ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 1 ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις Μετρήσεων Τεχνικών Μεγεθών Δρ Ιωάννης Λεκάκης Αναπληρωτής Καθηγητής Copyrght 008 Λεκάκης

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΘΟΔΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 3

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 0 Πρόβλημα 1 Τα βασικά στοιχεία ενός μετρητικού συστήματος είναι όπως στο ακόλουθο Σχήμα Μετατροπέας Τροποποίηση Ανάλυση Απεικόνιση Είσοδος Σήματος Σήματος δεδομένων Έξοδος a) Αναφέρατε τρία παραδείγματα γιατί οι μηχανολόγοι μηχανικοί χρησιμοποιούν τις μετρήσεις. b) Σε ποιο τμήμα του μετρητικού συστήματος νομίζεται ότι αντιστοιχούν τα παρακάτω εξαρτήματα; Επιταχυνσιόμετρο, Ενισχυτής, παλμογράφος, αναλογικόςψηφιακός μετατροπέας (μετατρέπει την τάση (το αναλογικό σήμα) σε ακέραιους αριθμούς (ψηφιακό σήμα), οθόνη υπολογιστή, φίλτρο, θερμοστοιχείο, γέφυρα κυκλώματος (μετατρέπει κάθε μεταβολή αντίστασης σε μεταβολή τάσης). (Α) a) Προκειμένου να πιστοποιήσουν ότι τα μαθηματικά μοντέλα προσομοιώνουν τη συμπεριφορά του μηχανικού εξοπλισμού. b) Έλεγχο με ανατροφοδότηση. Παράδειγμα: Μέτρηση της ταχύτητας αυτοκινήτου για να τροφοδοτήσει το σύστημα ελέγχου πλοήγησης. c) Για τον προσδιορισμό των υλικών ή παραμέτρων συστημάτων. Παράδειγμα: σκληρότητα, συντελεστή απόσβεσης. d) Για τον έλεγχο πιθανών σφαλμάτων στον εξοπλισμό ή σε συστήματα (έλεγχος συνθηκών), και μερικές φορές στην πρόβλέψη εάν αυτά τα σφάλματα θα συμβούν (πρόγνωση). e) Να βοηθήσει στην ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων για συστήματα. (Β) Όργανο Στοιχείο Συστήματος Επιταχυνσιόμετρο Μετατροπέας Ενισχυτής Τροποποίηση σήματος Παλμογράφος Απεικόνιση δεδομένων Αναλογικός-ψηφιακός μετατροπέας Ανάλυση σήματος Οθόνη υπολογιστή Απεικόνιση δεδομένων Φίλτρο Τροποποίηση σήματος ή Ανάλυση σήματος Θερμοστοιχείο Μετατροπέας Γέφυρα κυκλώματος Τροποποίηση σήματος Πρόβλημα Για τον προσδιορισμό της αξιοπιστίας μιας ζυγαριάς ζυγίζεται κατ επανάληψη ένα γνωστό βάρος 0 lb. Οι τιμές 10 τέτοιων μετρήσεων είναι: 0. 0. 0.6 0.0 0.4 0. 0.0 0.6 0.0 και 0. lb. Υπολογίστε: a) το συστηματικό σφάλμα των μετρήσεων b) το μέγιστο τυχαίο σφάλμα των μετρήσεων c) το μέγιστο απόλυτο σφάλμα των μετρήσεων.

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 1 y a) = 1 Η μέση τιμή των μετρήσεων είναι: y = N = 0,4 lb N Συστηματικό σφάλμα = Μέση Τιμή Πραγματική Τιμή =0.4-0=0.4 lb b) Το μέγιστο τυχαίο σφάλμα αντιστοιχεί στη μέτρηση με τη μέγιστη απόκλιση από τη μέση τιμή του δείγματος. Επομένως, μέγιστο τυχαίο σφάλμα =0.6-0.4=0.36 lb c) μέγιστο απόλυτο σφάλμα = = 0.6 0.0 = 0.6 lb Πρόβλημα 3 Βρίσκετε ένα μικρόμετρο χωρίς προδιαγραφές και το χρησιμοποιείται για να κάνετε 10 ανεξάρτητες μετρήσεις της γνωστής διαμέτρου ατσάλινης ράβδου, 0.500 n. Οι μετρήσεις αυτές είναι: 0.481, 0.484, 0.481, 0.481, 0.480, 0.48, 0.481, 0.48, 0.480 και 0.48. Υπολογίστε: d) το συστηματικό σφάλμα των μετρήσεων e) το μέγιστο τυχαίο σφάλμα των μετρήσεων f) το μέγιστο απόλυτο σφάλμα των μετρήσεων. : = = 0.4814 N α) Συστηματικό σφάλμα: true = 0.4814 0.5 = 0.017866 b) Μέγιστο τυχαίο σφάλμα: read = 0.48 0.4814 = 0.000134 ma c) Μέγιστο απόλυτο σφάλμα μετρήσεων: = 0.480 0.5 0.018 read = ma true Πρόβλημα 4 Ένα δυναμόμετρο με ονομαστική γραμμική έξοδο έχει τις παρακάτω κατασκευαστικές προδιαγραφές : Εύρος εξόδου: 0-1000 N Σφάλμα γραμμικότητας: ± 0.10% εύρους Σφάλμα υστερήσεως: ± 0.10% εύρους Σφάλμα επαναληψιμότητας: ± 0.15% εύρους Σφάλμα διολίσθησης μηδενός: ± 0.0% εύρους Υπολογίστε το συνολικό σφάλμα του δυναμομέτρου.

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 Σφάλμα γραμμικότητας: ε γραμ = ± 0.10% (εύρους)= ± 0.001 1000 N=1N Σφάλμα υστερήσεως: ε υστερ = ± 0.10% (εύρους)= ± 0.001 1000 N=1N Σφάλμα επαναληψιμότητας: ε επαν = ± 0.15% (εύρους)= ± 0.0015 1000 N=1.5N Σφάλμα διολίσθησης μηδέν: ε μηδεν = ± 0.0% (εύρους)= ± 0.00 1000 N=N Συνολικό σφάλμα: ε ολικ =[ε γραμ + ε υστερ +ε επαν +ε μηδεν ] 1/ = ±.87 N Πρόβλημα 5 Η διακρίβωση τριών ρολογιών βασίζεται στη σύγκριση με ένα πρότυπο χρονόμετρο για τρεις διαδοχικές ώρες, τα δεδομένα της οποίας δίνονται στον παρακάτω πίνακα Ταξινομήστε τα ρολόγια αυτά σε σειρά με βάση την ακρίβειά τους. Δικαιολογήστε τις επιλογές σας. Πρότυπη ώρα Ρολόι 1:00:00 :00:00 3:00:00 Μετρούμενη ώρα Α 1:0:3 :0:4 3:0:5 Β 1:00:05 :00:05 3:00:05 C 1:00:01 1:59:58 3:00:01 : Ρολόι Α: Παρουσιάζει συστηματικό σφάλμα :3, το οποίο αυξάνεται κατά 1sec/hr. Η διακριτική ικανότητα του ρολογιού είναι 1sec, που οδηγεί σε τυχαίο σφάλμα ± 1/sec. Ρολόι Β: Παρουσιάζει συστηματικό σφάλμα 5sec. Δεν υπάρχει τυχαίο σφάλμα. Ρολόι C: Παρουσιάζει συστηματικό σφάλμα 0 sec και τυχαίο σφάλμα της τάξης ± sec. Από τη βαθμονόμηση γνωρίζουμε το συστηματικό σφάλμα σε κάθε ρολόι. Το ρολόι Β με διόρθωση θα μπορούσε να γίνει το ρόλοι με την μεγαλύτερη ακρίβεια. Εάν κατατάξουμε τα ρολόγια με βάση το τυχαίο και συστηματικό σφάλμα που παρουσιάζουν τότε μπορούμε να τα κατατάξουμε με την ακόλουθη σειρά (από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο σφάλμα): -CBA για συστηματικό σφάλμα. -BAC για τυχαίο σφάλμα. Πρόβλημα 6 Ένα ψηφιακό βολτόμετρο έχει περιοχή τιμών εισόδου 0 30 V και ένδειξη 3 σημαντικών ψηφίων XX.X. Ο κατασκευαστής του ισχυρίζεται μια ακρίβεια ± % του εύρους του. Για ένδειξη 5 V, ποια είναι η επί τις εκατό αβεβαιότητα της ένδειξης του βολτόμετρου λόγω της ακρίβειας και της διακριτικής του ικανότητας; : Εύρος εισόδου: 30V Ένδειξη 3 Ψηφίων: σφάλμα διακριτικής ικανότητας Σφάλμα ακρίβειας: ± 30 0,00 = ± 0.6 V ± 0.1 V

