Μέτα Πλαστική Συµπεριφορά Επιφανειακής Θεµελιώσεως Υψίκορµης Ανωδοµής υπό Εγκάρσια Στατική και Σεισµική Εξαίτηση

Μέτα Πλαστική Συµπεριφορά Επιφανειακής Θεµελιώσεως Υψίκορµης Ανωδοµής υπό Εγκάρσια Στατική και Σεισµική Εξαίτηση Pushover and Inelastic-Seismic Response of Shallow Supporting a Slender Structure Foundations ΠΑΝΑΓΙΩΤΙ ΟΥ, Α.Ι. ΓΚΑΖΕΤΑΣ, Γ. ΓΕΡΟΛΥΜΟΣ, Ν. Πολιτικός Μηχανικός, Ε.Μ.Π. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής, Ε.Μ.Π. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Η λικνιστική απόκριση επιφανειακής θεµελίωσης ενός υψικόρµου απλού ταλαντωτή, εδραζοµένου σε ανελαστικό αργιλικό στρώµα µελετάται µε αριθµητική προσοµοίωση πεπερασµένων στοιχείων. Επιβάλλονται τρεις οριζόντιες φορτίσεις: µονοτονική και ανακυκλική στατική φόρτιση ελεγχόµενη µέσω της µετακίνησης στο κέντρο µάζας και οριζόντια σεισµική διέγερση, η οποία επιβάλλεται στο βραχώδες υπόβαθρο. Λόγω της οριζόντιας φόρτισης και της συνεπαγόµενης ροπής ανατροπής που επιβάλλεται στο θεµέλιο, αυτό αποκολλάται από το έδαφος και ανασηκώνεται, ενώ ταυτόχρονα δηµιουργούνται µηχανισµοί αστοχίας φέρουσας ικανότητας στην άλλη άκρη του. Στις αναλύσεις λαµβάνεται υπόψιν η επίδραση των φαινόµενων P δ. ABSTRACT : The interaction between a surface foundation and the supporting inelastic soil under the action of monotonic, cyclic, and seismic loading is studied numerically. The foundation supports an elastic tall system, the horizontal loading of which induces primarily an overturning moment and secondarily a shear force. Starting from linear elastic behavior, the footing eventually uplifts from the soil, provoking strong inelastic soil response culminating in development of a bearing capacity failure mechanism and progressive settlement. The substantial lateral displacement of the pier mass induces an additional aggravating moment due to P δ effect. The paper outlines the moment rotation settlement relations under the above three types of loading. 1. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Τα τελευταία χρόνια έχει γίνει σηµαντική πρόοδος στον αντισεισµικό σχεδιασµό κατασκευών σε όρους παραµορφώσεων στην αντισεισµική µηχανική. Η απαίτηση αυτή επεκτείνεται πλέον και στην γεωτεχνική αντισεισµική µηχανική, όπου πρέπει να αναλυθεί η ανελαστική συµπεριφορά του συστήµατος εδάφους θεµελίου ( µε τη µορφή διαγραµµάτων δύναµης µετακίνησης ή ροπής στροφής) σε προοδευτικώς αυξανόµενα φορτία µέχρι την κατάρρευση του συστήµατος. Σχήµα 1. Γεωµετρία του προβλήµατος Figure 1. Problem geometry

Σχήµα 2. ιάγραµµα αλληλεπίδρασης. Για τρεις περιπτώσεις (1,2,3) µε συντελεστές χ 0.2, 0.5, 0.8 παρουσιάζονται οι κατανοµές των πλαστικών παραµορφώσεων στην στατική φόρτιση, στη µέγιστη ροπή και στην κρίσιµη γωνία στροφής. Παρουσιάζονται επίσης και οι αντίστοιχες καµπύλες Μ θ ανά µονάδα τρέχοντος µήκους. Figure 2. Dependence of the moment capacity of the foundation on the static safety factor FS v (M χ diagram). For the three cases (1,2,3), corresponding to values of χ 0.2, 0.5, 0.8, we display three snapshots of the deformed system along with the contours of plastic deformation : initial vertical loading, maximum moment, critical rotation-collapse.

