισσότερο από ότι το 5 από το 8 κριτήριο το οποίο δεν είναι πάντοτε σωστό. Η εκπαιδευτικός 3 πρότεινε τις στρατηγικές 1 και 2. Στην ερώτηση βρίσκω το 90% του 40 η εκπαιδευτικός 1 δεν πρότεινε κάποια στρατηγική υπολογισμού, η εκπαιδευτικός 2 απαντά: θα έκαναν τον πολλαπλασιασμό στο μυαλό τους (4 x 9) και θα το έβρισκαν έτσι και η εκπαιδευτικός 3 απάντησε δεν έχουμε κάνει τα ποσοστά και δεν ξέρω.

8 Σύμφωνα με τις παραπάνω απαντήσεις των εκπαιδευτικών παρατηρούμε ότι όχι μόνο δεν γνωρίζουν μια ποικιλία στρατηγικών αλλά σε ερωτήσεις όπως η διαίρεση κλασμάτων δεν γνωρίζουν τις σωστές απαντήσεις. 3.4. Επιρροή της παρέμβασης στις αντιλήψεις των εκπαιδευτικών. Αξιολόγηση της επιμόρφωσης. Στην ερώτηση αν η επιμόρφωση κατάφερε να αλλάξει τις αρχικές αντιλήψεις των εκπαιδευτικών για την σπουδαιότητα των νοερών υπολογισμών, η εκπαιδευτικοί 1 και 3 δήλωσαν ότι πάντοτε γνώριζαν την σπουδαιότητα των νοερών υπολογισμών και δεν άλλαξαν άποψη. Μόνο η εκπαιδευτικός 3 σημειώνει ότι Μετά την επιμόρφωση, όμως, στην πράξη είδα ότι οι νοεροί υπολογισμοί βοηθούν τους μαθητές. Η εκπαιδευτικός 2 θεωρεί ότι άλλαξε αντιλήψεις μετά την παρέμβαση και συγκεκριμένα δηλώνει: Αναθεώρησα κάποιες αρχικές απόψεις μου, καθώς πίστευα ότι οι μαθητές κατανοούν όταν κάνουν τις πράξεις με χαρτί και μολύβι αλλά τελικά τροχίζει το μυαλό τους να σκεφτούν νοερά. Οι τρεις εκπαιδευτικοί γενικά δηλώνουν ικανοποιημένοι από την επιμόρφωση. Η εκπαιδευτικός 3 δηλώνει ότι δεν έχει να παρατηρήσει τίποτα, ενώ η εκπαιδευτικός 1 λέει: Θα ήθελα να δοθεί περισσότερη έμφαση στις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές και στα λάθη που κάνουν και λιγότερη στο θεωρητικό μέρος η εκπαιδευτικός 2 επίσης θα επιθυμούσε περισσότερα παραδείγματα στρατηγικών σύμφωνα με το επίπεδο των μαθητών. Η εκπαιδευτικός 1 δηλώνει ότι η επιμόρφωση που πραγματοποιήθηκε την βοήθησε να εμπλουτίσει τις γνώσεις της για τον τρόπο που σκέφτονται οι μαθητές, τα λάθη που κάνουν και για τις στρατηγικές που θα μπορούσε να εφαρμόσει στην τάξη. Η εκπαιδευτικός 2 αναφέρει ότι βοηθήθηκε μέσω των παραδειγμάτων και των ασκήσεων και η εκπαιδευτικός 3 αναφέρει ότι η επιμόρφωση της πρόσφερε την επιστημονική βεβαιότητα ότι οι νοεροί υπολογισμοί βοηθούν τους μαθητές στην κατανόηση των ρητών αριθμών. 3.5. Διδακτική παρέμβαση μετά την επιμόρφωση. Συμπεριφορές των μαθητών Όσον αφορά τον τρόπο που οργάνωσαν τη διδακτική τους παρέμβαση μετά την επιμόρφωση οι εκπαιδευτικοί 1 και 2 δήλωσαν ότι εισήγαγαν επίσης νοερούς υπολογισμούς στην αρχή κάθε καινούριου κεφαλαίου. Η εκπαιδευτικός 1 εισήγαγε επίσης νοερούς υπολογισμούς στην αρχή κάθε καινούριου κεφαλαίου καθώς και όταν οι μαθητές συναντούσαν δυσκολίες και αφιέρωνε στη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών τον μισό χρόνο. Η εκπαιδευτικός 2 αφιέρωνε μία ώρα σε κάθε καινούριο μάθημα για τους νοερούς υπολογισμούς και 10 λεπτά σε κάθε επόμενο μάθημα για εξάσκηση με νοερούς υπολογισμούς, ενώ η εκπαιδευτικός 3 δίδασκε παράλληλα τους νοερούς υπολογισμούς και τους γραπτούς αλγορίθμους, σε κάποιες περιπτώσεις εισήγαγε πρώτα τους νοερούς υπολογισμούς και ύστερα τον γραπτό