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 3 ± 0.7 Για 5V είσοδο η σχετική αβεβαιότητα είναι: 5 Πρόβλημα 7 Τα ψηφιακά βολτόμετρα επιτρέπουν συχνά την επιλογή διαφορετικής κλίμακας. Οι κλίμακες ένα τυπικού βολτόμετρου είναι 0-3, 0-30, 0-300, 0-3000 V AC και η έξοδός του παρίσταται με 4 σημαντικά ψηφία. Υπολογίστε: α) Την αβεβαιότητα που οφείλεται στη διακριτική ικανότητα β) Εάν η ακρίβεια είναι ± % του εύρους κάθε κλίμακας, υπολογίστε για κάθε περίπτωση την απόλυτη αβεβαιότητα της μέτρησης. γ) Υπολογίστε τη σχετική αβεβαιότητα ( επί τις εκατό της ένδειξης ) εάν, για μια ονομαστική τιμή των 5 V, χρησιμοποιήθηκαν διαδοχικά οι κλίμακες των 30, 300 και 3000 V. : α)η διακριτική ικανότητα του οργάνου αντιστοιχεί με 1 στο τελευταίο ψηφίο της εξόδου του. Έτσι σε κάθε κλίμακα αντιστοιχεί: 0.001V, 0.01V και 0.1V. Άρα η μέγιστη ένδειξη σε κάθε κλίμακα θα έχει τις τιμές:.999v,9.99v και 99.9V. Η αβεβαιότητα λόγω της διακριτικής ικανότητας του οργάνου είναι ± 0.0005 V, ± 0.005 V και ± 0.05 V, αντίστοιχα. β) Η αβεβαιότητα λόγω της ακρίβειας για κάθε κλίμακα ± 0.0 3V = ± 0.06V, ± 0.6V, και ± 6V γ) Η αβεβαιότητα λόγω της διακριτικής ικανότητας είναι αμελητέα σε σχέση με την ακρίβεια, συνεπώς η συνολική αβεβαιότητα ταυτίζεται με την αβεβαιότητα ακρίβειας, έτσι επί παραδείγματι: = ± + ε ακρ Q ε = ± ( 0.0005) + ( 0,06) = ± 0.06V 0.06 Στην κλίμακα 0-30 V, η σχετική αβεβαιότητα είναι ± = ±.4% 5 Όμοια και για τις υπόλοιπες κλίμακες είναι : ± 4% και 40% (γίνεται κατανοητό ότι η χρήση αυτής της κλίμακας είναι απαγορευτική γι αυτή τη μέτρηση). Πρόβλημα 8 Ένα δυναμόμετρο με ονομαστική γραμμική έξοδο έχει τις παρακάτω κατασκευαστικές προδιαγραφές : Περιοχή τιμών εισόδου: 0-100 lb Περιοχή τιμών εξόδου: 0-30 mv Σφάλμα γραμμικότητας: ± 0.1% εύρους Σφάλμα υστερήσεως: ± 0.08% εύρους Σφάλμα επαναληψιμότητας: ± 0.03% εύρους Σφάλμα μηδενικής εισόδου: ± % εύρους Επίδραση θερμοκρασίας: Στην έξοδο για μηδενική είσοδο ± 0.00% εύρους/ ο F Στην έξοδο ± 0.00% της τιμής/ ο F

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 4 Το δυναμόμετρο χρησιμοποιείται σε περιβάλλον που η θερμοκρασία μεταβάλλεται μεταξύ 50 και 95 ο F (τυπική θερμοκρασία περιβάλλοντος 70 ο F). Για είσοδο 0 lb: a) Ποια θα είναι η ονομαστική τάση εξόδου του δυναμόμετρου; b) Εκτιμήστε το σφάλμα της μέτρησης από κάθε πηγή με βάση τις προδιαγραφές του κατασκευαστή. Εκφράστε τα σφάλματα σε mv και ως ποσοστό της μετρούμενης τιμής a) Η ονομαστική τιμή εξόδου του δυναμόμετρου που αντιστοιχεί σε είσοδο 0 lb είναι: 0 ονοµαστικ ήέξοδος : E = ( 30) = 6 mv 100 0 b) Σφάλμα γραμμικότητας: = ± 0.1%( ε ύρους ) = ± 0.001 ( 30mV ) = ± 0. 030mV ± 0.030mV = ( 100) = ± 0.5% της ένδειξης 6mV Σφάλμα υστερήσεως: = ± 0.08%( εύρους ) = ± 0.008 ( 30mV ) = ± 0. 04mV ε υστ ± 0.04mV = 6mV ( 100) = ± 0.4% της ένδειξης Σφάλμα επαναληψιμότητας: ε επαν = ± 0.03% εύρους = ± 0.0003 30mV = ± 0. 009 ± 0.009mV = 100 = ± 0.15 6mV ( ) ( ) mv ( ) % της ένδειξης Σφάλμα μηδενικής εισόδου: %( ύ ) 0.0 ( 30mV ) = ± 0. 6mV ε µηδ = ± ε ρους = ± ± 0.6mV = 100 = ± 10 6mV ( ) % της ένδειξης Επίδραση θερμοκρασίας: Μέγιστη μεταβολή θερμοκρασίας= +5, -0 ο F Μέγιστο θετικό σφάλμα για μηδενική είσοδο: ε µθθ = 0.0000 5 ( 30mV ) = 0. 015mV ± 0.015mV = ( 100) = ± 0.5% της ένδειξης 6mV Μέγιστο αρνητικό σφάλμα για μηδενική είσοδο: ε = 0.01mV ή 0.% της ένδειξης µαθ Μέγιστο θετικό σφάλμα για την ονομαστική τιμή: ε µθo = 0.0000 5 ( 6mV ) = 0. 003mV ± 0.003mV = ( 100) = ± 0.05% της ένδειξης 6mV Μέγιστο αρνητικό σφάλμα για την ονομαστική τιμή: ε = 0.004mV ή 0.04% της ένδειξης µαθ

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 5 Συνολικό σφάλμα: ε ε ε ε ε ( 0,03) + ( 0,6) + ( 0,01) + ( 0,004) = ± 0, mv = ± γρ + µηδ + µαθ + µ ao = ± 6 ε ± 0,6mV = = 0.1 = 10% E 6 mv Πρόβλημα 9 Ο κατάλογος αισθητήρων μέτρησης πίεσης εκθειάζει τη δυνατότητα χρήσης ενδείξεων 1 3 ψηφίων (μέγιστη τιμή 19.99) ή 1 4 ψηφίων (μέγιστη τιμή 19.999). Ο αισθητήρας 1 4 ψηφίων είναι κατά 50% ακριβότερος. Οι προδιαγραφές των αισθητήρων είναι: Σφάλμα γραμμικότητας: 0.15% του εύρους εξόδου Σφάλμα υστέρησης: 0.0% του εύρους εξόδου Σφάλμα ευαισθησίας: 0.5% του εύρους εξόδου Για εύρος εξόδου 00 kpa, επιλέξτε την κατάλληλη ένδειξη εξόδου με βάση την εκτίμηση των σφαλμάτων. Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Τα στοιχειώδη σφάλματα του συστήματος είναι: el = 0.0015 0 kpa = 0.03 kpa eh = 0.00 0 kpa = 0.04 kpa e = 0.005 0 kpa = 0.05 kpa K Οπότε: 1/ u c = (0.03 + 0.04 + 0.05 ) = 0. 071 kpa Το ποσοστό του εύρους εξόδου θα δείξει 19.99 ή 19.999 1 Για 3 ψηφία η διακριτική ικανότητα είναι 0.01, οπότε : 1/ u d = (0.07 + 0.01 ) = 0. 07 kpa Τα 1 4 ψηφία η διακριτική ικανότητα είναι 0.001, οπότε: 1/ u d = (0.07 + 0.001 ) = 0. 071 kpa Το συνολικό σφάλμα είναι σε κάθε περίπτωση το ίδιο και ανεξάρτητο της διακριτικής ικανότητας της ένδειξης. Πρόβλημα 10 Ένας μανόμετρο bourbon, με περιοχή τιμών εισόδου 0 έως 50 ps, δείχνει +0.5 ps όταν η πίεση είναι ατμοσφαιρική. Θεωρείστε ότι η ακρίβειά του είναι ± 0.% του εύρους.

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 6 Ποιο είναι το αναμενόμενο σφάλμα για μέτρηση 0 ps σε ps και ως % ποσοστό της ένδειξης; Πως μπορείς να μειώσεις το σφάλμα του μανομέτρου; Το συστηματικό σφάλμα είναι ε b = 0. 5 ps 0. Η ακρίβειά του είναι ε p = 50 = 0. 1 ps 100 0.51 ε t = ( ε b ) + ( ε p ) = ( 0.5) + ( 0.1) = 0. 51 ps ή 100 =.55% της ένδειξης 0 Πρόβλημα 11 Ένας μανομετρικός σωλήνας bourdon με περιοχή τιμών 0 έως 50 ps, δείχνει + 0.5 ps σε συνθήκες ατμοσφαιρικής πίεσης. Η ακρίβειά του είναι ± 0.% του εύρους τιμών. a) Ποιο είναι το αναμενόμενο σφάλμα για ένδειξη 0 ps; Εκφράστε το σφάλμα σε απόλυτους όρους, και σαν ποσοστό της ένδειξης. b) Πως μπορούμε να μειώσουμε το σφάλμα; a) Επειδή ο μετρητής δείχνει +0.5 ps ενώ θα έπρεπε να δείχνει 0, έχει συστηματικό σφάλμα που επηρεάζει το σύνολο των μετρήσεων. Το σφάλμα ακρίβειας ίσο με 0.% του εύρους οδηγεί σε σφάλμα ακρίβειας 0.00 ( ± 50) = ± 0.1 ps. Άρα το σφάλμα που περιμένουμε είναι: 0.5 ± 0.1 ps Για πίεση 0 ps το αναμενόμενο σφάλμα είναι από 0.4 ps έως 0.6 ps. b) Το σφάλμα μειώνεται εάν ρυθμίσουμε τον αισθητήρα να δείχνει μηδέν σε συνθήκες ατμοσφαιρικής πίεσης ή εάν αφαιρέσουμε από τις μετρούμενες τιμές 0.5 ps. Το σφάλμα μπορεί να μειωθεί επίσης με νέα βαθμονόμηση του μανομέτρου. Πρόβλημα 1 Ένα βολτόμετρο με περιοχή τιμών 0-100 V δεικνύει V όταν βραχυκυκλώνεται. Ο κατασκευαστής ισχυρίζεται ακρίβεια ± 4% του εύρους. Υπολογίστε το μέγιστο σφάλμα σε V, όταν η ένδειξη είναι 80 V, και ως ποσοστό της μετρούμενης τιμής. Εάν το βολτόμετρο διορθωθεί για τη μηδενική ένδειξη, υπολογίστε το μέγιστο ποσοστιαίο σφάλμα που αντιστοιχεί στην ένδειξη των 80 V. (α) Το σφάλμα ακρίβειας είναι ± ( 0.04 ε ύρους ) = ± (0.04 100 V) = ± 4 V Το σφάλμα μηδενικής τιμής είναι V Το μέγιστο σφάλμα είναι ( + 4) V = 6 V 6 Ως ποσοστό της μετρούμενης τιμής = 0.075 = 7.5% 80 (β) Το σφάλμα ακρίβειας είναι ± ( 0.04 ε ύρους ) = ± (0.04 100 V) = ± 4 V Το σφάλμα μηδενικής τιμής είναι 0 V Το μέγιστο σφάλμα είναι ( 0 + 4) V = 4 V 4 Ως ποσοστό της μετρούμενης τιμή = 0.05 = 5% 80

