Πόλωση του φωτός Ι Σελίδα 1. Είδη Πόλωσης.... 1 1.1 Γραµµική Πόλωση. 1. Κυκλική Πόλωση. 1.3 Ελλειπτική Πόλωση. 1.4 Φυσικό Φως & Μη-πολωµένο Φως.. Πολωτές... 5.1 ιχρωικοί Γραµµικοί Πολωτές.. ιπλοθλαστικότητα και Πλακίδια Καθυστέρησης Φάσης. 3. Χαρακτηρισµός της Πόλωσης... 9 3.1 ύο Γραµµικοί Πολωτές. 3. Τρεις Γραµµικοί Πολωτές. 3.3 Πλακίδια Καθυστέρησης Φάσης. 4. Πειραµατική διαδικασία... 1 4.1 Πειραµατική ιάταξη & Λογισµικό. 4. Πειραµατικές Ασκήσεις. 4..1 ύο Γραµµικοί Πολωτές. 4.. Τρεις Γραµµικοί Πολωτές. 4..3 Προσδιορισµός Καθυστέρησης Φάσης ιπλοθλαστικού Πλακιδίου ~λ/4. 4..4 ιπλοθλαστικό Πλακίδιο λ/.
Πόλωση του φωτός Ι 1. Είδη Πόλωσης. 1.1 Γραµµική Πόλωση. Η πόλωση είναι ιδιότητα που χαρακτηρίζει µόνο τα εγκάρσια κύµατα ενώ δεν έχει έννοια για τα διαµήκη. Τα ηλεκτροµαγνητικά (ΗΜ) κύµατα είναι εγκάρσια εφόσον τόσο το ηλεκτρικό όσο και το µαγνητικό πεδίο τους πάλλονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης. Μια και για τη συντριπτική πλειοψηφία των φαινοµένων της οπτικής υπεύθυνο είναι το ηλεκτρικό πεδίο, εδώ δε θα ασχοληθούµε µε το µαγνητικό πεδίο και δε θα το σχεδιάσουµε στα σχήµατα που ακολουθούν. Για να α- πλοποιήσουµε δε ακόµη περισσότερο τη συζήτησή µας θα ασχοληθούµε µόνο µε αρµονικά κύµατα, δηλαδή κύµατα της µορφής E( z, t) = Ema cos( k z ωt) (1) όπου πn k = () λ κενού το µέτρο του κυµατανύσµατος του οποίου η κατεύθυνση είναι αυτή της διάδοσης του κύµατος (στη περίπτωση της σχέσης (1) ο θετικός άξονας z). Στη () n είναι ο δείκτης διάθλασης του υλικού ε- ντός του οποίου διαδίδεται το κύµα και το µήκος κύµατος αναφέρεται στο κενό, ισχύει δηλαδή λ κενού f = c o µε f = ω/(π) τη συχνότητα του κύµατος και c o τη ταχύτητα του φωτός στο κενό. Ένα τέτοιο κύµα φαίνεται στο σχήµα 1, όπου δίδεται και ο ορισµός του επιπέδου πόλωσης που είναι το επίπεδο ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου. Επίπεδο Πόλωσης Επίπεδο Ταλάντωσης του Ηλεκτρικού Πεδίου Ezt (, ) E ma Σχήµα 1. E ma k z Για να ακριβολογούµε, µέχρι τώρα ορίσαµε µόνο τη γραµµική πόλωση, αυτή δηλαδή όπου το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου βρίσκεται συνεχώς στο ίδιο επίπεδο. Αυτό δε σηµαίνει ότι το επίπεδο αυτό είναι αναγκαστικά το κατακόρυφο, όπως υπονοεί του σχήµα 1, αλλά µπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση, αρκεί βέβαια να περιλαµβάνει και τη διεύθυνση διάδοσης. Μια τέτοια περίπτωση φαίνεται στο σχήµα, όπου µάλιστα το διάνυσµα του ηλεκτρικού πεδίου έχει αναλυθεί σε δύο 1
κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες 1. Η ανάλυση σε δύο γραµµικά πολωµένα κύµατα µε κάθετα επίπεδα πόλωσης είναι ένας βολικός (αν και όχι ο µόνος) τρόπος περιγραφής της κατάστασης της πόλωσης (γραµµικής ή άλλης). Θεωρήστε τώρα ένα παρατηρητή που βλέπει το κύµα να πλησιάζει (όπως στο σχήµα ). Υποθέτοντας ότι µπορεί να διακρίνει τη γρήγορη ταλάντωση του πεδίου ή των συνιστωσών του θα παρατηρήσει την εικόνα του σχήµατος 3(α). Ezt (, ) Σχήµα. k z Ισχύει συνεπώς ότι, E( z, t) = E ( z, t) i + E y ( z, t)j (3) όπου i και j τα κάθετα µεταξύ τους µοναδιαία διανύσµατα των δύο διευθύνσεων ανάλυσης που έ- χουµε επιλέξει και E z, t = Ema, cos k z ωt (4) ( ) ( ) E y ( z, t) = Ema, y cos( k z ωt + ϕ). (5) Για τα πλάτη ισχύει προφανώς ότι Ε ma,,y 0 ενώ η διαφορά φάσης φ είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. ηλαδή, για γραµµικά πολωµένο φως θα έχουµε φ = kπ, k = 0, ±1, ±,. (6) Εάν ο ακέραιος k είναι άρτιος οι δύο συνιστώσες είναι συµφασικές (λαµβάνουν ταυτόχρονα τις µέγιστες και ελάχιστες τιµές τους σχήµα 3(α)). Αντίθετα, εάν είναι περιττός οι δύο συνιστώσες είναι εκτός φάσης κατά π (όταν η µία λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της η άλλη λαµβάνει την ελάχιστη και αντίστροφα σχήµα 3(β)). φ = 0 φ = π E ma,y E ma, j (α) E ma, i Σχήµα 3. -E ma,y (β) 1 Λόγω της καθετότητας των ηλεκτρικών πεδίων τα δύο αυτά κύµατα δεν µπορούν προφανώς να συµβάλλουν.