9 αλγόριθμο ενώ όπου η κατάσταση ήταν ήδη γνωστή, οι μαθητές δούλευαν πρώτα με τον αλγόριθμο και έπειτα έλυναν και προβλήματα κάνοντας χρήση νοερών στρατηγικών. Ως υλικό οι εκπαιδευτικοί χρησιμοποίησαν δραστηριότητες από τις προτάσεις της επιμόρφωσης, τα βιβλία και από το διαδίκτυο. Σε σχέση με την τεχνολογία μόνο η εκπαιδευτικός 1, παρουσίασε με βάση το λογισμικό «Μπάρες» κάποιες δραστηριότητες στους μαθητές από τον προσωπικό επίσης φορητό υπολογιστή λόγω έλλειψης υπολογιστών στο σχολείο. Οι εκπαιδευτικοί αναφέρονται στην έλλειψη υποδομών και τη δυσκολία χρήσης της τεχνολογίας. Σχετικά με την ανταπόκριση των μαθητών στη διδασκαλία οι εκπαιδευτικοί επεσήμαναν ότι συμμετείχαν όλοι οι μαθητές και οι αδύναμοι μαθητές χρειαζόντουσαν περισσότερο χρόνο. Είναι χαρακτηριστική η δήλωση της εκπαιδευτικού 1: Αρχικά, στους νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς ανταποκρίθηκαν οι καλοί μαθητές. Στη συνέχεια, παρακινήθηκαν και οι υπόλοιποι μαθητές και κάποιοι αδύνατοι μαθητές που ήταν αδιάφοροι συνήθως και συμμετείχαν στο μάθημα. Καθώς μέσω των νοερών υπολογισμών οι μαθητές κατανοούσαν τους ρητούς αριθμούς αισθανόντουσαν πιο σίγουροι για τις απαντήσεις τους και συμμετείχαν με μεγαλύτερη προθυμία στο μάθημα. Επισημαίνεται και τονίζεται από επίσης τρεις εκπαιδευτικούς ότι στην πειραματική διδασκαλία συμμετείχαν όλοι οι μαθητές ακόμη και οι πιο αδύναμοι. Σχετικά με τη χρήση των νοερών υπολογισμών είναι χαρακτηριστική η απάντηση της εκπαιδευτικού 2: Κάποιοι μαθητές καταλάβαιναν μέσω νοερών υπολογισμών και μετά η γραπτή πράξη ήταν μια απλή διαδικασία. Κάποιοι άλλοι κατανοούσαν όταν η πράξη γινόταν γραπτά. Συγκεκριμένα, όταν ήταν απλά τα παραδείγματα και παρόμοια με τα παραδείγματα επίσης δασκάλας οι μαθητές κατέφευγαν επίσης νοερούς υπολογισμούς και τα κατάφερναν. Όταν τα παραδείγματα γίνονταν πιο σύνθετα οι μαθητές κατέφευγαν επίσης γραπτούς αλγορίθμους.. Οι εκπαιδευτικοί επισημαίνουν επίσης ότι αρκετοί μαθητές γνωρίζουν και χρησιμοποιούν ανάλογα με την περίπτωση διαφορετικές στρατηγικές υπολογισμού δηλαδή υπολογίζουν ευέλικτα. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι τρεις δασκάλες που συμμετείχαν στην έρευνα αυτή δεν είχαν κάποια ειδική επιμόρφωση στη διδασκαλία των ρητών αριθμών και είχαν ενδιαφέρον να συμμετέχουν σε μια επιμόρφωση και πειραματική διδασκαλία, μπορούμε να υποθέσουμε ότι βρίσκονται πάνω από το μέσο όρο των δασκάλων. Γνώριζαν εκ των προτέρων και ήταν πεπεισμένες θεωρητικά για τη σημαντικότητα και τα οφέλη από τους νοερούς υπολογισμούς. Αρχικά θεωρούσαν τους νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς δύσκολους που προορίζονταν μόνο για τους καλούς μαθητές. Πιθανά η θεώρηση τους αυτή να επηρεάζονταν από τις δυσκολίες που αντιμετώπιζαν και αυτές οι ίδιες στις πράξεις των ρητών αριθμών. Οι δύο εκπαιδευτικοί φαίνεται να είχαν μια συγκεχυμένη ιδέα σχετικά με το τι είναι νοεροί υπολογισμοί ρητών