Με αυτόν τον σκοπό, το άρθρο εξετάζει την απόκριση ένος µονοβαθµίου ταλαντωτή, µε πλάτος θεµελίου 2 m και συγκεντρωµένη µάζα σε ύψος 5 m (Σχ. 1). Επιβάλλονται τρεις οριζόντιες φορτίσεις : στατική φόρτιση ελεγχόµενη µέσω της µετακίνησης στο κέντρο µάζας, η οποία αυξάνεται µονοτονικά µέχρι την ανατροπή του ταλαντωτή, ανακυκλική φόρτιση ελεγχόµενη µέσω της µετακίνησης στο κέντρο µάζας, και οριζόντια σεισµική διέγερση η οποία επιβάλλεται στο βραχώδες υπόβαθρο. Καθώς αυξάνονται προοδεύτικα τα φορτία τα οποία επίβάλλονται στην ανωδοµή, το θεµέλιο αποκολλάται και ανασηκώνεται από το υπερκείµενο έδαφος (γεωµετρική µη γραµµικότητα), ενώ ταυτόχρονα στην άλλη άκρη του δηµιουργείται µηχανισµός αστοχίας φερουσας ικανότητας (ανελαστικότητα υλικού). Εξαιτίας των µέγαλων µετάκινησεων του κέντρου µάζας του ταλαντωτή, αυξάνεται λόγω της συνιστώσας του ιδίου βάρους η ροπή ανατροπής που επίβάλλεται στο θέµελιο (φαινόµενα P δ). Οι βασικές παράµετροι του προβλήµατος είναι : Το κατακόρυφο φόρτιο Ν σε σύγκριση µε το οριακό φορτίο N u, όπως εκφράζεται από το συντελεστή χ=ν/ν u, ο οποίος είναι ο αντίστροφος του στατικού συντελεστή ασφαλείας έναντι κατακόρυφης εδαφικής αστοχίας, FS v, Η απόσταση, R, του κέντρου µάζας της ανωδοµής από την άκρη του θεµελίου (Σχ. 1), Ο λόγος λυγηρότητας, h/b, Η ένταση, το συχνοτικό περιεχόµενο και η ακολουθία των παλµών του σεισµικού κραδασµού, Η ιδιοπερίοδος της κατασκευής. την έκταση της επιρροής. Η συγκεντρωµένη µάζα του µονοβαθµίου ταλαντωτή τοποθετείται 5 m από την επιφάνεια του έδαφος και συνδέεται µε ελαστικά στοιχεία δοκού τετραγωνικής διατοµής (1 m x 1 m) µε την απολύτως άκαµπτη θεµελίωση. Το µέτρο ελαστικότητας των στοιχείων δοκού επιλέγεται έτσι ώστε να επιτυγχάνεται άκαµπτη ανώδοµη ή ανωδοµή µε δεδόµενη ιδιοπερίοδο. Για τον προσδιορισµό του βέλτιστου µήκους του καννάβου έγιναν δυναµικές αναλύσεις σε τέσσερα µόντελα πεπερασµενών στοιχείων µε συνολικό µήκος 100, 60, 32 και 20 ηµιπλάτη θεµελίου χρησιµοποιώντας ως διέγερση εξιδανικευµένους παλµούς Ricker ευρέoς φάσµατος συχνοτήτων ( f = 0.5 20 Hz) και κορυφαία επιτάχυνση 0.2 g. Στην περιοχή κάτω από το θεµέλιο και σε 4 ακτίνες εκατέρωθεν του θεµελίου τα τετραγωνικά εδαφικά στοιχεία έχουν πλευρά ίση µε το ένα δέκατο του πλάτους του θεµελίου, και στην συνεχεία γίνεται προοδευτική αύξηση του µήκους των στοιχείων. Αποδεικνύεται ότι µήκος 20 b είναι αρκετό για την αποφυγή παρασιτικών κυµάτων από ανακλάσεις στα σύνορα του µοντέλου. 2. ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Πραγµατοποιήθηκαν διδιάστατες αναλύσεις σε όρους ολικών τάσεων µε τη χρήση του κώδικα πεπερασµένων στοιχείων Abaqus µονοβαθµίου ταλαντωτή, που εδράζεται σε άκαµπτη θεµελίωση ικανή να ανασηκωθεί από το έδαφος. Το έδαφος της θεµελίωσης θεωρείται κορεσµένη άργιλος µε αστράγγιστη διατµητική αντοχή S U = 150 kpa. Η εδαφική στρώση έχει 5 m βάθος και υπέρκειται βραχώδους στρώµατος, το οποίο όµως δεν επηρεάζει την λικνιστική απόκριση του θεµελίου, αφού το βάθος επιρροής σε λικνισµό είναι µόλις ενάµιση ηµιπλάτος θεµελίου σε στατική φόρτιση (Gazetas, 1983), τα δε φαινόµενα αναιρετικής συµβολής περιορίζουν Σχήµα 3. Μονοτονικές καµπύλες καθίζησης στροφής για τις τρεις περιπτώσεις Figure 3. Settlement rotation envelopes for the three cases Το έδαφος προσοµοιώνεται ως συνεχές µέσον µε τετρακοµβικά στοιχεία επίπεδης παραµόρφωσης. Η ελαστοπλαστική συµπεριφορά του εδάφους περιγράφεται από το κριτήριο αστοχίας Von Mises µε κινηµατική κράτυνση και συσχετισµένο νόµο πλαστικής ροής. Το εδαφικό προσοµοίωµα βαθµονο- µήθηκε σύµφωνα µε την µεθοδολογία που

πρότειναν οι Γερόλυµος και συνεργάτες (2005). Αξίζει να σηµειωθεί ότι η πλαστική συµπεριφορά του εδάφους ξεκινά µόλις στο ένα δέκατο της αντοχής του, και ότι η επιρροή των φαινοµένων P δ λαµβάνεται υπόψη σε όλα τα στάδια της ανάλυσης. Για να προσοµοιωθεί το πιθανό ανασήκωµα του θεµελίου από το υποκείµενο έδαφος χρησιµοποιήθηκαν ειδικά στοιχεία διεπιφάνειας, η συµπεριφορά των οποίων οριζόταν από τον προηγµένο αλγόριθµο επαφής του προγράµµατος (Abaqus z). Η αξιοπιστία της όλης µεθόδου έχει ελεγχθεί µέσω συγκρίσεων τόσο για τις ελαστικές δυσκαµψίες του θεµελίου (Κ R και Κ V ), όσο και για το οριακό κατακόρυφο στατικό φορτίο N u (Gazetas, 1983 και Prandtl, 1921, αντιστοίχως). 3. ΜΟΝΟΤΟΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ Για την στατική φόρτιση επιβάλλεται µετακίνηση στο κέντρο µάζας, η οποία αυξάνεται µονοτονικά µέχρι την ανατροπή του ταλαντωτή. Στο Σχήµα 2 παρουσιάζονται τα διαγράµµατα ροπής-στροφής για διάφορες τιµές του συντελεστή χ (τον αντίστροφο του στατικού συντελεστή ασφαλείας έναντι κατακόρυφης φέρουσας αστοχίας, FS v ) καθώς και το διάγραµµα αλληλεπίδρασης ροπής και αξονικής δύναµης Μ Ν. Όπως έχει δειχθεί και στη βιβλιογραφία, η µέγιστη τιµή της ροπής µπορεί να επιβληθεί στο θεµέλιο για στατικό συντελεστή ασφαλείας FS v 2 (χ 0.5) [Αllotey & Naggar, 2003 ; Apostolou & Gazetas, 2005 ; Chatzigogos et al 2009, Gajan & Kutter, 2008, FEMA 356 ]. Η τιµή της κρίσιµης γωνίας στροφής, θ C, οριζόµενη ως η γωνία στην οποία ο ταλάντωτής καταρρεέι υπό το ίδιον βάρος σε ανένδοτη µεν βάση δίνεται από την ακόλουθη σχέση (Makris και Roussos, 2000)(Εξίσωση 1): θ b c = arctan (1) h Ωστόσο, η τιµή της