ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α

1

2 Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος; Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2; Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3; Α. Να αναφέρετε ποια είναι τα είδη των τριγώνων, αν τα εξετάσουμε ως προς τις γωνίες τους; Β. Να γράψετε πώς ορίζεται κάθε ένα από τα προηγούμενα είδη τριγώνων. Γ. Τι λέγεται ύψος ενός τριγώνου; Να υπολογίσετε την παράσταση Α = 2x 2 5x + 24y, όπου: x = 3 (2 5 2 3 + 4) + 6 2 : 4 8 (2 4 13) και y = 1 2 3 4 + 1 6 : 2 5 3 4 Να γράψετε κύκλο (Ο, 3cm), να σχεδιάσετε μία διάμετρο ΒΓ και μία ακτίνα ΟΑ κάθετη στη διάμετρο ΒΓ. Να φέρετε τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Α. Πώς λέγονται στον κύκλο τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ και γιατί; Β. Να δικαιολογήσετε ότι τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα. Γ. Αν γωνία ΑΒΓ = 45, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΓΒ, δικαιολογώντας την απάντησή σας. Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι ε 1 ε 2. Αν γωνία α = 35 και γωνία β = 120, ε 1 β = 120 να υπολογίσετε τις γωνίες ω, φ και θ. Σε κάθε περίπτωση να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ε 2 α = 35 ω φ θ ε

3 Α. Ποιο τετράπλευρο λέγεται τραπέζιο; Β. Τι λέγεται ύψος του τραπεζίου; Γ. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο και το ύψος του. Α. Ποια κλάσματα λέγονται ομώνυμα; Β. Πώς προσθέτω δύο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα; Γ. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή ποιο είναι το μεγαλύτερο; Να αντιστοιχίσετε κάθε πράξη της πρώτης στήλης με το αποτέλεσμά της, στη δεύτερη στήλη: Α. Β. Γ. Δ. Στήλη Α 5 1 3 2 5 3 6 1 3 + 2 8 3 6 : 10 5 Στήλη Β α. 5 9 β. 1 4 γ. 4 3 δ. 2 3 ε. 4 10 στ. 7 8 Α. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α = ( 2 ) ( 5 ) + 3 ( 2) + (5) 0 + ( 1) 3 και Β = 2 1 2 + 5 3 4 2 (2) 2 Β. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Γ = (Α : Β) + (Α + Β) Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες. Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. Β. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία x είναι διπλάσια από τη γωνία y, να υ- πολογίσετε πόσες μοίρες είναι η κάθε μία από τις γωνίες φ, x, y. ε 1 ε 2 B A ω = 30 y α β δ 1 φ x Γ γ

4 Α. Τι καλείται ευκλείδεια διαίρεση; Πότε η ευκλείδεια διαίρεση λέγεται τέλεια; Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν Δ = δ τότε π =. β. Αν δ = 1 τότε π =.. γ. Αν Δ = 0 τότε π =. Α. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους. Β. Τι καλείται διάμεσος και τι ύψος ενός τριγώνου; Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις: α. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180. β. Οι γωνίες που πρόσκεινται στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι οξείες. γ. Κάθε τρίγωνο έχει οπωσδήποτε δύο οξείες γωνίες. δ. Κάθε αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει δύο οξείες γωνίες. Α. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α. Α = 18 + 15 β. Β = 1 1 + 2 3 6 [( 1)2 2 3 ( 2 1)] Β. Να λυθεί η εξίσωση: x + Α = Β. Τηλεόραση πουλήθηκε με έκπτωση 20 % και ο αγοραστής ωφελήθηκε 250 ευρώ. Ποια ήταν η αξία της τηλεόρασης πριν την έκπτωση; Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι 20. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ A και προς τις δύο μεριές και παίρνουμε τμήματα ΒΔ =ΑΒ και ΓΕ = ΑΓ. Α. Να βρεθούν οι γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες Δ και Ε. Γ. Να υπολογίσετε τη γωνία Α του τριγώνου ΑΔΕ. Δ B Γ E

5 Α. Να γραφούν τα είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και ως προς τις πλευρές τους. (ορισμοί σχήματα) Β. Γιατί ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο αμβλείες γωνίες; Γ. Τι είναι ύψος και τι διάμεσος τριγώνου (ορισμοί σχήματα) Α. Γράψτε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού στους ρητούς αριθμούς. Β. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: α ν : α μ =., ν α β =., (αν ) μ =.., α 0 =.. α ν =., 1 ν =.., α β ν =.. Γ. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι; Στο παρακάτω σχήμα είναι ε 1 // ε 2. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ορθογώνιο στο Γ και Α = 40. Να υπολογιστούν οι γωνίες θ, φ, ω. ε 1 A ω Δ 40 θ ε 2 B Γ φ Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 3 (5 2 2 3 3) 6 + 10 3 0,1 2 (8:2 2 ) 2 + 100 2 : 10 3 Παντοπώλης έχει ένα βαρέλι με 120 kg τυρί. Την πρώτη μέρα πουλάει το 1 του περιεχομέ- 4 νου του και τη δεύτερη μέρα τα 2 του αρχικού περιεχομένου του. Να βρεθεί πόσα κιλά τυρί 5 έμειναν στο βαρέλι.

6 ΘΕΜΑΤΑ Α. Να γράψετε την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης και να εξηγήσετε τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Β. Αν διαιρέσουμε έναν φυσικό αριθμό με το 7, ποια μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης; Σε ποια περίπτωση η διαίρεση είναι τέλεια; Γ. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις; 216 = 50 4 + 16 και 446 = 18 23 + 32 Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Α. Να σχεδιάσετε δύο κατακορυφήν γωνίες, να τις ονομάσετε και να γράψετε τη σχέση που τις συνδέει. Β. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Γ. Σχεδιάστε δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 1 3 1 Α = : + 2 4 3 1 5 1 + 4 2 5 και 3 2 Β = ( 3 5 7 8 2 : ) ( 12 8) 2 και να λύσετε την εξίσωση Α + x = B. Σε μια αθλητική συνάντηση πήραν μέρος 450 αθλητές. Από αυτούς το 1 ήταν άνδρες, τα 5 3 γυναίκες και τα υπόλοιπα παιδιά. 10 Α. Πόσοι ήταν οι άνδρες, πόσες οι γυναίκες και πόσα τα παιδιά; Β. Τι ποσοστό % είναι οι άνδρες, οι γυναίκες και τα παιδιά; Στο σχήμα είναι ε 1 // ε 2. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ και ε. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. ε 1 ε 2 ε 3 ε δ A φ = 98 α Γ γ β B ω =38 ε 4

7 Α. Πώς συγκρίνουμε δύο κλάσματα; Β. Πώς προσθέτουμε δύο κλάσματα; Γ. Πώς πολλαπλασιάζουμε και πώς διαιρούμε δύο κλάσματα; Α. Τι λέγεται μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος; Β. Να σχεδιάσετε τη μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Γ. Ποια ιδιότητα έχει κάθε σημείο της μεσοκαθέτου; Ο Γιώργος αγόρασε ένα Laptop με συντελεστή Φ. Π. Α. 21% και έδωσε συνολικά 1512,50. Να υπολογιστούν: Α. Η αξία του Laptop χωρίς Φ. Π. Α. ( ) Β. Ο Φ. Π. Α. που πλήρωσε ( ) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α = ( 2 ) 3 + ( 18 + 3 5) 2 : ( 3 ) 8 7 Β = + ( 12) και 3 2 Γ = 2 Α Β 2 A ω Στο διπλανό σχήμα δίνεται: ε 1 // ε 2, ω = 38 και φ = 102. β γ φ ε Να υπολογιστούν οι γωνίες α, β, γ 2 B Γ και θ. ε 1 α θ

