Τυρβώδης Ροή με Ανακυκλοφορία σε Βυθοκορημένη Υφαλαύλακα

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 9 Τυρβώδης Ροή με Ανακυκλοφορία σε Βυθοκορημένη Υφαλαύλακα Ε. Β. KΟΥΤΑΝΤΟΣ Π. Ε. ΠΡΙΝΟΣ Χ. Γ. ΚΟΥΤΙΤΑΣ Ερευνητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη : Στην συγκεκριμένη εργασία εξετάζεται η τυρβώδης ροή με ανακυκλοφορία σε βυθοκορημένη υφαλαύλακα. Οι εξισώσεις Reynolds επιλύονται αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες οριακές συνθήκες. Τα τυρβώδη μοντέλα δύο στοιβάδων k-ε και τάσεων Reynolds (χωρίς συναρτήσεις τοιχώματος) χρησιμοποιούνται για το κλείσιμο της τύρβης. Τα αριθμητικά αποτελέσματα, που αφορούν υδροδυναμικά μεγέθη της ροής, ταχύτητα, τυρβώδης κινητική ενέργεια, τυρβώδεις διατμητικές τάσεις, συγκρίνονται με αντίστοιχα πειραματικά [7]. Φανερώνεται η ανωτερότητα του μοντέλου τάσεων Reynolds.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι υφαλαύλακες χρησιμοποιούνται ευρύτατα, προκειμένου να επιτευχθεί ικανοποιητικό βάθος για την προσέγγιση πλοίων σε λιμάνια. Η περιοδική βυθοκόρησή τους είναι απαραίτητη λόγω της σταδιακής πρόσχωσης τους από φερτές ύλες. Η βέλτιστη τοποθέτησή τους και η συχνότητα βυθοκόρησης είναι θέματα, τα οποία εξαρτώνται από το ρυθμό στερεομεταφοράς που στη συνέχεια εξαρτάται από τα υδροδυναμικά, τυρβώδη χαρακτηριστικά της ροής κυρίως εγκάρσια στην υφαλαύλακα. Οι απότομες γεωμετρικές κλίσεις, οι οποίες συναντούνται στην κατασκευή των συγκεκριμένων καναλιών, οδηγούν σε ισχυρή ανακυκλοφορία και επανακόλληση της ροής, γεγονός που επιβάλλει τη χρήση κατακόρυφα διδιάστατου αριθμητικού ομοιώματος ικανού να προβλέψει την αναδιαμόρφωση της κατακόρυφης κατανομής της οριζόντιας ταχύτητας και την ισχυρή επιτάχυνση του ρευστού κατά την κατακόρυφο, γεγονός που οδηγεί στην ανάπτυξη μη αμελητέων κατακόρυφων ταχυτήτων. Η υπολογιστική προσομοίωση τέτοιου είδους ροής είναι εξαιρετικά δύσκολη. Η ακανόνιστη διατομή του καναλιού, σε συνδυασμό με τις απότομες κλίσεις που συναντούνται στις κεκλιμένες πλευρές του, απαιτεί την κατασκευή μη καρτεσιανού υπολογιστικού πλέγματος. Παράλληλα, η σταδιακή αποκόλληση του οριακού στρώματος στην είσοδο του καναλιού επηρεάζεται από την έντονη καμπυλότητα των γραμμών ροής και την ανισοτροπία που επικρατεί στη δομή της τύρβης. Υποβλήθηκε: 8..00 Έγινε δεκτή:.004 Υπάρχει εκτεταμένος αριθμός εργασιών, τόσο πειραματικών όσο και αριθμητικών σχετικά με ροές με ανακυκλοφορία. Σε πολλές εργασίες σχετικά με ροές πάνω από εμπόδια, [4], [5], [8], [], [8], αναφέρονται πληροφορίες σχετικά με το πεδίο μέσων ταχυτήτων, τα χαρακτηριστικά της τύρβης, την αποκόλληση της ροής και το μήκος ανακυκλοφορίας. Στην εργασία [4] διερευνήθηκε πειραματικά η δομή της τύρβης στην περιοχή της ανακυκλοφορίας σε καταβαθμό ανοικτού αγωγού για υποκρίσιμη ροή και χωρίς μεταβολή της ελεύθερης επιφάνειας (χαμηλοί αριθμοί Froude). Στην εργασία [6] διερευνήθηκε αριθμητικά η ροή με ανακυκλοφορία ανάμεσα σε περιοδικές ανυψώσεις του πυθμένα. Χρησιμοποιήθηκε σειρά μοντέλων τύρβης τύπου k-ε και τάσεων Reynolds () και διαπιστώθηκε η ανωτερότητα των μοντέλων δύο στοιβάδων και στην περιγραφή της ανακυκλοφορίας. Πρόσφατα στην εργασία [0] διερευνήθηκε αριθμητικά η τυρβώδης ροή πάνω από τετραγωνικό εμπόδιο (Fr ανάντη =0,4-Fr κατάντη =,78) με έντονη καμπυλότητα στην ελεύθερη επιφάνεια και ανακυκλοφορία επιλύοντας τις εξισώσεις Reynolds μαζί με τη μέθοδο VOF, [7], και το μοντέλο τύρβης k-ε δύο στοιβάδων. Τα αριθμητικά αποτελέσματα για τη θέση της ελεύθερης επιφάνειας και τη δομή του πεδίου μέσων ταχυτήτων ήταν σε ικανοποιητική συμφωνία με διαθέσιμα πειραματικά αποτελέσματα. Παρόμοια ήταν η μεθοδολογία, η οποία ακολουθήθηκε στην εργασία [], όπου μελετήθηκε η τυρβώδης ροή με ελεύθερη επιφάνεια πάνω από κυματοειδή πυθμένα με υιοθέτηση, όμως, του τυρβώδους μοντέλου. Ο αριθμός εργασιών σχετικά με τη ροή εγκάρσια σε υφαλαύλακα είναι περιορισμένος. Στην εργασία [9] εφαρμόστηκαν ένα τυρβώδες μοντέλο βασισμένο στην υπόθεση του μήκους ανάμιξης και ένα τυρβώδες μοντέλο μίας εξίσωσης. Η εφαρμογή των συγκεκριμένων μοντέλων είναι υπολογιστικά ιδιαίτερα οικονομική, προϋποθέτει, όμως, τη γνώση της κλίμακας μήκους, η οποία είναι εκ των προτέρων άγνωστη ιδιαίτερα σε ροές με ανακυκλοφορία. Στην εργασία [3] χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο τύρβης k-w με συναρτήσεις τοιχώματος, γεγονός που οδήγησε σε αποκλίσεις στην περιοχή της ανακυκλοφορίας. Η υιοθέτηση ισότροπου συντελε-