κρίσιµης αυτής γωνίας σε ενδόσιµο ελαστοπλαστικό έδαφος είναι πάντα µικρότερη από την ανωτέρω, διότι δηµιουργούνται µηχανισµοί φέρουσας αστοχίας λίγο πριν φθάσουµε στην θ C. Όπως µπορεί να παρατηρήθεί από τις καµπύλες καθιζήσεως στροφής (Σχ. 3), η περίπτωση FS v = 2 ( χ= 0.5 ) βρίσκεται στο µεταίχµιο µεταξύ δύο διαφορετικών τρόπων απόκρισης του ταλαντωτή σε λικνισµό. Στα συστήµατα µε χ < 0.5 κυριαρχεί κυρίως το ανασήκωµα του θεµελίου από το έδαφος µε σχετικώς περιορισµένη πλαστικοποίηση, ενώ τα συστήµατα µε χ > 0.5 παρουσιάζουν κύριως εκτεταµένες πλαστικές παραµορφώσεις µε ελάχιστο ανασήκωµα. 4. ΑΝΑΚΥΚΛΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ Τα αποτελέσµατα από τις αναλύσεις της ανακυκλικής στατικής φόρτισης παρουσιάζονται για δύο χαρακτηριστικές τιµές του συντελεστή χ ( 0.2 και 0.8). Παρατηρείται από τα διαγράµµατα ροπής στροφής ότι για συντελεστές ασφαλείας µεγάλυτερους του 2 ( χ < 0.5 ), η καµπύλη της µονοτονικής φόρτισης αποτελεί περιβάλλουσα των καµπυλών της ανακυκλικής φόρτισης [ Σχ. 4(a1) ]. Αυτό το συµπέρασµα υποστηρί-ζεται από το γεγονός ότι οι συγκεντρωµένες παραµορφώσεις που λαµβάνουν χώρα στις άκρες του θεµελίου κατά τη διάρκεια της ψευδοστατικής ανακυκλικής φόρτισης, είναι πολύ µικρές και τοπικές για να επηρέασουν σε σηµαντικό βαθµό την απόκριση του συστήµατος και συνεπώς τους αναπτυσσόµενους µηχανισµούς αστοχίας όταν η επιβαλλόµενη φόρτιση αλλάζει διεύθυνση (Σχ.5). Βασική παράµετρος αυτής της απόκρισης είναι η µικρή εδαφική ενδοσιµότητα που είναι απόρροια του µικρού στατικού κατακόρυφου φορτίου. Συνεπώς, το έδαφος είναι µοίαζει σαν να είναι ντε-φάκτο απαραµόρφωτο σε τόσο µικρές τιµές του συντελεστή χ. Ωστόσο, η συµπεριφορά των βαριά φορτιζοµένων θεµελίων ( χ 0.5 ) είναι πολύ διαφορετική. Οι καµπύλες Μ θ της µονοτονικής στατικής φόρτισης δεν αποτελούν στην περίπτωση αυτή περιβάλλουσα για την αντίστοιχη ανακυκλική φόρτιση. Η ικανότητα παραλαβής ροπής του συστήµατος µοιάζει να εξαρτάται από τη στροφή που έχει λάβει το θέµελιο στο προηγούµενο βήµα. Και καθώς η επιβάλλοµενη στροφή αυξάνει και ο στατικός συντελεστής ασφαλείας ελαχιστοποιείται, η διαφορά ανάµεσα στις δύο καµπύλες (µονοτονικής και ανακυκλικής) αυξάνει [Σχ. 4 (b1)]. Αυτή η αξιοσηµείωτη διαφορά πηγάζει από την εδαφική ενδοσιµότητα. Καθώς αυξάνεται ο συντελεστής χ το θεµέλιο παραµένει πρακτικά σε συνθηκές πλήρους επαφής µε το υποκείµενο έδαφος ακόµα, και σε µεγάλες γωνίες στροφής. Λόγω της επιβαλλόµενης µετακίνησης στο κέντρο µάζας της ανωδοµής [Σχ.6(a)] µεταβιβάζεται ροπή στο θεµέλιο, για παράδειγµα κατά την ωρολογιακή διεύθυνση, η οποία ενεργοποιεί