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 7 Πρόβλημα 13 A. Σ ένα θερμόμετρο, που βασίζεται στην εξίσωση των τελείων αερίων ( pv = mrt ), η πίεση αποτελεί ένδειξη της θερμοκρασίας για σταθερό όγκο. Προσδιορίστε, αν σε αύξηση της αρχικής πίεσης πλήρωσης, θα αλλάξει η ευαισθησία του θερμομέτρου B. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τη μεταβολή της εξόδου του αισθητήρα σε σχέση με την είσοδό του. a) Πώς αλλάζει η ευαισθησία του αισθητήρα από το A στο C; b) Συστήνετε τη χρήση του αισθητήρα στην περιοχή A-B ή B-C και γιατί; A. pv = mrt Επομένως η ευαισθησία είναι: πίεσης. dp dt mr V P = =, ανάλογη της αρχικής T Επειδή R και V δεν μεταβάλλονται, ο μόνος τρόπος για να αλλάξει κανείς την αρχική πίεση για δεδομένη αρχική θερμοκρασία είναι μέσω αύξησης της αρχικής μάζας. B. a) Η ευαισθησία από το A στο C δεν είναι σταθερά αλλά γίνεται μικρότερη. b) Εάν απαιτείται μεγαλύτερη ευαισθησία χρησιμοποίησε τον αισθητήρα στην περιοχή A-B. Δεν συνιστάται η χρήση στην περιοχή B-C, επειδή η ευαισθησία τείνει στο μηδέν στο σημείο C. Πρόβλημα 14 Σωλήνας Ventur ονομάζεται μια συνήθης συσκευή μέτρησης της παροχής ρευστού. Γι αυτήν την συσκευή η παροχή Q είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της μετρούμενης πτώσης πίεσης ΔP ( Q = C( P) 1/, όπου C είναι σταθερά ). α) Βρείτε μια σχέση για την ευαισθησία της παροχής Q συναρτήσει της πτώσης πίεσης, P. β) Προσδιορίστε εάν η ευαισθησία αυξάνεται ή μειώνεται με την αύξηση της πτώσης πίεσης P. γ) Θα προτείνατε μια τέτοια συσκευή για μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές πτώσης πίεσης; : α) Ευαισθησία 1/ doutput dq dc P) 1 ευαισθησία= = = = C( P) dnput dp dp β)παρατηρούμε μείωση της ευαισθησίας ( 1/

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 8 γ)για μικρότερες τιμές της πτώσης πίεσης η ευαισθησία είναι μεγαλύτερη, άρα αυτή η συσκευή προτείνεται για μετρήσεις σε περιοχές με χαμηλές διαφοράς πίεσης Πρόβλημα 15 Ένας γραμμικός μετατροπέας μετατρέπει τη δύναμη εισόδου σε μετατόπιση στην cm έξοδο. Η ιδανική ευαισθησία του μετατροπέα είναι 0.1 και το εύρος εισόδου είναι N 00Ν. a) Ποιο είναι το ιδανικό εύρος εξόδου; b) Ποιο είναι το πραγματικό εύρος εξόδου εάν η ευαισθησία του μετατροπέα είναι cm 0.015 ; N c) Ποιο είναι το ποσοστό του σφάλματος του εύρους εξόδου; O O a) Το ιδανικό εύρος εξόδου είναι: K = 0.1 = O = 0 cm I 00 O O b) Πραγματικό εύρος εξόδου: K = 0.015 = O = 1 cm I 00 πραγµατικό ιδανικό 1 0 c) σφάλμα του εύρους εξόδου % = 100 = 100 = 5% πραγµατικό 0

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 9 Πρόβλημα 16 Με βάση τη στατική βαθμονόμηση, ένας αισθητήρας πίεσης αερίου παρουσιάζει τις ακόλουθες ιδιότητες: Παράμετρος Τιμή Μονάδες Περιοχή τιμών εισόδου 0-100 ps Ευαισθησία 0.08 Volts/ps Συστηματικό Σφάλμα 0.5 Volts Μέγιστο Σφάλμα Γραμμικότητας.5 % εύρους a) Προσδιορίστε την εξίσωση που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πίεσης εισόδου, P (t), συναρτήσει της μετρούμενης τάσης εξόδου, V (t). b) Εάν η τάση εξόδου του αισθητήρα μπορεί να μετρηθεί με διακριτική ικανότητα 0.1 Volts, ποια είναι η διακριτική ικανότητα της εισόδου του συστήματος; c) Ποια είναι η απαιτούμενη διακριτική ικανότητα της τάσης, για τη μέτρηση αλλαγών 0. 01 ps; Μπορούν να μετρηθούν τέτοιες μικρές αλλαγές πίεσης με αυτόν τον αισθητήρα; a) H τάση εξόδου δίνεται από την εξίσωση V ( t) = K P( t) + συστηµατικό σφάλµα ( V ( t) 0.5) V( t) = 0.08 P( t) + 0. 5 V οπότε η εξίσωση πίεσης είναι P ( t) = 0.08 ή P( t) = 1.5 V( t) 6. 5 ps b) διακριτική ικανότητα εξόδου: ΔΟ= 0.1 Volts Ο Ο = Κ Ι Ι = Κ Συνεπώς η διακριτική ικανότητα εισόδου είναι Ι = 0.1 0.08 = 1.5 ps c) Ο αισθητήρας μας απαιτεί διακριτική ικανότητα εισόδου ΔΙ = 0.01 ps. Οπότε από την εξίσωση Ο = Κ Ι υπολογίζουμε τη διακριτική ικανότητα εξόδου : Ο = Κ Ι = 0.08 0.01 = 0.8mV Το μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας του αισθητήρα είναι.5% του εύρους, που αντιστοιχεί σε.5 ps. Η ακριβής μέτρηση της πίεσης με διακριτική ικανότητα 0.01 ps είναι αμφίβολη. Πρόβλημα 17 Η μετατόπιση μιας υπό κατεργασία επιφάνειας μετριέται με μια οπτική συσκευή. Στα τεχνικά χαρακτηριστικά της οπτικής συσκευής αναφέρεται ότι το σφάλμα της μετατόπισης είναι μικρότερο των 0. μ n. Η διακριτική ικανότητα εξόδου της οπτικής συσκευής είναι 0.5 mvolt, Τρία χρόνια μετά την εγκατάσταση της οπτικής αυτής συσκευής, η βαθμονόμησή της γίνεται μ ένα πρότυπο όργανο μέτρησης μετατοπίσεων. Τα δεδομένα αυτής της βαθμονόμησης δίδονται στον ακόλουθο πίνακα. Μετατόπιση 0 5. 10. 15. 0. 5. 30. 35. 40. 45. 50. 55.

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 30 ( μ nches) Voltage (mvolts) 0 0 0 1.5 5.0 37.5 50.0 6.5 75.0 87.5 100. 100. α) Παραστήστε γραφικά τα δεδομένα της βαθμονόμησης, σχεδιάστε την ευθεία γραμμή που περιγράφει το γραμμικό μέρος της και βρείτε την εξίσωση της γραμμής αυτής. β) Υπολογίστε τα παρακάτω: () Την περιοχή και το εύρος τιμών εισόδου () Την περιοχή και το εύρος τιμών εξόδου () Την ευαισθησία του συστήματος (v) Το συστηματικό σφάλμα (v) (v) Την διακριτική ικανότητα του συστήματος Το μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας ως ποσοστό του εύρους και σημειώστε τη θέση του στο γράφημα. γ) Διαπιστώστε αν το όργανο μέτρησης πληροί ακόμα τις προδιαγραφές του κατασκευαστή. δ) Αν χρησιμοποιούσατε αυτό το μετρητικό σύστημα, για ποια περιοχή τιμών εισόδου θα το χρησιμοποιούσατε και γιατί; α) Η εξίσωση που προσεγγίζει τα δεδομένα είναι η y =.5 5 β) ) Η περιοχή τιμών εισόδου είναι 0 έως 55 μnches και το εύρος τιμών εισόδου 55 μnches () Η περιοχή τιμών εξόδου είναι 0 έως 100 mvolts και το εύρος τιμών εξόδου 100 mvolts dy mv () Η ευαισθησία του συστήματος είναι K = =.5 d µ nches (v) Το συστηματικό σφάλμα είναι -5mV

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 31 (v) Η διακριτική ικανότητα του συστήματος είναι O O 0.5 mvolt K = I = = = 0. µ nches mv I K.5 µ nches (v) Το μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας [μέγιστη απόκλιση από την καμπύλη] ως 100 5 ποσοστό του εύρους είναι = = 5%. 100 γ) Το όργανο ακολουθεί μόλις και μετά βίας τις προδιαγραφές του κατασκευαστή. Η νέα βαθμονόμηση μας δίνει διακριτική ικανότητα 0. µ nches, ακριβώς στο όριο αυτής που ορίζει ο κατασκευαστής. δ) Το μετρητικό σύστημα αυτό θα το χρησιμοποιούσαμε στην περιοχή τιμών εισόδου από 10 έως 50 μnches, γιατί στην περιοχή αυτή δεν υπάρχει σφάλμα γραμμικότητας. Πρόβλημα 18 Τα παρακάτω δεδομένα προκύπτουν από τα τεχνικά χαρακτηριστικά του κατασκευαστή για μετρητές παροχής αέρα. Ο μετρητής παροχής που θα επιλεγεί πρέπει να έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά: 3 Διακριτική ικανότητα: 0.m / mn 3 Περιοχή τιμών εισόδου : 100 έως 100 m / mn Περιοχή θερμοκρασιών λειτουργίας : 0 o C έως 40 o C Περιοχή τιμών εξόδου: 0 έως 10Volts. α) Αν θεωρήστε ότι και οι τρεις μετρητές που χρησιμοποιήθηκαν έχουν αμελητέα σφάλματα γραμμικότητας για την προσδιορισθείσα περιοχή λειτουργίας, συμπληρώστε τα κενά του παρακάτω πίνακα. β) Ποιον από τους τρεις μετρητές παροχής θα επιλέγατε και γιατί; Μετρητής 1 Μετρητής Μετρητής 3 Περιοχή τιμών εισόδου -150 to +150 m 3 /mn. -00 to +00 m 3 /mn. -600 to +600 m 3 /mn. Περιοχή τιμών εξόδου 1 to 7 Volts 0 to 10 Volts 0 to 1. Volts Ευαισθησία Συστηματικό σφάλμα Διακριτική ικανότητα εξόδου 10 mv 1 mv 0.1 mv Διακριτική ικανότητα εισόδου Περιοχή θερμοκρασιών λειτουγίας 0 to 100 ºC -100 to +00 ºC -50 to +50 ºC Κόστος $50 $,000 $500 Αναμενόμενη ζωή του μετρητή 7 years 5 years 6 months Μετρητής 1 Μετρητής Μετρητής 3 Περιοχή τιμών εισόδου -150 to +150 m 3 /mn. -00 to +00 m 3 /mn. -600 to +600 m 3 /mn. Περιοχή τιμών εξόδου 1 to 7 Volts 0 to 10 Volts 0 to 1. Volts Ευαισθησία 0.0 Volts 0.05 Volts 0.001 Volts Συστηματικό σφάλμα 4 Volts 5 Volts 0.7 Volts

