Presented in the workshop of 14th Panhellenic Conference on Informatics (PCI 2010) at Tripoli, Greece, September, 10 12, 2010. Δημιουργία Σκαλωσιάς με τη βοήθεια των ΤΠΕ σε ένα Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας Εμμανουήλ Νικολουδάκης Λέκτορας (407/80) ΠΤΔΕ Πανεπιστήμιο Αθηνών enikoloud@primedu.uoa.gr Περίληψη Στο άρθρο αυτό παρουσιάζουμε μερικά προβλήματα που λαμβάνουν χώρα στα πλαίσια της διαδικασίας διδασκαλίας-μάθησης τόσο στην Πρωτοβάθμια όσο και στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Στη συνέχεια παραθέτουμε παραδείγματα σκαλωσιάς, που μπορεί ο δάσκαλος να δημιουργήσει με τη βοήθεια των ΤΠΕ σε ένα Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας, στο οποίο έχει γίνει σχετική πρόβλεψη «scaffolding», προκειμένου να βοηθήσει τους μαθητές, ώστε αυτοί να καταστούν ικανοί να διαχειριστούν τις καταστάσεις και να κατασκευάσουν τη νέα γνώση μόνοι τους. Λέξεις κλειδιά: ΤΠΕ, Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας, scaffolding. 1. Εισαγωγή Ένα πλήθος ενδιαφερόντων ερωτημάτων και προβλημάτων, που τίθενται από δασκάλους, ερευνητές και μαθητές, και που αφορούν, τη διαδικασία διδασκαλίας - μάθησης, προσπαθεί να απαντήσει η Διδακτική. Οι απαντήσεις δεν είναι πάντα εύκολες και τα προβλήματα και οι απόψεις για τις προτεινόμενες λύσεις πολλές φορές μοιάζουν να είναι αντικρουόμενες. Σήμερα εκτός από τα ήδη γνωστά εργαλεία των δασκάλων έχει μπει πλέον στην καθημερινότητα της πλειονότητας των δασκάλων και των μαθητών ο υπολογιστής με διάφορες μορφές χρήσης. Η αλήθεια είναι ότι όσον αφορά τη διδασκαλία οι απόψεις διίστανται ακόμη. Συγκεκριμένα πολλοί δάσκαλοι και ερευνητές πιστεύουν ότι με τις ΤΠΕ μπορούμε να βοηθήσουμε αποτελεσματικά κάποιες ομάδες μαθητών, αλλά κάποιοι άλλοι έχουν διαφορετική άποψη. Διαφορετικές απόψεις μάλιστα για τη χρήση των ΤΠΕ υπάρχουν ακόμη και ανάμεσα σε αυτούς που πιστεύουν ότι με τις ΤΠΕ μπορούμε να βελτιώσουμε τη διδασκαλία.
Εμείς περιοριζόμενοι στα πλαίσια του παρόντος άρθρου θα εξετάσουμε κάποιες δυσκολίες, που εμφανίζονται σε δασκάλους, ερευνητές και μαθητές και θα αναφέρουμε κάποια παραδείγματα χρήσης των ΤΠΕ προκειμένου να δημιουργήσουμε σκαλωσιά που θα βοηθήσει τους μαθητές κατά τη διδασκαλία ενός γνωστικού αντικειμένου. Υπάρχει η άποψη, και πολύ σωστά μάλιστα, ότι η Διδακτική δεν δίνει συνταγές, ωστόσο κάποιες κατευθυντήριες γραμμές, που μπορούν να βοηθήσουν τους δασκάλους να «γεννήσουν» νέες ιδέες προκειμένου να αντιμετωπίσουν μία κατάσταση αποτελούν μία σημαντική προσφορά από τη μεριά της Διδακτικής στον δάσκαλο. Τη δημιουργία της σκαλωσιάς την έχουμε τοποθετήσει όχι τυχαία αλλά στις Υπομνήσεις, δηλ. το ένα μέρος από τα τρία που αποτελείται ένα Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας, του οποίου μια σύντομη περιγραφή κάνουμε πιο κάτω. 1.1 Δυσκολίες και Μαθηματικά Οι δυσκολίες που εμφανίζονται στα μαθηματικά, τόσο κατά την ανάπτυξη της επιστήμης των μαθηματικών, όσο και κατά την μάθηση του μαθήματος ξεκινούν από το μακρινό παρελθόν της αρχαιότητας, ως δυσκολίες που εμφανίστηκαν στην Ευκλείδεια Γεωμετρία και την Αριθμητική και φτάνουν μέχρι σήμερα ως δυσκολίες που εμφανίζονται κατά την ανάπτυξη και κατά την μάθηση των σύγχρονων κλάδων των μαθηματικών. Τις δυσκολίες αυτές, που είναι διαφόρων ειδών, αν προσπαθήσουμε να τις κατηγοριοποιήσουμε, αρχικά θα πρέπει να διακρίνουμε δύο σημαντικές κατηγορίες. Αυτές που αφορούν τους ερευνητές και αυτές που αφορούν τους μαθητές. Όσον αφορά αυτές τις δύο κατηγορίες, πολύ αργότερα, οι δυσκολίες αυτές κλήθηκαν από τον Bachelard (1938), εμπόδια, τα οποία διακρίνονται σε τρία είδη: τα επιστημολογικά, τα γνωστικά και τα διδακτικά. Εν τάχη θυμίζουμε ότι τα Επιστημολογικά εμπόδια έχουν σχέση με την ιστορία και την εξέλιξη των επιστημών και σύμφωνα με τον Bachelard έχουν σχέση με την διαδικασία ανάπτυξης της γνώσης και είναι έμφυτα στην ίδια τη γνώση [Bachelard, (1938)]. Η ιστορία των μαθηματικών αποτελεί ένα