µηχανισµούς τύπου φέρουσας αστοχίας. Οι µηχανισµοι αυτοι περιλαµβάνουν : (a) έναν ρηχό περιστροφικό ροφικό µηχανισµό υπό το δεξί βυθισµένο άκρο του θεµελίου. Η επιφάνεια αστοχίας όπως αυτή ορίζεται από την ζώνη εντόνων πλαστικών παραµορφώσεων [ µαύρη συνεχής γραµµή, Σχ.6(b)] επεκτείνεται και σε µικρή απόσταση από το άκρο του θεµελίου, και (b) έναν βαθύ περιστροφικό µηχανισµό αστοχίας που σχηµατίζεται υπό το αριστερό τµήµα του θέµελιου που µετακίνειται προς τα πάνω, χωρίς µια σαφή επιφάνεια αστοχίας, η οποία ωστόσο συνοδεύεται από σηµαντική ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας [ µαύρη διακεκοµένη γραµµή Σχ.6(b)]. Συνεπώς όταν η κατεύθυνση της φόρτισης αντιστρέφεται, έχουµε οδηγηθεί σε µήσυµµετρική γεωµέτρια όπου το θεµέλιο πρέπει να ανεβεί την «ανηφόρα» που δηµιούργηθηκε στο προήγουµενο βήµα. Επιπλέον, η ικανότητα παραλαβής ροπής του θεµελίου δεν µειώνεται πλέον λόγω των φαινοµένων P δ, αλλά αντιθέτως αυξάνει κατά τη ροπή του ιδίου βάρους της ανωδοµής, το οποίο συνεχίζει να δρα στην ωρολογιακή διεύθυνση [Σχ.6(c)]. ύο νέοι αντιδιαµετρικοί µηχανισµοί αρχίζουν να αναπτύσσονται καθώς συνεχίζεται η φόρτιση προς τα αριστερά [Σχ.6(d)]. Αφού η κατασκευή περάσει το σηµείο της µηδενικής στροφής [Σχ.6(d)], η ροπή ω του ιδίου βάρους αρχίζει να δρα κατά την ανθωρολογιακή διεύθυνση ενισχύοντας την τάση του ταλαντωτή τή για ανατροπή [Σχ.6(e)]. 5. ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ Το επιταχυνσιογράφηµα Takatori (Kobe, 1995) χρησιµοποιήθηκε ως διέγερση στην βάση. Αφού η θεµελιώδης (ελαστική) περίοδος του εδαφικού στρώµατος είναι µόλις 0.05 sec δεν δηµιουργείται εδαφική ενίσχυση για τη συγκεκριµένη διέγερση (Τ P = 1-1.5 sec). Στα Σχήµατα 4 [ (a2) και (b2) ] και 7 παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των σεισµικών αναλύσεων σε διαγράµµατα ροπής στροφής και καθιζήσεως στροφής. Εξάζονται τα ακόλουθα συµπεράσµατα : (a) Τα διαγράµµατα ροπής στροφής επιβεβαιώνουν την συµπεριφορά που ήδη παρατηρήθηκε για την P δ στατικώς ανακυκλική φόρτιση. Για χ < 0.5, η καµπύλη Μ θ της µονοτονικής φόρτισης αποτελεί και πάλι την περιβάλλουσα και Μονοτονική στατική φόρτιση Ανακυκλική στατική φόρτιση Μονοτονική στατική φόρτιση Σεισµική φόρτιση Μονοτονική στατική φόρτιση Ανακυκλική στατική φόρτιση Μονοτονική στατική φόρτιση Ανακυκλική στατική φόρτιση Σεισµική φόρτιση Σχήµα 4. Καµπύλες Μ θ ανά µονάδα τρέχοντος µήκους: µονοτονική στατική φόρτιση, ανακυκλική στατική φόρτιση, σεισµική φόρτιση (a) για χ = 0.2, (b) για χ = 0.8. Figure 4. Moment Rotation relations : static (pushover), slow cyclic, and seismic (a) for χ = 0.2, (b) for χ = 0.8.

