ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ. Κεφάλαιο 3

Transcript

1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κεφάλαιο 3

2 Δυαδική λογική Με τον όρο λογική πρόταση ή απλά πρόταση καλούμε κάθε φράση η οποία μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής με βάση το νόημα της. π.χ. Σήμερα είναι Πέμπτη Ο αριθμός 4 είναι ζυγός αριθμός Ο αριθμός 3 είναι ζυγός αριθμός Αν αντιστοιχίσουμε σε κάθε αληθή πρόταση την τιμή και σε κάθε ψευδή την τιμή, μπορούμε να χειριστούμε τις προτάσεις με τη βοήθεια των δυαδικών αριθμών και.

3 Αλγεβρα BOOLE Ο μαθηματικός Τζορτζ Μπουλ (George Boole, ) παρουσίασε το 847 μια άλγεβρα με μεταβλητές δύο τιμών (που καλούνται "λογικές μεταβλητές"). Σήμερα η άλγεβρα αυτή ονομάζεται άλγεβρα Μπουλ, ή δυαδική άλγεβρα, και έχει βρει ευρεία εφαρμογή στην σχεδίαση του λογισμικού και των κυκλωμάτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών, επειδή είναι ιδανική για πράξεις στο δυαδικό σύστημα

4 Βασικες πραξεις της άλγεβρας Boole Η πράξη του λογικού ΚΑΙ (AND), είναι όπως ο πολλαπλασιασμός στην άλγεβρα των πραγματικών αριθμών. Η πράξη του λογικού Ή (OR), μοιάζει με την πρόσθεση. Η πράξη της λογικής άρνησης ή πράξη ΟΧΙ (NOT)

5 Λογικός πολλαπλασιασμός ή λογικό ΚΑΙ (AND) Αν, y είναι δύο μεταβλητές, μπορεί να βρεθεί μία τρίτη f, η οποία συμβολίζεται f = y και η τιμή της υπολογίζεται όπως φαίνεται στον πίνακα αλήθειας. y f = y Από το πίνακα αλήθειας της πράξης AND προκύπτει ότι το αποτέλεσμα είναι, μόνον όταν όλες οι μεταβλητές έχουν τιμή.

6 Λογική πρόσθεση ή λογικό Η (OR) Αν, y είναι δύο μεταβλητές, μπορεί να βρεθεί μία τρίτη f η οποία συμβολίζεται f = + y και η τιμή της θα υπολογίζεται όπως φαίνεται στο πίνακα αλήθειας. y f = +y Σύμφωνα με τον πίνακα αλήθειας της πρόσθεσης, όταν μία τουλάχιστον από τις μεταβλητές έχει τιμή, και το αποτέλεσμα έχει τιμή.

7 Λογική άρνηση ή πράξη ΟΧΙ (NOT) Αν είναι μία μεταβλητή, μπορούμε να βρούμε μία άλλη, η οποία συμβολίζεται με f = σύμφωνα με τον πίνακα αλήθειας f = Από τον πίνακα αλήθειας της πράξης NOT προκύπτει, ότι η πράξη της άρνησης μετατρέπει το σε και αντίστροφα

8 Πίνακας αλήθειας Είναι ο πίνακας που περιέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα της λογικής πράξης (AND, OR, NOT) για κάθε συνδυασμό τιμών των δυαδικών μεταβλητών (χ και y) της.

9 Λογικές πύλες Είναι ηλεκτρονικά κυκλώματα (chip) που χρησιμοποιούνται για να εκτελούν τις προηγούμενες λογικές πράξεις. Λέγονται και λογικά κυκλώματα, ή απλά πύλες. Τα λογικά κυκλώματα που υλοποιούν τις λογικές πράξεις, διαθέτουν συνήθως 2 τουλάχιστον εισόδους και μόνο έξοδο.

10 Συμβολισμός Η λογική πύλη AND συμβολίζεται με : Χ Υ Χ Υ Η λογική πύλη OR συμβολίζεται με : Χ Υ Χ+Υ Η λογική πύλη ΝΟΤ συμβολίζεται με : Χ Χ

11 Οι λογικές πύλες μπορούν να έχουν περισσότερες από 2 εισόδους. Σ αυτή την περίπτωση ο πίνακας αλήθειας έχει τόσες στήλες όσες οι είσοδοι της πύλης και μία ακόμα για το αποτέλεσμα της λογικής πράξης (έξοδο). Αν n είναι οι είσοδοι της πύλης, κάθε μια μπορεί να πάρει δύο μόνο τιμές, το λογικό και το λογικό. Επομένως, οι δυνατοί συνδυασμοί των εισόδων είναι 2 n. Για κάθε συνδυασμό των εισόδων η έξοδος παίρνει μία μόνο τιμή:το λογικό ή το λογικό. Ο πίνακας αληθείας της λογικής συνάρτησης περιγράφει αυτή τη σχέση εισόδων εξόδου.

12 Παράδειγμα

13 Πως είναι στην πραγματικότητα AND OR NOT

14 Άλλες λογικές πράξεις ΟΧΙ ΟR (Not OR NOR) Συμβολίζει το ΟΧΙ (NOT) ΟR NOR y f = +y y f = (+y)

15 Άλλες λογικές πράξεις ΌΧΙ AND ( Not AND NAND) AND NAND y f = y y f = ( y)

16 Άλλες λογικές πράξεις Αποκλειστικό OR (XOR) OR XOR y f = +y y f = y + y Όμοια με την OR, αλλά αποκλείει την περίπτωση όπου και οι δύο είσοδοι είναι ίσες με.

17 Άλλες λογικές πράξεις Αποκλειστικό NOR (Not XOR XNOR) XOR XNOR y f = y + y y f = y+ y Η έξοδος είναι ίση με όταν και οι δύο είσοδοι είναι ίσες, δηλαδή και οι δύο είναι ή και οι δύο είναι. Είναι η αντίθετη της XOR.

18 Oι πύλες NOR και NAND χρησιμοποιούνται πολύ συχνά σαν βασικές πύλες για τη σχεδίαση ψηφιακών κυκλωμάτων γιατί κατασκευάζονται απλούστερα και ευκολότερα.

19 Βρείτε την συνάρτηση της εξόδου

20 Βρείτε την συνάρτηση της εξόδου

21 Σχεδιάστε ένα κύκλωμα με πύλες (NOT, AND, OR) που να υλοποιεί τη λογική συνάρτηση F = '.y +.y