ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10
Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες του επιπέδου. ΙΙ β Ι α ΙΙΙ ΙV
Κάθε ζεύγος ημιεπιπέδων που είναι τμήματα διαφορετικών επιπέδων ορίζει μια κυρτή δίεδρο γωνία. Η ευθεία ΧΥ τομής των α και β λέγεται ακμή της διέδρου. Τα ημιεπίπεδα (καθώς επίσης και τα επίπεδα) που ορίζουν τη δίεδρο λέγονται έδρες της διέδρου γωνίας. Υ β Χ α Διεδρος γωνία
Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ημιεπιπέδου τ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π σ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο σ. Η τομή των περιοχών Π σ και Π τ λέγεται κυρτή δίεδρη γωνία. Εσωτερικό της δίεδρης γωνίας ε(σ,τ) θα λέμε τα σημεία της κυρτής δίεδρης που δεν ανήκουν στις έδρες ή στην ακμή της.
Τα σημεία του χώρου, που δεν είναι εσωτερικά της δίεδρης, δεν ανήκουν στις έδρες ούτε στην ακμή της, θα λέγονται εξωτερικά σημεία της δίεδρης. Η δίεδρη γωνία που έχει την ίδια ακμή και τις ίδιες έδρες αλλά περιέχει τα εξωτερικά σημεία της αρχικής δίεδρης λέγεται μη κυρτή ή αντικείμενη της αρχικής. Τα αντικείμενα ημιεπίπεδα, σ' και τ' μιας δίεδρης γωνίας ε(σ,τ) σχηματίζουν μία άλλη δίεδρη γωνία, με την ίδια ακμή ε, που λέγεται κατακορυφήν της αρχικής και συμβολίζεται με ε(σ',τ').
ορισμός Η τομή μιας δίεδρης γωνίας με επίπεδο κάθετο στην ακμή της είναι μία επίπεδη γωνία στο κάθετο επίπεδο, η οποία λέγεται αντίστοιχη επίπεδη της δίεδρης
Αν θεωρήσουμε δύο αντίστοιχες επίπεδες γωνίες ΑÔΒ και Α'Ô'Β' της δίεδρης γωνίας ε(σ,τ), με ΟΑ = Ο'Α' και ΟΒ = Ο'Β, προκύπτει ότι τα ΟΟ'Β'Β και ΟΟ'Α'Α είναι ορθογώνια, άρα ΑΑ'//=ΒΒ'. Αλλά από το παραλληλόγραμμο ΑΑ'Β'Β έχουμε ΑΒ=Α'Β', επομένως τα τρίγωνα ΟΑΒ και Ο'Α'Β' είναι ίσα, άρα και οι γωνίες ΑÔΒ και Α'Ô'Β' είναι ίσες. Από αυτά προκύπτει ότι δύο τυχαίες επίπεδες γωνίες μίας δίεδρης γωνίας είναι ίσες.
Αν δυο δίεδρες γωνίες είναι ίσες, τότε και οι αντίστοιχες επίπεδες γωνίες είναι ίσες και αντίστροφα
Δυο δίεδρες γωνίες, που έχουν κοινή ακμή, μία έδρα κοινή και τις άλλες εκατέρωθεν της κοινής, λέγονται εφεξής. Δυο εφεξής δίεδρες των οποίων οι μη κοινές έδρες είναι αντικείμενα ημιεπίπεδα λέγονται παραπληρωματικές
Μία δίεδρη γωνία λέγεται οξεία, ορθή ή αμβλεία, αν η αντίστοιχη επίπεδη γωνία της δίεδρης είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία. Όταν δύο επίπεδα τεμνόμενα σχηματίζουν μία από τις τέσσερις δίεδρες γωνίες ορθή, τότε και οι τέσσερις είναι ορθές.
Ορισμός Δυο επίπεδα που σχηματίζουν μία ορθή δίεδρη λέγονται κάθετα επίπεδα. Την καθετότητα δύο επιπέδων σ και τ τη συμβολίζουμε με σ τ
Αν μία ευθεία ξ είναι κάθετη σε ένα επίπεδο σ, τότε κάθε επίπεδο που περιέχει την ξ είναι κάθετο στο σ.
