ΑΣΚΗΣΗ 6 Μελέτη συντονισμού σε κύκλωμα R,L,C, σειράς Σκοπός : Να μελετήσουμε το φαινόμενο του συντονισμού σε ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει αντιστάτη (R), πηνίο (L) και πυκνωτή (C) συνδεδεμένα σε σειρά (κύκλωμα RLC). Τι θα χρειαστούμε : Γεννήτρια εναλλασσόμενης τάσης, παλμογράφο, δύο ψηφιακά πολύμετρα, αντιστάτη (R), πηνίο (L), πυκνωτή (C) και... καλώδια. Σύντομη περιγραφή του πειράματος : Θα φτιάξουμε στον πάγκο μας ένα κύκλωμα στο οποίο θα συνδέσουμε σε σειρά ένα πηνίο (L), έναν πυκνωτή (C) και έναν αντιστάτη (R). Στα άκρα του κυκλώματος θα εφαρμόσουμε εναλλασσόμενη τάση χρησιμοποιώντας την γεννήτρια εναλλασσόμενης τάσης. Κρατώντας την ενεργό τιμή της τάσης της γεννήτριας σταθερή, θα μεταβάλλουμε την συχνότητα της τάσης f και θα μετράμε για κάθε τιμή της συχνότητας, τις ενεργές τιμές της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα I, της τάσης στα άκρα του πηνίου V L και της τάσης στα άκρα του πυκνωτή V C. Χρησιμοποιώντας αυτές τις μετρήσεις μας θα υπολογίσουμε για κάθε συχνότητα την επαγωγική αντίσταση του πηνίου Χ L και την χωρητική αντίσταση του πυκνωτή X C. Θεωρητική εισαγωγή : Βασικοί μαθηματικοί τύποι και έννοιες που πρέπει να ξέρεις: Η κυκλική συχνότητα ω μιας εναλλασσόμενης τάσης σχετίζεται με τη συχνότητα f με τη σχέση: ω=2πf Η Ωμική αντίσταση R ενός αντιστάτη φανερώνει τη δυσκολία στη διέλευση του ρεύματος η οποία οφείλεται στις κρούσεις των κινούμενων ηλεκτρονίων με τα άτομα του πλέγματος του αντιστάτη. Η ωμική αντίσταση δεν εξαρτάται από τη συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος. Η μονάδα μέτρησής της στο διεθνές σύστημα μονάδων (SI) είναι το Ω Η Χωρητική αντίσταση: X C = 1 1 ωc = 2π fc (1) φανερώνει τη δυσκολία στη διέλευση του εναλλασσόμενου ρεύματος από ένα πυκνωτή. Η μονάδα μέτρησής της στο SI είναι το Ω. Παρατήρησε ότι είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος. 67
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Όταν η συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι αρκετά χαμηλή ο πυκνωτής λειτουργεί σχεδόν σαν διακόπτης. Αν μάλιστα εφαρμόσουμε μια συνεχή τάση στα άκρα ενός πυκνωτή, φορτίο θα συγκεντρωθεί στον ένα οπλισμό του και το ηλεκτρικό πεδίο που θα προκύψει θα δυσκολεύει καινούργιο φορτίο να φτάσει εκεί. Όταν ο πυκνωτής θα έχει φορτιστεί πλήρως θα διακοπεί η ροή του ρεύματος στο κύκλωμα. Ερώτηση: αν θεωρήσουμε ότι τι συνεχές ρεύμα έχει συχνότητα ίση με μηδέν πόση είναι η αντίσταση που παρουσιάζει ένας πυκνωτής στο συνεχές ρεύμα; Αντίθετα, όταν η συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι πολύ μεγάλη, τότε μια περιορισμένη ποσότητα φορτίου θα συγκεντρωθεί στον κάθε οπλισμό του πυκνωτή πριν αλλάξει πρόσημο η τάση στα άκρα του και αρχίσει το φορτίο να φεύγει από τους οπλισμούς του. Και όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα τόσο λιγότερο φορτίο συγκεντρώνεται στον πυκνωτή και τόσο μικρότερη είναι η αντίσταση στη διέλευση του ρεύματος. Αυτά που είπαμε για τη χωρητική αντίσταση