8 Α. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι; Β. Να γράψετε πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους και πώς δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες, γράφοντας στην κόλλα σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το αντίστοιχο σύμβολο. α. Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που είναι ετερόσημοι. β. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν άθροισμα μηδέν. γ. Ο μεγαλύτερος από δύο αρνητικούς αριθμούς είναι εκείνος που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. δ. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν πηλίκο 1. ε. Το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι αρνητικός αριθμός. Α. Να γράψετε τα είδη των τριγώνων με βάση τις γωνίες τους. Να κάνετε ένα σχήμα σε κάθε περίπτωση. Β. Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες, γράφοντας στην κόλλα σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το αντίστοιχο σύμβολο. α. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 90. β. Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι πάντα οξυγώνιο. γ. Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι παραπληρωματικές. δ. Ισόπλευρο λέγεται ένα τρίγωνο όταν έχει δύο ίσες πλευρές. ε. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. Α. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (3 2 2 3 ) 10 + (7 2 2 23) 3 (3 4 2 + 2 4 ) : 4 1 1 2 Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Β = + 1 6 12 3 Γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Γ = Α Β. Τι συμπέρασμα προκύπτει για τους αριθμούς Α, Β; ε 4 ε 3 Στο παρακάτω σχήμα είναι ε 1 //ε 2. Να υπολογίσετε τις γωνίες φ, θ, x, ω. Να αιτιολογήσετε πλήρως κάθε ισχυρισμό σας. Σε ένα Γυμνάσιο υπάρχουν συνολικά 300 μαθητές. Αν τα 3 των μαθητών αυτών είναι αγό- 5 ρια και το 1 των κοριτσιών ασχολείται με το μπάσκετ. Να βρείτε: 4 Α. Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια του σχολείου; Β. Πόσα κορίτσια του σχολείου ασχολούνται με το μπάσκετ; Γ. Ποιο μέρος του συνόλου των μαθητών του σχολείου αντιπροσωπεύουν τα κορίτσια που ασχολούνται με το μπάσκετ; 144 φ ε 1 104 ε 2 B ω A θ x Γ

9 Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες: α. Όταν δύο ποσά x και y είναι ανάλογα, τότε οι αντίστοιχες τιμές τους δίνουν πάντα και συνδέονται με τη σχέση. β. Όταν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό και συνδέονται με τη σχέση.. γ. Που βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιμών (x,y) δύο αναλόγων ποσών; δ. Που βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη τιμών (x, y) δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών; Α. Ποιες γωνίες ονομάζονται εφεξής; να σχεδιάσετε δύο τέτοιες γωνίες. Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες: α. Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180 ονομάζονται. β. Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90 ονομάζονται. γ. Κατακορυφήν γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους.. και τις πλευρές τους. Γ. Να χαρακτηρίσεις τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Μια γωνία λέγεται αμβλεία όταν είναι μικρότερη από 90 β. Οι πλευρές της ορθής γωνίας είναι κάθετες ημιευθείες γ. Πλήρης γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 360. Μια πλατεία έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και το μήκος της είναι 20m. Το πλάτος της είναι ίσο με τα 4 του μήκους της. Τότε: 5 Α. Να αποδείξετε ότι το πλάτος της είναι 16m. B. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της. Γ. Πόσες πλάκες σχήματος τετραγώνου με πλευρά 4m θα χρειαστούν, για να στρωθεί η πλατεία; Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις: 2 Α = ( 2) 2 + ( 2) ( 3) + 2 [( 3) 3 2 : 3] ( 3 1) και Β = 2 2 1 + 3 3 Να αποδείξετε ότι: Α. Α = 4 και Β. Β = 2 Γ. Να λύσετε την εξίσωση: x Α = Β (όπου Α και Β είναι οι τιμές των αριθμητικών παραστάσεων που υπολογίσατε στα ερωτήματα α και β). Γ δ Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες και α = 60 και γ 1 ε η ε ζ = 70. Να δικαιολογήσετε: Α. γιατί η γωνία ζ είναι 50. Β. γιατί η γωνία ε είναι 70. α β γ ε 2 Γ. Να υπολογίσετε τις γωνίες η, δ και β και να A B δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

10 Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος; Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται σύνθετος; Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 και πότε διαιρείται με το 3; Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; B. Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; Γ. Ποια σχέση έχουν μεταξύ τους δύο κατακορυφήν γωνίες; Σχεδιάστε δύο κατακορυφήν γωνίες. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 12 (2 5 : 4 2 + 3 3 : 3 2 ) + 3 (16 6) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 8 7 : 3 3 1 + 4 5 8 + 4 1 7 Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ε 1 είναι παράλληλη δ με την ημιευθεία Γx (ε 1 // Γx). Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ) και η γωνία ρ = 150. Να βρεθούν: Α. Οι γωνίες φ, ω, y, μ. x ρ = 150 μ ω B A y φ ε G Β. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του;

11 Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; ΘΕΜΑΤΑ Β. Τι συμβαίνει με το λόγο των αντίστοιχων τιμών που παίρνουν δύο ανάλογα ποσά και τι ονομάζουμε συντελεστή αναλογίας; Γ. Με ποια σχέση συνδέονται δύο ανάλογα ποσά x και y; Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος; Ποιες είναι οι ιδιότητες της μεσοκαθέτου (3 ιδιότητες); Αν α = 5 4 4 2 2 + 5 3 + 3 4 : 6 8 και β = 2 4 (18,6 : 0,6 3 3 ) 8 0,5 2 να βρεθεί ο x ώστε: α x = β. Ένας έμπορος αγόρασε 150 κιλά ντομάτες προς 1,2 το κιλό. Του χάλασαν το 10% από αυτές. Τις υπόλοιπες τις πούλησε προς 1,8 το κιλό. Να βρεθούν: Α. πόσα κιλά ντομάτες χάλασαν. Β. πόσα χρήματα κέρδισε Γ. το ποσοστό του κέρδους. ε 1 Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 // ε 2 και γ ΑΔ διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ β δ α 150 δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. A B Δ Γ ε 2

12 Α. Με ποιους τρόπους προκύπτουν ισοδύναμα (ίσα) κλάσματα; Β. Ποιο κλάσμα λέγεται ανάγωγο; Γ. Ποια κλάσματα λέγονται ομώνυμα και ποια ετερώνυμα; Α. Τι είναι χορδή κύκλου; (Να γίνει και το σχήμα) Β. Τι είναι διάμετρος κύκλου και τι ξέρετε για αυτή; (Να γίνει και το σχήμα) Γ. Τι είναι τόξο του κύκλου; (Να γίνει και το σχήμα) Η τιμή ενός αυτοκινήτου είναι 12000 (ευρώ) και πουλήθηκε με έκπτωση 15%. Να βρεθούν: α. Το ποσό της έκπτωσης. β. Πόσα ευρώ πουλήθηκε; Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: A= ( 8) (+ 2) ( 3) ( 4) + ( 5):( 5) ( 2010) + 0 1 2 2 δ 1 δ 2 ε 1 125 Στο διπλανό σχήμα δίνονται ότι οι ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες (ε 1 // ε 2 ). Να βρεθούν οι γωνίες α, β και γ. ε 2 50 α γ β

13 Α. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 2; Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3; Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 και το 5 συγχρόνως; Πότε δύο γωνίες ονομάζονται: Α. Εφεξής Β. Κατακορυφήν Γ. Συμπληρωματικές Δ. Παραπληρωματικές (Σε κάθε περίπτωση να κάνετε και σχήμα) Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. x + 10 = 8 και Β. x +10 = 1 8 Να βρεθούν τα: Α = 3 5 2 + 2 3 + 3 6 6 7 Β = 6 2 (8 2 3) και η διαφορά τους Α Β. Στο διπλανό σχήμα είναι: A ω ε 1 // ε 2, Γ = 60 και z B y = 38. x E ε 1 Να υπολογίσετε τις γωνίες φ, x, y, ω χωρίς να χρησιμοποιήσετε μοιρογνωμόνιο. Γ 60 φ Δ 38 ε 2 (Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας). ε 3 ε 4

