Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.
|
|
|
- Ῥεβέκκα Κοντόσταυλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο κυλίνδρου. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο κώνου. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο σφαίρας. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 113
2 Έχουμε μάθει Να αναγνωρίζουμε στερεά σχήματα όπως: ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κύβος κύλινδρος κώνος πυραμίδες πρίσματα Να αναγνωρίζουμε χαρακτηριστικά στοιχεία τους όπως: κορυφές έδρες ακμές στερεών Πρίσμα Κύλινδρος Να αναγνωρίζουμε τα αναπτύγματα στερεών σχημάτων όπως: κύβος πρίσμα κύλινδρος πυραμίδα 114 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
3 Έχουμε μάθει Να υπολογίζουμε το Εμβαδόν της επιφάνειας παραλληλεπιπέδου. Παράδειγμα: Το διπλανό παραλληλεπίπεδο έχει 2 κόκκινες επιφάνειες με εμβαδόν 3 5 = 15 m 2 2 μπλε επιφάνειες με εμβαδόν 2 5 = 10 m 2 και 2 κίτρινες επιφάνειες με εμβαδόν 2 3 = 6 m 2 Άρα το συνολικό εμβαδόν είναι = 62 m 2 Να υπολογίζουμε τον Όγκο παραλληλεπιπέδου. Παράδειγμα: Το διπλανό παραλληλεπίπεδο έχει διαστάσεις 4 m 5 m 3 m Άρα o όγκος του είναι = 60 m 3 Να αναγνωρίζουμε σχέσεις ευθειών στο χώρο. Παράδειγμα: Οι κόκκινες ευθείες είναι παράλληλες. Οι πράσινες ευθείες τέμνονται στο σημείο Θ και ονομάζονται τεμνόμενες. Να αναγνωρίζουμε την τομή δύο επιπέδων καθώς και την τομή ευθείας και επιπέδου. Παράδειγμα: Η τομή των επιπέδων (Π) και (Ν) είναι η ευθεία ΑΡ. Η τομή ευθείας της ευθείας ε 1 και του επιπέδου (Ν) είναι το σημείο Α. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 115
4 Ευθείες και Επίπεδα στο Χώρο Εξερεύνηση Να μελετήσετε τις πιο κάτω εικόνες και να σχολιάσετε τι παρατηρείτε για τις ευθείες και τα επίπεδα που φαίνονται. Διερεύνηση Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn05_EythiesEpipeda.ggb». Μέσω των κουτιών επιλογής μπορείτε να εμφανίσετε ή να αποκρύψετε σημεία, ευθείες και επίπεδα. Να κάνετε τις κατάλληλες επιλογές, να μετακινήσετε το σημείο σε διάφορες θέσεις και να μελετήσετε τις διάφορες σχέσεις μεταξύ: ευθείας και επιπέδου δύο επιπέδων 116 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
5 Μαθαίνω Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο χώρο Δύο διαφορετικές ευθείες ) και ) του χώρου μπορεί να είναι: Παράλληλες, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο. Π ζ ε Ασύμβατες, δηλαδή να μη βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (δεν έχουν κανένα κοινό σημείο). ε ζ Να τέμνονται, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο (έχουν ένα κοινό σημείο). ε Π ζ Να ταυτίζονται, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να έχουν όλα τα σημεία τους κοινά. Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου Π ζ ε Μια ευθεία ) μπορεί να είναι παράλληλη με ένα επίπεδο ), δηλαδή η ευθεία να μην έχει κανένα κοινό σημείο με το επίπεδο. Π ε Μια ευθεία ) μπορεί να ανήκει σε ένα επίπεδο ), δηλαδή όλα τα σημεία της ανήκουν στο επίπεδο. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 117
6 Μια ευθεία ) μπορεί να τέμνει ένα επίπεδο ) σε ένα σημείο. Το σημείο στο οποίο η ευθεία ) τέμνει το επίπεδο ) λέγεται ίχνος της ευθείας ) στο ). Μια ευθεία ) είναι κάθετη σε ένα επίπεδο ), αν είναι κάθετη σε οποιαδήποτε ευθεία του επιπέδου η οποία διέρχεται από το ίχνος της ) στο ). Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων στο χώρο Δύο διαφορετικά επίπεδα του χώρου μπορεί: Να είναι παράλληλα. Π Ρ Να τέμνονται. Η τομή τους είναι μία ευθεία. Ρ ε Π 118 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
7 Παράδειγμα 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένας κύβος. Να ονομάσετε: (α) δύο παράλληλα επίπεδα (β) δύο τεμνόμενα επίπεδα (γ) δύο ασύμβατες ευθείες (δ) δύο ευθείες κάθετες στο επίπεδο ). Λύση: (α) Τα επίπεδα ) και ) είναι παράλληλα. (β) Τα επίπεδα ) και ) τέμνονται. (γ) Οι ευθείες ) και ) είναι ασύμβατες. (δ) Οι ευθείες ) και ) είναι κάθετες στο επίπεδο ). Δραστηριότητες 1. Με βάση το διπλανό σχήμα, να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Οι ευθείες ) και ) είναι ασύμβατες. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (β) Τα επίπεδα ) και ) δεν τέμνονται. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (γ) Τα ευθύγραμμα τμήματα ) και ) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. 2. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδασκαλίας σας: α. Δύο ευθείες παράλληλες και το επίπεδο που ορίζουν. β. Τρεις ευθείες ανά δύο ασύμβατες. γ. Μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο του δαπέδου. 3. Στο σχήμα δίνεται ένα παραλληλεπίπεδο. Να ονομάσετε: (α) Δύο παράλληλα επίπεδα. (β) Δύο επίπεδα που τέμνονται. (γ) Δύο ασύμβατες ευθείες. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 119