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 3 Διακριτική ικανότητα εξόδου 10 mv 1 mv 0.1 mv Διακριτική ικανότητα εισόδου 0.5 m 3 /mn 0.04 m 3 /mn 0.0833 m 3 /mn Περιοχή θερμοκρασιών λειτουργίας 0 to 100 ºC -100 to +00 ºC -50 to +50 ºC Κόστος $50 $,000 $500 Αναμενόμενη ζωή του μετρητή 7 years 5 years 6 months α) Για τον υπολογισμό της ευαισθησίας του συστήματος θεωρούμε αμελητέα μη- γραμμικότητα των δεδομένων, κατά συνέπεια τα δύο σημεία που δίδονται ορίζουν την εξίσωση της ευθείας: y = a + b, Άρα a = Το συστηματικό σφάλμα είναι b = y 1 a1 Η δε διακριτική ικανότητα εισόδου είναι: y y1 1 Ο Ο Κ = Ι = Ι Κ β) Μόνο οι μετρητές και 3 ικανοποιούν τις απαιτούμενες προδιαγραφές, διότι ο μετρητής 1 δεν έχει την απαιτούμενη περιοχή τιμών θερμοκρασίας, ούτε την απαιτούμενη διακριτική ικανότητα 3 0.m / mn. Εάν ο μετρητής χρειάζεται για χρονικό διάστημα μικρότερο των 6 μηνών, τότε ο μετρητής 3 αποτελεί καλή επιλογή. Για χρήση μεγαλύτερη των δύο ετών, το κόστος του οργάνου (μη συμπεριλαμβανομένου του κόστους εργασίας και μη λειτουργίας της εγκατάστασης για την αντικατάστασή του, καθώς και το κόστος αποτυχίας των μετρήσεων) είναι το μικρότερο δυνατό για το μετρητή. Έτσι η καλύτερη επιλογή είναι ο μετρητής, διότι πληροί όλες τις προδιαγραφές και είναι ταυτόχρονα το φθηνότερο για μακροχρόνια χρήση. Πρόβλημα 19 Βρείτε με τη χρήση του διαδυκτίου τα χαρακτηριστικά του αισθητήρα μέτρησης πίεσης PX01K1-00G5T της εταιρείας Omega. a) Συμπληρώστε τα παρακάτω χαρακτηριστικά μεγέθη: Περιοχή τιμών εισόδου Περιοχή τιμών εξόδου Ευαισθησία αισθητήρα Συστηματικό σφάλμα Μέγιστο σφάλμα μη-γραμμικοτητας (ως % του εύρους εξόδου) Την εξίσωση εισόδου-εξόδου b) Εάν η έξοδος είναι.13 Volts, ποια είναι η περιοχή τιμών πίεσης που ασκείται στον αισθητήρα; c) Ένας Α-Ψ ψηφιακός μετατροπέας χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της τάσης εξόδου. Εάν λάβουμε υπ όψιν τον περιορισμό ότι το σφάλμα στην είσοδο του

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 33 συστήματος είναι μόνον λόγω της μη-γραμμικότητας, υπολογίστε τη διακριτική ικανότητα που απαιτείται για τη μέτρηση της τάσης εξόδου. Από το διαδίκτυο τα χαρακτηριστικά του αισθητήρα PX01KI-0065T είναι: Περιοχή τιμών εισόδου 0 έως 00 ps Περιοχή τιμών εξόδου 0 έως 5 V Ευαισθησία αισθητήρα 5 V = 0.05 00 ps Συστηματικό σφάλμα 0 V Μέγιστο σφάλμα μηγραμμικοτητας 100 5V (ως % του εύρους εξόδου) 0.05 1 5V 100 = 0.05% Eξίσωση εισόδου-εξόδου Output=0.05 Input V 0.05 b) Σφάλμα γραμμικότητας: ± 5 V = ± 0. 005 V 100 Output Error 0.005 V Το αντίστοιχο σφάλμα πίεσης είναι: ± = ± = 0.1 ps K V 0.05 ps.13v Η πίεση για έξοδο.13 Volts είναι: ± 0.1 ps 85. ± 0.1ps V 0.05 ps c) I R = 0.1ps = 0. ps V OR = I R K = 0. ps 0.05 = 5mV ps Πρόβλημα 0 Η στατική βαθμονόμηση ενός αναλογικού οργάνου (balometer), μέτρησης της παροχής αέρα σε αεραγωγούς κλιματιστικών εγκαταστάσεων, έδωσε τα δεδομένα που παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα και στο γράφημα.

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 34 Η καμπύλη ελαχίστων τετραγώνων διέρχεται από τα σημεία και 5. Ο αισθητήρας συνδέεται με ψηφιακό σύστημα συλλογής δεδομένων διακριτικής ικανότητας 7.5 mv. Με βάση τα δεδομένα αυτά υπολογίστε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά του αισθητήρα: a) Ευαισθησία b) Συστηματικό σφάλμα c) Περιοχή τιμών εισόδου d) Εύρος τιμών εισόδου e) Περιοχή τιμών εξόδου f) Εύρος τιμών εξόδου g) Μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας ως % του εύρους h) Διακριτική ικανότητα εισόδου a. Η βαθμονόμηση του μετρητικού συστήματος περιγράφεται από τη γραμμική σχέση: y = K + b, η οποία διέρχεται από τα σημεία ( 1, y 1 )=(30,1.6) και Volts (, y )=(40,5.4) και από τα οποία προκύπτει Κ=0.0, και για CFM b. το συστηματικό σφάλμα b =-3Volts c. Η περιοχή τιμών εισόδου είναι 00 CFM έως 500 CFM d. Το εύρος τιμών εισόδου είναι 500-00 CFM =300 CFM e. Η περιοχή τιμών εξόδου είναι 1.19 Volts έως 6.51 Volts f. Το εύρος τιμών εξόδου είναι 6.51-1.19 Volts =5.3 Volts g. Η μέγιστη μη-γραμμικοτητα εμφανίζεται στο σημείο 9 για το οποίο η καμπύλη βαθμονόμησης δίνει y = ( 0.0) 500 3 = 7 Volts Άρα το μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας ως ποσοστό του εύρους εξόδου επί τις εκατό είναι: 7 6.51 100 = 9.1% 5.3 h. H Διακριτική ικανότητα εισόδου δίνεται από την σχέση:

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 35 O 0.0075 Volts. I = = = 0. 375 CFM K Volts 0.0 CFM Πρόβλημα 1 Δίνεται η παρακάτω καμπύλη βαθμονόμησης ενός αισθητηρίου συστήματος. Προσδιορίστε: a) Την περιοχή και το εύρος τιμών εισόδου b) Την περιοχή και το εύρος τιμών εξόδου c) Την ευθεία γραμμή που εκφράζει τη σχέση εισόδου-εξόδου για μια κατάλληλη περιοχή τιμών της δύναμης d) Την ευαισθησία του συστήματος e) Το συστηματικό σφάλμα f) Το μέγιστο σφάλμα υστέρησης ως ποσοστό του εύρους και σε τι δύναμη αντιστοιχεί; g) Το μέγιστο σφάλμα μη-γραμμικότητας ως ποσοστό του συνολικού εύρους και σε τι δύναμη αντιστοιχεί; Η έξοδος του αισθητηρίου συστήματος μετριέται μ ένα βολτόμετρο. Όταν δεν υπάρχει είσοδος στο βολτόμετρο, η ένδειξή του είναι: 0.00 V h) Ποια είναι η διακριτική ικανότητα εξόδου του συστήματος; ) Ποια είναι η διακριτική ικανότητα εισόδου του συστήματος a) Η περιοχή τιμών εισόδου είναι 0 έως 0 N και το εύρος τιμών εισόδου 0-0=0 N b) Η περιοχή τιμών εξόδου είναι 0.1 έως 0.4 V και το εύρος τιμών εισόδου 0.4-0.1=0.3 V c) Η γραμμική εξίσωση εισόδου-εξόδου διαμέσου των δύο ακραίων σημείων της 0.4 0.1 καμπύλης είναι: Output= Input+0.1 V 1 V d) Η ευαισθησία του συστήματος είναι: Κ=0.05 N e) Το συστηματικό σφάλμα είναι: 0.1 V f) Η μέγιστη υστέρηση εμφανίζεται για την είσοδο I 6N με αντίστοιχες τιμές 0.36 0.14 εξόδου: O 0. 36 V και O 0. 14 V οπότε: ε h = 100 73% 0.3

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 36 g) Η μέγιστη μη γραμμικότητα συμβαίνει για την τιμή εισόδου I = 0 N για την οποία το αντίστοιχο σημείο επί της ευθείας είναι: O = 0.05 0 + 0.1 = 0. 6 V και το σφάλμα 0.6 0.4 γραμμικότητας ως ποσοστό του εύρους εξόδου είναι: 100 67% 0.3 h) O R = 0. 01 V είναι η διακριτική ικανότητα του βολτομέτρου και άρα και του συστήματος. ) Η διακριτική ικανότητα εισόδου του συστήματος είναι: O O 1mVolt K = I = = = 0.4µ n I K.5 Πρόβλημα Η στατική καμπύλη βαθμονόμησης ενός δυναμόμετρου είναι: a) Έχει ο αισθητήρας αυτός μονοτονική συμπεριφορά για την περιοχή τιμών εισόδου; Εξήγησε. b) Γιατί δεν είναι επιθυμητή μη μονοτονική έξοδος; c) Με βάση τα δεδομένα, ποια είναι η κατάλληλη περιοχή τιμών λειτουργίας του δυναμόμετρου; a) Ο αισθητήρας δεν έχει μονοτονική συμπεριφορά στην περιοχή τιμών εισόδου γιατί υπάρχουν δυο πιθανές τιμές εισόδου που μας δίνουν την ίδια έξοδο. b) Ένας μη-μονοτονικός αισθητήρας δεν είναι επιθυμητός διότι δεν μπορούμε πάντοτε να γνωρίζουμε πια είναι η πραγματική τιμή εισόδου. Ακόμα και εάν προσέχουμε τις δυνάμεις που χρησιμοποιούμε, μπορεί να οδηγηθούμε σε λάθος συμπεράσματα. Ένας μη-μονοτονικός αισθητήρας σε εφαρμογές ελέγχου μπορεί να δημιουργήσει σοβαρά επακόλουθα. c) Η κατάλληλη περιοχή τιμών λειτουργίας του δυναμόμετρου είναι από 10 έως 70 Ν. Στην περιοχή αυτή η απόκριση του αισθητήρα είναι γραμμική και μονοτονική.