0 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 στή ιξώδους της τύρβης δεν επιτρέπει τη σωστή περιγραφή της ροής ιδιαίτερα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας, όπου η ανισοτροπία της αναπτυσσόμενης τύρβης είναι έντονη. Στην εργασία [] χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο k-ε σε καρτεσιανό, όμως, σύστημα συντεταγμένων και με μονάχα υπολογιστικούς κόμβους σε κάθε κάθετο, με αποτέλεσμα την έντονη απόκλιση των αριθμητικών αποτελεσμάτων από τα αντίστοιχα πειραματικά στη ζώνη αποκόλλησης και επανακόλλησης της ροής. Στην εργασία [] έγινε μία συγκριτική ανάλυση του φαινομένου με τα τυρβώδη μοντέλα k-ε και. Η ανάλυση και στις δύο περιπτώσεις προϋπόθετε τη χρήση συναρτήσεων τοιχώματος. Η πρόβλεψη του πεδίου ταχυτήτων ήταν και στις δύο περιπτώσεις ικανοποιητική. Αντίθετα, αποκλίσεις υπήρχαν στην πρόβλεψη της δομής της τύρβης τόσο ανάμεσα στα δύο μοντέλα τύρβης όσο και ανάμεσα σε αριθμητικά και πειραματικά αποτελέσματα. Στην συγκεκριμένη εργασία διερευνάται η τυρβώδης ροή με ανακυκλοφορία εγκάρσια σε υφαλαύλακα. Γίνεται προσπάθεια να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα της έντονης ανισοτροπίας στην αναπτυσσόμενη τύρβη ιδιαίτερα στις περιοχές της ανακυκλοφορίας και επανακόλλησης της ροής με χρήση τυρβωδών μοντέλων τύπου k-ε και δύο στοιβάδων χωρίς τη χρήση συναρτήσεων τοιχώματος. Παρουσιάζεται συγκριτική μελέτη των τυρβωδών μοντέλων δύο στοιβάδων k-ε και (χωρίς συναρτήσεις τοιχώματος) σε μη καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, προκειμένου να ξεπεραστούν δυσκολίες που συναντούνται στον υπολογισμό της ροής στην περιοχή της ανακυκλοφορίας και επανακόλλησης. Υπολογιστικά αποτελέσματα συγκρίνονται με αντίστοιχα πειραματικά [7].. ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ U: η οριζόντια ταχύτητα V: η κατακόρυφη ταχύτητα P: η πίεση (Reynolds Stress Model) : τυρβώδες μοντέλο Reynolds Stress UDF (User Defined Functions) : υποπρογράμματα ορισμένα από το χρήστη ρ: η πυκνότητα του ρευστού ν: το κινηματικό ιξώδες ν t : : το ιξώδες της τύρβης δ ij : το δέλτα Kronecker k: η κινητική ενέργεια της τύρβης ε: ο ρυθμός σκέδασης της τύρβης,, : οι τάσεις Reynolds c μ : εμπειρική σταθερά c ε : εμπειρική σταθερά c ε : εμπειρική σταθερά σ k : εμπειρική σταθερά σ ε : εμπειρική σταθερά y + : η αδιάστατη απόσταση από το τοίχωμα y : η απόσταση από το τοίχωμα 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΡΟΗΣ-ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Οι εξισώσεις Reynolds επιλύονται αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων με τον κώδικα FLUENT 5, [6]. Για ασυμπίεστη, διδιάστατη ροή η εξίσωση συνέχειας και οι εξισώσεις ορμής είναι: Εξ. Συνέχειας : U V x y 0 Εξ. x-oρμής: U U P U U V u x y x x x Εξ. y -oρμής: U uv y y U U P V V U V uv v x y y x x y y όπου U, V=οι συνιστώσες της ταχύτητας αντίστοιχα στις διευθύνσεις x και y, P=η πίεση,,, =οι τάσεις Reynolds, ρ= η πυκνότητα του ρευστού και ν=το κινηματικό ιξώδες. Για το μοντέλο τύρβης k-ε χρησιμοποιείται η υπόθεση Boussinesq στην προσομοίωση των τάσεων Reynolds που εμφανίζονται στις εξισώσεις () και (3). Γενικά: U U j i uiu j t ijk (4) x j x i 3 όπου ν t =το ιξώδες της τύρβης, δ ij =το δέλτα Kronecker και k=η κινητική ενέργεια της τύρβης. Το ιξώδες της τύρβης συσχετίζεται με την κινητική ενέργεια της τύρβης k και το ρυθμό σκέδασης της, ε, μέσω της σχέσης Kolmogorov-Prandtl : ν t =c μ (k /ε) (5) Παράλληλα επιλύονται οι εξισώσεις μεταφοράς για τα k και ε : k εξίσωση: k k t k t k U V (6) Pk x y x k x y k y ε εξίσωση: t t U V c Pc x y x x y y k k όπου P k = ( U i / x j )=ο ρυθμός παραγωγής του k, c μ =0.09, c ε =.44, c ε =.9, σ k =.0, και σ ε =.3. () () (3) (7)