ανθολόγιο από πολυάριθμες «στιγμές» σύγκρουσης μεταξύ παλαιών πεποιθήσεων και νέων ιδεών, αποτελεί τη βάση των επιστημολογικών εμποδίων και μπορούν να εντοπιστούν από τις δυσκολίες που απαντώνται ιστορικά από τους ίδιους τους μαθηματικούς και τις προσπάθειες να τα υπερνικήσουν, πράγμα που έκανε τον Bachelard να προτείνει να σκεφτούμε την επιστήμη περισσότερο με όρους ρήξης (rupture) παρά με όρους συνέχειας (continuite). Τα Γνωστικά εμπόδια είναι το αντίστοιχο των Επιστημολογικών εμποδίων στο ατομικό επίπεδο και κατά συνέπεια όταν γίνεται αναφορά στους μαθητές χρησιμοποιούμε τον όρο Γνωστικά εμπόδια. Η έννοια του γνωστικού εμποδίου έχει ενδιαφέρον να μελετηθεί, ώστε να βοηθήσει να προσδιοριστούν οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές κατά τη μαθησιακή διαδικασία και να καθοριστούν
κατάλληλες στρατηγικές για τη διδασκαλία. Χρησιμοποιώντας την ιστορική ανάπτυξη της συνάρτησης για παράδειγμα, έχει διαπιστωθεί ότι ένα επιστημολογικό εμπόδιο, που οι μαθητές πρέπει να υπερνικήσουν, είναι η έννοια της συνάρτησης ως έκφραση, ακριβώς όπως συνέβη με τον Euler (Sierpinska, 1992). Τα Διδακτικά εμπόδια προκύπτουν από τη φορμαλιστική διδασκαλία, καθώς από την μετωπική παραδοσιακή διδασκαλία, όπου συνήθως δεν δίνεται η ευκαιρία στο μαθητή να συνδέσει τις νέες έννοιες με την υπάρχουσα γνώση με αποτέλεσμα αυτή η ασυνέχεια να αποτελεί πηγή πολλών εμποδίων. Επίσης μερικές φορές διδακτικά εμπόδια προκύπτουν από τη διδακτική μεταφορά, δηλ. κατά την παρουσίαση ενός σύνθετου θέματος που συνήθως εκλογικεύεται με βάση αρχές όπως από το απλό στο σύνθετο ή από το μερικό στο γενικό κ.λπ., με αποτέλεσμα να προκαλούνται πρόσθετα εμπόδια διδακτικού τύπου. Αλλά εκτός από τα εμπόδια ένα άλλο είδος που κάνει τους μαθητές να δυσφορούν με τα μαθηματικά αφορά τη δυσκολία που αντιμετωπίζουν στο να κάνουν αποδείξεις [Chazan, (1993) ]; [Martin et.al (1989)]; [Senk, (1989)]; [Senk, (1985)]; [Senk, (1982)]; [Usiskin (1982)]; [Herbst (2002)]; [Harel et.al 2007]; [Weber (2003)]; [Polya, (1945)]; [Koedinger et.al (1990)]; [Tall, (1989)]; [Hoffer, (1981)] και μάλιστα σύμφωνα με τον [Balacheff, (1988)] σε διεθνές επίπεδο. Επιπλέον μελέτες, σε διεθνές επίπεδο, για την Ευκλείδεια Γεωμετρία δείχνουν ότι οι μαθητές παρουσιάζουν προβλήματα κατανόησης των εννοιών του μαθήματος, τονίζοντας ότι κάποιες δυσκολίες παρουσιάζουν από τη φύση τους κάποια από τα διδασκόμενα γνωστικά αντικείμενα των μαθηματικών, όπως είναι η έννοια της απόλυτης τιμής και η έννοια του διανύσματος. Η λογική ότι δύο αντικείμενα που δεν είναι ίσα είναι άνισα ανθίσταται σθεναρά στην άποψη ότι άνισα αντικείμενα μπορεί να έχουν ίσα μέτρα, όπως συμβαίνει με τα αντίθετα διανύσματα. Επιπλέον ο ορισμός του μέτρου του διανύσματος, που απαιτεί την έννοια της απόλυτης τιμής, που επίσης αποτελεί αντικείμενο μελέτης λόγω του ενδιαφέροντος που παρουσιάζει η ίδια η έννοια του απολύτου έχει απασχολήσει αρκετούς Έλληνες και ξένους ερευνητές [Γαγάτσης κ.α., (1994)]; [Demetriadou et.al, (2003)]. Επίσης, ο ρόλος του σχήματος, που ενώ σχεδιάζεται με σκοπό να διευκολύνει τους μαθητές στο να παράγουν σκέψεις που θα τους οδηγήσουν στην λύση ενός προβλήματος, αυτό δεν συμβαίνει πάντα, τόσο εξ αιτίας του στατικού χαρακτήρα του σχήματος, όσο και του γεγονότος ότι ένα σχήμα «δεν είναι μόνον ένα σχήμα» αλλά κρύβει μέσα του πολλά σχήματα, πράγμα και πολλές φορές δυσκολεύει αντί να διευκολύνει το μαθητή [Dimakos et.al, (2009)]. Επίσης ο δυισμός ορισμού και ακρίβειας παραδείγματος σχήματος κάνει τα πράγματα ακόμη πιο δύσκολα, αφού τα κυρίως πρωτοτυπικά (ή τυπικά παραδείγματα), που χρησιμοποιούνται ως παραδείγματα δεν είναι αντιπροσωπευτικά της κλάσης των σχημάτων που προσδιορίζει ο ορισμός [Lemonidis, (1997)]. Ένα σύγχρονο και για την χώρα μας πλέον πρόβλημα, το οποίο έρχεται να προστεθεί και μάλιστα με έμφαση είναι το πρόβλημα των μεταναστών, που σύμφωνα με την Τρέσσου (2007) η Ελλάδα αντιμετωπίζει από τη δεκαετία του 90.
