Α λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α Λ υ κ ε ι ο υ

Transcript

1 Κ Κ α α ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ α α ρ ρ ι ι λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! λ γ ε β ρ Λ υ κ ε ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α Λ υ κ ε ι ο υ

2 π ι μ ε λ ε ι α Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς w w w. d r m a t h s 5 8. b l o g s p o t. c o m w w w. m a t h s 5 8. w o r d p r e s s. c o m e m a i l : d r m a t h s 5 8. g m a i l. c o m

3 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 1 σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς υο διαφορετικες ευθειες μπορει να εχουν κανενα κοινο σημειο να κοινο σημειο i υο κοινα σημεια ιτιολογηστε την απαντηση σας iν) πειρα κοινα σημεια Μπορει να εχουν : κανενα κοινο σημειο η ενα μονο κοινο σημειο. Σε αλλη περιπτωση, δεν θα ειναι διαφορετικες. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Στο παρακατω σχημα ποιες ημιευθειες οριζονται: με αρχη το σημειο με αρχη το σημειο A B ψ x Ποιες απο αυτες ειναι αντικειμενες; Με αρχη το : οι ημιευθειες x και ψ Με αρχη το : οι ημιευθειες x και ψ ντικειμενες ειναι : η x με την ψ η x με τη ψ σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Τα σημεια,, και ειναι συνευθειακα. ν το ειναι μεταξυ των, και το μεταξυ των,, να δικαιολογησετε γιατι το ειναι μεταξυ των και φου το ειναι μεταξυ των και το θα ειναι αριστερα του φου το ειναι μεταξυ των και το θα ειναι δεξια του Τα και βρισκονται λοιπον εκατερωθεν του αρα το θα ειναι μεταξυ των και

4 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Οι ημιευθειες Οx και Οx του παρακατω σχηματος ειναι αντικειμενες ; Ο x x Οχι, αφου δεν εχουν τον ιδιο φορεα. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Ποσες ευθειες οριζουν τρια διαφορετικα σημεια ; Τα δυο απ τα τρια διαφορετικα σημεια, οριζουν μια μονο ευθεια. στω η ευθεια ν το σημειο βρισκεται πανω στην ευθεια, τοτε τα τρια σημεια οριζουν μια ευθεια (). ν το σημειο δεν βρισκεται πανω στην ευθεια, τοτε τα τρια σημεια οριζουν τρεις ευθειες (,, ). σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να γραψετε τα ευθυγραμμα τμηματα που οριζονται απο ολα τα σημεια των παρακατω σχηματων. A B M K AB, A,,,, Μ,, Κ,, Μ, Κ,, Κ, Μ, ΚΜ

5 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 3 σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σχεδιαστε τρεις ευθειες, οι οποιες να τεμνονται ανα δυο, χωρις να διερχονται ολες απο το ιδιο σημειο και βρειτε ποσα ειναι τα σημεια τομης των ευθειων ποσες ημιευθειες και ποσα ευθυγραμμα τμηματα οριζονται. στω xx, yy, zz οι τρεις ευθειες. Οι ευθειες xx, yy τεμνονται σ ενα μονο σημειο. Οι ευθειες yy, zz τεμνονται σ ενα μονο σημειο A. Οι ευθειες zz, xx τεμνονται σ ενα μονο σημειο. ρα τρια σημεια τομης των ευθειων. Με αρχη το : ημιευθειες y, Ay, z, Az, τεσσερις το πληθος. Με αρχη το : ημιευθειες Bx, Bx, Bz, Az, τεσσερις το πληθος. Με αρχη το : ημιευθειες y, y, x, x, τεσσερις το πληθος. Συνολικα, δωδεκα ημιευθειες. Τα σημεια,, ανα δυο δημιουργουν ενα ευθυγραμμο τμημα. ρα εχουμε τρια ευθυγραμμα τμηματα, τα,,. y A z x x z y σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σε ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα σημεια,, και ωστε. Να δικαιολογησετε οτι. + + σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σε ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα σημεια, και. ν Μ και Ν ειναι τα μεσα των και αντιστοιχα, να δικαιολογησετε οτι ΜΝ. ιναι Μ Ν + λλιως Μ Μ Μ + Ν (Μ + Ν) ΜΝ Ν Ν Μ Μ + ΜΝ Μ + Ν + ΜΝ Ν Ν

6 4 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Σε ευθεια ε παιρνουμε τα διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα,,. ν, Ζ ειναι τα μεσα των και αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι EZ A+ + + Ζ Ζ + + Ζ / / // // ( + + ) ( + + ) + + σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Σε ευθεια ε θεωρουμε τμημα, το μεσο του Μ, τυχαιο εσωτερικο σημειο του τμηματος Μ και τυχαιο σημειο εξωτερικο του τμηματος. Να αποδειξετε οτι Μ - Μ + Μ Μ - Μ Μ (Μ + ) Μ - - Μ + Μ - Μ - Μ M Μ - - σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Να αποδειξετε οτι για καθε τριαδα συνευθειακων σημειων,, ισχυει +. ν τα σημεια,,, ειναι συνευθειακα, να αποδειξετε οτι + +. ν μεταξυ και, προφανως ισχυει η ισοτητα. ν μεταξυ και : < < + ν μεταξυ και : < < + Σε καθε περιπτωση +.

7 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 5 φαρμοζουμε το για τη τριαδα,, : A + (1) φαρμοζουμε το για τη τριαδα,, : + () Η (1) : A + ( ) + + σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς ν,, ειναι τρια συνευθειακα σημεια και, τα μεσα των, αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι ιναι ( + ) σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς πο μια περιοχη διερχονται τεσσερις ευθειες οδοι, ετσι ωστε ανα δυο να διασταυρωνονται και ανα τρεις να μη διερχονται απο το ιδιο σημειο. Η τροχαια για να διευκολυνει την κινηση θελει να τοποθετησει ενα τροχονομο σε καθε διασταυρωση. Ποσοι τροχονομοι χρειαζονται; Να εξετασθει το ιδιο προβλημα για ν δρομους ( ν ) Καθε ευθεια τεμνει τις υπολοιπες σε ε1 ε ε σημεια. ρα το πληθος των σημειων τομης ολων των ευθειων με ολες ειναι (4 1) 4 1. τσι ομως, εχει υπολογισθει δυο φορες η καθε διασταυρωση. ρα το πληθος των διασταυρωσεων ειναι πομενως θα χρειαστουν 6 τροχονομοι. ε4 (4-1) 4 6. Με τον ιδιο τροπο, οταν οι οδοι ειναι πληθους ν, θα χρειαστουν (ν - 1)ν τροχονομοι.

8 6 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Ποιο ειναι το συμμετρικο του σημειου ως προς ε1 την ευθεια ε1 την ευθεια ε // // i το σημειο Μ Μ ε ιτιολογηστε την απαντηση σας Ως προς την ευθεια ε1 ειναι το, αφου η ε1 ειναι μεσοκαθετος στο τμημα. Ως προς την ευθεις ε ειναι το ιδιο το αφου βρισκεται πανω στην ε. i Ως προς το Μ ειναι το αφου το Μ μεσο του τμηματος. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Στο διπλανο σχημα να βρειτε τις οξειες, τις ορθες και τις αμβλειες γωνιες που υπαρχουν Οξειες γωνιες ειναι οι : xoψ, ψοz, zot Ορθες γωνιες ειναι οι : xoz, ψοt μβλειες γωνιες ειναι οι : xot Ο x ψ z t σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Να γραψετε τρια ζευγη εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων που υπαρχουν στο διπλανο σχημα. x A B ˆ και ˆ και ˆ και ˆ x ˆ x ˆ

9 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 7 σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Στο διπλανο σχημα Οι γωνιες Οι γωνιες Ο ˆ ˆ Ο και και Ο ˆ ˆ Ο ειναι εφεξης; ειναι διαδοχικες; ιτιολογηστε την απαντηση σας. Ο Οχι, γιατι δεν εχουν κοινη πλευρα. Οχι, γιατι δεν ειναι εφεξης. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Υπαρχει περιπτωση η συμπληρωματικη μιας γωνιας να ειναι ιση με την παραπληρωματικη της ; Οχι γιατι : αν η γωνια ειναι οξεια τοτε η συμπληρωματικη της θα ειναι και αυτη οξεια, ενω η παραπληρωματικη της θα ειναι αμβλεια και αν η γωνια ειναι αμβλεια δεν εχει συμπληρωματικη, ενω εχει παραπληρωματικη. σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Θεωρουμε τις διαδοχικες γωνιες Να δικαιολογησετε οτι ˆ xoy ˆ xoy, ˆ zot. ˆ yoz και ˆ zot, ωστε ˆ xoz ˆ yot. πο τα δυο μελη της ισοτητας την κοινη γωνια ˆ xoz ˆ xoy ˆ yot ˆ zot ˆ xoz ˆ yoz, οποτε προκυπτει: ˆ xoz - ˆ yoz yot ˆ - ˆ ˆ yot αφαιρουμε Ο t yoz. x y z σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να υπολογισετε σε μερη ορθης, τη γωνια ω του παρακατω σχηματος. ω ω ιναι ω + 1L + ω L ω + ω L- 1L ω 1L ω 1 L

