Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Νόμοι Νεύτωνα - Δυνάμεις Εισαγωγή στην έννοια της Δύναμης Παρατηρούμε συχνά ότι κάποια σώματα γύρω μας ενώ είναι ακίνητα ή κινούνται με σταθερή ταχύτητα αρχίζουν ξαφνικά να επιταχύνουν. Από παρατήρηση επίσης ξέρουμε ότι αυτή η αλλαγή οφείλεται σε κάποια άλλο αντικείμενο εκεί κοντά που έχει επιδράσει σε αυτό. Έχουμε έτσι συσχετίσει την επιτάχυνση ενός σώματος με την επίδραση του περιβάλλοντος, ή άλλων σωμάτων, σε αυτό. Είμαστε μάλιστα τόσο εξοικειωμένοι με αυτό το γεγονός που όταν δεν είναι εμφανής η αιτία της αλλαγής αυτής την αναζητούμε. Όταν για παράδειγμα δούμε ένα μεταλλικό αντικείμενο να κινείται μόνο σε ένα τραπέζι αναζητούμε μαγνήτες κάτω από αυτό, όταν μια μπάλα αλλάζει ξαφνικά πορεία κατά την κίνηση της σε ένα επίπεδο ψάχνουμε για κάποια ανωμαλία ή ρεύμα αέρα σε εκείνο το σημείο κ.α. Για να λύσουμε το πρόβλημα του πως θα κινηθεί ένα σώμα όταν ξέρουμε το περιβάλλον του και τις ιδιότητες του ίδιου του σώματος θα χρειαστεί να μελετήσουμε τους νόμους του Νεύτωνα. Αρχικά, εισάγουμε την έννοια της δύναμης (μια ώθηση ή μια έλξη) σε σχέση με την επιτάχυνση που ασκείται στο επιλεγμένο σώμα. Η δύναμη περιγράφει την αλληλεπίδραση δύο σωμάτων ή ενός σωματιδίου και του περιβάλλοντος του. Είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που μπορεί ποσοτικά να περιγράψει το μέτρο της αλληλεπίδρασης και να δείξει και την κατεύθυνση κατά την οποία θα γίνει η μεταβολή της κίνησης.η μονάδα μέτρησης της δύναμης είναι το Ν (νιούτον), το οποίο ορίζεται από το δεύτερο νόμο του Νέυτωνα που θα δούμε στη συνέχεια. Ποιοτικά δύναμη 1Ν είναι ίση με το βάρος ενός μέσου μήλου. Το μετράμε συνήθως με ζυγούς με ελατήριο ή νεότερους ψηφιακούς. Όταν δύο ή περισσότερες δυνάμεις (F 1, F 2, F 3 κλπ) ασκούνται σε ένα σώμα τότε η συνολική δύναμη που ασκείται σε αυτό είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των επιμέρους δυνάμεων ( ή F ολ ): F 1 + F2 + F3 +... = F ολ Η ιδιότητα αυτή (επαλληλία δυνάμεων) είναι πολύ σημαντική και θα την χρησιμοποιούμε για την επίλυση των ασκήσεων όχι μόνο στην μηχανική αλλά και σε άλλα κεφάλαια της Φυσικής. Επιτρέπει επίσης και την ανάλυση μιας δύναμης σε συνιστώσες οι οποίες μπορούν για παράδειγμα να βρίσκονται πάνω στους άξονες του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων το οποίο χρησιμοποιούμε για την ανάλυση (συνιστώσες F x και F ). Γραφικά, η επαλληλία δυνάμεων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα όπου στο σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις που μπορούν να αναλυθούν σε συνιστώσες ενώ ταυτόχρονα μπορούν να αντικατασταθούν και από μια συνολική συνισταμένη δύναμη.