Συγκεκριμένα τα παιδιά ενός πολυπολιτισμικού περιβάλλοντος, όπως των μειονοτήτων, που εκ των πραγμάτων δεν είναι εφοδιασμένα με τις κατάλληλες δεξιότητες και ιδιαίτερα με τις γλωσσικές έχουν ως αποτελέσματα τη χαμηλή επίδοση όχι μόνο στη γλώσσα αλλά και στα μαθηματικά. Μάλιστα σύμφωνα με τη Σταθοπούλου (2009) μαθητές με διαφορετικές πολιτισμικές και γλωσσικές καταβολές είναι πιθανόν να αντιμετωπίζουν δυσκολίες σε μια σειρά από θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά, όπως είναι η γλώσσα των Μαθηματικών, ενώ η [Τρέσσου, (1970:13)] αναφέρει: Τα μαθηματικά ένα δύσκολο μάθημα για πολλά παιδιά, είναι ακόμη πιο δύσκολο για τα παιδιά των γλωσσικών μειονοτήτων, γιατί στις γνωστικές απαιτήσεις του περιεχομένου τους προστίθενται γλωσσικές απαιτήσεις για την επικοινωνία του. Αξίζει τέλος να σημειώσουμε ότι δυσκολίες φαίνεται να παρουσιάζουν οι μαθητές καθώς μεταβαίνουν από μια βαθμίδα της εκπαίδευσης στην επόμενη ένεκα δυσκολιών που σε ένα μεγάλο βαθμό οφείλονται στο γεγονός ότι εισάγονται σε ένα καινούργιο χώρο με δικό του συμβολικό σύστημα γραφής και διαφορετικό τρόπο σκέψης, που παρά τις ομοιότητες που μπορεί να εμφανίζει με ήδη κεκτημένες γνώσεις από την προηγούμενη βαθμίδα παρουσιάζει όμως και σημαντικές διαφορές. Για παράδειγμα ο Λεμονίδης αναφέρει ότι κατά την εισαγωγή τους οι μαθητές στον αλγεβρικό τρόπο σκέψης διαθέτουν πολλές γνώσεις και μεθόδους από την αριθμητική, η οποία έχει αρκετά κοινά στοιχεία με την άλγεβρα αλλά και αρκετές διαφορές [Λεμονίδης, (1996)], ενώ η Nardi αναφέρει ότι κατά τη μετάβαση από την Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση στην Τριτοβάθμια οι φοιτητές αντιμετωπίζουν διάφορα προβλήματα τουλάχιστον για μια αρχική περίοδο της επόμενης βαθμίδας, την οποία μάλιστα θεωρεί κρίσιμη [Nardi (1997)]. 1.1 Το Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ) Ένα άλλο αντικείμενο που θα χρειαστούμε στην παρούσα εργασία είναι το Δομημένης Μορφής Φύλλο Εργασίας (ΔΜΦΕ), το οποίο θα συζητήσουμε αμέσως τώρα. Το ΔΜΦΕ δημιουργήθηκε προκειμένου να υλοποιηθεί το Μοντέλο των p-m Συνδυασμών [Nikoloudakis, (2009)] που σε πρώτη φάση χρησιμοποιήθηκε για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας σε μαθητές της Α τάξεως του Λυκείου. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό συνδυάσαμε τις φάσεις της Θεωρίας van Hiele (1986) με τις μεθόδους της Γνωστικής Μαθητείας [Collins et.al., 1989];[Collins et.al., 1991]. Συγκεκριμένα συνδυάσαμε [Nikoloudakis, (2009)]: τη φάση της Πληροφόρησης της θεωρίας van Hiele συνδυάστηκε με τη μέθοδο της Επίδειξης του Μοντέλου της Γνωστικής Μαθητείας τη φάση του Περιορισμένου Προσανατολισμού του van Hiele συνδυάστηκε με τη μέθοδο της Καθοδήγησης του Μοντέλου της Γνωστικής Μαθητείας
τη φάση της Αποσαφήνισης του van Hiele συνδυάστηκε με τη μέθοδο της Σαφήνειας του Μοντέλου της Γνωστικής Μαθητείας τη φάση -4 του Ελεύθερου προσανατολισμού (ή Εξερεύνησης) του van Hiele συνδυάστηκε με τη μέθοδο της Εξερεύνησης του Μοντέλου της Γνωστικής Μαθητείας τη φάση -5 της ολοκλήρωσης του van Hiele συνδυάστηκε με τη μέθοδο του Αναστοχασμού του Μοντέλου της Γνωστικής Μαθητείας Όλες οι φάσεις συνδυάστηκαν με τη μέθοδο της Παροχής Υποστηριγμάτων. Το ΔΜΦΕ μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης. αποσκοπεί στον αποκλεισμό μιας παραδοσιακού τύπου διδασκαλίας, στην ενεργοποίηση και στη συμμετοχή των μαθητών στη διαδικασία διδασκαλίας μάθησης και στην καλύτερη επικοινωνία μεταξύ των συμμετεχόντων στην εν λόγω διαδικασία [Nikoloudakis, (2009)]. Η δομή του στηρίζεται σε τέσσερις αρχές - άξονες δομής: 1. της μη μεταφοράς της πληροφορίας 2. της κινητοποίησης 3. της αναγκαιότητας των ορισμών και θεωρημάτων 4. των υπομνήσεων και των διαδοχικών βημάτων και αποτελείται από τρία μέρη-ενότητες: τις Υπομνήσεις, τη Διαδικασία και την Αξιολόγηση Οι Υπομνήσεις, το πρώτο μέρος, έχει σκοπό αφ ενός να κινητοποιήσει τους μαθητές και αφ ετέρου να βοηθήσει τους μαθητές μέσω των υπομνήσεων και δημιουργίας σκαλωσιών να συμμετέχουν ενεργά στη διαδικασία διδασκαλίας μάθησης. Είναι το σημείο στο οποίο εστιάζουμε πιο κάτω στην παρούσα εργασία Το δεύτερο μέρος αποτελεί η Διαδικασία. Οι μαθητές εργαζόμενοι ομαδοσυνεργατικά στα πλαίσια της Ζώνης της Επικείμενης Ανάπτυξης του Vygotsky (ZPD), θα κατασκευάσουν ενεργά τη γνώση τους μέσω κατάλληλα προετοιμασμένων δραστηριοτήτων. Ιδιαίτερη θέση στη Διαδικασία έχει ο Πίνακας Ελέγχου Συλλογισμού της Αποδεικτικής Διαδικασίας- ΠΕΣΑΔ. (Dimakos, et.al., 2007). Σκοπός του ΠΕΣΑΔ είναι να βοηθηθούν οι αρχάριοι μαθητές στο να μάθουν να κάνουν απλούς συλλογισμούς, μέχρι τελικά να κάνουν αποδείξεις. Το τρίτο μέρος, η Αξιολόγηση περιλαμβάνει τον Τελικό Αναστοχασμό, την Εφαρμογή και την Κατασκευή. Στον Τελικό Αναστοχασμό ζητείται από τους μαθητές η περιγραφή του γνωστικού αντικειμένου που διδάχτηκαν (π.χ. περιγράψτε με λίγα λόγια από το τηλέφωνο, στον συμμαθητή σας, που έλειπε από την τάξη, τι μάθατε σήμερα). Με την Εφαρμογή ζητείται από τους μαθητές να λύσουν ένα απλό πρόβλημα στο γνωστικό αντικείμενο που διδάχτηκαν και με την Κατασκευή ζητείται από τους μαθητές να κατασκευάσουν ένα δικό τους πρόβλημα και να ζητήσουν τη λύση από τους συμμαθητές τους.