10 8 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς να ρολοι τοιχου δειχνει εννεα η ωρα ακριβως. Τι γωνια σχηματιζουν οι δεικτες του ρολογιου; Μετα απο ποσες ωρες (φυσικο αριθμο) οι δεικτες του ρολογιου θα σχηματιζουν ιση γωνια; Σχηματιζουν ορθη γωνια. Μετα απο 6 ωρες (τρεις ακριβως). σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Να αποδειξετε οτι οι διχοτομοι δυο εφεξης γωνιων σχηματιζουν γωνια ιση με το ημιαθροισμα των γωνιων αυτων. στω ˆ xoy τους αντιστοιχα. ˆΟ 1 ˆΟ 3 δ ˆΟ 1 δ ˆΟ ˆΟ 4, 1 1 ˆΟ + ˆ yoz ˆ xoy ˆ yoz ˆΟ 3 οι δυο εφεξης γωνιες και 1 ˆ xoy + 1 ˆ yoz 1 δ 1, δ ( ˆ xoy + οι διχοτομοι ˆ yoz ) x δ1 Ο 1 3 y 4 δ z σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Θεωρουμε κυρτη γωνια Ο ˆ, τη διχοτομο της Ο και τυχαια ημιευθεια Ο εσωτερικη της γωνιας Ο ˆ, οπου Ο η αντικειμενη ημιευθεια της Ο. ˆ ˆ Να αποδειξετε οτι ˆ Ο+ Ο Ο ιναι Ο διχοτομος ˆ Ο ˆ Ο ˆ - Ο ˆ Ο ˆ Ο - Ο ˆ - Ο ˆ Ο ˆ + (Ο ˆ - Ο) ˆ 1 A O Ο ˆ + Ο ˆ λλιως Ο ˆ Ο ˆ Ο ˆ + Ο ˆ Ο ˆ + Ο ˆ + Ο ˆ Ο ˆ Ο ˆ + Ο ˆ Ο ˆ + Ο ˆ + Ο ˆ Ο ˆ + Ο ˆ Ο ˆ Ο ˆ +

11 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 9 σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ˆ Ο Θεωρουμε κυρτη γωνια, τη διχοτομο της Ο και τυχαια ημιευθεια Ο εσωτερικη της γωνιας. Να αποδειξετε οτι ˆ Ο - Ο ˆ ˆ Ο. ιναι ˆ Ο ˆ Ο - ˆ Ο ˆ Ο Ο διχοτομος ˆ Ο - ˆ Ο Ο ˆ - Ο ˆ Ο ˆ - (Ο ˆ -Ο) ˆ Ο ˆ -Ο ˆ O λλιως Ο ˆ Ο ˆ Ο ˆ - Ο ˆ Ο ˆ - Ο ˆ -Ο ˆ Ο ˆ Ο ˆ -Ο ˆ Ο ˆ - (Ο ˆ -Ο) ˆ Ο ˆ - Ο ˆ Ο ˆ Ο ˆ - σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς ινονται οι διαδοχικες γωνιες ˆ Ο, ˆ Ο, ˆ Ο με αθροισμα μικροτερο απο δυο ορθες. ν Οx, Oy ειναι οι διχοτομοι των γωνιων Ο ˆ, Ο ˆ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι ˆ xoy AO ˆ + Ο ˆ. ιναι ˆ xοy ˆ yο + ˆ Ο ˆ Ο + + ˆ Ο + ˆ Οx ˆ Ο Οx διχοτομος Οy διχοτομος (Ο ˆ + Ο ˆ + Ο) ˆ + Ο ˆ ˆ ˆ ˆ Ο + Ο + Ο Ο ˆ + Ο ˆ y Ο x λλιως Οx διχοτομος Ο ˆ Ο ˆ Ο ˆ + Ο ˆ xοy ˆ Ο ˆ - Οy ˆ - xο ˆ Ο ˆ - - Ο ˆ - Οy διχοτομος Ο ˆ - Ο ˆ Ο ˆ - Ο ˆ + Ο ˆ Ο ˆ + Ο ˆ Ο ˆ -

12 1 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς Θεωρουμε αμβλεια γωνια ˆ Ο Ο, Ο οι διχοτομοι των γωνιων ˆ Ο 1 L. και στο εσωτερικο της την ημιευθεια Ο Ο. ν ˆ Ο και ˆ Ο αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι ιναι ˆ Ο ˆ Ο ˆ Ο Ο ˆ - Ο ˆ Ο διχοτομος Ο διχοτομος ˆ Ο ˆ Ο 1 L - ˆ Ο Ο σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Να δωσετε τον ορισμο του κυκλου (Ο, ρ). Ποτε δυο κυκλοι λεγονται ισοι; Πως ελεγχεται η ισοτητα δυο κυκλων ; Ονομαζουμε κυκλο με κεντρο Ο και ακτινα ρ τον γεωμετρικο τοπο των σημειων του επιπεδου που απεχουν απο το Ο αποσταση ιση με ρ. υο κυκλοι λεγονται ισοι οταν με καταλληλη μετατοπιση ο ενας ταυτιζεται με τον αλλο. Με την συγκριση των ακτινων τους. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Ποτε ενα σημειο λεγεται εσωτερικο ενος κυκλου και ποτε εξωτερικο; σωτερικο λεγεται οταν η αποσταση του απο το κεντρο ειναι μικροτερη της ακτινας. ξωτερικο λεγεται οταν η αποσταση του απο το κεντρο ειναι μεγαλυτερη της ακτινας. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Τι λεγεται γεωμετρικος τοπος ; Ονομαζουμε γεωμετρικο τοπο ενα συνολο σημειων του επιπεδου τα οποια εχουν μια κοινη χαρακτηριστικη ιδιοτητα. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Τι λεγεται διαμετρος ενος κυκλου και ποια η σχεση της με την ακτινα ;

13 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 11 Ονομαζουμε διαμετρο την χορδη η οποια διερχεται απο το κεντρο του κυκλου. Η διαμετρος ειναι διπλασια της ακτινας. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Τι λεγεται τοξο κυκλου με ακρα, και τι χορδη του ; Πως οριζεται η ισοτητα και η ανισοτητα δυο τοξων ενος κυκλου. Ονομαζουμε τοξο με ακρα, καθε ενα απο τα δυο μερη στα οποια χωριζεται ο κυκλος απο τα σημεια και. Χορδη του τοξου ονομαζουμε το ευθυγραμμο τμημα. υο τοξα ενος κυκλου ειναι ισα αν και μονο αν οι επικεντρες γωνιες που βαινουν σε αυτα ειναι ισες. υο τοξα ειναι ανισα οταν οι επικεντρες γωνιες που βαινουν σ αυτα ειναι ομοιοτροπως ανισες. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Τι λεγεται επικεντρη γωνια και τι αντιστοιχο τοξο της ; Ποια σχεση ισοτητας ανισοτητας υπαρχει μεταξυ επικεντρων γωνιων και αντιστοιχων τοξων; Μια γωνια την λεμε επικεντρη οταν η κορυφη της ειναι το κεντρο του κυκλου. ντιστοιχο τοξο αυτης λεμε το τοξο που περιεχεται στο εσωτερικο της. υο επικεντρες γωνιες ενος κυκλου ειναι ισες αν και μονο αν τα αντιστοιχα τους τοξα ειναι ισα. Οι επικεντρες ειναι ανισες αν και μονο αν τα αντιστοιχα τους τοξα ειναι ανισα. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Τι λεγεται μεσο τοξου; ν τα σημεια Μ, Ν ειναι μεσα ενος τοξου, τι συμπεραινετε για αυτα ; ιναι το εσωτερικο του σημειο το οποιο διαιρει το τοξο σε δυο ισα τοξα. Τα σημεια Μ και Ν συμπιπτουν. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Στο διπλανο σχημα ειναι Κ ˆ Κ ˆ. 1 Μπορουμε να συμπερανουμε οτι το τοξο ειναι ισο με το τοξο ; Κ Ο

14 1 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α Οχι γιατι οι γωνιες δεν ειναι επικεντρες. σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σχεδιαστε εναν κυκλο ακτινας ρ, που να διερχεται απο σταθερο σημειο Κ. Ποσους τετοιους κυκλους μπορουμε να χαραξουμε στο επιπεδο; Που βρισκονται τα κεντρα τους; Με κεντρο σταθερο σημειο Κ, γραφω κυκλο (Κ,ρ). Θεωρουμε τυχαιο σημειο Μ του κυκλου (Κ,ρ) ραφουμε κυκλο (Μ,ρ) που διερχεται απ το σημειο Κ. Μ Κ Μπορουμε να χαραξουμε απειρους τετοιους κυκλους, αλλαζοντας τη θεση του σημειου Μ πανω στον κυκλο (Κ,ρ). Τα κεντρα Μ ολων αυτων των κυκλων βρισκονται πανω στον κυκλο ρ (Κ,ρ). σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σχεδιαστε δυο κυκλους (O,R) και (O, ρ) με R>ρ. Να βρειτε τα σημεια του επιπεδου που ειναι εσωτερικα του κυκλου (O,R) και εξωτερικα του (O, ρ). ιναι τα σημεια του εγχρωμου μερους του σχηματος μας σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ινονται δυο ομοκεντροι κυκλοι (Ο, R) και (Ο, ρ) με R > ρ. Μια ευθεια ε διερχεται απο το Ο και τεμνει τους κυκλους στα διαδοχικα σημεια,,,. Να αποδειξετε οτι και. Ο Ο R ρ Ο Ο R ρ ρα Ο + Ο R + ρ Ο + Ο ρ + R ρα Ο

