Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 2: Ψηφιακή Λογική Ι Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΚΠΟΝΗΘΗΚΕ ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΩΤΣΙΔΟΥ ΔΕΣΠΟΙΝΑ ΕΛΛΗ ΛΑΓΟΥΤΑΡΗ ΕΛΕΝΗ ΚΑΣΟΥΜΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ ΛΕΥΚΑΔΑ, 2009
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΆΛΓΕΒΡΑ BOOLE... 1 ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ HUNTINGTON... 1 ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ... 3 Λογική πράξη Αντιστροφής Λογική Πύλη ΝΟΤ (ΟΧΙ)... 3 Λογική πράξη Σύζευξης Λογική Πύλη AND (KAI)... 4 Λογική Πράξη Διάζευξης Λογική Πύλη OR (Ή)... 5 Λογική πράξη Αποκλειστικής Διάζευξης Λογική Πύλη XOR... 6 Λογική πράξη Αντίστροφης σύζευξης Λογική Πύλη NAND... 7 Λογική πράξη Αντίστροφης διάζευξης Λογική Πύλη NOR... 8 Λογική πράξη Αντίστροφης αποκλειστικής διάζευξης Λογική Πύλη XNOR... 9 Αριθμός εισόδων μιας λογικής πύλης... 10 Αριθμός εισόδων μιας λογικής πύλης... 10 ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΞΙΩΜΑΤΑ... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ. ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ... 12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... 14 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΧΑΡΤΗ KARNAUGH... 16 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ NAND ΚΑΙ NOR... 23 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ. ΜΑΝΔΑΛΩΤΕΣ ΚΑΙ FLIP-FLOPS... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ. ΜΗΧΑΝΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ. ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΕΣ... ΣΦΑΛΜΑ! ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΤΕΙ ΣΕΛΙΔΟΔΕΙΚΤΗΣ.
2. Άλγεβρα Boole Ο μαθηματικός George Boole, 1815-1864) [1] παρουσίασε το 1847 μια μορφή άλγεβρας με μεταβλητές δύο τιμών (που καλούνται "λογικές μεταβλητές"), π.χ. 0 ή 1. Ουσιαστικά παρουσίασε με τα μαθηματικά της εποχής του την Αριστοτέλεια λογική του είναι ή δεν είναι. Σήμερα η άλγεβρα αυτή ονομάζεται Άλγεβρα Boole, ή δυαδική άλγεβρα, ή διακοπτική άλγεβρα και έχει βρει ευρεία εφαρμογή στην σχεδίαση του λογισμικού και των κυκλωμάτων των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών, επειδή είναι ιδανική για χειρισμό λογικών συναρτήσεων και πράξεων στο Δυαδικό Σύστημα. [2] Ο παρακάτω ορισμός της άλγεβρας Boole στηρίζεται σε συγκεκριμένα αξιώματα που παρουσίασε το 1933 ο μαθηματικός Edward Vermilye Huntington, 1874-1952). 2.1 Αξιώματα του Huntington Αξίωμα Α1: Ισοδυναμία Υπάρχει ένα σύνολο Κ με αντικείμενα ή στοιχεία, που υπακούουν σε μια σχέση ισοδυναμίας, α = β (όπου το σύμβολο = διαβάζεται είναι ίσο με), που ικανοποιεί την αρχή της αντικατάστασης. Αν το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Κ, γράφουμε [α Κ], (όπου το σύμβολο διαβάζεται ανήκει στο). Γράφοντας α = β, εννοούμε ότι το α μπορεί να αντικατασταθεί από το β, σε οποιαδήποτε λογική έκφραση που περιέχει το α, χωρίς να επηρεαστεί η τιμή της έκφρασης