Αν δύο επίπεδα είναι κάθετα, κάθε ευθεία του ενός κάθετη στην τομή τους είναι κάθετη στο άλλο.
ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Αν δύο επίπεδα είναι κάθετα μεταξύ τους, τότε η ευθεία που είναι κάθετη στο πρώτο και διέρχεται από σημείο του δευτέρου, βρίσκεται στο δεύτερο επίπεδο. Αν μία ευθεία ξ είναι κάθετη σε επίπεδο σ, τότε κάθε επίπεδο παράλληλο στην ξ είναι κάθετο στο επίπεδο σ. Αν δύο τεμνόμενα επίπεδα είναι κάθετα σε επίπεδο π, τότε η τομή τους είναι κάθετη στο π.
Τρίεδρη γωνία Τρίεδρη γωνία λέγεται το σχήμα που καθορίζεται από τρεις ημιευθείες Ox, Oy και Οζ, με κοινή αρχή Ο, που δεν είναι συνεπίπεδες.
Το σημείο Ο λέγεται κορυφή της τρίεδρης Οι ημιευθείες Ox, Oy και Oz λέγονται ακμές της τρίεδρης. Αν Α, Β και Γ είναι τρία σημεία στις ακμές της τρίεδρης, οι γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ και ΓÔΑ λέγονται έδρες ή επίπεδες γωνίες της τρίεδρης και τέλος οι δίεδρες γωνίες της τρίεδρης είναι ΟΑ(Β,Γ), ΟΒ(Α,Γ) και ΟΓ(Α,Β) με ακμές τις ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ και έδρες τα τρία επίπεδα που ορίζουν οι ακμές ανά δύο. Η τρίεδρη γωνία συμβολίζεται με Ο.ΑΒΓ ή Ο.ξζε, όπου ε, ζ και ξ είναι οι ακμές της τρίεδρης Μία τυχαία ημιευθεία ΟΧ λέγεται εσωτερική της τρίεδρης Ο.ΑΒΓ αν η ΟΧ τέμνει το τρίγωνο ΑΒΓ σε εσωτερικό σημείο Χ. Ένα σημείο Χ του χώρου χαρακτηρίζεται ως εσωτερικό αν ανήκει σε μία εσωτερική ημιευθεία ΟΧ.
Πολυεδρική γωνία Πολυεδρική γωνία λέγεται το σχήμα που αποτελείται από ν διατεταγμένες ημιευθείες ΟΑ 1 ΟΑ 2,..., ΟΑ ν, με κοινή αρχή το σημείο Ο, που ανά τρεις διαδοχικές δεν είναι συνεπίπεδες. Το σημείο Ο λέγεται κορυφή της πολυεδρικής, οι ημιευθείες λέγονται ακμές, ανά δύο διαδοχικές ακμές ορίζουν μία έδρα ή επίπεδη γωνία και ανά δύο διαδοχικές έδρες ορίζουν μία δίεδρη γωνία της πολυεδρικής στερεάς γωνίας. Μία πολυεδρική γωνία με τέσσερις, πέντε κτλ. ακμές λέγεται αντίστοιχα τετράεδρη, πεντάεδρη κτλ. γωνία
Μία πολυεδρική γωνία λέγεται κυρτή, αν το επίπεδο της κάθε έδρας αφήνει την πολυεδρική γωνία στο ίδιο μέρος του χώρου.
πολύεδρο Απλό πολύεδρο ή πολύεδρο ή ν-εδρο λέγεται το πεπερασμένο σχήμα του χώρου, το οποίο περικλείεται από ν επίπεδα πολυγωνικά σχήματα, που λέγονται έδρες του πολυέδρου.
Κυρτό πολύεδρο
Ανά δύο οι κορυφές του πολυέδρου που δεν ανήκουν στην ίδια έδρα ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα που λέγονται διαγώνιοι του πολυέδρου. Επίσης, ανά τρεις οι κορυφές του πολυέδρου που δεν ανήκουν στην ίδια έδρα ορίζουν επίπεδα που λέγονται διαγώνια επίπεδα του πολυέδρου. Στο παρακάτω σχήμα το επίπεδο ΑΔΓ'Β' είναι ένα διαγώνιο επίπεδο και το τμήμα ΑΓ' μία διαγώνιος του κύβου.