15 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 13 σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ν δυο διαμετροι σχηματιζουν δυο εφεξης γωνιες ισες, τοτε να αποδειξετε οτι διαιρουν τον κυκλο σε τεσσερα ισα τοξα. στω ιναι ˆΟ 1 ρα ˆΟ 1 ˆΟ 3 ˆΟ ˆΟ 1 ˆΟ οι ισες εφεξης γωνιες. (κατα κορυφη) και ˆΟ 3 ˆΟ 4, ˆΟ ˆΟ 4 (κατα κορυφη) 1 3 Ο 4 οποτε και τα τοξα στα οποια βαινουν ειναι ισα, δηλαδη. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Στο παρακατω σχημα, να βρεθουν τα τοξα Ο i i - σ κ η σ η. 1 9 Κ α τ α ν ο η σ η ς Στο παρακατω σχημα, να βρεθουν τα τοξα + i - iν) - Ο i iν)

16 14 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Το μετρο ενος τοξου ειναι αριθμος α. αρνητικος β. μηδεν γ. θετικος δ. μη αρνητικος Κυκλωστε το γραμμα που αντιστοιχει στην σωστη απαντηση. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Πως οριζεται το μετρο μιας γωνιας ; Μετρο γωνιας λεγεται το μετρο του αντιστοιχου τοξου, οταν καταστησουμε τη γωνια επικεντρη σε καποιον κυκλο. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς ν στο διπλανο σχημα ειναι μ ο, τοτε η γωνια ˆ Κ Οχι, γιατι δεν ειναι επικεντρη. θα ειναι μ ο ; Ο Κ σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σε ημικυκλιο δινονται τα σημεια, και σημειο Μ του τοξου AB, ωστε MA MB. ν Ρ σημειο του ημικυκλιου που δεν ανηκει στο τοξο AB, να αποδειξετε οτι ΡΜ 1 (Ρ + Ρ )..ν Σ σημειο του τοξου Μ, να αποδειξετε οτι ΣΜ 1 (Σ Σ ) ρκει να δειχθει οτι: ΡΜ Ρ ΡΜ + MA (1) Ρ ΡΜ - MB () Ρ+ Ρ Μ Ρ (1) + () Ρ + Ρ ΡΜ. ρκει να δειχθει οτι: ΣΜ Σ Σ Σ ΣΜ + MA (3) Μ Σ Σ MB - ΜΣ (4) (3) (4) Σ Σ ΣΜ

17 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 15 σ κ η σ η. 1 9 μ π ε δ ω σ η ς Σε ημικυκλιο διαμετρου θεωρουμε σημειο τετοιο ωστε - 8. Να βρειτε τα μετρα: των τοξων των γωνιων και Οˆ και Οˆ (Ο ειναι το κεντρο του κυκλου) (+ ) (- ) ˆΟ 13 ο και ˆΟ 5 ο (aντιστοιχες επικεντρες). Ο σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς υο γωνιες ειναι συμπληρωματικες. ν η μια ειναι διπλασια απο την αλλη, να βρειτε ποσες μοιρες ειναι καθεμια απο τις γωνιες αυτες. στω ω, φ οι δυο γωνιες. ω + φ 9 φ + φ 9 3φ 9 φ 3 φ 3 ω φ ω φ ω φ ω 3 ω 6 σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ν μια γωνια ω ειναι τα 6 / 5 μιας ορθης γωνιας, να υπολογισετε σε μοιρες την παραπληρωματικη της. Η γωνια ω εχει συμπληρωματικη γωνια;. 6 ω L 5 6 ω 5 9 ο 6 18 ο 18 ο ν φ η παραπληρωματικη της ω, τοτε φ 18 ο ω 18 ο 18 ο 7 ο. Η ω δεν εχει συμπληρωματικη, αφου ειναι αμβλεια ( ω > 9 ο ). σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Η παραπληρωματικη μιας γωνιας ω ειναι τριπλασια της συμπληρωματικης γωνιας της ω. Να υπολογισετε την ω. 18 ο ω 3(9 - ω) 18 ο ω 7-3ω 3ω ω 7-18 ω 9 ω 45

18 16 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α σ κ η σ η. 1 9 π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Μια γωνια φ ειναι μικροτερη απο τη συμπληρωματικη της κατα ο. Να υπολογισετε τις δυο γωνιες. ιναι φ + ο 9 ο φ φ 7 ο φ 35 ο Η συμπληρωματικη της φ θα ειναι: 9 ο 35 ο 55 ο. σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Τεσσερις ημιευθειες Ο, Ο, Ο, Ο σχηματιζουν τις διαδοχικες γωνιες Οˆ, Ο ˆ Ο ˆ, που εχουν μετρα αναλογα με τους αριθμους 1,, 3, 4. Να υπολογισετε τις γωνιες αυτες. Οˆ, ω φ ρ σ ω + φ + ρ + σ ω 1 36 ω 36 φ 36 φ 7 ρ 3 36 ρ 18 σ 4 36 σ 144 σ κ η σ η. 1 Σε ευθεια ε θεωρουμε τα διαδοχικα τμηματα,,, ωστε < ονομαζουμε, Ζ τα μεσα των, αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι Ζ το ειναι εσωτερικο σημειο του τμηματος το Ζ ειναι εσωτερικο σημειο του τμηματος Θετουμε x, y, ω. + x + y Ζ Ζ ω - ω - y+ω ω - y - ω ω - y x + y ω - y x+ω Ζ + Ζ + - Ζ x + ω, < - Ζ και

19 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α 17 σ κ η σ η. Σε ευθεια ε παιρνουμε δυο διαδοχικα τμηματα,. ν,, Ζ ειναι τα μεσα των,, αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι τα τμηματα, Ζ εχουν κοινο μεσο. Ζ Θετουμε x, y - x Ζ Ζ - - x ρα τα τμηματα, Ζ εχουν κοινο μεσο. Ζ σ κ η σ η. 3 Σε ευθεια ε θεωρουμε τα διαδοχικα τμηματα,, και ονομαζουμε το μεσο του. Να αποδειξετε οτι >. Θετουμε x, y, ω. + y+ω x + y + ω x + y x + ω + x + x + x x + y > σ κ η σ η. 4 Θεωρουμε κυκλο (Ο, R) και τα διαδοχικα σημεια του,,,, ωστε 45 και 15, 15. Να αποδειξετε οτι η διχοτομος της γωνιας Ο ειναι αντικειμενη ημιευθεια της Ο. στω Μ το μεσο του. Τοτε ΟΜ διχοτομος της Ο Μ 3 Μ +Μ ρα ΟΜ, Ο αντικειμενες. A Ο M

20 18 α σ ι κ α ε ω μ ε τ ρ ι κ α Σ χ η μ α τ α σ κ η σ η. 5 ινεται ημικυκλιο διαμετρου, Μ το μεσο του τοξου τοξου Μ μετρο του τοξου.. ν και τα μεσα των τοξων Κ, ΜΚ και Κ τυχαιο σημειο του αντιστοιχα, να υπολογισετε το στω (Κ) x () (Κ) - (Κ) (Κ) (ΜΚ) - x (AK) - (AM) - x x x - x Μ Κ Ο

21 Τ ρ ι γ ω ν α 19 σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Στις προεκτασεις των πλευρων, ενος τριγωνου θεωρουμε τμηματα και αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, ˆ ˆ (κατακορυφη) οποτε 1 1 σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σε ισοπλευρο τριγωνο προεκτεινουμε τις πλευρες,, και στις προεκτασεις τους θεωρουμε τμηματα Κ Λ Μ. Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ΚΛΜ ειναι ισοπλευρο. Τα τριγωνα ΜΚ, ΚΛ και ΜΛ ειναι ισα γιατι : (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα Μ Κ Λ (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, ΜΚ ΚΛ ΜΛ 1 οποτε ΜΚ ΚΛ ΛΜ ρα το τριγωνο ΚΛΜ ειναι ισοπλευρο. Κ Μ Λ σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να αποδειξετε οτι στις ισες πλευρες δυο ισων τριγωνων αντιστοιχουν ισες διαμεσοι. Τα τριγωνα και Ζ ειναι ισα γιατι : (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα Μ Λ (μισα ισων) : στοιχεια τους ειναι ισα, (υποθεση) οποτε Μ Λ Μ Λ Ζ σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς στω τριγωνο και η διχοτομος της ˆ στην οποια θεωρουμε τμημα και τμημα Ζ. Να αποδειξετε οτι ˆ ˆ Ζ. Τα τριγωνα Ζ και ειναι ισα γιατι: (υποθεση) Ζ (υποθεση)

22 Τ ρ ι γ ω ν α Ζ ( διχοτομος) ρα και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι ισα, οποτε Ζ Ζ σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς στω τριγωνο και Κ σημειο εξωτερικο του τριγωνου. ν στις προεκτασεις των Κ, Κ, Κ θεωρησουμε τμηματα Κ Κ, Κ Κ, ΚΖ Κ, να αποδειξετε οτι Ζ ˆ ˆ. Τα τριγωνα Κ και Κ ειναι ισα γιατι : Κ Κ (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα Κ Κ Λ (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, Κ Κ (κατακορυφη) οποτε Κ Κ (1) Τα τριγωνα Κ και ΚΖ ειναι ισα γιατι : Κ Κ (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα Κ Κ Ζ (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, Κ ΖΚ (κατακορυφη) οποτε Κ ΚΖ () πο (1) + () : Κ + Κ Κ + ΚΖ Ζ Ζ Κ σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ινεται ισοσκελες τριγωνο. Στις προεκτασεις των ισων πλευρων του, θεωρουμε ισα τμηματα, αντιστοιχα. ν Μ το μεσο της βασης, να αποδειξετε οτι το τριγωνο Μ ειναι ισοσκελες. Τα τριγωνα Μ και Μ ειναι ισα γιατι : Μ Μ (Μ μεσο ) ρα και τα υπολοιπα (αθροισμα ισων) : στοιχεια τους ειναι ισα, (Τριγ. ισοσκελες) οποτε Μ Μ ρα το τριγωνο Μ ειναι ισοσκελες. Μ

