ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Περιγραφή θεματικής ενότητας Το ηλεκτρικό πεδίο, ο νόμος του Gauss, αρχή της επαλληλίας, έργο και ενέργεια στην ηλεκτροστατική, το ηλεκτρικό δυναμικό, αγωγοί, χωρητικότητα, η εξίσωση Poisson και η εξίσωση Laplace. Εκπαιδευτικοί Στόχοι Υπολογισμός ηλεκτρικού πεδίου στατικής κατανομής φορτίων, Υπολογισμός ενέργειας στατικής κατανομής φορτίων. Εισαγωγή της έννοιας του δυναμικού.
Ενότητα 2 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ 1 Στατική E E r, B B r E t = 0, B t = 0 E = ρ ε 0 E = 0 Ηλεκτροστατική B = 0 B = μ 0 j Μαγνητοστατική 2 1
Πυκνότητα φορτίου Πυκνότητα φορτίου συστήματος σημειακών φορτίων 3 Νόμος Gauss Ολοκληρώνοντας την πρώτη εξίσωση του Maxwell σε όλο το χώρο Όπου το φορτίο που περικλείεται στον όγκο V Ασκήσεις: Παράδειγμα 5 (σελ 98), Προβλήματα 2.11,2.15 (σελ 99),2.16,2.17 (σελ 100) 4 2
Ηλεκτρικό πεδίο διακριτής κατανομής Το ηλεκτρικό πεδίο το οποίο προκαλείται από ένα φορτίο q (στην θέση r 1 ) δίνεται από Για πολλά διακριτά φορτία x z r - r 3 r r - r 1 r 2 r 3 r 2 r - r 1 y 5 Ηλεκτρικό πεδίο συνεχούς κατανομής r r r - r () E( r ) ½ r 6 3
Υπολογισμός ηλεκτρικού πεδίου κατανομής φορτίων Άσκηση: Ευθύγραμμο σύρμα μήκους L φέρει φορτίο Q ομοιόμορφα κατανεμημένο. Να υπολογιστεί το ηλεκτρικό πεδίο κατά μήκος του άξονα του σύρματος και σε απόσταση z > L/2 από το κέντρο του. Για 7 Υπολογισμός ηλεκτρικού πεδίου κατανομής φορτίων Για προχωρώντας ανάλογα βρίσκουμε Σημειώνεται ότι το πεδίο για απειρίζεται στον άξονα z=0. Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο. Η γενική λύση για το ηλεκτρικό πεδίο στο επίπεδο x,z παρουσιάζεται γραφικά στο διπλανό σχήμα (εδώ L=2) 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 8 4
Αρχή της Επαλληλίας Οι λύσεις των εξισώσεων του Maxwell ικανοποιούν την αρχή της επαλληλίας, δηλαδή έστω δύο λύσεις α) του προβλήματος με πηγές β) του προβλήματος με πηγές τότε και η είναι λύση του προβλήματος με πηγές Ειδικά στην ηλεκτροστατική η παραπάνω αρχή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του ηλεκτρικού πεδίου σύνθετων κατανομών οι οποίες μπορούν να αναλυθούν σε απλούστερες κατανομές των οποίων γνωρίζουμε το ηλεκτρικό πεδίο 9 Υπολογισμός ηλεκτρικού πεδίου με τη μέθοδο της Επαλληλίας a r 1 r 2 Σφαίρα φέρει σταθερή πυκνότητα φορτίου ρ 0. Σε απόσταση a από το κέντρο της σφαίρας υπάρχει μια μικρή σφαιρική κοιλότητα. Να υπολογιστεί το ηλεκτρικό πεδίο εντός της σφαιρικής κοιλότητας. Θεωρούμε την επαλληλία δύο προβλημάτων: (1) Μιας συμπαγούς σφαίρας με σταθερή πυκνότητα φορτίου ρ 0. (2) Μιας συμπαγούς σφαίρας στη θέση της κοιλότητας με σταθερή πυκνότητα φορτίου ρ 0. Σύμφωνα με το νόμο του Gauss το ηλεκτρικό πεδίο που παράγει η κάθε σφαίρα είναι Στο εσωτερικό της κοιλότητας 10 5
