1
ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ A. Όταν ένα σώμα ισορροπεί η συνισταμένη των δυνάμεων είναι ίση με μηδέν. Πρέπει Σ=0 ή Σ x =0 και Σ y =0 B. Όταν ένα σώμα ολισθαίνει πάνω σε μια μη λεία οριζόντια επιάνεια, 1. Θα σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω του και θα τις αναλύουμε σε άξονες χ και y. 2. Αού στον κατακόρυο άξονα y δεν υπάρχει κίνηση, θα ισχύει η σχέση Σ y = 0 και από τη σχέση αυτή θα υπολογίζουμε την κάθετη αντίδραση Ν που δέχεται το σώμα από την επιάνεια. 3. Στη συνέχεια θα υπολογίζουμε την τριβή ολίσθησης από τη σχέση Τ = μν. 4. Εαρμόζουμε τη σχέση Σ χ =m.α και τις εξισώσεις κίνησης Γ. Όταν ένα σώμα επιταχύνεται ομαλά σε μία επιάνεια και ζητείται να εξετάσουμε αν υπάρχει τριβή ή όχι, τότε: 1. Θα υπολογίζουμε, σε πρώτη άση, την επιτάχυνση α 1 του σώματος από κάποια μεγέθη της κίνησης, τα οποία οπωσδήποτε θα δίνονται, αξιοποιώντας τις εξισώσεις κίνησης. Αυτή θα είναι και η πραγματική επιτάχυνση του σώματος. 2. Θα υπολογίζουμε στη συνέχεια την επιτάχυνση α 2 από τον Θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής Σ x = m.a 2, θεωρώντας την επιάνεια λεία. 3. Αν α 1 = α 2 τότε δεν υπάρχει τριβή. Αν α 1 α 2 α τότε υπάρχει τριβή. Οπότε υιοθετούμε την επιτάχυνση η οποία υπολογίστηκε από τα δεδομένα της κίνησης, δηλαδή την α 1 και καταεύγουμε πάλι στον Θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής συνυπολογίζοντας στις δυνάμεις και την τριβή. Δ. Όταν ένα σώμα αήνεται σε ένα σημείο ενός κεκλιμένου επιπέδου, το οποίο παρουσιάζει τριβή και ζητείται να εξεταστεί αν το σώμα θα ολισθήσει ή όχι, τότε: 1. προσδιορίζεται η τιμή της κάθετης δύναμης Ν, 2. υπολογίζεται η τιμή της οριακής τριβής (μέγιστης στατικής ) από τη σχέση T = T =μ.ν και στ(max) ορ 3. γίνεται σύγκριση της οριακής τριβής με τη συνιστώσα του βάρους Β χ την παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Αν Β χ > Τ ορ το σώμα ολισθαίνει, αν Β χ = Τ ορ το σώμα δεν ολισθαίνει. Ε. Σώματα που είναι δεμένα στις άκρες του ίδιου νήματος (τεντωμένου) έχουν την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση κάθε χρονική στιγμή. Οι τάσεις του ίδιου νήματος είναι ίσες. Στ. Λαμβάνουμε υπόψιν και τις παρατηρήσεις του πρώτου υλλαδίου, θέτουμε το μυαλό μας σε εγρήγορση και αυτό θα σερβίρει τη λύση έτοιμη στο τετράδιό μας. 2
Γ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ - ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΤΡΙΒΗ 1. Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=1,2kg το νήμα είναι αβαρές και με την βοήθεια της δύναμης ισορροπεί όπως στο σχήμα με γωνία =30 ο Αν g=10m/s 2 να βρείτε την τάση του νήματος και την δύναμη. Δίνεται : ημ30 ο =1/2, συν30 ο = 3/2 (8 3 N, 4 3N) 2. Το σώμα του σχήματος κινείται με σταθερή ταχύτητα υ=10 m/s με την βοήθεια της οριζόντιας δύναμης =10N. Α. Αν το επίπεδο είναι λείο και η γωνία είναι =30 ο να βρείτε το βάρος του σώματος και την αντίδραση Ν του κεκλιμένου. Β. Κάποια στιγμή καταργείται η δύναμη. Ποια χρονική στιγμή θα σταματήσει στιγμιαία το σώμα ; (20Ν, 10 3N ) 3. Το σώμα του σχήματος ισορροπεί με τη βοήθεια δύο νημάτων.