Προτάσεις που ισχύουν στα πολύεδρα Οι έδρες ενός κυρτού πολύεδρου και οι επίπεδες τομές του είναι κυρτά πολύγωνα. Κάθε ευθεία τέμνει ένα κυρτό πολύεδρο το πολύ σε δύο σημεία. Αν Κ είναι το πλήθος των κορυφών, Α το πλήθος των ακμών και Ε το πλήθος των εδρών απλού πολυέδρου, ισχύει η σχέση Κ-Α+Ε=2 (Θεώρημα του Euler).
ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
Πρισματική επιφάνεια Θεωρούμε σε ένα επίπεδο π μία κλειστή πολυγωνική γραμμή με ν κορυφές και μία ευθεία ε, που τέμνει το π. Το σύνολο των ευθειών που είναι παράλληλες στην ε και διέρχονται από τα σημεία της πολυγωνικής γραμμής λέγονται γενέτειρες και συνιστούν μία επιφάνεια που λέγεται πρισματική επιφάνεια.
Πρισματική επιφάνεια Η πολυγωνική γραμμή λέγεται οδηγός γραμμή. Οι γενέτειρες που διέρχονται από τις κορυφές της πολυγωνικής γραμμής λέγονται ακμές της πρισματικής επιφάνειας. Το σύνολο των γενετειρών, που τέμνουν μία πλευρά της πολυγωνικής γραμμής, σχηματίζει μία επίπεδη επιφάνεια που λέγεται έδρα της πρισματικής επιφάνειας. Η πρισματική επιφάνεια λέγεται κυρτή ή μη κυρτή, αν η οδηγός γραμμή είναι κυρτή ή όχι. Κάθε επίπεδο που τέμνει μία ακμή θα τέμνει όλες τις ακμές και η πολυγωνική γραμμή που σχηματίζεται λέγεται επίπεδη τομή της πρισματικής επιφάνειας. Παράλληλα επίπεδα τέμνουν την πρισματική επιφάνεια σε ίσες πολυγωνικές γραμμές. Αν το επίπεδο τέμνει κάθετα τις ακμές, τότε η τομή λέγεται κάθετη τομή.
Πρίσμα Το στερεό σχήμα που περικλείεται μεταξύ δύο παραλλήλων επιπέδων και μιας πρισματικής επιφάνειας, συμπεριλαμβανομένων των επίπεδων τομών, λέγεται πρίσμα.
Οι δύο ίσες και παράλληλες τομές λέγονται βάσεις του πρίσματος. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα στα επίπεδα των βάσεων και είναι κάθετο σε αυτά λέγεται ύψος του πρίσματος. Τα τμήματα των εδρών της πρισματικής επιφάνειας που περικλείονται μεταξύ των επιπέδων των βάσεων είναι παραλληλόγραμμα και λέγονται παράπλευρες έδρες του πρίσματος.
Τα τμήματα των ακμών της πρισματικής επιφάνειας που περιλαμβάνονται μεταξύ των επιπέδων των βάσεων λέγονται παράπλευρες ακμές του πρίσματος. Οι κορυφές των βάσεων λέγονται κορυφές του πρίσματος. Οι πλευρές των βάσεων λέγονται ακμές του πρίσματος. Αν οι βάσεις είναι κάθετες τομές, το πρίσμα λέγεται ορθό. Το πρίσμα λέγεται τριγωνικό, τετραγωνικό, ν- γωνικό, αν οι βάσεις του είναι τρίγωνα, τετράπλευρα, ν-γωνα. Το πρίσμα λέγεται κανονικό, αν είναι ορθό και οι βάσεις είναι κανονικά πολύγωνα.
Ένα πρίσμα σημειώνεται γράφοντας τις κορυφές του πολυγώνου της μίας βάσης το σύμβολο - και στη συνέχεια τις κορυφές της άλλης βάσης με την ίδια φορά. Έτσι, το πενταγωνικό πρίσμα που εικονίζεται στο παρακάτω σχήμα γράφεται ΑΒΓΔΕ-Α'Β'Γ'Δ'Ε'.