Είναι φανερό ότι για να οριστεί πλήρως η γραµµική πόλωση του κύµατος απαιτείται τόσο η γνώση της διαφοράς φάσης φ, όσο και ο λόγος των πλατών Ε ma,y /Ε ma, (που καθορίζει τη γωνία του συ- E z, t ως προς τη διεύθυνση π.χ. του διανύσµατος i). νιστάµενου κύµατος ( ) 1. Κυκλική Πόλωση. Χρησιµοποιώντας την ανάλυση σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες (σχέσεις (4) & (5)) µπορούµε να ορίσουµε και άλλα είδη πόλωσης. Η κυκλική πόλωση ορίζεται από τις συνθήκες Ε ma,y = Ε ma, = Ε ma (7α) και φ = ± π/ + kπ, k =0, ±1, ±,. (7β) Ezt (, ) π k z z Σχήµα 4. (α) (β) Ένα παράδειγµα δύο συνιστωσών µε διαφορά φάσης π/ φαίνεται στο σχήµα 4(α) όπου βλέπουµε ότι όταν η µία συνιστώσα µηδενίζεται ή άλλη λαµβάνει είτε τη µέγιστη j είτε την ελάχιστη τιµή της. Ακόµη, επειδή cos[kz-ωt±π/] = sin[kz-ωt] για το συνιστάµενο κύµα έχουµε E ( z, t) = [ E ( z, t) + E ( z, t) ] 1/ = [cos [kzωt]+sin [kz-ωt]] 1/ ω E ma i = Ε ma. Συνεπώς, το διάνυσµα του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερό µέτρο Ε ma και λόγω της συγκεκριµένης διαφοράς φάσης φ διαγράφει ελικοειδή τροχιά (σχήµα 4(β)). Παρατηρητής E y Ε που παρακολουθεί τη προβολή της τροχιάς σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης (z) βλέπει ένα κύκλο που διαγράφεται µε συχνότητα ω (σχήµα 5). Σηµειώστε ότι η µόνη διαφορά µεταξύ των περιπτώσεων φ = + π/ και φ = π/ είναι η φορά περιστροφής του διανύσµατος η οποία τις περισσότερες φορές δεν ενδιαφέρει. Σχήµα 5. 1.3 Ελλειπτική Πόλωση. Η ελλειπτική πόλωση ορίζεται από τις συνθήκες, και Τυχαίος αλλά δεδοµένος λόγος πλατών Ε ma,y /Ε ma, Τυχαία αλλά (χρονικά και χωρικά) σταθερή διαφορά φάσης φ. (8α) (8β) Στη γενικότερη αυτή περίπτωση το διάνυσµα του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου διαγράφει πάλι ε- λικοειδή τροχιά αλλά αυτή τη φορά µε µέτρο που µεταβάλλεται µεταξύ µιας µέγιστης και µιας ελάχιστης τιµής. Η προβολή της τροχιάς σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης (z) είναι έλλειψη (σχήµα 6). Η γωνία a που σχηµατίζει ο άξονας της έλλειψης µε τη διεύθυνση του διανύσµατος i υπολογίζεται µέσω της σχέσης 3
( ϕ) Ema, Ema, y cos tan( a) = Ema, Ema, y ενώ η εξίσωση της έλλειψης γράφεται E E E y E y cos( ϕ) + = sin ( ϕ). Ema, Ema, Ema, y Ema, y Η ελλειπτική πόλωση προφανώς περιλαµβάνει (µε τις κατάλληλες επιλογές της διαφοράς φάσης φ και του λόγου πλατών Ε ma,y /Ε ma, ) τόσο τη γραµµική όσο και τη κυκλική πόλωση ως ειδικές περιπτώσεις. 1.4 Φυσικό Φως & Μη-πολωµένο Φως. ω j i E ma,y Σχήµα 6. α Ε ma, Το φως του Ήλιου αλλά και των συνηθισµένων φωτεινών πηγών (π.χ. λαµπτήρες πυρακτώσεως) χαρακτηρίζεται ως φυσικό φως. Οι πηγές φυσικού φωτός αποτελούνται από άτοµα ή µόρια που ακτινοβολούν σύµφωνα (δηλαδή µε σταθερή διαφορά φάσης) µόνο εντός περιορισµένων χρονικών διαστηµάτων τυπικής διάρκειας t~10-8 s. Επιπλέον, το επίπεδο πόλωσης της ακτινοβολίας κάθε ατόµου ή µορίου µπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση η οποία µάλιστα µπορεί να αλλάζει µετά από χρόνο t. Συνεπώς και το είδος της πόλωσης αλλάζει κατά απρόβλεπτο τρόπο. Μια πρόχειρη απεικόνιση του φυσικού φωτός είναι αυτή του σχήµατος 7(α) που υπονοεί την ύπαρξη επιπέδων γραµµικής πόλωσης σε οποιαδήποτε διεύθυνση, µε διαφορετικά, εν γένει, πλάτη και φάσεις που µεταβάλλονται µε το χρόνο. Η απεικόνιση αυτή όµως δεν είναι και η καλύτερη και για αυτό χρησιµοποιούµε συνήθως εναλλακτικούς τρόπους περιγραφής. Ένας από αυτούς φαίνεται στο σχή- µα 7(β) όπου πάλι αναλύουµε όλα τα επιµέρους κύµατα σε δύο κάθετες µεταξύ τους γραµµικά πολωµένες συνιστώσες. Η επιλογή των διευθύνσεων των συνιστωσών είναι αυθαίρετη (αρκεί βέβαια να είναι κάθετες µεταξύ τους). Αθροίζοντας όλες τις συνεισφορές βρίσκουµε ότι οι συνιστώσες του συνιστάµενου κύµατος έχουν Ίσα πλάτη, Ε ma,y = Ε ma, = Ε ma (9α) και Χρονικά µεταβαλλόµενη διαφορά φάσης φ(t). (9β) Η διαφορά φάσης µεταβάλλεται µε άλµατα που απέχουν χρονικά κατά t (σχήµα 7(β)). Στο σηµείο αυτό καλό είναι να αναφερθούµε και στον όρο µη-πολωµένο φως που είναι γενικότερος και χρησιµοποιείται ακόµη και για πηγές lase των οποίων η ακτινοβολία παρουσιάζει ιδιότητες που δεν συναντώνται στο φυσικό φως (συµφωνία, κατευθυντικότητα κλπ). Η ιδιότητα που ενδιαφέρει εδώ είναι η πολύ µεγαλύτερη συµφωνία των πηγών lase σε σχέση µε τις συνήθεις φωτεινές πηγές. Συνεπώς, συνεχίζουµε να περιγράφουµε το φως των πηγών lase µέσω των σχέσεων (9) µε την υπενθύµιση όµως ότι η χρονική διάρκεια t είναι κατά περίπου τρεις τάξεις µεγέθους µεγαλύτερη από αυτή που προαναφέραµε για το φυσικό φως. Πέραν αυτού η συµπεριφορά του φυσικού ή µηπολωµένου φωτός κατά τη πρόσπτωσή του σε γραµµικό πολωτή (βλέπε παρακάτω), τουλάχιστον σε ότι θα µας απασχολήσει εδώ, δεν παρουσιάζει διαφορές. (α) Σχήµα 7. (β) ϕ (t) j i E ma,y t~10-8 s t Ε ma, 4