23 Τ ρ ι γ ω ν α 1 σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ινεται κυκλος Ο και χορδη του. Προεκτεινουμε την και προς τα δυο της ακρα, κατα ισα τμηματα και αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι Ο ˆ Ο ˆ. Τα τριγωνα Ο και Ο ειναι ισα γιατι : Ο Ο (ακτινες) ρα και τα υπολοιπα (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, Ο Ο (παραπληρωματι - κες ισων γωνιων) οποτε Ο Ο Ο σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Χαρακτηριστε ως σωστη ( Σ ) η λαθος ( Λ ) καθε μια απο τις επομενες προτασεις να τριγωνο ειναι οξυγωνιο οταν μια γωνια του ειναι οξεια Σ Λ να τριγωνο ειναι σκαληνο οταν δυο πλευρες του ειναι ανισες Σ Λ σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς ιατυπωστε τα τρια κριτηρια ισοτητας τριγωνων. ν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες τους ισες μια προς μια και τις περιεχομενες απο αυτες γωνιες ισες, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. ν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα και τις προσκειμενες σε αυτη γωνιες ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. i ν δυο τριγωνα εχουν τις πλευρες τους ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Συμπληρωστε τα κενα Σε καθε ισοσκελες τριγωνο η διχοτομος της γωνιας της κορυφης του ειναι διαμεσος και υψος. Σε καθε ισοσκελες τριγωνο η διαμεσος στην βαση του ειναι διχοτομος και υψος. i να σημειο Μ βρισκεται στην μεσοκαθετο ενος τμηματος οταν Μ Μ. iν) υο τοξα ενος κυκλου ειναι ισα οταν οι αντιστοιχες χορδες τους ειναι ισες.

24 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς υο τριγωνα και εχουν β β, γ γ και A ˆ Aˆ. ν Ι ειναι το σημειο τομης των διχοτομων και του τριγωνου και Ι το σημειο τομης των διχοτομων και του, να αποδειξετε οτι: και Ι Ι και Ι Ι Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : '' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα '' (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, ' (υποθεση) οποτε ' (1) Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : '' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα ''' (μισες ισων) : στοιχεια τους ειναι ισα, ' (λογω (1)) οποτε '' Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : Ι Ι '' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα '' ' (μισες ισων) : στοιχεια τους ειναι ισα, ' (υποθεση) οποτε '' Τα τριγωνα Ι και ''Ι' ειναι ισα γιατι : '' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα Ι '' Ι' (μισες ισων) : στοιχεια τους ειναι ισα, Ι ''Ι' (μισες ισων) οποτε Ι 'Ι' Ι 'Ι' σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς υο τριγωνα και εχουν β β, A ˆ A ˆ και Να αποδειξτε οτι: ˆ ˆ α α και γ γ. Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : '' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα '' (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, ''' (μισες ισων) οποτε ' δ δ. α α

25 Τ ρ ι γ ω ν α 3 Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : '' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα ' (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, ' (λογω () οποτε α α' και γ γ' σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σε τριγωνο προεκτεινουμε τη διαμεσο Μ κατα ισο τμημα Μ. Να αποδειξτε οτι τα τριγωνα και ειναι ισα. Φερνουμε τις,. Τα τριγωνα Μ και Μ ειναι ισα γιατι : Μ Μ (Μ μεσο ) ρα και τα υπολοιπα Μ Μ (Μ μεσο ) : στοιχεια τους ειναι ισα, Μ Μ (κατακορυφη) οποτε (1) Τα τριγωνα Μ και Μ ειναι ισα γιατι : Μ Μ (Μ μεσο ) ρα και τα υπολοιπα Μ Μ (Μ μεσο ) : στοιχεια τους ειναι ισα, Μ Μ (κατακορυφη) οποτε () M Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : κοινη (λογω (1)) (λογω ()) σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Να αποδειξτε οτι οι διχοτομοι των γωνιων της βασης ισοσκελους τριγωνου ειναι ισες. στω το ισοσκελες τριγωνο και, οι διχοτομοι. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : κοινη ρα και τα υπολοιπα (Τριγ. ισοσκελες) : στοιχεια τους ειναι ισα, (μισες ισων) οποτε

26 4 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ν,, ειναι τρεις διαμετροι κυκλου, να αποδειξτε οτι τα τριγωνα, ειναι ισα. Τα τριγωνα Ο και Ο'' ειναι ισα γιατι: Ο Ο' (ακτινες) ρα και τα υπολοιπα Ο Ο' (ακτινες) : στοιχεια τους ειναι ισα, Ο 'Ο' (κατακορυφη) οποτε '' (1) Τα τριγωνα Ο και Ο'' ειναι ισα γιατι: Ο Ο Ο' (ακτινες) ρα και τα υπολοιπα Ο Ο' (ακτινες) : στοιχεια τους ειναι ισα, Ο 'Ο' (κατακορυφη) οποτε '' () Τα τριγωνα Ο και Ο'' ειναι ισα γιατι: Ο Ο' (ακτινες) ρα και τα υπολοιπα Ο Ο' (ακτινες) : στοιχεια τους ειναι ισα, Ο 'Ο' (κατακορυφη) οποτε '' (3) Οι (1), () και (3), εξασφαλιζουν οτι τα τριγωνα και ειναι ισα. σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Σε ενα κυρτο τετραπλευρο ειναι και Φερνουμε τις διαγωνιες,. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : κοινη ρα και τα υπολοιπα (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, (υποθεση) οποτε (1) Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : κοινη ρα και τα υπολοιπα (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, (λογω (1)) οποτε ˆ ˆ. Να αποδειξτε οτι ˆ ˆ.

27 Τ ρ ι γ ω ν α 5 σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς Θεωρουμε δυο ισα τριγωνα και. Η διαμεσος Μ και η διχοτομος του τεμνονται στο Θ, ενω η αντιστοιχη διαμεσος Μ και η αντιστοιχη διχοτομος του τεμνονται στο Θ. Να αποδειξετε οτι BAM ˆ BAˆ M i Τα τριγωνα Θ και Θ ειναι ισα iv) Θ Θ και Θ Θ. Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι: '' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα στοι - ' (υποθεση) : χεια τους ειναι ισα, οποτε ' (μισες ισων) '' Τα τριγωνα Μ και ''Μ' ειναι ισα γιατι: '' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα στοι - ' (υποθεση) : χεια τους ειναι ισα, οποτε Μ 'Μ' (μισες ισων) Μ ''Μ' i Τα τριγωνα Θ και ''Θ' ειναι ισα γιατι: '' (υποθεση) Μ ''Μ' (λογω () Θ ''Θ' (μισες ισων) iv) Θ M Θ Μ AΘ Θ προκυπτει απ την ισοτητα των τριγωνων της περιπτωσης (i. Θ Θ προκυπτει σαν διαφορα ι- σων ( ( Θ Θ (. σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς υο τμηματα και, που δεν εχουν τον ιδιο φορεα, εχουν την ιδια μεσοκαθετο ε. ν η ε και η μεσοκαθετος του τεμνονται, να αποδειξετε οτι απο το σημειο τομης τους διερχεται και η μεσοκαθετος του. στω Ο το σημειο τομης της μεσοκαθετου ε των, με τη μεσοκαθετο του. ε Φερνουμε τα Ο, Ο, Ο και Ο. Τοτε Ο Ο Ο Ο, που σημαινει οτι το Ο Ο Ο ισαπεχει απ'τα και, οποτε Ο Ο ανηκει στη μεσοκαθετη του. Ο

28 6 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς στω ισοσκελες τριγωνο ( ). Η μεσοκαθετη της πλευρας τεμνει την προεκταση της στο. Προεκτεινουμε τη κατα τμημα. Να αποδειξετε οτι: το τριγωνο ειναι ισοσκελες το τριγωνο ειναι επισης ισοσκελες. Το σημειο ανηκει στη μεσοκαθετο του, οποτε και το τριγωνο ισοσκελες. Τριγωνο ισοσκελες ( ). ρα (1) Μ Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : (Τριγ. ισοσκελες) ρα και τα υπολοιπα (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, (λογω (1)) οποτε ηλαδη το τριγωνο ειναι ισοσκελες. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς στω ευθεια ε και σημειο εκτος αυτης. ν ε και ε (, σημεια της ε) τοτε B Σ Λ Σ Λ i Σ Λ ιτιολογηστε την απαντηση σας. (Σ) : ιατι απο ενα σημειο εκτος ευθειας αγεται μια μονο καθετη προς την ευθεια. (Λ) : Προφανως αφου ειναι σωστο το ( i (Σ) : ιατι τα ευθυγραμμα τμηματα και ταυτιζονται. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς στω ισοσκελες τριγωνο ( ), σημειο της βασης του και οι προτασεις π1: Το ειναι υψος του τριγωνου π :Το ειναι διαμεσος του τριγωνου π3: Το ειναι διχοτομος του τριγωνου