8 Εμβαδόν και Όγκος Ορθού Πρίσματος Διερεύνηση Να παρατηρήσετε το πιο κάτω σχήμα και να υπολογίσετε τον όγκο του. Να καλύψετε το κενό και να δώσετε έναν γενικό τύπο για τον υπολογισμό του όγκου του σχήματος που θα δημιουργηθεί. Ορθό πρίσμα ή απλώς πρίσμα είναι το στερεό που έχει: δύο έδρες παράλληλες και ίσες, οι οποίες ονομάζονται βάσεις του πρίσματος τις άλλες έδρες οι οποίες είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα και ονομάζονται παράπλευρες έδρες. Οι πλευρές των εδρών του πρίσματος ονομάζονται ακμές. Μαθαίνω Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ) ενός πρίσματος είναι το άθροισμα των εμβαδών των παράπλευρων εδρών του. Ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης του ) επί το ύψος ) του πρίσματος. Δηλαδή: = ) ) ή = 120 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
9 Το ολικό εμβαδόν ενός πρίσματος ) είναι το άθροισμα του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας ) και των εμβαδών ) των δύο βάσεων. Δηλαδή: = + Ο όγκος ) ενός πρίσματος ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του ) επί το ύψος ), δηλαδή: = ) ) ή =. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ονομάζεται το πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Διαστάσεις ) ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ονομάζονται τα μήκη των τριών ακμών που έχουν κοινό το ένα άκρο τους. Διαγώνιος ) του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο κορυφές του που ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα. Το τετράγωνο της διαγωνίου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, δηλαδή = + +. Απόδειξη: Το είναι η διαγώνιος της βάσης. Άρα, θα έχουμε ) = +. Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο. ) = ) + ) ) = και ) =, άρα = + +. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι = + + ). Ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι =. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 121
10 Κύβος ονομάζεται το πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι τετράγωνα με πλευρά και οι παράπλευρες έδρες είναι τετράγωνα. Η διαγώνιος, είναι =. Το εμβαδό της ολικής επιφάνειας ενός κύβου είναι =. Ο όγκος ενός κύβου είναι =. Σημείωση: Ως μονάδα μέτρησης όγκου θεωρούμε ένα κύβο με ακμή μήκους 1. Ο όγκος του ισούται με 1 (κυβικό μέτρο). Για τη μέτρηση του όγκου των υγρών χρησιμοποιούμε το (κυβικό δεκατόμετρο) το οποίο ονομάζουμε ως λίτρο ). Το (κυβικό εκατοστόμετρο) λέγεται χιλιοστόλιτρο ). Παραδείγματα 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις και. Λύση: = = και = = + + ) = + + ) = = = = 1 2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ορθού πρίσματος του οποίου το ύψος είναι και οι βάσεις του είναι ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές 3 και, αντίστοιχα. Λύση: Υπολογίζουμε την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου : ) = 3 + ) = + 1 ) = 5 = 5 = 5 Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του ορθού πρίσματος είναι: = = ) = 1 = 122 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
11 Το εμβαδόν της βάσης είναι: = = Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας είναι: = + = + = 1 3. Ένα ενυδρείο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Οι διαστάσεις της βάσης του είναι 5 και και το ύψος του είναι 5. Να υπολογίσετε πόσα λίτρα νερό θα χρειαστούν, για να γεμίσει το ενυδρείο κατά τα του. Λύση: Υπολογίζουμε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου: = = 5 5 = 5 Ο όγκος του νερού είναι: = 5 = Γνωρίζουμε ότι 1 = 1 =, = = Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο κύβου με ακμή = Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όγκο =. Οι διαστάσεις της βάσης είναι και αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας και το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του παραλληλεπιπέδου. 3. Ένα πρίσμα έχει βάση τετράγωνο. Το ύψος του πρίσματος είναι 15 και το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του πρίσματος. 4. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Αν διπλασιάσουμε την πλευρά της βάσης ενός κύβου, ο όγκος του οκταπλασιάζεται. (β) Αν διπλασιάσουμε το ύψος ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, τότε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του διπλασιάζεται. (γ) Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όλες τις διαγώνιές του ίσες. (δ) Σε κάθε ορθό πρίσμα οι παράπλευρες έδρες του είναι ίσα ορθογώνια. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 123