. Πολωτές. Ο πλέον συνήθης ορισµός των πολωτών είναι ότι πρόκειται για οπτικές διατάξεις στις οποίες όταν προσπέσει στην είσοδό τους φυσικό φως λαµβάνεται στην έξοδό τους πολωµένο φως κάποιου είδους. Στη πράξη, στο παραπάνω ορισµό µπορούµε να συµπεριλάβουµε τόσο το µη-πολωµένο όσο και το πολωµένο φως. Συνεπώς ένας καλύτερος ίσως ορισµός των πολωτών είναι ότι πρόκειται για οπτικές διατάξεις που µπορούν να µεταβάλουν το είδος της πόλωσης του προσπίπτοντος σε αυτούς φωτός. Η αρχή λειτουργίας των πολωτών βασίζεται στην ανισοτροπία που εµφανίζουν οι οπτικές ιδιότητες ορισµένων υλικών ως προς το είδος της πόλωσης. Πιο συγκεκριµένα, υπάρχουν τέσσερις κατηγορίες φαινοµένων που εκµεταλλευόµαστε κατά τη κατασκευή των πολωτών: Ανισοτροπία απορρόφησης (επιλεκτική απορρόφηση που εξαρτάται από τη πόλωση). Η ιδιότητα αυτή αποδίδεται µε τον όρο ιχρωισµός. Ανισοτροπία του δείκτη διάθλασης (που εξαρτάται από τη διεύθυνση διάδοσης στο υλικό και τη πόλωση του φωτός). Η ιδιότητα αυτή αποδίδεται µε τον όρο ιπλοθλαστικότητα. Ανισοτροπία ανάκλασης (συντελεστής ανάκλασης που εξαρτάται από τη πόλωση). Ανισοτροπία σκέδασης (επιλεκτική σκέδαση διαφορετικών πολώσεων σε διαφορετικές διευθύνσεις). Στο εργαστήριο Κυµάνσεων θα δούµε παραδείγµατα των δύο πρώτων κατηγοριών στη «Πόλωση του φωτός Ι» και της τρίτης κατηγορίας στη «Πόλωση του φωτός ΙΙ»..1 ιχρωικοί Γραµµικοί Πολωτές. Οι διχρωικοί γραµµικοί πολωτές παρουσιάζουν µια χαρακτηριστική διεύθυνση που ονοµάζουµε άξονα διέλευσης τέτοια ώστε φως γραµµικά πολωµένο παράλληλα σε αυτή διαδίδεται µε λίγες ή καθόλου απώλειες ενώ φως γραµµικά πολωµένο κάθετα σε αυτήν απορροφάται σχεδόν πλήρως. Τα γνωστότερα και πλέον χρησιµοποιούµενα σε συνήθεις εφαρµογές υλικά που εµφανίζουν διχρωισµό είναι τα πολωτικά φύλλα Polaoid που αποτελούνται από παράλληλες αλυσίδες πολυµερών. ε θα εξηγήσουµε εδώ τα αίτια εµφάνισης διχρωισµού σε τέτοιες δοµές. Αναφέρουµε απλώς ότι στις ασκήσεις των µικροκυµάτων χρησιµοποιείται µια παρόµοια (αν και µεταλλική) διάταξη. Οι διαστάσεις της τελευταίας µάλιστα είναι πολύ µεγαλύτερες από αυτές που απαιτούνται για το ορατό φως, λόγω του πολύ µεγαλύτερου µήκους κύµατος των µικροκυµάτων. Ας δούµε τώρα λεπτοµερέστερα τη δράση ενός γραµµικού πολωτή όταν προσπέσει σε αυτόν φυσικό φως χρησιµοποιώντας τη περιγραφή των σχέσεων (9α,β). Υποθέστε ότι ο άξονας διέλευσης του πολωτή έχει τη διεύθυνση j (σχήµα 8). Τότε, µετά τη διέλευση του φωτός από αυτόν και θεωρώντας ότι ο πολωτής είναι ιδανικός, η µία συνιστώσα αποκόπτεται πλήρως και η άλλη συνεχίζει να διαδίδεται τελείως ανεπηρέαστη. Πρέπει να τονίσουµε όµως στο σηµείο αυτό ότι το µάτι και οι ανιχνευτές φωτός δεν µπορούν να παρακολουθήσουν τις πολύ γρήγορες χρονικές µεταβολές του πεδίου. Αντιλαµβάνονται µόνο τη µέση χρονική τιµή της έντασής του Ι που είναι ανάλογη της µέσης χρονικής τιµής του µεγέθους E ( z, t). Η εύρεση της µέσης χρονικής τιµής απαιτεί ολοκλήρω- ση σε µία περίοδο του κύµατος Τ=1/f και στις περιπτώσεις που ενδιαφέρουν εδώ έχει ως αποτέλεσµα την αντικατάσταση των όρων της µορφής cos (kz-ωt+ φ) και sin (kz-ωt+ φ) µε 1/. Με αυτά υπ όψη αποδεικνύεται εύκολα ότι πριν από τη πρόσπτωση στο γραµµικό πολωτή το φυσικό φως έχει ένταση έστω Ι ο E ma /, ενώ µετά τη διέλευση από αυτόν Ι 1 E ma /, συνεπώς Ι 1 =Ι ο /. Χάνεται δηλαδή η µισή ένταση αλλά η ακτινοβολία είναι πλέον γραµµικά πολωµένη κατά τον άξονα διέλευσης. Ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης ας κοιτάξει το βιβλίο Optics του E. Hecht, παράγραφος 8.3, σελίδες 37-330 (στα αγγλικά). 5
Άξονας διέλευσης πολωτή j i E ma φ(t) E ma Φυσικό Φως I o E ma Σχήµα8. Το επόµενο ερώτηµα είναι τώρα: Τι συµβαίνει όταν ακτινοβολία ήδη γραµµικά πολωµένη προσπέσει σε (ιδανικό) γραµµικό πολωτή ; Θεωρήστε λοιπόν ότι το επίπεδο πόλωσης γραµµικά πολωµένου φωτός έντασης Ι ο σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα διέλευσης (σχήµα 9). Είναι βολικό να επιλέξουµε τις διευθύνσεις των µοναδιαίων διανυσµάτων i και j έτσι ώστε η πρώτη να είναι παράλληλη και η δεύτερη κάθετη στον άξονα διέλευσης. Η συνιστώσα Ε ma, διαδίδεται τότε ανεπηρέαστη ενώ η Ε ma,y αποκόπτεται πλήρως. Προφανώς Ε ma, = Ε ma cos(θ) οπότε η µέση χρονική τιµή < E ( z, t) > Τ πριν από τη πρόσπτωση στο πολωτή είναι ίση µε E ma / ( Ι ο ) ενώ µετά τη πρόσπτωση ίση µε E θ /. Συνεπώς η ένταση της διερχοµένης ακτινοβολίας δίδεται από τη σχέση ma cos ( ) Ι(θ) = Ι(θ=0)cos (θ) (10) που είναι ο γνωστός Νόµος του Malus. Για θ 0, π, π κ.λ.π. το διερχόµενο κύµα θα έχει µειωµένη ένταση και το νέο επίπεδο πόλωσης θα έχει τη διεύθυνση του άξονα διέλευσης. Για θ=0, π, π, το επίπεδο πόλωσης παραµένει ανεπηρέαστο και η ένταση της διερχόµενης ακτινοβολίας είναι µέγιστη. Για τους ιδανικούς πολωτές µάλιστα θα είναι ίση µε την ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας (Ι(θ=0) = Ι ο ). Στη πράξη όµως όλοι οι πολωτές παρουσιάζουν απώλειες τόσο λόγω ανάκλασης όσο και µικρής απορρόφησης ακόµη και για θ=0, π, π, και χαρακτηρίζονται από ένα συντελεστή διέλευσης T. Για ένα µη-ιδανικό πολωτή λοιπόν θα έχουµε Ι(θ=0) = T Ι ο. Ειδικά για την ο- νοµασία των πολωτικών φύλλων Polaoid χρησιµοποιούµε τη γραφή ΗΝ ## που βασίζεται στο συντελεστή διέλευσης του φυσικού φωτός. Όπως είπαµε, εάν φυσικό φως προσπέσει σε ιδανικό πολωτή η διερχόµενη ακτινοβολία είναι ίση µε Ι 1 =Ι ο /, συνεπώς Ι 1 /Ι ο = 1/ ή 50% και το πολωτικό φύλλο Polaoid ονοµάζεται ΗΝ 50. Για ένα µη-ιδανικό πολωτή όµως θα έχουµε Ι 1 = T Ι ο /, συνεπώς Ι 1 /Ι ο = T / ή (T /) 100% και το αντίστοιχο φύλλο Polaoid θα ονοµάζεται ΗΝ (T /) 100. Για τα πολωτικά φύλλα που χρησιµοποιούµε στο εργαστήριο Κυµάνσεων T = 0.64 συνεπώς οι πολωτές αυτοί ονοµάζονται ΗΝ 3.. ιπλοθλαστικότητα και Πλακίδια Καθυστέρησης Φάσης. I 1 = I o Άξονας διέλευσης πολωτή E ma Υπάρχουν υλικά (φυσικοί κρύσταλλοι ή άλλα) όπου η ταχύτητα διάδοσης του φωτός µέσα σε αυτά (και συνεπώς και ο δείκτης διάθλασης) εξαρτάται, εν γένει, από τη διεύθυνση διάδοσης και το προσανατολισµό του επιπέδου της γραµµικής πόλωσης. Εάν λοιπόν φυσικό φως προσπέσει σε ένα τέτοιο διπλοθλαστικό υλικό, κατά κανόνα διαχωρίζεται σε δύο κύµατα µε επίπεδα πόλωσης κάθετα j i Σχήµα 9. θ E ma, 6