14 Α. Τι λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση; Β. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες προκύπτουν από Ευκλείδεια διαίρεση 82 = 8 9 + 10 (1) 47 = 7 6 + 8 (2) Γ. Να γράψετε την ισότητα που προκύπτει από την Ε. διαίρεση 3583 : 17 Α. Πότε μια γωνία είναι οξεία, πότε ορθή και πότε αμβλεία; (σχήμα) Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξείς; (σχήμα) Γ. Πότε δύο γωνίες είναι συμπληρωματικές; (σχήμα) Ένας έμπορος αγόρασε 60 κιλά βερίκοκα προς 2 το κιλό και 90 κιλά πορτοκάλια προς 0,80 το κιλό. Πούλησε τα βερίκοκα με ζημιά 5% και τα πορτοκάλια με κέρδος 10%. Α. Πόσο πούλησε τα βερίκοκα το κιλό και πόσο τα πορτοκάλια; Β. Κέρδισε ή ζημιώθηκε και πόσο; Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = 7 5 2 3 2 (4 3 2 2 ) (2 5 5 2 ) : 1 3 2 Β = 7 7 : 5 3 7 7 Να υπολογίσετε το λόγο Α : Β (να απλοποιήσετε το αποτέλεσμα) A B Άσκηση 3 η Στο διπλανό σχήμα η ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες και το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές με ΟΓ = ΟΔ. Να υπολογίσετε τις γωνίες φ, x, y και ω. ε 1 ω y x O φ ε 2 Γ Δ ε 3 44 ε 4

15 Α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: α. Αν δύο μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα και το ένα πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό, το άλλο. με τον.. αριθμό. β. Αν τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα τότε το. των αντίστοιχων τιμών τους είναι γ. Η γραμμή που βρίσκονται τα σημεία που παριστάνουν τα ζεύγη τιμών δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών είναι.. και λέγεται Οι προτάσεις συμπληρωμένες να μεταφερθούν στην κόλλα σας. Να αντιστοιχίσετε κάθε γωνία ω της στήλης Α με την ονομασία της από τη στήλη Β. Ο πίνακας με τις απαντήσεις να μεταφερθεί στην κόλλα σας. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β α. ω = 180 1. Πλήρης γωνία β. ω < 90 2. Μηδενική γωνία γ. ω = 0 3. Αμβλεία γωνία δ. ω = 360 4. Ευθεία γωνία α β γ δ ε ε. 90 < ω <180 5. Οξεία γωνία Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει μήκη πλευρών ΑΒ = 0,4dm, ΒΓ = 7,8cm και ΑΓ = 75mm. Να βρείτε την περίμετρό του σε cm. 2 Να κάνετε τις πράξεις: 1 3 5 +( 5 ) 2 3 : 1 2 Στο παραπάνω σχήμα είναι ε 1 // ε 2. Να ε 1 δ 70 Γ γ υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ. Να μεταφέρετε το σχήμα στην κόλλα σας και να δικαιολογήσετε τις απα- ε 2 50 A α β B ντήσεις σας. ε 3 ε4

16 Α. Πότε δύο κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα; Β. Πότε δύο κλάσματα ονομάζονται ετερώνυμα; Γ. Πότε ένα κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο; (Να δώσετε και ένα παράδειγμα για κάθε περίπτωση). Α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές; Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές; Γ. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; (Να κάνετε και ένα σχήμα για κάθε περίπτωση). Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: Α = 5 2 +2 3 3 (6,2 3,2) 2 : 3 1 Β = 1 1 + 2 3 : 7 2 1 3 1 6 3 2 4 Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. γ ε 1 43 Από τους μαθητές της Α Γυμνασίου ενός σχολείου τα 3 3 παρακολουθούν Γερμανικά, τα 5 10 παρακολουθούν Γαλλικά και οι υπόλοιποι μαθητές παρακολουθούν Ιταλικά. Αν γνωρίζουμε ότι 54 μαθητές παρακολουθούν Γερμανικά, να υπολογίσετε: Α. πόσοι είναι οι μαθητές της Α Γυμνασίου Β. πόσοι μαθητές παρακολουθούν Γαλλικά Γ. το ποσοστό των μαθητών της Α Γυμνασίου που παρακολουθούν Ιταλικά. ε 2 ε 3 β 65 α δ ε 4

17 Α. Πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς; Β. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς; Γ. Πότε δύο αριθμοί, διαφορετικοί από το μηδέν, λέγονται αντίστροφοι; Α. Τι ονομάζεται κύκλος; Β. Τι λέγεται χορδή ενός κύκλου; δ Γ. Πώς λέγονται οι ευθείες ε και δ του διπλανού ε σχήματος, σε σχέση με τη θέση τους ως προς τον κύκλο (Ο, ρ); A O M Να δώσετε τους αντίστοιχους ορισμούς. (τα Α, Β, Μ είναι σημεία του κύκλου). B Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: 2 4 3 2 (37 4 2 3 ) 9 + (4 3 : 4 7) 2 : 3 Αν x = 5 3 1 7 3 2 και y = 3 2 : 7 4 4 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: x + 3 y. Στο διπλανό σχήμα είναι Δx // ΒΓ. Αν A ω = 80 και φ = 145, να υπολογίσετε (χωρίς μέτρηση) τις γωνίες του τριγώ- Δ ω E φ x νου ΑΒΓ. B Γ

18 Α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α. Ομώνυμα λέγονται δύο κλάσματα που έχουν.. β. Ετερώνυμα λέγονται δύο κλάσματα που.. γ. Ισοδύναμα λέγονται δύο κλάσματα όταν.. δ. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό, εκτός του μηδενός, προκύπτει κλάσμα..με το αρχικό και τη διαδικασία ονομάζουμε ε. Από δύο κλάσματα ομώνυμα μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει στ. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει. ζ. Τα κλάσματα πρέπει να είναι ή να γίνουν,., για να τα προσθέσουμε. Α. Ποια είναι τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους; (να δώσετε ορισμούς και να κάνετε σχήματα). Β. Τι γνωρίζετε για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; Γ. Πόσες ορθές γωνίες έχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο και γιατί; δ 1 α β ε Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες 1 δ γ ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες. ε ζ ε 2 θ η Να γράψετε: Α. όλα τα ζεύγη των κατακορυφήν γωνιών και τι σχέση έχουν μεταξύ τους. Β. όλα τα ζεύγη των εντός εναλλάξ γωνιών και τι σχέση έχουν μεταξύ τους. Γ. όλα τα ζεύγη των εντός, εκτός και επί τα αυτά γωνιών και τι σχέση έχουν μεταξύ τους Δ. αν α = 125, να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του σχήματος. Να βρείτε το σωστό και το λάθος από τα παρακάτω και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας: α. x + x + x = x 3 β. 2 (α + 3) = 2α + 6 γ. 10 8 0 200 = 0 δ. 45 : 0 = 0 ε. 2 5 = 5 2 στ. 20 16 : 4 = 1 ζ. 650 : 13 2(3 + 2) 2 = 0 Α. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α. Αν διπλασιάσουμε την τιμή ενός από δύο ανάλογα ποσά και η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού θα.. β. Αν x και y είναι δύο ανάλογα ποσά, τότε συνδέονται με τη σχέση. γ. Οι λόγοι των αντίστοιχων τιμών δύο ανάλογων ποσών είναι πάντα. δ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα των παρακάτω ανάλογων ποσών: x 1 2 2,5 y x 8 16