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 Στην περίπτωση που χρησιμοποιείται το μοντέλο τύρβης, επιλύονται οι εξισώσεις μεταφοράς των τυρβωδών τάσεων. Η εξίσωση μεταφοράς των τάσεων Reynolds είναι: x k T ij L ij ( U k u u ) D D P i j όπου D ijt = τυρβώδης διάχυση, D ijl = στρωτή διάχυση, P ij = παραγωγή τάσης, Φ ij = πίεση-παραμόρφωση, ε ij = σκέδαση. Οι όροι της στρωτής διάχυσης και παραγωγής τάσης δεν χρειάζονται μοντελοποίηση, ενώ οι υπόλοιποι όροι στο δεξιό μέρος της εξίσωσης μεταφοράς των τάσεων μοντελοποιούνται με βάση το μοντέλο των Launder et al, [0]. Η γενική γεωμετρία του εξεταζόμενου προβλήματος και οι οριακές συνθήκες, που χρησιμοποιήθηκαν στην αριθμητική προσομοίωση, φαίνονται στο σχήμα. Στην είσοδο επιβάλλονται συνθήκες πλήρους αναπτυγμένης τυρβώδους ροής σύμφωνα με τις ημιεμπειρικές σχέσεις που προτείνονται στην εργασία [5] για την οριζόντια και κατακόρυφη ταχύτητα και τα τυρβώδη μεγέθη ανάλογα με το χρησιμοποιούμενο μοντέλο τύρβης και οι οποίες έχουν προκύψει μετά από εκτεταμένες πειραματικές μετρήσεις με χρήση LDA. Προδιαγράφονται χρησιμοποιώντας UDF σε γλώσσα προγραμματισμού C++6 οι κατακόρυφες κατανομές της οριζόντιας ταχύτητας, της κινητικής ενέργειας και σκέδασης της τύρβης στην περίπτωση του μοντέλου k-ε και οι κατανομές των τυρβωδών τάσεων u, v και uv στην περίπτωση του μοντέλου. Ο αριθμός Froude στην είσοδο είναι 0. και επομένως η ροή είναι υποκρίσιμη. Στην έξοδο επιβάλλονται συνθήκες ελεύθερης διάβασης (outflow) όπου όλες οι πληροφορίες αντλούνται από γειτονικούς εσωτερικούς υπολογιστικούς κόμβους, προκειμένου να μεταδοθεί η διαταραχή απρόσκοπτα, ενώ το άνω όριο αποτελεί όριο συμμετρίας, όπου μηδενίζονται οι παράγωγοι εγκάρσια στο όριο. Κοντά στον πυθμένα (στερεό τοίχωμα) ακολουθείται η προσέγγιση των δύο στοιβάδων. Η ύπαρξη δύο υπολογιστικών στοιβάδων (two-layer model) προϋποθέτει την ύπαρξη υπολογιστικών κόμβων στο στρωτό οριακό υπόστρωμα, αφού η αριθμητική επίλυση γίνεται χωρίς συναρτήσεις τοιχώματος. Έτσι απαιτείται y - < - 5, όπου y + =η αδιάστατη απόσταση από το τοίχωμα (y + = yux / v, y= η απόσταση από το τοίχωμα και U x = η ταχύτητα τριβής). Με αυτό τον τρόπο ο υπολογιστικός χώρος διαιρείται σε δύο επιμέρους περιοχές, εκείνη στην οποία κυριαρχούν οι δυνάμεις ιξώδους και στην πλήρη τυρβώδη περιοχή. Ο διαχωρισμός των δύο περιοχών γίνεται με βάση τον τοπικό αριθμό Reynolds, ο οποίος ορίζεται ως εξής, Re y = ρ (ky/μ), όπου y είναι η κάθετη απόσταση από το τοίχωμα. Στην ιξώδη περιοχή κοντά στο τοίχωμα (Re y < 00) επιλύεται η εξίσωση που προτείνεται στην εργασία [9] και η οποία είναι ουσιαστικά η εξίσωση μεταφοράς του k, με τη διαφορά ότι το ε αντικαθίσταται με το λόγο ε = k.5 / l ε, όπως αναλύεται διεξοδικά παρακάτω. Έτσι επιλύονται οι εξισώσεις ορμής και μεταφοράς του k, το ιξώδες όμως της τύρβης ν t υπολογίζεται από τη σχέση v t = c μ (kl μ ) ij ij ij (8) και η σκέδαση της τύρβης από τη σχέση ε = k.5 / l ε, όπου οι κλίμακες μήκους l μ και l ε υπολογίζονται από τις σχέσεις που προτείνονται στην εργασία [3]. Στην πλήρως τυρβώδη περιοχή (Re y >00) επιλύονται οι εξισώσεις μεταφοράς για τα k και ε. Η προσέγγιση των δύο ζωνών, που ακολουθείται στο μοντέλο, είναι ακριβώς η ίδια με εκείνη που ακολουθείται στο μοντέλο k-ε. Στις εξισώσεις μεταφοράς των τάσεων Reynolds η κινητική ενέργεια της τύρβης k, η σκέδαση της ε και το ιξώδες της ν t υπεισέρχονται στον υπολογισμό των T όρων D ij Φ, ij και ε ij. Στην πλήρως τυρβώδη περιοχή η κινητική ενέργεια της τύρβης k υπολογίζεται από τη σχέση k 0, 5u i u i, ενώ η σκέδαση ε από την εξίσωση μεταφοράς της και το ιξώδες ν t από την έκφραση v t = c κ μ /ε. Στην περιοχή επίδρασης του ιξώδους τα παραπάνω μεγέθη υπολογίζονται με βάση τη διαδικασία, η οποία αναφέρθηκε παραπάνω. Τα αριθμητικά σχήματα, τα οποία χρησιμοποιήθηκαν για τη διακριτοποίηση των όρων συναγωγής, είναι: PRESTO για την πίεση, QUICK για τις ταχύτητες, k και ε και SIMPLEC για τη σύζευξη ταχύτητας και πίεσης. Για λόγους ευστάθειας και σύγκλισης χρησιμοποιήθηκαν συντελεστές υποχαλάρωσης 0.3 για την πίεση και 0.5 για την ταχύτητα, το k και το ε. Χρησιμοποιήθηκαν τρία υπολογιστικά πλέγματα. Το πρώτο πλέγμα αποτελούνταν από 75.000 υπολογιστικούς κόμβους, το δεύτερο από 300.000 και το τρίτο από 35.000. Σε κάθε περίπτωση δόθηκε έμφαση στην ύπαρξη τουλάχιστον πέντε υπολογιστικών κόμβων στο στρωτό οριακό υπόστρωμα. Στο σχήμα παρουσιάζεται λεπτομέρεια του τρίτου υπολογιστικού πλέγματος κοντά στο τοίχωμα, όπου παρουσιάζονται οι δύο επιμέρους υπολογιστικές περιοχές. Τα αποτελέσματα τόσο για τα μέσα όσο και για τα τυρβώδη μεγέθη της ροής σε όλες τις περιπτώσεις παρουσίασαν διαφορές της τάξης του 3%. Επομένως, τα αποτελέσματα μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα του υπολογιστικού πλέγματος. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα με χρήση του τρίτου πλέγματος. Στη συγκεκριμένη περίπτωση εξετάστηκε και η επιρροή της θέσης της εισόδου και εξόδου. Τα όρια μετακινήθηκαν 0.5 m προς τα μέσα και προς τα έξω αντίστοιχα, οι διαφορές όμως στα αριθμητικά αποτελέσματα ήταν της τάξης του 0.5%. Το γεγονός αυτό θεωρείται λογικό, αφού για την είσοδο χρησιμοποιούνται συνθήκες πλήρως αναπτυγμένης τυρβώδους ροής, οι οποίες μεταφέρονται μερικώς κατάντη ούτως ή άλλως, χωρίς να αλλοιώνουν τα αποτελέσματα στο εσωτερικό του πεδίου, ενώ για την έξοδο η συνθήκη ελεύθερης διάβασης δεν επιτρέπει τη μετάδοση διαταραχής ανάντη, αφού όλες οι πληροφορίες αντλούνται από το εσωτερικό του πεδίου. Ο υπολογιστικός χρόνος για την περίπτωση του τρίτου υπολογιστικού πλέγματος, στην οποία ανήκουν τα αποτελέσματα, τα οποία παρουσιάζονται στη συνέχεια, ήταν 7 ημέρες με το μοντέλο k-ε και 9 ημέρες για το μοντέλο σε υπολογιστή Pentium III/600 MHz και 600 ΜB μνήμη.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 4. ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ-ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με εργαστηριακές μετρήσεις που παρατίθενται στην εργασία [7]. Η εξεταζόμενη ροή είναι έντονα διδιάστατη χωρίς τριδιάστατες επιρροές (επιδράσεις πλευρικών τοιχωμάτων), αφού οι πειραματικές μετρήσεις έγιναν σε πειραματικό κανάλι μεγάλου πλάτους ακριβώς ώστε να αποφευχθεί επιρροή των πλάγιων τοιχωμάτων στη διαμόρφωση της ροής. Στο σχήμα 3 παρουσιάζεται σύγκριση των αριθμητικών και των υπολογιστικών αποτελεσμάτων για τη διατμητική τοιχωματική τάση κατά μήκος της εξεταζόμενης υφαλαύλακας. Η τοπική διατμητική τάση του πυθμένα έχει αδιαστατοποιηθεί με την αντίστοιχη τάση στην είσοδο του καναλιού, προκειμένου να γίνει εμφανής η οποιαδήποτε αύξηση ή μείωση της διατμητικής τάσης. Όπως φανερώνεται μέσα στην υφαλαύλακα, παρατηρείται πτώση της τοιχωματικής διατμητικής τάσης λόγω της αποκόλλησης της ροής, ενώ μετά την υφαλαύλακα η τάση τείνει να εξισωθεί με την αρχική. Το πρόσημο της διατμητικής τάσης αποκαλύπτει αντίστοιχα τις ζώνες ανακυκλοφορίας και επανακόλλησης της ροής. Το αριθμητικό ομοίωμα τόσο με το τυρβώδες μοντέλο k-ε όσο και με το προβλέπει ικανοποιητικά την ανακυκλοφορία στο κυρίως σώμα της υφαλαύλακας, ενώ μικρή απόκλιση των αποτελεσμάτων παρατηρείται αρχικά στη ζώνη επανακόλλησης. Στο τμήμα αμέσως μετά την υφαλαύλακα τα αριθμητικά αποτελέσματα βρίσκονται σε καλή συμφωνία με τα πειραματικά. Γενικά η σύμπτωση των αποτελεσμάτων είναι καλύτερη με το μοντέλο τύρβης,. Στο σχήμα 4 παρουσιάζεται με μεγαλύτερη λεπτομέρεια η κατανομή των ταχυτήτων σε συγκεκριμένες καθέτους πριν, μέσα και μετά την υφαλαύλακα. Οι οριζόντιες ταχύτητες έχουν αδιαστατοποιηθεί με τη μέση αρχική ταχύτητα της ροής στην είσοδο. Αντίστοιχα το τοπικό βάθος σε κάθε κάθετο διαιρείται με το βάθος στην είσοδο. Παρατηρείται αρχικά μία σταδιακή αποκόλληση της ροής στην είσοδο της υφαλαύλακας, γεγονός που οδηγεί σε ανακυκλοφορία, ενώ στη συνέχεια και προς την έξοδο μία επίσης σταδιακή επανακόλληση και επιβράδυνση της ροής. Πιο συγκεκριμένα, στην πρώτη κάθετο (θέση Α) αμέσως πριν την υφαλαύλακα παρατηρείται ότι η κατανομή της ταχύτητας προσεγγίζει αυτή της πλήρως αναπτυγμένης ροής με μέγιστη ταχύτητα κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια. Στη δεύτερη κάθετο (θέση Β), στην κεκλιμένη παρειά της υφαλαύλακας, λόγω της αποκόλλησης της ροής παρατηρούνται αρνητικές ταχύτητες στο κάτω μέρος της κατακόρυφου να φθάνουν το 5% της μέσης αρχικής ταχύτητας. Στο πάνω μέρος της καθέτου (πάνω από την περιοχή ανακυκλοφορίας y/y inlet >) η κατανομή της ταχύτητας διατηρεί τη μορφή πλήρως αναπτυγμένης ροής. Στην τρίτη κάθετο (θέση C), στη μέση του καναλιού, παρατηρείται η μέγιστη ανακυκλοφορία με αρνητικές ταχύτητες που φθάνουν το 30% της αρχικής μέσης ταχύτητας. Στην επόμενη κάθετο (θέση D) που βρίσκεται στο πλευρικό τοίχωμα η κατανομή της ταχύτητας είναι παρόμοια με εκείνη της καθέτου C, αλλά χωρίς να παρουσιάζονται αρνητικές ταχύτητες, αφού η επανακόλληση της ροής έχει εμφανιστεί προηγούμενα. Στη συγκεκριμένη κάθετο παρατηρείται και η μεγαλύτερη απόκλιση ανάμεσα στα πειραματικά και αριθμητικά αποτελέσματα. Η δυσκολία περιγραφής της ροής στο συγκεκριμένο σημείο είναι προφανής, αφού το ρευστό συναντά τοπικά δεύτερη συνεχόμενη διαταραχή της γεωμετρίας και μάλιστα αντίστροφης κλίσης. Στην τελευταία κάθετο (θέση Ε) προς την έξοδο του αγωγού η ροή ομαλοποιείται σταδιακά και η ροή τείνει να επανέλθει σε κατάσταση πλήρους ανάπτυξης. Γενικά τα αριθμητικά αποτελέσματα βρίσκονται σε καλή συμφωνία με τα πειραματικά αποτελέσματα τόσο με το τυρβώδες μοντέλο k-ε όσο και με το. Σε όλες τις καθέτους η απόδοση του τυρβώδους μοντέλου εμφανίζεται ελαφρώς καλύτερη, γεγονός που επιβεβαιώνει ότι το συγκεκριμένο μοντέλο τύρβης με την προσέγγιση δύο ζωνών είναι ικανό να περιγράψει φαινόμενα ροής που συνοδεύονται από έντονη ανακυκλοφορία. Στο σχήμα 5 παρουσιάζεται η κατανομή της κινητικής ενέργειας της τύρβης στις αντίστοιχες καθέτους. Η κινητική ενέργεια k έχει αδιαστατοποιηθεί με το τετράγωνο της ταχύτητας τριβής στην είσοδο. Αντίστοιχα το τοπικό βάθος σε κάθε κάθετο διαιρείται με το αρχικό βάθος στην είσοδο. Στην πρώτη κάθετο (θέση Α) η μέγιστη κινητική ενέργεια παρατηρείται κοντά στον πυθμένα, όπως αναμένεται λόγω της ροής τύπου οριακού στρώματος. Στη δεύτερη κάθετο (θέση Β), στην περιοχή ανακυκλοφορίας, η μέγιστη κινητική ενέργεια εμφανίζεται στο πάνω μέρος της περιοχής ανακυκλοφορίας (στοιβάδα ανάμιξης), όπου παρατηρούνται και οι μέγιστες τιμές της κλίσης της ταχύτητας (σχ. 4). Στην τρίτη κάθετο, στη μέση του καναλιού, παρατηρείται παρόμοια κατανομή, με τη διαφορά ότι η μέγιστη τιμή βρίσκεται στο μέσο της καθέτου καταλαμβάνοντας μεγαλύτερο τμήμα της καθέτου λόγω της ισχυρότερης ανακυκλοφορίας. Στην επόμενη κάθετο παρατηρούνται σταδιακή πρόσφυση και σταθεροποίηση της ροής, ενώ στην τελευταία κάθετο η μέγιστη κινητική ενέργεια παραμένει μακριά από τον πυθμένα γεγονός που φανερώνει ότι η αποκατάσταση των τυρβωδών χαρακτηριστικών πλήρους αναπτυγμένης ροής καθυστερεί σημαντικά σε σχέση με τα μέσα μεγέθη. Παρόμοιο συμπέρασμα εξάγεται από την κατανομή της διατμητικής τάσης στη διατομή Ε. Στις δύο τελευταίες καθέτους και ιδιαίτερα στο πάνω μέρος των καθέτων υπάρχει ελαφριά απόκλιση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με τα αντίστοιχα πειραματικά. Η απόκλιση είναι μικρότερη για το μοντέλο τύρβης. Αντίστοιχα είναι τα συμπεράσματα που προκύπτουν από το σχήμα 6, όπου παρουσιάζονται οι κατανομές των τυρβωδών τάσεων. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η προσεκτική εξέταση της καθέτου Ε αμέσως μετά την υφαλαύλακα, όπου εμφανίζεται και η εντονότερη απόκλιση. Το μοντέλο k-ε υπολογίζει μεγαλύτερες τιμές για τη διατμητική τάση κοντά στο τοίχωμα (όπως επίσης και για την κινητική ενέργεια της τύρβης) από αυτές του μοντέλου και κατά συνέπεια η αποκατάσταση της πλήρους αναπτυγμένης ροής θα καθυστερήσει.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 3 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην συγκεκριμένη εργασία διερευνήθηκε αριθμητικά η τυρβώδης ροή σε βυθοκορημένη υφαλαύλακα τραπεζοειδούς μορφής. Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με πειραματικά αποτελέσματα, [7]. Στο κυρίως σώμα του καναλιού διαμορφώνονται μία ζώνη αποκόλλησης στην είσοδο και μία ζώνη επανακόλλησης στην έξοδο. Στο κέντρο της διατομής συναντούνται οι μέγιστες αρνητικές ταχύτητες που φθάνουν το 30% της αρχικής μέσης ταχύτητας. Η ροή αρχικά επιβραδύνεται λόγω απότομης αύξησης της διατομής, τελικά όμως προς την έξοδο, όπου η διατομή αποκτά το αρχικό βάθος της, επιταχύνεται ξανά και τείνει στην πλήρως αναπτυγμένη κατάσταση. Για τη μέση ταχύτητα της ροής η πλήρως αναπτυγμένη κατάσταση φαίνεται να προσεγγίζεται πιο γρήγορα παρά για τα τυρβώδη μεγέθη (τυρβώδης κινητική ενέργεια και διατμητική τάση). Παρουσιάστηκε συγκριτική μελέτη των τυρβωδών μοντέλων k-ε και. Η απόδοση του μοντέλου τύρβης είναι γενικά καλύτερη στην περιγραφή των μέσων και τυρβωδών μεγεθών της ροής. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Alfrink B., Van Rijn L. (983), Two equation turbulence model for flow in trenches, Journal of the Hydraulics Division, ASCE, vol. 09, pp. 94.. Basara B., Younis B. (995), Prediction of turbulent flows in dredged trenches, Journal of Hydraulic Research, vol. 33, pp. 835. 3. Chen, H.C., Patel, V.C. (988), Near-wall turbulence models for complex Flows including separation, AIAA J., vol. 6 (6), pp. 64-648. 4. Dias F., Vanden - Broeck J. M. (989), Open Channel Flow with Submerged Obstacles, J. of Fluid Mechanics, vol. 06, pp. 55-70. 5. Fadda D., Raad P. E. (997), Open channel flow over Submerged Obstructions: An Experimental and Numerical Study, J. of Fluid Engineering, vol. 9, pp. 906-90. 6. FLUENT (988), Fluent 5 User s Guide, Fluent Inc., Lebanon, N.H. U.S.A 7. Hirt, C.W., Nichols, B.O. (98), Volume of fluid method for the dynamics of free boundaries, J. of Computational Physics, vol. 39, pp. 0-5. 8. Kiya M., Mochizuki O., Tamura H., Nozawa T., Ishikawa R., Kushioka K. (99), Turbulence Properties of an Axisymmetric Separation-and-Reattaching flow, AIAA ooj., vol. 9, no 6, pp. 936-94. 9. Koutitas C., O Connor B. (98), Turbulence model for flow over dredged trenches, Journal of the Hydraulics Division, ASCE, vol. 08, p. 989. 0. Koutandos E.V., Prinos P.E. (00), Numerical modeling of turbulent free-surface flow over an obstacle, Proc. of International Conference Riverflow-00, 00, Belgium, vol., pp.49-46.. Koutandos, E.V., Prinos, P.E. (00), Turbulent free-surface flow over a sinusoidal bed, International Conference Hydroinformatics- 00, Cardiff, UK, vol., pp. 4-46.. Lawrence, G.A. (987), Steady flow over obstacle, J. of Hydraulic Eng., ASCE, vol. 3, no 8, pp. 98-99. 3. Mendoza, C., Shen H. (987), Flow behavior in dredged trenches with a k-w model closure, Proceedings of the XXII Congress of the International Association for Hydraulic Research, Lausanne, pp. 95. 4. Nakagawa H., Nezu I. (987), Experimental investigation on turbulent structure backward - facing step flow in an open channel, J. of Hydraulic Research, vol. 5, no., pp. 67-88. 5. Nezu I., Nakagawa H. (993), Turbulence in open channel flow, IAHR monograph, Balkema Pub. 6. Prinos, P., Sofialidis, D. (00), Flow over periodic hills: A Benchmark study on FLUENT turbulence models performance for separated/reattached flow, nd Southeastern Europe Fluent Users Group Meeting, Bucurest, Romania. 7. Rijn L. Van (98), The computation of the flow and turbulence field in dredged trenches, Report S 488-I, Delft Hydraulics Laboratory, Delft, The Netherlands. 8. Schulte H., Rouve G. (986), Turbulent structure in separated flows, Proc. Lisboa Conf., pp..-6. 9. Wolfstein, M. (969), The velocity and temperature distribution of one-dimensional flow with turbulence augmentation and pressure gradient, Int. J. of Heat and Mass Transfer,, pp..30-309. 0. Launder, B. E., Reece, G.J., Rodi, W. (975), Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Closure, J. of Fluid Mechanics, vol. 68, no. 3, pp. 37-566. Ε. Β. Κουτάντος Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Επιστημονικός Συνεργάτης, Τ.Υ.Τ.Π./Τ.Π.Μ./Α.Π.Θ., Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., 544, Θεσσαλονίκη Π. Ε. Πρίνος Καθηγητής, Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., 54006, Θεσσαλονίκη Χ. Γ. Κουτίτας Καθηγητής, Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., 54006, Θεσσαλονίκη

4 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 0.3 0. INLET- FULLY DEVELOPED FLOW - / 0. SYMMETRY AXIS OUTFLOW y (m) 0 A E -0. -0. B C D WALL -0.3 0 0.5.5.5 3 x (m) Σχήμα : Υπολογιστικό πεδίο και οριακές συνθήκες. Figure : Computational domain and boundary conditions. Σχήμα : Λεπτομέρεια του υπολογιστικού πλέγματος κοντά στο τοίχωμα. Figure : Detail of the computational mesh near the wall. wall shear stress/inlet wall shear stress µ µ /µ µ 0. 0-0. µ 0 0.5.5.5 x (m) Σχήμα 3: Σύγκριση αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων (κάθετη τάση προς κάθετη τάση εισόδου). Figure 3: Comparison between the numerical and experimental results (shear stress / inlet shear stress).