αυτής. Ιδιότητες της σχέσης ισοδυναμίας είναι η ανακλαστική ιδιότητα (α = α), η συμμετρική ιδιότητα (α = β <=> β = α), (όπου το σύμβολο <=> διαβάζεται ταυτίζεται με το), και η μεταβατική ιδιότητα (α = β και β = γ => α = γ), (όπου το σύμβολο => διαβάζεται συνεπάγεται). Αξίωμα Α2.1: Πράξη πρόσθεσης Ένας κλειστός νόμος (σύμβολο + διαβάζεται συν), που θα τον λέμε πρόσθεση, ορίζεται έτσι, ώστε αν α Κ και β Κ, τότε (α + β) Κ. Αξίωμα Α2.2: Πράξη πολλαπλασιασμού Ένας κλειστός νόμος (σύμβολο διαβάζεται επί), που θα τον λέμε πολλαπλασιασμό ορίζεται έτσι, ώστε αν α Κ και β Κ, τότε (α β) Κ. Αξίωμα Α3.1: Ουδέτερο στοιχείο πρόσθεσης Υπάρχει μόνο ένα στοιχείο 0 Κ τέτοιο, ώστε (για κάθε α Κ) (α + 0) = α. Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. 1
Αξίωμα Α3.2: Ουδέτερο στοιχείο πολλαπλασιασμού Υπάρχει μόνο ένα στοιχείο 1 Κ τέτοιο, ώστε (για κάθε α Κ) (α 1) = α. Το 1 λέγεται ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Αξίωμα Α4.1: Αντιμετάθεση προσθετέων Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική, δηλαδή (α + β) = (β + α). Αξίωμα Α4.2: Αντιμετάθεση παραγόντων Ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικός, δηλαδή (α β) = (β α). Αξίωμα Α5.1: Επιμεριστική πρόσθεση Η πρόσθεση είναι επιμεριστική επί του πολλαπλασιασμού, δηλαδή α + (β γ) = (α + β) (α + γ). Αυτό είναι ένα αξίωμα της άλγεβρας Boole που δεν ισχύει στην άλγεβρα των πραγματικών αριθμών! Αξίωμα Α5.2: Επιμεριστικός πολλαπλασιασμός Ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός επί της πρόσθεσης, δηλαδή α (β + γ) = (α β) + (α γ). (Σημείωση : Όταν δεν υπάρχει περίπτωση παρανόησης, παραλείπουμε την αναγραφή του επί και χρησιμοποιούμε απλή παράθεση των παραγόντων. Για παράδειγμα, η σχέση εδώ μπορεί να γραφτεί έτσι : α (β + γ) = α β + α γ). Αξίωμα Α6: Συμπληρώματα Για κάθε στοιχείο α Κ υπάρχει μόνο ένα στοιχείο α', για το οποίο ισχύει ότι α + α' = 1 (A6.1) και α α' = 0 (A6.2) Αξίωμα Α7: Διακριτά στοιχεία Υπάρχουν τουλάχιστον δυο στοιχεία α και β μέσα στο Κ που δεν είναι ισοδύναμα. Ανάλογα με το πλήθος και το είδος των στοιχείων του Κ, καθορίζεται και μια άλγεβρα. Η απλούστερη άλγεβρα Boole έχει μόνο δυο στοιχεία, δηλαδή το Κ = {0, 1}. Για τα στοιχεία αυτά ισχύουν τα εξής : 1' = 0 και 0' = 1, 0 + 0 = 0 και 1 1 = 1, 0 + 1 = 1 και 1 0 = 0, 1 + 0 = 1 και 0 1 = 0, 1 + 1 = 1 και 0 0 = 0 (Α7). 2
2.2 Λογικές πράξεις λογικές πύλες Ορίζονται ως βασικές πράξεις της Άλγεβρας Boole οι ΛΟΓΙΚΗ ΑΡΝΗΣΗ (NOT), ΛΟΓΙΚΟ ΣΥΖΕΥΞΗ (KAI - AND),ΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΖΕΥΞΗ (Ή - OR), ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΖΕΥΞΗ (XOR), ΑΡΝΗΣΗ ΣΥΖΕΥΞΗΣ (NAND), ΑΡΝΗΣΗ ΔΙΑΖΕΥΞΗΣ (NOR), ΑΡΝΗΣΗ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗΣ ΔΙΑΖΕΥΞΗΣ (XNOR). Παρακάτω ακολουθεί μια συνοπτική παρουσίαση τους, όσο αφορά το σύμβολο που χρησιμοποιείται για τη μαθηματική (προτασιακή) αναπαράσταση, το γραφικό τους σύμβολο για τη σχεδίαση κυκλωμάτων και τον πίνακα αληθείας τους. 2.2.1 Λογική πράξη Άρνησης