F 1 F 1 F 2 F 2 x F 1x F 2x x Σχήμα 1. Επαλληλία δυνάμεων ασκούμενων σε ένα σώμα. 1 ος Νόμος του Νεύτωνα Ο θεμελιώδης ρόλος της δύναμης είναι να μεταβάλλει την κινητική κατάσταση του σώματος στο οποίο ασκείται. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα λεει ότι: «Έστω ένα σώμα στο οποίο δεν επιδρά καμιά δύναμη ή το άθροισμα των δυνάμεων που επιδρούν επάνω του είναι μηδέν. Αν το σώμα είναι ακίνητο, θα παραμείνει ακίνητο. Αν το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα θα συνεχίσει να κινείται με σταθερή ταχύτητα.» Ο νόμος αυτό μπορεί να εκφραστεί και ως: «Αν το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων που επιδρούν σε ένα σώμα είναι μηδέν, τότε και η μεταβολή της ταχύτητας του θα είναι επίσης μηδενική (ή αλλιώς, ή ταχύτητα του θα παραμείνει σταθερή).» Η τάση που έχει το σώμα να παραμένει στην προηγούμενη κινητική του κατάσταση οφείλεται στην ιδιότητα της αδράνειας. Θυμηθείτε στα προηγούμενα μαθήματα την κίνηση με ασανσέρ και το πώς εμείς την αντιλαμβανόμαστε. Αυτό αισθάνεστε όταν είστε στο αυτοκίνητο και αυτό ξαφνικά μειώνει ταχύτητα ή στρίβει απότομα και νοιώθετε να κινείστε αντίθετα προς τη μεταβολή μέσα στο αυτοκίνητο (κολλάτε στην αριστερή πλευρά όταν στρίβετε δεξιά κ.ο.κ.). Το ίδιο συμβαίνει στα πιάτα όταν τραβάτε το τραπεζομάντιλο απότομα και ίσια από το τραπέζι και αυτά σχεδόν δεν κινούνται από τη θέση τους. Για το λόγο αυτό ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα συχνά εκφράζεται και ως Νόμος της Αδράνειας. Στο νόμο αυτό οφείλεται και η συμπεριφορά στο τρένο ενός εκκρεμούς. Όπου βέβαια αντί για εκκρεμές μπορούμε να έχουμε και ένα γιογιό ή γενικά κάποιο σώμα δεμένο από ένα σχοινάκι. Όταν το τρένο είναι στο σταθμό σταματημένο κρατάμε το σχοινάκι και βλέπουμε ότι το σώμα ηρεμεί σε κάποια απόσταση από το πάτωμα. Αν σημειώσουμε το σημείο στο οποίο ηρεμεί το σώμα θα δούμε ότι όταν το τρένο αρχίσει αν κινείται ή αργότερα όταν στρίβει το εκκρεμές μας θα κινείται. Όταν ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα σε ευθεία, το εκκρεμές θα είναι ακίνητο.
Σχήμα 2. Κίνηση εκκρεμούς σε τρένο. Ο πρώτος νόμος ισχύει γενικά όταν: = 0 u σταθερή 2 ος Νόμος του Νεύτωνα Τι γίνεται όμως όταν η συνολική δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα δεν είναι μηδενική; Στην περίπτωση που το σώμα ηρεμεί σε μια θέση ισορροπίας, το βλέπουμε να αρχίζει να κινείται, ενώ αν αρχικά κινούνταν τότε το μέτρο ή/και η κατεύθυνση της ταχύτητας του αλλάζει (αυξάνεται ή μειώνεται). Σε όλες τις περιπτώσεις υπάρχει ως κοινό χαρακτηριστικό το γεγονός ότι το σώμα δέχεται επιτάχυνση. Για να βρούμε τη σχέση δύναμης και επιτάχυνσης θα καταφύγουμε στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα λεει ότι: «Αν σε ένα σώμα ασκείται μη μηδενική συνισταμένη εξωτερική δύναμη τότε αυτό επιταχύνεται. Η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα ισούται με το γινόμενο της μάζας επί την επιτάχυνση του.» Η μαθηματική σχέση που μπορεί να περιγράψει αυτό το νόμο είναι η παρακάτω: Σ F = m α, όπου m είναι η μάζα του σώματος και α η επιτάχυνση του. Η σχέση αυτή είναι διανυσματική συνεπώς θα μπορούσαν τα διανύσματα αυτά να αντικατασταθούν από τα συνιστώμενα διανύσματα τους. + = + + x + z m α x α α z Δηλαδή, και επειδή οι δυνάμεις σε κάθε άξονα είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, μπορούμε να πούμε ότι ισχύει: x = mα, = mα και z = mα. x Αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση που δέχεται σε κάθε άξονα το σώμα εξαρτάται από τη συνιστώσα της δύναμης σε εκείνο τον άξονα. Η κατεύθυνση μάλιστα της επιτάχυνσης του σώματος όπως φαίνεται από τις προηγούμενες σχέσεις είναι αυτή της συνισταμένης δύναμης που ασκείται σε αυτό. z