12 5. Το εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι 35. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του, αν γνωρίζετε ότι είναι ανάλογες προς τους αριθμούς Οι διαστάσεις της βάσης ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι και. Αν η διαγώνιος του είναι =, να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειάς του και τον όγκο του. 7. Αν η διαγώνιος κύβου είναι = 5 3, να υπολογίσετε το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειάς του και τον όγκο του. 8. Να υπολογίσετε τον όγκο ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου του οποίου οι διαστάσεις είναι διπλάσιες από τις διαστάσεις άλλου ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με όγκο Ορθό πρίσμα έχει βάση ρόμβο με διαγώνιους = και = 1. Το ύψος του πρίσματος είναι 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του πρίσματος σε. 10. Επενδύσαμε μια μεταλλική δοκό που έχει σχήμα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ξύλινο πλαίσιο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η βάση της μεταλλικής δοκού έχει διαστάσεις 15 και και το ύψος της είναι 3. Το ξύλινο πλαίσιο έχει το ίδιο ύψος με τη μεταλλική δοκό και η βάση του είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις 35 και. Γεμίσαμε το κενό που δημιουργείται με συμπαγές μονωτικό υλικό. Να υπολογίσετε τον όγκο του υλικού που χρησιμοποιήσαμε. 124 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
13 Εμβαδόν και Όγκος Κανονικής Τετραγωνικής Πυραμίδας Διερεύνηση (1) Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn05_Pyramida.ggb». Να περιστρέψετε την πυραμίδα, να ανοίξετε και να κλείσετε το ανάπτυγμά της. Τι σχήμα έχουν οι επιφάνειες μιας τετραγωνικής πυραμίδας; Να βρείτε τον τύπο που υπολογίζει το εμβαδόν της ολικής της επιφάνειας. Διερεύνηση (2) Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn05_OgkosPyramida.ggb». Να μετακινήσετε τον δρομέα, για να μεταφέρετε το νερό, από την πυραμίδα, στο πρίσμα που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Να παρατηρήσετε τη σχέση μεταξύ των όγκων των δύο στερεών. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 125
14 Μαθαίνω Πυραμίδα ονομάζεται το στερεό, που έχει μια έδρα του να είναι πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του να είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή. Το πολύγωνο ονομάζεται βάση της πυραμίδας. Η κοινή κορυφή των τριγώνων ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας. Οι τριγωνικές έδρες της πυραμίδας, που έχουν κοινή κορυφή, ονομάζονται παράπλευρες έδρες της πυραμίδας. Το ευθύγραμμο τμήμα που άγεται από την κορυφή της πυραμίδας και είναι κάθετο στη βάση της, ονομάζεται ύψος της πυραμίδας. Παράδειγμα: Στο διπλανό σχήμα το πολύγωνο είναι η βάση της πυραμίδας, το σημείο είναι η κορυφή της, τα τρίγωνα και είναι οι παράπλευρες έδρες της και το ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο είναι κάθετο στη βάση της πυραμίδας, είναι το ύψος της πυραμίδας. Κανονική τετραγωνική πυραμίδα ονομάζεται το στερεό του οποίου η μία έδρα είναι τετράγωνο και ονομάζεται βάση της πυραμίδας και οι άλλες έδρες του είναι ισοσκελή τρίγωνα ίσα μεταξύ τους με κοινή κορυφή και ονομάζονται παράπλευρες έδρες της. Το ευθύγραμμο τμήμα που άγεται από την κορυφή της πυραμίδας κάθετα στο επίπεδο της βάσης ονομάζεται ύψος ) της πυραμίδας. Το ύψος μιας παράπλευρης έδρας της πυραμίδας ονομάζεται παράπλευρο ύψος ή απόστημα ) της πυραμίδας. Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας της κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι = Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι = +. Ο όγκος της πυραμίδας είναι. =. 126 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
15 Παράδειγμα Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει εμβαδόν βάσης και παράπλευρο ύψος 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο της πυραμίδας. Λύση: Υπολογίζουμε την πλευρά της βάσης της πυραμίδας: = = = Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα, για να υπολογίσουμε το ύψος της πυραμίδας: + = 1 = 1 1 = 1 = Υπολογίζουμε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας: = + = = = 1 = 1 + = 5 υ h = 12 Ο όγκος της πυραμίδας είναι: = = = α 2 = 4 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 127
16 Δραστηριότητες 1. Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει πλευρά βάσης 1 και απόστημα 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο της πυραμίδας. 2. Μια κανονική πυραμίδα έχει βάση τετράγωνο πλευράς. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι. Να υπολογίσετε το απόστημα της πυραμίδας. 3. Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας ισούται με 1 και το παράπλευρο ύψος της είναι. Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας. 4. Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει βάση με περίμετρο και ύψος 15. Να υπολογίσετε τον όγκο της. 5. Η διαγώνιος της βάσης κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 5. Αν το ύψος της πυραμίδας είναι 1, να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας. 6. Το εμβαδόν της βάσης κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 1. Το ύψος της πυραμίδας είναι ίσο με το της περιμέτρου της βάση της. Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας. 7. Στο σχήμα φαίνεται η ξύλινη στέγη μιας κατοικίας που είναι κανονική τετραγωνική πυραμίδα. Η πλευρά της βάσης έχει μήκος 1 και οι παράπλευρες έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Η στέγη στηρίζεται από μια κεντρική δοκό, κάθετη στο κέντρο της βάσης. Οι παράπλευρες έδρες θα καλυφθούν με ειδικό υλικό που στοιχίζει 5 το τετραγωνικό μέτρο. Οι δοκοί για την κατασκευή του σκελετού της στέγης και της δοκού αντιστήριξης (όπως φαίνονται στο σχήμα με έντονες γραμμές) στοιχίζουν 15 το μέτρο. Να υπολογίσετε το συνολικό κόστος κατασκευής της ξύλινης στέγης. 128 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