19 Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Β. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι; Γ. Να συμπληρώσετε τις ισότητες. α 0 α 1 =.. α α = 0 α =. Α. Τι λέγεται ύψος τριγώνου; Β. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους. Γ. Μπορεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο να είναι συγχρόνως και ορθογώνιο; (Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας). Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = 1 + (7 2 2 23) 4 (17 6 2) [2 6 2 4 (4 3 2 5 2 )] Τα 6 παντελόνια κοστίζουν 270. Α. Πόσο κοστίζουν τα 15 παντελόνια; Β. Για τα 15 παντελόνια μας έκαναν έκπτωση 20%. Πόσα χρήματα πληρώσαμε τελικά; Άσκηση 3 η δ 1 δ 2 Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες (ε 1 ) και (ε 2 ) είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β και γ. ε 1 ε 2 β γ 142 75 α

20 Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ομώνυμα; Β. πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Γ. Να βάλετε το κατάλληλο από τα σύμβολα (>, <, = ) παρακάτω: α. 3 4... 3 5 β. 5 8... 7 8 γ. 3 4. 6 8 δ. 5 4. 6 7 Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν; Β. Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; Γ. Να σχεδιάσετε δύο γωνίες οι οποίες να είναι ταυτόχρονα εφεξής και παραπληρωματικές. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α. Α = 3 2 (2 3 5) 8 2 : (4 2 2 3 ) + 1 2010 Β. Β = 1 4 3 1 2 3 1 + 4 2 : 3 2 +1 Γ. Να λυθεί η εξίσωση: x Α = 0. Β Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε χαράξει το ύψος ΒΔ και την ευθεία (ε) κάθετη στo τμήμα ΒΔ στο σημείο Β. 64 Α. Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών ΑΓ και ε (ε) και να τη δικαιολογήσετε. φ 48 ω Β. Αν η γωνία ΒΑΓ = 64 και η γωνία ΔΒΓ = 48, B Γ να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ. Στον παρακάτω πίνακα τα ποσά x και y είναι ανάλογα. A x 0,5 2 y 4 26 1 2 Α. Να υπολογίσετε το συντελεστή αναλογίας. Β. Να γράψετε τη σχέση που συνδέει τα ποσά x και y. Γ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

21 Α. Ποια είναι τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές; Να γράψετε τον ορισμό και το σχήμα σε κάθε περίπτωση. Β. Τι λέμε διάμεσο, τι ύψος και τι διχοτόμο τριγώνου; Να γράψετε τον ορισμό και το σχήμα σε κάθε περίπτωση. Α. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι; Δώστε από ένα παράδειγμα. Β. Πότε δύο ρητοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι; Δώστε από ένα παράδειγμα. Ποιος είναι ο αντίθετος του α και ποιος ο αντίστροφός του; Αν Α = ( 4) + ( 6 ) ( + 7) + ( + 6) ( 3 ) + ( 4 ) και Β = ( )( 2 3 3 3 2 1 1 3 ) + + 3 2 : 1 6 Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α. Κ = Α Β Β. Μ = ( Α ) ( Β ) Μια βεράντα έχει σχήμα ορθογώνιο με διαστάσεις 6,3m και 48dm. Θέλουμε να τη στρώσουμε με τετράγωνες πλάκες πλευράς 30cm. Α. Πόσες πλάκες θα χρειαστούμε; Β. Αν οι πλάκες είναι συσκευασμένες σε πακέτα που περιέχουν 6 πλάκες το καθένα, πόσα χρήματα θα πληρώσουμε αν το κάθε πακέτο κοστίζει 18. ε 1 Στο παραπάνω σχήμα οι ευθείες ε1, ε 2 είναι παράλληλες (ε 1 // ε 2 ) και τέμνονται από την ευθεία δ. Αν δίνονται οι γωνίες: α = 74 και ε 2 ω x α β = 32, να υπολογίσετε τις γωνίες x, φ, και ω και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. δ φ β

22 Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ομώνυμα; Β. Πώς προσθέτουμε δύο ομώνυμα κλάσματα; Γ. Από δύο ομώνυμα κλάσματα ποιο είναι το μεγαλύτερο; Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής; Β. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Γ. Να σχεδιάσετε δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = 5 2 5 4 (8 2 3 4 2 ) 1 και 1 1 Β = + 3 2 : 1 6 Α. Να δείξετε εφαρμόζοντας την προτεραιότητα των πράξεων ότι Α = 95. Β. Να δείξετε εφαρμόζοντας την προτεραιότητα των πράξεων ότι Β = 5. Γ. Αντικαθιστώντας τις προηγούμενες τιμές στη θέση των Α και Β και εφαρμόζοντας στη συνέχεια την προτεραιότητα των πράξεων να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ = Α 7 Β. Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές και η μία είναι πενταπλάσια της άλλης. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η κάθε μία. δ 1 δ 2 Στο διπλανό σχήμα δίνονται ότι ε 1 //ε 2 και β = 42 ε 1 γ ζ δ ότι οι γωνίες α = 110 και β = 42. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες γ, δ και ζ. Να τοποθετήσετε δικά σας γράμματα σε όσες άλλες γωνίες χρησιμοποιήσετε. Να αιτιολογείτε κάθε βήμα που κάνετε. ε 2 α= 110

23 Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα; Αν ισχύει α β = γ με ποια σχέση δ συνδέονται οι όροι α, β, γ, δ των κλασμάτων; Β. Να γράψετε με ποιους τρόπους μπορούμε να πάρουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με ένα αρχικό κλάσμα. Να γράψετε παράδειγμα για κάθε περίπτωση. Γ. Να γράψετε πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο και πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα. Να δώσετε παράδειγμα για κάθε περίπτωση. Α. Να δώσετε τους ορισμούς: κύκλος (Ο, ρ) και κυκλικός δίσκος (Ο, ρ). Πότε δύο κύκλοι είναι ίσοι; Το κέντρο ενός κύκλου είναι σημείο του; Β. Να δώσετε τους ορισμούς: ακτίνα, χορδή, διάμετρος και τόξο κύκλου. Να γίνουν τα κατάλληλα σχήματα. Γ. Σε πόσα τόξα χωρίζει κάθε διάμετρος έναν κύκλο; Πώς ονομάζονται αυτά και τι σχέση έχουν μεταξύ τους; Να γίνει το σχήμα.. Να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: Α = 5 1 6 2 : 4 3 και Β = (5 22 3 4) : 2 Για τις τιμές των Α και Β που βρήκατε να υπολογίσετε το γινόμενο Α Β. Τι συμπεραίνετε για τους αριθμούς Α και Β; Κατόπιν να βρείτε τη διαφορά Α Β. Δίνεται η σχέση αναλογίας δύο ποσών: y = 75% x Α. Ποιος είναι ο συντελεστής αναλογίας; Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών: x 0 4 10 y 4,5 6 Γ. Να τοποθετήσετε τα παραπάνω σημεία (x, y) σε ένα ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας των ποσών x και y. ε 2 ε 1 Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες (ε 1 // ε 2 ), η ΑΔ είναι διχοτόμος της Δ Γ v γωνίας ΒΑΓ και η γωνία ΒΑΔ = 47. Η ΔΓ είναι κάθετη στην ευθεία ε 1.Να βρείτε χωρίς μέτρηση, με συλλογισμούς, τα μέτρα των γωνιών: ω, ν, θ, φ, κ, λ. δ A θ ω 47 φ λ B κ