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 37 Πρόβλημα 3 Ενδιαφερόμαστε για μετρήσεις μάζας σε επίπεδο χιλιοστού του γραμμαρίου. Δυστυχώς όμως η ζυγαριά δεν δίνει απευθείας έξοδο σε μονάδες μάζας, αλλά σε ηλεκτρική τάση (Volts). Η ηλεκτρική τάση μετριέται με πολύμετρο. Προτού αρχίσει η βαθμονόμηση της ζυγαριάς, βρίσκουμε σ ένα φάκελο την καμπύλη βαθμονόμησης, από 10 σημεία, που είχε κάνει ένας μηχανικός μερικά χρόνια ενωρίτερα χρησιμοποιώντας την ίδια ακριβώς διάταξη. Οι τιμές του άξονα y είναι δύσκολο να διαβασθούν εκτός από την τιμή 0.01 V που αντιστοιχεί στα 3 πρώτα σημεία (0, 1, mg). Σκεπτόμαστε ότι ο κορεσμός της τάσης εξόδου (για μικρές και μεγάλες μάζες) οφείλεται στην κακή κλίμακα που είχε επιλεγεί για το πολύμετρο. a) Ποια είναι η τιμή του y σε Volts; b) Ποια είναι η ευθεία γραμμή βαθμονόμησης; c) Ποια είναι η ευαισθησία και το συστηματικό σφάλμα; d) Ποια είναι η περιοχή και το εύρος τιμών εισόδου γι αυτή την καμπύλη βαθμονόμησης; e) Ποια είναι η περιοχή και το εύρος τιμών εξόδου γι αυτή την καμπύλη βαθμονόμησης; f) Ποιο είναι το μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας ως % του εύρους; g) Ποια είναι η διακριτική ικανότητα εισόδου; h) Ποια είναι η διακριτική ικανότητα εξόδου;

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 38 a) η τιμή του y είναι 9.99 Volts επειδή το μετρητικό όργανο υπόκειται σε κορεσμό για μεγαλύτερες τιμές εισόδου. b) Θεωρούμε ότι τα δεδομένα μεταξύ mg και 8 mg έχουν τέλεια γραμμική συμπεριφορά και βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία αυτά. Η ευθεία γραμμή βαθμονόμησης που συνδέει την είσοδο (mg) με την έξοδο (V) είναι: 9.99 0.01 y 0.01 = ( ) y 0.01 = 1.663 3.37 y = 1.663 3.317V 8 c) Ευαισθησία και το συστηματικό σφάλμα V Ευαισθησία: K = 1. 163 mg Συστηματικό σφάλμα: B = 3. 317 V d) Περιοχή και εύρος τιμών εισόδου: Περιοχή τιμών εισόδου: από 0 έως 9 mg Εύρος τιμών εισόδου: 9 mg e) Περιοχή και εύρος τιμών εξόδου: Περιοχή τιμών εξόδου: από 0.01V έως 9.99V Εύρος τιμών εξόδου: 9.98 mg f) Το μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας ως % του εύρους Το μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας αντιστοιχεί στην τιμή μάζας 0 mg 0.01 (1.163 0 3.317) 100 33% 9.98 g) Η διακριτική ικανότητα εισόδου: Ο 0.01 Ι = = 0.01mg Κ 1.663 h) Η διακριτική ικανότητα εξόδου:δο=0.01v

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 39 Πρόβλημα 4 Η καμπύλη βαθμονόμησης ενός αισθητήρα μέτρησης ροπής έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα: Αυξανόμενη 0 5 104 178 310 50 598 710 850 930 1000 Ροπή (mn m) Voltage (V) 0 1.38.37 3.11 4.43 6.53 7.31 8.43 9.83 10 10 Μειούμενη 0 95 150 01 98 476 601 685 804 989 1000 Ροπή (mn m) Voltage (V) 0 0 0.17 0.68 1.65 3.43 4.68 5.5 6.71 8.56 10 Παραστήστε γραφικά την καμπύλη βαθμονόμησης και με βέλη υποδείξτε την κατεύθυνση συλλογής των δεδομένων. Υπολογίστε: a) Την περιοχή και το εύρος τιμών της εισόδου b) Την περιοχή και το εύρος τιμών της εξόδου c) Την ευαισθησία και το συστηματικό σφάλμα στην περίπτωση αυξανόμενης ροπής (στην περιοχή των έγκυρων δεδομένων). d) Την ευαισθησία και το συστηματικό σφάλμα στην περίπτωση μειούμενης ροπής (στην περιοχή των έγκυρων δεδομένων). e) Το μέγιστο σφάλμα υστερήσεως ως % ποσοστό του εύρους. f) Τη διακριτική ικανότητα των μετρήσεων (εάν το σύστημα ανάκτησης δεδομένων έχει διακριτική ικανότητα 10 mv), και g) Τις πιθανές αιτίες του σφάλματος υστερήσεως. a) Περιοχή και εύρος τιμών εισόδου Περιοχή τιμών εισόδου: Εύρος τιμών εισόδου: Από 0 έως 1000mN m 1000 mn m b) Περιοχή και εύρος τιμών εξόδου

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 40 Περιοχή τιμών εξόδου: Εύρος τιμών εξόδου Από 0 έως 10 V 10 V c) Ευαισθησία και συστηματικό σφάλμα στην περίπτωση αυξανόμενης ροπής (στην περιοχή έγκυρων δεδομένων). Θεωρούμε ευθεία γραμμή από το ο έως το 9 ο σημείο στην περίπτωση αυξανόμενης ροπής. Η ευαισθησία είναι: = (9.83 V -1.38 V) V k = 0. (850mN m 5mN m) 01 mn m Εφαρμόζω μια γραμμή με την κλίση της ευαισθησίας και οπότε έχουμε: V 1.38 V = 0.01 5 mn m+ συστηµατικό σφάλµα mn m από την οποία προκύπτει το συστηματικό σφάλμα: 1.33 V d) H ευαισθησία και το συστηματικό σφάλμα στην περίπτωση μειούμενης ροπής (στην περιοχή των έγκυρων δεδομένων). Θεωρούμε ευθεία γραμμή από το 3 ο έως το 10 ο σημείο στην περίπτωση μειούμενης ροπής. Η ευαισθησία είναι: = (8.56 V - 0.17 V) V k = 0. (989mN m 150mN m) 01 mn m Εφαρμόζω μια γραμμή με την κλίση ευαισθησίας, οπότε για το 3 ο σημείο έχουμε: V 0.17 V = 0.01 150 mn m + συστηµατικό σφάλµα mn m από την οποία προκύπτει το συστηματικό σφάλμα: -1.33 V e) Το μέγιστο σφάλμα υστερήσεως ως ποσοστό του εύρους επί %. Επειδή οι ευαισθησίες και στις δυο περιπτώσεις είναι ίσες, η απόσταση μεταξύ των δυο ευθειών είναι σταθερή και ίση με τη διαφορά των συστηματικών τους σφαλμάτων. Υστέρηση = (συστηματικό σφάλμα αυξανόμενης ροπής - συστηματικό σφάλμα μειούμενης ροπής)/( Εύρος τιμών εξόδου)= [ 1.33V ( 1.33V) ] = 6.6% εύρους (10V) f) Διακριτική ικανότητα μετρήσεων (εάν το σύστημα ανάκτησης δεδομένων έχει διακριτική ικανότητα 10 mv): ιακριτική ικανότητα εξόδου 10mV ιακριτική ικανότητα εισόδου = = = 1 mn m ευαισθησία V 0.01 mn m g) Οι πιθανές αιτίες του σφάλματος υστερήσεως είναι: Τριβή (στα ρουλεμάν, στη μηχανή, στον ιμάντα) Πρόβλημα 5 Ένα μετρητικό σύστημα δύναμης που έχει ως έξοδο ηλεκτρική τάση βαθμονομείται σε σύγκριση με πρότυπο όργανο. Τα δεδομένα της βαθμονόμησης δίδονται στον παρακάτω πίνακα, η οποία περιλαμβάνει σταδιακά αυξανόμενες και μειούμενες τιμές δυνάμεων.