29 Τ ρ ι γ ω ν α 7 ν για το ισχυει μια απο τις προτασεις π1, π, π3 ισχυουν οι αλλες δυο; Ναι σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς ιατυπωστε τις ανακεφαλαιωτικες περιπτωσεις ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων υο ορθογωνια τριγωνα ειναι ισα οταν εχουν δυο ομολογες πλευρες τους ισες μια προς μια. υο ορθογωνια τριγωνα ειναι ισα οταν εχουν μια πλευρα και την προσκειμενη σ αυτη οξεια γωνια αντιστοιχα ισες μια προς μια. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Στο διπλανο σχημα εχουμε σχεδιασει οκτω ορθογωνια τριγωνα. Καθενα απο αυτα ειναι ισο με ενα απο τα υπολοιπα. Να βρειτε τα ζευγη των ισων τριγωνων και να αναφερετε τον λογο για τον οποιο ειναι ισα Ζ Η Θ Το ειναι ισο με το διοτι εχουν τις καθετες πλευρες τους ισες μια προς μια. Το ειναι ισο με το Ζ διοτι εχουν μια καθετη πλευρα και την προσκειμενη σ αυτη οξεια γωνια ισες. i Το ειναι ισο με το Θ διοτι εχουν την υποτεινουσα και μια προσκειμενη σ αυτη οξεια γωνια ισες. iν) Το ειναι ισο με το Η διοτι εχουν τις υποτεινουσες και μια καθετη πλευρα μια προς μια ισες

30 8 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Συμπληρωστε τα κενα στην επομενη προταση: Ο φορεας του αποστηματος μιας χορδης ειναι μεσοκαθετος της χορδης και διχοτομει το αντιστοιχο στην χορδη τοξο. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς ν, ειναι χορδες ενος κυκλου ( Κ ) και Κ, ΚΖ ειναι τα αντιστοιχα αποστηματα τους τοτε α. γ. ε. Κ 1 ΚΖ β. Κ ΚΖ δ. Κ < ΚΖ Κ > ΚΖ 1 Κ κυκλωστε την σωστη απαντηση και δικαιολογησετε την απαντηση σας. 1 3 ΚΖ Σωστη απαντηση ειναι η (γ) γιατι δυο χορδες ενος κυκλου ειναι ισες αν και μονο αν τα αποστηματα τους ειναι ισα. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Ποια ειναι η χαρακτηριστικη ιδιοτητα των σημειων της διχοτομου μιας γωνιας ; Ισαπεχουν απο τις πλευρες της γωνιας. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς υο ορθογωνια τριγωνα που εχουν δυο πλευρες τους ισες ειναι παντοτε ισα ; αιτιολογηστε την απαντηση σας. Οχι, θα πρεπει οι πλευρες να ειναι ομολογες. σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να αποδειξετε οτι τα υψη ισοσκελους τριγωνου, που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες του, ειναι ισα. στω και, τα υψη. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα κοινη : στοιχεια τους ειναι ισα, (Τριγ. ισοσκελες) οποτε

31 Τ ρ ι γ ω ν α 9 σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να αποδειξετε οτι τα μεσα των ισων πλευρων ισοσκελους τριγωνου ισαπεχουν: απο τη βαση απο τις ισες πλευρες στω και τα μεσα και Κ, Λ οι αποστασεις απ τη βαση. Τα τριγωνα Κ και Λ ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα (Τριγ. ισοσκελες) : στοιχεια τους ειναι ισα, (μισα ισων) οποτε Κ Λ στω Ι, Θ οι αποστασεις των μεσων απ τισ πλευρες. Τα τριγωνα Ι και Θ ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα κοινη : στοιχεια τους ειναι ισα, (μισα ισων) οποτε Ι Θ Θ Ι Κ Λ σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να αποδειξετε οτι τα ακρα ενος τμηματος ισαπεχουν απο καθε ευθεια που διερχεται απο το μεσο του. στω το τμημα με μεσο Μ, ε η ευθεια και Κ, Λ οι αποστασεις των, απο την ε. Τα τριγωνα ΜΚ και ΜΛ ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα ΜΚ ΜΛ (κατακορυφη) : στοιχεια τους ειναι ισα, ΜΚ ΜΛ (Μ μεσο ΚΛ) ο ποτε Κ Λ ε Μ Λ Κ σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ν δυο τριγωνα ειναι ισα, να αποδειξετε οτι και τα υψη τους, που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες, ειναι ισα. στω και τα αντιστοιχα υψη. Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα ' (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, '' (υποθεση) οποτε ''

32 3 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς στω ισοσκελες τριγωνο ( ) και Μ το μεσο της βασης του. Να αποδειξετε οτι: το Μ ισαπεχει απο τις ισες πλευρες του τριγωνου η Μ ειναι διχοτομος της γωνιας που σχηματιζουν οι αποστασεις του Μ απο τις ισες πλευρες μεταξυ τους. Τα τριγωνα Μ και Μ ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα Μ κοινη : στοιχεια τους ειναι ισα, Μ Μ (υποθεση) οποτε Μ Μ π'τη προηγουμενη ισοτητα τριγωνων ειναι : Μ Μ που σημαινει οτι η Μ ειναι διχοτομος της Μ. Μ σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Να αποδειξετε οτι αν σε δυο τριγωνα και ειναι τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. α α, υ υ και α α μ μ α α Τα τριγωνα Μ και ''Μ' ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα Μ 'Μ' (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, '' (υποθεση) οποτε Μ 'Μ'' (1) Τα τριγωνα Μ και ''Μ' ειναι ισα γιατι : Μ 'Μ' (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα Μ 'Μ' (μισα ισων) : στοιχεια τους ειναι ισα, Μ Μ 'Μ'' (λογω (1)) οποτε ' και '' () υα μα Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : '' (υποθεση) '' (λογω ()) ' (λογω ()) υα μα Μ σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Να αποδειξετε οτι αν σε δυο οξυγωνια τριγωνα και ειναι και υ υ τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. γ γ α α, υ υ β β

33 Τ ρ ι γ ω ν α 31 Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα '' (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, '' (υποθεση) οποτε ' (1) Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα '' (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, '' (υποθεση) οποτε ' () Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : '' (υποθεση) ' (λογω (1)) ' (λογω ()) σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ινεται ορθογωνιο τριγωνο ( ˆ 1L ) και η διχοτομος του. πο το φερουμε, που τεμνει την στο Ζ. Να αποδειξετε οτι το τριγωνο Ζ ειναι ισοσκελες. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα στοι - κοινη : χεια τους ειναι ισα, οποτε (υποθεση) (1), () Τα τριγωνα Ζ και ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα στοι - (λογω (1)) : χεια τους ειναι ισα, οποτε Ζ (κατακορυφη) Ζ (3) Ζ () + (3) : + Ζ + Ζ που σημαινει οτι το τριγωνο Ζ ισοσκελες. σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ινεται κυκλος (Ο, R), οι ισες χορδες του, και τα αποστηματα τους ΟΚ και ΟΛ αντιστοιχα. ν οι προεκτασεις των και τεμνονται στο Μ, να αποδειξετε οτι: τα τριγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ ειναι ισα MA M και Μ Μ Aφου οι χορδες, ειναι ισες, το και τα αντιστοιχα αποστηματα: ΟΚ ΟΛ (1)

34 3 Τ ρ ι γ ω ν α Τα τριγωνα ΚΟΜ και ΛΟΜ ειναι ισα γιατι : Μ Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα ΟΜ κοινη : στοιχεια τους ειναι ισα, ΟΚ ΟΛ (λογω (1)) οποτε ΜΚ ΜΛ () Κ μεσο, Λ μεσο και. τσι Κ Κ Λ Λ (3) ρα (-) ΜΚ ΜΛ ΜΚ -Κ ΜΛ - Λ Μ Μ Κ Λ Κ Ο Λ ΜΚ ΜΛ Κ Λ (+) ΜΚ + Κ ΜΛ + Λ Μ Μ σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς Θεωρουμε τριγωνο. Η διχοτομος της γωνιας Â τεμνει τη μεσοκαθετο της στο σημειο. στω και Ζ οι προβολες του στις πλευρες και αντιστοιχα. Να συγκρινεται τα τριγωνα και Ζ Να λυσετε το ιδιο προβλημα θεωρωντας την εξωτερικη διχοτομο της Â, η οποια τεμνει τη μεσοκαθετο της στο σημειο, με προβολες τα σημεια, Ζ στις πλευρες και αντιστοιχα. i Nα αποδειξετε οτι EE και ΖΖ ανηκει στη μεσοκαθετο της (1) ανηκει στη διχοτομο της E ˆ Z ˆ 1L (3) πο (1), (), (3) προκυπτει: τριγωνο τριγωνο Ζ Â Ζ () ανηκει στη μεσοκαθετο της (4) ανηκει στη διχοτομο της Â Ζ (5) εξ E ˆ Z ˆ 1 L (6) πο (4), (5), (6) προκυπτει: τριγωνο τριγωνο Ζ x y y Ζ Μ Ζ x i πο ( : Ζ x τριγωνο τριγωνο Ζ (ορθογωνια, κοινη και διχοτομος). ρα Ζ + x A x x A (7) τριγωνο τριγωνο Ζ (ορθογωνια, κοινη και εξ. διχοτομος).