Σχήµα 5. Σκαρίφηµατα της µετακίνησης / στροφής του συστήµατος και των αναπτυσσοµένων µηχανισµών αστοχίας. Ελαφρώς φορτιζόµενα θεµέλια (χ < 0.5) Figure 5. Schematic snapshots of the displacement / rotation of the system and the corresponding bearing capacity failure mechanisms. Lightly loaded foundation (χ < 0.5) Σχήµα 6. Σκαρίφηµατα της µετακίνησης / στροφής του συστήµατος και των αναπτυσσοµένων µηχανισµών αστοχίας. Βαριά φορτιζόµενα θεµέλια (χ 0.5) Figure 6. Schematic snapshots of the displacement / rotation of the system and the corresponding bearing capacity failure mechanisms. Heavily loaded foundation (χ 0.5) για την σεισµική απόκριση του θεµελίου σε όρους ροπής στροφής. Αντιθέτως, για χ 0.5, οι βρόγχοι υστερήσεως που δηµιουργούνται κατά την διάρκεια του κραδασµού υπερβαίνουν σηµαντικά την µονοτονική καµπύλη. Μόνον ο πρώτος µισός κύκλος φορτίσεως περιβάλλεται από την µονοτονική καµπύλη. Από εκεί και πέρα, καθώς το έδαφος παρουσιάζει µεγάλες παραµορφώσεις εξαιτίας της αυξηµένης ενδοσιµότητάς του, αναπτύσσονται οι προαναφερθέντες περιστροφικοί µηχανισµοί τύπου φέρουσας αστοχίας. Η ανάπτυξη των µηχανισµών αυτών επηρεάζει την απόκριση του συστήµατος στην αντίθετη διεύθυνση όταν η επιτάχυνση αλλάζει πρόσηµο. Το σύστηµα παρουσιάζει µια µή συµµετρική συµπεριφορά. Εαν, για παράδειγµα, η πρώτη µεγάλη παραµόρφωση συµβαίνει προς την δεξιά πλευρά του θεµελίου, τότε το σύστηµα εµφανίζει "υπεραντοχή" µόλις η επιτάχυνση αλλάζει φορά. Αλλά είναι πιο ευάλωτο στον επόµενο παλµό που θα το ωθήσει ξανά προς τα δεξιά. Εν κατακλείδι, για την πλειονότητα των θεµελιώσεων που έχουν συντελεστές ασφαλείας µεγαλύτερους από 2, οι καµπύλες Μ θ που προκύπτουν από τη µονοτονική στατική φόρτιση είναι αντιπροσωπευτικές της ικανότητας παραλαβής ροπής του συστήµατος και υπό δυναµική φόρτιση. Ωστόσο, για τις κατασκευές µε συντελεστή ασφαλείας µικρότερον του 2, η µέγιστη ροπή που µπορεί να αναληφθεί δεν µπορεί να προσδιορισθεί εκ των προτέρων, καθώς είναι συνάρτηση της προϋπάρχουσας στροφής και του σχετικού µεγέθους του παλµού. Οι καµπύλες Μ θ που προκύπτουν από την ανακυκλική στατική φόρτιση δίνουν µόνον µια προσεγγιστική εικόνα της συµπεριφοράς του συστήµατος. (b) Για την στροφή του θεµελίου και συνεπώς για την οριζόντια µετατόπιση του κέντρου µάζας, σε γενικές γραµµές συµπεραίνουµε ότι η στροφή είναι ανάλογη του συντελεστή ασφαλείας, δηλαδή όσο αυξάνει ο συντελεστής ασφαλέιας τόσο αυξάνει και η µέγιστη στιγµιαία τιµή της