Λογική Πύλη ΝΟΤ (ΟΧΙ) Η πύλη ΝΟΤ εκτελεί την πράξη της αντιστροφής. Το λογικό της σύμβολο φαίνεται παρακάτω σχήμα. Έχει μόνο μία είσοδο και μία έξοδο (την αντίστροφη λογική τιμή της εισόδου)όπως φαίνεται στην Εικόνα 1. Εικόνα 1 Η λογική πύλη NOT Η αναπαράσταση της αντιστροφής σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α F = F = Α Η λειτουργία της πύλης ΝΟΤ περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα αλήθειας (ως πίνακα αληθείας θεωρούμε τον πίνακα που καταγράφει την έξοδο για οποιοδήποτε συνδυασμό εισόδων). Πίνακας 1 Πίνακας αληθείας της NOT Α F 0 1 1 0 3
2.2.2 Λογική πράξη Σύζευξης Λογική Πύλη AND (KAI) Η πύλη ΑND εκτελεί την λογική πράξη ΚΑΙ. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 2 Η λογική πύλη AND Η αναπαράσταση της λογικής πράξης ΚΑΙ σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α B Η λειτουργία της πύλης AND περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 2 Πίνακας αληθείας της AND A B F 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 4
2.2.3 Λογική Πράξη Διάζευξης Λογική Πύλη OR (Ή) Η πύλη OR εκτελεί την λογική πράξη Ή. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 3 Η λογική πύλη OR Η αναπαράσταση της λογικής πράξης Ή σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α + B Η λειτουργία της πύλης OR περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 3 Πίνακας αληθείας της OR A B F 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 5
2.2.4 Λογική πράξη Αποκλειστικής Διάζευξης Λογική Πύλη XOR Η πύλη XOR εκτελεί την λογική πράξη Αποκλειστικό Ή. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 4 Η λογική πύλη XOR Η αναπαράσταση της λογικής πράξης Αποκλειστικό Ή σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α B Η λειτουργία της πύλης XOR περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 4 Πίνακας αληθείας της XOR A B F 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 6
2.2.5 Λογική πράξη Άρνησης σύζευξης Λογική Πύλη NAND Η πύλη NΑND εκτελεί την λογική πράξη ΟΧΙ ΚΑΙ. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 5 Η λογική πύλη NAND Η αναπαράσταση της λογικής πράξης OXI ΚΑΙ σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Η λειτουργία της πύλης NAND περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 5 Πίνακας αληθείας της NAND A B F 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 7
2.2.6 Λογική πράξη Άρνησης διάζευξης Λογική Πύλη NOR Η πύλη OR εκτελεί την λογική πράξη ΟΧΙ Ή. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 6 Η λογική πύλη NOR Η αναπαράσταση της λογικής πράξης Ή σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Η λειτουργία της πύλης NOR περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 6 Πίνακας αληθείας της NOR A B F 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 8