35 Τ ρ ι γ ω ν α 33 ρα Ζ y πο ( : Ζ + Ζ + y y y (8) (7), (8) x y - λλα + + x + + y x + BA A + ΖΖ Ζ Ζ y x x A ( ) σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς ν δυο ορθογωνια τριγωνα, εχουν μια καθετη πλευρα ιση και η περιμετρος του ενος ειναι ιση με την περιμετρο του αλλου, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. στω (1) Προεκτεινουμε την κατα τμημα και την κατα τμημα. H (1) δινει: () Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : Ορθογωνια ρα και τα υπολοιπα '' (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, '' (λογω ()) οποτε ', '' (3) Η (3) εξασφαλιζει οτι τα ισοσκελη τριγωνα και εινα ισα (ισες βασεις και οι προσκειμενες γωνιες). ρα Τελικα τα τριγωνα και ειναι ισα αφου ειναι ορθογωνια με και. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Συμπληρωστε τα κενα στις επομενες προτασεις. Ο γεωμετρικος τοπος των κορυφων των ισοσκελων τριγωνων με γνωστη βαση ειναι η μεσοκαθετος της βασης. Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων που ισαπεχουν απο δυο τεμνομενες ευθειες ειναι οι διχοτομοι των γωνιων που σχηματιζουν οι ευθειες. σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κορυφων των τριγωνων, που εχουν σταθερη την πλευρα και τη διαμεσο Μ με γνωστο μηκος. ν τυχαιο σημειο του γ.τοπου, τοτε : Μ μ (δηλαδη το σημειο απεχει απο το σταθερο σημειο Μ αποσταση μ).

36 34 ηλαδη το σημειο ανηκει στον κυκλο ( Μ, μ). ρα ο γ. τοπος της κορυφης ειναι ο κυκλος (Μ, μ), εκτος απο τα σημεια A', A'' στα οποια η ευθεια τεμνει τον κυκλο, αφου τοτε δεν οριζεται τριγωνο. Τ ρ ι γ ω ν α μ Μ σ κ η σ η 3. 7 μ π ε δ ω σ η ς ινεται κυκλος (Ο,R). ν Ν τυχαιο σημειο του κυκλου και Μ σημειο στην προεκταση της ΟΝ, ωστε ΟΝ ΝΜ, να βρεθει ο γεωμετρικος τοπος του Μ, οταν το Ν διαγραφει τον κυκλο. ν Μ τυχαιο σημειο του γ. τοπου, τοτε : ΝΜ ΟΝ ΟΜ R (δηλαδη το M απεχει απο το σταθερο σημειο O αποσταση R) ηλαδη το σημειο M ανηκει στον κυκλο ( O, R). ρα ο γεωμετρικος τοπος του σημειου Μ ειναι ο κυκλος (Ο, R). Μ Ν R Ο σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να σχεδιaσετε τους aξονες συμμετρiας των γραμμaτων:,,, Η, Τ, Χ, Ψ. A B Η Τ Χ Ψ σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ινεται τριγωνο και σημειο Ο. ν,, ειναι τα συμμετρικα των,, ως προς το κεντρο Ο αντιστοιχα, να αποδειχθει οτι τα τριγωνα ειναι συμμετρικα ως προς το Ο και ισα. Καθε πλευρα του τριγωνου ειναι συμμετρικη αντιστοιχης πλευρας του τριγωνου ως προς κεντρο συμμετριας το Ο. ρα τα δυο τριγωνα ειναι συμμετρικα. ιναι (1) σαν συμμετρικα ευθ. τμηματα. Ομοια () και (3).

37 Τ ρ ι γ ω ν α 35 Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : '' (λογω (1)) '' (λογω ()) '' (λογω (3)) Ο σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ν xay ˆ Ο, εξωτερικο της ειναι η συμμετρικη της γωνιας ˆ xay ˆ xay, τοτε να αποδειχθει οτι, ως προς κεντρο συμμετριας ενα σημειο xay ˆ ˆ xay. Θεωρουμε σημειο της πλευρας x και σημειο της πλευρας y. Τα συμμετρικα τους,, ως προς κεντρο συμμετριας Ο, θα ανηκουν στις x, y αντιστοιχα. y ιναι (1) σαν συμμετρικα ευθ. τμηματα. Ομοια () και (3). Τα τριγωνα και ''' ειναι ισα γιατι : '' (λογω (1)) '' (λογω ()) '' (λογω (3)) x x Ο y σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να αποδειξετε οτι το συμμετρικο ενος τριγωνου, ως προς την ευθεια, ειναι τριγωνο ισο με το. Τα τριγωνα και ' ειναι ισα γιατι : A ' (συμμετρικα) κοινη ' (συμμετρικα) B

38 36 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Να αποδειξετε οτι η διχοτομος μιας γωνιας ειναι αξονας συμμετριας της. στω ˆ xoy η γωνια και Οδ η διχοτομος. Θεωρουμε τυχαιο σημειο της πλευρας Οx. Φερνουμε Κ Οδ και την προεκτεινουμε μεχρι να τμησει την Οy σε σημειο. τσι, το ΟΚ ειναι διχοτομος και υψος του τριγωνου Ο αρα και διαμεσος. Οποτε το ειναι το συμμετρικο του ως προς αξονα συμμετριας τη διχοτομο. Ο Κ x δ y σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς στω ε, ε δυο καθετοι που τεμνονται στο Ο και ενα τυχαιο σημειο Μ. ν Μ ειναι το συμμετρικο του Μ ως προς ε και Μ το συμμετρικο του Μ ως προς ε, τοτε να αποδειξετε οτι: ΟΜ ΟΜ τα σημεια Μ, Ο, Μ ειναι συνευθειακα. ΟΜ ΟΜ σαν συμμετρικα ΟΜ ΟΜ σαν συμμετρικα ρα ΟΜ ΟΜ O ˆ O ˆ σαν συμμετρικες 1 O ˆ O ˆ σαν συμμετρικες 3 4 ρα O ˆ + O ˆ + O ˆ + O ˆ O ˆ + O ˆ + O ˆ ˆ O 3 ρα ΜΟΜ ειναι ευθεια. Ô + Ô 3 ( ε Ο Ô + ε Μ Μ Μ Ô 3 ) 9 ο 18 ο. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Χαρακτηριστε ( Σ ) σωστη η λαθος (Λ ) καθε μια απο τις επομενες προτασεις Η εξωτερικη γωνια ˆεξ τριγωνου ειναι μεγαλυτερη απο την ˆ. Σ Λ Η εξωτερικη γωνια ˆεξ τριγωνου ειναι μικροτερη απο την ˆ. Σ Λ i Το αθροισμα δυο γωνιων ενος τριγωνου ειναι 18 ο Σ Λ iν) ν β > γ σε τριγωνο τοτε ˆ ˆ και αντιστροφα Σ Λ ν) ν β γ σε τριγωνο τοτε ˆ ˆ και αντιστροφα Σ Λ

39 Τ ρ ι γ ω ν α 37 σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς ια το τριγωνο του παρακατω σχηματος ισχυει α. α 7, β. α 1, γ. 1 < α < 7, δ. α > 7, ε. < α < 1 κυκλωστε το γραμμα της σωστης απαντησης και αιτιολογηστε την απαντηση σας. 3 4 α Συμφωνα με την τριγωνικη ανισοτητα για την πλευρα α ειναι : 4 3 < α < < α < 7 σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Υπαρχει τριγωνο με α γ 3 και β 3γ 5 ; ικαιολογηστε την απαντηση σας. ιναι γ 3γ 14γ α + β < γ αρα δεν υπαρχει τριγωνο με τα παραπανω στοιχεια. σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Στο παρακατω σχημα ειναι A B ˆ > ˆ. Να αποδειξετε οτι ˆ B > (υποθεση) 1 1 B (+) > > 18 1 > 9 1 > (εξωτερικη) σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ν σε κυρτο τετραπλευρο ισχυουν και. Τι συμπεραινετε για τη ; ˆ ˆ, να αποδειξετε οτι (-) 1 1 ( ) (υποθεση) Τριγωνο ισοσκελες ( ) φου το ισαπεχει απο τα, θα ανηκει στη μεσοκαθετη του. Ομοια για το. ρα η ειναι μεσοκαθετη του. A 1 1

40 38 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ινεται τριγωνο με Τι ειδους γωνια ειναι η ˆ ˆ ˆ ;. Να αποδειξετε οτι το υψος απο την κορυφη τεμνει την ευθεια σε εσωτερικο σημειο της πλευρας. ˆ + ˆ ˆ ˆ < 18 ο ˆ < 18 ο ˆ < 9 ο (οξεια) στω το μεσο της. Τοτε διαμεσος αρα και υψος, με το να ειναι εσωτερικο σημειο της, αφου ειναι μεσο της. σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ινεται τριγωνο και σημειο της ημιευθειας x που περιεχει το. Να αποδειξετε οτι η γωνια ˆ ειναι μεγαλυτερη, ιση η μικροτερη της γωνιας ˆ, αν το σημειο βρισκεται μεταξυ των και, ταυτιζεται με το η βρισκεται μετα το. ν το βρισκεται μεταξυ των και : ˆ > ˆ (σαν 1 εξωτερικη και απεναντι εσωτερικη του τριγωνου ). ν το ταυτιζεται με το, προφανως ˆ ˆ 1 ν το βρισκεται μετα το : ˆ > ˆ 1 (σαν εξωτε- ρικη και απεναντι εσωτερικη του τριγωνου ). B 1 A 1 σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ν Μ σημειο της βασης ισοσκελους τριγωνου, να αποδειξετε οτι Μ <. Στο τριγωνο Μ η γωνια Μ 1 ειναι εξωτερικη. τσι Μ 1 > Μ 1 > Στο τριγωνο Μ, απεναντι μεγαλυτερης γωνιας βρισκεται μεγαλυτερη πλευρα. τσι Μ 1 > > Μ 1 Μ