µεταξύ τους και διαφορετικές ταχύτητες διάδοσης (σχήµα 10). Το κύµα µε επίπεδο πόλωσης κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης υπακούει στο νόµο του Snell (στη σχήµα 10 λόγω της κάθετης πρόσπτωσης συνεχίζει τη πορεία του στο υλικό χωρίς αλλαγή διεύθυνσης) και ονοµάζεται τακτικό κύµα (odinay wave). Το άλλο κύµα δεν υπακούει στο νόµο του Snell και ο- νοµάζεται έκτακτο κύµα (etaodinay wave). Υπάρχει όµως µια διεύθυνση για την οποία τα δύο αυτά κύµατα έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης. Η διεύθυνση αυτή ονοµάζεται οπτικός άξονας. ε θα ασχοληθούµε µε τις αιτίες εµφάνισης του φαινοµένου. Για τη καλύτερη κατανόηση των παραπάνω όµως θεωρήστε φωτεινή πηγή φυσικού ή µη-πολωµένου φωτός που βρίσκεται εµβαπτισµένη στο διπλοθλαστικό υλικό, όπως στο σχήµα 11. Το τακτικό κύµα διαδίδεται µε την ίδια ταχύτητα προς όλες τις διευθύνσεις (κυκλικό µέτωπο κύµατος στο σχήµα 11) µε ταχύτητα υ o και αντίστοιχο δείκτη διάθλασης n o =c o /υ o. Το έκτακτο κύµα από την άλλη µεριά διαδίδεται µε ταχύτητα που εξαρτάται από τη διεύθυνση διάδοσης (ελλειπτικό µέτωπο κύµατος στο σχήµα 11). Κατά τη διεύθυνση του οπτικού άξονα η ταχύτητα διάδοσης είναι ίση µε αυτή του τακτικού κύµατος ενώ η µεγαλύτερη διαφορά ταχυτήτων παρατηρείται για διάδοση κάθετα στο άξονα. Η ταχύτητα κατά τη διεύθυνση αυτή είναι υ e και ο αντίστοιχος δείκτης διάθλασης n e =c o /υ e. Ανάλογα µε το υλικό µπορεί να ισχύει n o >n e ή n o <n e (δηλαδή το έ- κτακτο κύµα να διαδίδεται πιο γρήγορα ή πιο αργά α- ντίστοιχα από το τακτικό, κάθετα στον οπτικό άξονασχήµα 11). Είναι σηµαντικό τέλος να θυµόµαστε ότι αυτό που διαφοροποιεί τα δύο κύµατα είναι η διαφορετική γραµµική πόλωσή τους (κάθετη στον οπτικό άξονα για το τακτικό κύµα και παράλληλη σε αυτόν για το έ- κτακτο). Ας θεωρήσουµε τώρα τη πρόσπτωση γραµµικά πολωµένου φωτός σε ένα διπλοθλαστικό πλακίδιο πάχους d το οποίο έχει κοπεί όπως φαίνεται στο σχήµα 1(β). Το επίπεδο πόλωσης του προσπίπτοντος κύµατος σχηµατίζει γωνία θ µε τον οπτικό άξονα (σχήµατα 1(α 1, )). Αναλύουµε σε δύο συνιστώσες, τη µία παράλληλη (έκτακτο κύµα) και την άλλη κάθετη (τακτικό κύµα) στον οπτικό άξονα. Χωρίς απώλεια γενικότητας θα υποθέσουµε επίσης ότι οι δύο συνιστώσες είναι καταρχήν συµφασικές, φ=0. Μετά τη διέλευση από το πλακίδιο τα δύο κύµατα θα έχουν αποκτήσει διαφορετικές καθυστερήσεις φάσης, φ e και φ ο. Αυτό σηµαίνει ότι εάν χωρίς τη παρουσία του πλακιδίου οι δύο συνιστώσες θα ελάµβαναν ταυτόχρονα τη µέγιστη τιµή τους στο σηµείο π.χ. Α του σχήµατος 1(β), µε τη παρουσία του πλακιδίου θα τις λαµβάνουν σε διαφορετικές χρονικές στιγµές και διαφορετικά σηµεία η κάθε µια, τα Β και Γ αντίστοιχα. Αυτό όµως που έχει σηµασία είναι η σχετική καθυστέρηση φάσης φ = φ ο φ e η οποία, σε συνδυασµό µε την επιλογή της γωνίας θ (λόγος πλατών Ε ma,y /Ε ma, ), µπορεί να δώσει το επιθυµητό είδος πόλωσης στην έξοδο του πλακιδίου. Ποιο συγκεκριµένα, στο σηµείο εξόδου z=d θα έχουµε E ( d t) = E cos( k d ωt), ma, (11α) οπτικός άξονας ( d t) = E cos( k d ωt) o Σχήµα 10. Έκτακτη ακτίνα (e-wave) εν υπακούει στο νόµο του Snell Τακτική ακτίνα (o-wave) Υπακούει στο νόµο του Snell οπτικός άξονας o-wave υ < υ n > n o e o e e-wave υ > υ n < n o e o e Σχήµα 11. ο-wave e-wave E y, ma, y e. (11β) όπου τα µέτρα των κυµατανυσµάτων k ο και k e δίνονται από τις σχέσεις 7
και k k o e πn o = (1α) λ κενού πn e =. (1β) λ κενού Γράφοντας τον αρµονικό όρο της σχέσης (11β) στη µορφή cos ( ke d ωt) = cos( ke d + kod kod ωt) = cos( ko d + ( ke ko ) d ωt) και συγκρίνοντας µε την (11α) συµπεραίνουµε ότι στην έξοδο του πλακιδίου τα κύµατα Ε y και Ε έχουν διαφορά φάσης φ= k e k o d, που µε χρήση των (1α,β) γράφεται π ne no d ϕ = (13) λ κενού (χρησιµοποιήσαµε την απόλυτη τιµή διότι το πρόσηµο της φ δε ενδιαφέρει εδώ). οπτικός άξονας E ma,y (e-wave) (α 1 ) θ Ε ma, (o-wave) j i (α ) οπτικός άξονας E ma,y θ Ε ma, d φ = φ o - φ e (β) z φ = 0 Γ Β A φ e φ o Σχήµα 1. d Για κάποιο συγκεκριµένο µήκος κύµατος (συγκεκριµένοι δείκτες διάθλασης n o και n e ) µπορούµε να έχουµε την επιθυµητή διαφορά φάσης µε κατάλληλη επιλογή του πάχους d. Παραδείγµατος χάριν για φ=π η διαφορά οπτικών δρόµων n e n o d =λ κενού (πλακίδιο λ), για φ=π, n e n o d =λ κενού / (πλακίδιο λ/) και για φ=π/, n e n o d =λ κενού /4 (πλακίδιο λ/4). Βέβαια, (οπτικά ή φυσικά) πάχη της τάξης του µήκους κύµατος στο ορατό είναι πρακτικά δύσκολο να κατασκευαστούν. Έτσι επιλέγουµε τα πάχη να είναι της τάξης του ~1 mm. Τότε π.χ. για πλακίδιο λ/4 η διαφορά φάσης φ = mπ + π/, όπου m ακέραιος που καθορίζει το πάχος. Είναι αξιοσηµείωτο ότι κατά τη κατασκευή του πλακιδίου πρέπει να λαµβάνεται υπόψη και το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας τόσο λόγω της σχέσης (13) όσο και λόγω της πιθανής µεταβολής των δεικτών διάθλασης µε αυτό. Συνεπώς, ένα 8
πλακίδιο που έχει κατασκευαστεί ώστε να λειτουργεί ως πλακίδιο λ/4 στα 633 nm, σε κάποιο άλλο µήκος κύµατος (π.χ. 650 nm) θα λειτουργεί ως πλακίδιο λ/ όπου 4. Κλείνουµε αυτή τη παρουσίαση των πλακιδίων καθυστέρησης φάσης µε µερικά παραδείγ- µατα: (Ι) Υποθέστε πρώτα ότι το αρχικό επίπεδο πόλωσης είναι είτε παράλληλο είτε κάθετο στον οπτικό άξονα, ισχύει δηλαδή θ = 0 ο, 90 ο, 180 ο ή 70 ο. Τότε η µία από τις δύο συνιστώσες (είτε η Ε είτε η Ε y ) είναι µηδενική και η γραµµική πόλωση παραµένει ανεπηρέαστη µετά το πλακίδιο και α- νεξάρτητα από το είδος του. (ΙΙ) Έστω τώρα ότι θέλουµε να µετατρέψουµε το προσπίπτον στο πλακίδιο γραµµικά πολωµένο φως σε κυκλικά πολωµένο. Τότε θα πρέπει να επιλέξουµε το οπτικό πάχος να αντιστοιχεί σε πλακίδιο λ/4 ( φ=π/) και, ταυτόχρονα, τη γωνία θ=45 ο (ή 135 ο ) έτσι ώστε να εξασφαλιστεί ότι Ε ma,y = Ε ma, (σχέσεις (7α,β)). Εάν θ 45 ο το φως µετά το πλακίδιο θα είναι ελλειπτικά πολωµένο, αφού τα δύο κύµατα Ε y και Ε θα έχουν µεν διαφορά φάσης π/ αλλά άνισα πλάτη. (ΙΙΙ) Ας δούµε τέλος τη δράση ενός πλακιδίου λ/ σε γραµµικά πολωµένο προσπίπτον φως