Ηλεκτρικό Δυναμικό Από την εξίσωση του στροβιλισμού του ηλεκτρικού πεδίου Όπου V(r) μια βαθμωτή συνάρτηση, το ηλεκτρικό δυναμικό. Θεώρημα περιστροφής (Stokes). 11 Ηλεκτρικό Δυναμικό ανεξάρτητο του δρόμου ολοκλήρωσης. Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε E b d` d` a Όπου α ένα σημείο αναφοράς, το οποίο δεν παίζει ρόλο στις διαφορές δυναμικού. Συνήθως επιλέγουμε το σημείο α στο άπειρο και V( )=0 οπότε Ασκήσεις: Παράδειγμα 6 (σελ 108), Προβλήματα 2.21,2.22,2.23,2.24 (σελ 109) 12 6
Εξίσωση Poisson και Εξίσωση Laplace Εξίσωση Poisson Στην ειδική περίπτωση ρ=0 Εξίσωση Laplace 13 Δυναμικό κατανομής φορτίων Ένα φορτίο q στην αρχή των αξόνων Για πολλά διακριτά φορτία Για μια συνεχή πεπερασμένη κατανομή φορτίων r ½() r r - r V() r r 14 7
x z r -q +q -a +a Ηλεκτρικό Δίπολο y 15 Το ηλεκτρικό πεδίο υπολογίζεται ως Ηλεκτρικό Δίπολο 16 8
Υπολογισμός Ηλεκτρικού δυναμικού Λεπτός ημισφαιρικός φλοιός ακτίνας α φέρει επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Να υπολογιστεί το ηλεκτρικό δυναμικό κατά μήκος του άξονα z του Σχήματος. Θεώρημα συνημιτόνου * Η πυκνότητα γράφεται σε συμπαγή μορφή με τη βοήθεια της συνάρτησης Heaviside (συνάρτηση βήματος) 17 Υπολογισμός Ηλεκτρικού δυναμικού 0V a 3a 2a a a 2a 3a z 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 18 9
k Ηλεκτροστατικές συνοριακές συνθήκες Η παρουσία επιφανειακών φορτίων δημιουργεί ασυνέχειες στο ηλεκτρικό πεδίο. Θεωρούμε μια φορτισμένη επιφάνεια με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Τότε E 2? ¾ E 1? E 2 E 2 k E 1 k E 1 ή σε συμπαγή μορφή πάνω από την επιφάνεια κάτω από την επιφάνεια και ολοκληρώνοντας κατάλληλα βρίσκουμε E 2? E 1? E 2 2 E k 1 E k E 1 2 1 19 Ηλεκτροστατικές συνοριακές συνθήκες Το ηλεκτροστατικό δυναμικό V είναι συνεχής συνάρτηση, όμως η κλίση του είναι ασυνεχής, όπως προκύπτει από την τελευταία συνθήκη για το ηλεκτρικό πεδίο. Έτσι έχουμε 20 10
Ηλεκτροστατική Ενέργεια Η συνολική ηλεκτροστατική κατανομής φορτίων ορίζεται ως το έργο που καταβάλλουμε για να χτίσουμε την κατανομή μεταφέροντας τα φορτία της από το άπειρο μέχρι την τρέχουσα θέση. Θεωρούμε το έργο που θα χρειαστεί να καταβάλλουμε για να μεταφέρουμε ένα δοκιμαστικό φορτίο q από τη θέση Α στη θέση Β, σε μια περιοχή με ηλεκτρικό πεδίο E(r). Η δύναμη στο φορτίο θα είναι και το έργο που καταβάλλεται F B d` A Συνήθως θεωρούμε το σημείο Α στο άπειρο και θέτουμε V A = 0 21 Ενέργεια κατανομής φορτίων Η ενέργεια διακριτής κατανομής φορτίων μπορεί να υπολογιστεί ξεκινώντας από ένα φορτίο και θεωρώντας το έργο της διαδοχικής μεταφοράς των υπολοίπων από το άπειρο στην τρέχουσα θέση. Ασκήσεις: Παράδειγμα 2.32 (σελ 121) 22 11