στροφής του θεµελίου (Σχ. Σχ.7). Ωστόσο, είναι σηµαντικό να σηµειωθεί ότι οι εδαφικές παραµορφώσεις των ελαφρώς φορτιζοµένων θεµελίων παραµένουν οιονεί ελαστικές, ενώ οι παραµορφώσεις των βαριά φορτιζοµένων θεµελίων είναι εντόνως ανελαστικές. Αυτό στα βαρέως φορτισµένα συστήµατα, οδηγεί στη σταδιακή συσσώρευση πλαστικών παραµορφώσεων προς την µία διεύθυνση και συνεπώς σε υψηλότερες παραµένουσες στροφές. Μονοτονική φόρτιση Σεισµική φόρτιση την ελάχιστη τιµή για τον µέγιστο συντελεστή ασφαλείας. Επιπλέον, όταν οι ταλάντωση σταµατήσει, το τµήµα του θεµελίου που συνεχίζει να βρίσκεται σε επαφή µε το παραµορφωµένο έδαφος είναι µεγαλύτερο στην περίπτωση του χαµηλότερου συντελεστή ασφαλείας. Για τον ίδιο συντελεστή ασφαλείας, όσο αυξάνει η ένταση του κραδασµού τόσο µικραίνει το τµήµα του θεµελίου που συνεχίζει να βρίσκεται σε επαφή µε το παραµορφωµένο έδαφος µετά το τέλος της διέγερσης. Αξιοσηµείωτο είναι και το γεγονός, ότι το σύστηµα µπορεί να µην ανατραπεί ακόµη και για τιµές του λ ίσες µε 0.1, λόγω της δυναµικού χαρακτήρα της φόρτισης Μονοτονική φόρτιση Σεισµική φόρτιση Σχήµα 7. ιαγράµµατα καθίζησης στροφής για : (a) χ = 0.2 (ευσταθές σύστηµα), (b) χ = 0.8 (ανατροπή ταλαντωτή). Figure 8. Settlement rotation diagrams for : (a) χ = 0.2 (stable system), (b) χ = 0.8 (system overturns). (c) Όπως ήταν αναµενόµενο, τα βαριά θεµέλια εµφανίζουν µεγαλύτερη καθίζηση λόγω συσσώρευσης πλαστικών παραµορφώσεων κατά τη διάρκεια της διέγερσης. (d) Η παράµετρος λ, η οποία ορίζεται ως ο λόγος της ενεργού επιφάνειας επαφής Εξίσωση (2) : β λ = B ( 2) εκφράζει το τµήµα β του θεµελίου Β που παραµένει σε επαφή µε το παραµορφωµένο έδαφος. Το λ λαµβάνει Σχήµα 8. Χρονοιστορίες του λ για : (a) χ = 0.2 (ευσταθές σύστηµα), (b) χ = 0.5 (ευσταθές σύστηµα), (c) χ = 0.8 (ανατροπή ταλαντωτή) Figure 9. Times histories of parameter λ for : (a) χ = 0.2 (stable system), (b) χ = 0.5 (stable system), (c) χ = 0.8 (system overturns) 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Για µεγάλους στατικούς συντελεστές ασφαλείας ( FS v > 2) η κυρίαρχη µή γραµµικότητα στην απόκριση είναι γεωµετρική (ανασήκωµα του θεµελίου), ενώ για µικρούς στατικούς συντελεστές

ασφαλείας ( FS v 2) αναπτύσσονται µηχανισµοί ανελαστικότητας υλικού (τύπου φέρουσας αστοχίας), που οδηγούν σε επιπλέον καθίζηση του θεµελίου µε παραµένουσα στροφή. H µή συµµετρική υπεραντοχή της µέγιστης ροπής που µπορεί να µεταφέρει η θεµελίωση, παρατηρούµενη µόνον στις περιπτώσεις των βαριά φορτισµένων θεµελίων υπό ανακυκλική και σεισµική διέγερση, που οφείλεται στην ανάπτυξη µηχανισµών φερουσας αστοχίας προς τη µια διεύθυνση κατά τη διάρκεια του προηγούµενου βήµατος. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα εργασία έγινε στα πλαίσια του ερευνητικού προγράµµατος της ΕΕ 7 th framework το οποίο χρηµατοδοτείται από το Πρόγραµµα του Ευρωπαικού Συµβουλίου Έρευνας Ideas, Support for Frontier Research Advanced Grant, under Contract number ERC-2008-AdG 228254-DARE. ΠΑΡΑΠΟΜΠΕΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Allotey N., Naggar M., [2003]. Analytical moment-rotation curves for rigid foundations based on a Winkler model. Soil Dynamics and Earhquake Engineering, 23, 367-381. Anastasopoulos I, Gazetas G., Loli M., Apostolou M., Gerolymos N. [2009] Soil failure can be used for seismic protection of structures. Bulletin of Earthquake Engineering, 7 (4). Anastasopoulos I. [2009]. Beyond conventional capacity design : towards a new design philosophy. Soil-foundation- Structure Interaction, Pender M. and Davies M.C.R. (editors), University of Auckland. Apostolou M, Thorel L., Gazetas G., Garnier J., and Rault G., [2007]. Physical and Numerical Modelling of Soil-Footing Structure Under Lateral Cyclic Loading. Proceedings of the 4th International Conference on Earthquake Geotechnical Engineering, Thessaloniki, Apostolou, M., Gazetas G. [2005]. Rocking of Foundations under Strong Shaking :Mobilisation of Bearing Capacity and Displacement Demands. Proc. 1st Greece Japan Workshop, Seismic Design, Observation, Retrofit, 131-140. Chatzigogos C.T., Pecker A., Salencon J. [2009]. Macroelement modeling of shallow foundations. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 29, No. 6, 765 781. FEMA 356 [2000]. Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings. Gazetas G., [1983]. Analysis of machine foundation vibrations: State of the art. International Journal of Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 2, Is. 1, 2-42. Gerolymos N., Gazetas G. (2006), Static and Dynamic Response of Massive Caisson Foundations with Soil and Interface Nonlinearities Validation and Results, Soil Dynamics & Earthquake Engineering,26(5), 377-394. Gajan, S., and Kutter, B. L. [2008]. Capacity, settlement, and energy dissipation of shallow footings subjected to rocking, J. Geotech. Geoenviron. Eng., ASCE, 134 (8), 1129 1141. Gajan, S., Hutchinson, T. C., Kutter, B. L., Raychowdhury, P., Ugalde, J.A., and Stewart, J.P. [2008]. Numerical models for the analysis and performance-based design of shallow foundations subjected to seismic loading. Rep. to Pacific Earthquake Engineering Research Center (PEER), Univ. of California, Berkeley, Calif. Gajan, S., Phalen, J. D., Kutter, B. L., Hutchinson, T. C., and Martin, G. [2005]. Centrifugemodeling of load-deformation behavior of rocking shallow foundations. Soil Dyn.Earthquake Eng, 25(7 10), pp. 773 783. Harden, C., Hutchinson, T. [2006]. Investigation into the Effects of Foundation Uplift on Simplified Seismic Design Procedures, Earthquake Spectra, 22 (3), pp. 663 692. Makris, N., Roussos, Y. [2000]. Rocking response of rigid blocks under near source ground motions Géotechnique, 50 (3), pp. 243 262. Prandtl L. [1921]. "Uber die Eindringungsfestigkeit (Harte) plastischer Baustoffe und die Festigkeit von Schneiden". Zeit. Angew. Math. Mech., 1, 15-20.