που φαίνεται στο σχήµα 13 και όπου έχουµε υποθέσει ότι µετά το πλακίδιο είναι η συνιστώσα Ε που έχει υποστεί καθυστέρηση φάσης κατά π σε σχέση µε την Ε y 3. Συνεπώς ενώ πριν από το πλακίδιο οι δύο συνιστώσες ελάµβαναν ταυτόχρονα τη µέγιστη τιµή τους (σχήµα 13α), µετά το πλακίδιο όταν η Ε y λαµβάνει τη µέγιστη τιµή της η Ε λαµβάνει την ελάχιστη (σχήµα 13β). Συνθέτοντας τις νέες συνιστώσες παρατηρούµε ότι η πόλωση µετά το πλακίδιο παραµένει γραµµική αλλά το επίπεδο πόλωσης έχει στραφεί κατά γωνία θ σε σχέση µε την αρχική. Γενικά, αξίζει να θυµόµαστε ότι το είδος της πόλωσης καθορίζεται από δύο συνθήκες: (ι) τη σχέση πλατών και (ιι) τη σχετική φάση των δύο συνιστωσών. Τα πλακίδια καθυστέρησης φάσης επηρεάζουν τη σχετική φάση µέσω της διαφοράς οπτικού πάχους n e n o d ενώ η σχέση πλατών επηρεάζεται µέσω της επιλογής της γωνίας θ (σχήµα 1(α )). 3. Χαρακτηρισµός της Πόλωσης. Η τυπική πειραµατική διάταξη είτε για το χαρακτηρισµό της πόλωσης είτε για το χαρακτηρισµό ενός πολωτικού συστήµατος φαίνεται στο σχήµα 14. Σε αυτή, φως είτε πολωµένο είτε µηπολωµένο προσπίπτει πρώτα στο γραµµικό πολωτή Π 1 του οποίου η διεύθυνση του άξονα διέλευσης χρησιµοποιείται ως διεύθυνση αναφοράς. Το φως µετά το Π 1 είναι γραµµικά πολωµένο σε αυτή τη διεύθυνση. Τότε προσπίπτει στο υπό µελέτη πολωτικό σύστηµα. Σκοπός µας είναι να Π 1 E ma,y θ Ε ma, οπτικός άξονας (α) Π 3 φ = π Σχήµα 13. Ε ma, θ (β) E ma,y θ 13 Άγνωστη πόλωση Γραµµική πόλωση Πολωτικό σύστηµα Είδος Πόλωσης; Γραµµική πόλωση Ανίχνευση Ι(θ 13 ) Πολωτής Σχήµα 14. Αναλυτής 3 Όπως µπορείτε να ελέγξετε και µόνοι σας δεν υπάρχει πρακτική διαφορά εάν είναι η συνιστώσα Ε y που υφίσταται καθυστέρηση φάσης κατά π σε σχέση µε την Ε. 9
χαρακτηρίσουµε το είδος της πόλωσης µετά το σύστηµα αυτό, κάτι που επιτυγχάνεται µε ένα δεύτερο γραµµικό πολωτή Π 3, που ονοµάζεται αναλυτής. Το φως µετά το Π 3 είναι γραµµικά πολωµένο κατά τη διεύθυνση του άξονα διέλευσής του. Συνήθως, η γωνία θ 13 µεταξύ του πολωτή και του α- ναλυτή µεταβάλλεται και καταγράφεται η ένταση Ι της ακτινοβολίας. Η καµπύλη Ι(θ 13 ) µας δίνει πληροφορίες για το είδος της πόλωσης πριν από τον αναλυτή. Παρακάτω ακολουθούν µερικά παραδείγµατα χαρακτηρισµού της πόλωσης που θα χρησιµοποιήσουµε στις εργαστηριακές ασκήσεις. 3.1 ύο γραµµικοί πολωτές. Είναι χρήσιµο να ξεκινήσουµε χωρίς κανένα πολωτικό σύστηµα µεταξύ του πολωτή και του αναλυτή. Για ευνόητους λόγους θα µετονοµάσουµε το δεύτερο σε Π και τη γωνία των δύο αξόνων διέλευσης σε θ 1. Εάν Ι 1 είναι η ένταση του φωτός µετά το πολωτή τότε, σύµφωνα µε το νόµο του Malus, µετά τον αναλυτή η ένταση θα γράφεται Ι 1 (θ 1 ) = T Ι 1 cos (θ 1 ) (14) και η καµπύλη Ι 1 (θ 1 ) θα έχει µέγιστο όταν οι δύο άξονες διέλευσης είναι παράλληλοι (θ 1 =0 ο ή ±180 ο ) και µηδενικό ελάχιστο όταν οι άξονες είναι κάθετοι µεταξύ τους (θ 1 =±90 ο ). Σηµειώστε πως το γεγονός ότι το ελάχιστο είναι µηδενικό είναι το κατεξοχήν χαρακτηριστικό της γραµµικής πόλωσης πριν από τον αναλυτή. Ακόµη, λόγω του ότι ο συντελεστής διέλευσης µας είναι πολλές φορές άγνωστος και αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο είναι η εξάρτηση από τη θ 1, είναι βολικό να χρησιµοποιούµε αδιάστατες εντάσεις αναγµένες στη µονάδα. Είναι λοιπόν καλύτερο να εργαζόµαστε µε τη ποσότητα Ι 1 (θ 1 )/Ι ma όπου Ι ma = T Ι 1. Τέλος, χρήσιµη είναι και η καµπύλη Ι 1 (cos (θ 1 ))/Ι ma µε αναµενόµενη από τη (14) συµπεριφορά ευθεία γραµµή που περνάει από τα σηµεία (0,0) και (1,1). 3. Τρεις γραµµικοί πολωτές. Έστω τώρα ότι το πολωτικό σύστηµα µεταξύ πολωτή Π 1 και αναλυτή Π 3 είναι ένας ακόµη γραµµικός πολωτής Π µε άξονα διέλευσης που σχηµατίζει γωνία θ 1 µε τον άξονα διέλευσης του Π 1 (σχήµα 15). Με διπλή εφαρµογή του νόµου του Malus, η ένταση µετά τον Π γράφεται Ι 1 (θ 1 ) = T Ι 1 cos (θ 1 ) ενώ µετά τον αναλυτή Ι 13 = T Ι 1 cos (θ 3 ), όπου θ 3 η γωνία µεταξύ των αξόνων διέλευσης του Π και του αναλυτή. Π 1 Π Π 3 θ 1 θ 1 θ 13 Ι Ι θ 3 1 1 Ι 13 Πολωτής Σχήµα 15. Αναλυτής Από το σχήµα 15 βλέπουµε ότι θ 13 = θ 1 + θ 3 και συνδυάζοντας τα παραπάνω καταλήγουµε Ι 13 (θ 13 ) = T Ι 1 cos (θ 1 ) cos (θ 13 θ 1 ). (15) Η σχέση (15) προβλέπει µέγιστο όταν θ 13 = θ 1 και θ 13 = θ 1 ± 180 ο (άξονες διέλευσης Π και Π 3 παράλληλοι) και µηδενικό ελάχιστο όταν θ 13 = θ 1 ± 90 ο (άξονες κάθετοι). Ακόµη και χωρίς να γνωρίζουµε το είδος του πολωτικού συστήµατος µεταξύ πολωτή και αναλυτή, µια σχέση της µορφής Ι 13 (θ 13 ) cos (θ 13 θ 1 ) µας λέει είναι το φως πριν από τον αναλυτή είναι γραµµικά πολωµένο µε το επίπεδο πόλωσης στραµµένο κατά γωνία θ 1 σε σχέση µε το επίπεδο αναφοράς (Π 1 ). 10
3.3 Πλακίδια καθυστέρησης φάσης. Ε Έστω τώρα ότι το πολωτικό σύστηµα είναι ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης. Πριν Π 1 R 1 αναφέρουµε τη σχέση Ι 13 (θ 13 ) για τη περίπτωση αυτή είναι χρήσιµο να αποδείξουµε την α- 1 θ 1 Ε ναγκαιότητα της ύπαρξης του αναλυτή στο σχήµα 14. Θεωρήστε λοιπόν τη διάταξη του σχήµατος 16 όπου έχουµε µόνο το πολωτή Π 1 και το πλακίδιο R, άγνωστης καθυστέρησης φάσης φ, του οποίου ο οπτικός άξονας σχη- Ι 1 Ι 1 µατίζει γωνία θ 1 µε τον άξονα διέλευσης του Π 1. Αναλύουµε κατά τα γνωστά το πεδίο Ε 1 σε οπτικός άξονας Σχήµα 16. δύο συνιστώσες, µία παράλληλη και µία κάθετη στον οπτικό άξονα. Υποθέτουµε για απλούστευση ότι µετά το πλακίδιο η κάθετη συνιστώσα δεν έχει υποστεί καθυστέρηση φάσης ενώ η παράλληλη συνιστώσα έχει υποστεί καθυστέρησης φάσης κατά φ. Τότε στη γενικότερη περίπτωση το φως θα είναι ελλειπτικά πολωµένο και οι δύο συνιστώσες του θα γράφονται E ( z, t) = E1 sin( θ1 ) cos( k z ωt) και E y ( z t) = E cos( θ ) cos( k z ωt + ϕ), 1 1 Η ένταση της