17 Εμβαδόν και Όγκος Κυλίνδρου Διερεύνηση Να χρησιμοποιήσετε το ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο «ΛΤ_ΜΑΘ_Β_ΨΕΠ26_Στερεά εκ περιστροφής (Κύλινδρος, Κώνος)_1.0». Να επιλέξετε την «ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Κύλινδρος» και να ακολουθήσετε τις οδηγίες των παραγράφων 1.1, 1.2 και 1.3. Μαθαίνω Ορθός κύλινδρος ή κύλινδρος ονομάζεται το στερεό που παράγεται από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το οποίο εκτελεί μια πλήρη περιστροφή στον χώρο γύρω από μια πλευρά του. Το ευθύγραμμο τμήμα γύρω από το οποίο περιστρέφεται, λέγεται άξονας ή ύψος κυλίνδρου. ) του Οι παράλληλοι κύκλοι που δημιουργούνται από την περιστροφή ονομάζονται βάσεις και η ακτίνα τους, ακτίνα ) του κυλίνδρου. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 129
18 Η επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή του τμήματος που είναι παράλληλο με τον άξονα ονομάζεται κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου. Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι =. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας είναι = + ή = +. Ο όγκος του κυλίνδρου είναι =. Παράδειγμα Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης και εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας. Να υπολογίσετε: (α) το ύψος του κυλίνδρου (β) το ολικό εμβαδόν του κυλίνδρου. Λύση: (α) = = = = = = 5 (β) = = 5 = 130 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
19 Δραστηριότητες 1. Ένας κύλινδρος έχει διάμετρο βάσης 1 και ύψος. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας και τον όγκο του κυλίνδρου. 2. Ένας κύλινδρος έχει όγκο ίσο με 1 5. Αν το ύψος του είναι ίσο με, να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κυλίνδρου. 3. Ένα κυλινδρικό κουτί, ανοικτό από πάνω, έχει ύψος 1 και ακτίνα βάσης. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της συνολικής του επιφάνειας. 4. Μια κυλινδρική δεξαμενή έχει ύψος και ακτίνα βάσης ίση με τα του ύψους της. Να υπολογίσετε τον όγκο της δεξαμενής. 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας κυλίνδρου, αν η διάμετρος της βάσης του είναι ίση με και το ύψος του είναι διπλάσιο της ακτίνας του. 6. Στο σχήμα δίνονται δύο κύλινδροι. Οι βάσεις τους είναι ομόκεντροι κύκλοι και η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου είναι και του εξωτερικού κύκλου. Αν το ύψος των δύο κυλίνδρων είναι 1, να υπολογίσετε το εμβαδόν και τον όγκο του στερεού που παράγεται αν ο εσωτερικός κύλινδρος είναι κενός. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 131
20 Εμβαδόν και Όγκος Κώνου Διερεύνηση Να χρησιμοποιήσετε το ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο «ΛΤ_ΜΑΘ_Β_ΨΕΠ26_Στερεά εκ περιστροφής (Κύλινδρος, Κώνος)_1.0». Να επιλέξετε την «ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Κώνος» και να ακολουθήσετε τις οδηγίες των παραγράφων 2.1, 2.2 και 2.3. Μαθαίνω Ορθός κώνος ή απλώς κώνος λέγεται το στερεό σχήμα που παράγεται από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από μια κάθετη πλευρά του. Το ευθύγραμμο τμήμα γύρω από το οποίο περιστρέφεται, λέγεται άξονας ή ύψος ) του κώνου. Ο κύκλος που δημιουργείται από την περιστροφή ονομάζεται βάση και η ακτίνα της, ακτίνα ) του κώνου. 132 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
21 Η επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή της υποτείνουσας ονομάζεται κυρτή επιφάνεια του κώνου και η υποτείνουσα ονομάζεται γενέτειρα ) του κώνου. Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου είναι =. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας είναι = + ή = +. Ο όγκος κώνου είναι =. Παράδειγμα Ένας κώνος έχει ύψος = και ακτίνα βάσης = 3. Να υπολογίσετε το εμβαδό της κυρτής επιφάνειας και τον όγκο του κώνου. Λύση: Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα, για να υπολογίσουμε τη γενέτειρα του κώνου: = + 3 = 5 = 5 Το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας του κώνου είναι: = = 3 5 = 15 Ο όγκος του κώνου είναι: = = = 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 133
