Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 Περιγραφή θεματικής ενότητας Νόμος Biot-Savart, Νόμος του Ampère, Μαγνητοστατικές συνοριακές συνθήκες, Διανυσματικό δυναμικό. Ανάπτυγμα σε πολύπολα, Μαγνητική διπολική ροπή. Εκπαιδευτικοί Στόχοι Επίλυση προβλημάτων μαγνητοστατικής. Εισαγωγή της έννοιας του Διανυσματικού Δυναμικού. Προσεγγιστικές μέθοδοι επίλυσης.

3 Ενότητα 5 ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ 1 Μαγνητοστατική Στην περίπτωση της Μαγνητοστατικής οι σχετικές εξισώσεις του Maxwell παίρνουν τη μορφή Πυκνότητα ρεύματος j I S Η εξίσωση συνέχειας στη στατική περίπτωση δίνει 2 1

4 Ο Νόμος του Ampère σε ολοκληρωτική μορφή ds (Νόμος του Ampère) όπου C S η κλειστή καμπύλη η στα σύνορα της επιφάνειας S και χρησιμοποιήσαμε το Θεώρημα Περιστροφής (Stokes). Το Ι S είναι το ρεύμα το οποίο διέρχεται από την επιφάνεια S. S d` C S 3 Εφαρμογές σε προβλήματα με συμμετρία Παράδειγμα 7 (σελ 285), Παράδειγμα 8 (σελ 286), Παράδειγμα 9 (σελ 287) Ασκήσεις: Προβλήματα 5.15,5.16,5.17, 4 2

5 Παράδειγμα1: Κυλινδρικό κέλυφος I Κυλινδρικό κέλυφος απείρου μήκους και ακτινών r 1 = a, r 2 = b διαρρέεται από ρεύμα Ι. Να βρεθεί το μαγνητικό πεδίο παντού στο χώρο. Λόγω συμμετρίας αναμένουμε το μαγνητικό πεδίο να εξαρτάται μόνο από την απόσταση r (από τον άξονα του κυλίνδρου) και να έχει τη διεύθυνση του φ δηλαδή (i) r < a. Εφαρμόζοντας το νόμο του Ampère στην κλειστή καμπύλη C 1 (κύκλος με ακτίνα r) με dl = dφ φ, βρίσκουμε C 1 C 2 C 3 (ii) a < r < b. Εφαρμόζοντας το νόμο του Ampère στην κλειστή καμπύλη C 2 (κύκλος με ακτίνα r) με dl = dφ φ, βρίσκουμε 5 Παράδειγμα1: συνέχεια όπου χρησιμοποιήσαμε (iii) r > b. Εφαρμόζοντας το νόμο του Ampère στην κλειστή καμπύλη C 3 (κύκλος με ακτίνα r) όπου έχουμε επίσης dl = dφ φ, βρίσκουμε 6 3

6 Παράδειγμα 2: Ασύμμετρο κυλινδρικό κέλυφος I a b x Ασύμμετρο κυλινδρικό κέλυφος απείρου μήκους και εξωτερικής ακτίνας r 1 = a, r 2 = b με διατομή η οποία εμφανίζεται στο σχήμα διαρρέεται από ρεύμα Ι. Να βρεθεί το μαγνητικό πεδίο στο εξωτερικού του αγωγού και κατά μήκος του άξονα x. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να λυθεί με την αρχή της επαλληλίας λαμβάνοντας υπόψιν τη λύση για έναν αγωγό ακτίνας R ο οποίος διαρρέεται από σταθερό ρεύμα Ι, το οποίο δίνεται από Για το σκοπό αυτό θεωρούμε την επαλληλία ενός κυλινδρικού αγωγού ακτίνας a ο I οποίος διαρρέεται από ρεύμα πυκνότητας j 1 = z με Ι π a 2 b 2 1 = Ia2 a 2 b 2 και ενός αγωγού ακτίνας b ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα πυκνότητας j 2 = z με με Ι 2 = I b2 π a 2 b 2 I a 2 b 2 7 Παράδειγμα 2: (συνέχεια) Το μαγνητικό πεδίο σε ένα σημείο Ο στο εξωτερικό του αγωγού, και πάνω στον άξονα x, δίνεται από B 1 I 1 R I 2 x O B 2 με διεύθυνση κάθετη στον άξονα των x, και φορά προς τα πάνω, όπως στο Σχήμα. Ασκήσεις: Προβλήματα

