υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση

Transcript

1 υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση Τεράστια σημασία του ιξώδους: Ύπαρξη διατμητικών τάσεων που δημιουργούν απώλειες ενέργειας Απαραίτητες σε κάθε μελέτη

2 Είδη ροών Στρωτή ή γραμμική ή αστρόβιλη ροή, όταν τα στοιχεία του ρευστού κινούνται σε παράλληλες μεταξύ τους γραμμές και δεν διασχίζουν τις γραμμές των άλλων στοιχείων. Το υγρό φαίνεται να κινείται με ολίσθηση φύλλων απειροστής πυκνότητας σχετικά με γειτονικά στρώματα. Παράδειγμα αποτελεί ο καπνός όταν ανέρχεται ήρεμα και κατακόρυφα. Τυρβώδης ή στροβιλώδης ροή, όταν τα στοιχεία του ρευστού έχουν ακανόνιστη κίνηση. Γενικά μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες, μια μέση, και μια ταλαντώσεων διαφόρων συχνοτήτων. Στο παράδειγμα του καπνού, η κίνηση είναι τυρβώδης όταν μετά την ήρεμη πορεία του, αρχίζει να κινείται ακανόνιστα.

3 Τυρβώδης ροή αριθμός Reynolds Μίξη στρωμάτων προέρχεται από αστάθεια Ισορροπία δυνάμεων αδράνειας, πίεσης, τριβή Αύξηση τραχύτητας προκαλεί αύξηση των δυνάμεων αδράνειας, τελικά τυρβώδης Λόγος δυνάμεων αδράνειας προς τριβής Αδράνεια ανάλογη μάζας και κινηματικής κατάστασης. Τριβή, ανάλογη ιξώδους

4 Τυρβώδης ροή αριθμός Reynolds αδράνεια ρ U2 ρ U D U D Re = = = U μ ν µ D τριβή D: χαρακτηριστικό μήκος, σε κυκλικό αγωγό η διάμετρος μ: το δυναμικό ιξώδες ν: το κινηματικό ιξώδες

5 Μεγέθη αναφοράς για διάφορα είδη ροής

6 Re σε μη κυλινδρικούς αγωγούς 4 R U Re = ν Όπου R=A/P A= υγρή διατομή P= υγρή περίμετρος

7 ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΡΟΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ Έννοια της Υδραυλικής Ακτίνας RH αγωγού Επειδή υπάρχουν αγωγοί διαφορετικής διατομής στο εμπόριο πέραν από τη συνηθισμένη κυκλική διατομή (πχ. Τετραγωνικής διατομής, τριγωνικής διατομής, ορθογωνικής διατομής, ωοειδής διατομή κλπ) επιβάλλεται η εισαγωγή της έννοιας της υδραυλικής ακτίνας αγωγού για να μπορέσουμε να αντιμετωπίσουμε ενιαία όλα τα προβλήματα μεταφοράς ρευστών με αγωγούς οποιασδήποτε διατομής. ε π ι φ άν ε ι α RH = π ε ρ ίµ ε τ ρ ο Για αγωγό κυκλικής διατομής διαμέτρου D D2 π 4 = D RH = πd 4 D = 4 RH Για αγωγό ορθογωνικής διατομής axb RH = a b 2( a + b )

8 Κρίσιμη τιμή Re Πείραμα Reynolds: Διοχέτευση βαφής στο στόμιο Β Re cr = U cr D ν Το Recr εξαρτάται από το αν η ροή είναι αύξουσα ή φθίνουσα, αν αυξάνεται ή μειώνεται απότομα, από εξωτερικές ταλαντώσεις και από την τραχύτητα

9 Διατμητική τάση σε οριζόντιο κυκλικό αγωγό Εξισώνοντας τις δυνάμεις διάτμησης και Διαφοράς πίεσης που δρούν στο στοιχείο p π r 2 ( p + dp ) π r 2 τ 2 π r dx = 0 τ= - dp r R τ0 = ( p1 p 2 ) dx 2 2 l Βρίσκουμε την μέγιστη διατμητική τάση τ0, που εμφανίζεται στα τοιχώματα Η πτώση της πίεσης λόγω της διάτμησης είναι: Όπου f ένας συντελεστής τριβής, l το μήκος του αγωγού, D η διάμετρός του U η μέση ταχύτητα του υγρού f l p = ρ U2 2 D