24 Α. Πώς προσθέτουμε 2 ομόσημους ρητούς και πώς προσθέτουμε 2 ετερόσημους ρητούς; Β. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι και με τι ισούται το άθροισμά τους; Γ. Τι ιδιότητα έχει το μηδέν, όταν το προσθέσουμε με ένα ρητό; Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής; Β. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές και πότε λέγονται συμπληρωματικές; Γ. Να σχεδιάσετε 2 εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες και 2 εφεξής και συμπληρωματικές γωνίες. Δίνονται οι παραστάσεις: 1 2 Α = 3 1 + 2 3 2 5 1 : 3 6 2 και Β = 10 2 : (16 + 3 2 ) (2 3 3 4) Α. Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή της παράστασης Α. Β. Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή της παράστασης Β. Γ. Να συγκρίνεις τις αριθμητικές τιμές της Α και Β. Α. Σε μία τάξη ενός σχολείου τα κορίτσια είναι 96 και αποτελούν τα 2 της τάξης. 5 Να υπολογίσετε πόσοι είναι όλοι οι μαθητές της τάξης. Β. Να υπολογίσετε πόσα είναι τα αγόρια της τάξης. Γ. Αν τα 3 των αγοριών της τάξης μαθαίνουν Αγγλικά, να βρείτε πόσα είναι τα αγόρια 4 αυτά. δ Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1, ε 2 είναι παράλληλες μεταξύ τους. Η Αδ είναι η διχοτόμος της γωνίας EΑΒ. Να υπολογίσετε τις ε 1 Γ 110 v B γωνίες x, y, ω και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας χωρίς να χρησιμοποιήσετε x ε 2 E A y μοιρογνωμόνιο. ε 3

25 Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Β. Μεταξύ δύο ομώνυμων κλασμάτων ποιο είναι το μεγαλύτερο; Δώστε ένα παράδειγμα. Γ. Πότε ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα; Δώστε ένα παράδειγμα. Α. Ποια γωνία λέγεται οξεία, ποια λέγεται αμβλεία και ποια γωνία λέγεται ορθή; (ορισμός σχήμα) Β. Ποιες γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές; (ορισμός σχήμα) Γ. Ποιες γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; (ορισμός σχήμα) Δίνονται οι παραστάσεις: Α = 1 + 2 3 (2 2 3) + ( 4) + ( 2) 1 Β = 1+ 2 : 3 2 4 8 Α. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β. Β. Να λύσετε την εξίσωση: Α x = Β. Ένας έμπορος αγόρασε 150 κιλά μήλα προς 1,4 ευρώ το κιλό. Του χάλασαν όμως το 1 10 από τα μήλα. Τα υπόλοιπα τα πούλησε με 1,8 ευρώ το κιλό. Να υπολογίσετε: Α. Πόσα κιλά μήλα χάλασαν; Β. Πόσα χρήματα κέρδισε; ε 1 Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες. Α. Να υπολογίσετε το x και τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Β. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ; δ 2 ε 2 δ 1 B A 50 130 Γ x

26 Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Τι λέγεται συντελεστής αναλογίας δύο ανάλογων ποσών; Α. Τι ονομάζεται απόσταση σημείου Α από ευθεία ε; Β. Τι λέγεται απόσταση δύο παράλληλων ευθειών ε 1 και ε 2 ; Δίνονται οι παραστάσεις: 4 1 Α = 3 5 3 2 και Β = 1 2 + 3 9 : 2 9 Αφού κάνετε τις πράξεις σε κάθε μια από τις παραστάσεις Α και Β, να βρείτε ποιας το αποτέλεσμα είναι το μικρότερο αιτιολογώντας την απάντησή σας. Κάποια κυρία αγόρασε από ένα κατάστημα μια ζακέτα και ένα φόρεμα. Ο καταστηματάρχης της είπε ότι πριν την έκπτωση η ζακέτα κόστιζε 60 και το φόρεμα 220. Η κυρία αγοράζει τα δύο αυτά ενδύματα αφού της έκανε έκπτωση ο καταστηματάρχης. Στο σπίτι της βλέπει στην απόδειξή της ότι το συνολικό ποσό που πλήρωσε ήταν 248. Θυμάται ότι το ποσοστό έκπτωσης για τη ζακέτα ήταν 35%. Α. Υπολογίστε τι ποσό πλήρωσε η κυρία για τη ζακέτα. Β. Υπολογίστε ποιο ήταν το ποσοστό έκπτωσης για το φόρεμα. Στο διπλανό σχήμα είναι ε // ε και η γωνία ω = 70. Η ημιευθεία Βζ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΒΔ και η ΔΓ είναι κάθετη στη ΒΓ. Χωρίς τη χρήση μοιρογνωμονίου αλλά χρησιμοποιώντας κατάλληλες γεωμετρικές προτάσεις να υπολογίσετε: ζ A ω Γ ε ρ B φ Α. τη γωνία φ ε Δ Β. τη γωνία ρ.

27 Α. Πότε δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Β. Από δύο κλάσματα με ίσους αριθμητές και άνισους παρονομαστές ποιο είναι το μεγαλύτερο; Γ. Ένα κλάσμα α (με β 0) πότε λέγεται ανάγωγο; β Δ. Εάν το κλάσμα α δεν είναι ανάγωγο, τότε με ποιόν αριθμό πρέπει να διαιρέσουμε τους β όρους του, για να γίνει ανάγωγο; Α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές; Γ. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής; Δ. Τι λέμε διχοτόμο μιας γωνίας; Α. Μεταξύ ποιών διαδοχικών φυσικών αριθμών βρίσκεται το κλάσμα 63 5 ; Β. Να βρείτε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 3 5 και μικρότερο από το 4 5. Γ. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στον παρονομαστή του κλάσματος 3, ώστε να 5 προκύψει κλάσμα ισοδύναμο με το 9 24 ; y Στο σχήμα η x Ox είναι ευθεία. Να υπολογίσετε τις γωνίες xoy και x Oy. Στη συνέχεια να δικαιολογή- x 30 O 120 x σετε γιατί Οy Οy y Να μετατρέψετε τα σύνθετα κλάσματα Α και Β σε απλά και να αποδείξετε ότι Α Β = 1. 2 1 2 15 + Α = 3 2 Β = 3 2 3 1 1 1 : 4 3 2 28

28 Α. Αν Δ = δπ + υ με υ <δ είναι η ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης, να ονομάσετε τις μεταβλητές Δ, δ, π, υ. Β. Πότε μια Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται τέλεια και πότε ατελής; Γ. Η αληθής σχέση 65 = 7 8 + 9 είναι Ευκλείδεια διαίρεση; Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται: α. παραπληρωματικές β. συμπληρωματικές γ. κατακορυφήν. α β φ ω γ δ Β. Στα παραπάνω σχήματα ονομάστε τα ζεύγη γωνιών: Δίνεται η παράσταση: Α = 1 1 + 2 3 : 5 3 Α. Να αποδείξετε ότι: Α = 1 2 Β. Να βρείτε τον αντίστροφο του Α Γ. Να γράψετε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το Α και μικρότερο από το 1 Να λύσετε τις εξισώσεις: Α. x + 3 = 7 B. y 5 = 2 Γ. Δίνεται η συνάρτηση y = 2x x 10 = 3 5 A. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x 0 1 4 y 0 2 4 B. Να παραστήσετε τα παραπάνω ζεύγη του πίνακα τιμών στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και να χαράξετε την ευθεία που ορίζουν. Γ. Να δικαιολογήσετε γιατί τα ποσά x και y είναι ποσά ανάλογα.