7 Διανυσματικό δυναμικό Τα προβλήματα της μαγνητοστατικής ανάγονται στην επίλυση των εξισώσεων Η πρώτη μπορεί να επιλυθεί άμεσα με την εισαγωγή της ποσότητας Α Η ποσότητα Α ονομάζεται διανυσματικό δυναμικό. Το διανυσματικό δυναμικό δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο, καθώς ο μετασχηματισμός όπου Ψ αυθαίρετη συνάρτηση, οδηγεί στο ίδιο μαγνητικό πεδίο. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι γνωστός και με το όνομα μετασχηματισμός βαθμίδος. 9 Διανυσματικό δυναμικό Με την εισαγωγή του Α η δεύτερη εξίσωση της μαγνητοστατικής γράφεται ως Χρησιμοποιώντας την ελευθερία που παρέχει η συμμετρία βαθμίδος μπορούμε να επιλέξουμε Α=0 (βαθμίδα Coulomb) οπότε καταλήγουμε στην εξίσωση Poisson για το διανυσματικό δυναμικό Σε καρτεσιανές συντεταγμένες η εξίσωση αυτή παίρνει την απλή μορφή Σε άλλα συστήματα συντεταγμένων οι εκφράσεις είναι πιο πολύπλοκες. Για παράδειγμα σε κυλινδρικές συντεταγμένες έχουμε 10 5

8 Το διανυσματικό δυναμικό πεπερασμένης κατανομής ρευμάτων Για μια πεπερασμένη κατανομή ρευμάτων, η λύση της εξίσωσης του Poisson, σε αναλογία με την περίπτωση του βαθμωτού δυναμικού, δίνεται από και το μαγνητικό πεδίο Νόμος Biot-Savart 11 Το Μαγνητικό πεδίο πεπερασμένης κατανομής- Νόμος Biot-Savart Το μαγνητικό πεδίο για μια πεπερασμένη κατανομή μπορεί σε πολλές περιπτώσεις να υπολογιστεί κατ ευθείαν από την τελευταία έκφραση Ειδικά για ένα σταθερό ρεύμα το οποίο ρέει σε λεπτό σύρμα, η ολοκλήρωση περιορίζεται πάνω στο σύρμα, παίρνουμε την παρακάτω έκφραση, επίσης γνωστή ως νόμος Biot-Savart όπου θεωρήσαμε ότι ο πρόσθετος παράγοντας... είναι περίπου σταθερός κατά την ολοκλήρωση στο ds καθώς το σύρμα είναι λεπτό d` I db r r 12 6

9 Α D Το μαγνητικό πεδίο τετραγωνικού βρόχου Β C Ο νόμος των Biot-Savart δίνει Να υπολογιστεί το μαγνητικό πεδίο κατά μήκος του κάθετου άξονα στο κέντρο τετραγωνικού βρόχου πλευράς 2a ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα Ι. Να βρεθεί το μαγνητικό πεδίο στο εξωτερικού του αγωγού και κατά μήκος του άξονα x. AB+BC+CD+DA ΑB: BC: 13 Το μαγνητικό πεδίο τετραγωνικού βρόχου CD: DA: όπου χρησιμοποιήσαμε 14 7

10 Συνοριακές συνθήκες Μαγνητοστατικής Από το νόμο του Ampère στην κλειστή καμπύλη του σχήματος κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια ανάμεσα από δυο περιοχές η οποία διαρρέεται από επιφανειακό ρεύμα πυκνότητας K, βρίσκουμε (εδώ έχει σημασία η φορά του ρεύματος) K B 2 ή B 1 Ενώ ολοκληρώνοντας την Β = 0 στον όγκο ενός παραλληλεπιπέδου ανάμεσα στις δύο περιοχές βρίσκουμε ή 2 1 Όσον αφορά το διανυσματικό δυναμικό, μπορούμε, ολοκληρώνοντας την Β = Α, να δείξουμε ότι η παράλληλη συνιστώσα είναι συνεχής συνάρτηση. Ειδικά στη βαθμίδα Coulomb ολοκληρώνοντας την Α = 0 στον όγκο ενός παραλληλεπιπέδου όπως και πριν βρίσκουμε ότι και η κάθετη συνιστώσα είναι συνεχής. Επομένως (στη βαθμίδα Coulomb ) 15 Παράδειγμα 1: Κυλινδρικός αγωγός Κυλινδρικός αγωγός απείρου μήκους και ακτίνας R διαρρέεται από ρεύμα Ι. (i) Να βρεθεί το διανυσματικό δυναμικό παντού στο χώρο. (ii) Να υπολογιστεί το μαγνητικό πεδίο παντού στο χώρο Το διανυσματικό δυναμικό ικανοποιεί την εξίσωση Λόγω συμμετρίας αναμένουμε Α = Α(r) z, δηλαδή το διανυσματικό δυναμικό εξαρτάται μόνο από την απόσταση από το κέντρο του κυλίνδρου και έχει συνιστώσα κατά μόνο κατά τη διεύθυνση του ρεύματος. Υπό αυτές τις προϋποθέσεις έχουμε: (i) r > R 16 8