η μάζα του σώματος είναι m=1kg. Να βρείτε τις τάσεις των νημάτων. g=10m/s 2. Δίνεται : ημ30 ο =1/2, συν30 ο = 3/2 (9Ν, 7,33Ν) 30 ο 45 ο 4. Το σώμα ισορροπεί με τη βοήθεια των δύο νημάτων ΚΛ και ΚΜ. Το ΚΛ είναι οριζόντιο, ενώ το ΚΜ σχηματίζει με την οροή γωνία 45 ο. Αν η τάση Τ 1 του νήματος ΚΛ έχει μέτρο Τ 1 = 10 Ν, να βρείτε την τάση Τ 2 του νήματος ΚΜ και το βάρος του σώματος. o o 2 Δίνεται hm45 = sun 45 = 2 (10 2N, 10 Ν) 5. Θέλουμε να μετρήσουμε την οριζόντια δύναμη που ασκείται σε αεροπλάνο-παιχνίδι βάρους Β = 15Ν από τον αέρα. Κρεμάμε το αεροπλάνο από αβαρές νήμα και το βάζουμε σε λειτουργία. Το νήμα αποκλίνει και το αεροπλάνο ισορροπεί σε θέση που το νήμα σχηματίζει γωνία θ= 30 με την κατακόρυο. Να βρεθεί η δύναμη που προωθεί το αεροπλάνο. (5 3N ) 3
6. Αν η μικρή σαίρα του σχήματος, βάρους Β= 10 Ν, ισορροπεί πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης = 60, να βρείτε την οριζόντια δύναμη και τη δύναμη Ν που ασκεί το κεκλιμένο επίπεδο στη σαίρα. (20 N, 10 3N ) 7. Τα σώματα Σ 1 και Σ 2 του σχήματος έχουν αντίστοιχα βάρη Β 1 =200 Ν και Β 2 =100 Ν. Α. Να σχεδιάσετε σε ξεχωριστό σχήμα τις δυνάμεις που ασκούνται στο Σ 2 και να βρείτε τις αντιδράσεις τους. Β. Να σχεδιάσετε σε ξεχωριστό σχήμα τις δυνάμεις που ασκούνται στο Σ 1 και να βρείτε τη μεταξύ τους σχέση. Γ. Ποια δύναμη δέχεται συνολικά το δάπεδο; (100 N, 300 N ) 8. Τα σώματα Σ 1 και Σ 2 του σχήματος έχουν μάζες m 1 = 2 kg και m = 3 kg αντίστοιχα και τα σχοινιά είναι αβαρή. 1) Να σχεδιάσετε και να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα. 2) Πόση δύναμη ασκείται στην οροή από το σχοινί; Δίνεται g=10 m/sec 2. (30 N, 50 N) 9. Σε σώμα Σ 1 μάζας m 1, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δένεται το ένα άκρο αβαρούς σχοινιού. Το σχοινί περνά από ακίνητη τροχαλία αμελητέας μάζας και στο άλλο άκρο του κρεμιέται σώμα Σ 2 μάζας m 2 =10 kg. Αν το σύστημα των σωμάτων κινείται με επιτάχυνση μέτρου α = 2 m/s 2 να βρείτε: α) την τάση Τ του σχοινιού, β) τη μάζα m 1. Δίνεται g=10 m/sec 2 (80 N, 40 Kg) 10. Ένα σώμα μάζας m=10 kg ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο Κάποια στιγμή t=0, ένας άνθρωπος του ασκεί μέσω νήματος μια δύναμη μέτρου =100Ν, όπως στο σχήμα, όπου για τη γωνία δίνονται ημ= 0,6 και συν= 0,8 ενώ g=10m/s 2. Α) Να υπολογίστε την δύναμη που ασκεί το επίπεδο στο σώμα καθώς και την επιτάχυνση του σώματος. Β) Τη χρονική στιγμή t 1 =5s, ο άνθρωπος παύει να τραβάει το σώμα. Βρείτε την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή αυτή Γ ) Υπολογίστε τη μετατόπιση του σώματος και την ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t 2 =8s. (40 Ν, 8m/s 2, 40m/s, 220m) 4