2.2.7 Λογική πράξη Άρνησης αποκλειστικής διάζευξης Λογική Πύλη XNOR Η πύλη XOR εκτελεί την λογική πράξη Όχι Αποκλειστικό Ή. Έχει δύο ή περισσότερες εισόδους και μία έξοδο. Στην εικόνα φαίνεται το γραφικό σύμβολο της λογικής πύλης. Εικόνα 7 Η λογική πύλη XNOR Η αναπαράσταση της λογικής πράξης Όχι Αποκλειστικό Ή σε μια λογική πρόταση γίνεται όπως παρακάτω: F = Α B ή F = Η λειτουργία της πύλης XNOR περιγράφεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας, που έχει δύο στήλες, όσες και οι είσοδοι, και μία τρίτη στήλη για την έξοδο. Πίνακας 7 Πίνακας αληθείας της XNOR A B F 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 9
2.2.8 Αριθμός εισόδων μιας λογικής πύλης Όλες οι λογικές πράξεις (εκτός της αντιστροφής) που παρουσιάστηκαν μέχρι τώρα έχουν δύο εισόδους. Η γενική λογική όμως βρίσκει εφαρμογή και στην περίπτωση που απαιτούνται περισσότερες είσοδοι. Η χρησιμοποιούμενη λογική πύλη αντίστοιχα μπορεί να είναι μια πύλη πολλαπλών εισόδων ή ένας συνδυασμός λογικών πυλών με λιγότερες εισόδους. Εναπόκειται επομένως στο σχεδιαστή ενός κυκλώματος να αποφασίσει (με κριτήρια την ταχύτητα, το κόστος και την επιφάνεια ολοκλήρωσης της πύλης πολλαπλών εισόδων) με ποιο τρόπο θα την υλοποιήσει. 2.3 Λογικές Συναρτήσεις Μια λογική έκφραση μπορεί να εμπεριέχει περισσότερες λογικές πράξεις, συνδυασμό αυτών που παρουσιάστηκαν νωρίτερα. Σε αυτή την περίπτωση η συνδυαστική λογική έκφραση αναπαρίσταται από μια σύνθετη λογική συνάρτηση, με μεταβλητές τις εισόδους του κυκλώματος και επεξεργασία αυτών μέσω των απαιτούμενων λογικών πράξεων. Παράδειγμα σύνθετης λογικής συνάρτησης είναι η έκφραση: F = (W + Z) Y, όπου τρεις μεταβλητές (είσοδοι του κυκλώματος) παράγουν ένα αποτέλεσμα F, με την χρήση δύο λογικών πράξεων, της λογικής πράξης διάζευξης ( W OR Z) και στη συνέχεια της λογικής σύζευξης του προηγούμενου αποτελέσματος με το Y. Προκειμένου να υλοποιηθεί μια συνδυαστική λογική, που βασίστηκε στο συνδυασμό λογικών πράξεων, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι απαιτούμενες λογικές πύλες συνδεδεμένες με ηλεκτρικούς αγωγούς (wires). Έτσι προκύπτουν σύνθετες πύλες οι οποίες υλοποιούν την συνδυαστική λογική που επιθυμεί ο σχεδιαστής. Στο παρακάτω παράδειγμα βλέπετε τον συνδυασμό μιας OR πύλης και μιας AND πύλης, προκειμένου να παραχθεί η σύνθετη λογική έκφραση: F = (W + Z) Y. Εικόνα 8 Υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλες 10
Θα μελετήσουμε αργότερα την υλοποίηση μιας λογικής έκφρασης με τη χρήση λογικών πυλών, καθώς και τις τεχνικές απλοποίησης που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε προκειμένου να μειωθεί στο ελάχιστο ο αριθμός των χρησιμοποιούμενων λογικών πυλών και υπό συνθήκες η συνολική επιφάνεια ολοκλήρωσης (και κατά συνέπεια το κόστος). Εκτός όμως από τις «γραφικές-οπτικές» τεχνικές που θα παρουσιαστούν αργότερα, μπορεί να επιτευχθεί απλοποίηση στον ίδιο βαθμό,,με τη χρήση θεωρημάτων και αξιωμάτων της Άλγεβρας Boole. Ακολουθεί ένας πίνακας στον οποίο παρατίθενται βασικά θεωρήματα και αξιώματα της άλγεβρας Boole. Πίνακας 8 Θεωρήματα και αξιώματα της Άλγεβρας Boole Ουδέτερο στοιχείο x + 0 = x x 1 = x x + x = 1 x x = 0 x + x = x x x = x x + 1 = 1 x 0 = 0 Διπλή άρνηση ( x ) = x Αντιμεταθετική ιδιότητα x + y = y + x x y = y x Προσεταιριστική ιδιότητα x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y) z Επιμεριστική ιδιότητα x (y + z) = x y + x z x + y z = (x + y) (x + z) De Morgan (x + y) = x y (x y) = x + y Απορρόφηση x + x y = x x (x y) = x Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f(x,y,z)=x + yz + y. Με χρήση του Πίνακα των θεωρημάτων και αξιωμάτων της Άλγεβρας Boole, 8, να απλοποιήσετε την f(x,y,z). Επίλυση Η απλοποίηση της συνάρτησης f(x,y,z)=x+yz +y γίνεται f(x,y,z) = x+yz +y = x+y(z +1) = x+y, δηλαδή τελική μορφή f(x,y,z)= x+y 11
2.4 Συναρτήσεις, Κανονικές και Πρότυπες μορφές Μια δυαδική μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται είτε με την κανονική της μορφή (x) είτε με την συμπληρωματική της μορφή (x ). Μπορούμε να αναπαραστήσουμε οποιονδήποτε συνδυασμό τιμών διαφόρων μεταβλητών χρησιμοποιώντας την κανονική ή συμπληρωματική τους μορφή. Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζονται οι ελαχιστόροι (minterms) και οι μεγιστόροι (maxterms) για τρεις δυαδικές μεταβλητές. Για n εισόδους/μεταβλητές υπάρχουν 2 n ελαχιστόροι (και αντίστοιχα μεγιστόροι) Πίνακας 9 Ελαχιστόροι και μεγιστόροι για τρεις δυαδικές μεταβλητές Ελαχιστόροι Μεγιστόροι x y z Όρος Ονομασία Όρος Ονομασία 0 0 0 x' y z m 0 x + y + z M 0 0 0 1 x' y z m 1 x + y + z M 1 0 1 0 x' y z m 2 x + y + z M 2 0 1 1 x' y z m 3 x + y + z M 3 1 0 0 x y z m 4 x' + y + z M 4 1 0 1 x y z m 5 x' + y + z M 5 1 1 0 x y z m 6 x' + y + z M 6 1 1 1 x y z m 7 x' + y + z M 7 Όπως μπορεί κάποιος εύκολα να παρατηρήσει κάποιος ο κάθε ελαχιστόρος είναι το συμπλήρωμα του αντίστοιχου μεγιστόρου και αντίστροφα. Αν θέλουμε να αναπαραστήσουμε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας τους ελαχιστόρους, τότε η συνάρτηση λέμε ότι είναι άθροισμα ελαχιστόρων. Αντίστοιχα αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τους μεγιστόρους,, τότε η συνάρτηση είναι γινόμενο μεγιστόρων. Μια πολύ σημαντική ιδιότητα, είναι ότι οποιαδήποτε συνάρτηση F μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ελαχιστόρων ή γινόμενο μεγιστόρων. 12
Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση F(x,y,z)=xyz + xy z + xyz + xyz. Να εκφραστεί σε άθροισμα ελαχιστόρων και γινόμενο μεγιστόρων. Το ίδιο να γίνει και με την αντίστροφη συνάρτηση F. Τι παρατηρείτε; Επίλυση Ο πίνακας αληθείας είναι ο κάτωθι: Χ Υ Ζ F 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Η συνάρτηση F(x,y,z)=xyz + xy z + xyz + xyz γράφεται ισοδύναμα ως : F(x,y,z) = m 3 + m 5 + m 6 + m 7 ή F (x,y,z) = M 3 M 5 M 6 M 7 F (x,y,z) = m 0 + m 1 + m 2 + m 4 ή F(x,y,z) = M 0 M 1 M 2 M 4 Παρατηρούμε ότι με το γινόμενο των αντίστοιχων μεγιστόρων εκφράστηκε η αντίστροφη λογική συνάρτηση, έκφραση ισοδύναμη με το άθροισμα των υπόλοιπων ελαχιστόρων. 13