41 Τ ρ ι γ ω ν α 39 σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Σε ορθογωνιο τριγωνο ( στο. Να αποδειξετε οτι <. ˆ 9 ο ), η διχοτομος της γωνιας ˆ τεμνει την πλευρα Φερνουμε Κ. ιναι Κ (1) σαν αποστασεις του σημειου της διχοτομου απο τις πλευρες της γωνιας. Στο ορθογωνιο τριγωνο Κ ειναι : Κ < () Κ πο τις (1), () προκυπτει : < σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς στω τριγωνο και Ο σημειο στο εσωτερικο του τριγωνου. Οι Ο και Ο τεμνουν τις και στα σημεια Λ και Μ αντιστοιχα. ν ισχυει Ο Ο και ΟΛ ΟΜ να αποδειξετε οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες. Το τριγωνο Ο ισοσκελες (Ο ), οποτε A Ο Ο (1) Τα τριγωνα Μ και Λ ειναι ισα γιατι : κοινη ρα και τα υπολοιπα Μ Λ (αθροισμα ισων) : στοιχεια τους ειναι ισα, Ο Ο (λογω (1)) οποτε () Μ Ο Λ Η () εξασφαλιζει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες. B σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς στω ισοσκελες τριγωνο ( ) και Κ, Λ τα μεσα των, αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι, αν οι εξωτερικες διχοτομοι των γωνιων του στο σημειο, τοτε το τριγωνο ΚΛ ειναι ισοσκελες. (υποθεση) Τριγωνο εξ εξ ˆ και ισοσκελες και (1) Κ Τα τριγωνα Κ και Λ ειναι ισα γιατι : Κ Λ (μισα ισων) ρα και τα υπολοιπα (λογω (1)) : στοιχεια τους ειναι ισα, (αθροισμα ισων) οποτε Κ () Η () εξασφαλιζει οτι το τριγωνο ΚΛ ειναι ισοσκελες. ˆ τεμνονται A Λ

42 4 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Θεωρουμε ισοσκελες τριγωνο ( ) και Ι το σημειο τομης των διχοτομων των γωνιων. Να αποδειξετε οτι: Το τριγωνο Ι ειναι ισοσκελες ˆ, ˆ Η Ι ειναι διχοτομος της ˆ. ˆ ˆ ˆ ˆ τριγωνο Ι ισοσκελες με Ι Ι (1) Τα τριγωνα Ι και Ι ειναι ισα γιατι : Ι κοινη ρα και τα υπολοιπα (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, Ι Ι (λογω (1)) οποτε 1 () 1 Ι Η () εξασφαλιζει οτι η Ι ειναι διχοτομος της γωνιας. σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Οι κωμοπολεις Κ 1, Κ, Κ 3 απεχουν απο την πολη Π αποστασεις 7, 6 και 1 km αντιστοιχα. να αυτοκινητο ξεκιναει απο την κωμοπολη και ακολουθωντας τη διαδρομη Κ Κ 1 Κ 3 Κ 1 Κ επιστρεφει στην Κ. Ο χιλιομετρητης του γραφει οτι για αυτη τη 1 1 διαδρομη διηνυσε αποσταση 48 km. ιναι αυτο δυνατον; Κ 7km Π 6km 1km K1 K3 Συμφωνα με τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο ΠΚ1Κ ειναι K K < ΠΚ + ΠΚ K K < K K < 13 (1) ΠΚΚ3 ειναι K K < ΠΚ + ΠΚ K K < 6 +1 K K < 16 () ΠΚ1Κ3 ειναι K K < ΠΚ + ΠΚ K K < 7 +1 K K < 17 (3) πο (1) + () + (3) : Κ Κ +Κ Κ +Κ Κ < Κ 1 Κ +Κ Κ 3 +Κ 3 Κ < 46 ατοπο.

43 Τ ρ ι γ ω ν α 41 σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς ν σε τριγωνο ισχυει α μ < α, να αποδειξετε οτι ˆ > ˆ+ ˆ. Τι ισχυει οταν α μ α η α μ > α ; στω Μ η διαμεσος μ. α τρ.μ α μ < : Μ < Μ < α 1 + < τρ.μ Μ < Μ < τρ.μ α μ : Μ Μ α 1 + τρ.μ Μ Μ τρ.μ α μ > : Μ > Μ > α 1 + > τρ.μ Μ > Μ > A 1 μα B Μ σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς στω τριγωνο με < και Μ το μεσο της. Να αποδειξετε οτι Μ ˆ > Μ ˆ. Τα τριγωνα Μ και Μ εχουν : Μ κοινη Μ Μ (Μ μεσο ) Μ < Μ < (υποθεση) 1 A 1 B Μ σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς στω τριγωνο με < και Μ το μεσο της. Να αποδειξετε οτι Μ ˆ > Μ ˆ β - γ β + γ < μ < α i μ + μ + μ < τ α β γ

44 4 Τ ρ ι γ ω ν α Προεκτεινουμε τη διαμεσο Μ κατα τμημα Μ Μ (1). Τα τριγωνα Μ και Μ ειναι ισα γιατι : Μ Μ (λογω (1)) ρα και τα υπολοιπα Μ Μ (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, Μ Μ (κατακορυφη) οποτε Μ () Στο τριγωνο ειναι: ( ) < ( ) οποτε Μ < Μ Μ < Μ B Μ μ α Τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο : γ β - γ β + γ β - γ < < β + γ β - γ < μ < β + γ < μ < α α i πο ( ειναι : μ < β + γ α (1) ομοια μ < γ + α β () μ < α +β (3) γ (1) + () + (3) : (μ + μ + μ ) < (α +β + γ) μ + μ + μ < α + β + γ α β γ α β γ μ + μ + μ α β γ < τ γ A α μ α β α σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς στω κυκλος (Ο,R) διαμετρου και σημειο Σ της ημιευθειας Ο. ια καθε σημειο Μ του κυκλου να αποδειχθει οτι Σ ΣΜ Σ. Φερνουμε την ακτινα ΟΜ. ν Μ και. Τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο ΣΟΜ : ΣΟ ΟΜ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΜ ΣΟ Ο < ΣΜ < ΣΟ + Ο Σ < ΣΜ < Σ ν Μ τοτε Σ ΣΜ < Σ ν Μ τοτε Σ < ΣΜ Σ Μ Σ σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς στω τριγωνο. ν η διχοτομος οτι : A < δ τεμνει καθετα τη διαμεσο α μ, να αποδειξετε β

45 Τ ρ ι γ ω ν α 43 δ α και Μ στω, που τεμνονται στο Κ. A Το Κ ειναι υψος και διχοτομος του τριγωνου Μ, οποτε αυτο ισοσκελες με Μ. Μ τσι Κ Μ Φερνουμε τη Μ B Η ειναι μεσοκαθετος του Μ Μ (1) Στο τριγωνο Μ ειναι : Μ < Μ + (1 ) Μ μ β < + < σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς στω κυκλος (Ο,R) και δυο τοξα ν,. να αποδειξετε οτι < στω Μ το μεσο του τοξου Τοτε. Μ Μ (αφου ) οποτε και Μ Μ (1) πο το τριγωνο Μ ειναι < Μ + Μ (1 ) < + < Ο Μ σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Να αποδειξετε οτι σε δυο ανισα τοξα ενος κυκλου αντιστοιχουν χορδες ομοια ανισες και αντιστροφα. (Περιορισμος: Τοξα μικροτερα των 18 ο ) υθυ. Υποθεση > Φερνουμε τις ακτινες στα ακρα των τοξων. Τοτε O ˆ > O ˆ ( > ). Τα τριγωνα Ο, Ο εχουν δυο πλευρες ισες και περιεχομενη γωνια ανιση, αρα > ντιστροφο Υποθεση > στω οτι ειναι. πο το ευθυ, θα ειναι που ειναι ατοπο. ρα >. Ο

46 44 Τ ρ ι γ ω ν α σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς στω κυρτο τετραπλευρο και Ο εσωτερικο σημειο του Να αποδειξετε οτι Ο + Ο + Ο + Ο > ια ποια θεση του Ο το αθροισμα Ο + Ο + Ο + Ο γινεται ελαχιστο; Τρ. Ο : Ο + Ο > Τρ. Ο : OB + O > ΤΡ. Ο : Ο + Ο > Κ ΤΡ. Ο : Ο + Ο > Προσθετουμε κατα μελη (Ο + Ο + Ο + Ο ) > Ο Ο + Ο + Ο + Ο > ν το Ο δεν ειναι σημειο της διαγωνιου, απ το τριγωνο Ο : Ο + Ο > ν το Ο ειναι σημειο της διαγωνιου, τοτε : Ο + Ο Σε καθε περιπτωση ειναι Ο + Ο (1) Ομοια Ο + Ο () (1) + () : Ο + Ο + Ο + Ο + Η ελαχιστη τιμη του αθροισματος Ο + Ο + Ο + Ο ειναι + και αυτο συμβαινει οταν το Ο συμπιπτει με το σημειο τομης των διαγωνιων. σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς Σε τριγωνο ( < ) προεκτεινουμε τις πλευρες και προς το μερος του κατα τμηματα και αντιστοιχα. Η ευθεια τεμνει την ευθεια στο σημειο Μ. Να αποδειξετε οτι : Το τριγωνο Μ ειναι ισοσκελες Η διχοτομος της Μ ˆ διερχεται απο το σημειο. Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : (υποθεση) ρα και τα υπολοιπα (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, (κατακορυφη) οποτε (1) Τα τριγωνα και ειναι ισα γιατι : κοινη ρα και τα υπολοιπα Μ (λογω (1)) : στοιχεια τους ειναι ισα, (αθροισμα ισων) οποτε ()