Μάλιστα με τον τρόπο αυτό μπορούμε να δώσουμε και τον ορισμό της μάζας (ή αδρανειακής μάζας όπως λέγεται λόγω αυτού του νόμου). «Η μάζα ενός σώματος είναι εκείνο το χαρακτηριστικό που συνδέει τη δύναμη που ασκείται στο σώμα με την επιτάχυνση την οποία παρατηρούμε.» Η σχέση που περιγράφει αυτό τον ορισμό είναι η εξής: m = α Ο ορισμός της μονάδας της δύναμης προκύπτει από το δεύτερο νόμο και λεει ότι: «Δύναμη ενός Νιούτον (Ν) είναι η δύναμη εκείνη που προκαλεί επιτάχυνση ενός μέτρου ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο σε σώμα μάζας ενός χιλιόγραμμου.» Δηλαδή 1Ν=(1kgr) (1m/sec 2 )= 1kgr m/sec 2. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα επιβεβαιώνει το γεγονός που ξέρουμε εμπειρικά ότι αν ασκήσουμε μια δύναμη F τότε το σώμα υπόκειται σε επιτάχυνση α. Αν διπλασιάσουμε τη δύναμη την οποία ασκούμε τότε θα διπλασιαστεί και η επιτάχυνση του σώματος: F = m α 2F = 2m α = mα α = 2 α Επίσης αν ασκήσουμε την ίδια δύναμη σε δύο διαφορετικές μάζες τότε ο λόγος των μαζών των δύο σωμάτων θα είναι αντιστρόφως ανάλογος του λόγου των επιταχύνσεων: m α 1 2 F = m1 α 1 = m2 α 2 = m α 2 1 Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα λέγεται και δεύτερος νόμος της κίνησης ή και Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής λόγω της μεγάλης του σημασίας. Ειδικές περιπτώσεις δυνάμεων Σε αυτό το σημείο αξίζει να αναφερθούμε σε κάποιες συγκεκριμένες δυνάμεις τις οποίες χρησιμοποιούμε σε πάρα πολλά προβλήματα φυσικής και χρησιμοποιούμε μάλιστα στην καθημερινή μας ζωή. Το Βάρος Β ή W ενός σώματος είναι μια έννοια που περιγράφει τη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα από ένα κοντινό αστρονομικού μεγέθους σώμα (π.χ. στην καθημερινή μας ζωή αυτό το σώμα είναι η Γη). Η δύναμη αυτή οφείλεται στη βαρυτική έλξη μεταξύ των δύο μαζών και είναι ίση και στις δύο μάζες, απλά το δεύτερο σώμα (π.χ. η Γη) λόγω μεγέθους μάζας δεν επιταχύνεται πρακτικά (Μ Γης >>m α Γης <<α m ). Το βάρος σαν δύναμη μπορεί με απλό τρόπο να εκφραστεί από τον τύπο B = m g, όπου το m είναι η μάζα και το g=9,8m/sec 2 είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στο αστρονομικό σώμα όπου βρισκόμαστε. Συνεπώς για μια μάζα m=80kgr στη Γη είναι: B = 80kgr 9,8m/sec 2 784N Η ίδια μάζα σε ένα άλλο αστρονομικό σώμα θα ένοιωθε να της ασκείται άλλη δύναμη. Π.χ. στη σελήνη όπου g 1,6m/sec 2 :
2 B = 80kgr 1,6m/sec 130N Φυσικά ακόμα και στη Γη η τιμή της δύναμης του βάρους του ίδιου σώματος εξαρτάται από τη γεωγραφική θέση στην οποία μετράμε τη δύναμη καθώς η επιτάχυνση της βαρύτητας δεν είναι ίδια παντού αλλά μεταβάλλεται ελαφρώς. Άλλες τέτοιες δυνάμεις τις οποίες χρησιμοποιούμε καθημερινά είναι η κάθετη δύναμη, η τριβή και η τάση. Η κάθετη δύναμη, Ν, είναι η δύναμη αυτή η οποία ασκείται σε ένα σώμα το οποίο βρίσκεται πάνω (ή πρακτικά πιέζεται) σε μια επιφάνεια. Η δύναμη αυτή είναι κάθετη στην επιφάνεια. Αν για παράδειγμα ένα σώμα αφεθεί σε μια οριζόντια επιφάνεια (π.χ. τραπέζι) τότε αυτή η επιφάνεια δέχεται το βάρος του σώματος (ή και επιπλέον άλλες δυνάμεις). Η επιφάνεια ασκεί στο σώμα μια δύναμη κάθετη και προς το σώμα (π.