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 41 α) Παραστήστε γραφικά τα δεδομένα της βαθμονόμησης και σχεδιάστε μια προσεγγιστική ευθεία γραμμή. Αυξανόμενη 0.0 1.00.00 3.0 4.00 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10. δύναμη (kn) Τάση (V).0.10.40.9 3.60 4.5 5.6 6.9 8.4 10.1 1. Μειούμενη 10.0 9.00 8.00 7.0 6.00 5.0 4.0 3.0.0 1.0 0.0 δύναμη (kn) Τάση (V) 1.0 11.9 11.6 11.1 10.4 9.5 8.4 7.1 5.6 3.9.0 β)υπολογίστε: 1) Την περιοχή και το εύρος τιμών εισόδου ) Την περιοχή και το εύρος τιμών εξόδου 3) Την ευαισθησία και το συστηματικό σφάλμα 4) Το μέγιστο σφάλμα υστέρησης ως ποσοστό του εύρους (δείξτε το σημείο που συμβαίνει) 5) Τη διακριτική ικανότητα εισόδου (η διακριτική ικανότητα εξόδου είναι 0.5 mv) 6) Το μέγιστο σφάλμα από την προσαρμοσμένη ευθεία γραμμή Α) Η ευθεία γραμμή που προσεγγίζει τα δεδομένα δίνεται από την εξίσωση: y = + Η μέγιστη υστέρηση εμφανίζεται στα 5 kn. Β) 1) Η περιοχή τιμών εισόδου είναι 0-10 kν και το εύρος τιμών εισόδου 10 kν ) Η περιοχή τιμών εξόδου είναι -1 V και το εύρος τιμών εξόδου 10V 3) Η ευαισθησία του συστήματος όταν η δύναμη αυξάνεται και όταν μειώνεται είναι ίδια και ίση με K = 1 V kn

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 4 Το συστηματικό σφάλμα στις δυο περιπτώσεις είναι ίσο με V. 4) Το μέγιστο σφάλμα υστέρησης = 5.00 Volts ma hyst 5 Ως ποσοστό του εύρους: fsd= fsd = 100 = 100 = 50% 10 ευρος εξοδου 5) Η διακριτική ικανότητα εξόδου είναι 0.5 mv) 3 Ο 0.5 10 V Ι = = = 0.0005kN = 0.5Ν Κ V 1 kn 6) Το μέγιστο σφάλμα από την προσαρμοσμένη ευθεία γραμμή=.5volts Πρόβλημα 6 Τα παρακάτω δεδομένα δημιουργήθηκαν κατά τη διάρκεια στατικής βαθμονόμησης συστήματος μέτρησης της δύναμης. Αυξανόμενη δύναμη Δύναμη [Ν] 10 0 30 40 50 60 70 80 90 Έξοδος [V] 1 1.0 1.0.10 3.0 4.0 5.15 6.10 7.00 Μειούμενη δύναμη Δύναμη [Ν] 10 0 30 40 50 60 70 80 90 Έξοδος [V] 1 1.0 1.0 1.90.80 3.80 4.85 5.90 7.00 a) Υπολογίστε το συστηματικό σφάλμα, την περιοχή τιμών εισόδου και εξόδου και προσεγγίστε την περιοχή τιμών με γραμμική συμπεριφορά. b) Υπολογίστε το σφάλμα γραμμικότητας και υστέρησης και εκφράστε το σαν ποσοστό % του εύρους. c) Υπολογίστε τη διακριτική ικανότητα του μετρητικού συστήματος εάν το βολτόμετρο έχει διακριτική ικανότητα 0.05Volts. (a) Σχεδιάζουμε την καμπύλη βαθμονόμησης. Παρατηρούμε ότι η περιοχή τιμών με γραμμική συμπεριφορά είναι από 30 έως 90 Ν. Η περιοχή τιμών εισόδου καμπύλης βαθμονόμησης είναι από 10 έως 90 Ν και η αντιστοιχη της εξόδου είναι από 1 έως 7 Volts.

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 43 Σχήμα 1.1 Βαθμονόμηση δυναμόμετρου. Η συνεχής γραμμή είναι η προσαρμοσμένη καμπύλη με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή χρησιμοποιώντας μόνο τα δεδομένα στη περιοχής. Η εξίσωση είναι της μορφής : y = K + b Παρατηρούμε ότι η ευθεία διέρχεται από τα σημεία (30,1) και (90, 7). Γι αυτό: Volts 1 = Κ 30 + b και 7 = Κ 90 + b συνεπώς Κ = 0.1 και b = Volts. Newton Άρα το συστηματικό σφάλμα είναι Volts. (b) Η μέγιστη μη-γραμμικότητα στην περιοχή βαθμονόμησης προκύπτει για την τιμή F=10 N όπου η διαφορά μεταξύ της ευθείας και των δεδομένων είναι: ( 0.1 10 ) 1 = Volts ε ύρος = yma ymn = 7 1 = 6 Volts. ε ma % = 100 = 33.3% 6 Η μέγιστη υστέρηση είναι η μέγιστη διαφορά μεταξύ της απόκρισης όταν η δύναμη αυξάνεται και όταν η δύναμη μειώνεται. Η τιμή αυτής 0.4Volts. 0.4 Η μέγιστη υστέρηση συνάρτηση του ε hyst % = ( ) 100 = 6.7% 6 (c) Η διακριτική ικανότητα του μετρητικού συστήματος είναι η μικρότερη μεταβολή στην είσοδο που μπορεί να μετρηθεί. H μικρότερη τιμή τάσης που μπορεί να μετρηθεί είναι (0.05Volts), οπότε η διακριτική ικανότητα στην είσοδο είναι: Ο 0.05 διακριτική ικανότητα εισόδου= = = 0.5 Ν Κ 0.1

Κεφάλαιο 1 Λεκάκης 013 44 Πρόβλημα 7 Τα παρακάτω δεδομένα προέρχονται από τη στατική βαθμονόμηση ενός αισθητήρα μετατόπισης που πρόκειται να χρησιμοποιήσεις: Αυξανόμενη μετατόπιση Αριθμός Μετατόπιση Volts Σημείου (mm) 1 0.0 0.00 1.0 1.3 3.0.44 4 3.0 3.58 5 4.0 5.03 6 5.0 6.1 7 6.0 7.09 8 7.0 8. 9 8.0 9.13 10 9.0 10.00 Αυξανόμενη μετατόπιση Αριθμός Μετατόπιση Volts Σημείου (mm) 11 9.0 9.90 1 8.0 8.4 13 7.0 7.01 14 6.0 6.14 15 5.0 4.99 16 4.0 3.81 17 3.0.48 18.0 1.66 19 1.0 0.49 0 0.0 0.00

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 45 a) Υπολογίστε την περιοχή και το εύρος τιμών της εισόδου και εξόδου του συστήματος. b) Χρησιμοποιείστε υπολογιστικό πακέτο για να παραστήστε γραφικά τα δεδομένα και να προσαρμόστε μια ευθεία γραμμή. (Βεβαιωθείτε ότι το γράφημά σας περιλαμβάνει τίτλο, υπόμνημα κ.λ.π.). c) Με βάση την προσαρμοσμένη ευθεία γραμμή, υπολογίστε την ευαισθησία και το συστηματικό σφάλμα του αισθητήρα. d) Υπολογίστε το μέγιστο σφάλμα γραμμικότητας και υστερήσεως των δεδομένων ως ποσοστό του εύρους. a) Η περιοχή τιμών εισόδου είναι 0-9 mm και το εύρος τιμών εισόδου 9 mm Η περιοχή τιμών εξόδου είναι 0-10 V και το εύρος τιμών εξόδου 10V V c) Η ευαισθησία του συστήματος είναι K = 1. 1154 mm Το συστηματικό σφάλμα στις δυο περιπτώσεις είναι ίσο με -0.1413 V. d) Το μέγιστο σφάλμα υστέρησης = (5.03-3.81)=1. Volts hystma 1. Ως ποσοστό του εύρους: fsd = 100 = 100 = 1.% ευρος εξοδου 10 Το μέγιστο σφάλμα μη γραμμικότητας συμβαίνει στο 17 σημείο και είναι.48-1.154 3 + 0.1413 = 0.75 και ως ποσοστό του εύρους 7.5 %. Πρόβλημα 8 Η μετατόπιση μιας κατεργασμένης επιφάνειας μετριέται με μια οπτική συσκευή. Οι προδιαγραφές του μετρητικού συστήματος για την ακρίβεια των μετρήσεων είναι 0. μ-n. H διακριτική ικανότητα του μετρητικού συστήματος είναι 1 mv. Το μετρητικό σύστημα βαθμονομήθηκε με τη βοήθεια ενός προτύπου οργάνου τρία χρόνια μετά την εγκατάστασή του. Τα δεδομένα της βαθμονόμησης αυτής δίδονται στον ακόλουθο πίνακα:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 46 Μετατόπιση (μ-n) Τάση (mvolts) 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 55 0 0 0 1.5 5 37.5 50 6.5 75 87.5 100 100 Η εξίσωση ελαχίστων τετραγώνων που περιγράφει τα δεδομένα είναι y = 5 +. 5, όπου η μετατόπιση. 1. Να υπολογιστούν a. Η περιοχή τιμών και το εύρος εισόδου του συστήματος b. Η περιοχή τιμών και το εύρος εξόδου του συστήματος c. Η ευαισθησία d. Το συστηματικό σφάλμα e. Η διακριτική ικανότητα εισόδου του συστήματος f. Η μέγιστη μη γραμμικότητα του συστήματος ως ποσοστό του εύρους και να σημειωθεί στο διάγραμμα η θέση της μέγιστης μη γραμμικότητας.. Το όργανο αυτό ικανοποιεί τις προδιαγραφές σχεδίασης; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 3. Γα ποιά περιοχή τιμών εισόδου θα χρησιμοποιούσατε το σύστημα αυτό και γιατί. 1. Να υπολογιστούν a. Η περιοχή τιμών εισόδου του συστήματος είναι 0 έως 55 μ-nches και το εύρος εισόδου 55-0=55 μ-nches. b. Η περιοχή τιμών εξόδου του συστήματος είναι 0 έως 100 mv και το εύρος 100-0=100 mv c. Η ευαισθησία είναι ίση με την κλίση της ευθείας γραμμής:.5 mv/μnch. d. Το συστηματικό σφάλμα είναι η y-μετατόπιση από την αρχή των αξόνων: -5 mv e. Η διακριτική ικανότητα εισόδου του συστήματος είναι ίση με το λόγο της διακριτικής ικανότητας εξόδου προς την ευαισθησία: Ο 1 mv Ι = = = 0.4 µ nch k.5 mv µ nch