2. ΤΠΕ και αντιμετώπιση προβλημάτων Σύμφωνα με τον [Bouvier, (1989)] κανείς δεν πρέπει να αποκλείει από το μαθητή το δικαίωμα στο λάθος, αλλά αυτό δεν σημαίνει πώς, αν σαν δάσκαλοι μπορούμε να βοηθήσουμε τους μαθητές μας να αποφεύγουν να κάνουν λάθη, να κατανοούν πιο εύκολα και σε μεγαλύτερο βάθος τις νέες έννοιες που τους διδάσκουμε και γενικότερα να τους βοηθήσουμε δεδομένης της σύγχρονης Τεχνολογίας, δεν θα πρέπει οι μαθητές από μικρή ηλικία, δηλ. από την Πρωτοβάθμια Εκπαίδευσή τους να μην μπαίνουν στα πλαίσια της κριτικής σκέψης την οποία θα συνεχίσουν να αναπτύσσουν αργότερα και ως μαθητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης αλλά και ως σπουδαστές των ανωτάτων σχολών. Σήμερα μάλιστα η Δια Βίου Μάθηση γίνεται γενεσιουργός αιτία για έρευνα στη Διδακτική σε οποιοδήποτε ηλιακό στάδιο του ανθρώπου με αρκετά οφέλη για αυτόν. Η χρήση του υπολογιστή στην διαδικασία διδασκαλίας - μάθησης δεν θα πρέπει να ιδωθεί ως η χρήση ενός τεχνολογικά προηγμένου εργαλείου και συγχρόνως ενός συμβατικού μέσου διδασκαλίας ανάμεσα στα άλλα που υπάρχουν, αλλά ως μέσο από τη χρήση του οποίου ο δάσκαλος πρέπει να προσδοκά ουσιαστικότερες αλλαγές στη φύση της παραδοσιακής διδασκαλίας και στη γενικότερη σχολική κουλτούρα της σύγχρονης διδασκαλίας και μάθησης με στόχο τη γνωστική ανάπτυξη του μαθητή, την σύγχρονη από ψυχοκοινωνικής άποψης μαθησιακή διαδικασία, τον ουσιαστικό ρόλο του δάσκαλου, του σχολείου και του εκπαιδευτικού συστήματος της χώρας, από το οποίο άλλωστε θα εξαρτηθεί η μετασύγχρονη εποχή. Ωστόσο, παρά τις προσπάθειες επιμόρφωσης που γίνονται στις ΤΠΕ οι [Ράπτης et.al., (1999)] όπως αναφέρουν διαπιστώσαν ότι πολλοί καθηγητές μέσης εκπαίδευσης αλλά και εκατοντάδες δάσκαλοι με τους οποίους ήλθαν σε επαφή στο πλαίσιο του προγράμματος αναβάθμισης των σπουδών των εν ενεργεία δασκάλων διετούς φοίτησης, ότι εκτός ότι δεν γνωρίζουν τη χρησιμότητα του υπολογιστή στην διαδικασία διδασκαλίας μάθησης δεν γνωρίζουν επίσης το πόσο ο υπολογιστής μπορεί να ευνοήσει την επιδίωξη προωθημένων μαθησιακών στόχων, την εφαρμογή σημαντικών παιδαγωγικών αρχών και την υιοθέτηση καινοτόμων μεθόδων διδασκαλίας. Στην εισαγωγή αναφερθήκαμε σε δύο σημαντικά σημεία για το παρόν άρθρο. Πρώτον αναφερθήκαμε σε κάποια προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι ενασχολούμενοι με τα μαθηματικά και δεύτερον εν τάχη υπενθυμίσαμε τι είναι το ΔΜΦΕ. Τώρα θα αναπτύξουμε πώς μπορούμε στο πρώτο μέρος του ΔΜΦΕ, τις υπομνήσεις, να βοηθήσουμε τους μαθητές να υπερβούν τα πιο πάνω προβλήματα προκειμένου να τους διδάξουμε κάποιο γνωστικό αντικείμενο. 2.1 Ο ρόλος της «σκαλωσιάς»
Ο ρόλος της «σκαλωσιάς» είναι πολύ σημαντικός από όποια θεωρία μάθησης κι αν χρησιμοποιηθεί. Όταν μάλιστα ο δάσκαλος εμπλέκει στη διαδικασία διδασκαλίαςμάθησης και τον υπολογιστή τότε η προσφορά της σκαλωσιάς μπορεί να προσφέρει ακόμη και στην περίπτωση της παραδοσιακής διδασκαλίας. Μάλιστα σε ένα λογισμικό, το οποίο παρουσίασαν οι [Νικολουδάκης και Χουστουλάκης, (2007)] ο μαθητής μπορεί να επιλέξει τον τρόπο διδασκαλίας του μεταξύ τριών τρόπων που αντιστοιχούν σε κονστρουκτιβιστικές, σε κοινωνικογνωστικές και παραδοσιακού τύπου θεωρίες. Οι [Johnson, Johnson and Stanne, (1995)] μετά από έρευνες πάνω στην συνεργατική μάθηση με τις ΤΠΕ κατέληξαν στα ακόλουθα συμπεράσματα: 1. Η υποβοηθούμενη από υπολογιστή συνεργατική μάθηση προάγει ψηλότερη ποσότητα και ποιότητα καθημερινής επίτευξης, μεγαλύτερη ικανότητα τεκμηριωμένης μάθησης καθώς και καλύτερη ικανότητα να χρησιμοποιούν οι μαθητές τις γνώσεις τους στην επίλυση προβλημάτων. 2. Οι συνεργατικές ομάδες είναι πιο γρήγορες και πιο ακριβείς από τις ατομικιστικές και ανταγωνιστικές ομάδες. 