Αν οι βάσεις ενός πρίσματος είναι παραλληλόγραμμα, τότε το πρίσμα λέγεται παραλληλεπίπεδο
Αν το πρίσμα είναι ορθό και οι βάσεις είναι ορθογώνια, το πρίσμα λέγεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
Ειδικότερα, αν το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όλες τις ακμές ίσες, λέγεται κύβος
Σε κάθε πρίσμα ισχύουν οι προτάσεις: οι παράπλευρες έδρες είναι παραλληλόγραμμα οι παράπλευρες ακμές είναι ίσες οι βάσεις είναι ίσες
Παραλληλεπίπεδο - κύβος Θεώρημα I Οι απέναντι έδρες ενός παραλληλεπιπέδου είναι ίσες και παράλληλες. Από το θεώρημα αυτό προκύπτει ότι μπορούμε σε ένα παραλληλεπίπεδο να θεωρήσουμε οποιοδήποτε ζεύγος απέναντι εδρών ως βάσεις. Κάθε ακμή ενός παραλληλεπιπέδου είναι ίση με τις παράλληλές της, επομένως οι ακμές του παραλληλεπιπέδου χωρίζονται σε τρεις τετράδες ίσων ακμών.
ΠΟΡΙΣΜΑ Οι παράπλευρες έδρες ορθού πρίσματος είναι ορθογώνια.
Ορισμός Διαστάσεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου λέγονται τα μήκη των τριών ακμών που έχουν κοινό το ένα άκρο τους.
Θεώρημα IΙ Σε κάθε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο το τετράγωνο της διαγωνίου δ ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, δηλαδή δ 2 =α 2 +β 2 +γ 2. Απόδειξη Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ (σχ. 11), προκύπτει ότι ΑΓ 2 =ΑΔ 2 +ΔΓ 2 <=> ΑΓ 2 =α 2 +β 2 (1). Από το επίσης ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΓ' έχουμε ΑΓ' 2 =ΑΓ 2 +ΓΓ' 2 <=> δ 2 =ΑΓ 2 +γ 2 (2) Αντικαθιστώντας στη (2) το ΑΓ2 από την (1), έχουμε το ζητούμενο: δ 2 =α 2 +β 2 +γ 2.
ΠΟΡΙΣΜΑ Η διαγώνιος δ κύβου ακμής α είναι
Εμβαδόν επιφάνειας ορθού πρίσματος Η επιφάνεια ενός ορθού ν-γωνικού πρίσματος αποτελείται από ν παράπλευρες έδρες και δύο βάσεις. Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ορθού πρίσματος Ε π είναι το άθροισμα των εμβαδών των παράπλευρων εδρών του πρίσματος ενώ το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του πρίσματος Ε ο είναι το άθροισμα του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας και του εμβαδού των δύο βάσεων. Αν υ είναι το ύψος του ορθού πρίσματος και α 1,α 2,... α ν είναι τα μήκη των πλευρών των βάσεων, τότε έχουμε την ακόλουθη πρόταση.
πρόταση Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας Ε π και της ολικής επιφάνειας Ε ο ενός ορθού πρίσματος με ύψος υ και μήκη πλευρών των βάσεων α 1, α 2,..., α ν, δίνεται από τις σχέσεις: Ε π = s υ και Ε ο =E π +2Β, όπου s είναι η περίμετρος και Β το εμβαδόν της μίας βάσης του. Καθεμία από τις παράπλευρες έδρες είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που η μία του πλευρά είναι ίση με το ύψος υ του ορθού πρίσματος, ενώ η άλλη πλευρά είναι μία από τις πλευρές των ίσων βάσεων. Το εμβαδόν λοιπόν της παράπλευρης επιφάνειας του ορθού πρίσματος Ε π δίνεται από τη σχέση: Ε π = α 1 υ+α 2 υ+...+α ν υ=(α 1 +α 2 +...+α ν ) υ= s υ, όπου s είναι η περίμετρος της βάσης. Αν Β είναι το εμβαδόν της βάσης του ορθού πρίσματος, το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας προφανώς δίνεται από τη σχέση Ε ο =Ε π +2Β.