ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω ) =. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: (α) 3 χ - χ + - χ + 3 = -χ - 1χ (β) χ - - χχ χ + 17 = χ - 3 (γ) 3 3 χ + - χ - = 4χ χ χ Να κάνετε τις πράξεις και να βρείτε την αριθμητική τιμή του αποτελέσματος για χ = -3: χ - 5-3χχ - + χ - 3χ Να κάνετε τις πράξεις και στη συνέχεια να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης για 1 ψ + χ - χ χ - ψ + ψ - χ ψ + χ + χ - ψ χ = - και ψ = 3 : Ενότητα : Παραγοντοποίηση Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις 1. Να αναλύσετε πλήρως σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τα πολυώνυμα: (α) (γ) (ε) 3 3χ - 6χ = χ - 16 = χ +6χ- 7 = (β) (δ) (στ) 5α + 15αβ = 4χ - 9 = χ + 5χ + 6 = (ζ) χ - 7χ + 1 = (η) χ ψ - 3χ ψ = (θ) ωχ + ωψ + χ + ψ = (ι) 3 3 κ - λ + κ - λ = (κ) 9αχ + 6αχ - αψ + α = (λ) 9χ - 30χψ+5ψ = 1

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: χ - α - 4 (α) = (β) = 3 χ - 3χ + χ α + 5α Να κάνετε τις πράξεις: 3 χ - (α) - = χ - 5 χ - 6χ (γ) χ + χ χ - 1 = χ - χ + 1 χ (β) - = χ + χ - χ (γ) - - = χ + 3χ - 10 χ + 5χ χ - χ (δ) β α + - α β α β = (ε) 1 χ - 1χ : χ + χ - χ - 4 (στ) χ + ψ - χψ χ ψ = (ζ) α 4β + α β -α + : = 3 +α α β - 4αβ 6 χ + 6 (η) - = χ - 3χ χ - 9 (θ) 3 : (ι) (κ) χ + 4χ χ - 16 χ + 5χ χ + 8χ + 15 : = (λ) χ 16 χ 4 : χ 7χ 1 = χ 3χ 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) χ - 16χ = 0 (β) χ - 3χ = 4 (γ) χ + χ - 0 = 0 (δ) 4χ - 1χ +9 = 0 (ε) 8χ + χ - 1 = 0 (στ) 3χ - 8χ + 4 = 0 (ζ) χ - χ - 1 = 0 (η) 5χ + 9χ - = 0 (θ) χ + 5χ - 3 = 0

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Να λύσετε τις εξισώσεις: χ (α) - = χ - 3 χ χ - 3χ (β) + = χ χ - 4 χ + χ 4χ + 4 χ + 4 (γ) - = χ + χ - 15 χ - 3 χ + 5χ (δ) χ 4 - = χ χ χ - χ - 3 (ε) 1+7χ 1-4χ χ - 1χ = χ χ χ + χ - 6 χ (ζ) - = χ + 3 χ - 9 χ - 3χ Ενότητα 4: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ι -ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Ευθεία (ε) περνά από τα μέσα Κ, Λ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα Β και Γ ισαπέχουν από την ευθεία (ε).. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Να φέρετε τις διχοτόμους ΒΔ και ΓΕ των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα που τέμνονται στο Ο. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΟΕ και ΓΟΔ είναι ίσα. 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Να προεκτείνετε την πλευρά ΑΒ προς το Β κατά τμήμα ΒΔ και την πλευρά ΑΓ προς το Γ κατά τμήμα ΓΕ έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να δείξετε ότι: (α) ΜΔ = ΜΕ και (β) τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΜΕ είναι ίσα. 4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ προς το μέρος του Α και στις προεκτάσεις σημειώστε αντιστοίχως σημεία Δ και Ε τέτοια ώστε ΑΔ = ΔΕ. Αν Η είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΗ είναι ισοσκελές. 5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ = 90 0) φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ. Αν Ε είναι το μέσο της ΑΒ και Ζ το μέσο της ΑΓ, να δείξετε ότι ΕΖ = ΑΜ. Ενότητα 5: Τριγωνομετρία 1. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία θ το ημθ = 4 να υπολογίσετε το συνθ και εφθ. 5. Να υπολογίσετε τη γωνία Κ ενός τριγώνου ΚΛΜ με κορυφές Κ(,1), Λ(5,1) και Μ (5, 3). 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( =90 ), είναι ημβ = 1. Να υπολογίσετε το συνβ, την εφβ και 13 την σφβ. 3

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Στο πιο κάτω σχήμα να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ, αν γνωρίζετε ότι AB=0m, 50, ΑΒΔ =4. Γ Δ Β 0m Α Ενότητα 6: Ευθεία Γραμμικά Συστήματα 1. Να βρείτε τις κλίσεις των πιο κάτω ευθειών: (α) ψ = 7χ - (β) -χ + 4ψ + 5 = 0. Να βρείτε τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων: α) Α(-4,1) και Β(,4 ) β) Α(5,- 5) και Β(-, -5) 3. Δίνονται τα σημεία Α(3,6) και Β(5,4). Να βρείτε το μέσο Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 4. Το Μ(3,1) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ με Γ(,6) και Δ(χ,ψ). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ. 5. Οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ΑΒΓ είναι Α(,8), Β(-,0), Γ(6,8). α) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(, -3 ) και έχει κλίση λ=4. 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο 1, - με κλίση Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας: 1) που διέρχεται από τα σημεία ( 5, -1 ) και ( 3, ) ) που διέρχεται από τα σημεία ( -5, 4 ) και (, 4 ) 3) που διέρχεται από τα σημεία ( -3, 4 ) και ( -3,- 6 ) 4) που περνά από το σημείο (3,-6) και είναι παράλληλη με την ευθεία 3χ y = 6 9. Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφές Α( 3,), Β(,4) και Γ(4,0). α)να δείξετε ότι η κλίση της ΒΓ είναι λβγ = β) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΜ. 4

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Να βρεθεί ο α ώστε οι ευθείες y = 3χ και y = (a 7)χ + 6 να είναι παράλληλες. 11. Δίνονται οι πιο κάτω γραφικές παραστάσεις: Με τη βοήθεια των πιο πάνω γραφικών παραστάσεων να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: i) x + y = 8 x y = ii) y = 3 x y = iii) x = 6 x + y = 8 iv) y = 0 x + y = 8 v) x = 0 x y = 1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α-3, 4 και είναι παράλληλη με την ευθεία χ - ψ = 5. Ακολούθως να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες χχ και ψψ. 13. Δίνεται η ευθεία ψ = αχ + β. Να υπολογίσετε τα α και β αν τα σημεία Α1, 5 και Β-1, 1 ανήκουν στην ευθεία. 14. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο -6, και είναι παράλληλη με την ευθεία χ + ψ = Αν η ευθεία: ε 1 : ψ = 3α - 7χ + είναι παράλληλη με την ευθεία: ε : ψ = 5χ - 4, να βρεθεί η αριθμητική τιμή του α. 16. Η ευθεία ψ = α + 1χ + 3β είναι παράλληλη με την ευθεία ψ = 4χ - 1 και περνά από το σημείο -3, 3 να βρείτε τα α και β. 5

6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: (α) χ + 3ψ = 5 3χ - ψ = 4 (β) χ + 3ψ = 7 χ + ψ = 4 (γ) χ + 3ψ = -6 χ - ψ = 4 3χ-5-4 χ + ψ = - (δ) ψ - χ 3χ - 10 χ + ψ - = Να λύσετε τα προβλήματα με την βοήθεια συστημάτων: (α) Το άθροισμα των ηλικιών ενός πατέρα και της κόρης του είναι 50 χρόνια. Μετά από 5 χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια από την ηλικία της κόρης του. Πόσων χρονών είναι ο καθένας τους σήμερα; (β) Το άθροισμα των ηλικιών του Γιώργου και της Μαρίας είναι 45 χρόνια. Πριν 5 χρόνια η ηλικία του Γιώργου ήταν εξαπλάσια από την ηλικία της Μαρίας. Ποιες οι σημερινές τους ηλικίες; (γ) Τa ημερομίσθια 10 οικοδόμων και 3 εργατών είναι 95. Αν κάθε οικοδόμος παίρνει για 3 μέρες όσα παίρνει κάθε εργάτης για 5 μέρες, να βρείτε το ημερομίσθιο του καθενός. (δ) Τα πρόβατα και τα περιστέρια του Γιώργου έχουν 40 πόδια. Αν όλα τα ζώα είναι 90, να βρείτε πόσα είναι τα περιστέρια και πόσα τα πρόβατα. Ενότητα 8: Στερεομετρία 1. Να υπολογίσετε τον όγκο και την ολική επιφάνεια ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις 6 m, 5 m, και 3 m.. Να υπολογίσετε το μήκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που έχει Εολ=104cm, πλάτος 6cm και ύψος cm. 3. Να υπολογίσετε το ύψος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που έχει όγκο 400cm 3, μήκος 8cm και πλάτος 5cm. 4. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όγκο 36cm 3 και πλάτος 3cm. Αν το ύψος του είναι τριπλάσιο του μήκους του να υπολογίσετε: α) το μήκος και το πλάτος του β) τη διαγώνιο του. 5. Να βρείτε τον όγκο και την ολική επιφάνεια κύβου ακμής 4cm. 6

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Αν το εμβαδόν κύβου είναι 54cm να υπολογίσετε τον όγκο του. 7. Κύβος έχει όγκο 15cm 3. Να βρείτε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του. 8. Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχουν τον ίδιο όγκο. Η ακμή του κύβου είναι 6 cm και το ύψος του παραλληλεπιπέδου είναι 1 cm. Αν το μήκος του παραλληλεπιπέδου είναι διπλάσιο του πλάτους του να βρείτε τις διαστάσεις και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. 9. Ορθό τετραγωνικό πρίσμα έχει πλευρά βάσης ίση με 5m και ύψος 8m. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του β) Το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας γ) Τον όγκο του 10. Τετραγωνικό πρίσμα έχει πλευρά βάσης 4 m και εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 80m. Να βρείτε τον όγκο του πρίσματος. 11. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει ακμή βάσης 6m και το παράπλευρο ύψος της 5m. Να υπολογίσετε την επιφάνεια και τον όγκο της. 1. Ο όγκος τετραγωνικής πυραμίδας είναι ίσος με 400m 3 και το ύψος της 1m. Να βρείτε το εμβαδό της ολικής επιφάνειας της. 13. Αν το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας κυλίνδρου είναι 30π cm και το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας 80πcm, να υπολογίσετε τον όγκο του. 14. Κώνος έχει ακτίνα βάσης 5 cm και γενέτειρα 13 cm. Να υπολογίσετε τον όγκο του και το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας. 15. Αν ο όγκος κυλίνδρου είναι 3π cm³και το υ = 4R να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κυλίνδρου. 16. Για να υπολογίσετε τον όγκο μιας πέτρας ο Αντρέας χρησιμοποίησε ένα κυλινδρικό δοχείο, όπως φαίνεται στο σχήμα, με ακτίνα 10 cm και έβαλε μέσα υγρό ή στάθμη του οποίου έφτασε μέχρι 15 cm από τη βάση του δοχείου. Ακολούθως τοποθέτησε μέσα την πέτρα και παρατήρησε ότι η στάθμη του δοχείου ανέβηκε στα 0 cm από τη βάση. Να υπολογίσετε τον όγκο της πέτρας. 17. Η κυρτή επιφάνεια κώνου είναι 0π cm² και το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας 36π cm².να υπολογίσετε τον όγκο του. 7

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ένα μικρό επιτραπέζιο φωτιστικό έχει κάλυμμα σε σχήμα κώνου με ύψος 8 cm και διάμετρο βάσης 1 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του καλύμματος. Ενότητα 9: Παραβολή 1. Στo σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής με εξίσωση y = 3 x. (α) Να γράψετε την εξίσωση του άξονα συμμετρίας της. (β) Να γράψετε δύο συμμετρικά σημεία της παραβολής ως προς τον άξονα συμμετρίας της. (γ) Να γράψετε τις συντεταγμένες της κορυφής της. (δ) Να βρείτε κατά πόσο έχει μέγιστο ή ελάχιστο. (ε) Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου της παραβολής που έχει τετμημένη 3. (στ) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της παραβολής που έχουν τεταγμένη 6.. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα τιμών και να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις παραβολές: f(x) = x, g(x) = x, h(x) = 3x, x R. x x x 3x 3. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα τιμών και να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις παραβολές: f(x) = x, g(x) = x, h(x) = 3x, x R. x x x 3x 8

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των παραβολών φ, κ, f, h, g. Να αντιστοιχίσετε τη γραφική παράσταση καθεμιάς από τις πιο κάτω παραβολές με την αντίστοιχη εξίσωση που τη χαρακτηρίζει: Γραφική Παράσταση: Εξίσωση: (α) φ 1) y = x (β) κ ) y = x (γ) f 3) y = 3x (δ) g 4) y = 1 x (ε) h 5) y = 1 4 x 5. Να βρείτε την εξίσωση καθεμιάς από τις πιο κάτω παραβολές: (α) (β) 6. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ, ώστε η παραβολή με εξίσωση y = (5λ 0)x, x R να παρουσιάζει μέγιστο. 7. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ, ώστε η παραβολή με εξίσωση y = (λ + 16)x, x R να παρουσιάζει ελάχιστο. Ενότητα 10: Γεωμετρία ΙΙ-Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ σημεία των πλευρών ΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΕ=ΖΓ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο.. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή το Α και ίσες τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ προς τα Β και Γ παίρνουμε σημεία Δ, Ε αντίστοιχα, ώστε ΒΔ = ΓΕ. Από τα σημεία Δ και Ε φέρουμε κάθετες στη προέκταση της ΒΓ που την 9

10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ τέμνουν στα σημεία Κ και Μ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: i) ΔΚ = ΜΕ και ii) το τετράπλευρο ΚΔΕΜ είναι ορθογώνιο. 3. Nα δείξετε ότι τα σημεία A( 5, 3), B(1, 3), Γ(3,) και Δ( 3,) είναι κορυφές παραλληλογράμμου. 4. Δίνονται τα σημεία: K(4,3), Λ(9,0), Μ(8, 5) και Ν(3, ). Να δείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο και ακολούθως να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου του. 5. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(3,5), Β( 3,3), Γ(3,1) και Δ(9,3). Να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. 6. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με κέντρο Ο. Παίρνουμε δύο σημεία Ε και Ζ της ΑΓ, τέτοια ώστε ΟΕ = ΟΖ = ΟΒ = ΟΔ. Να αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι τετράγωνο. 7. Δίνονται τα σημεία Α(0,4), Β(,), Γ(0,0) και Δ(,). Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. 8. Να υπολογίσετε την τιμή του ν σε καθένα από τα πιο κάτω τρίγωνα. (1) () 54 3ν ν-3 9,5 (3) (4) 6ν ν-9 4ν Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλόγραμμου. 10. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου. 11. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ο είναι το μέσο της διαγωνίου ΑΓ και Ε, Ζ σημεία πάνω στην ΑΓ τέτοια ώστε ΟΕ = ΟΖ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. 10