3. Οι μαθητές χρειάζονται λιγότερη βοήθεια από τον δάσκαλο. Προτεινόμενη δε οργάνωση της υλοποίησης δραστηριοτήτων εκπαιδευτικού λογισμικού είναι η μελέτη σε ομάδες δύο ή τριών μαθητών, καθώς έτσι επενδύουν στην ομαδική μελέτη, στη συζήτηση πολύπλοκων ιδεών ή δύσκολων βημάτων και στην επεξεργασία προτεινόμενων θεμάτων [Βλάμος, κ.α., (1999)]. Άλλωστε, σύμφωνα με τον Τριλιανό (2002) οι περισσότεροι μαθητές νιώθουν μεγάλο ενθουσιασμό, όταν εμπλέκονται σε μαθησιακές δραστηριότητες οι οποίες τους επιτρέπουν να αλληλεπιδρούν και να επικοινωνούν με τους συμμαθητές τους. Ακόμη ο Ausubel (1963) χαρακτηρίζει τους προκαταβολικούς οργανωτές ως «νοητική σκαλωσιά» της νέας γνώσης και δεν τον ενδιαφέρει αν η γνώση αποκτάται με ανακάλυψη ή λαμβάνεται έτοιμη. Ωστόσο, εμείς θεωρούμε ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους προκαταβολικούς οργανωτές ως νοητική σκαλωσιά, αλλά να δημιουργήσουμε συνθήκες ανακάλυψης της γνώσης στο μαθητή, ώστε εργαζόμενος ο ίδιος στα πλαίσια μιας ομάδας να ανακαλύψει μόνος του τη γνώση που θέλουμε να του διδάξουμε. Δηλαδή για μας ο προκαταβολικός οργανωτής είναι απαραίτητος όχι για να προσφερθεί έτοιμη η γνώση, αλλά για να ανακαλυφτεί από το μαθητή. Για παράδειγμα, αν ο εκπαιδευτικός χρησιμοποιήσει το λογισμικό CmapTools, προκειμένου να δημιουργήσει προκαταβολικούς οργανωτές, οι οποίοι και θα τον διευκολύνουν στην εννοιολογική διδασκαλία, αυτό δεν θα το κάνει ο ίδιος, αλλά κάθε ομάδα μαθητών η οποία και θα εμπλουτίζει κατάλληλα τους εννοιολογικούς χάρτες, π.χ. με εικόνες και άλλο υλικό. Πρέπει να σημειώσουμε ότι η χρήση εννοιολογικών χαρτών και εν γένει διαγραμμάτων προάγει τη συμμετοχή και τη συλλογική μάθηση, ενώ αυξάνει τη μαθησιακή ετοιμότητα κατά την διδασκαλία ενός γνωστικού αντικειμένου. Στην περίπτωσή μας η διαδικασία λαμβάνει χώρα με τη βοήθεια του δασκάλου, αλλά με το δάσκαλο να κινείται στα πλαίσια μιας κατάλληλης θεωρίας, όπως είναι το Μοντέλο των p-m Συνδυασμών [Nikoloudakis, (2009)]; [Nikoloudakis
et al. (2009)] ή τη θεωρία των Διδακτικών Καταστάσεων [Brousseau, (1997)], δηλ. θεωρίες που επιτρέπουν την παρέμβαση του δασκάλου μέχρις ενός σημείου αφήνοντας έτσι χώρο στο μαθητή να ανακαλύψει και να κατασκευάσει τη νέα γνώση μόνος του. 2.2 Μερικά παραδείγματα «σκαλωσιάς» Δεν θα περιοριστούμε στα προαναφερθέντα προβλήματα στην εισαγωγή του άρθρου, τα οποία επισημάναμε ως προσφερόμενα για χρήση σκαλωσιάς, αλλά θα αναφέρουμε μερικά γενικά παραδείγματα. Σε όλα τα παραδείγματα θα χρησιμοποιήσουμε μαθησιακά αντικείμενα [Willey, (2000)]; [Nikoloudakis et.al, (2009)]. Το πρώτο παράδειγμα αφορά παιδιά της προσχολικής ηλικίας, από το δεύτερο και έπειτα τα παραδείγματα αφορούν την Πρωτοβάθμια και την Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, δηλ. μπορούν να χρησιμοποιηθούν προκειμένου να δημιουργήσουν σκαλωσιές τόσο σε μαθητές του Δημοτικού Σχολείου όσο και σε μαθητές του Γυμνασίου, χωρίς αυτό να απαγορεύει τη χρήση τους και σε μεγαλύτερη τάξη. Σημειώνουμε ότι η χρήση τους στο ΔΜΦΕ θα περιοριστεί στο μέρος των υπομνήσεων και έχει σκοπό να διευκολύνει την περαιτέρω διαδικασία διασκαλίας-μάθησης, τονίζοντας μάλιστα ότι η χρήση του ΔΜΦΕ δεν περιορίζεται σε κάποια από τις βαθμίδες της εκπαίδευσης, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε όλες. Παράδειγμα 1 Τα παιδιά της προσχολικής ηλικίας μπορούν να παίξουν και να μάθουν χρήσιμα για την ηλικία τους πράγματα, όπως αριθμούς, χρώματα, αντικείμενα που τα περιβάλλουν και τη χρησιμότητά τους ή το πώς μπορούν να αποφεύγουν διάφορους κινδύνους, όπως της φωτιάς καθώς και τι σημαίνει η σήμανση των φαναριών. Η κατασκευή του μαθησιακού αντικειμένου που θα χρησιμοποιηθεί μπορεί να είναι ένα animated flash, που δίνει την ευκαιρία στα παιδιά να παρατηρήσουν την αλλαγή των χρωμάτων, ενώ οι κατάλληλες ερωτήσεις του ΔΜΦΕ θα μάθουν το παιδί τη σημασία της σήμανσης των φαναριών και τη στάση που πρέπει το ίδιο να μάθει να ακολουθεί. Παράδειγμα 2