29 Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Όταν δύο ποσά x και y είναι ανάλογα ποιος τύπος τα συνδέει; Α. Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; Β. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Γ. Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν; Α. Κάνετε τις πράξεις στις παραστάσεις που σας δίνονται και βρείτε τους αριθμούς Α και Β. Α = 15 2 (9 6) + 17 4 2 Β = 8 20 : 4 5 + 1 6. Β. Κάντε τώρα και τις πράξεις Β 30 και βρείτε και εδώ το τελικό αποτέλεσμα. Α Υπόδειξη: Σε όποια κλάσματα γίνονται απλοποιήσεις, είναι βολικό να τις κάνετε (δεν είναι υποχρεωτικό). Α. Σ έναν αγώνα σκοποβολής ένας αθλητής ρίχνει 80 βολές με το πιστόλι του και ένα ποσοστό 65 % απ αυτές πετυχαίνουν το στόχο ενώ οι υπόλοιπες όχι. Πόσες φορές ο αθλητής πέτυχε το στόχο; Β. Στον ίδιο αγώνα σκοποβολής ένας άλλος αθλητής (Αθλητής Β), ρίχνει 150 βολές. Από τις βολές αυτές οι 90 πετυχαίνουν το στόχο. Βρείτε το ποσοστό επιτυχίας του. Είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το ποσοστό του αθλητή Α; Στο παρακάτω σχήμα τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλα (ΑΒ // ΓΔ). A B 40 φ E x ω Υπολογίστε (χωρίς μοιρογνωμόνιο): 43 Α. τη γωνία φ Β. τη γωνία ω Γ. τη γωνία x Σε κάθε περίπτωση εξηγείστε το σκεπτικό σας! Δ Γ

30 Α. Πότε δύο κλάσματα α β και γ λέγονται ισοδύναμα; δ Β. Να συμπληρώσετε τη σχέση: αν α β = γ τότε δ Γ. Γράψατε τους δύο κανόνες με τους οποίους κατασκευάζουμε ισοδύναμα κλάσματα. Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν; Β. Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; Γ. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Α. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: Α = (13 3 4) 2 + 3 2 4 Β. Να απλοποιήσετε την παράσταση: 4 Β = 3 28 3 Γ. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α : Β όπου Α και Β οι αντίστοιχες τιμές των παραστάσεων των προηγούμενων ερωτημάτων της άσκησης. Αν οι παράλληλες ευθείες ε 1, ε 2 τέμνονται από μια ευθεία δ, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να υπολογίσετε τις γωνίες α και β. (Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας). Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: α β 2x 3x 70 δ ε 2 ε 1 2x 6 = 10 και 28 : y = 7 3 B. Για τα x και y που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να δείξετε ότι: 1 3 y + 2 x2 = 132

31 Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2; Πότε διαιρείται με το 5; Πότε διαιρείται με το 3; B. Ποιοι από τους αριθμούς που ακολουθούν διαιρούνται με 2, ποιοι με 5, ποιοι με 3; 1830, 631, 725, 84, 10011, 45, 2030, 450. Α. Δίνεται γωνία ω = 32. Πόσων μοιρών είναι η συμπληρωματική της; Πότε δύο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; B. Δίνεται γωνία φ = 123. Πόσων μοιρών είναι η παραπληρωματική της; Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Γ. Είδη γωνιών (ορισμοί σχήματα). Να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: Α = 3 4 + 2 5 2 (7 + 3) 2 + 2 3 : 4 Β = 3 2 (11 2 3 ) + 2 2 (5 2 2 4 ) Στο διπλανό σχήμα έχουμε ε 1 //ε 2 και την ευ- Δ ε 2 ω = 45 θεία δ που τις τέμνει. Να υπολογίσετε τις γωνίες κ, μ, λ του τριγώνου ΑΒΓ και να δικαιο- A λ λογήσετε πώς φτάσατε στο κάθε αποτέλεσμα. ( φ = 150, ω = 45 ) ε 1 φ = 150 B κ μ Γ δ Στο τρίγωνο ΑΒΓ, η πλευρά ΑΒ = 12 cm. Η πλευρά ΒΓ είναι τα 3 της ΑΒ και η πλευρά ΓΑ 4 είναι τα 2 της ΒΓ. Να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών ΒΓ και ΓΑ καθώς και η περίμετρος του τριγώνου 3 ΑΒΓ.

32 Α. Ποιος αριθμός λέγεται πρώτος; Β. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται με το 3; Γ. Ποιοι αριθμοί διαιρούνται και με το 2 και το 5; Α. Ποια γωνία λέγεται αμβλεία; Β. Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; Γ. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες; (κάνε σχήμα) Να απλοποιήσετε τα κλάσματα 4 8, 15 45, 15 9, 12 και μετά να τα βάλετε σε αύξουσα σειρά. 60 Να υπολογίσετε την παράσταση Α Β 3 αν Α = ( 5) 3 + ( 2) 4 και Β = 2 + 6 5. 3 5 18 Τριγώνου ΑΒΓ η γωνία Β = 60. Από σημείο Κ της πλευράς ΑΒ φέρτε παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ. Η παράλληλη αυτή τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Λ. Η γωνία ΚΛΑ = 50. Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΚΛ, ΚΑΛ και ΚΛΓ.

33 Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος; Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5; Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3; Α. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές τους. Β. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες τους. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή (Λ) αν είναι λανθασμένες: α. Ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο έχει δύο αμβλείες γωνίες β. Ένα ισοσκελές τρίγωνο μπορεί να είναι και αμβλυγώνιο. γ. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να είναι και ισοσκελές. Τα 3 των μαθητών μιας τάξης ενός Γυμνασίου είναι κορίτσια και το πλήθος των αγοριών 5 είναι 42. Να βρείτε: Α. Πόσοι είναι οι μαθητές της τάξης αυτής. Β. Πόσα είναι τα κορίτσια. Γ. Το ποσοστό των αγοριών και το ποσοστό των κοριτσιών. Α. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α = 8 3 + 2 3 5 5 2 : 5 3 23 6 Β = 3 3 1 1 1 1+ 4 2 Β. Να συγκρίνετε τα κλάσματα Α και Β. Γ. Να βρείτε ένα κλάσμα μεταξύ των Α και Β. δ1 δ 2 Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ε 1 // ε 2. δ 55 Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ χωρίς μοιρογνωμόνιο. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 45 ε 2 β ε 1 α γ

34 Α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές και πότε συμπληρωματικές; Β. Να σχεδιάσετε στο γραπτό σας δύο εφεξής και συμπληρωματικές γωνίες. Γ. Τι είδους γωνία θα είναι: α. η παραπληρωματική μιας οξείας γωνίας β. η παραπληρωματική μιας ορθής γωνίας γ. η κάθε μια από δύο γωνίες που είναι συμπληρωματικές. Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται ομώνυμα και πότε ετερώνυμα; Β. Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο; Γ. Αν και οι δύο όροι ενός κλάσματος λήγουν σε 5 τότε το κλάσμα είναι ανάγωγο; (Ναι ή όχι και γιατί) Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι xy // ΔΕ, xαδ = 70 και ΑΕΔ = 40. x A 70 α y Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες δ και α (με αιτιολόγηση) δ 40 Β. Να μεταφέρετε το σχήμα στο γραπτό σας και να Δ σχεδιάσετε την απόσταση του σημείου Ε από την ευθεία xy και να την ονομάσετε ΕΒ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΕ(με αιτιολόγηση). E Δίνονται τα κλάσματα α = 2 3, β = 5 2. Α. Να κάνετε τις πράξεις α + β, α β και α : β. Β. Να υπολογίσετε το αποτέλεσμα της παράστασης: (0,001 1000 + 0,01 100) 0,5 + 2 4 2 3 και να το συγκρίνετε με τα κλάσματα α και β. Τρεις εργάτες ολοκληρώνουν ένα έργο. Ο 1 ος εργάστηκε 20 ώρες, ο 2 ος εργάστηκε το 80% των ωρών του 1 ου και ο 3 ος εργάστηκε το 1 5 των ορών του 1ου. Α. Πόσες ώρες εργάστηκε ο 2 ος και πόσες ο 3 ος εργάτης; Β. Ο εργοδότης τους πλήρωσε συνολικά 480 ευρώ. Να τα μοιράσετε στους τρεις εργάτες ανάλογα με τις ώρες που εργάστηκαν και να βρείτε ποιο ποσοστό (%) των 480 ευρώ πήρε ο 3 ος εργάτης.