10 Συντελεστής τριβής κυκλικού αγωγού για στρωτή ροή Παραβολική κατανομή της ταχύτητας: p R2 V( r ) = 4 µ l U max Μέγιστη και μέση ταχύτητα r2 1 2 R R2 p = = 2 Uµ ε σ η 4 μ l Σε στρωτή ροή αποδέικνύεται ότι f=64/re, και αντικαθιστώντας στη σχέση της προηγούμενης διαφάνειας: παίρνουμε: Re = ρ U D μ p= f l 1 64 l µ l U ρ U2 = ρ U 2 = 32 2 D 2 ρ U D D D2 µ Επίσης, η διαφορά πίεσης λόγω της τριβής διαιρώντας δια γ=ρg γίνεται: f l Δp l U2 2 p= ρ U = h= f 2 D γ D 2g (πτώση πίεσης σε διαστάσεις m)

11 Μόνιμη τυρβώδης ροή σε κυκλικό αγωγό Με τις συνεχείς μετακινήσεις των στροβίλων η κατανομή της ταχύτητας είναι πιο ομοιόμορφη στη στροβιλώδη ροή Η τύρβη δημιουργείται από τις διατμητικές δυνάμεις που αναπτύσσονται λόγω του ιξώδους και από τις διαφορετικές ταχύτητες των γειτονικών στρωμάτων

12 Μόνιμη τυρβώδης ροή σε κυκλικό αγωγό Η ταχύτητα μπορεί να παρουσιάζει διακυμάνσεις, Εκτός από αυτές των στροβίλων, και στον χρόνο Επειδή δεν υπάρχει αναλυτική σχέση για την κατανομή των ταχυτήτων, Αναπτύχθηκαν πολλές εμπειρικές σχέσεις

13 Επίδραση του Re στην κατανομή Ο Blasius, για λείους αγωγούς (ανέφικτο), και για Re< έδωσε Τον νόμο αντίστασης για τον συντελεστή τριβής: f= Re 0.25 O Nikuradse, βρήκε κατανομή Ταχυτήτων της μορφής: U r = 1 U0 R 1 n Όπου ο συντελεστής n παίρνει τιμές μέχρι 10 για μεγάλους αριθμούς Re. Στο σχήμα φαίνεται ότι αυξάνεται η ομοιομορφία της κατανομής με τον Re

14 Prandtl - Οριακή στοιβάδα

15 Prandtl νόμος τριβής Διαδοχικές προσεγγίσεις για το f: ( ) 1 = 0.87 ln Re f 0.8 f Σχέση Colebrook White για τη μεταβατική περιοχή (προσεγγιστική) ε = log + f R Re f

16 Εξισώσεις υπολογισμού του f

17 Τυρβώδης ροή σε σωλήνες με τραχύτητα Η τραχύτητα υπάρχει και μετριέται σε mm (απόλυτη) ή σχετική ως προς τη διάμετρο. Είναι μέτρο παρέκλισης πραγματικού τοιχώματος από το ιδεατό. Κύριος λόγος για την πτώση πίεσης: Δυνάμεις πίεσης όταν το ρευστό περιρέει τις προεξοχές και σχηματίζονται νεκροί χώροι στις εσοχές. Στρωτή ροή = αμελητέα επίδραση

18 Επίδραση της σχετικής τραχύτητας σε μεγάλους Re Σχετική τραχύτητα ε/d f Σχέση Von-Karman Nikuradse: 1 = 2 log ( Re/ ε ) f

19 Moody diagram

20 ΣΥΝΟΨΙΖΟΝΤΑΣ: ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΟΥ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Ο συντελεστής απωλειών Κ για ροή σε κυλινδρικό αγωγό δίνεται από την εξίσωση Darcy-Weisbach Vµ2 2 L Vµ hf = K = f 2g D 2g Όπου, L = μήκος κυλινδρικού αγωγού D = Διάμετρος κυλινδρικού αγωγού f = συντελεστής τριβής K= f L D

21 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ MOODY e f = F Re, D Re = e = D Στρωτή Ροή ρ Vµ D µ = Vµ D ν Σχετική Τραχύτητα Relative Roughness f = Τυρβώδης Ροή 64 Re 1 e = 0.8 ln 3.7 D f Μεταβατική Ροή e = 0.86 ln + f 3.7 D Re f

22

23 Τύποι προβλημάτων ροής σε απλές σωληνώσεις

24 Επίλυση προβλήματος ροής Α τύπου

25 Επίλυση προβλήματος ροής Β τύπου

26 Επίλυση προβλήματος ροής Γ τύπου

27 άσκηση

28 άσκηση

29

30

31