47 Τ ρ ι γ ω ν α 45 π τη () : Μ Μ που σημαινει οτι το τριγωνο Μ ειναι ισοσκελες. Τα σημεια, M ισαπεχουν απο τα ακρα του τμηματος, αρα ανηκουν στη μεσοκαθετη του, δηλαδη η Μ ειναι μεσοκαθετη του. Λογω του ισοσκελους Μ, η Μ θα ειναι και διχοτομος. σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς στω Ο το σημειο τομης των διαγωνιων ενος κυρτου τετραπλευρου. Να αποδειξετε οτι : Καθε διαγωνιος ειναι μικροτερη της ημιπεριμετρου του τετραπλευρου + > + και + > + i Το αθροισμα των διαγωνιων ειναι μεγαλυτερο της ημιπεριμετρου του τετραπλευρου και μικροτερο της περιμετρου του τετραπλευρου. Tριγωνο : < + (1) Tριγωνο : < + () (1) + () : < τ < τ (3) Ομοια < τ (4) Tριγωνο Ο : Ο + Ο > (5) Tριγωνο Ο : Ο + Ο > (6) (5) + (6) : + > + (7) Ομοια + > + (8) i (3) + (4) : + < τ (7) + (8) : ( + ) > τ + > τ Ο σ κ η σ η Σ υ ν θ ε τ ε ς Στο εσωτερικο ορθης γωνιας ˆ xoy θεωρουμε σημειο και στις πλευρες της Οx, Oy τα σημεια, αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι η περιμετρος του τριγωνου ειναι μεγαλυτερη απο.ο. το συμμετρικο του ως προς την Οx και το συμμετρικο του ως προς την Οy. Τοτε Ο Ο Ο και O ˆ O ˆ και O ˆ O ˆ 1 3 4

48 46 Ομως O ˆ + Oˆ 1 + O ˆ + Oˆ 3 4 O ˆ + Oˆ ( Ô + + O ˆ + Oˆ 3 O ˆ + Oˆ Ô 3 ) ο 18 ο αρα, Ο, συνευθειακα ιναι < + + Ο + Ο < + + Ο + Ο < τ Ο < τ Τ ρ ι γ ω ν α y B Ο x σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς ν, πλαγια τμηματα ως προς μια ευθεια ε και Κ το καθετο τμημα τοτε: 1. συμπληρωστε τις παρακατω ισοδυναμιες AB A Κ Κ. AB > A. Κ > Κ. Χαρακτηριστε ως σωστη ( Σ ) η λαθος ( Λ ) καθε μια απο τις παρακατω σχεσεις και αιτιολογηστε την απαντηση σας. > Κ Σ Λ Κ Σ Λ i AB < AK Σ Λ Το καθετο τμημα Κ ειναι μικροτερο απο οποιοδηποτε πλαγιο τμημα που φερεται απο το στην ε, αρα και απο τα και. σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Στις καθετες πλευρες, ορθογωνιου τριγωνου θεωρουμε τα σημεια, αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι E < EB E < B πο το εχουμε τις, πλαγιες στην και επειδη <, θα ειναι < (1) πο το B εχουμε τις BE, B πλαγιες στην και επειδη <, θα ειναι < () (1) και () : < < <

49 Τ ρ ι γ ω ν α 47 σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς Στο διπλανο σχημα το Η ειναι υψος και διαμεσος του τριγωνου. Να συγκρινεται τα τμηματα, και. Η Η μεσοκαθετος του, οποτε πο το εχουμε τις, πλαγιες και την Η καθετη στη. ιναι Η < Η, οποτε < Η σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ινεται τμημα, σημειο Ρ της μεσοκαθετου του και μια μεταβλητη ευθεια ε που διερχεται απο το. Να συγκρινετε τις αποστασεις του Ρ απο την ευθεια ε και το σημειο. Ποια πρεπει να ειναι η θεση της ευθειας ε, ωστε οι αποστασεις αυτες να ειναι ισες; ε φου το Ρ ανηκει στη μεσοκαθετο του, τοτε Ρ Ρ. Κ Ρ στω ΡΚ η αποσταση του Ρ απο την ε. x ν η ευθεια ε δε συμπιπτει με την ευθεια Ρ, ουτε με την x Ρ, οριζεται ορθογωνιο τριγωνο ΡΚ, οποτε ΡΚ < Ρ, και κατα συνεπεια ΡΚ < Ρ. ν η ευθεια ε συμπιπτει με την ευθεια Ρ, τοτε ΡΚ < Ρ. A B ν η ευθεια ε συμπιπτει με την x Ρ, τοτε ΡΚ Ρ Ρ και η ζητουμενη θεση της ε ειναι να συμπιπτει με την x. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Ποτε μια ευθεια εχει δυο, ενα η κανενα κοινο σημειο με εναν κυκλο; στω δ η αποσταση του κεντρου απο την ευθεια και ρ η ακτινα του κυκλου τοτε υο κοινα σημεια, οταν δ < ρ να κοινο σημειο, οταν δ ρ Κανενα κοινο σημειο, οταν δ > ρ

50 48 σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς ιναι δυνατον στο διπλανο σχημα να ειναι Ο Ο Ο; ικαιολογηστε την απαντηση σας. Ο Τ ρ ι γ ω ν α ε Οχι, γιατι τοτε ο κυκλος με κεντρο το Ο θα εχει τρια κοινα σημεια (,, ) με την ευθεια ε. σ κ η σ η Κ α τ α ν ο η σ η ς Στο παρακατω σχημα τα Ρ, Ρ ειναι εφαπτομενα τμηματα, η ΡΚ διχοτομος της ν εχουμε δυο ομοκεντρους κυκλους, να εξηγησετε γιατι ολες οι χορδες του μεγαλου κυκλου που εφαπτονται στο μικρο κυκλο ειναι ισες. ˆ Ρ Λ, Ν μεσα των τοξων Λ και Ν αντιστοιχα και Μ το μεσο της χορδης. Χαρακτηριστε ως σωστη ( Σ ) η λαθος ( Λ ) καθε μια απο τις παρακατω προτασεις Ρ Ρ Σ Λ Η ΡΚ διερχεται απο το Ο Σ Λ i H OM διερχεται απο τα Ρ, Λ, Ν Σ Λ Ρ Κ Λ Μ Ο Ν iν) Η προεκταση του ΛΜ διχοτομει τις γωνιες Ρ ˆ, Ο ˆ και το τοξο Ν Σ Λ σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ιατι εχουν ισα αποστηματα (ισα με την ακτινα του μικρου κυκλου)., τα σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς ινεται κυκλος (Ο, ρ), μια διαμετρος του και οι εφαπτομενες, ε του κυκλου στα,. ν μια τριτη εφαπτομενη ε τεμνει τις, ε στα,, να αποδειξετε οτι ˆ Ο 9 ο. στω Μ το σημειο επαφης της ε με τον κυκλο. Η διακεντρικη ευθεια Ο διχοτομει τη γωνια ε 1 ˆ ΟΜ. ε 1

51 Τ ρ ι γ ω ν α 49 Η διακεντρικη ευθεια Ο διχοτομει τη γωνια ˆ ΟΜ. ε1 ε ηλαδη οι Ο, Ο διχοτομουν δυο εφεξης παραπληρω- ματικες γωνιες, αρα ειναι καθετες. Ο ε Μ σ κ η σ η μ π ε δ ω σ η ς πο εξωτερικο σημειο Ρ κυκλου (Ο,R) φερουμε τα εφα-πτομενα τμηματα Ρ και Ρ. Μια τριτη εφαπτομενη σε σημειο του κυκλου τεμνει τα Ρ και Ρ στα σημεια, αντιστοιχα. Να βρεθει η περιμετρος του τριγωνου Ρ ως συναρτηση των τμηματων Ρ και. ιναι σαν εφαπτομενα τμηματα Ομοια και Ρ Ρ Ρ + + Ρ Ρ + + Ρ Ρ Ρ Ο σ κ η σ η π ο δ ε ι κ τ ι κ ε ς Να αποδειξετε οτι δυο σημεια μιας εφαπτομενης κυκλου, τα οποια ισαπεχουν απο το σημειο επαφης, απεχουν ιση αποσταση απο τον κυκλο. στω (Ο, ρ) ο κυκλος Μ εφαπτομενη με Μ Μ. Οι Ο, Ο τεμνουν τον κυκλο στα,. Φερουμε την ΟΜ. Τοτε ΟΜ. Τα τριγωνα ΜΟ και ΜΟ ειναι ισα γιατι : ΟΜ κοινη ρα και τα υπολοιπα Μ Μ (υποθεση) : στοιχεια τους ειναι ισα, Μ Μ (υποθεση) οποτε Ο Ο (1) φαιρουμε κατα μελη απ την (1) την ακτινα ρ Ο Ο: Ο - Ο Ο Ο Ο Μ