χ. προς τα πάνω στο παράδειγμα του τραπεζιού). N B Σχήμα 3. Η κάθετη δύναμη (Ν) που ασκείται σε ένα σώμα. Αν αναλύσουμε με το δεύτερο νόμο το σύστημα μας θα δούμε ότι στο σώμα ασκείται συνολική δύναμη: mα = N mg, = οπότε αν α = 0, τότε N = mg. Η σχέση βέβαια αυτή δεν ισχύει γενικά όταν π.χ. ασκείται και τρίτη δύναμη μέσω ενός ελατηρίου ή το σώμα είναι σε κεκλιμένο επίπεδο. Η τριβή είναι μια δύναμη η οποία ασκείται σε ένα σώμα όταν αυτό προσπαθεί να ολισθήσει ή ολισθαίνει σε μια επιφάνεια. Η κατεύθυνση της είναι πάντα αντίθετη προς την φορά της κίνησης (ή της προσπάθειας για κίνηση) και κάθετη προς τη κάθετη δύναμη. Η δύναμη της τριβής συμβολίζεται συχνά με το σύμβολο f. Η τριβή χωρίζεται σε δύο κατηγορίες. Στη τριβή που αντιτίθεται στην έναρξη μιας κίνησης (το σώμα είναι ακίνητο και προσπαθεί να κινηθεί) και σε αυτή που ασκείται όταν το σώμα αρχίσει πλέον να κινείται. Έχουμε όλοι παρατηρήσει ότι όταν προσπαθούμε να σπρώξουμε ένα βαρύ αντικείμενο αυτό αρχικά δεν κινείται γιατί ασκείται η (μεγαλύτερης τιμής όπως φαίνεται και στο σχήμα) στατική τριβή, f s, ενώ από την στιγμή που θα αρχίσει να ολισθαίνει η τριβή ολισθήσεως, f κ, που ασκείται πάνω του είναι μικρότερη και άρα απαιτείται μικρότερη δύναμη για να κινηθεί. Τυπικό παράδειγμα είναι το σπρώξιμο ενός αυτοκινήτου που έχει «μείνει» ή η μετακίνηση ενός ψυγείου ή άλλου ογκώδους επίπλου.
f s f κ t Σχήμα 4. Τυπικό διάγραμμα της τιμής της τριβής ως προς το χρόνο όταν σπρώχνουμε ένα αντικείμενο. Όταν ξεπεραστεί η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής το σώμα ολισθαίνει και η τριβή παίρνει μια τιμή μικρότερη (αυτή της τριβής ολισθήσεως). Οι δυνάμεις τριβής έχουν μέτρο που εξαρτάται από την κάθετη δύναμη, Ν. Συγκεκριμένα: fs = μ sn και fκ = μκ N, όπου τα μ s και μ κ είναι οι συντελεστές στατικής τριβής και τριβής ολισθήσεως αντίστοιχα και οι οποίοι έχουν γενικά διαφορετικές μεταξύ τους τιμές. Η τάση είναι η δύναμη που ασκείται σε καλώδιο, σκοινί, αλυσίδα ή άλλο τέτοιο αντικείμενο συνδεδεμένο με ένα σώμα, είναι τεντωμένο και χρησιμοποιείται για να το έλκουμε. Η κατεύθυνση της τάσης είναι από το σώμα και κατά μήκος του καλωδίου, ενός ασκείται στο σημείο πρόσδεσης του καλωδίου με το σώμα. Η δύναμη της τάσης συμβολίζεται συχνά με το σύμβολο Τ. 3 ος Νόμος του Νεύτωνα Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα όπως είδαμε είναι αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης του με ένα άλλο σώμα. Οι δυνάμεις δηλαδή εμφανίζονται πάντα κατά ζεύγη. Όταν σπρώχνουμε κάποιον και αυτός ταυτόχρονα μας σπρώχνει. Όταν κλωτσάμε μια πέτρα η πέτρα μπορεί να φεύγει μακριά αλλά και το πόδι μας πονάει λόγω της δύναμης που ασκεί η πέτρα σε αυτό. Συνεπώς οι δυνάμεις που ασκούνται από την αλληλεπίδραση δύο σωμάτων (1 και 2) είναι πάντα ίσες κατά μέτρο και αντίθετες κατά φορά. Αυτό μας λεει ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα ο οποίος εκφράζεται ως εξής: «Για κάθε δράση υπάρχει πάντα μια αντιτιθέμενη ίση αντίδραση. Αλλιώς μπορούμε να πούμε ότι οι αμοιβαίες δράσεις δύο σωμάτων είναι πάντοτε ίσες και κατευθύνονται προς αντίθετα μέρη.» Ο νόμος αυτός είναι γνωστός και ως νόμος δράσης αντίδρασης και μαθηματικά εκφράζεται με τη σχέση: F AB = F BA, όπου τα Α και Β είναι τα δύο σώματα τα οποία ασκούν τις αντίστοιχες δυνάμεις το ένα στο άλλο. Ο νόμος αυτός εκφράζει το γεγονός ότι όποιο αντικείμενο και αν αγγίξουμε, στην ουσία μας αγγίζει και αυτό.
Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να κάνουμε όταν λύνουμε προβλήματα μηχανικής (αλλά και άλλων κεφαλαίων όπως θα δούμε αργότερα), είναι να κάνουμε ένα σωστό διάγραμμα ελεύθερου σώματος. Τι είναι το διάγραμμα ελεύθερου σώματος; Σε απλή περιγραφή θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι εκείνο το διάγραμμα όπου το σώμα είναι μόνο του (έχουμε διώξει όλο το περιβάλλον γύρω του) και υπάρχουν μόνο τα διανύσματα των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα αυτό από το περιβάλλον του και όχι αυτές που ασκεί το σώμα σε άλλα σώματα. Πρέπει συνεπώς να προσέξουμε να βάλουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα αλλά και μόνο αυτές. Δεν ενδιαφερόμαστε δηλαδή για τα ζεύγη δράσης αντίδρασης που αναφέρει ο τρίτος νόμος αλλά μόνο για μια από αυτές. Στα διαγράμματα ελεύθερου σώματος δεν μας ενδιαφέρουν οι διαστάσεις του αντικειμένου και για αυτό το συμβολίζουμε συνήθως με μια τελεία. Επιπλέον, πρέπει να προσέξουμε τη φορά των δυνάμεων και να ορίσουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων που να μας διευκολύνει στη μελέτη μας, προσέχοντας τη θετική και αρνητική φορά σε κάθε περίπτωση. Συχνά είναι βολικό να παίρνουμε τη θετική φορά του οριζόντιου άξονα την κατεύθυνση κατά την οποία το σώμα επιταχύνει (όταν τη γνωρίζουμε). Τέλος, πρέπει να προσέχουμε να μην κάνουμε λάθη και στη συνέπεια των μονάδων ενώ βοηθάει και να προσπαθούμε να διαχωρίσουμε εξ αρχής τα γνωστά από τα άγνωστα μεγέθη. Ασκήσεις 1) Έχουμε πρόβλημα στο αυτοκίνητο μας και πάμε στο συνεργείο. Ο γκαραζιέρης μας λεει ότι πρέπει οπωσδήποτε να βγάλει την μηχανή για να την κοιτάξει. Αφού κλάψουμε τα λεφτά μας παρατηρούμε ότι για να βγάλει την παλιά χρησιμοποιεί ένα σύστημα με αλυσίδες όπως στο σχήμα, το οποίο κρατάει τη μηχανή βάρους Β=2000Ν. Ποια είναι η τάση που ασκείται στις τρεις αλυσίδες; 3 60 ο 2 Τ 2 Τ 2 Τ 1 1 Τ 3 60 ο Τ 2x Τ 1 Β Σχήμα 5. Μηχανή αυτοκινήτου που κρέμεται από αλυσίδες, διάγραμμα ελεύθερου σώματος στο σημείο όπου ενώνονται οι τρεις αλυσίδες και διάγραμμα ελεύθερου σώματος στο σημείο όπου ενώνεται η αλυσίδα με το σώμα. Λύση:
Η μηχανή είναι ακίνητη οπότε: Από το διάγραμμα ελεύθερου σώματος στο σημείο όπου η μηχανή ενώνεται με την αλυσίδα είναι = 0 και άρα T 1 = B = 2000N Το σημείο όπου οι τρεις αλυσίδες ενώνονται είναι ακίνητο οπότε: Από το διάγραμμα ελεύθερου σώματος στο σημείο αυτό είναι Σ F = 0. Οπότε είναι και: x = 03 T2συνθ = T3 και και = = 0 T2ημθ T1 Αλλά η γωνία είναι θ=60 ο και T = 2000 1 N οπότε τελικά έχουμε από την επίλυση του συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους: 2000 2300 T 2 = 2300N και T 3 = 1150 N 3 1 2 2