11. Σε ένα αρχικά ακίνητο σώμα μάζας m=2 Kg εαρμόζεται τη χρονική στιγμή t=0, δύναμη 1 =20 N που σχηματίζει γωνία ( συν=4/5, ημ=3/5 ) με το λείο οριζόντιο επίπεδο και η δύναμη 2 =4 N, αντίθετη της κίνησης, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t 1 που το σώμα έχει μετατοπιστεί κατά s=12 m, η δύναμη 1 γίνεται οριζόντια. Να υπολογιστούν: 1 α) η επιτάχυνση του σώματος μέχρι τη χρονική στιγμή t 1 β) η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 1 2 γ) η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 2 =10 sec. δ) η συνολική μετατόπιση μέχρι τη χρονική στιγμή t 2 =10 sec. (6 m/s 2, 12m/s, 8m/s 2, 76m/s, 352 m) 12. Αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με υ ο =20 m/sec και ρενάρει. Μετά από χρόνο Δt=5 sec η ταχύτητα του γίνεται υ ο /2. α) Πόσο μετατοπίστηκε μέχρι τότε ; β) Να βρείτε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης. γ) Σε πόσο χρόνο θα σταματήσει το αυτοκίνητο ; Δίνεται g=10 m/sec 2. ( 75 m, 0,2, 10 s ). 13. Μαθητής τρέχει πάνω σε πάγο μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα υ=4 m/sec και μετά ολισθαίνει μέχρι να σταματήσει. Α. Για πόσο διάστημα ολισθαίνει όταν o συντελεστή τριβής ολίσθησης είναι μ=0,04 ; Β. Ποια είναι η ταχύτητα και η μετατόπιση του σώματος τη χρονική στιγμή t=5 sec. Δίνεται g=10 m/s 2 ( 20 m, 2 m/s, 15m). 14. Κιβώτιο μάζας m=10 Kg κινείται με σταθερή ταχύτητα υ=30 m/s πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ενεργεί δύναμη =100 N που σχηματίζει με το επίπεδο γωνία =30 ο. Α) Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής. Β) Ποια η μετατόπιση του κιβωτίου ύστερα από χρόνο 10 sec ; Γ) Αν η δύναμη καταργηθεί ποια η ταχύτητα του κιβωτίου ύστερα από χρόνο 3 sec ; Δίνεται g=10 m/s 2, ημ30 ο =1/2, συν30 ο = 3/2 ( 3, 300 m ) 15. Οριζόντια δύναμη =40 N ενεργεί σε σώμα μάζας m=20 Kg και το αναγκάζει να ολισθήσει σε οριζόντιο έδαος. Το σώμα αρχίζει την κίνησή του από τη θέση χ ο =0 και κινείται χωρίς αρχική ταχύτητα για χρόνο t 1 =4 sec. Στη συνέχεια παύει να ασκείται η δύναμη και το σώμα ύστερα από λίγο σταματάει. Να βρεθούν : Α. Ποια η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση χ 1 =+2m. Β. Ποια η μετατόπιση και η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 1 =4 sec. Γ. Ποια η συνολική μετατόπιση και ο ολικός χρόνος κίνησης του σώματος. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ=0,1 και g=10 m/s 2. (2 m/s, 8 m, 4 m/s, 8 s, 16 m ) 16. Σώμα μάζας m = 1kg αρχίζει να κινείται υπό την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου = 5Ν πάνω σε δάπεδο που παρουσιάζει με το σώμα συντελεστή τριβής μ =0,1. Αού το σώμα διανύσει 32 m, εισέρχεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κινείται για άλλα 4 sec.να βρεθούν: α. Ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώματος. β. Η τελική ταχύτητα του σώματος. γ. Το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα. Δίνεται g = 10 m/s 2. (8 s, 36 m/s, 136 m) 5
17. Ένα αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υ=72 km/h για χρόνο t 1 =40s. Εκείνη τη χρονική στιγμή ο οδηγός αντιλαμβάνεται εμπόδιο, το οποίο απέχει απόσταση S=105 m, και πατάει ρένο επιβραδύνοντας με σκοπό να απούγει τη σύγκρουση με το εμπόδιο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης δρόμου-αυτοκινήτου είναι μ=0,2. α) Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο της κίνησης μέχρι να σταματήσει. β) Θα απούγει ο οδηγός τη σύγκρουση με το εμπόδιο ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας γ) Να βρείτε το συνολικό διάστημα που έχει διανύσει το αυτοκίνητο μέχρι να σταματήσει. δ) Να κάνετε τη γραική παράσταση της ταχύτητας του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται ότι g= 10 m/s 2 18. Σώμα με μάζα m = 2 kg που αρχικά ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, δέχεται κάποια στιγμή την επίδραση δύναμης με μέτρο = 20 Ν υπό γωνία = 45 προς τα κάτω. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στο σώμα και το οριζόντιο επίπεδο είναι μ =0,2 και g=10 m/s 2. Να υπολογίσετε: α. Την ταχύτητα του σώματος ύστερα από χρόνο t=5s αότου ασκήθηκε η δύναμη. β. Τη μετατόπισή του τότε. (ημ45 = συν45 = 0,7) [ υ = 18 m/s, x = 45m] 19. Αυτοκίνητο ανεβαίνει κεκλιμένο επίπεδο γωνίας =30 ο, χωρίς να λειτουργεί η μηχανή του. Στην αρχή του κεκλιμένου η ταχύτητά του είναι υ ο =20 m/sec. Α) Να βρείτε το διάστημα που διανύει το αυτοκίνητο μέχρι να σταματήσει. Β) Αού το αυτοκίνητο σταματήσει στιγμιαία τότε αυτό θα ισορροπήσει ή θα αρχίσει * να κατέρχεται από το κεκλιμένο επίπεδο ; Αν θα κατέρχεται να βρείτε την ταχύτητά του ύστερα από χρόνο 2 sec. Δίνονται ο συντελεστής τριβή ολίσθησης μ= 3/5, ο οποίος θεωρείται ίσος με τον μέγιστο της στατικής τριβής και g=10 m/s 2, ημ30 ο =1/2, συν30 ο = 3/2 (8 m/s 2, 25 m, 2 m/s 2, 4 m/s ) 20. Ένα σώμα μάζας 10 kg, βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσης 30 ο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβή ολίσθησης μ= 3. Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που πρέπει να ασκείται στο σώμα παράλληλα προς το κεκλιμένο ώστε το σώμα Α. Να ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα. Β. Να ανεβαίνει με επιτάχυνση 2 m/s 2. Γ. Να κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα. Δίνεται g=10 m/sec 2, ημ30 ο =1/2, συν30 ο = 3/2 (200 Ν, 220 Ν, 100 Ν) 21. Ένα σώμα τη χρονική στιγμή t=0 έχει ταχύτητα υ ο = 20 m/s. Το σώμα, αού ολισθήσει στο οριζόντιο επίπεδο, θάνει στη βάση του κεκλιμένου τη χρονική στιγμή t 1 =2 sec και συνεχίζει την κίνησή του πάνω σε αυτό. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,5 και είναι ίδιος καθ όλη την διάρκεια της κίνησης, να υπολογίσετε : Α. τη χρονική στιγμή που το σώμα σταματά στιγμιαία. Β. τη συνολική μετατόπιση στο οριζόντιο και στο κεκλιμένο. Δίνονται g=10m/sec 2, ημ=0,6, συν=0,8. ( 3 sec, 35 m) 2 6
22. Ένα σώμα μάζας m=2kg ξεκινάει από την ηρεμία από την βάση κεκλιμένου επιπέδου, πολύ μεγάλου μήκους, και Γ κινείται προς τα πάνω με την επίδραση δύναμης =24N, παράλληλης προς το κεκλιμένο επίπεδο όπως στο σχήμα. Το σώμα αού διανύσει απόσταση 4m τάνει το σημείο Γ. Αν ο συντελεστής τριβής είναι μ=0,5, ημ=0,6, συν=0,8 και g=10m/s 2,να βρεθούν: α) Το μέτρο της τριβής που ασκήθηκε στο σώμα. Ο β) Η ταχύτητα στη θέση Γ γ) Στη θέση Γ καταργείται η δύναμη. Να βρείτε τη χρονική στιγμή και το διάστημα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία. δ) Το σώμα θα επιστρέψει στη βάση του κεκλιμένου, αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι ίδιος με αυτόν της στατικής ; Σώμα μάζας m= 2 Kg ξεκινάει από την ηρεμία,κινούμενο σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο, υπό την επίδραση