22 Δραστηριότητες 1. Ένας κώνος με διάμετρο βάσης έχει γενέτειρα = 5. Να υπολογίσετε: (α) το ύψος του κώνου (β) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κώνου. 2. Το εμβαδόν της βάσης ενός κώνου είναι 5. Αν η γενέτειρα του κώνου είναι ίση με 13, να υπολογίσετε το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας και τον όγκο του κώνου. 3. Ένας κώνος έχει όγκο της κυρτής επιφάνειας του κώνου. και ακτίνα βάσης. Να υπολογίσετε το εμβαδόν 4. Η κυρτή επιφάνεια ενός κώνου είναι 1 και η γενέτειρα του είναι 13. Να υπολογίσετε τον όγκο του κώνου. 5. Το ύψος του κώνου που φαίνεται στο διπλανό σχήμα έχει μήκος = 3 και σχηματίζει γωνία = 3 με τη γενέτειρα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του κώνου. 6. Σε έναν κώνο η γενέτειρα είναι ίση με τα του ύψους του. Αν + = 5, να υπολογίσετε το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας και τον όγκο του κώνου. 7. Να υπολογίσετε τον λόγο του εμβαδού της βάσης ενός κώνου προς το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειάς του, αν το ύψος του είναι ίσο με τη διάμετρο της βάσης του. 8. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένα κωνικό δοχείο με ακτίνα και ύψος 1. Τοποθετούμε υγρό στο δοχείο και η στάθμη του υγρού φτάνει σε ύψος. Αν η ακτίνα του κύκλου που σχηματίζεται από το υγρό είναι, να υπολογίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό του όγκου του δοχείου που είναι άδειο. 134 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
23 Εμβαδόν και Όγκος Σφαίρας Διερεύνηση Να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό «Dalest - Elica potter s wheel». Να επιλέξετε το πλήκτρο «Another set» μέχρι να εμφανιστεί η ένδειξη «circle set». Στη συνέχεια να επιλέξετε το πλήκτρο «Another figure» μέχρι να εμφανιστεί στην οθόνη σας ένας κύκλος. Να επιλέξετε το πλήκτρο «Design» και να μετακινήσετε τον κύκλο έτσι ώστε το κέντρο του να είναι στον άξονα περιστροφής. Στη συνέχεια να επιλέξετε το πλήκτρο «See in 3D» και στη συνέχεια το πλήκτρο «Split». Τι παρατηρείτε; Μαθαίνω Σφαίρα ονομάζεται το στερεό που παράγεται, αν περιστρέψουμε έναν κύκλο ) γύρω από μία διάμετρό του. Η επιφάνεια που δημιουργείται από την περιστροφή του κύκλου ονομάζεται επιφάνεια της σφαίρας. Το κέντρο του κύκλου ) είναι το κέντρο της σφαίρας. Η απόσταση οποιουδήποτε σημείου της επιφάνειας της σφαίρας από το κέντρο είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου ) και είναι η ακτίνα της σφαίρας. Το εμβαδό της επιφάνειας της σφαίρας είναι = Ο όγκος της σφαίρας είναι =. Σημείωση: Η τομή ενός επιπέδου και μιας σφαίρας είναι κύκλος. Όταν το κέντρο της σφαίρας ανήκει στο επίπεδο, τότε ο κύκλος στον οποίο τέμνονται ονομάζεται μέγιστος κύκλος ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 135
24 Παράδειγμα Να υπολογίσετε τον όγκο σφαίρας με επιφάνεια. Λύση: = = = 1 = = = = Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και τον όγκο σφαίρας με ακτίνα =. 2. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. Αν διπλασιάσουμε την ακτίνα μιας σφαίρας, τότε ο όγκος της: Α. Διπλασιάζεται Β. Τριπλασιάζεται Γ. Τετραπλασιάζεται Δ. Οκταπλασιάζεται 3. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. Το εμβαδόν μιας σφαίρας με ακτίνα και το εμβαδόν ενός μέγιστου κύκλου της σφαίρας έχουν λόγο: Α. 1 Β. Γ. Δ. 4. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας είναι τετραπλάσιο από το εμβαδόν ενός μέγιστου κύκλου της. (β) Η τομή σφαίρας και επιπέδου είναι πάντα κύκλος. (γ) Η τομή σφαίρας και επιπέδου που διέρχεται από το κέντρο του είναι πάντα κύκλος. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και τον όγκο ενός κλειστού κουτιού που έχει σχήμα ημισφαίριο με ακτίνα =. 6. Μια μπάλα από ελαστικό έχει εσωτερική ακτίνα 15 και το πάχος του ελαστικού είναι. Να υπολογίσετε τον όγκο του ελαστικού. 136 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
25 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Στο σχήμα δίνεται ένας κύλινδρος με ύψος = 3 και ακτίνα = και ένας κώνος με ακτίνα το μισό της ακτίνας του κυλίνδρου και γενέτειρα = 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού. 2. Τοποθετούμε μια πυραμίδα σε έναν κύβο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν το ύψος της πυραμίδας είναι διπλάσιο από την ακμή του κύβου, να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που δημιουργείται συναρτήσει του. 3. Μια εταιρεία συσκευάζει αλάτι σε δύο διαφορετικές συσκευασίες όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: 8 4 cm Αλάτι 13 5 cm Αλάτι 15 cm 10 cm 5 cm (α) Να συγκρίνετε τον όγκο των δύο συσκευασιών, αν γεμίζουν πλήρως. (β) Ποια συσκευασία εξυπηρετεί καλύτερα την εταιρεία για σκοπούς αποθήκευσης και τακτοποίησης των προϊόντων στα ράφια των υπεραγορών; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 4. Ένας μαθητής που βρίσκεται στο εργαστήριο της χημείας έχει στη διάθεσή του έναν κυλινδρικό δοκιμαστικό σωλήνα με διάμετρο και ύψος 3. Ο σωλήνας περιέχει υγρό μέχρι τη μέση. Ο μαθητής άδειασε το περιεχόμενο του σωλήνα σε δοχείο σχήματος κώνου με ακτίνα βάσης 3, ο οποίος και γέμισε. Να υπολογίσετε το ύψος του κωνικού δοχείου. ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 137