10 αριθμών, θεωρούσαν ως τέτοιους περισσότερο τις επεξηγήσεις που δίνονταν στους μαθητές. Σχετικά με τα λάθη των μαθητών γνώριζαν κάποια αποσπασματικά αλλά έλλειπε μια συστηματική γνώση και ερμηνεία αυτών των λαθών. Όσον αφορά τους νοερούς υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς και τις στρατηγικές στους υπολογισμούς αυτούς οι δασκάλες δεν γνώριζαν τις στρατηγικές και έκαναν λάθη στις δύσκολες πράξεις με ρητούς αριθμούς. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι φάνηκε ανάγκη για μια επιμόρφωση και εξάσκηση των εκπαιδευτικών στην επίλυση με διαφορετικές στρατηγικές στις πράξεις με ρητούς αριθμούς όπως η διαίρεση, η σύγκριση κλασμάτων καθώς και τα ποσοστά. Μετά την επιμόρφωση και την πειραματική διδασκαλία στην τάξη, οι τρεις εκπαιδευτικοί αναθεώρησαν την αρχική τους άποψη ότι οι νοεροί υπολογισμοί στους ρητούς αφορούν τους καλούς μαθητές. Επισήμαναν όλες την συμμετοχή και τα κίνητρα που είχαν οι αδύνατοι μαθητές καθώς και το γεγονός ότι κατανοούσαν. Ο τρόπος διδασκαλίας και εισαγωγής των νοερών υπολογισμών έγινε διαφορετικά από τις τρεις δασκάλες. Η μια μάλιστα δίδασκε παράλληλα τους νοερούς υπολογισμούς και τους γραπτούς αλγόριθμους. Τονίστηκε επίσης ότι η φτωχή υλικοτεχνική υποδομή δεν επέτρεψε τη χρήση της τεχνολογίας στη διδασκαλία. Τελικά όσον αφορά τους μαθητές, από τις δηλώσεις των δασκάλων, φάνηκε ότι συμμετείχε και κατανοούσε η πλειοψηφία των μαθητών καθώς και αρκετοί μαθητές απέκτησαν κάποια ευελιξία στην επιλογή στρατηγικών κατά τους υπολογισμούς. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Caney, A. (2004). Perception of mental computation practice: Reports from middle school teachers and students. In I. Putt, R. Faragher, & M. McLean (Eds.), Mathematics education for the third millennium: Towards 2010. Proceedings of the Twenty-seventh Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (Vol 1, pp.159-166). Townsville: MERGA Caney, A., & Watson, J. M. (2003). Mental computation for part-whole number operations. Paper presented at the joint conferences of the Australian Association for Research in Education and the New Zealand Association for Research in Education, Auckland. Clarke, D. M., Roche, A. (2009). Students fraction comparison strategies as a window into robust understanding and possible pointers for instruction. Educ Stud Math (2009) 72:127 138. Huang, T.- W., Liu S.- T. & Lin C.- Y. (1990). Preservice teachers mathematical knowledge of fractions. Research in Higher Educational Journal. McIntosh, Α., Nohda, Ν., Reys, Β., and Reys, R. (1995). Mental computation performance in Australia, Japan and the United States. Educational Studies in Mathematics. Vol. 29.3

11 Steinle, V., & Stacey, K. (2004). A longitudinal study of students' understanding of decimal notation: An overview and refined results. In I. Putt, R. Faragher & M. McLean (Eds.), Proceedings of the 27th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (pp. 541-548). Townsville: MERGA.