Οι μαθητές παίζοντας με ένα Puzzle ή σκάκι στην οθόνη του υπολογιστή μπορεί να εισαχθούν στην έννοια των συντεταγμένων πολύ πριν ακόμη τη διδαχθούν επίσημα, δηλ. πριν τη διδαχθούν όπως ορίζει το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών. Δεν είναι ανάγκη να το κατασκευάσει ο διδάσκων, αλλά γράφοντας απλά «Puzzle on line» ή «chess on line» στη γραμμή αναζήτησης μια ποικιλία από παιχνίδια puzzle ή σκακιού αντίστοιχα εμφανίζονται στην οθόνη δίνοντας στο δάσκαλο την ευκαιρία να επιλέξει το καταλληλότερο λαμβάνοντας υπόψη του το σκοπό και τους στόχους του μαθήματος, τις ανάγκες αλλά και τα χαρακτηριστικά του μαθητή. Παράδειγμα 3 Οι μαθητές μπορεί να σχηματίσουν την έννοια κωνικών τομών, να τις διακρίνουν και να τις ονοματίζουν ακόμη και πριν καν τις διδαχθούν. Αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με κατάλληλες animated εικόνες, όπως π.χ. την τροχιά ενός κομήτη. Η κατάσταση αυτή αιτιολογείται απόλυτα από τη θεωρία επιπέδων γεωμετρικής σκέψης του van Hiele [van Hiele (1986)], γιατί ως τέτοια διαδικασία αντιστοιχεί στο πρώτο επίπεδο van Hiele το Επίπεδο Αναγνώρισης (Recognition level) ή Οπτικοποίησης (Visualisation level). Το βασικό αυτό επίπεδο της αναγνώρισης χαρακτηρίζεται από μία ολική (Gestalt) αντίληψη των γεωμετρικών αντικειμένων ως ολότητες. Συγκεκριμένα οι μαθητές στο επίπεδο αυτό μπορούν να διατηρήσουν το αντικείμενο, εν προκειμένω την εικόνα, χωρίς να βλέπουν τα μέρη του αντικειμένου και χωρίς να αντιλαμβάνονται τις σχέσεις μεταξύ των συνθετικών μερών του αντικειμένου, πράγμα που άλλωστε δεν χρειάζονται αυτή τη στιγμή. Η σκαλωσιά, όμως, έχει δημιουργηθεί, ώστε, όταν ο μαθητής χρειαστεί να διδαχθεί την αντίστοιχη έννοια π.χ. της παραβολής της υπερβολής κ.λπ., αυτή θα υπάρχει ήδη στο μυαλό του μεταξύ άλλων αντικειμένων από τα οποία θα χρειαστεί να την ανακαλέσει, δηλ. έτσι θα λειτουργήσει ως προκαταβολικός οργανωτής δηλ. ως σκαλωσιά. Παράδειγμα 4 Όπως αναφέρθηκε πιο πάνω τα γνωστικά αλλά και διδακτικά εμπόδια αποτελούν σημαντικό πρόβλημα για τους μαθητές, οι οποίοι πρέπει να τα υπερβούν. Η τεχνολογία σήμερα μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να κάνουν αυτήν την
υπέρβαση. Οι Yerushalmy και Chazan (1990) υποστηρίζουν ότι με τη χρήση του Geometric Supposer οι μαθητές βοηθούνται να ξεπεράσουν κάποια οπτικά εμπόδια στη γεωμετρία. Η υπέρβαση της στατικότητας του σχήματος και η αντικατάστασή της από ένα δυναμικό και ακριβές σχήμα στη διεπιφένεια του υπολογιστή δίνει την ευκαιρία δημιουργίας προκαταβολικών οργανωτών, δηλ. σκαλωσιών, που θα τους χρησιμοποιήσει ακόμη και στην υπέρβαση εμποδίων, όπως για παράδειγμα είναι το σύνηθες λάθος των μαθητών (α+β) 2 = α 2 +β 2. Παράδειγμα 5 Με τη στερεομετρία οι μαθητές μπορούν να αναπτύξουν τις αντιληπτικές τους ικανότητες και να ασκήσουν τη φαντασία τους σε θέματα του χώρου των τριών διαστάσεων. Ιδιαίτερο ρόλο παίζουν κατάλληλα ανοικτά προβλήματα, όπως για παράδειγμα: να βρεθεί τι σχήμα θα προκύψει, αν από ένα κώνο αφαιρέσω ένα μέρος του. Η αντίληψη του αναπτύγματος ενός στερεού προϋποθέτει την γνώση των επιπέδων σχημάτων. Ωστόσο ο σχεδιασμός τρισδιάστατων αντικειμένων και εν προκειμένω στερεών σχημάτων στο δισδιάστατο χώρο π.χ. στον πίνακα ή σε ένα κομμάτι χαρτί, από την άποψη τουλάχιστον της προοπτικής, παρουσιάζουν μεγαλύτερη δυσκολία, ιδιαίτερα για τους μαθητές της Πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, από ότι ο σχεδιασμός επιπέδων σχημάτων σε δισδιάστατο χώρο [Νικολουδάκης, κ.