2.4.1 Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Έστω η συνάρτηση f(x,y,z)=x + yz + y. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αληθείας και να απλοποιηθεί η λογική έκφραση χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα και τα αξιώματα της άλγεβρας Boole. Επίλυση Η απλοποίηση της συνάρτησης f(x,y,z)=x+yz +y γίνεται f(x,y,z) = x+yz +y = x+y(z +1) = x+y, δηλαδή τελική μορφή f(x,y,z)= x+y O πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x,y,z)=x+yz +y είναι ο Πίνακας 10 Πίνακας αληθείας Χ Υ Ζ F 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Παρατηρούμε πως όπως περιμέναμε σε όποιο συνδυασμό εισόδων η μεταβλητή x είτε η μεταβλητή y έχει την τιμή 1, τότε και το αποτέλεσμα της συνάρτησης είναι 1. Σε αντίθετη περίπτωση η τιμή της συνάρτησης f είναι 0. 14
Παράδειγμα 2 Έστω η συνάρτηση f(x,y,z)=zy + x(y + z) + zx y. Να συμπληρωθεί ο πίνακας αληθείας και να απλοποιηθεί η λογική έκφραση χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα και τα αξιώματα της άλγεβρας Boole. Επίλυση Η απλοποίηση της συνάρτησης f(x,y,z)=zy + x(y + z) + zx y γίνεται f(x,y,z)=zy + x(y + z) + zx y = zy + zx y + x(y + z) = zy (1 + x ) + x(y + z) = zy + xy + xz O πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x,y,z)= zy + xy + xz είναι ο Πίνακας 11 Πίνακας αληθείας Χ Υ Ζ F 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 15
Απλοποίηση με τη χρήση χάρτη Karnaugh Αν και οι συναρτήσεις Boole μπορούν να απλοποιηθούν με αλγεβρικούς τρόπους, όπως παρουσιάστηκε παραπάνω, η δυσκολία όσο αυξάνει ο αριθμός των λογικών μεταβλητών αυξάνει επίσης αλλά εκθετικά. Νέα εργαλεία είναι απαραίτητα τα οποία να είναι εύχρηστα και να οδηγούν εύκολα στην απλοποίηση της όποιας συνάρτησης Boole. Η «μέθοδος του χάρτη» είναι μια απλή μέθοδο που πρωτοπαρουσιάστηκε από τον Veitch [3] ως επέκταση του διαγράμματος Venn. Η μέθοδος στη συνέχεια τροποποιήθηκε από τον Karnaugh [4], για να προκύψει ο «χάρτης Karnaugh», ο οποίος επιτρέπει την «οπτική απλοποίηση» μιας συνάρτησης Boole. Ο σκοπός απλοποίησης με αυτή τη μέθοδο είναι πρώτα να εντοπίσουμε με οπτική παρατήρηση τους μεγαλύτερους δυνατούς υποκύβους μίας δοθείσας λογικής συνάρτησης f και δεύτερον να σχηματίσουμε την συνάρτηση αθροίζοντας τον ελάχιστο αριθμό (μικρότερο άθροισμα) από υποκύβους. Mια βασική αρχή σχετικά με τη χρήση του πίνακα αυτού είναι ότι σε κάθε χάρτη Karnaugh υπάρχουν τόσα τετραγωνίδια όσοι οι δυνατοί συνδυασμοί τιμών των μεταβλητών. Οι ομάδες των bits επιλέγονται έτσι ώστε να γίνονται οι λιγότερες επικαλύψεις στα «1» της συνάρτησης τα οποία βρίσκονται συμμετρικά ως προς κάποιο επίπεδο συμμετρίας. Υπάρχει και το ενδεχόμενο της αδιάφορης κατάστασης Χ οπού δεν δίνεται η τιμή του bit στον πίνακα Karnaugh αλλά είναι στο χέρι του χρηστή να επιλέξει ο ίδιος τη τιμή που θα δώσει έτσι ώστε να φτάσει τη συνάρτηση στη πιο απλή μορφή της και ταυτόχρονα να καταφέρει αυτό με όσο το δυνατόν λιγότερους συνδυασμούς από «1». Ανάλογα με τον αριθμό των μεταβλητών από τις οποίες εξαρτάται η λογική συνάρτηση που πρέπει να απλοποιηθεί χρησιμοποιώ και τον αντίστοιχο «Χάρτη Karnaugh», όπως φαίνεται παρακάτω. 16