ακτινοβολίας µετά το πλακίδιο θα είναι ανάλογη της µέσης χρονικής τιµής του τετραγώνου της απόλυτης τιµής του συνιστάµενου πεδίου, δηλαδή Ι 1 < E ( z, t) > Τ = < E > Τ + < E y > Τ = = E1 sin ( θ1 ) cos ( k z ωt) + E T 1 cos ( θ1 ) cos ( k z ωt + ϕ) T και αντικαθιστώντας τις µέσες χρονικές τιµές των όρων cos (kz-ωt) και cos (kz-ωt+ φ) µε 1/ καταλήγουµε Ι 1 ( E 1 cos ( θ 1 ) + E1 sin ( θ1 ))/ = E1 /. (16) Η σχέση (16) µας λέει ότι η ένταση που καταγράφουµε µετά το πλακίδιο είναι ανεξάρτητη τόσο της διαφοράς φάσης φ όσο και τη γωνίας στροφής θ 1. Συνεπώς είναι αδύνατον να συµπεράνουµε το είδος του πλακιδίου µε αυτή τη πειραµατική διάταξη και η τοποθέτηση του αναλυτή µετά το πλακίδιο είναι αναγκαία. Όπως φαίνεται και στο σχήµα 17 για να βρούµε την έκφραση της έντασης Ι 13 πρέπει να αναλύσουµε τις δύο συνιστώσες και στον αναλυτή Π 3 πριν από τον υπολογισµό της χρονικής µέσης τιµής. Ο υπολογισµός είναι σχετικά απλός αλλά µακροσκελής και δίνουµε Π 1 R ( φ) Π 3 θ 1 θ 1 θ 13 Ι 1 Ι 1 θ 3 Ι 13 οπτικός άξονας Πολωτής Σχήµα 17. Αναλυτής εδώ µόνο το τελικό αποτέλεσµα που είναι: Ι 13 = C {cos [θ 13 ] + sin[θ 1 ] sin[(θ 13 θ 1 )] sin [ φ/]} (17) 11
µε C µια σταθερά. Μέσω της (17) µπορούµε να προβλέψουµε την ένταση που θα καταγραφεί για οποιοδήποτε πλακίδιο καθυστέρησης φάσης και οποιαδήποτε γωνία θ 1. Π.χ. για κυκλικά πολωµένο φως ( φ=π/, θ 1 =45 ο ) η ένταση Ι 13 (=C/) παραµένει σταθερή καθώς µεταβάλλεται η θ 13. 4. Πειραµατική διαδικασία. 4.1 Πειραµατική ιάταξη και Λογισµικό. Τα πειράµατα της εργαστηριακής άσκησης Πόλωση I θα πραγµατοποιηθούν µέσω της διάταξης τους σχήµατος 18 που περιλαµβάνει lase διόδου (λ 650 nm), φωτοανιχνευτή και σύνολο γραµµικών πολωτών και πλακιδίων λ/4. Τα παραπάνω στοιχεία τοποθετούνται σε κατάλληλες βάσεις στήριξης που µπορούν να µετακινηθούν κατά µήκος µιας οπτικής τράπεζας (ράγας) ή και να αφαιρεθούν από αυτή. Το lase είναι γραµµικά πολωµένο αλλά παρ όλα αυτά µετά από αυτό Lase Σχήµα 18. Πολωτής Π 1 στη βάση του Επιλογέας σχισµών περιορισµού φωτεινής έντασης τοποθετείται γραµµικός πολωτής (Π 1 ). Ο άξονας διέλευσης του τελευταίου επιλέγεται κατά προτί- µηση κατακόρυφος και παραµένει σε αυτή τη διεύθυνση σε όλα από τα πειράµατα. Ο αναλυτής είναι τοποθετηµένος σε ειδική βάση στήριξης, συνδεδεµένη µε γωνιακό αισθητήρα µέσω ενός λαστιχένιου ιµάντα. Η περιστροφή του αναλυτή γίνεται χειροκίνητα (σχήµα 19). Ο αισθητήρας καθώς και ο φωτοανιχνευτής είναι συνδεδεµένοι µε ειδική συσκευή που επικοινωνεί καλωδιακά µε ηλεκτρονικό υπολογιστή (Η/Υ). Στο φωτοανιχνευτή υπάρχει διακόπτης µεταβολής της ενίσχυσης του σήµατός του µε κλίµακες Αναλυτής συνδεδεµένος µε γωνιακό αισθητήρα µέσω λαστιχένιου ιµάντα Φωτοανιχνευτής Σχήµα 19. 1, 10 και 100 ενώ µπροστά του είναι τοποθετηµένος έ- νας επιλογέας σχισµών περιορισµού της προσπίπτουσας φωτεινής έντασης (τέσσερις σχισµές σχήµα 0). Ο συνδυασµός σχισµής και κλίµακας επιλέγεται µε γνώµονα την άνετη παρατήρηση µεταβολών της φωτεινής έντασης από τη µια και την αποφυγή του κορεσµού του φωτοανιχνευτή από την άλλη. Πριν ξεκινήσετε την εκτέλεση των ασκήσεων, φροντίστε για τη σωστή ευθυγράµµιση lase-σχισµής. Αυτό επιτυγχάνεται µε δύο βίδες οριζόντιας και κατακόρυφης µετατόπισης της φωτεινής δέσµης που είναι ενσωµατωµένες στη πηγή lase. ε θα ασχοληθείτε µε τη συναρµολόγηση των κύριων µερών της διάταξης και τις απαραίτητες συνδέσεις τις οποίες θα βρείτε έτοιµες. Πριν όµως ξεκινήσει η οποιαδήποτε πειραµατική διαδικασία πρέπει να γίνει (την πρώτη φορά) η σύνδεση µε τον Η/Υ και η αναγνώριση των συσκευών από ειδικό λογισµικό. Για το σκοπό αυτό ακολουθήστε τα παρακάτω βήµατα: Θέστε σε λειτουργία το lase διόδου µέσω ενός διακόπτη στη πίσω πλευρά του. Θέστε σε λειτουργία τον Η/Υ. Συσκευή διασύνδεσης µε Η/Υ Σχήµα 0. Θέστε σε λειτουργία τη συσκευή διασύνδεσης µε τον Η/Υ, µέσω ενός πλευρικού διακόπτη. Ανοίξτε το αρχείο Πόλωση_I (µε διπλό αριστερό κλικ στο εικονίδιό του) που θα βρείτε στην επιφάνεια εργασίας (οθόνη του Η/Υ). Εάν όλες οι συνδέσεις είναι σωστές η σύνδεση και αναγνώριση θα έχει επιτευχθεί (διαφορετικά ζητήστε βοήθεια από το διδάσκοντα). 1
Στην οθόνη εµφανίζεται χώρος εργασίας µε τρία «παράθυρα». Το ένα αφορά τη σύνδεση των συσκευών και δεν θα σας απασχολήσει κατά τη διάρκεια της άσκησης. Το δεύτερο είναι ένα διάγραµ- µα [ηλεκτρικής τάσης χρόνου ( ιάγραµµα Ι - Τίτλος παραθύρου Setting the maimum )]. Η ηλεκτρική τάση αναφέρεται στο σήµα του φωτοανιχνευτή και είναι ανάλογη της φωτεινής έντασης που προσπίπτει σε αυτόν, εάν δεν είναι κορεσµένος (δηλαδή εάν η µέγιστη τάση είναι µικρότερη των 4.5 Volts αντίθετα, εάν η µέγιστη τάση είναι µικρότερη από 0.5 Volts αυξήστε την ενίσχυση ή/και επιλέξτε µεγαλύτερη σχισµή). Το γράφηµα [τάσης χρόνου] είναι βοηθητικό και θα χρειαστεί σε κάποιες ασκήσεις. Το τρίτο «παράθυρο» είναι ένα διάγραµµα [φωτεινής έντασης γωνίας στροφής του αναλυτή ( ιάγραµµα ΙΙ - Τίτλος παραθύρου Polaization vs Angle )] και είναι αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο. Η φωτεινή ένταση δίνεται σε αυθαίρετες µονάδες (% του µεγίστου της κλί- µακας). Η λήψη δεδοµένων ξεκινά µε το πάτηµα του «διακόπτη» Stat στo επάνω µέρος της οθόνης και σταµατά µε το πάτηµα του ιδίου διακόπτη (που εν τω µεταξύ έχει µετονοµαστεί σε Stop). Κατά τη διάρκεια των πειραµάτων θα χρειαστεί να εκκινήσετε και να διακόψετε τη λήψη δεδοµένων πολλές φορές. Το λογισµικό κρατά όλες τις καµπύλες και τις ονοµάζει µε αύξοντα αριθµό. Επειδή είναι ενοχλητικό να υπάρχει µεγάλος αριθµός καµπυλών στο ίδιο διάγραµµα, µπορείτε να σβήσετε µερικές (µε επιλογή τους µε το ποντίκι και πάτηµα των πλήκτρων Delete Ente από το