Λυμένες ασκήσεις Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια 1. Στις κορυφές οριζόντιου ισόπλευρου τριγώνου Α,Β,Γ πλευράς α βρίσκονται τα φόρτια,όπου. α. Ποια η δυναμική ηλεκτρική ενέργεια του συστήματος; β. Ποιο το φυσικό νόημα του πρόσημου της ενέργειας; α. Η ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι ίση με το αθροίσματος των δυναμικών ενεργειών των συνδυασμών των φορτίων ανά δυο. Τα φορτία αντικαθίστανται με τα πρόσημά τους. Άρα: β. Το φυσικό νόημα του αρνητικού πρόσημου της ενέργειας είναι ότι για τη μεταφορά των φορτίων από τη θέση που βρίσκονται σε άπειρη απόσταση μεταξύ τους απαιτείται ενέργεια. 2. Στο διπλανό σχήμα α φορτία Q,q βρίσκονται πάνω σε λεία μονωτική επιφάνεια και απέχουν. Το φορτίο Q είναι ακλόνητο, ενώ το σωματίδιο με το φορτίο q έχει και είναι ελεύθερο να κινηθεί. Να βρείτε: α. Τι κίνηση θα εκτελέσει το q, όταν το αφήσουμε ελεύθερο; β. Τι ταχύτητα θα έχει όταν βρίσκεται σε απόσταση από το Q; γ. Ποια η μεγίστη ταχύτητα θα αποκτήσει; Δίνεται,.
α. Μόλις αφεθεί το q ελεύθερο θα κινηθεί όπως στο σχήμα, εκτελώντας επιταχυνόμενη κίνηση αφου υπάρχει η δύναμη Coulomb. Η κίνηση είναι μη ομαλά επιταχυνόμενη, επειδή η αλλάζει συνεχώς (μειώνεται) αφου μεγαλώνει η απόσταση μεταξύ των φορτίων Q και q. β. Η ταχύτητα θα βρεθεί με τη βοήθεια του Θ.Μ.Κ.Ε. με = και =, άρα: γ. Μεγίστη ταχύτητα θα αποκτήσει το σωματίδιο στο τέλος της επιταχυνόμενης κίνησης, δηλαδή πολύ μακριά από το κινητό φορτίο Q. (Προσέξτε ότι παρά το γεγονός ότι η δύναμη, η επιτάχυνση και ο ρυθμός αύξησης της ταχύτητας συνεχώς μειώνονται, η ταχύτητα αυξάνεται). Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Κ.Ε. έχουμε: με = και 0 Άρα :
3. Ένα σωματίδιο Α μάζας και φορτίου εκτοξεύεται με ταχύτητα μέτρου 100 m/s εναντίον άλλου σωματιδίου Β που βρίσκεται πολύ μακριά απ το Α. Αν και να βρείτε: α. Την ελάχιστη απόσταση στην οποία θα πλησιάσουν. β. Τη μεγίστη τιμή της δυναμικής ενέργειας του συστήματος. γ. Τις τελικές ταχύτητες των σωματιδίων. α. Καθώς οι σφαίρες πλησιάζουν μεταξύ τους ασκούνται στη κάθε μια η δύναμη Coulomb. Η ταχύτητα του σωματιδίου Α συνεχώς μικραίνει, ενώ του Β συνεχώς μεγαλώνει. Όσο η είναι μεγαλύτερη από τη τα δυο σώματα πλησιάζουν. Όταν οι ταχύτητες είναι ίσες βρίσκονται στην ελάχιστη απόσταση. Στη συνέχεια η απόσταση των σωματιδίων πάλι θα μεγαλώσει. Άρα, ελάχιστη απόσταση θα έχουμε εκεί που τα σωματίδια έχουν ίσες ταχύτητες. Το σύστημα των σωματιδίων είναι μονωμένο διότι η συνιστάμενη των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.(οι δυνάμεις Coulomb είναι εσωτερικές του συστήματος των δυο σωματιδίων). Αφου το σύστημα είναι μονωμένο θα ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής και επειδή οι ορμές βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση έχουμε: (1) Απ την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε : β. Η δυναμική ενέργεια των δυο σωματιδίων θα γίνει μεγίστη, όταν η απόσταση είναι ελάχιστη, άρα:
γ. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ορμής και την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα έχουμε: (Τελική κατάσταση όταν θα ξαναβρεθούν πολύ μακριά). Άρα: (2) Ενώ Άρα ή. Η αποκλείεται να είναι μηδέν διότι το σωματίδιο Β συνεχώς επιταχύνεται, άρα και από την (2). 4. Στο διπλανό σχήμα τα φόρτια Q,q είναι ομόσημα. Κάποια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το q. Τι θα συμβεί; Στο σωματίδιο ασκούνται το βάρος του και. Αν το σωματίδιο θα μείνει ακίνητο.
Αν είναι μεγαλύτερο από την Κάποια στιγμή το σωματίδιο θα κινηθεί προς τα κάτω. Όσο το βάρος η ταχύτητα θα αυξάνεται. οπότε θα έχουμε μέγιστη ταχύτητα, διότι στη συνέχεις η και η ταχύτητα συνεχώς μειώνεται μέχρι στιγμιαία να μηδενιστεί. Μετά θα συμβεί η αντίστροφη διαδικασία. Αν θέλαμε να βρούμε τη μέγιστη ταχύτητα θα χρησιμοποιούσαμε το Θ.Μ.Κ.Ε. Οπότε, θα είχαμε:. με με και και Αν θέλαμε να βρούμε που θα σταματήσει στιγμιαία το σωματίδιο κάνοντας χρήση του Θ.Μ.Κ.Ε. θα είχαμε : με =q με και : και Αν το σωματίδιο θα κινηθεί προς τα πάνω. Μεγίστη ταχύτητα θα έχουμε, όταν προηγούμενη περίπτωση.. Οι διαδικασίες είναι ανάλογες με την Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου 1. Δυο παράλληλες και κατακόρυφες φορτισμένες μεταλλικές πλάκες δημιουργούν ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. Ένα πρωτόνιο βάλλεται προς τη θετική πλάκα ένα σημείο πολύ κοντά στην αρνητική πλάκα με ταχύτητα μέτρου παράλληλη στην ένταση του πεδίου. Η απόσταση των πλακών είναι
. Ποια είναι η τιμή του μέτρου Ε της έντασης, ώστε το πρωτόνιο μόλις φτάσει στη θετική πλάκα; Δίνονται και. Πεδίο βαρύτητας παραλείπεται. Με τη βοήθεια του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχουμε: 2. Δυο παράλληλες μεταλλικές πλάκες δημιουργούν ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, ενώ απέχουν απόσταση 5 cm. Από τη θετικά φορτισμένη πλάκα αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί ένα πρωτόνιο. Το πρωτόνιο φτάνει στην άλλη πλάκα με ταχύτητα μέτρου. Να βρείτε: α. Τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των πλακών και την ένταση του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου. β. Nα υπολογίσετε το χρόνο κίνησης ανάμεσα στις δύο πλάκες. Βαρυτικές δυνάμεις να μη ληφθoύν υπόψη. Δίνονται:, α. Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας: ή ή Ισχύει ότι, άρα.
β. Το σωματίδιο θα εκτελέσει ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με, οπότε, μόλις φτάσει στην πλάκα Β, η απόσταση που έχει διανύσει είναι d, για το οποίο ισχύει: ή