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 47 f. Η μέγιστη μη γραμμικότητα του συστήματος ως ποσοστό του εύρους 5 είναι: 100 = 5% και συμβαίνει όταν η μετατόπιση είναι μηδέν. 100. Το όργανο αυτό δεν ικανοποιεί τις προδιαγραφές σχεδίασης, επειδή η διακριτική του ικανότητα είναι 0.4 μ-nch>0. μ-nch της προδιαγραφής. 3. Θα χρησιμοποιούσαμε το σύστημα σε εφαρμογές που η διακριτική του ικανότητα των 0.4 μ-nch είναι αποδεκτή και στην περιοχή μετατοπίσεων 10-50 μ-nches, όπου το σύστημα έχει γραμμική συμπεριφορά. Πρόβλημα 9 Προσδιορίστε τις βαθμίδες από τις οποίες αποτελούνται τα παρακάτω μετρητικά συστήματα: (α) θερμοστάτης δωματίου, (β) ταχύμετρο αυτοκινήτου, (γ) φορητό CDplayer, (δ) σύστημα αντιμπλοκαρίσματος των τροχών αυτοκινήτου (ABS), και (ε) μεγάφωνο. (Αναφερθείτε στο Σχήμα 1.1 του βιβλίου σας). (α) θερμοστάτης δωματίου Αισθητήρας/ μετατροπέας: Διμεταλλικό θερμόμετρο. Έξοδος: Μετατόπιση της άκρης του θερμόμετρου. (β) ταχύμετρο αυτοκινήτου Μέθοδος 1 η Αισθητήρας:Μηχανική σύνδεση καλωδίου (ντίζα). Μετατροπέας: Μια γεννήτρια dc (συνεχούς ρεύματος) που κινείται από το καλώδιο (ντίζα) και παράγει ηλεκτρικό ρεύμα. Έξοδος:Τυπικό όργανο με βαθμολογημένη/ κλίμακα. Μέθοδος η Αισθητήρας :Μαγνήτης προσαρτημένος στον περιστρεφόμενο άξονα. Μετατροπέας:Συσκευή φαινομένου Hall που είναι σταθερή και ανιχνεύει μια παλμική μεταβολή τάσης ρεύματος. Sgnal Condtonng: Κύκλωμα μέτρησης παλμών (ψηφιακός-αναλογικός μετατροπέας για αναλογική έξοδο). Έξοδος: Μια αναλογική ή ψηφιακή βαθμονομημένη έξοδος που μετατρέπει τους παλμούς/ λεπτό σε χιλιόμετρα/ ώρα. (γ) CD Αισθητήρας:laser με οπτικά ανάγνωση. Μετατροπέας:Ψηφιακός- αναλογικός μετατροπέας και ενισχυτής. Έξοδος:Ακουστικό/ ηχείο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 48 d) Σύστημα αντιμπλοκαρίσματος των τροχών αυτοκινήτου (ABS) Αισθητήρας: Διακόπτης που ενεργοποιείται από το πάτημα του φρένου. Μετατροπέας:Μετράει την περιστροφική ταχύτητα των τροχών /μονάδα χρόνου. Sgnal Condtonng: κύκλωμα χρονισμού. Έξοδος:Σήμα ανάδρασης που μετατρέπει την σταθερή πίεση στο πετάλ, σε παλμική δράση των φρένων. Ε)Μεγάφωνο Αισθητήρας: Πηνίο Μετατροπέας:Πηνίο-μόνιμος μαγνήτης-κώνος μεγαφώνου.(όταν το πηνίο διαιρείται από ρεύμα τότε το σύστημα πηνίο-μόνιμος μαγνήτης λειτουργεί σαν ένας μικρός dc κινητήρας και κάνει μικρό-ταλαντώσεις οι οποίες παρασύρουν την μεμβράνη του μεγαφώνου παράγοντας ήχους.) Έξοδος:Παραγόμενος ήχος. Πρόβλημα 30 Ένα θερμόμετρο βολβού είναι τοποθετημένο στο εξωτερικό μέρος ενός παραθύρου και χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της εξωτερικής θερμοκρασίας. Περιγράψτε τις εξωγενείς μεταβλητές που επηρεάζουν την διαφορά μεταξύ της πραγματικής εξωτερικής θερμοκρασίας και της μετρούμενης. Η θερμοκρασία ενός θερμόμετρου βολβού επηρεάζεται από τα στερεά σώματα με τα οποία βρίσκεται σε επαφή. Επίσης επηρεάζεται από την θερμική ακτινοβολία που ανταλλάσσει με τα σώματα διαφορετικής θερμοκρασίας με τα οποία βρίσκεται σε οπτική επαφή γύρω του (ήλιος, κτήρια, άνθρωποι και έδαφος). Γι αυτό η θέση στην οποία πρέπει να τοποθετηθεί είναι ένας πολύ σημαντικός παράγοντας. Γνωρίζουμε ότι ένα θερμόμετρου βολβού δεν αποκρίνεται γρήγορα στις μεταβολές της θερμοκρασίας, γι αυτό χρειάζεται να δοθεί αρκετός χρόνος στο θερμόμετρο για να προσαρμοστεί στις νέες συνθήκες θερμοκρασίας. Επαναλαμβάνοντας τη μέτρηση, επιδράσεις λόγω υστερήσεως του οργάνου και επαναληψημότητας του οργάνου και της διαδικασίας μπορούν να γίνουν τυχαίες. Λόγω της μικρής διακριτικής ικανότητας του οργάνου, διαφορετικοί χρήστες μπορεί να καταγράφουν διαφορετικά αποτελέσματα ακόμα και όταν η έξοδος του οργάνου δεν αλλάζει. Είτε οι χρήστες θα πρέπει να επιλεχθούν τυχαία ή το τεστ να επαναληφθεί. Είναι γνωστό ότι αυτή η διαδικασία θα οδηγήσει σε τυχαία διασπορά

