Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.

Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε ευθεία; Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, τότε το νέο σχήμα, που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, λέγεται ευθεία. 3. Τι λέμε ημιευθεία; Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πέρα από το ένα μόνο άκρο του, π.χ. το Β, τότε το νέο σχήμα, που έχει αρχή το Α αλλά δεν έχει τέλος, λέγεται ημιευθεία. 4. Τι ονομάζουμε ευθύγραμμο τμήμα; Μία τεντωμένη κλωστή με άκρα Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Τα σημεία Α και Β είναι τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, συνδέοντας δύο σημεία Α και Β, με τη βοήθεια ενός χάρακα ("κανόνα"). 5. Τι ονομάζουμε επίπεδο και τι ημιεπίπεδο; Επίπεδο είναι μια επιφάνεια, πάνω στην οποία εφαρμόζει παντού η ευθεία γραμμή. 6. Τι λέμε κυρτή γωνία και τι μη κυρτή γωνία; Σχεδιάζουμε σ' ένα φύλλο χαρτί δύο ημιευθείες Οx και Οy, με κοινή αρχή το σημείο Ο. Οι ημιευθείες χωρίζουν το επίπεδο σε δύο περιοχές Π1 και Π2. Κάθε μία από τις περιοχές αυτές μαζί με τις ημιευθείες Οx και Οy ονομάζεται γωνία. Η "μικρότερη" (Π1) λέγεται κυρτή και η άλλη (Π2) μη κυρτή. Σελίδα 1

Mαθηματικά Α Γυμνασίου 7. Τι ονομάζουμε πλευρά γωνίας και τι κορυφή γωνίας; Το σημείο Ο λέγεται κορυφή της γωνίας και οι ημιευθείες Οχ και Ογ λέγονται πλευρές της γωνίας. Τις γωνίες που σχηματίζονται τις συμβολίζουμε xoψ (το γράμμα της κορυφής Ο γράφεται πάντα στη μέση) ή με ένα μικρό γράμμα, π.χ. 8. Πότε λέμε ότι δύο σχήματα είναι ίσα; Δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται ίσα, αν συμπίπτουν, όταν τοποθετηθούν το ένα επάνω στο άλλο με κατάλληλο τρόπο. 9. Ποια είναι η μονάδα μέτρησης μήκους που χρησιμοποιούμε και ποιες οι υποδιαιρέσεις και τα πολλαπλάσιά της; Για να συγκρίνουμε μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα οδηγηθήκαμε στην ανάγκη να χρησιμοποιούμε μια κοινή μονάδα σύγκρισης. Έτσι, κάθε σύγκριση ενός μεγέθους με την αντίστοιχη μονάδα λέγεται μέτρηση. Μονάδα μήκους είναι το "μέτρο" (m) 10. Με ποιους τρόπους μπορούμε να συγκρίνουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα; Ο 1ος τρόπος είναι να κάνουμε τη μέτρηση με το υποδεκάμετρο. Ο 2ος τρόπος είναι να τα συγκρίνουμε χρησιμοποιώντας το διαβήτη. Ακουμπάμε τη μία άκρη του διαβήτη στο Α και την άλλη στο Β. Μετακινούμε το διαβήτη, χωρίς να μεταβάλουμε το άνοιγμά του και τοποθετούμε το ένα άκρο του στο σημείο Γ και το άλλο επί της ημιευθείας ΓΔ. Ονομάζουμε Δ το σημείο στο οποίο καταλήγει το δεύτερο άκρο του διαβήτη. Τότε έχουμε τρεις περιπτώσεις. Σελίδα 2

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. 11. Πως προσθέτουμε και πως αφαιρούμε δύο ευθύγραμμα τμήματα; Για να προσθέσουμε δύο ή περισσότερα ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε διαδοχικά πάνω σε μια ευθεία. Το τμήμα που ορίζεται από την αρχή του πρώτου και το τέλος του τελευταίου είναι το άθροισμά τους. Για να αφαιρέσουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε με κοινή αρχή πάνω σε μια ημιευθεία. Το τμήμα που ορίζεται από το τέλος του μικρότερου και το τέλος του μεγαλύτερου είναι η διαφορά τους. 12. Ποιες είναι οι μονάδες μέτρησης γωνιών και ποιες οι υποδιαιρέσεις; Ο αριθμός που προκύπτει από τη μέτρηση με το μοιρογνωμόνιο ονομάζεται μέτρο της γωνίας. Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η μοίρα, που γράφεται 1 ο. Είναι: 1 ο =60 (πρώτα λεπτά) και 1 = 60 (δεύτερα λεπτά). 13. Με ποιο όργανο μετράμε τις γωνίες; Η μέτρηση των γωνιών γίνεται με το μοιρογνωμόνιο. Ο αριθμός που προκύπτει από τη μέτρηση ονομάζεται μέτρο της γωνίας. Σελίδα 3