26 5. Στο σχήμα οι δύο κώνοι είναι ίσοι και η κορυφή τους είναι το μέσο του ύψους, του κυλίνδρου. (α) Αν =, να δείξετε ότι =, όπου η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου. (β) Αν είναι ο όγκος του κυλίνδρου και ο όγκος του κάθε κώνου, να υπολογίσετε τον λόγο. (γ) Να υπολογίσετε τον όγκο του μέρους του κυλίνδρου που περικλείεται από τον κύλινδρο και τους δύο κώνους. 6. Για να φτιάξουμε το κάλυμμα ενός πολύφωτου (αμπαζούρ) χρησιμοποιούμε ειδικό πάπυρο. Το σχήμα προκύπτει από τη διαφορά δύο κώνων. (α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του πάπυρου που χρειαζόμαστε, αν ο μεγάλος κώνος έχει ύψος και ακτίνα βάσης 15, ενώ ο μικρός έχει ύψος και ακτίνα βάσης 1. (β) Αν ο πάπυρος κοστίζει 35 το τετραγωνικό μέτρο, πόσο θα κοστίσει το κάλυμμα; 7. Ένα εργοστάσιο που κατασκευάζει κεριά αγοράζει την πρώτη ύλη σε ράβδους από κερί που έχουν σχήμα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις, 1, 1. Θα χρησιμοποιήσει 1 ράβδους από κερί, για να κατασκευάσει διακοσμητικά κεριά που θα έχουν σχήμα κύβου με ακμή. (α) Πόσα διακοσμητικά κεριά θα κατασκευάσει, χωρίς να έχει απώλεια πρώτης ύλης; (β) Αν η κάθε ράβδος στοιχίζει 5, πληρώνει 5 για εργατικά και για έξοδα συσκευασίας, πόσα τοις εκατό θα κερδίσει αν πωλεί τα διακοσμητικά κεριά προς 5 σεντ το ένα; 8. Ένα ποτήρι έχει σχήμα κυλίνδρου με διάμετρο και ύψος 1. Είναι γεμάτο με νερό μέχρι το του ύψους του. Αν τοποθετήσουμε στο ποτήρι 3 παγάκια (συμπαγή) σχήματος κύβου με ακμή, να υπολογίσετε: (α) το ύψος στο οποίο θα ανεβεί η στάθμη του νερού, όταν θα λιώσουν τα παγάκια (β) τον όγκο του νερού, όταν θα λιώσουν τα παγάκια. 138 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
27 9. Στο σχήμα δίνονται ένας κύλινδρος και ένας κώνος. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που δημιουργείται. 10. Στο σχήμα φαίνονται τρία ημικύκλια. Το σχήμα περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα. Αν = και = 1, να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από το σκιασμένο χωρίο. 11. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, η γωνία = 1 και η =. Το σχήμα περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από την πλευρά. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται. 12. Το ορθογώνιο του διπλανού σχήματος στρέφεται γύρω από την κατά 3 και σχηματίζει έναν κύλινδρο. Αν = 3 3 και =, να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του κυλίνδρου. Δ Γ Α Β ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία 139
28 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Το εμβαδόν των εδρών ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι 1, και 3. Αν οι διαστάσεις του είναι ακέραιοι αριθμοί, να υπολογίσετε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου. 2. Στο σχήμα το ορθογώνιο τρίγωνο περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στην. Αν η = 5 και η = 1, να υπολογίσετε το εμβαδόν και τον όγκο του στερεού που παράγεται. 3. Ένας κώνος έχει όγκο = 1. Να υπολογίσετε τον όγκο του κώνου που έχει: α. τετραπλάσιο ύψος από τον αρχικό β. τριπλάσια ακτίνα βάσης από τον αρχικό γ. τετραπλάσιο ύψος και τριπλάσια ακτίνα βάσης από τον αρχικό. 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο, με =, = 3 και = 1. Περιστρέφουμε το τρίγωνο γύρω από την υποτείνουσα του κατά 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που δημιουργείται. 5. Μια πυραμίδα με βάση τρίγωνο, λέγεται τριγωνική πυραμίδα. Αν όλες οι έδρες της είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα, λέγεται κανονικό τετράεδρο. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ενός κανονικού τετραέδρου με ακμή βάσης. 6. Στο σχήμα δίνεται ένας κύβος με ακμή 3. Στο μέσο κάθε έδρας υπάρχει μια τετραγωνική τρύπα με πλευρά 1. Αν οι τρύπες αυτές διαπερνούν τον κύβο, να υπολογίσετε το ολικό εμβαδόν του στερεού. 7. Δίνεται το ορθογώνιο του διπλανού σχήματος με 1. Αν το ορθογώνιο περιστραφεί πλήρη στροφή γύρω από την δημιουργεί κύλινδρο με εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας = 1, ενώ αν περιστραφεί πλήρη στροφή γύρω από την δημιουργεί έναν άλλο κύλινδρο με εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας. (α) Να αποδείξετε ότι =. (β) Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του ορθογωνίου, αν το μήκος τους είναι ακέραιος αριθμός. (γ) Να αποδείξετε ότι =. Ν Κ Μ Λ 140 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 : Στερεομετρία
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα
MATHematics.mousoulides.com
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Ενδεικτικές Επαναληπτικές Δραστηριότητες 1 1. Να χαρακτηρίσετε με ΟΡΘΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Ο κύλινδρος είναι πολύεδρο. ΟΡΘΟ /
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2
1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 017-018 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ Γυμνασίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Δευτέρα, 4 Ιουνίου 018 ΧΡΟΝΟΣ: ώρες ΒΑΘΜΟΣ:. ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ
4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ
1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται
τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.
ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:
4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ
1 4.5 Ο ΚΩΝΟΣ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Κώνος : ν φανταστούµε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο στρέφεται γύρω από την κάθετη πλευρά του κατά µία πλήρη περιστροφή, προκύπτει το στερεό το οποίο λέγεται κώνος. 2.
1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1 * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α ισοσκελές Β ισόπλευρο Γ ορθογώνιο αµβλυγώνιο Ε τυχόν * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακµές Α Β 6 Γ 8 10 Ε
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω
Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:...
Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 13 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Όλες οι εφαρμογές που καλείσθε να χρησιμοποιήσετε είναι
ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),
Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος
Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Κάντε κλικ στο URL https://www.geogebra.org/m/msrbdbc5.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α
1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο
Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων
υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx
MATHematics.mousoulides.com
80 ραστηριότητες από οκίμια Εξετάσεων Να λύσετε τις πιο κάτω δραστηριότητες, δείχνοντας το συλλογισμό σας και δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. 1. Δίνονται τα πολυώνυμα 3 και 1 2. Να αποδείξετε ότι: (α)
Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του
ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
4.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ
ΜΡΟΣ Β.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ 07.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΙΑ ΤΗΣ Ορισμός Σφαίρα λέγεται το στερεό σώµα που παράγεται, αν περιστρέψουµε ένα κυκλικό δίσκο (Ο, ρ) γύρω από µία διάµετρό του. Θέση επιπέδου
Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων
9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος
Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Όλες οι εφαρμογές που καλείσθε να χρησιμοποιήσετε
Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Παρασκευή, 10 Ιουνίου 2016
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 015-016 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 016 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ Γυμνασίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Παρασκευή, 10 Ιουνίου 016 ΧΡΟΝΟΣ: ώρες ΒΑΘΜΟΣ:. ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)
2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.
2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.
11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν
4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 47 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Η Γη είναι σφαίρα και την ονοµάζουµε γήινη σφαίρα ή υδρόγειο σφαίρα. Ο νοητός άξονας γύρω από τον οποίο στρέφεται η γήινη σφαίρα ονοµάζεται
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του
ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις
ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Ονοματεπώνυμο :.. Τμήμα:.Αρ.
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 12/ 06 /2015 ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ( 07:45 09:45) Βαθμός :.. Ολογράφως
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017
ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΝΤΡΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης:
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1
Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων & Πυθαγόρειο Θεώρημα Η συλλογή των ασκήσεων προέρχεται από μια ποικιλία πηγών, σημαντικότερες από τις οποίες είναι το Mathematica.gr, παλιότερα
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Υπενθύμιση Β μέρος ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ. Παράλληλες: Τι θα πρέπει να. Ποιες είναι οι παράλληλες ευθείες;
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Υπενθύμιση Β μέρος ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Παράλληλες: Τι θα πρέπει να θυμόμαστε από την γεωμετρία; Ποιες είναι οι παράλληλες ευθείες; Ποιες είναι οι κάθετες ευθείες;
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 04-05 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /06/05 ΤΑΞΗ: Γ ΧΡΟΝΟΣ: ώρες (07:45 09:45) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.. ΑΡ: ΒΑΘΜΟΣ:.. ΒΑΘΜΟΣ ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ:..