Ενέργεια κατανομής φορτίων Η ενέργεια για μια πεπερασμένη συνεχή κατανομή φορτίων δίνεται από Αντικαθιστώντας στην πρώτη έκφραση την πυκνότητα από την εξίσωση του Poisson μηδενίζεται για πεπερασμένη κατανομή όπου η ολοκλήρωση έχει γίνει σε όλο το χώρο 23 Ενέργεια κατανομής φορτίων πυκνότητα ενέργειας Ερώτηση : Ισχύει η αρχή της επαλληλίας για την ηλεκτροστατική ενέργεια; Παράδειγμα: Φορτισμένος σφαιρικός φλοιός φορτίου Q R Υπολογίστε την ενέργεια χρησιμοποιώντας τον τύπο με το ηλεκτρικό πεδίο Ασκήσεις: Παράδειγμα 2.33 (σελ 123) 24 12
Ενέργεια αθροίσματος κατανομών Θεωρούμε μια κατανομή η οποία αποτελείται από δύο διακριτά τμήματα 25 Ηλεκτροστατική ενέργεια δύο φορτισμένων σφαιρών Παράδειγμα: Να υπολογιστεί η ηλεκτροστατική ενέργεια δύο μονωτικών σφαιρών ακτίνων R 1,, R 2 οι οποίες φέρουν ομοιόμορφα κατανεμημένα φορτία Q 1,, Q 2 αντίστοιχα και απέχουν απόσταση a. Από τον υπολογισμό του δυναμικού βρίσκουμε Επομένως 26 13
Ηλεκτροστατική ενέργεια δύο φορτισμένων σφαιρών Επομένως 27 Αγωγοί Θεωρητικά ως αγωγό ορίζουμε ένα σύστημα στο εσωτερικό του οποίου η κίνηση φορτίων είναι ελεύθερη και ως μονωτή ένα σύστημα στο οποίο δεν είναι δυνατή η κίνηση φορτίων. Σε πραγματικά υλικά και σε μικροσκοπικό επίπεδο, μονωτές είναι τα υλικά που αποτελούνται από άτομα στα οποία τα ηλεκτρόνια των εξωτερικών στοιβάδων είναι ισχυρά συνδεδεμένα. Αντιθέτως στους αγωγούς τα εξωτερικά ηλεκτρόνια είναι χαλαρά συνδεδεμένα και μπορούν να μετακινηθούν με σχετική ευκολία. Στα προβλήματα ηλεκτροστατικής θεωρούμε ιδανικούς αγωγούς σε ισορροπία οι οποίοι μπορούμε να αποδείξουμε ότι έχουν τις εξής ιδιότητες: Τα φορτία συγκεντρώνονται στην επιφάνεια του αγωγού, ενώ στο εσωτερικό έχουμε ρ = 0 Το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό τους μηδενίζεται E = 0 Σε όλη την έκταση του αγωγού το δυναμικό είναι σταθερό. (Η επιφάνεια του αγωγού είναι ισοδυναμική επιφάνεια) Το ηλεκτρικό πεδίο αμέσως έξω από την επιφάνειά τους είναι κάθετο σε αυτή και έχει μέτρο το οποίο ισούται με σ/ε 0 Ένας γειωμένος αγωγός έχει το ίδιο δυναμικό με το άπειρο καθώς θεωρούμε 28 ότι συνδέεται με αυτό με ένα λεπτό σύρμα. 14
Αγωγοί Ηλεκτρικά πεδία τα οποία προκαλούνται από την παρουσία φορτίου σε εσωτερική κοιλότητα αγωγού. επαγόμενα φορτία E E = 0 E q E E Ασκήσεις: Παράδειγμα 9(σελ 128), Πρόβλημα 2.36,2.37 (σελ132) 29 Χωρητικότητα Αγωγού Συνήθως οι αγωγοί χρησιμοποιούνται για την αποθήκευση φορτίων. Η χωρητικότητα του αγωγού εκφράζει την ικανότητά του να αποθηκεύει φορτίο είτε όταν είναι μόνος του είτε με την παρουσία άλλων αγωγών. Στην περίπτωση ενός αγωγού ορίζουμε τη χωρητικότητα ως + + + + + + + + + + + + όπου Q το φορτίο που φέρει ο αγωγός και V το δυναμικό του. Υπενθυμίζουμε εδώ ότι το δυναμικό είναι σταθερό σε όλη την έκταση του αγωγού ενώ το φορτίο βρίσκεται στην επιφάνειά του. 30 15