11 (ii) r < R Παράδειγμα 1: Κυλινδρικός αγωγός συνέχεια Το διανυσματικό δυναμικό θα πρέπει να είναι πεπερασμένο στο r = 0 και συνεπώς C < = 0. Επίσης η συνέχεια του διανυσματικού δυναμικού στο r = R μπορεί να προσδιορίσει ακόμη μια σταθερά αλλά όπως θα δούμε στο συγκεκριμένο πρόβλημα αυτή η συνθήκη δεν είναι απαραίτητη για τον προσδιορισμό του μαγνητικού πεδίου. 17 Παράδειγμα 1: Κυλινδρικός αγωγός συνέχεια Το μαγνητικό πεδίο δίνεται από η οποία δίνει Καθώς δεν υπάρχουν επιφανειακά ρεύματα και η παράλληλη και η κάθετη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου είναι συνεχείς, επομένως το Β είναι συνεχές στο r = R το οποίο απαιτεί και έτσι προσδιορίζουμε πλήρως το μαγνητικό πεδίο. 18 9

12 Παράδειγμα 1: Κυλινδρικός αγωγός συνέχεια Για να προσδιορίσουμε το διανυσματικό δυναμικό πρέπει επιπροσθέτως να ορίσουμε ορίσουμε την τιμή του Α σε ένα σημείο *. Εδώ το r = δεν είναι κατάλληλο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε η οποία δίνει * Σημειώνεται ότι ακόμη και με τη συνθήκη Coulomb το Α δεν προσδιορίζεται μονοσήμαντα καθώς μπορούμε πάντα σε αυτό να προσθέσουμε μια αυθαίρετη σταθερά. 19 Παράδειγμα 2: Άπειρο σωληνοειδές Σωληνοειδές μεγάλου μήκους και ακτίνας R διαθέτει Ν αριθμό σπειρών ανά μονάδα μήκους και διαρρέεται από ρεύμα Ι. (i) Να βρεθεί το διανυσματικό δυναμικό παντού στο χώρο. (ii) Να υπολογιστεί το μαγνητικό πεδίο παντού στο χώρο Το σωληνοειδές διαρρέεται από επιφανειακό ρεύμα K = NI φ. Από συμμετρία το διανυσματικό δυναμικό θα εξαρτάται μόνο από την απόσταση από τον άξονα r και θα έχει τη διεύθυνση του ρεύματος και για οποιοδήποτε r R ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace Εισάγοντας 20 10

13 Παράδειγμα 2: Άπειρο σωληνοειδές συνέχεια Επομένως 21 η οποία οδηγεί σε μαγνητικό πεδίο Παράδειγμα 2: Άπειρο σωληνοειδές συνέχεια το διανυσματικό δυναμικό πρέπει να είναι πεπερασμένο για r = και r = 0 επομένως Ενώ η ασυνέχεια της παράλληλης συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου για r = R δίνει 22 11

14 Παράδειγμα 2: Άπειρο σωληνοειδές συνέχεια Η συνέχεια του διανυσματικού δυναμικού για r = R δίνει και τελικά και 23 Πολυπολικό Ανάπτυγμα Για πεπερασμένες κατανομές ρευμάτων το διανυσματικό δυναμικό δίνεται από Με βάση τα όσα αναφέραμε στην Ενότητα 2 για r > r (μακριά από την κατανομή) J ( r ) r - r r A () r και επομένως κρατώντας τους δύο πρώτους όρους r 24 12

15 Πολυπολικό ανάπτυγμα συνέχεια Μπορούμε να δείξουμε ότι όπου m η μαγνητική διπολική ροπή και επομένως απ όπου βρίσκουμε Ασκήσεις: Παράδειγμα 13, Πρόβλημα 5.36, 5.37, Μαγνητική ροπή βρόχου Για ένα κλειστό λεπτό αγωγό ο οποίος βρίσκεται σε ένα επίπεδο και διαρρέεται από ρεύμα Ι η μαγνητική ροπή γράφεται ως απ όπου βρίσκουμε 26 13

16 Μαγνητικό πεδίο κυκλικού βρόχου Για r R το πολυπολικό ανάπτυγμα δίνει όπου κάναμε χρήση της 27 14

17 Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

18 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

19 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος. «Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι. ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΗ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.