Εικόνα 9 Χάρτες Karnaugh για διάφορες συναρτήσεις με διαφορετικό πλήθος μεταβλητών Προσοχή στην αρίθμηση των γραμμών και των στηλών του χάρτη. Οι συνδυασμοί «11» και «10» αλλάζουν θέση μεταξύ τους με αποτέλεσμα να εμφανίζεται πρώτα ο συνδυασμός «11». Αν χρησιμοποιηθούν περισσότερες είσοδοι από δύο (2) τότε θα πρέπει να γίνει η απαρίθμιση κατά κώδικα Gray. Για να γίνει κατανοητή η απλοποίηση με χάρτη Karnaugh δίνονται στη συνέχεια μερικά παραδείγματα Παράδειγμα 1 Έστω η συνάρτηση f(x,y,z)= x yz + xy z + xyz + xyz. Να απλοποιηθεί με «Χάρτη Karnaugh» και να υλοποιηθεί με λογικές πύλες Επίλυση Εξετάζω την συνάρτηση και παρατηρώ ότι εξαρτάται από τρεις μεταβλητές (τις x,y,z). Στη συνέχεια συμπληρώνω τον πίνακα αληθείας όπως προκύπτει εύκολα από τους ελαχιστόρους. Επειδή εμφανίζονται οι ελαχιστόροι x yz, xy z, xyz, xyz, όπως μπορούμε να 17
επαληθεύσουμε από τον Πίνακας 9, η συνάρτηση γίνεται αληθής για τους συνδυασμούς 011, 100, 110, 111 (για τα x,y,z) αντίστοιχα. Άρα ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x,y,z)= x yz + xy z + xyz + xyz είναι: Πίνακας 12 Πίνακας αληθείας της συνάρτησης f(x,y,z)= x yz + xy z + xyz + xyz Χ Υ Ζ F 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Στη συνέχεια δημιουργώ ένα «χάρτη Karnaugh» για τρεις μεταβλητές, όπως παρακάτω και συμπληρώνω στα αντίστοιχα κελιά ελαχιστόρους. x \ yz 00 01 11 10 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 Το επόμενο βήμα είναι να εντοπίσω τετράπλευρα τα οποία θα περικλείουν μόνο κελιά με «1» ΚΑΙ το πλήθος τους θα είναι δύναμη του 2. Άρα μόνα ορθογώνια τετράπλευρα που περικλείουν 2, 4 ή 8 bits στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Η προσπάθεια είναι να βρω όσο μεγαλύτερα γίνεται (επιτρέπονται οι επικαλύψεις). x \ yz 00 01 11 10 0 0 0 1 0 18
1 1 0 1 1 Παρατηρώ πως έχω εντοπίσει δύο περιοχές (μπλε και καφέ) οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη για την επιλογή των «1». Για να βρω τη λογική έκφρασή τους ελέγχω ποια κελιά περικλείουν διαβάζοντας τις «συντεταγμένες τους». Παρατηρώ πως στην «καφέ» περιοχή και οι δύο «1» έχουν κοινό x=1 καθώς και z=0, ενώ το y δεν διατηρεί σταθερή μια τιμή. Άρα η «καφέ» περιοχή μπορεί να γραφτεί ως xz. Παρομοίως η «μπλε» περιοχή μπορεί να γραφτεί ως yz. Άρα η απλοποίηση της συνάρτησης f(x,y,z)= x yz + xy z + xyz + xyz με «Χάρτη Karnaugh» μας δίνει f(x,y,z)= xz + yz. Εικόνα 10 Υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλες 19
Παράδειγμα 2 Έστω o ακόλουθος πίνακας αληθείας. Να απλοποιηθεί η συνάρτηση με «Χάρτη Karnaugh» και να υλοποιθεί με λογικές πύλες Πίνακας 13 Πίνακας αληθείας Χ Υ Ζ W F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 X 0 1 0 0 X 0 1 0 1 X 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 X 1 0 0 1 X 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Επίλυση Δημιουργώ ένα «χάρτη Karnaugh» για τέσσερεις μεταβλητές και συμπληρώνω στα αντίστοιχα κελιά ελαχιστόρους. 20