α., (2010)]. Ο υπολογιστής εν προκειμένω μπορεί να βοηθήσει ικανοποιητικά σε αυτή την κατεύθυνση. Με ένα κατάλληλο λογισμικό ο δάσκαλος μπορεί να δημιουργήσει εμπειρίες που θα αποτελέσουν σκαλωσιές για τους μαθητές. Οι αναπαραστάσεις και ιδιαίτερα τα DGS 1, δηλ. όπως αυτές που εισάγουν λογισμικά όπως το Cabri αποτελούν ένα ιδιαίτερο είδος εικόνων που μπορούν να συρθούν και να αλλάξουν κάτω από την επίδραση του συρσίματος. Με άλλα λόγια δημιουργείται ένα «εργαλείο σημειωτικής διαμεσολάβησης».από την προοπτική του Vygotsky [Mariotti, (2003)]. Παράδειγμα 6 Είναι γνωστή η ταλαιπωρία της έννοιας της συνάρτησης και των συναφών με αυτήν εννοιών μέχρις ότου καταλήξουμε στο γνωστό ορισμό. Ωστόσο οι απεικονίσεις είναι πολύ βασικό στοιχείο των Μαθηματικών, γιατί σύμφωνα με τον [Βουγιουκλή, (2008)] είναι αυτό το οποίο δίνει «κίνηση» στα Μαθηματικά. Η διδασκαλία της συνάρτησης μπορεί να γίνει με φυσιολογικό τρόπο, αφού πρώτα δημιουργήσουμε τις κατάλληλες σκαλωσιές, εκκινώντας από την πρωτοβάθμια εκπαίδευση με μαθησιακά αντικείμενα, που για την αντίστοιχη εκπαιδευτική βαθμίδα μπορεί να είναι παιχνίδια αντιστοίχισης, τα οποία μάλιστα ο δάσκαλος μπορεί πολύ εύκολα να βρει σε αποθήκες μαθησιακών αντικειμένων ή και να τα αναζητήσει απλά στο Διαδίκτυο. 1 Η ακόλουθη παρατήρηση αφορά τύπους λογισμικών που μοιράζονται με Cabri το γενικό χαρακτηριστικό γνώρισμα του drag mode παραδείγματος χάριν το Sketchpad ή Geometric Supposer.
Αναφορές Ausubel D. P. (1963), The Psychology of Meaningful Verbal Learning. Grune and Stratton: New York. Bachelard, G. (1938). La Formation de l esprit Scientifique, J. Vrin., Paris, France. Balacheff, N. (1988). A study of pupil's proving processes at the junior high school level. Paper presented at the 66th Annual Meeting of the National Council of Teachers of Mathematics, U.S.A. Βλάμος, Π., Βλάμου E., Δημάκος Γ., (1999). Αρχές Δημιουργίας Δραστηριοτήτων Εκπαιδευτικού Λογισμικού. Πρακτικά 4ου Πανελλήνιου Συνεδρίου με Διεθνή Συμμετοχή Διδακτική των Μαθηματικών & Πληροφορική στην Εκπαίδευση. Ρέθυμνο. Βουγιουκλής, Θ. (2008). Το «άπειρο» των πρώτων αριθμών. Μια νέα απόδειξη. Μαθηματική Επιθεώρηση, ΕΜΕ Bouvier, A. (1989). Δικαίωμα στο λάθος, Ευκλείδης Γ, (1988), 21. Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in Mathematics. Kluwer academic publishers. Chazan, D. (1993). High school geometry students justification for their views of empirical evidence and mathematical proof. Educational Studies in Mathematics, 24, 359 387. Collins, A., Brown, J. S., & Holum, A. (1991). Cognitive apprenticeship: Making thinking visible. American Educator: The Professional Journal of the American Federation of Teachers, 15(3), 6-11, 38-46. Collins, A., Brown, J. S., & Newman, S.E., (1989). Cognitive apprenticeship: Teaching the crafts of reading, writing, and mathematics. In L. B. Resnick (Ed.), Knowing, Learning and Instruction: Essays in Honor of Robert Glaser (pp.453-494). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates Γαγάτσης, Α., Δημητριάδου, Ε. (1994). Αντιλήψεις μαθητών Γυμνασίου και Λυκείου για την έννοια του διανύσματος. 11ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας, "Τα Μαθηματικάστην Εκπαίδευση και στην Τεχνολογία", Κέρκυρα ΕΜΕ Αθήνα Demetriadou, H., Tzanakis, C. (2003). Understanding basic vector concepts: Some results of a teaching approach for students aged 15 years, Proceedings of the 3rd Mediterranean Conference on Mathematical Education, ed. A. Gagatsis & S. Papastavridis, Hellenic Mathematical Society & Cyprus Mathematical Society, Athens, pp.665-673 Dimakos, G., and E. Nikoloudakis. (2008). Teaching Euclidean Geometry using a synthesis by two well known theories: van Hiele s theory and Cognitive Apprenticeship. Far East Journal of Mathematical Education, 2(2), 187 217.
