ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

Transcript

1 ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;. Ποιοι είναι ακέραιοι;.3 Ποιοι είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι;.4 Ποιοι είναι ρητοί αλλά όχι ακέραιοι;.5 Τοποθετήστε τους παραπάνω αριθμούς σε αύξουσα σειρά 3 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι και ποιοι αντίστροφοι; Δώστε παραδείγματα. 4 Υπολογίστε το άθροισμα Α κάνοντας απαλοιφή παρενθέσεων. Α= ( ) + ( + 4) ( 1) ( + ) + ( 5) 5 Υπολογίστε την τιμή των παραστάσεων 5.1 Α= ( a 3) ( b 3) + ( a+ b) 5. B= 3 ( 1+ a) ( a+ b) + ( 3+ b) 5.3 Γ= ( 3) ( 5) 4 ( 5) ( 3) ( 1) 6 Αν 3 x=, υπολογίστε την τιμή της παράστασης Α= ( χ+ 1) ( χ 1) x. 7 Αν οι αριθμοί ab, είναι αντίθετοι και οι xy, είναι αντίστροφοι, υπολογίστε την τιμή της παράστασης = ( 5 b) 3 ( x y) + 3x Α α. 8 Υπολογίστε την τιμή των παραστάσεων A= Β= Γ= Γράψτε τις ιδιότητες των δυνάμεων. 13 Ποιο είναι το πρόσημο των παρακάτω αριθμών; ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ), 1, ( 1 ),, ( ),, ( ) Να γράψετε υπό μορφή μιας δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις: (i) 8 α α (ii) α α α 5 (iii) 8 8 α β (iv) x 5 5 (v) : 5 (vi) 1 11 : 1 15 Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: 1

2 11 4 (i) A=( 7 3) (ii) Β= ( 1 3 ) 16 v Εξηγείστε το νόημα του συμβολισμού α για α και ν φυσικό αριθμό. 17 Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: Α= Β= 3 : 3 Γ= ( ) 6 ( ) 4 1 Δ= 3 ( 3) 18 Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: x x A= + αν (α) x= 1 (β) x= Β= 3 x x+ x x, αν x= ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Τι ονομάζεται αριθμητική παράσταση και τι αλγεβρική παράσταση; Δώστε ένα παράδειγμα από κάθε είδος. Γράψτε την επιμεριστική ιδιότητα. 1 Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας να γράψετε με απλούστερο τρόπο τις αλγεβρικές παραστάσεις: A = x + x, B = x x, Γ = ( x + 1 ) + 3x. Να λύσετε τις ασκήσεις σελ.14 3, 4, 5, Διατυπώστε με λόγια : Αν α=β τότε α+γ=β+γ 4 Διατυπώστε με λόγια : Αν α=β τότε α γ = β γ 5 Διατυπώστε με λόγια : Αν α=β τότε α γ = β γ 6 Διατυπώστε με λόγια : Αν α=β τότε α/γ = β/γ με γ 7 Τι ονομάζουμε εξίσωση και τι λύση (ή ρίζα) της εξίσωσης; 8 Πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη και πότε αδύνατη; 9 Να λύσετε τις ασκήσεις σελ. 1,, 3, 4 Να λύσετε τις εξισώσεις 3 α) x+ = 1 β) x = 1 γ) 9 x= δ) 5= 3 x 31 α) x= 4 β) 1x= 1 γ) 1 3 x= δ) 3 x= α) x+ 1= 6 β) 3x+ 5= 1 γ) = 7x α) 3x 5= x+ 3 β) 6 4x= x+ 3 γ) x+ 7= x α) 3( x 1) = 18+ x β) 3x+ 1= 3( x+ 1) γ) ( x) 1 = 1 x

3 35 α) 36 α) x 3 x = 1 3 x x β) = 1 + x γ) + 1 = ( x ) 3 x x = 1 β) x 3 = x γ) 3 3 ( x ) x 4= 4 5x 3 1 5x+ 1 x 7x α) = x 6 β) = Δίνονται οι παραστάσεις A= 5x 1 και B= 9 4x. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) A= 6 β) B= 3 γ) A= B 39 Δίνονται οι παραστάσεις A= ( x 1) + 3 και B 5 3( x) 1.4 α) A= B β) A+ B= 15 4x 3 5 =. Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 Δυο φίλοι, ο Α και ο Β, θέλουν να μοιραστούν 3. Ο Β πρέπει να πάρει 4 περισσότερα από τον Α. Πόσα χρήματα θα πάρει καθένας; 41 Δυο φίλοι, ο Α και ο Β, θέλουν να μοιραστούν 3. Ο Β πρέπει να πάρει τετραπλάσιο ποσό από Α. Πόσα χρήματα θα πάρει καθένας; 4 Δυο φίλοι, ο Α και ο Β, θέλουν να μοιραστούν 3. Ο Β πρέπει να πάρει το μισό ποσό από αυτό που θα πάρει ο Α. Πόσα χρήματα θα πάρει καθένας; 43 Δυο φίλοι, ο Α και ο Β, θέλουν να μοιραστούν 3. Ο Β πρέπει να πάρει το 5% του ποσού που θα πάρει ο Α. Πόσα χρήματα θα πάρει καθένας; 44 Να λύσετε τις ασκήσεις σελ.3, 4, 6, Να διατυπώσετε τις ιδιότητες των ανισοτήτων. Τι ονομάζουμε ανίσωση; Σελ.31 και 3 τα «γαλάζια κουτάκια», σελ.33 έως 35 τις Εφαρμογές, σελ.36 την Ερώτηση Κατανόησης 1, σελ.37 τις Ασκήσεις 1,, 3α, 4α, 4β,4γ, 5 Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις στον άξονα των αριθμών 46 α) x> 6 β) x> 6 γ) x> 6 δ) x> 6 47 α) 5x< β) 3x< γ) x> δ) x 48 α) 4x 16< β) x 4 γ) 5 5x δ) 4+ x 4 x 1+ 3 x 1 β) 4 3 ( 1 x ) ( x 1) α) ( ) ( ) 5 α) x 1 x 4 5x x 8 x 5 x 4 > 1 β) 7 < Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις παραστήσετε στον άξονα των πραγματικών αριθμών: α) 3x 1 x 4 < 5 3 και ( x 3) 5x< 3 β) x 5 1 3x 3 και 3 ( x 1) 1> 4 ( + 3x) + 6 3

4 5 Δίνονται οι ανισώσεις: ( 1 3x ) + 3 ( x 4) < και x x 1< 3 α) Να τις λύσετε β) Να παραστήσετε στην ευθεία των πραγματικών αριθμών τις λύσεις τους και να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη από τις κοινές ακέραιες λύσεις τους. 53 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: x x 4 x x 1 x και 1 < Αφού τις παραστήσετε στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών, να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς που είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Ποιες είναι οι ιδιότητες των ριζών; 55. σελ. 4 Εφαρμογές 1,,3,4. Ασκήσεις 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1,13, Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητοί και ποιοι πραγματικοί αριθμοί; 57. Τι ονομάζεται άρρητος αριθμός; 58. Ασκήσεις 1, (Συνεχίζουμε στη σελ.18 με το Πυθαγόρειο Θεώρημα) 1.4(Β Μέρος) 59. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο θεώρημα 6. Διατυπώστε το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος. 61. σελ.18 Εφαρμογές 1,, 3, 4 6. σελ.13 Ερώτηση Κατανόησης 63. Ασκήσεις 1,, 3, 4, 5, 8, Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες Α) 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64, 81, 1 Β) 11, 144, 169, 196, 5, 56, 89 Γ) 34, 361, Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς x όπως στα παραδείγματα: Αν x = τότε x= Αν x = 11 τότε x= 11= 11 4

5 Α) x = 1, x = 5, x = Β) x =, x =, x = Υπολογίστε το x όπως στο παράδειγμα: Αν 1. x= 3, x= 3, x= 5,. x= 3, x = 3, x= 67. Υπολογίστε τις παραστάσεις 3 3 Α) ( ),( 3 ),( 4 ),( 134 ) x = =. x=, τότε ( ) Β), 3, 4, Αν ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές β, γ και υποτείνουσα α, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: 69. Όπως παραπάνω α β γ 3 4 1, α β γ ,5 1, Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ Α) Αν ΑΒ=1, υπολογίστε το ΑΓ Β) Αν ΑΓ=3, υπολογίστε το ΑΒ Γ) Αν ΑΓ=5, υπολογίστε το ΑΒ. Δ) Αν το εμβαδόν είναι 5τ.μ, υπολογίστε το ΑΒ και το ΑΓ 71. Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ το ΓΔ είναι το ύψος. Α) Αν ΑΒ=, να υπολογίσετε το ΓΔ και το εμβαδόν του ΑΒΓ. Β) Αν η περίμετρος του ΑΒΓ είναι 1, να υπολογίσετε το ΓΔ και το εμβαδόν του ΑΒΓ. Γ) ΑνΓ = 3, να υπολογίστε το ΑΓ. 5

6 7. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το ΓΔ είναι το ύψος. Α) Αν ΑΓ=5 και ΑΔ=4, υπολογίστε το ΓΔ. Β) Αν ΓΔ= και ΑΔ=3, υπολογίστε το ΑΓ. Γ) Αν ΓΔ=x, ΑΒ=x και ΑΓ= τότε x=; Δ) Αν το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι 16τμ. και το ΑΒ είναι διπλάσιο του ΓΔ, υπολογίστε το ύψος ΓΔ και την περίμετρο του ΑΒΓ. 73. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, Β=9 ο, ΒΔ ύψος. Α) Αν ΑΒ=6 και ΑΓ=1, υπολογίστε το ΒΓ, το εμβαδόν του ΑΒΓ και το ύψος ΒΔ. Β) Αν ΑΒ= 5x, ΒΓ= x και ΑΓ=5, υπολογίστε την τιμή του x. Γ) Αν ΑΒ=15, ΒΓ= και ΑΔ=9, υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του ΑΒΓ. Δ) Αν ΒΔ=, ΑΔ=1 και ΔΓ=4, υπολογίστε τα ΑΒ, ΒΓ, το εμβαδόν του ΑΒΓ και την περίμετρο του ΑΒΓ με ακρίβεια χιλιοστού. 74. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ είναι το ύψος του. Αν ΑΒ=13 και ΒΔ=5, υπολογίστε το ΑΔ. Αν επιπλέον το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι 84, υπολογίστε το ΒΓ και το ΑΓ. 75. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ είναι το ύψος του Αν ΑΒ=, ΑΓ=15 και ΔΓ=1, υπολογίστε το ΑΔ, την περίμετρο και το εμβαδόν του ΑΒΓ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο 76. Τι ονομάζουμε πληθυσμός και τη μεταβλητή; 77. Τι ονομάζουμε δείγμα και τη μέγεθος δείγματος; 78. Πώς γίνεται η συλλογή στατιστικών δεδομένων; 79. Πώς γίνεται η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων; 6

7 8. Ποια είδη διαγραμμάτων υπάρχουν; 81. Τι ονομάζουμε συχνότητα μιας τιμής της μεταβλητής; 8. Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα μιας τιμής της μεταβλητής και πώς εκφράζεται συνήθως; 83. Τι ονομάζεται μέση τιμή μιας μεταβλητής; 84. Πώς υπολογίζουμε τη διάμεσο ανάλογα με το πλήθος των παρατηρήσεων; Σελ 93-94: Κατανόησης 1, και Ασκήσεις 1, 3, 4 Σελ 98-99: Ασκήσεις 1, 4, 5, 6, 7 Σελ 17: Εφαρμογή, 3, 4 και Ασκήσεις 3,4, Δίνεται ο διπλανός πίνακας Α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα Β) Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα Γ) Να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων που έχουν τιμή το πολύ 5 Τιμές Συχνότητα Σχετική συχνότητα % Σύνολο Στον παρακάτω πίνακα έχουμε τις θερμοκρασίες που επικράτησαν στην πόλη της Δράμας για συνεχείς μέρες κατά τον μήνα Φεβρουάριο του 1 Θερμοκρασία σε C Συχνότητα Σχετική συχνότητα % Σύνολο Α) Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας Β) Να βρείτε το πλήθος των ημερών που η θερμοκρασία ήταν τουλάχιστον 6 C και το ποσοστό των ημερών που η θερμοκρασία ήταν το πολύ 8 C Γ) Να βρεθεί η μέση θερμοκρασία καθώς και η διάμεσος. 7