35 Α. Ποιο σχήμα ονομάζεται παραλληλόγραμμο (κάνετε σχήμα). Β. Αναφέρατε τα είδη παραλληλογράμμων (ονομαστικά, κάνετε τα σχήματα). Γ. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου. Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Τι συμβαίνει με το λόγο των αντίστοιχων τιμών που παίρνουν δύο ανάλογα ποσά και τι ονομάζουμε συντελεστή αναλογίας ; Γ. Με ποια σχέση συνδέονται δύο ανάλογα ποσά x και y; Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η Α είναι διπλάσια από τη Βκαι η Γ τριπλάσια από τη Β. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. Τι είδους τρίγωνο προκύπτει σε σχέση με τις γωνίες; Αν x = 1 3 2 9 + ( 5 ) 2 3 : 1 και 2 y = 1 5 + + 1 2 3 6 : 1 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (x 1)y x(y 5) ε φ δ Στο διπλανό σχήμα είναι: 1 α ε 1 // ε 2, ω = 110, θ = 155 γ θ Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ, φ ε 2 ω β ε 3

36 Α. Να διατυπώσετε την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης και τη σχέση του διαιρέτη με το υπόλοιπο. Β. Ποιοι αριθμοί λέγονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι(ορισμός και ένα παράδειγμα για κάθε περίπτωση). Γ. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: α. α (β + γ) =. β. 0 : α =. α 0 γ. 1 2010 =. δ. α : α =.. α 0 ε. α : 1 =. στ. λ α =.. α 0 α Α. Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος; Β. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος; Γ. Να δικαιολογήσετε γιατί η ευθεία της διαμέσου που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι και μεσοκάθετος της βάσης του. Δίνονται οι παραστάσεις: 3 1 Α = 1 2 5 2 3 και Β = (5 2 2 4 ) : (2 3 +1) + 2 2 Α. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων. Β. Να λυθεί η εξίσωση Α x = Β. Στο διπλανό πίνακα τα ποσά x και y είναι ανάλογα: x 4 10 7,2 Α. Υπολογίστε το συντελεστή αναλογίας. Β. Γράψτε τη σχέση που συνδέει τα ποσά αυτά. y 10 45 Γ. Να συμπληρωθεί ο πίνακας.: A α Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 // ε 2. x ω ε 1 Αν α = 62 και β = 110. φ β Να υπολογιστούν οι γωνίες x, φ, ω. B Γ ε 2 Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. ε

37 Διατυπώστε τα κριτήρια διαιρετότητας ενός φυσικού αριθμού με 2, 3, 4, 5, 9, 10. Α. Ποιες γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές; Β. Ποιες γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές; Γ. Ποιες γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; Ισχύει ε 1 //ε 2. Να βρεθούν οι γωνίες x, ω, φ. x 40 ε 1 120 ω φ ε 2 δ 1 δ 2 Να κάνετε τις πράξεις: 1 1 2 6 : 3 1 1 4 : 4 5 3 2 15 5. Δύο βρύσες τροφοδοτούν με νερό μια δεξαμενή. Η πρώτη παρέχει νερό για 10min και η δεύτερη για 15min. Έτσι γεμίζουν και οι δύο την δεξαμενή με 450lt νερό. Πόσα lt νερό παρέχει η καθεμιά βρύση στη δεξαμενή;

38 Α. Τι λέγεται κύκλος (Ο, ρ) και τι ακτίνα του κύκλου; (Να δοθεί και το σχήμα) Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές; Γ. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; A. Ποιους αριθμούς ονομάζουμε ομόσημους και ποιους ετερόσημους; Β. Πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους και πώς δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς; Γ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι; Να υπολογιστεί η τιμή της παρακάτω παράστασης: Α = 2 3 : (5 2 3 7) (2 3 2 4 2 ) 2 = ε ε 3 4 ε 1 α β Στο διπλανό σχήμα ε 1 // ε 2 και τέμνονται φ από τις ε 3, ε 4. Δίνεται γ = 30 και δ = 135. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β και φ. Να υπολογιστεί η τιμή της παρακάτω παράστασης: γ = 30 ε 2 d = 135 2 3 5 1 + 4 2 5 4 : 2 1 + 3 2 =

39 Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2 και πότε με το 3; Β. Πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος; Γ. Πότε δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους; A. Να γράψετε τα είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους Β. Ποιες γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές και ποιες συμπληρωματικές; Γ. Δύο παραπληρωματικές γωνίες μπορεί να είναι και ίσες; Αν α = 10 4 2 + 2 3, β = 100 (1,8 1,3) 2 2 1 και γ = 14 3 6, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = α 2 4 β + 2γ 2 Να υπολογίσετε με δύο τρόπους την τιμή της παράστασης: Α = 4 3 2 5 + 3 6 ε 1 δ φ γ Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 // ε 2. Αν είναι ω = 72 και φ = 65, α β ε 2 v να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ. ε3 ε 3

40 Α. Αναφέρατε τον κανόνα της Ευκλείδειας Διαίρεσης. Β. Πότε μία Ευκλείδεια Διαίρεση χαρακτηρίζεται τέλεια και πότε ατελής; Γ. Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι Ευκλείδειες Διαιρέσεις; α. 360 = 36 10 β. 34 = 3 10 + 4 γ. 123 = 12 10 + 3 δ. 18 = 3 5 + 3 Α. Να δώσετε τους ορισμούς των εννοιών: α. Εφεξής γωνίες β α β. Παραπληρωματικές γωνίες 67 γ. Κατακορυφήν γωνίες Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ του διπλανού σχήματος: Δίνονται οι παραστάσεις: 1 3 ( 2) ( 1) ( 12):( 2) Α = 6 ( 3+ 7) + 5 (3 7 6) 9 και Β = 1 1 1 3 + 3 2 4 5 44 δ γ 7 1 2 + 2 4 3 : 3 Αφού τις υπολογίσετε, να αποδείξετε ότι: 31 Β + 600 Α + 176 = 2010. Ξεκίνησα για την αγορά έχοντας 165 στο πορτοφόλι μου. Στο ψαράδικο αγόρασα 2,4 κιλά τσιπούρες που κόστιζαν 14 το κιλό. Είμαι τακτικός πελάτης και ο ψαράς μου έκανε έκπτωση 15%. Στο χασάπικο αγόρασα 3,6 κιλά χοιρινές μπριζόλες που κόστιζαν 6 το κιλό. Επειδή διάλεξα τις μεγαλύτερες ο χασάπης μου τις χρέωσε 20% ακριβότερα. Από ένα κατάστημα που πουλούσε εργαλεία αγόρασα ένα ηλεκτρικό τρυπάνι που κόστιζε 65. Μετά από παζάρια το πήρα 12% φθηνότερα. Σε όλα τα είδη επιβαρύνθηκα στην τελική τιμή με Φ.Π.Α 21%. Πόσα χρήματα έμειναν τελικά στο πορτοφόλι μου; Βρείτε τις γωνίες α, β και γ του παρακάτω σχήματος, αν γνωρίζετε ότι η γωνία α είναι τριπλάσια και η γωνία γ τετραπ λάσια της γωνίας β. Αν οι ευθείες ε 1 και ε 2 είναι παράλληλες, να υπολογίσετε κατόπιν τις γωνίες δ, ε, ζ και η. ε 2 ε 1 ε 3 ε ζ δ β α γ ε 4

41 Α. Να γράψετε πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής, πότε λέγονται παραπληρωματικές και πότε κατακορυφήν; Να σχεδιάσετε: α. τρεις διαδοχικές γωνίες και β. δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες. Να γράψετε πότε μια διαίρεση είναι Ευκλείδεια. Σε ποια περίπτωση έχουμε τέλεια διαίρεση; Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 5 και πότε με το 9; Αν είναι y = 4,95 76,8 + 4,95 12,8 + 4,95 10,4να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του y με τη χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας και κατόπιν αν x είναι η λύση της εξίσωσης y 2x 10 = 0, τότε: 63, να μετατρέψετε το σύνθετο κλάσμα σε απλό. 3 x 7 Από την κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας Α, που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο A y σημείο Δ. και από την κορυφή Γ φέρνουμε ημιευθεία Γy παράλληλη προς την ΑΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η γωνία yγx = 100, όπου Γx η προέκταση της B Δ 36 100 Γ x ΒΓ και η γωνία yγα = 36 να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Αν είναι x = (+1) + ( 7 ) + (+8), y = 5 + 3 2, ω ο αντίθετος του x, z = ( 7)( 10) κ = ( 6 + 12) : 2 4 + + ( 7 5 0,25) και 1 2 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = x + y + ω zκ.