σταθερής δύναμης =20 N η οποία σχηματίζει γωνία με το επίπεδο της κίνησης. Η δύναμη 1 ενεργεί στο σώμα μέχρι τη χρονική στιγμή t 1,οπότε το σώμα μετατοπίζεται κατά Δχ 1 =12m. Α) Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος B) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t 1 και την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 1 Τη χρονική στιγμή t 1 η δύναμη 1 αποσύρεται. Να υπολογίσετε : Γ) την επιτάχυνση του σώματος μετά την απόσυρση της δύναμης 1 Δ) τη ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 2 =4 sec. Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ=0,5, ημ=0,6, συν=0,8 και g=10 m/s 2 24. Οι μάζες των σωμάτων του σχήματος, τα οποία είναι δεμένα στα άκρα νήματος αβαρούς τροχαλίας, είναι m 1 = 10 kg και m 2 = 10 kg. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του m 2 με το δάπεδο είναι μ = 0,5. Το σύστημα αήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Πόση είναι η τάση του νήματος και πόσο διάστημα θα διανύσει το σώμα m 1 σε χρόνο t=2 sec ; Δίνεται g=10m/sec 2 (75 Ν, 5 m ) 25. Το διάγραμμα αποδίδει την αλγεβρική τιμή της οριζόντιας δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο. Αυτή ασκείται σε σώμα μάζας m=2 kg το οποίο ηρεμεί αρχικά στο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα παρουσιάζει συντελεστή (Ν) τριβής ολίσθησης με το επίπεδο μ=0,5. Αν g = 10 m/s 2 40 Α. Να γίνει το διάγραμμα επιτάχυνσης χρόνου. Β. Να γίνει το διάγραμμα ταχύτηταςχρόνου αν το κινητό ξεκινά από την ηρεμία. 10 20 40-10 t(s) 7
26. Στο σώμα του σχήματος μάζας m=1kg ασκούνται οι δυνάμεις 1 =10N, 2 =4N. Ξεκινώντας από την ηρεμία σε χρόνο t 1 =2sec διανύει διάστημα s=4m. Nα βρεθούν: α) αν υπάρχει τριβή και αν ναι ποίος ο συντελεστής τριβής β) η ταχύτητά του και η μετατόπισή του τη στιγμή t 2 =4 sec. (Δίνονται g=10m/sec 2, ημ=0,6, συν=0,8) (0,5, 8 m/s, 16 m ) 2 1 27. Δύο σώματα έχουν μάζες m 1 = 2 kg και m 2 = 3 kg και m συντελεστή τριβής ολίσθησης με το οριζόντιο 2 m 1 επίπεδο μ=0,5. Στο σώμα μάζας m 1 εξασκούμε οριζόντια δύναμη =40 Ν. Α) Πόση είναι η επιτάχυνση κάθε σώματος και πόση η τάση του αβαρούς και μη εκτατού νήματος που συνδέει τα δύο σώματα ; Β) Να βρείτε την ταχύτητα του συστήματος τη χρονική στιγμή t 1 =2 s. Γ)Αν την παραπάνω χρονική στιγμή κόψουμε το νήμα, ποια χρονική στιγμή θα σταματήσει το σώμα m 2 ; Δίνεται g=10m/sec 2 (3 m/s 2, 24 N) 28. Σώμα μάζας m=1 kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο (θέση Α) με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,8. Τη χρονική στιγμή t=0 στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου =10 N. Αν η απόσταση (ΑΒ) είναι 25m να υπολογίσετε: α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης και την επιτάχυνση του σώματος, β. την ταχύτητα με την οποία τάνει το σώμα στη θέση Β. γ. Στη θέση Β η δύναμη καταργείται και το σώμα κινείται κατά μήκος του λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας μέχρι να ακινητοποιηθεί στιγμιαία στη θέση Γ. Να υπολογίσετε το μέγιστο ύψος h που τάσει το σώμα από την βάση του κεκλιμένου. Δίνονται: g=10m/sec 2, ημ=0,6, συν=0,8. Γ Α Β h 8