8 87. Ρωτήσαμε ένα δείγμα μαθητών πόσες ώρες ακούνε ραδιόφωνο την εβδομάδα. Οι απαντήσεις είναι οι εξής: 8, 7, 5, 9, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 7, 5, 9, 7, 6, 8, 7, 6. Α) Να κάνετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. Β) Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που ακούνε ραδιόφωνο τουλάχιστον 8 ώρες. Γ) Να βρείτε την επίκεντρη γωνία του κυκλικού διαγράμματος που αντιστοιχεί στην τιμή 6. Δ) Να βρείτε την μέση τιμή της κατανομής. 88. Τα διαμερίσματα μιας οικοδομής έχουν τον παρακάτω αριθμό κατοικίδιων ανά διαμέρισμα:, 1,,, 1, 1,,, 1, 3,,, 1, 1, 3,,, 1, 1,. Α) Να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. Β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. Γ) Να υπολογίσετε τη διάμεσο των παρατηρήσεων. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.3 Με τι ισούται το εμβαδό τετραγώνου, ορθογωνίου παραλληλογράμμου, παραλληλογράμμου, τριγώνου, ορθογωνίου τριγώνου και τραπεζίου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.1 και. και.4 (Β Μέρος) 1. Με τη βοήθεια του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ Εξηγείστε τι ονομάζουμε: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της οξείας γωνίας ω. 8

9 . Εξηγείστε γιατί για κάθε οξεία γωνία ω ενός ορθογωνίου τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις <ημω<1 και <συνω<1. 3. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος Α) αν ημω=3/5 και γ=6, υπολογίστε την πλευρά α, την πλευρά γ, το συνω, την εφω, το ημφ, το συνφ και τέλος, την εφφ. Β) αν συνω=1/13 και α=6, υπολογίστε την πλευρά β, την γ, το ημω, την εφω, το ημφ, το συνφ και τέλος, την εφφ. Γ) αν εφω= 3 και β=3, υπολογίστε την πλευρά γ, την πλευρά α, το ημω, το συνω, το ημφ, το συνφ και τέλος, την εφφ. 4. Πώς υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 3, 45 και Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( Α = 9 ) δίνεται ΑΓ=8cm και ΑΒ=6cm.Να υπολογιστούν: Α) η πλευρά ΑΒ και Β) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β 6. Αν α=17 και β=15 να υπολογιστούν: Α) η πλευρά ΑΒ Β) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημβ, συνβ και εφβ και Γ) η παράσταση 17ηµ Β 8εφΒ Κ = 17συνΒ Α 7. Στο διπλανό σχήμα το ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και ΑΔ=1cm. Αν Β = 45 και Γ = 3 να βρείτε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ. (Δίνεται = 1, 4 και 3 = 1,7 Β Δ Γ 8. Στο διπλανό τετράπλευρο έχουμε Α = = 9, ΑΒ=16cm, ΒΓ=15cm και ΑΔ=1cm. Να υπολογιστούν: Α) Η πλευρά ΔΒ 1 Α 16 Β 9 Δ Γ

10 Β) Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΔ Γ) Το ημγ Δ) Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ορθογώνιο. 9. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α 1 = 9 ) είναι ημβ= Αν η υποτείνουσα ΒΓ=1cm να 3 υπολογίσετε τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών. 1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 9 ) το ύψος ΑΔ σχηματίζει με την κάθετη πλευρά ΑΒ=6cm, γωνία 3. Να βρείτε: Α) Το ύψος ΑΔ Β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 11. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: ηµ 6 + συν 45 εφ 3 Α = και Β = ( ηµ 3 ηµ 6 ) ( συν 6 + συν 3 ) εφ 45 + συν 6 1. Στο διπλανό σχήμα το ΑΔ είναι ύψος.να βρεθούν: Α) Τα χ και ψ με προσέγγιση δεκάτου Β) Τα ημβ, εφγ και συνβ Γ) Το εμβαδον του τριγώνου ΑΒΓ Β 1cm x Α 8cm Δ 16cm ψ Γ 13. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του ΑΔ και ΔΕ κάθετη στην ΑΓ. Επίσης ΒΔ= 3cm και ΒΑ = 3. Να αποδείξετε ότι: Α) Το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΔ=3cm B) Η πλευρά ΑΓ=5cm. Γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΓ είναι 6 cm. Δ) Το τμήμα ΔΕ=,4 cm A Ε B Δ Γ 14. Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ, ΓΔ και ύψος ΑΖ, δίνονται ΑΒ=1 cm, ΑΖ=1 cm και ΑΔ=15 cm. Αν το εμβαδόν του τραπεζίου είναι 3 cm να αποδείξετε ότι: Α) Το τμήμα ΔΖ=9 cm 15 A 1 B 1 1 Δ Ζ Γ