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 5 y/y cross section A µ y/y cross section B µ 0. 0 ux/uxo - 0 ux/uxo y/y cross section C µ y/y cross section D µ - 0 ux/uxo 0..4 ux/uxo y/y 0. cross section E µ.4.8 ux/uxo Σχήμα 4: Σύγκριση αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων [7] (οριζόντιες ταχύτητες) σε διάφορες καθέτους κατά μήκος της υφαλαύλακας. Figure 4: Comparison between numerical and experimental results [7] (horizontal velocities) in various verticals along the trench.

6 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 cross section A µ cross section B µ y/y y/y 0. 0 k/u* 0 3 4 k/u* cross section C y/y y/y cross section D µ 0 3 4 k/u* 0 3 4 5 k/u* y/y cross section E µ 0. 0 3 4 k/u* Σχήμα 5: Σύγκριση αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων [7] (κινητική ενέργεια της τύρβης) σε διάφορες καθέτους κατά μήκος της υφαλαύλακας. Figure 5: Comparison between numerical and experimental results [7] (turbulence kinetic energy) in various verticals along the trench.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 7 cross section A µ cross section B µ y/y y/y 0. 0 0 -uv/u* 0 3 4 -uv/u* cross section C µ cross section D µ y/y y/y 0 3 4 5 -uv/u* 0 4 6 -uv/u* y/y cross section E µ 0. 0 3 4 -uv/u* Σχήμα 6: Σύγκριση αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων [7] (τυρβώδεις τάσεις) σε διάφορες καθέτους κατά μήκος της υφαλαύλακας. Figure 6: Comparison between numerical and experimental results [7] (turbulent stresses) in various verticals along the trench.

8 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 Extended summary Turbulent Recirculating Flow In a Dredged Trench Ε. V. KΟUTANDOS P. E. PRINOS C. G. ΚΟUTITAS Research Associate A.U.TH. Professor A.U.TH. Professor A.U.TH. Summary: Turbulent, recirculating flow in a dredged channel is examined in the present study. Reynolds equations are solved numerically using the appropriate finite volume numerical method. The two-layer k-ε and (without wall functions) turbulence models are used for turbulence closure. Numerical results concerning mean velocities, turbulent kinetic energy, turbulent shear stresses are compared with published experimental results, [7]. The superiority of the turbulence model is revealed.. INTRODUCTION Dredged channels are widely used in the approach to a harbor to facilitate the movement of large carriers. Their periodical dredging is necessary due to their partial backfilling with suspended sediment. Determination of the optimal location of the trench, and the frequency of its redredging, are matters determined by the rates of bed load and suspended sediment transport, which in turn, depend on the details of the mean flow and the turbulence structure The steep sides of the trench lead to recirculation of the flow in the main body of the channel. Therefore a DV numerical model is required in order to predict the vertical redistribution of the horizontal velocity in the recirculation and in the reattachment zones. The numerical simulation of the specific flow is extremely complex. The irregular shape of the channel and its steep sides require a non-cartesian computational grid. Additionally the separated shear layer that develops at the leading edge of the channel is heavily influenced by streamline curvature effects and by the upstream levels of turbulence anisotropy. In the specific study the flow in a dredged trench is examined using the two-layer k-ε and (without wall functions) turbulence models which have been found to perform better in separated flows [6], in a body-fitted computational domain in order to overcome the difficulties induced by the intense anisotropy in the developing turbulence, the recirculation and the reattachment of the flow. Submitted: Feb. 8. 00 Accepted: Jan.. 004. SYMBOL LIST U : horizontal velocity V : vertical velocity P : pressure (Reynolds Stress Model) : Reynolds Stress turbulence model UDF (User Defined Functions) : subroutines defined by the user ρ : density of the fluid ν : kinematic viscosity ν t : turbulence viscosity δ ij : Kroneckers delta k : turbulence kinetic energy ε : turbulence dissipation,, : Reynolds stresses c μ : empirical constant c ε : empirical constant c ε : empirical constant σ k : empirical constant σ ε : empirical constant y + : dimensionless distance from the wall y : distance from the wall 3. GOVERNING EQUATIONS-NUMERICAL SOLUTION The Reynolds equations are solved numerically using the finite-volume numerical method with the code FLUENT 5, [6]. The geometry of the problem and the boundary conditions are presented in figure. For incompressible, two dimensional flow the Navier- Stokes equations are described by equations (), () and (3). The two-layer approach requires computational nodes in the viscous sublayer since the numerical solution is obtained

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 9 without wall functions. A detail of the computational grid near the wall is presented in figure. Thus y + < - 5 where y + = the dimensionless distance from the wall (y + = yu x / v, y=the distance from the wall and U x =the shear velocity ). With this approach the whole domain is subdivided into a viscosity-affected region and a fully turbulent region. The demarcation of the two regions is determined by a walldistance based Reynolds number defined as Re y = ρ (ky/μ) where y is the normal distance to the nearest wall. In the viscosity-affected near wall region (Re y < 00) the one equation model of Wolfstein, [9], is employed a fact that means that the momentum equations and the k equation are retained as in the standard k-ε model. However, the turbulent viscosity ν t is computed from v t = c μ (kl μ ) and the dissipation of turbulence kinetic energy is computed from ε = k.5 / l ε where the length scales l μ and l ε are calculated algebraically from well known relationships Chen and Patel, [3]. In the fully turbulent region (Re y >00) for the k-ε case the standard k-ε model is employed. Turbulence viscosity is correlated with the turbulent kinetic energy k and the turbulent dissipation, ε, through the Kolmogorov-Prandtl relationship. Additionally the transport equations for k and ε are solved (equations (6) and (7)). In the case the transport equation solved for the Reynolds stresses is given in equation (8), where D ijt = L turbulent diffusion, D ij = laminar diffusion, P = stress ij production, Φ ij = pressure strain, ε ij = dissipation. The two terms on the left hand side of the equation (8) are the unsteady and