(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος 4 cm, 3,2 cm, και 2,8 cm. Ξεκινάμε με ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 4 cm. Στη συνέχεια γράφουμε τους κύκλους (Α, 3.2 cm) και (Β, 2.8 cm). Το σημείο τομής Γ των δυο κύκλων είναι η τρίτη κορυφή του ζητούμενου τριγώνου. 2. Να σχεδιάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με περίμετρο 18 cm. Εφόσον η περίμετρος είναι 18 cm, η κάθε πλευρά του θα είναι 18:3 cm = 6 cm. Εργαζόμαστε όπως στην προηγούμενη άσκηση. 1

3. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο με άνισες πλευρές και περίμετρο 20 cm. Ένας τρόπος να σκεφτούμε το πρόβλημα είναι ο εξής: Φτιάχνω ένα τετράγωνο με περίμετρο 20 cm. δηλαδή με πλευρά. Θα μετακινήσω μια κορυφή του, παραδείγματος χάριν την Α ώστε να μην απέχει 5cm από το Δ και 5cm από το Β, αλλά να απέχει 4 cm από το Δ και 6 cm από το Β. Εφόσον απέχει 4 cm από το Δ, θα βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο το Δ και ακτίνα 4 cm. Επίσης, εφόσον απέχει 6 cm από το Β, θα βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο το Β και ακτίνα 6 cm. Άρα μεταφέρω το Α στην τομή Ε των δυο κύκλων ώστε να προκύψει το τετράπλευρο ΕΔΓΒ. Τώρα μετακινώ το σημείο Γ ώστε να απέχει 4, από το Β και 5, από το Δ. Το ζητούμενο τετράπλευρο είναι το ΑΕΔΖ. E 6 cm 4 cm Δ Γ E 6 cm 4 cm 4, Δ 5, Γ Z 2

4. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο με πλευρές μήκους, 7 cm και 8 cm. Εργαζόμαστε όπως στις ασκήσεις 1 και 2. 5. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο με πλευρές μήκους, 6 cm, 7 cm και 8 cm. Παρουσιάζουμε εδώ έναν άλλο τρόπο από αυτόν που εφαρμόσαμε στην άσκηση 2. Σχεδιάζουμε πρώτα δυο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΑΓ με κοινή αρχή Α και μήκη 8 cm και 7 cm αντιστοίχως. Στη συνέχεια γράφουμε κύκλο με κέντρο το Γ και ακτίνα και κύκλο με κέντρο το Β και ακτίνα 6 cm. Έστω Δ ένα από τα σημεία τομής των δυο κύκλων. Το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι το ζητούμενο τετράπλευρο. Το αν θα τμηθούν οι δυο κύκλοι εξαρτάται από το άνοιγμα της γωνίας. Αν πάρουμε το άλλο σημείο τομής των δυο κύκλων τότε το τετράπλευρο που προκύπτει είναι το ΑΒΕΓ και είναι μη 3

κυρτό τετράπλευρο. Δεν θα ασχοληθούμε με τέτοιου είδους τετράπλευρα. Στην επόμενη σελίδα βλέπετε την περίπτωση του μη κυρτού τετραπλεύρου. 6. Να συγκρίνετε κάθε πλευρά ενός τριγώνου με το άθροισμα των άλλων δυο πλευρών του. Να κάνετε το ίδιο και για άλλο ένα τρίγωνο. Τι παρατηρείτε; Εργαζόμενοι στο σχήμα της άσκησης 1 έχουμε ΑΒ = 4 cm και ΑΓ + ΒΓ = 3,2 cm + 2,8 cm =, άρα ΑΒ < ΑΓ + ΒΓ ΑΓ = 3,2 cm και ΑΒ + ΒΓ = 4 cm + 2,8 cm = 6,8 cm, άρα ΑΓ < ΑΒ + ΒΓ ΒΓ = 2,8 cm και ΑΓ + ΑΒ = 3,2 cm + 4 cm = 7,2 cm, άρα ΒΓ < ΑΓ + ΑΒ Σε κάθε περίπτωση διαπιστώνουμε ότι οποιαδήποτε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δυο πλευρών του. 4

7. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο με πλευρές, 6 cm και 7 cm. Στη συνέχεια να μετρήσετε τις γωνίες του. Να κατατάξετε τις γωνίες και μετά τις πλευρές κατά αύξουσα σειρά. Τι παρατηρείτε; 0 0 0 Γ= 44,4, Β= 57,1, Α= 78,5 =, ΑΓ = 6 cm, ΒΓ = 7 cm Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλώνουν οι γωνίες μεγαλώνουν και οι πλευρές που βρίσκονται απέναντί τους. 8. Να σχεδιάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και να πάρετε στο εσωτερικό του ένα σημείο Ρ. Να βρείτε τις αποστάσεις του Ρ από τις τρεις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και στη συνέχεια το άθροισμα αυτών των αποστάσεων. Να κάνετε το ίδιο με δυο ακόμη εσωτερικά σημεία του τριγώνου. Τι παρατηρείτε; ΡΑ + ΡΒ + ΡΔ = 0,78 cm + 1,78 cm + 1,77 cm = 4,33 cm 5

ΕΗ + ΕΘ + ΕΖ = 0,6 cm + 1,51 cm + 2,22 cm = 4,33 cm ΓΜ + ΓΚ + ΓΙ = 2,83 cm + 0,71 cm + 0,78 cm = 4,32 cm Παρατηρούμε ότι όλα τα αθροίσματα είναι ίσα! Βέβαια δεν είναι ακριβώς έτσι. Στη τρίτη περίπτωση έχουμε διαφορά ένα χιλιοστό. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μετρήσαμε τις πλευρές με προσέγγιση δυο δεκαδικών ψηφίων και έτσι χάθηκε το χιλιοστό στην τρίτη περίπτωση. Πάντως επειδή πρακτικά δηλαδή με μετρήσεις δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι για την αλήθεια των ισχυρισμών μας, αργότερα στο γυμνάσιο και κυρίως στο λύκειο θα βασιζόμαστε περισσότερο στη λογική και όχι στην εμπειρία. 9. Να σχεδιάσετε δυο παράλληλες ευθείες και. Να βρείτε πέντε σημεία που ισαπέχουν από τις δυο παράλληλες ευθείες. Τι σχηματίζουν όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τις δυο παράλληλες ευθείες; I J K L ε 1 D E F G H ε M N O P Για να σχεδιάσω τις δυο παράλληλες, παίρνω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και φέρνω κάθετες στα άκρα του. Το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ισαπέχει από τις δυο παράλληλες, άρα είναι ένα από τα ζητούμενα σημεία. Για να βρω και άλλα σημεία που ισαπέχουν από τις δυο παράλληλες ευθείες, φέρνω κάθετα τμήματα στις δυο παράλληλες και βρίσκω τα μέσα τους. Όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τις δυο παράλληλες ευθείες σχηματίζουν μια ευθεία ε παράλληλη προς τις και. 10. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να πάρετε τα μέσα Κ, Λ και Μ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντιστοίχως. Να φέρετε την ΚΛ. Τι παρατηρείτε; Να συγκρίνετε την ΚΛ με την ΒΓ. Ομοίως την ΛΜ με την ΑΒ και την ΚΜ με την ΑΓ. Τι παρατηρείτε; ε 2 Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δυο πλευρών ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό της τρίτης πλευράς του και παράλληλο προς αυτήν. Βέβαια στην περίπτωση της ΚΜ και της ΑΓ δεν είναι ακριβώς έτσι καθότι 2 1,83 3,66 3,67. Αυτό συμβαίνει διότι έχουμε στρογγυλοποιήσει στο ακριβέστερο εκατοστό. Όπως καταλαβαίνουμε ποτέ δεν μπορεί να είμαστε σίγουροι/ες ότι κάτι ισχύει με απλή μέτρηση εφόσον αδυνατούμε να μετρήσουμε κάτι με απόλυτη ακρίβεια. Γι αυτό χρειάζεται να αποδεικνύουμε ότι κάτι ισχύει με τη βοήθεια της λογικής. 6

Έχουμε όμως χρόνο για να μπούμε σε αυτή τη διαδικασία, αργότερα στο γυμνάσιο και κυρίως στο λύκειο. 11. Δίνεται γωνία. Να βρείτε σημεία Α και Β στις πλευρές Ox και Oy ώστε ΟΑ = ΟΒ = 5cm. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ να εξετάσετε αν η ημιευθεία ΟΜ είναι διχοτόμος της γωνίας. y O 17 0 17 0 M z x Μετρώντας τις γωνίες xo και O διαπιστώνουμε ότι είναι και οι δυο 17 άρα είναι ίσες, οπότε η Οz είναι διχοτόμος της γωνίας xo. 12. Δίνεται γωνία. Να βρείτε σημεία Α και Β στις πλευρές Ox και Oy ώστε αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, η ημιευθεία ΟΜ να είναι διχοτόμος της γωνίας xoy. y E D O F G M H z C x Όπως μας δείχνει η προηγούμενη άσκηση, αρκεί τα σημεία πάνω στις δυο πλευρές να ισαπέχουν από την κορυφή Ο. 7

13. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε (α) την απόσταση του μέσου Μ της ΒΓ από την κορυφή Α (β) την απόσταση του μέσου Μ της ΒΓ από την πλευρά ΑΒ. Βρίσκουμε το μέσο Μ του ΒΓ με τη γνωστή κατασκευή με κανόνα και διαβήτη. Ενώνουμε το μέσο Μ με την κορυφή. Η απόσταση του μέσου Μ της ΒΓ από την κορυφή Α είναι ΑΜ = 4,27 cm. Επίσης για να βρούμε την απόσταση του Μ από την πλευρά ΑΒ φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΜΔ από το Μ προς την ΑΒ. Έχουμε ΜΔ = 1,77 cm. 14. Μπορεί δυο κατακορυφήν γωνίες να είναι παραπληρωματικές; (Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας) Ναι, στην περίπτωση που είναι ορθές (βλέπε σχήμα). Τότε είναι και ίσες και παραπληρωματικές. 90 0 90 0 8

15. Να σχεδιάσετε μια ευθεία ε. Στη συνέχεια να βρείτε σημεία του επιπέδου τα οποία απέχουν 4 cm από την ευθεία ε. Τι σχηματίζουν όλα τα σημεία που απέχουν 4 cm από την ευθεία ε; F G H η 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm C D E ε Παίρνουμε σημείο Β πάνω στην ε και φέρνουμε κάθετο τμήμα στην ε ΒΑ = 4 cm. Το Α είναι ένα από τα ζητούμενα σημεία. Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε τα σημεία F, G και Η. Όλα τα σημεία που απέχουν 4 cm από την ευθεία ε σχηματίζουν μια ευθεία η παράλληλη προς την ε και η οποία απέχει από την ε απόσταση ίση με 4 cm. 16. Να σχεδιάσετε δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες και να τις συγκρίνετε. y t 49 0 49 0 x z Φτιάχνουμε πρώτα την μία γωνία. Στην συνέχεια παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Β και από το Β φέρνουμε μια παράλληλη ημιευθεία Βz προς την x και μια παράλληλη ημιευθεία Βt προς την y. Τότε οι γωνίες και αποτελούν μια λύση του προβλήματος. 9

17. Να σχεδιάσετε δυο εφεξής παραπληρωματικές γωνίες και να φέρετε τις διχοτόμους τους. Να μετρήσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι. Σχεδιάζουμε τις εφεξής γωνίες και και τις διχοτόμους τους και αντιστοίχως. Μετράμε την γωνία 0 και βρίσκουμε ότι είναι 90 δηλαδή ορθή. 18. Να σχεδιάσετε δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες και να τις συγκρίνετε. 90 0 y 90 0 z t x Φτιάχνουμε πρώτα την μία γωνία. Στην συνέχεια παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Β και από το Β φέρνουμε μια κάθετη ημιευθεία Βz προς την x και μια κάθετη ημιευθεία Βt προς την y. Τότε οι γωνίες και αποτελούν μια λύση του προβλήματος. 10

19. Να βρείτε και να συγκρίνετε τις αποστάσεις του σημείου Α από τις ευθείες ε και ζ στο παρακάτω σχήμα. Να βρείτε σημεία που απέχουν ίση απόσταση από τις ευθείες ε και ζ. 0,9 cm 2 cm Γ ΑΒ = 0,9 cm και ΑΓ = 2 cm, άρα ΑΒ < ΑΓ. Προεκτείνουμε τις ευθείες έως ότου τμηθούν και έστω Ο το σημείο τομής. Από προηγούμενη άσκηση θυμόμαστε ότι τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές τις γωνίας. Z 0,9 cm 2 cm O 2 cm G 2 cm x Γ E 20. Στο παρακάτω σχήμα ξεκινάμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου η κάθε πλευρά είναι 1 cm. Στη συνέχεια χωρίζουμε κάθε πλευρά του τριγώνου σε τρία ίσα κομμάτια και με βάση το μεσαίο κομμάτι σε κάθε πλευρά του αρχικού τριγώνου σχεδιάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο εξωτερικά του αρχικού τριγώνου. Στη συνέχεια απαλείφουμε το μεσαίο κομμάτι από κάθε πλευρά. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε το μεσαίο σχήμα. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία με κάθε πλευρά του μεσαίου σχήματος διαιρώντας την σε τρία ίσα μέρη και ούτω καθεξής, οπότε προκύπτει το τρίτο σχήμα. Να βρείτε την περίμετρο του τέταρτου σχήματος. 11

Στο πρώτο σχήμα έχουμε 3 πλευρές και η περίμετρος του πρώτου σχήματος είναι 3 1 cm = 3 cm. Στο δεύτερο σχήμα κάθε πλευρά είναι cm και έχουμε 4 3 πλευρές διότι από κάθε πλευρά του προηγούμενου τριγώνου προκύπτουν 4 πλευρές (την χωρίζουμε στα τρία, αφαιρούμε το ένα από τα τρία ίσα κομμάτια και προσθέτουμε δυο στη θέση του). Άρα η περίμετρος του δεύτερου τριγώνου είναι 4 3 cm. Το τρίτο πολύγωνο έχει 4 4 3 πλευρές και το μήκος της κάθε μιας είναι το ένα τρίτο του μήκους της πλευράς του προηγούμενου πολυγώνου δηλαδή. Άρα η περίμετρος του τρίτου τριγώνου είναι 4 4 3 cm. Το τέταρτο πολύγωνο έχει 4 4 4 3 πλευρές και το μήκος της κάθε μιας είναι το ένα τρίτο του μήκους της πλευράς του προηγούμενου πολυγώνου δηλαδή. Άρα η περίμετρος του τρίτου τριγώνου είναι 4 4 4 3 cm. Ξαναγράφουμε τις περιμέτρους των πολυγώνων που προκύπτουν με τη συγκεκριμένη διαδικασία για να δούμε να μπορούμε να παρατηρήσουμε κάποιο μοτίβο. ΠΟΛΥΓΩΝΟ 2 ο σχήμα 3 ο σχήμα 4 ο σχήμα 4 ο σχήμα 5 ο σχήμα. ν ο σχήμα ΜΗΚΟΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΣΕ cm 4 3 1 3 4 4 3 1 3 4 3 1 3 4 4 4 3 1 3 4 3 1 3 4 4 4 4 3 1 3 4 3 1 3 4 4 4 4 4 3 1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 Ο παραπάνω πίνακας δείχνει το μοτίβο. Παρατηρώντας πώς εξελίσσονται οι δυνάμεις μπορούσε να γενικεύσουμε και χρησιμοποιώντας μεταβλητή (το ν) να βρούμε την περίμετρο ενός ν-γώνου, δηλαδή ενός πολυγώνου με ν πλευρές. 21. Στα Οπτικά ο Ευκλείδης (300 π. Χ) γράφει kaˆ t mn ØpÕ me zonoj gwn aj Ðrèmena me zona fa nesqai, t d ØpÕ l ttonoj l ttona, sa d t ØpÕ swn gwniîn Ðrèmena. (όποια βλέπουμε υπό μεγαλύτερη γωνία φαίνονται μεγαλύτερα, όποια βλέπουμε υπό μικρότερη γωνία φαίνονται μικρότερα και όποια βλέπουμε υπό ίση γωνία είναι ίσα). Ποιο από τα δυο μάτια στο παρακάτω σχήμα βλέπει τη σοκολάτα μεγαλύτερη; Μπορείτε να βρείτε τη θέση που μπορεί να τοποθετηθεί ένα μάτι για να βλέπει τη σοκολάτα όσο μεγάλη φαίνεται από το μάτι Α; Πόσες τέτοιες θέσεις υπάρχουν; 12

Β Α 44 67 K Λ 0 Επειδή ΚΑΛ = 67 και σοκολάτα μεγαλύτερη. ΚΒΛ = 0 67, έχουμε ΚΑΛ > ΚΒΛ, οπότε το μάτι στο σημείο Α βλέπει τη Η σοκολάτα φαίνεται υπό την ίδια γωνία των 0 67 και από τρία άλλα σημεία. Από τα σημεία F, H και Ι. Α D 67 ε K J H Λ I K F G ζ Παρατηρείστε στην εικόνα της επόμενης σελίδας τους δυο άξονες συμμετρίας του σχήματος που ενέπνευσαν και την προτεινόμενη λύση. Θυμόμαστε την συμμετρία; Θα επανέλθουμε οργανωμένα σε αυτήν προσεχώς. 13

η 1 Α D 67 ε K J H Λ I K η 2 F G ζ Ουφ, τελείωσα! Μου πήρε ώρα για τα σχήματα. Τελικά μου αρέσει περισσότερο το sketchpad από το geogebra. Θα το υιοθετήσω! 14