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 49 των μετρήσεων σε διάστημα μισού της διακριτικής ικανότητας του οργάνου γύρω από την τιμή ένδειξης. Πρόβλημα 31 Δείξτε πως οι παρακάτω συναρτήσεις μπορούν να μετασχηματιστούν σε μια γραμμική συνάρτηση της μορφής: Υ = α 1Χ + α 0 όπου ταα 1 και α0 είναι σταθεροί αριθμοί. m Α) y = b m Β) y = be C) y = b + c m m Α) y = b m m log y = log( b ) log y = log( b) + log( ) log y = log( b) + mlog( ) Θέτω όπου Y = log y και X = log οπότε Υ = m Χ + log(b) m Β) y = be m m ln y = ln( b ) ln y = ln( b) + ln( ) ln y = ln( b) + mln( ) οπότε Υ = m Χ + ln(b) C) y = b + c m m 1 y b = c log( y b) = log c + log m Θέτω όπου Y = log( y b) και X = log οπότε Υ = 1 log( c) m Χ + Πρόβλημα 3 A. Παρουσιάστε γραφικά τα δεδομένα βαθμονόμησης του παρακάτω πίνακα, χρησιμοποιώντας ορθογώνιες και log-log κλίμακες συντεταγμένων και συζητήστε τα προφανή πλεονεκτήματα καθεμιάς παρουσίασης. B. Προσαρμόστε στα δεδομένα μία συνάρτηση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για δεδομένα διαφορετικής βαρύτητας. C. Υπολογίστε τη στατική ευαισθησία του μετρητικού συστήματος στα σημεία (α) = 5 (β) = 10 (γ) = 0 Για ποιες τιμές εισόδου το σύστημα είναι περισσότερο ευαίσθητο; [cm] y [V] [cm] y[v] 0.5 0.4 10.0 15.8 1.0 1.0 0.0 36.4.0.3 50.0 110.1 5.0 6.9 100.0 53. Α) Από το γράφημα των ορθογώνιων συντεταγμένων διακρίνουμε:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 50 α) Τα δεδομένα συσσωρεύονται γύρω από την περιοχή του μηδενός. β) Η καμπύλη βαθμονόμησης που προκύπτει είναι μη-γραμμική. Από το γράφημα σε log-log άξονες διακρίνουμε: α) Καλύτερη κατανομή των δεδομένων. β) Τα δεδομένα συμπίπτουν σε μια ευθεία γραμμή. Η παρατήρηση αυτή έχει σαν συνέπεια ότι η έξοδος συνδέεται με την είσοδο διαμέσου της σχέσης: log(y) = log(b) + a log() b και κατά συνέπεια: y = a Από την παρατήρηση αυτή υπολογίζουμε τα a και b. Για y=1, =1: log(1)=log(a)+b log(1) a=1 Και το b υπολογίζεται: b y log( y) log( y1) log(15,8) log(1, 0) = b = = 1. y1 1 log( ) log( 1) log(10, 0) log(1, 0) Σχόλια: Το γράφημα σε log-log δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε δεδομένα με αρνητικές τιμές ή μηδενικά. Β)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 51 Χρησιμοποιώντας την παρατήρηση ότι τα δεδομένα ακολουθούν μια ευθεία γραμμή σε log-log γράφημα, το σχετίζεται με το y με μια συνάρτηση της μορφής: b y = a Log(y)=log(a)+b log() Y=B+b X Υπολογισμός βαρύτητας κάθε στοιχείου: 1 w = ( Y ) (ΔΥ η διασπορά των τιμών του Υ=log(y)) 1 Y = [log( y) ] y Y = y y 1 Άρα w = y (Επειδή θεωρούμε ότι η διασπορά y είναι η ίδια για κάθε στοιχείο ( y) τότε y = 1) Υπολογισμός ελάχιστων τετραγώνων: X y X=ln() Y=ln(y) w=y 0.5 0.4 - - 1.0 1.0 0 0 1.0000.0.3 0.693 0.839 0.1890 5.0 6.9 1.609 1.9315 0.010 10.0 15.8.30.7600 0.0040 0.0 36.4.996 3.5946 0.0008 50.0 110.1 3.91 4.7014 0.0001 100.0 53. 4.605 5.534 0.0000 A = b = B = [ w w ( w )] [ w w Y w wy ] A [ w wy w w Y ] A Υπολογίζουμε: α=1και b=1. η συνάρτηση είναι της μορφής: y= 1.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 5 C)Στατική ευαισθησία: Κ=[dy/d] =1. 0, Για τα διάφορα σημεία υπολογίζουμε: [cm] K[V/cm] 5 1.66 10 1.90 0.18 Πρόβλημα 33 Ένα αισθητήριο σύστημα της ταχύτητας ρευστού δίνει ως έξοδο τάση, E, σε Volts που m σχετίζεται της ταχύτητας, U, μέσω της εξίσωσης E = a + bu. Βαθμονόμηση του αισθητηρίου συστήματος έδωσε τα εξής δεδομένα: U ft / s ( ) 0.0 3.19 10.0 3.99 0.0 4.30 30.0 4.48 40.0 4.65 Προσαρμόστε τα δεδομένα αυτά με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και παρουσιάστε τα γραφικά. : Για U = 0 E = a = 13.9 ln(( E a) = ln B + mlnu y = B + m d[ln( E 0)] E Y = = de E a E= Y I E ( V )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 53 Εάν θεωρήσουμε ότι όλα τα δεδομένα E έχουν την ίδια αβεβαιότητα π.χ 1 (οποιαδήποτε τιμή είναι το ίδιο ) ) ( 1 W Y = U E ) ln(u ) ln( a E ) ( 1 W Y = 10 0 30 40 [ ] [ ] A w Y w w Y w b A w Y w w Y w m w w w A = = = )] ( [ Πρόβλημα 34 Η χαρακτηριστική καμπύλη ενός ανεμιστήρα περιγράφεται από τα παρακάτω δεδομένα: Q 000 6000 10000 14000 18000 000 h 5.56 5.87 5.73 4.95 3.5 1.08 όπου Q είναι η ογκομετρική παροχή σε sec / 3 m και h το στατικό μανομετρικό ύψος σε cm στήλης ύδατος. Βρείτε το πολυώνυμο με το μικρότερο βαθμό που περιγράφει τα δεδομένα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Εξηγείστε την επιλογή σας αυτή. : 0 1 1 1... a a a a y n n n n + + + = θεωρούμε 1 = W Για = n, γίνεται = = = + + + = = + + + + = = y y a a N a s a a a a y e S n y n n n n n n n n N n n n n N............. 0 )]... ( [ 0 3 1 1 4 3 3 1 0 1 1 1 1 = = y y y a a a N 1 0 4 3 3 1 = n N e σ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 54 h=1 y = 0.000 + 7. 048 e t σ 8 h= y =.0 10 + 0.0003 + 4. 9886 15 3 11 6 h=3 y = 4.0 10 6.0 10 + 10 + 0. 053 17 4 13 3 18 h=4 y = 10 + 3 10 10 + 0.000 + 5. 104 h=5 Η τιμή του n που αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιμή του σ είναι το ζητούμενο. Από τη θεωρία n =. Πρόβλημα 35 Μια στατική βαθμονόμηση ενός συστήματος μέτρησης της μανομετρικής πίεσης (τύπου Bourdon), με ονομαστικό εύρος 0 έως 100 ps, έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα: Μετρήσεις πίεσης Πραγματική πίεση Κύκλος 1 Κύκλος Κύκλος 3 Κύκλος Κύκλος 5 (ma-mn) (ps) 4 0 0 19 0 0 19 1 40 39 40 39 39 39 1 60 59 58 59 58 60 80 80 80 79 79 80 1 100 101 100 100 101 10 80 84 83 84 84 84 1 60 63 63 63 6 6 1 40 43 4 43 43 44 0 4 4 4 4 4 0 0 5 4 4 6 4 Παρουσιάστε γραφικά τα δεδομένα και προσαρμόστε σ αυτά μια ευθεία γραμμή με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Παρουσιάστε γραφικά τα δεδομένα υπό την μορφή απόκλισης (= μέτρηση τιμή προσαρμοσμένης καμπύλης) και εκτιμήστε τα σφάλματα ακρίβειας, επαναληψιμότητας και υστερήσεως σαν ποσοστό του εύρους. : Διάγραμμα των δεδομένων του Προβλήματος 4 Ένδειξη μανόμετρου [ps] 10 100 80 60 40 0 0 0 0 40 60 80 100 10 Πραγματική πίεση [ps] Η καλύτερη προσαρμοσμένη καμπύλη είναι : Ένδειξη =.9 + 0.978( Πραγµατική Πίεση) ps Πίνακας αποκλίσεων (= μέτρηση τιμή προσαρμοσμένης καμπύλης) (ps) Πραγματική Πίεση (ps) Κύκλος 1 Κύκλος Κύκλος 3 Κύκλος 4 Κύκλος 5 0 - -3 - - -3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 55 40-3 - -3-3 -3 60-3 -4-3 -4-80 -1-1 - - -1 100 0-1 -1 0 1 80 3 3 3 3 60 1 1 1 0 0 40 1 0 1 1 0 0 1 1 3 1 Αποκλίσεις δεδομένων Προβλήματος 4 4 3 1 0-1 0 0 40 60 80 100 10 - -3-4 -5 Πραγματική Πίεση [ps] Κύκλος 1 Κύκλος Κύκλος 3 Κύκλος 4 Κύκλος 5 Η ακρίβεια μπορεί να υπολογιστεί από τις ακραίες τιμές της απόκλισης. Οι τιμές αυτές είναι +3 και -4 ps που για εύρος 100 ps δίδουν ακρίβεια +3% και -4% του εύρους. Η επαναληψιμότητα μπορεί να υπολογιστεί από τον πίνακα μέτρησης πίεσης, στήλη (mamn). Η μέγιστη απόκλιση για μια δοθείσα μέτρηση και κατεύθυνση είναι ps. Τότε η επαναληψιμότητα ως ποσοστό του εύρους είναι ± 1%. Η υστέρηση είναι η μέγιστη διαφορά μεταξύ των μέγιστων και ελάχιστων ενδείξεων για κάθε μετρούμενη τιμή στον ίδιο κύκλο βαθμονόμησης. Η μέγιστη διαφορά είναι 5 ps, η οποία εμφανίζεται αρκετές φορές.(κύκλος, 0 ps είναι ένα παράδειγμα ). Αυτό μπορεί να εκφραστεί ως ποσοστό του εύρους είναι 5%. Πρόβλημα 36 Προσδιορίστε ποια από τα παρακάτω σφάλματα είναι τυχαία η συστηματικά και αιτιολογήστε την απάντησή σας για καθένα απ αυτά: a) Μια ψηφιακή ζυγαριά δεικνύει 0.1 kg όταν δεν έχει τοποθετηθεί βάρος. b) Ταλάντωση του δείκτη ταχογράφου αυτοκινήτου. c) Συστηματική διαφορά θερμοκρασίας, που μπορεί να είναι σταθερά ή να μεταβάλλεται, μεταξύ δύο αισθητήρων μέτρησης της θερμοκρασίας του αέρα στο ίδιο δωμάτιο. d) Επίδραση της θερμοκρασίας περιβάλλοντος στο κύκλωμα ενός ηλεκτρονικού μετρητικού συστήματος. e) Επίδραση του φαινομένου της παράλλαξης στην ανάγνωση αναλογικού βολτόμετρου με μηχανικό δείκτη (βελόνα). f) Επίδραση της χρήσης λανθασμένης τιμής για το συντελεστή εκπομπής στην ένδειξη της θερμοκρασίας υπέρυθρου θερμόμετρου.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο 56 g) Μεταβολή της ένδειξης αισθητήρα πίεσης λόγω της μεταβολής της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος. h) Θόρυβος στην ένδειξη ενός μετρητικού οργάνου που οφείλονται σε μαγνητικά πεδία του περιβάλλοντος. ) Μεταβολή της σύστασης φαρμάκου λόγω ελαττωματικής λειτουργίας του αναμείκτη. a) Συστηματικό σφάλμα. Η έξοδος διαφέρει συστηματικά από την πραγματική τιμή. b) Τυχαίο σφάλμα. Η έξοδος του ταχογράφου παρουσιάζει διασπορά των δεδομένων. c) Εάν η διaφορά είναι ανεξάρτητη του χρόνου τότε το σφάλμα είναι συστηματικό. Εάν εξαρτάται από το χρόνο τότε είναι τυχαίο. d) Στις περισσότερες περιπτώσεις το σφάλμα θεωρείται συστηματικό, γιατί επαναλαμβανόμενες μετρήσεις την ίδια σχεδόν χρονική στιγμή θα δώσουν το ίδιο σφάλμα. Παρόλα αυτά για μεγάλο χρονικό διάστημα μετρήσεων, η θερμοκρασία μεταβάλλεται τυχαία, άρα το σφάλμα είναι τυχαίο. e) Το σφάλμα αυτό είναι συστηματικό εάν οι μετρήσεις γίνονται από το ίδιο άτομο που ακολουθεί την ίδια διαδικασία κάθε φορά. Εάν οι μετρήσεις γίνονται από πολλά άτομα που ακολουθούν διαφορετική διαδικασία, τότε τα σφάλματα είναι τυχαία. f) Αυτό το σφάλμα είναι συστηματικό γιατί είναι το ίδιο κάθε φορά που γίνεται μέτρηση. g) Είναι συστηματικό εάν οι μετρήσεις έχουν γίνει στη ίδια θερμοκρασία του περιβάλλοντος. Εάν όμως οι μετρήσεις έγιναν σ ένα χρονικό διάστημα κατά το οποίο η θερμοκρασία του περιβάλλοντος μεταβάλλεται τυχαία, τότε το σφάλμα θεωρείται τυχαίο. h) Το σφάλμα αυτό είναι τυχαίο διότι σχεδόν πάντα τα μαγνητικά πεδία του περιβάλλοντος μεταβάλλονται τυχαία. ) Επειδή η ελαττωματική λειτουργίας του αναμείκτη δεν είναι προβλέψιμη, το σφάλμα αυτό μπορεί να θεωρηθεί τυχαίο. Πρόβλημα 37 A Ένα ψηφιακό όργανο μέτρησης έχει οθόνη τριών δεκαδικών σημαντικών ψηφίων. Ένα αντίστοιχο αναλογικό όργανο έχει 1000 υποδιαιρέσεις στο διάστημα του εύρους τιμών. Μπορείς να προσδιορίσεις ποιο από τα δύο όργανα είναι μεγαλύτερης ακρίβειας; Δώστε τις απαιτούμενες εξηγήσεις. B Χρειάζεσαι να μετρήσεις την πίεση, που μεταβάλλεται μεταξύ 60 kpa και 100 kpa. Προς τούτο είναι διαθέσιμα τέσσερα όργανα της ίδιας περίπου ποιότητας: Όργανο Α, με περιοχή τιμών 0-100 kpa Όργανο Β, με περιοχή τιμών 0-150 kpa Όργανο C, με περιοχή τιμών 50-100 kpa Όργανο D, με περιοχή τιμών 50-150 kpa Ποιο όργανο θα επιλέξεις και γιατί; C D Σ ένα όργανο με πολλές κλίμακες (όπως ένα βολτόμετρο), πως μεταβάλλεται η ευαισθησία με την κλίμακα; Εξηγήστε. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ στατικής και δυναμικής βαθμονόμησης; Τι είδος βαθμονόμησης συνιστάς για a) θερμόμετρο στόματος, b) μανόμετρο σωλήνα νερού, και c) ταχογράφο αυτοκινήτου;