convection term respectively. The third term on the right hand side of the above equation does not require modeling as also the laminar diffusion term. The rest of the terms in equation (8) are modeled according to the model of Launder et al, [0]. The two layer approach is identical to the one used in the k-ε model. Thus in the viscosity affected region the respective quantities are calculated using the procedure outlined above. In the transport equations for the Reynolds stresses the turbulent kinetic energy k, its dissipation ε and the eddy viscosity ν t are needed for estimating some of the terms of the equations. In the fully turbulent region k is calculated from the expression k u i u i while ε is calculated through its transport equation and ν t from the expression k t c µ. Schemes of the higher available level of accuracy were employed for the other variables with certain underrelaxation factors for promoting convergence. The schemes are: PRESTO for pressure, QUICK for velocities, k and ε, SIMPLEC for velocity-pressure coupling with underrelaxation factors of 0.3 for pressure and 0.5 for velocity, k and ε. 4. COMPARISON AGAINST EXPERIMENTAL RESULTS The numerical results were compared with experimental results [7]. The geometry of the problem and the boundary conditions are depicted in figure. In the inlet of the computational domain the semiempirical relationships proposed in [5] for fully developed flows were applied, using UDF, for the vertical distribution of U, V, k, ε in the k-ε case or U, V, and the Reynolds stresses in the case. The Froude number was 0. and the flow was subcritical. In the outlet of the domain an outflow b.c. was applied while on the upper part. In figure 3 the comparison between numerical and experimental results for the shear stress along the channel is presented. The shear stress has been made dimensionless using the initial shear stress in the inlet of the channel. The reduction of the shear stress along the channel is due to the increase in the depth of the flow in the body of the channel and therefore to decreased velocities. The sign of the shear stress reveals the recirculation and reattachment zone along the channel. The numerical model predicts the recirculation zone fairly well while there is a slight deviation in the reattachment zone. The performance of the turbulence model is finer especially in the most difficult part of the flow the reattachment zone. In figure 4 the vertical distribution of the horizontal velocity in various vertical before, in and after the channel is presented. Horizontal velocities have been made dimensionless over the inlet mean horizontal velocity. In the leading edge of the trench we can see the separation of the boundary layer a fact that leads to a recirculation zone in the steep side of the channel. In the opposite inclination towards the outlet a reattachment zone is formed. In the first vertical we can see the influence of the bed in the vertical velocity distribution. The profile of the velocity is close to that of the fully developed flow. It is worth noting that in the second and third vertical, in the recirculation zone, the negative values of the horizontal velocities reach 5% and 30% of the mean inlet horizontal velocity. Towards the exit, in the last vertical, the flow is stabilized and the influence of the channel bed is noticeable. The numerical results are closer to the experimental ones than the corresponding results of the k-ε turbulence model. In figure 5 the vertical distribution of the turbulent kinetic energy over the square of the shear velocity in the inlet in the corresponding verticals is presented. The local depth is made dimensionless using the initial depth. In the first vertical we can still see the influence induced by the channel bed since the maximum value is towards the wall. In the second vertical, in the recirculation zone, the maximum value moves approximately in the middle of the vertical due to the inclined route of the flow. In the third vertical, in the middle of the channel, a similar distribution to that in the second vertical is observed with difference in the intensity.

0 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. -3 004, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No -3 In the last two verticals the flow stabilizes and returns partially to its undisturbed state. A slight deviation between experimental and numerical results is observed in these verticals especially in the upper part. The corresponding graphs for the shear stresses are presented in figure 6. Similar conclusions as in the kinetic energy case can be derived from the specific figure. In general the numerical results of the are superior to the corresponding results of the k-ε turbulence model especially in the most difficult part of the flow, the reattachment zone. 5. CONCLUSIONS In the specific study the turbulent, reversed flow in a trench is examined using a numerical model based on the finite volume numerical method. A comparative study of the two layer k-ε and the turbulence models is presented. The numerical results are compared against experimental results, [7]. A recirculation zone is formed in the main body of the channel while a reattachment zone is formed in the region of the opposite inclination. The fully developed undisturbed state, after the recirculation, is approached faster for the mean features of the flow than the turbulent characteristics. The mean flow velocity is decreased in the channel due to the abrupt increase in the flow depth and increased towards the outlet of the flow where the depth is decreased in its original magnitude. The mathematical model with the two layer approach in a body-fitted computational domain, is able to describe the intense recirculation and the reattachment of the flow along the channel with both turbulence models used, the k-ε and the turbulence models. The superiority of the turbulence model is revealed especially in the most difficult part of the flow, the reattachment zone, where the largest deviations are observed. Ε. V. Κoutandos Dr Civil Engineer, Research Associate, Division of Hydraulics and Environmental Engineering, Department of Civil Engineering, Α.U.Th., 544, Thessaloniki P. E. Prinos Professor, Division of Hydraulics and Environmental Engineering, Department of Civil Engineering, Α.U.Th., 54006, Thessaloniki Ch. G. Κoutitas Professor, Division of Hydraulics and Environmental Engineering, Department of Civil Engineering, Α.U.Th., 54006, Thessaloniki