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ 1) Οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 μέχρι το 10 είναι τοποθετημένοι στο διπλανό διάγραμμα. Με τη βοήθεια του πιο πάνω διαγράμματος: α) Να συμπληρώσετε τα κενά με ένα από τα σύμβολα,,
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 31. Μία κυλινδρική δεξαµενή έχει µήκος βάσης 1,56 m. Η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 6 7 και περιέχει 75,36 m3 νερό. Να υπολογίσετε το βάθος της δεξαµενής. Να υπολογίσετε
ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου
2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018
Αριθμός Μαθητών ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ (50) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Πέμπτη 17/5/2018
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Παναγιώτης Βλάμος Παναγιώτης ρούτσας Γεώργιος Πρέσβης Κωνσταντίνος Ρεκούμης
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Παναγιώτης Βλάμος Παναγιώτης ρούτσας Γεώργιος Πρέσβης Κωνσταντίνος Ρεκούμης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Β Τόμος 3ος Μαθηματικά Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)
Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)
ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε
ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14
ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΓΗΣ ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Περιεχόμενα 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 I. ΠΥΡΑΜΙΔΑ 4 II. ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ 5 III. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ 5 2. ΜΟΡΦΕΣ ΙΣΟΚΛΙΝΟΥΣ ΣΤΕΓΗΣ 6 I. ΔΥΡΙΧΤΗ 6 II. ΤΕΤΡΑΡΙΧΤΗΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ A : ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 10, Στρόβολος 00, Λευκωσία Τηλ. 57-78101 Φαξ: 57-791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:
1. 3 3cm 2. E( ) 24 3cm 3. E( ) 12 3cm ) 1. 8cm 2. 18cm 3. E 56 3 cm 4. E 20 3 cm. 6cm, cm, 3 6 cm, E cm )
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) 3( x) 5( x 3). 4x ( x 3) 6 x 3. x 3(4 x) x 5( x 1) x 1 3(1 x) x 3( x) x 4 3x 4. 1 x 5. x 4 6 3 1 1 4( )
Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.
Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν
3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ
1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) ( ) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του αποτελέσματος για χ = 2
ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) ( χ 3) ) ( χ + ω) 3) ( 5χ + 3ω) ( 3ω 5χ) 4) ( ) 3 3 5) ( 5χ ψ) ψ 5 6) αα 3 + 3ββ 7) 7 + 7 8) (ββ 4 + 1)(ββ
ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ -ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και ώρα
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΥ :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 017-018 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : Γ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ : ΔΙΑΡΚΕΙΑ : ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 04.06.018 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16 / 6 / 2014 Αριθμητικά :.... ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Γ Ολογράφως:......
Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις
Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x
1. Γενικά για τα τετράπλευρα
1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφείο 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλέφωνο: 57 2278101, Φαξ: 57 2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
4.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ
1 4.6 Η ΣΦΙΡ ΚΙ Τ ΣΤΙΧΙ ΤΗΣ ΘΩΡΙ 1. Σφαίρα : νοµάζεται το στερεό που προκύπτει από µία πλήρη περιστροφή ενός κυκλικού δίσκου γύρω από µία διάµετρό του. Η γεωµετρική µορφή µιας φαίνεται στο διπλανό σχήµα.
ΜΕΡΟΣ Α: Να απαντήσετε και στα δέκα (10) θέματα του μέρους Α. Κάθε θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες (5/100).
ΑΝΙΤΕΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 017-018 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: Β ΜΕΡΟΣ Α: Να απαντήσετε και στα δέκα (10) θέματα του μέρους Α. Θέμα 1. Κάθε θέμα βαθμολογείται με πέντε (5) μονάδες (5/100). Να κάνετε
( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο.
ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων : α) f ( ) β) f ( ) + 5 + 6 ln( + 1) γ) f ( ) δ) 1 f( ) 4 ) Να βρεθεί
MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 0/6/0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα
Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D
1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν
Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΕΝΤΡΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθηµα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ηµεροµηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή,
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012(Β ΣΕΙΡΑ) ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012(Β ΣΕΙΡΑ) ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΤΑΞΗ : Β ΧΡΟΝΟΣ : 2 ΩΡΕΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΤΜΗΜΑ
ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών
ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
ΜΕΡΟΣ Β 1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ
ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 45. 4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ Το ομοιόθετο σημείου ν πάρουμε δύο σημεία Ο, και στην ημιευθεία Ο πάρουμε ένα σημείο ', τέτοιο ώστε Ο = 2 O, τότε λέμε ότι το σημείο είναι ο- μοιόθετο του με κέντρο Ο
1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και
ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : Β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ : ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15.06.2012 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ: