ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ"

Ἰεζάβελ Ράγκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 0/6/0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά, τότε τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Μονάδες 0 β) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Â < 90 o, τότε α < β + γ. Μονάδες 0 γ) H πλευρά κανονικού τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R) είναι R 3. Μονάδες 0 δ) Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία είναι συμπληρωματικές. Μονάδες 0 ε) To εμβαδόν τραπεζίου με βάσεις B, β και ύψος υ δίνεται από τον τύπο Β β υ Ε. Μονάδες 0 Α. i) Πότε ένα κυρτό πολύγωνο λέγεται κανονικό; Μονάδες 0 ii) Ποιο από τα τρίγωνα είναι το κανονικό τρίγωνο; Μονάδες 0 Α3. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ο ) το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. Μονάδες 3 ΘΕΜΑ Β Στο διπλανό σχήμα δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R. α) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου είναι ίση με. Μονάδες 08 β) Να βρείτε το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου. Μονάδες 07 γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Μονάδες 05 δ) Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος (τ) που αν τιστοιχεί στο κυρτό τόξο ΑΒ. Μονάδες 05

2 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με α = 7, β = 5, γ = 3. Γ. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. Μονάδες 09 Γ. Αφού σχεδιάσετε το τρίγωνο, να υπολογίσετε: i) την ΑΔ, όπου ΑΔ η προβολή της ΑΒ πάνω στη ΑΓ. Μονάδες 06 ii) την ΜΕ, όπου ΜΕ η προβολή της διαμέσου ΑΜ πάνω στη ΒΓ. Μονάδες 06 Γ3. Nα δείξετε ότι: + = 60 ο. Μονάδες 0 (Δίνονται: ημ60 ο = ημ0 ο = 3, συν60 ο =, συν0 ο = ) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 6 cm και γωνία = 0 ο. Δ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι (ΑΒΓ) = 9 3 cm. Μονάδες 08 Δ. Αν Ε είναι σημείο της ΑΓ, ώστε ΑΕ = και ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, 3 να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΓ. Μονάδες 06 Δ3. Αν η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέμνει την προέκταση της ΔΕ στο Ζ, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΕΖ. Μονάδες 06 Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΕΔ. Μονάδες 05 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κόντος Γεώργιος

3 Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ (για τους εξεταζόμενους). Στην κόλλα σας να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. Η τελευταία σελίδα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως πρόχειρο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με την κόλλα σας και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στην «κόλλα σας» σε όλα τα θέματα.. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: δύο () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: ώρα μετά από την διανομή των φωτοαντιγράφων.

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Οι παρακάτω απαντήσεις είναι ενδεικτικές. Κάθε επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση είναι αποδεκτή. ΘΕΜΑ Α Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος Α. Κανονικό λέγεται ένα πολύγωνο όταν έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Κανονικό τρίγωνο είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Α3. Θεωρία σελ. 8, Απόδειξη Θεωρήματος IV ΘΕΜΑ B B. Ισχύει λ = R. Επειδή η πλευρά του τετραγώνου είναι λ = προκύπτει R = B. Το εμβαδόν του κύκλου είναι Εκ = π R = π = 6π τετραγωνικές μονάδες B3. Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι Ετ = λ = ( ) = ( ) = 6 = 3 τετραγωνικές μονάδες Β. ος τρόπος: (τ) = Εκ - Ετ = 6π - 3 = ος τρόπος : (τ) = (Ο ) (ΟΑΒ) = = (π 8) τετραγωνικές μονάδες ΘΕΜΑ Γ 6π 3 π R μ ο 360 ο = (π 8) τετραγωνικές μονάδες R R = = Γ. Βρίσκω το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς, εδώ της α και το συγκρίνω με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών. α = 7 = 9, β + γ = = = 3 δηλαδή α > β + γ οπότε > 90 ο. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο Γ. i) Αφού αναζητώ την ΑΔ που είναι η προβολή της ΑΒ πάνω στην ΑΓ, θα κάνω Γενίκευση Πυθαγορείου Θεωρήματος για την πλευρά που περισσεύει, την ΒΓ. Ελέγχω τη γωνία που είναι απέναντι από την ΒΓ, η οποία είναι αμβλεία ( > 90 ο ). Στον τύπο θα βάλω +. Έχω: ΒΓ = ΑΓ + ΑΒ + ΑΓ ΑΔ 7 = ΑΔ

5 9 = ΑΔ = 0 ΑΔ 9 3 = 0 ΑΔ 5 = 0 ΑΔ ΑΔ =,5 μονάδες μήκους ii) Αναζητώ την ΜΕ όπου ΜΕ η προβολή της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά ΒΓ. Από ο Θεώρημα Διαμέσων έχω: β γ = α ΜΕ 5 3 = 7 ΜΕ 5 9 = ΜΕ 6 = ΜΕ 6 ΜΕ = 8 ΜΕ = 7 Γ3. Αντί να δείξουμε ότι + = 60 ο, θα αποδείξω ισοδύναμα ότι = 0 ο. ος τρόπος: Στο σχήμα του ερωτήματος Γ i) και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ παρατηρώ ότι ΑΔ =,5 και ΑΒ = 3. Από γνωστό θεώρημα προκύπτει ότι η γωνία B = 30 ο. Άρα Β Α = 60 ο συμπληρωματική της B στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ και Β Α = = 0 ο ως παραπληρωματική της Β Α. ος τρόπος: από νόμο συνημιτόνων α = β + γ βγσυνa 7 = συνa 9 = συνa = 30 συνa 9 3 = 30 συνa 5 = 30 συνa 5 συνa= 30 συνa= = 0 ο ΘΕΜΑ Δ Δ. (ΑΒΓ) = ΑΒ ΑΓ ημ B A = = 6 6 ημ0 ο = = = 9 3 cm Δ. Τα τρίγωνα ΔΕΓ και ΑΔΓ έχουν κοινή τη γωνία Γ. Από γνωστό θεώρημα

6 = = 3 = 3 Άρα: (ΔΕΓ) = (ΑΔΓ) = (ΑΒΓ) = (ΑΒΓ) = 9 3 = 3 3 cm Δ3. Τα τρίγωνα ΔΕΓ και ΑΕΖ είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες ίσες. (κατακορυφήν, εντός εναλλάξ...) με λόγο ομοιότητας λ = λ = ( ) = ( ) = 3 Άρα (ΑΕΖ) = (ΔΕΓ) = 3 3 = 3 cm..οπότε: Δ. Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΔΕΓ έχουν το ίδιο ύψος, αυτό που άγεται από την κοινή κορυφή τους Δ. Άρα ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων τους. Δηλαδή: () = 3 cm.

Σχετικά έγγραφα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