Mαθηματικά Α Γυμνασίου 14. Τι λέμε διχοτόμο μιας γωνίας και πως τη κατασκευάζουμε αν έχουμε μια δοσμένη γωνία; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 15. Ποια είναι τα είδη γωνιών; Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο.οι πλευρές της ορθής γωνίας είναι κάθετες ημιευθείες. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μεγαλύτερο των 90 ο και μικρότερο των 180 ο. Ευθεία γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 180 ο.οι πλευρές της ευθείας γωνίας είναι αντικείμενες ημιευθείες. Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μεγαλύτερο των 180 ο και μικρότερο των 360 ο. Μηδενική γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 0 ο. Πλήρης γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 360 ο. 16. Πότε δύο ευθείες λέγονται κάθετες και με ποιο σύμβολο τις δηλώνουμε ; Δύο ευθείες είναι κάθετες όταν οι γωνίες, που σχηματίζουν αυτές τεμνόμενες, είναι ορθές. Για να δηλώσουμε ότι δύο ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες, χρησιμοποιούμε το σύμβολο, γράφουμε ε1 ε2 και διαβάζουμε ε1 είναι κάθετη στην ε2. Δύο ευθύγραμμα τμήματα (ή δύο ημιευθείες) που βρίσκονται πάνω δε δύο κάθετες ευθείες λέγονται κάθετα ευθύγραμμα τμήματα (ή κάθετες ημιευθείες). 17. Ποιες γωνίες λέγονται εφεξείς; Εφεξείς γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. 18. Ποιες γωνίες λέγονται διαδοχικές; Διαδοχικές γωνίες ονομάζονται δύο και περισσότερες γωνίες που έχουν: την ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. Σελίδα 4

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. 19. Πώς γίνεται η πρόσθεση δύο ή περισσότερων γωνιών; Για να προσθέσουμε δύο γωνίες, πρέπει να τις κάνουμε εφεξείς. Η γωνία που προκύπτει είναι το άθροισμα των δύο γωνιών και σαν μέτρο έχει το άθροισμα των μέτρων τους. Για να βρούμε τη διαφορά δύο γωνιών, τις τοποθετούμε έτσι, ώστε να έχουν κοινή κορυφή, κοινή μία πλευρά και να είναι η μία «μέσα» στην άλλη. Το μέτρο της διαφοράς είναι η διαφορά των δύο μέτρων τους. 20. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Παραπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180 ο. Η κάθε μία από λέγεται παραπληρωματική της άλλης. 21. Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; Συμπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90 ο. Η κάθε μία από λέγεται συμπληρωματική της άλλης. 22. Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν; Δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν αν έχουν: Κοινή κορυφή Έχουν πλευρές αντικείμενες ημιευθείες 23. Ποια η σχέση δυο κατακορυφήν γωνιών; Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι πάντα ίσες. 24. Ποιες ευθείες λέγονται παράλληλες; Παράλληλες λέγονται δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κανένα κοινό σημείο όσο κι αν προεκταθούν. 25. Ποια είναι η θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι παράλληλες ή θα τέμνονται. 26. Τι λέμε απόσταση σημείου από ευθεία; Απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε ονομάζεται το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος ΑΑ0 από το σημείο Α προς την ευθεία ε Σελίδα 5

Mαθηματικά Α Γυμνασίου 27. Τι λέμε απόσταση δύο ευθειών; Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών λέγεται το μήκος οποιουδήποτε ευθυγράμμου τμήματος που είναι κάθετο στις δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σ' αυτές. 28. Ποιο σχήμα λέγετε κύκλος; Κύκλος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο 0. 29. Τι λέμε ακτίνα κύκλου; Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το κέντρο ενός κύκλου με ένα σημείο του κύκλου συμβολίζεται με ρ και λέγεται ακτίνα του κύκλου. 30. Τι λέμε χορδή κύκλου και τι διάμετρο κύκλου; Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, που συνδέει δύο σημεία Α και Β του κύκλου, λέγεται χορδή του κύκλου. Ειδικά η χορδή που περνάει από το κέντρο του κύκλου λέγεται διάμετρος του κύκλου. 31. Ποια η σχέση της ακτίνας του κύκλου με τη διάμετρό του; Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου, είναι διπλάσια από την ακτίνα του κύκλου και χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη. 32. Τι λέμε τόξο κύκλου; Δύο σημεία Α και Β του κύκλου τον χωρίζουν σε δύο μέρη που το καθένα λέγεται τόξο του κύκλου με άκρα τα Α και Β. 33. Τι λέμε επίκεντρη γωνία; Κατασκευάζουμε έναν κύκλο (Ο, ρ) και μια γωνία, ΑΟΒ της οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο Ο του κύκλου. Η γωνία αυτή λέγεται επίκεντρη γωνία. Σελίδα 6

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. 34. Ποιά η σχέση της επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου της; Το τόξο ΑΔΒ που βρίσκεται στο εσωτερικό της μη κυρτής επίκεντρης γωνίας χοψ είναι το αντίστοιχο τόξο της μη κυρτής επίκεντρης γωνίας χοψ. Το τόξο ΑΔΒ μετριέται σε μοίρες και έχει μέτρο όσο και το μέτρο της επίκεντρης γωνίας χοψ. 35. Ποια είναι η μονάδα μέτρησης τόξων και με ποιο τρόπο βρίσκουμε το μέτρο ενός τόξου; Ως μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας, δηλαδή το μέτρο ενός τόξου το μετράμε σε μοίρες Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δυο ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα αντίστοιχα τόξα. Σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δυο ίσα τόξα έχουν ίσες τις επίκεντρες γωνίες. 36. Ποιες είναι οι θέσεις ενός κύκλου και μιας ευθείας; Όταν ευθεία και κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο λέμε ότι η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου. Όταν ευθεία και κύκλος έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Μ, η ευθεία λέγεται εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο Μ. Όταν ευθεία και κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία Α και Β, η ευθεία λέγεται τέμνουσα του κύκλου ή λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο στα Α και Β. Σελίδα 7