Χωρητικότητα συστήματος αγωγών Θεωρούμε ένα σύστημα το οποίο αποτελείται από δύο ομόκεντρους σφαιρικούς φλοιούς ακτίνων R 1 και R 2 οι οποίοι φέρουν φορτία Q 1 και Q 2 αντίστοιχα. Το δυναμικό του συστήματος μπορεί να υπολογιστεί εύκολα με ολοκλήρωση του ηλεκτρικού πεδίου το οποίο βρίσκουμε με τη βοήθεια του νόμου του Gauss. R 2 Q 2 Q 1 R 1 Στις επιφάνειες των αγωγών έχουμε αντίστοιχα 31 Χωρητικότητα συστήματος αγωγών Οι δύο τελευταίες σχέσεις γράφονται με τη βοήθεια πινάκων ως Αντιστρέφοντας βρίσκουμε 32 16
Χωρητικότητα συστήματος αγωγών Η τελευταία σχέση είναι το ανάλογο της χωρητικότητας σε σύστημα (δύο) αγωγών αν ταυτοποιήσουμε Τα διαγώνια στοιχεία ονομάζονται συντελεστές χωρητικότητας και τα μη διαγώνια συντελεστές αυτεπαγωγής 33 Χωρητικότητα Γενικεύοντας το προηγούμενο παράδειγμα, θεωρούμε ένα σύστημα n αγωγών οι οποίοι φέρουν φορτία Q 1,, Q 2, Q n. Καθώς το σύστημα είναι γραμμικό, χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας, μπορούμε να δείξουμε ότι το δυναμικό του αγωγού i θα δίνεται από Επιλύοντας ως προς τα φορτία V 1 Q 2 Q 1 V 2 Q 3 V 3 V 4 Q 4 όπου Οι συντελεστές C ii ονομάζονται συντελεστές χωρητικότητας, ενώ οι C ij, i j ονομάζονται συντελεστές επαγωγής. Η ενέργεια του συστήματος δίνεται από 34 17
Πυκνωτές Πυκνωτή ονομάζουμε ένα σύστημα δύο αγωγών με ίσα και αντίθετα φορτία Q, -Q. Με βάση τον προηγούμενο ορισμό το δυναμικό συνδέεται με το φορτίο ως και η διαφορά δυναμικού δίνεται από όπου C η χωρητικότητα του πυκνωτή η οποία ορίζεται ως ο λόγος Q/ΔV, όπου ΔV η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στους δύο αγωγούς. Η ενέργεια του συστήματος δίνεται από 35 Ηλεκτροστατικά προβλήματα παρουσία αγωγών Με την αφομοίωση της ύλης αυτής της ενότητας θα πρέπει να είμαστε σε θέση να αντιμετωπίσουμε τους παρακάτω τύπους προβλημάτων: Υπολογισμός της πυκνότητα φορτίου για ένα σύστημα για το οποίο γνωρίζουμε το ηλεκτρικό πεδίο ή το δυναμικό. Με τη βοήθεια των εξισώσεων του Maxwell να προσδιοριστούν οι παράμετροι εκφράσεων για το ηλεκτρικό πεδίο σε μια περιοχή του χώρου όπου πιθανόν να υπάρχουν φορτία και αγωγοί. Για ένα σύστημα με στατικές κατανομές φορτίων και παρουσία αγωγών το οποίο μπορεί να παρουσιάζει συμμετρία, να υπολογιστούν: Το Ηλεκτρικό πεδίο, το Βαθμωτό Δυναμικό και η Ηλεκτροστατική Ενέργεια. Υπολογισμός της χωρητικότητας ενός συστήματος φορτισμένων αγωγών Ασκήσεις: Προβλήματα 2.43, 2.46,2.47,2.48(σελ 140) Ασκήσεις Φυλλαδίου 1 36 18
Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1049.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος. «Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι. ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1049. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.