Dimakos, G. and Nikoloudakis, E. (2009). Analyzing the Role of Shapes in the Process of Writing Proofs in Model of p-m Combinations, The Teaching of Mathematics Volume 12, Issue 1, (p.15-24). Dimakos, G., E. Nikoloudakis, S. Ferentinos, and E. Choustoulakis. (2007). Developing a Proof-Writing Tool for Novice Lyceum Geometry Students. The Teaching of Mathematics, 10(2), 87 106. Ding, L. and K. Jones. 2006. Teaching geometry in lower secondary school in Shanghai, China. Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 26(1), 41-46. Harel, G., and L. Sowder. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the national council of teachers of mathematics (pp.805-842). Greenwich, CT: Information Age Publishing Inc. Herbst, P. (2002). Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century. Educational Studies in Mathematics, 49, 283 312. Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher, 74,11-18. Koedinger, K., and J. Anderson. (1990). Abstract Planning and Perceptual Chunks: Elements of Expertise in Geometry. Cognitive Science 14, 511-550 Lemonidis C. (1997). A few remarks regarding the teaching of geometry, through a theoretical analysis of the geometrical figure. In the Proceedings of the Second World Congress of Nonlinear Analysts 96, Florida Tech, Applied Mathematics Program, Florida, USA, pp. 2087-2095. Λεμονίδης, Χ. (1996). Δυσκολίες και αντιλήψεις των μαθητών κατά το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα. Ευκλειδης Γ Τόμος 13, Τεύχος 45, σσ. 61-70. Mariotti, M., A. (2003). Geometry: dynamic intuition and theory Ανακοινώσεις του 2ου Συνεδρίου για τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση που διοργανώθηκε από το Εθνικό Και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών - Πανεπιστήμιο Κύπρου με Θέμα "Τα Μαθηματικά Στο Γυμνάσιο" στις 11-13 Απριλίου 2003 στην Αθήνα. Martin, W.G., and Harel G. (1989). Proof frames of preservice elementary teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 20, 41-51. Nardi, E. (1997). Coping With the Requirements for Rigour: The Novelty of University Mathematics. p.81-87. In BILLS L (ed.) Proceedings of the Conference of The British Society for the Research into Learning Mathematics. Oxford University Nikoloudakis, E. (2009). A Proposed Model to Teach Geometry to First-Year Senior High School Students. International Journal for Mathematics in Education.V2 Nikoloudakis E., Dimakos, G. (2009). Teaching Euclidean Geometry using Learning Objects 13th Panhellenic Conference on Informatics (PCI 2009) at Corfu Island, Greece, during 10-12 of September, 2009. Proceedings of PCI2009/Workshop In Education Athens
Νικολουδάκης Εμμ. & Αριστείδου Μ. (2010). Αναπτύγματα των Στερεών Σωμάτων Μια Διδακτική προσέγγιση για μαθητές της Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης με τη συμβολή του Διαδικτύου. Αστρολάβος. Επιστημονικό Περιοδικό Νέων Τεχνολογιών τ.10 Εκδόσεις Ε.Μ.Ε. Αθήνα (έχει γίνει δεκτό για Δημοσίευση) Polya, G. (1945). How to Solve it. Princeton University Press, Princeton Ράπτης, Α., Ράπτη, Α. (1999). Ο εν δυνάμει Αναγεννητικός ρόλος του υπολογιστή ως γνωστικού εργαλείου στο πλαίσιο της Εκπαίδευσης. Πρακτικά Πανελλήνιου Συνέδριου του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων με θέμα Πληροφορική και Εκπαίδευση. http://www.etpe.gr/extras/view_proceedings.php?conf_id=9 Senk, S. (1982). Achievement in writing geometry proofs. Paper presented at the Annual Meeting of the American Educational Research Association, New York, NY. Senk, S. (1985). How well do students write geometry proofs? Mathematics Teacher, 78, 448-456. Senk, S. (1989). Van Hiele levels and achievement in writing geometry proofs. Journal for Research in Mathematics Education, 20(3), 309-321. Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of function. In G. Harel and E. Dubinsky (Eds.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (MAA Notes Vol. 25, pp. 25-58). Washington, DC: Mathematical Association of America. Σταθοπούλου Χ. (2009). Παιδιά με Μαθησιακές Δυσκολίες και Παιδιά Μειονοτήτων. Κοινά Προβλήματα στη Μαθηματική Εκπαίδευση; Παιδαγωγικά Ρεύματα στο Αιγαίο, τ. 4 http://www.rhodes.aegean.gr/ptde/revmata/issue4/stathopoulou.pdf Tall, D. (1989). The Nature of Mathematical proof. Mathematics Teaching, 127, June, 28-32. Τριλιανός, Θ. (2002). Η παρώθηση του μαθητή για μάθηση, Αθήνα. Τρέσσου, Ε. (2007). Διδασκαλία μαθηματικών σε πολυπολιτισμικές τάξεις: Η σημασία της γλώσσας, στο Η διδασκαλία των μαθηματικών: Εκπαίδευση γλωσσικών μειονοτήτων, επιμέλεια Τρέσσου, Ε., Θεσσαλονίκη. Επίκεντρο. Usiskin, Z. (1982). Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry, Columbus, OH, ERIC. Van Hiele, P. (1986). Structure and Insight, Orlando: Academic Press. Weber, K. (2003). Students difficulties with proof. Teaching and Learning: Research Sampler. Mathematical Association of America s MAA Online Web site. Retrieved June 23, 2006, from http://www.maa.org/t_and_l/sampler/rs_8.htm Wiley, D. (2000). Connecting Learning Objects to Instructional Design Theory: A Definition, A Metaphor, and A Taxonomy, in D. Wiley, The Instructional Use of Learning Objects: Online Version, http://reusability.org/read/chapters/wiley.doc, retrieved on 15-01-2010. Yerushalmy, M., & and Chazan, D. (1990). Overcoming Visual Obstacles with the Aid of the Supposer Educational Studies in Mathematics 21: 199-219, Kluwer Academic Publishers.