42 Α. Πότε δύο αριθμοί λέγονται ομόσημοι και πότε ετερόσημοι; Β. Πώς προσθέτουμε δύο ομόσημους αριθμούς; Γ. Πώς προσθέτουμε δύο ετερόσημους αριθμούς; Δ. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι και ποιο είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσής τους; (Να δώσετε από ένα παράδειγμα σε καθένα από τα παραπάνω ερωτήματα) Α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής; Να γίνει ανάλογο σχήμα. Β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν; Ποια είναι η μεταξύ τους σχέση; Να σχεδιάσετε δύο κατακορυφήν γωνίες. Γ. Πότε δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Να σχεδιάσετε δύο γωνίες που ταυτόχρονα να είναι εφεξής και παραπληρωματικές. Δ. Πότε μια γωνία ονομάζεται επίκεντρη; Να γίνει ανάλογο σχήμα. Δίνονται οι παραστάσεις: Α = 2 4 2 2 3 : 2 + 2 3 2 5 2 και Β = (5 2 7) 4 (3 2 2 2 ). Α. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων Α και Β. Β. Να βρείτε το Ε. Κ. Π. των Α και Β. Στο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος, η γωνία Α είναι τριπλάσια της γωνίας Β, ενώ η γωνία Γ είναι μεγαλύτερη της γωνίας Β κατά 20. Γ A ω B Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Β. Να υπολογίσετε τη γωνία ω του διπλανού σχήματος. Ένας έμπορος αγόρασε ένα εμπόρευμα από έναν μεγαλέμπορα και του πλήρωσε 12.000. Κατά τη μεταφορά του χάλασε το 7 % του εμπορεύματος. Α. Πόση ήταν η χρηματική ζημιά που υπέστη κατά τη μεταφορά; Β. Το υπόλοιπο καλό εμπόρευμα το πούλησε με κέρδος 20 %. Πόσα χρήματα κέρδισε σε σχέση με την αρχική αγορά των 12.000 ; Γ. Τι ποσοστό κέρδους είχε απ όλη αυτή τη διαδικασία;

43 Α. Τι λέγεται κύκλος; Β. Θέσεις ευθείας και κύκλου (Σε κάθε περίπτωση να γίνει σχήμα). Α. Πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος; (Δώστε από 3 παραδείγματα) Β. Πότε δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους; (Δώστε ένα παράδειγμα) Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, πότε με το 4 και πότε με το 9; (Δώστε ένα παράδειγμα σε κάθε περίπτωση) Να υπολογιστούν οι γωνί ες α, β και γ του διπλανού σχήματος. Να συγκρίνετε τις παραστάσεις: Α = 8 : 4 + 3 2 (6 : 2 5 : 5) (7 4) : 3 1 γ 50 β α 150 Β = 3 5 (6 + 2) + 5 8 (7 4) 2 4 (9 + 5 7). Μια θεατρική παράσταση την παρακολούθησαν 720 θεατές. Από αυτούς τα 3 ήταν γυναίκες, 5 τα 3 ήταν άνδρες και οι υπόλοιποι παιδιά. Να βρείτε πόσες γυναίκες, πόσοι άντρες και πόσα 10 παιδιά παρακολούθησαν την παράσταση.

44 Α. Πότε δύο κλάσματα λέγονται αντίστροφα; Β. Πότε ένα κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο; Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σ τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές και με Λ αν είναι λανθασμένες: α. Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι εκείνο με το μεγαλύτερο παρονομαστή. β. Αν τα κλάσματα α β, γ είναι ισοδύναμα τότε α δ = β γ δ γ. Ισχύει ότι α β = α γ γ β δ δ δ. Όταν οι όροι ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο φυσικό αριθμό, εκτός του μηδέν προκύπτει κλάσμα ισοδύναμο. Α. Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες τους. Β. Τι ονομάζεται διάμεσος τριγώνου; Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σ τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές και με Λ αν είναι λανθασμένες: α. Το άθροισμα γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 β. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι και διχοτόμος. γ. Το σκαληνό τρίγωνο είναι πάντα οξυγώνιο. δ. Σε κάθε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι 60 Α. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = 17 3 7 3 6 5 4 2 1 3 : 5 Β = 2 5 29 1 9 + (6 2 4 9) 7 23 17 13 2 Β. Να βρείτε ένα κλάσμα μεταξύ των α, β. Γ. Να βρείτε τον αντίστροφο του α. Το 35% των μαθητών ενός σχολείου συμμετέχει στο θεατρικό όμιλο, το 15% στον περιβαλλοντικό όμιλο και οι υπόλοιποι συμμετέχουν στον αθλητικό όμιλο. Α. Αν οι μαθητές του θεατρικού ομίλου είναι 105, να βρείτε πόσοι είναι οι μαθητές όλου του σχολείου. Β. Αν όλοι οι μαθητές του σχολείου είναι 300, να βρείτε πόσοι μαθητές συμμετέχουν στον περιβαλλοντικό όμιλο. Γ. Αν το 10% του αθλητικού ομίλου κάνει κολύμβηση, να βρείτε πόσοι μαθητές κάνουν κολύμβηση. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: x x // y y, ΑΒx = 60, ΑΒΓ = 90 και ΑΔ διχοτόμος της ΒΑΓ. Α. Να υπολογιστούν οι γωνίες α, β, γ. Β. Να χαρακτηριστεί το είδος του τριγώνου ΚΑΓ ως προς τις πλευρές του και ως προς τις γωνίες του. y x A α 60 B α K Δ γ G y x

45 Α. Πότε δύο ρητοί αριθμοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι; Γράψτε από ένα παράδειγμα. Β. Μεταξύ δύο αρνητικών αριθμών ποιος είναι μεγαλύτερος; Γράψτε ένα παράδειγμα. Γ. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις ως: «σωστή» ή «λάθος». α. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. β. Αν ένα γινόμενο ισούται με μηδέν τότε όλοι οι παράγοντές του είναι θετικοί αριθμοί. Α. Τι ονομάζουμε απόσταση ενός σημείου Α από ευθεία ε; Β. Τι λέγεται απόσταση δύο παράλληλων ευθειών; Γ. Τι ονομάζουμε μεσοκάθετο ευθυγράμμου τμήματος και ποια ιδιότητα έχουν τα σημεία της; 2 2 2010 6 (5 2 6) Αν Α = 3 2 (2 3 2) : 2 2 3 7 2 5 3 και Β = : 4 4 2 2 3 (3 2)2 Να υπολογιστεί το Α, το Β και να λυθεί η εξίσωση Αx = Β Ένας πατέρας έδωσε στο γιό του το 50 % των χρημάτων που είχε στο πορτοφόλι του και στην κόρη του το 1. Να βρείτε: 3 Α. Τι μέρος των χρημάτων που είχε έδωσε συνολικά στα παιδιά του; Β. Αν του έμειναν 15 Ευρώ, πόσα χρήματα είχε και πόσα έδωσε σε κάθε παιδί; Στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι ορθή. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ αυτού και από το Δ τη ΔΕ παράλληλη προς την ΑΒ. Αν η γωνία Β του τριγώνου ΑΒΔ είναι διπλάσια της γωνίας ΒΑΔ: Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y, ζ, ω που είναι σημειωμένες στο σχήμα. Β. Να βρείτε τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΔΕ. A x E y 2x B Δ ω ζ Γ

46