φαίνονται στο σχήμα 1 όπου η διακεκομμένη γραμμή δείχνει τη μεταβολή του Χ C με την κυκλική συχνότητα. Προσέξτε πως όταν το ω είναι κοντά στο μηδέν το Χ C παίρνει πολύ μεγάλες τιμές ενώ αντίστροφα για μεγάλα ω το Χ C είναι περίπου μηδέν. Η Επαγωγική αντίσταση: X = ωl= 2π fl (2) L είναι η αντίσταση που παρουσιάζει ένα πηνίο στη διέλευση του εναλλασσόμενου ρεύματος (αν θεωρήσουμε ότι το πηνίο είναι ιδανικό έχει δηλαδή αμελητέα ωμική αντίσταση). Οφείλεται στο φαινόμενο της επαγωγής δηλαδή στο ότι το πηνίο αντιδρά σε κάθε μεταβολή του ρεύματος που το διαρρέει. Όσο γρηγορότερες μεταβολές έχουμε στο ρεύμα (δηλαδή μεγάλη συχνότητα) τόσο περισσότερο αντιδρά το πηνίο. Γι αυτό η επαγωγική αντίσταση είναι ανάλογη με τη συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος. Η γραφική παράσταση της επαγωγικής αντίστασης ως συνάρτησης του ω φαίνεται επίσης στο σχήμα 1 με τη συνεχή γραμμή. Z= R + X X (3) 2 Σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος: ( ) 2 είναι η συνολική αντίσταση που παρουσιάζει το κύκλωμα RLC σειράς στη διέλευση του ρεύματος εξαιτίας και του αντιστάτη και του πηνίου και του πυκνωτή. Προσέξτε πως όταν δώσουμε από την πηγή μια πολύ χαμηλή κυκλική συχνότητα ω το πηνίο δεν αντιδρά σημαντικά στις μεταβολές του ρεύματος μια και αυτές είναι μικρές και η επαγωγική αντίσταση είναι πολύ μικρή. Αντίθετα η χωρητική αντίσταση είναι πολύ μεγάλη, είναι αυτή που κυριαρχεί και λέμε ότι το κύκλωμα παρουσιάζει χωρητική συμπεριφορά. Λόγω της L C 68
μεγάλης χωρητικής αντίστασης, άρα και της μεγάλης σύνθετης αντίστασης Ζ πολύ μικρό ρεύμα διαρρέει το κύκλωμα. Αν η κυκλική συχνότητα της γεννήτριας εναλλασσόμενης τάσης είναι πολύ ψηλή τότε η χωρητική αντίσταση είναι αμελητέα. Αντίθετα το πηνίο παρουσιάζει μεγάλη επαγωγική αντίσταση αφού αντιδρά έντονα στις γρήγορες μεταβολές του ρεύματος. Η επαγωγική αντίσταση είναι λοιπόν αυτή που κυριαρχεί στις μεγάλες συχνότητες και λέμε ότι το κύκλωμα παρουσιάζει επαγωγική συμπεριφορά. Λόγω της μεγάλης επαγωγικής αντίστασης, άρα και της μεγάλης σύνθετης αντίστασης Ζ πολύ μικρό ρεύμα διαρρέει το κύκλωμα. Τέλος υπάρχει κυκλική συχνότητα ω ο, τέτοια ώστε η χωρητική αντίσταση γίνεται ίση με την επαγωγική (Χ L =Χ C ) οπότε εξουδετερώνονται. Τότε η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος παίρνει την ελάχιστή της τιμή, γίνεται ίση με την ωμική (δες σχέση 3) και λέμε ότι το κύκλωμα παρουσιάζει ωμική συμπεριφορά. Αντίσταση (Ω) 600 400 200 X C X L X L -X C -200 0 0 5000 10000 15000 20000 Κυκλική συχνότητα ω (rad/sec) -400-600 ω ο : κυκλική συχνότητα συντονισμού Σχήμα 1 Τότε η ένταση του ρεύματος I V V = = Z 2 R + XL XC ( ) 2 (4) στο κύκλωμα μεγιστοποιείται και λέμε ότι βρισκόμαστε σε συντονισμό. ες το σχήμα 2 όπου φαίνεται η καμπύλη συντονισμού δηλαδή η γραφική παράσταση της έντασης του ρεύματος ως συνάρτηση της κυκλικής συχνότητας ω. 69
Τη συχνότητα ω 1 1 1 o = fo = (5) LC 2π LC τη λέμε συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος. ΠΡΟΣΕΞΤΕ: Εξαρτάται μόνο από το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου και τη χωρητικότητα C του πυκνωτή. Ένταση ρεύματος Ι (ma) 20 15 10 5 Καμπύλη συντονισμού μέγιστη τιμή ρεύματος 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 Κυκλική συχνότητα ω (rad/sec) ω ο : κυκλική συχνότητα συντονισμού Σχήμα 2 Συνοπτικά όταν έχουμε συντονισμό: η χωρητική αντίσταση γίνεται ίση με την επαγωγική (Χ L =Χ C ) η ένταση του ρεύματος Ι παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Η ένταση του ρεύματος βρίσκεται σε φάση με τη τάση της πηγής δηλαδή παίρνουν ταυτόχρονα τις μέγιστες τιμές τους το κύκλωμα απορροφά τη μέγιστη δυνατή ισχύ Πρακτική χρήση συντονισμού; Προσέξτε ότι στη συχνότητα συντονισμού η απορρόφηση ισχύος από το κύκλωμα γίνεται μέγιστη όπως επίσης και το ρεύμα. Αυτό μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε έτσι ώστε το κύκλωμά μας να επιλέγει μια συγκεκριμένη συχνότητα από μια ομάδα συχνοτήτων. Αυτό συμβαίνει όταν θέλουμε να επιλέξουμε ένα σταθμό στο ραδιόφωνο ή κάποιο κανάλι στην τηλεόραση. Η κεραία μας δέχεται ταυτόχρονα σήματα διαφόρων συχνοτήτων από διάφορους σταθμούς. Αν επιλέξουμε κατάλληλα L και C στο κύκλωμά μας μπορούμε να φτιάξουμε τη συχνότητα συντονισμού έτσι ώστε το κύκλωμά μας να απορροφά μεγάλη ισχύ μόνο στη συχνότητα (στη πραγματικότητα σε ένα μικρό εύρος συχνοτήτων γύρω από τη βασική συχνότητα εκπομπής) που εκπέμπει ο σταθμός που επιθυμούμε κι έτσι να ακούμε καθαρά μόνο το δικό του σήμα. 70
Πορεία Εργασίας 1. Πραγματοποιούμε το κύκλωμα που φαίνεται στο σχήμα 3. Κατά την σύνδεση του κυκλώματος προσέχουμε ώστε η γείωση της γεννήτριας εναλλασσόμενης τάσης καθώς και οι γειώσεις των καναλιών 1 (CH1) και 2 (CH2) του παλμογράφου να συνδεθούν στην υποδοχή με το σύμβολο ( ) που είναι το σύμβολό της γείωσης. Σχήμα 3 2. ίνουμε αρχικά στη συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης την τιμή f=100hz. Ρυθμίζουμε την ενεργό τιμή της τάσης της πηγής V =3 Volt (προσοχή! η τιμή της εναλλασσόμενης τάσης που δείχνει το ψηφιακό πολύμετρο που χρησιμοποιούμε ως βολτόμετρο είναι η ενεργός τιμή της τάσης) Μετράμε με το αμπερόμετρο την ενεργό τιμή του ρεύματος I που διαρρέει το κύκλωμα και την καταχωρούμε στον πίνακα μετρήσεων. 3. ιαδικασία ρύθμισης του παλμογράφου: α) Θέτουμε σε λειτουργία τον παλμογράφο πατώντας τον διακόπτη λειτουργίας (ON/OFF). β) Πατάμε το κουμπί του καναλιού 1 δηλαδή το Κ2, ώστε ο παλμογράφος να επιτρέπει την εμφάνιση στην οθόνη της τάσης στα άκρα του πηνίου (κίτρινη γραμμή) 71
γ) Ρυθμίζουμε τη κλίμακα της τάσης χρησιμοποιώντας το Κ1 ώστε η τάση μας να απλωθεί σε ολόκληρη την οθόνη και τη κλίμακα του χρόνου με το Ο1 ώστε στην οθόνη μας να εμφανίζονται 2-3 περίοδοι της τάσης. δ) Πατούμε το κουμπί M2 (measure) και στο μενού που εμφανίζεται στην οθόνη αφού φροντίσουμε ώστε το Source να είναι στη θέση CH1 επιλέγουμε το Voltage. Θα εμφανιστεί ένα καινούργιο μενού στο οποίο πατάμε το voltage2/3 για να πάμε στη δεύτερη σελίδα του μενού και έπειτα V. Στην οθόνη του παλμογράφου θα εμφανιστεί η ενεργός τιμή της τάσης στα άκρα του πηνίου (με κίτρινο χρώμα) την οποία καταγράφουμε στον πίνακα μετρήσεων. ε) Τέλος θέλουμε να μετρήσουμε την ενεργό τιμή της τάσης στα άκρα του πυκνωτή V C. Προσέξτε ότι στο κανάλι 1 έχουμε βάλει την τάση στα άκρα του πηνίου (V L ) ενώ στο κανάλι 2 την συνολική τάση πηνίου και πυκνωτή μαζί (V L + V C ). Για να βρούμε λοιπόν την τάση στα άκρα του πυκνωτή πρέπει να αφαιρέσουμε από την τάση του καναλιού 1 την τάση του καναλιού 2. Πως; ες. Πατάμε το κουμπί μαθηματικών πράξεων Κ7 (Math) και στο μενού που εμφανίζεται φροντίζουμε ώστε το Operate να είναι στη θέση 1-2. Στην οθόνη με μώβ χρώμα εμφανίζεται η διαφορά των τάσεων των δύο καναλιών δηλαδή η τάση στα άκρα του πυκνωτή. Αφού πατήσουμε το, περιστρέφουμε το κουμπί P ώστε η τάση μας να απλωθεί σε ολόκληρη την οθόνη ενώ με το Ο1 (ρύθμιση κλίμακας του χρόνου) φροντίζουμε ώστε στην οθόνη μας να εμφανίζονται 2-3 περίοδοι της τάσης. Τέλος πατάμε το κουμπί Μ2 (measure) και στο μενού που εμφανίζεται φροντίζουμε ώστε το Source να είναι στη θέση Math. Μετά πατάμε το Voltage και πηγαίνοντας στη δεύτερη σελίδα (2/3) πατάμε το V ώστε να εμφανιστεί η ενεργός τιμή της τάσης στα άκρα του πυκνωτή στην οθόνη (με μωβ χρώμα) την οποία καταγράφουμε στον πίνακα μετρήσεων. M1 M2 O1 O2 Agilent Technologies DSO3062A DIGITAL STORAGE OSCILLOSCOPE 60 MHz 1 GSa/s MENU ON/OFF Horizontal Main Delayed Measure Waveform Cursors Measure Acquire Display Run Control Run Stop Auto Scale Single A1 Vertical Save Recall P Utility Math 1 2 Ref Local Force Trigger Mode Coupling T4 50% 1 2 Ext Trig Level T2 X Y ΟΝ/OFF K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 4. Συνεχίζουμε τη συμπλήρωση του πίνακα μετρήσεων μεταβάλλοντας τη συχνότητα και δίνοντάς της τις τιμές που φαίνονται εκεί. Για κάθε νέα συχνότητα 72
που δίνουμε προσέχουμε ώστε να ρυθμίσουμε και πάλι την ενεργό τιμή της τάσης της γεννήτριας στα 3Volt. Οι τιμές της ενεργού τιμής της τάσης στα άκρα του πηνίου και του πυκνωτή συνεχίζουν να φαίνονται χωρίς καμιά παραπάνω ρύθμιση στο κάτω μέρος της οθόνης του παλμογράφου με κίτρινο και μωβ χρώμα αντίστοιχα. Τις καταγράφουμε και αυτές στον πίνακα μετρήσεων. V V 5. Υπολογίζουμε τα Χ L = L, Χ C = C και Χ L -Χ C και συμπληρώνουμε και I I τις 3 τελευταίες στήλες του πίνακα μετρήσεων. 6. Φτιάχνουμε την καμπύλη συντονισμού του κυκλώματος δηλαδή την γραφική παράσταση του ρεύματος Ι σα συνάρτηση του f σε μιλιμετρέ χαρτί. 7. Φτιάχνουμε στον υπολογιστή τη γραφική παράσταση των Χ L, Χ C, και Χ L -Χ C σα συνάρτηση της κυκλικής συχνότητας ω με κοινό κατακόρυφο άξονα. 8. Βρές τη συχνότητα συντονισμού f ο από: α) την καμπύλη συντονισμού που έφτιαξες στο βήμα 6 παραπάνω. (Υπόδειξη: Για βοήθεια κοίταξε το σχήμα 2) β) την γραφική παράσταση Χ L -Χ C σα συνάρτηση του ω που έφτιαξες στον υπολογιστή. (Υπόδειξη: Για βοήθεια κοίταξε το σχήμα 1) Πίνακας Μετρήσεων f (Hz) 100 I (ma) V L (mv) V C (mv) V X L = I (Ω) L V X C = I (Ω) C 200 300 400 500 600 700 800 1000 1500 2500 73
74