πληκτρολόγιο). Αφήνετε τουλάχιστον µία καµπύλη στο διάγραµµα πριν κάνετε νέες µετρήσεις διότι διαφορετικά το γράφηµα καθίσταται ανενεργό. Καµπύλες της επιλογής σας µπορούν να εγγραφούν σε αρχεία γραφικών τύπου *.bmp (µενού Display Epot Pictue) ώστε να µεταφερθούν σε δισκέττα ή άλλο αποθηκευτικό µέσο το οποίο θα πάρετε µαζί σας για να τις παρουσιάσετε στην εργασία σας. Τα αριθµητικά δεδοµένα των γραφηµάτων µπορούν επίσης να αποθηκευτούν σε αρχεία κειµένου *.tt για περαιτέρω ανάλυση. Για το σκοπό αυτό πρέπει να ανατρέξετε στα µενού File Epot Data και να επιλέξετε τη συγκεκριµένη καµπύλη ([ένταση-γωνία] και αύξοντα αριθµό). Εξοικειωθείτε µε τις δυνατότητες µεταβολής των κλιµάκων του γραφήµατος (µε το ποντίκι πλησιάστε το κέρσορα στους άξονες και ειδικά τις αριθµητικές ενδείξεις σε αυτούς). Επίσης, θα χρειαστείτε και πρέπει να εξοικειωθείτε µε τη δυνατότητα παρεµβολής θεωρητικά αναµενόµενων καµπυλών στα πειραµατικά δεδοµένα (µέσω της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων). Για το σκοπό αυτό υπάρχουν δύο κου- µπιά, ένα στο παράθυρο του γραφήµατος ( Fit ) και ένα στο επάνω µέρος της οθόνης ( Cuve Fit ). Τα κουµπιά πρέπει να πατηθούν µε τη παραπάνω σειρά. Πατώντας το πρώτο ( Fit ) και επιλέγοντας Use-Defined Fit η θεωρητική καµπύλη εµφανίζεται στο γράφηµα. Στην αρχή, εφόσον δεν έχει οριστεί συνάρτηση, εµφανίζεται µόνο µια οριζόντια ευθεία. Πατώντας στη συνέχεια το δεύτερο κουµπί ( Cuve Fit ) και επιλέγοντας πάλι Use-Defined Fit ορίζουµε την συνάρτηση που θέλουµε να παρεµβάλουµε στα πειραµατικά δεδοµένα. Γράψτε την κατάλληλη εξίσωση (π.χ. A*cos()^), επιλέξτε κατάλληλες µονάδες (π.χ. DEG), επιλέξτε τον αύξοντα αριθµό της πειραµατικής καµπύλης που σας ενδιαφέρει ( Input ) και τέλος πατήστε το κουµπί Accept. Η καµπύλη και οι παράµετροι που θα προκύψουν από τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (στη παραπάνω εξίσωση η παράµετρος Α) θα εµφανιστούν στην οθόνη. 4. Πειραµατικές Ασκήσεις. 4..1 ύο Γραµµικοί Πολωτές. Έχοντας τοποθετήσει τον άξονα του πολωτή Π 1 σε σχεδόν κατακόρυφη θέση ( η ένδειξη 0 o της γωνιοµετρικής κλίµακας να είναι σε όσο το δυνατόν κατακόρυφη θέση) πατήστε το Stat και περιστρέψτε τον αναλυτή Π µε το χέρι. Πριν από κάθε εκκίνηση τοποθετείτε πάντα και τον αναλυτή σε κατακόρυφη θέση 0 o (και για όλα τα πειράµατα 4..1-4..4), διότι το λογισµικό θέτει πάντα ως µηδενική γωνία τη γωνία εκκίνησης ανεξάρτητα εάν αυτή αντιστοιχεί σε κατακόρυφη θέση του άξονα διέλευσης ή όχι. Η περιστροφή του αναλυτή πρέπει να είναι αρκετά αργή (παρατηρείτε τις µετρήσεις στην οθόνη ιάγραµµα ΙΙ) ώστε να διαγράφεται καθαρά η καµπύλη. Πειραµατιστείτε µε διάφορες συνθήκες (καταγράφοντας µία καµπύλη κάθε φορά Stat-Stop κ.λ.π.) καθώς και µε τη φορά περιστροφής που δίνει την καλύτερη καµπύλη (τα διάφορα µέγιστα να είναι ίσου ύψους 13
και µη-κορεσµένα αντίστοιχα για τα ελάχιστα). Από τις καµπύλες που θα καταγράψετε κρατήστε την καµπύλη που σας ικανοποιεί και σβήστε τις υπόλοιπες. Σώστε τη καµπύλη αυτή σε αρχείο *.tt σε δισκέτα και στην επιφάνεια εργασίας, ονοµάζοντάς το κατάλληλα ώστε να γίνεται αντιληπτό σε ποια οµάδα ανήκει και σε τι αναφέρεται. Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να σχεδιάσετε θεωρητική κα- µπύλη της µορφής A*cos( +Β)^, µε Α= I ma, µεταβλητή =θ 1 (σε deg) και Β µια σταθερά που λαµβάνει υπ όψη τη τοποθέτηση του άξονα διέλευσης του Π 1 ή του Π σε θέση ελαφρά διαφορετική από τη κατακόρυφη. Καταγράψτε τις παραµέτρους που προκύπτουν από τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Σώστε το γράφηµα ως αρχείο *.bmp στη δισκέττα σας και στην επιφάνεια εργασίας µε κατάλληλο όνοµα. Ενσωµατώστε το γράφηµα στην εργασία που θα παραδώσετε. Με τα πειραµατικά δεδοµένα που έχετε φυλάξει στο αρχείο *.tt, σχεδιάστε κατά την επεξεργασία της άσκησης στο σπίτι σε χαρτί millimeté τη καµπύλη Ι 1 /A = f(cos (θ 1 +B)) καθώς και τη θεωρητικά αναµενόµενη καµπύλη. Χρησιµοποιήστε τις παραµέτρους Α και Β που προσδιορίσατε µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Εάν τα σηµεία του αρχείου είναι πάρα πολλά χρησιµοποιήστε λιγότερα (π.χ. ένα κάθε πέντε ή δέκα), αρκεί να αποτυπώνουν πιστά τη πειραµατική καµπύλη. Σχολιάστε όλα τα αποτελέσµατά σας. 4.. Τρεις Γραµµικοί Πολωτές. Στο πείραµα αυτό θα τοποθετήσετε ένα ακόµη πολωτή (Π ) µεταξύ του Π 1 και του αναλυτή (Π 3 ). Η γωνία του άξονα του Π πρέπει να είναι 45 ο σε σχέση µε τον άξονα του Π 1. Επειδή δεν υ- πάρχει στο Π γωνιοµετρική κλίµακα η τοποθέτηση στη γωνία αυτή πρέπει να γίνει πειραµατικά µε την εξής διαδικασία: o Πριν τοποθετήσετε τον Π περιστρέψτε τον Π 3 και παρατηρήστε την ένταση του φωτός στο ιάγραµµα Ι ([τάση-χρόνος]). Ελαχιστοποιήστε την ένταση (άξονες Π 1 Π 3 κάθετοι, θ 13 =90 ο ). o Σε αυτή τη θέση, παρεµβάλετε το Π και περιστρέψτε τον µέχρι να µεγιστοποιήσετε την έ- νταση στο ιάγραµµα Ι. Στη θέση του µεγίστου η γωνία θ 1 = ±45 ο. Χρησιµοποιήστε τη σχέση (15) για να το αποδείξετε στην εργασία που θα παραδώσετε. Χωρίς να µετακινήσετε από εδώ και πέρα τους Π 1 και Π καταγράψτε την καµπύλη της έ- ντασης Ι 13 ως συνάρτηση της θ 13 ( ιάγραµµα ΙΙ), περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Φυλάξτε την καµπύλη αυτή σε αρχείο *.tt στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας µε κατάλληλο όνοµα. Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να παρεµβάλετε στα πειραµατικά δεδοµένα, θεωρητική καµπύλη της µορφής A*cos( + Β)^. Καταγράψτε τις παραµέτρους A και B που προκύπτουν από τη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Φυλάξτε το γράφη- µα θεωρητικής και πειραµατικής καµπύλης σε αρχείο *.bmp στη δισκέττα σας και στην ε- πιφάνεια εργασίας µε κατάλληλο όνοµα. Ενσωµατώστε το γράφηµα στην εργασία που θα παραδώσετε. Με τα δεδοµένα του αρχείου *.tt σχεδιάστε κατά την επεξεργασία της άσκησης στο σπίτι σε χαρτί millimeté την καµπύλη Ι 13 /A = f(sin( θ 13 )). Με τη βοήθεια της σχέσης (15) αποδείξτε ότι η θεωρητική, αναγµένη στη µονάδα, σχέση της έντασης µε τη γωνία θ 13 (για θ 1 = ±45 ο ) γράφεται I/I ma = (1±sin[ θ 13 ])/. Σχεδιάστε αυτή τη θεωρητική καµπύλη στο ίδιο διάγραµµα και σχολιάστε τα αποτελέσµατα. 14