11 Β) Η βάση ΔΓ=4 cm 1 Γ) Η εφγ= 5 Κεφάλαιο 3 ο (Β Μέρος) 15. Τι ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο (ο,ρ); 16. Ποια είναι η σχέση εγγεγραμμένης επίκεντρης γωνίας; 17. Μια εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο είναι 18. Ποια είναι η σχέση εγγεγραμμένης γωνίας αντίστοιχου τόξου; 19. σελ.176 εφαρμογή 1.. σελ. 178 ασκ. 1, 6, Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό;. Ποια είναι η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου και με τι ισούται; 3. Ποια σχέση συνδέει τη γωνία φ και την κεντρική γωνία ω ενός κανονικού πολυγώνου; 4. Ποιοι είναι οι τύποι που μας δίνουν το μήκος L του κύκλου (Ο,ρ); 5. Ποιος είναι ο τύπος για το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου; 6. Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου, τότε το μήκος του.. 7. Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου, τότε το εμβαδόν του.. 8. σελ. 188 Ασκήσεις, 5, σελ. 195 Ασκήσεις 3. Α 3. Στο διπλανό σχήμα η ΒΓ είναι διάμετρος, Αβ=8 cm και ΑΓ=6 cm. Να αποδείξετε ότι: Α) Η γωνία Α = 9 Β) Η διάμετρος ΒΓ=1 cm και να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Γ) Να βρείτε τα ημβ, συνβ και εφγ. Δ) Να βρείτε το μήκος του κύκλου και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. Β Ο Γ 31. Δίνεται κύκλος ακτίνας ρ=5 cm και τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΓ=6 cm. A) Να εξεταστεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ. Β) Να βρεθεί η πλευρά ΑΒ. Γ) Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. Δ) Το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. Β Ο Α Γ 11

12 3. Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου. Να βρεθούν οι γωνίες x, φ και ω, όταν το τόξο ΓΔ=4 και το τόξο ΒΔ=8. Α Γ x 4 Δ 8 φ ω Β Ο ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 1 Ο ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. β) Ποια γωνία ονομάζουμε εγγεγραμμένη; Να σχεδιάσετε μια εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο. γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος: ι) Ισχύει συν3 < συν3 ιι) Ισχύει ότι εφ6 =ημ3 ιιι) Μια εγγεγραμμένη γωνία είναι το διπλάσιο της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. ΘΕΩΡΙΑ α) Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; β) Ποιοι από τους επόμενους αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι; 9, 5, π, ( 5 ) 5 γ) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: ι),49 =... ιι) 5 =... ιιι) = 5 ιv) (...) = 1 1

13 ΑΣΚΗΣΗ 1 Να βρεθούν και να παρασταθούν στον άξονα οι κοινές λύσεις των ανισώσεων : x x 1 x 3 1 < και 3 4 x 4 ( x ) 1 (x+ 1) ΑΣΚΗΣΗ 1 Τεστ Μαθηµατικών 8 Η βαθμολογία σε ένα τεστ Μαθηματικών φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα: α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μαθητές Βαθµολογία Βαθµολογία Μαθητές Σχετ. Συχνότητα % Σύνολο β) Να βρείτε το πλήθος των μαθητών που πήραν μέρος στο τεστ. γ) Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών πήραν βαθμό πάνω από 15; ΑΣΚΗΣΗ 3 Στο διπλανό σχήμα δίνεται ΒΑΓ= 9, ΑΓ = 9, και ΒΓ=15cm. = 3,ΑΒ=1cm Γ Δ Να υπολογίσετε: α) το μήκος της πλευράς ΑΓ β) τα ημβ, συνβ και την κλίση του δρόμου ΒΓ. γ) το μήκος της πλευράς ΑΔ. Β Α 13