xy \ zw 00 01 11 10 00 0 0 X 0 01 X X 1 1 11 0 1 1 1 10 X X 0 0 Το επόμενο βήμα είναι να εντοπίσω τετράπλευρα τα οποία θα περικλείουν μόνο κελιά με «1» ΚΑΙ το πλήθος τους θα είναι δύναμη του 2. Άρα μόνα ορθογώνια τετράπλευρα που περικλείουν 2, 4,8 ή 16 bits στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Η προσπάθεια είναι να βρω όσο μεγαλύτερα γίνεται (επιτρέπονται οι επικαλύψεις). xy \ zw 00 01 11 10 00 0 0 X 0 01 X X 1 1 11 0 1 1 1 10 X X 0 0 Στόχος είναι να περικλείσω όλα τα «1» και όχι να συμπεριλάβω όλους τους αδιάφορους όρους. Οι αδιάφοροι όροι χρησιμοποιούνται μόνο χάρη της απλοποίησης, και μόνο όσοι απαιτούνται. Από την απλοποίηση προκύπτει πως η συνάρτηση μετατρέπεται στην f(x,y,z,w)=yw + yz ή f(x,y,z,w) = y(z+w) δηλαδή ανεξάρτητη της μεταβλητής x. 21
Εικόνα 11 Υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλες 22
Υλοποίηση με NAND και NOR Οι λογικές πύλες NAND και NOR χρησιμοποιούνται πολύ συχνά από τους σχεδιαστές ψηφιακών κυκλωμάτων ως κύρια επιλογή, επειδή μπορούν να υλοποιηθούν από πολύ λίγα τρανζίστορ (σε τεχνολογία CMOS από 4 τρανζίστορ). Αυτό έχει σαν συνέπεια, να παρουσιάζουν υψηλή ταχύτητα, μικρή επιφάνεια και χαμηλό κόστος, δηλαδή όλα εκείνα τα χαρακτηριστικά που κάνουν ένα σχεδιασμό ανταγωνιστικό. Ένα άλλο επιπλέον κίνητρο, είναι η διάθεση ολοκληρωμένων TTL, τα οποία περιέχουν 4 NAND ή 4 NOR λογικές πύλες σε ένα package (βλέπε σειρά 74LS -00 για NAND και -01 για NOR) με χαμηλό κόστος. Λόγω αυτή της προτίμησης έχει αναπτυχθεί μια τεχνική σχεδίασης ψηφιακών κυκλωμάτων με μόνο πύλες NAND (ή NOR). Η αρχή της τεχνικής βασίζεται στην εισαγωγή διπλής αντιστροφής ανάμεσα σε δύο πύλες. Ακολουθεί ένα παράδειγμα υλοποίησης μιας συνάρτησης μόνο με τη χρήση πυλών NOR. Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f(x,y,z,w) = y(z+w) η οποία υλοποιήθηκε στην Υλοποίηση της συνάρτησης με λογικές πύλεςεικόνα 11. Θα μετατραπεί σε υλοποίηση με μόνο NOR λογικές πύλες με τον παρακάτω τρόπο. f(x,y,z,w) = y(z+w) = { [y(z+w)] } = { y + (z+w) } άρα Εικόνα 12 Υλοποίηση της συνάρτησης f της Εικόνας 10 με λογικές πύλες NOR 23
ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] George Boole, 1848, "The Calculus of Logic, Cambridge and Dublin Mathematical Journal III: 183-98. [2] Λήμμα Άλγεβρα_Boole της Βικιπαίδειας, http://en.wikipedia.org/wiki/el (23/3/2010) [3] E.W. Veitch, A chart method for Simplifying Truth Functions, Proc. of ACM (May 1952), 127-133 [4] M. Karnaugh, A Map Method for Synthesis of Combinational Logic Circuits, Trans AIEE, Comm. And Electron., 72, Part I (November 1953), 593-599 [5] Morris M. Mano, Ψηφιακή σχεδίαση, 3 η έκδοση, εκδόσεις Παπασωτηρίου, 2005 24
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/από-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων διαθέσιμο με άδεια CC-BY διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain διαθέσιμο ως κοινό κτήμα χωρίς σήμανση Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. Συνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.