4..3 Προσδιορισµός Καθυστέρησης Φάσης ιπλοθλαστικού Πλακιδίου ~λ/4. Σε αυτή την άσκηση θα παρεµβάλετε µεταξύ Π 1 και Π 3 ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης R το οποίο ονοµαστικά λειτουργεί ως πλακίδιο λ/4. Το µήκος κύµατος του lase διόδου όµως (~650 nm) διαφέρει από αυτό για το οποίο το πλακίδιο κατασκευάστηκε ως λ/4. Συνεπώς έχουµε να κάνουµε µε ένα πλακίδιο λ/ µε τον αριθµό κοντά στο αλλά όχι ακριβώς 4. Ο κύριος σκοπός της άσκησης είναι ο πειραµατικός προσδιορισµός του (ή ισοδύναµα της πραγµατικής διαφοράς φάσης φ σχέση (13)). Επιπλέον, στο πλακίδιο δεν υπάρχει γωνιοµετρική κλίµακα και δεν γνωρίζουµε τη διεύθυνση του οπτικού του άξονα. Συνεπώς και αυτό το στοιχείο πρέπει να προσδιοριστεί πειραµατικά. Θα εργαστούµε και εδώ µε γωνία θ 1 = ±45 ο. Για να το επιτύχουµε ακολουθούµε τα ίδια βήµατα όπως και στο προηγούµενο πείραµα των τριών πολωτών δηλαδή: o Πριν τοποθετήσετε το R περιστρέψτε τον Π 3 και παρατηρήστε την ένταση του φωτός στο ιάγραµµα Ι ([τάση-χρόνος]). Ελαχιστοποιήστε την ένταση (άξονες Π 1 Π 3 κάθετοι, θ 13 =90 ο ). o Σε αυτή τη θέση, παρεµβάλετε το R και περιστρέψτε το µέχρι να µεγιστοποιήσετε την έ- νταση στο ιάγραµµα Ι. Στη θέση του µεγίστου η γωνία θ 1 = ±45 ο και για οποιοδήποτε πλακίδιο, ανεξάρτητα της διαφοράς φάσης φ. Χρησιµοποιήστε τη σχέση (17) αυτή τη φορά για να το αποδείξετε στην εργασία που θα παραδώσετε. Στη θέση αυτή, εάν το πλακίδιο ήταν ακριβώς πλακίδιο λ/4, η περιστροφή του αναλυτή Π 3 θα έ- πρεπε να δίνει σταθερή ένταση Ι 13 (κυκλικά πολωµένο φως - παράγραφος 3.3). Στη πράξη θα παρατηρήσετε αυξοµειώσεις της έντασης Ι 13 µεταξύ µιας µέγιστης και µιας ελάχιστης, µη-µηδενικής, τιµής. Το γεγονός ότι η ελάχιστη τιµή είναι µη-µηδενική µας λέει ότι έχουµε να κάνουµε µε ελλειπτικά πολωµένο (και όχι γραµµικά πολωµένο) φως πριν από τον Π 3. Για να προσδιορίσετε τη πραγµατική διαφορά φάσης φ εργαστείτε ως εξής: Χωρίς να µετακινήσετε τους Π 1 και R καταγράψτε την καµπύλη της έντασης Ι 13 ως συνάρτηση της θ 13 ( ιάγραµµα ΙΙ), περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Επιλέξτε τη φορά περιστροφής που δίνει µέγιστα ίσης έντασης (αντίστοιχα και για τα ελάχιστα). Καταγράψτε αρκετά µέγιστα και ελάχιστα (τουλάχιστον τρία + τρία). Φυλάξτε την καµπύλη αυτή σε αρχεία *.tt και *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας µε κατάλληλο όνοµα. Από το γράφηµα στην οθόνη καταγράψτε στις σηµειώσεις σας τις τιµές των µεγίστων και ελαχίστων της έντασης. Μέσω της σχέσης (17) αποδείξτε στην εργασία που θα παραδώσετε ότι για θ 1 =45 ο ισχύει, I ma I min = cos( ϕ). (18) I ma + I min Από τα µέγιστα και ελάχιστα που έχετε καταγράψει βρείτε µια µέση τιµή (και το σφάλµα της) για τα Ι ma και Ι min αντίστοιχα και χρησιµοποιώντας τη σχέση (18) βρείτε τη διαφορά φάσης φ (και το σφάλµα της). Τέλος, µέσω της σχέσης (13) βρείτε και το. Σχολιάστε τα αποτελέσµατά σας. Εάν υπάρχει διαθέσιµος χρόνος, αφαιρέστε τον αναλυτή Π 3 από το γωνιοµετρικό του µηχανισµό και καταγράψτε την ένταση περιστρέφοντας το πλακίδιο R ( ιάγραµµα Ι). Σχολιάστε τις παρατηρήσεις σας. 4..4 ιπλοθλαστικό Πλακιδίο λ/. Στη τελευταία άσκηση θα παρεµβάλετε µεταξύ Π 1 και Π 3 ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης R το οποίο ονοµαστικά λειτουργεί ως πλακίδιο λ/. Στη πράξη θα παρεµβάλετε δύο πλακίδια ~λ/4 από αυτά που χρησιµοποιήσατε στο προηγούµενο πείραµα. Κάθε πλακίδιο θα πρέπει να έχει τη δική του βάση στήριξης. Θα εργαστείτε και πάλι µε γωνία θ 1 =45 ο. Η πειραµατική διαδικασία εύρεσης της γωνίας αυτής είναι η ίδια όπως και προηγουµένως αλλά θα πρέπει να την εκτελέσετε 15
για κάθε πλακίδιο ξεχωριστά και χωρίς τη παρουσία του άλλου. Όπως είδαµε η διαδικασία αυτή θέτει τον οπτικό άξονα σε γωνία θ 1 = ±45 ο και δεν δίνει πληροφορίες για το πρόσηµο. Παρ όλα αυτά ένα πλακίδιο που έχει τεθεί σε γωνία π.χ. θ 1 = -45 ο µπορεί να τεθεί σε γωνία θ 1 = +45 ο εάν το αντιστρέψουµε (δηλαδή εναλλάξουµε τις επιφάνειες εισόδου και εξόδου του φωτός). Σκοπός της ά- σκησης είναι να παρατηρήσετε και να εξηγήσετε τις διαφορές των καµπυλών όταν (ι) και τα δύο πλακίδια έχουν στραφεί κατά τη ίδια φορά, έστω θ 1 = +45 ο. (ιι) τα πλακίδια έχουν στραφεί κατά φορά αντίθετη (το ένα κατά θ 1 = +45 ο και το άλλο κατά θ 1 = -45 ο ). Αφού λοιπόν προηγηθεί η εύρεση της θ 1 = ±45 ο για κάθε πλακίδιο, παρεµβάλετέ τα το ένα µετά το άλλο µεταξύ του Π 1 και του αναλυτή Π 3 και στη συνέχεια Χωρίς να µετακινήσετε τους Π 1 και R (λ/4 + λ/4) καταγράψτε την καµπύλη της έντασης Ι 13 ως συνάρτηση της θ 13 ( ιάγραµµα ΙΙ), περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Επιλέξτε τη φορά περιστροφής που δίνει µέγιστα ίσης έντασης. Φυλάξτε την καµπύλη αυτή σε αρχείο *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας µε κατάλληλο όνοµα. Αντιστρέψτε τη βάση του ενός πλακιδίου (χωρίς να το βγάλετε από αυτή για να µη χαθεί η γωνία θ 1 ) και επαναλάβετε το προηγούµενο πείραµα. Φυλάξτε και αυτή τη καµπύλη σε άλλο αρχείο *.bmp. Στην εργασία σας εξηγήστε λεπτοµερώς τη µορφή των δύο καµπυλών και ιδιαίτερα αυτής που διαφέρει από την αντίστοιχη καµπύλη του πειράµατος 4..1. 16