14 ο ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 α) Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α β) Να συμπληρώσετε την ισότητα : αν α, ( α ) =... γ) Υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. ΘΕΩΡΙΑ α) Να δώσετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών ηµω, συνω, εφω οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου. β) Αν ω είναι οξεία γωνία, να συμπληρώσετε τα κενά : < ηµω <...,... < συνω <..., εφω =... γ) Αν 3 ηµω=, να συμπληρώσετε τα κενά : ˆω=..., εφω=..., συνω=... ΑΣΚΗΣΗ 1 Στον παρακάτω πίνακα έχουμε τις θερμοκρασίες που επικράτησαν στην πόλη των Σερρών για είκοσι συνεχείς μέρες κατά τον μήνα Φεβρουάριο του 1. Θερμοκρασία σε ο C τιμές x i Μέρες Συχνότητες ν i Ποσοστά ημερών Σχετ. συχνότητες f % Σύνολα 14

15 Α. Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας. Β. Να βρείτε το πλήθος των ημερών που η θερμοκρασία ήταν τουλάχιστον 6 ο C καθώς και το ποσοστό των ημερών που η θερμοκρασία ήταν το πολύ 8 ο C Γ. Να βρεθεί η μέση θερμοκρασία καθώς και η διάμεσος θερμοκρασία. ΑΣΚΗΣΗ x x 4 x x 1 x Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων και 1 <. Αφού τις παραστήσετε στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών να γράψετε τους φυσικούς αριθμούς που είναι κοινές λύσεις των ανισώσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ = 1 cm. Αν η περίμετρος του είναι 36 cm να βρεθούν : α) Το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Το ημβ, το συνβ και η εφβ 4 ο ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 Α) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πως συμβολίζεται; Β) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις. Αν a = χ, όπου α, τότε χ και χ = Αν α τότε ( a ) = = Γ) Ορίζεται η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΘΕΩΡΙΑ Α) Ποια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη; Ποια η σχέση που τη συνδέει με το αντίστοιχο τόξο της; Β) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Να γράψετε τη σχέση που μας δίνει την κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν- γώνου καθώς και τη σχέση που συνδέει την κεντρική γωνία ω με τη γωνία φ ενός κανονικού ν- γώνου. 15

16 Γ) Να γράψετε τις σχέσεις από τις οποίες υπολογίζουμε το μήκος του κύκλου, το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ και το εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας μ ο (σε μοίρες) κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας ρ. ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=9 ), δίνονται ΑΒ=1, ΑΓ=16. Να βρεθούν α) η πλευρά ΒΓ β) Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών Β και Γ. γ) Η τιμή της παράστασης: Α = ηµb 3συνΓ 4εφΒ ΑΣΚΗΣΗ Έστω τρίγωνο ΚΛΜ με ΛΜ=16cm και το ύψος ΚΖ=1 cm. α) Να υπολογίσετε το εμβαδό Ε 1 του τριγώνου ΚΛΜ. β) Να εκφράσετε το εμβαδό Ε του τριγώνου ΚΛΖ σε σχέση με το μήκος x του τμήματος ΛΖ. γ) Αν γνωρίζετε ότι Ε 1 =4 Ε, να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας Μ ΑΣΚΗΣΗ 3 Α) Να λυθεί η εξίσωση x 8 x 5 x 4 7 = 3 4 Β) Να λυθεί η ανίσωση 3(x ) 4x+ 3(4 x) Γ) Η λύση της εξίσωσης είναι και λύση της ανίσωσης 16

17 4 Ο ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1 Α) Τι ονομάζετε ημίτονο,συνημίτονο, εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και ποια είναι τα όρια μεταβολής του ημιτόνου και του συνημιτόνου (σχήμα). Β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: γωνία ω ημω συνω εφω ΘΕΩΡΙΑ α) Να γραφεί το πυθαγόρειο θεώρημα (θεώρημα, σχήμα, τύπος) β) Να γραφεί το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνονται οι ανισώσεις: (1 3x) + 3(x 4) < και x 1 < x 3 Α. Να τις λύσετε. Β. Να παραστήσετε στην ίδια ευθεία τις λύσεις τους και να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη από τις κοινές ακέραιες λύσεις τους. ΑΣΚΗΣΗ Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ = 6 cm και ΑΒ = 5cm. Να βρεθούν : α) Η ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ β) Η εμβαδόν του τετραγώνου ΑΔΕΖ γ) Το ημβ, το συνβ και η εφβ 17

18 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να λύσετε την εξίσωση: x 8 x 4 7 x = 5 και να υπολογίσετε την παράσταση x, όπου χ η ρίζα της εξίσωσης. 18

19 19