ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη», «έπεσε επάνω του με δύναμη», «έφαγα και πήρα δυνάμεις», «έδωσε δύναμη στην μπάλα», «παράγοντες με οικονομική δύναμη», «παραγωγικές δυνάμεις», κ.ο.κ., χρησιμοποιούνται σε περιγραφές της πραγματικότητας γύρω μας. Ωστόσο, είναι τελείως ακατάλληλες για τις περιγραφές στη γλώσσα της Φυσικής. Στη Φυσική: Ποτέ δε λέμε: Ένα σώμα έχει δύναμη Ένα σώμα παίρνει δύναμη από ένα άλλο Ένα σώμα δίνει δύναμη σε ένα άλλο Λέμε: Ένα σώμα ασκεί δύναμη σε ένα άλλο Ένα σώμα δέχεται δύναμη από ένα άλλο (Παρατηρήστε ότι σε όλες τις εκφράσεις εμφανίζεται η λέξη «σώμα». Σε όλες τις σωστές εκφράσεις εμφανίζονται τουλάχιστον δυο σώματα.) Ας επισημάνουμε ακόμα ότι το περιεχόμενο του όρου «δύναμη» δεν ήταν πάντοτε το ίδιο ιστορικά. Είναι π.χ. τελείως διαφορετική η χρήση του όρου από τον Αριστοτέλη από ότι από τον Newton. Στο εξής θα χρησιμοποιούμε τον όρο «δύναμη» σύμφωνα με τον τρόπο που καθιερώθηκε από την εποχή του Newton (αρχές 18 ου αιώνα). Ορισμός της δύναμης με βάση τα αποτελέσματά της Η δύναμη μπορεί: Α) Να παραμορφώσει ένα σώμα. «Παραμόρφωση» σημαίνει αλλαγή σχήματος. Οι παραμορφώσεις διακρίνονται σε πλαστικές, που διατηρούνται ακόμα και όταν πάψει να υπάρχει η δύναμη που τις προκάλεσε (όπως π.χ. σε ένα κομμάτι πηλού) και σε ελαστικές, που είναι προσωρινές, δηλαδή παύουν να υπάρχουν όταν πάψει να ασκείται η αντίστοιχη δύναμη (Όπως σε ένα κομμάτι λάστιχο ή σε ένα ελατήριο. Βεβαίως η ελαστικότητα έχει τα όρια της!) Οι ελαστικές παραμορφώσεις είναι ανάλογες με τα αίτια που τις προκαλούν (νόμος του Hooke). Β) Να αλλάξει την κινητική κατάσταση ενός σώματος. Όταν λέμε «αλλαγή κινητικής κατάστασης» εννοούμε μεταβολή ταχύτητας. Σε μέτρο, κατεύθυνση ή και στα δυο. Όπως θα δούμε, καμία από αυτές τις μεταβολές δεν μπορεί να συμβεί εάν δεν ασκηθεί δύναμη στο κινούμενο σώμα. Η δύναμη ως φυσικό μέγεθος: Εάν ασκείται μια δύναμη, η ερώτηση προς τα πού ασκείται; έχει νόημα (προς τα πάνω; προς τα δεξιά;). Επομένως η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος. Εκτός από το μέτρο και την κατεύθυνση, το διάνυσμα

2 της δύναμης έχει ένα επιπλέον χαρακτηριστικό: το σημείο εφαρμογής. Το σημείο δηλαδή στο οποίο ασκείται η δύναμη, το οποίο αντιστοιχεί στην αρχή του διανύσματος που σχεδιάζουμε: Οι δυνάμεις του σχήματος έχουν ίσα μέτρα και ίδιες κατευθύνσεις αλλά έχουν διαφορετικά σημεία εφαρμογής. Αυτό μπορεί να σημαίνει ότι οι δυο δυνάμεις έχουν διαφορετικά αποτελέσματα. Όταν το σώμα στο οποίο ασκούνται οι δυνάμεις συναντήσει το εμπόδιο, η μια δύναμη μπορεί να προκαλέσει την ανατροπή του ενώ η άλλη όχι. Μονάδα μέτρησης της δύναμης στο S. I. είναι το Newton (Ν). Εάν ακουμπήσουμε στην ακίνητη παλάμη μας ένα σώμα μάζας 100g, αυτό ασκεί στο χέρι μας δύναμη περίπου ίση με 1Ν. Πώς μετράμε τη δύναμη; Τα αντικείμενα που θα μελετήσουμε φέτος θεωρούνται αμελητέων διαστάσεων (υλικά σημεία), παρά το ότι τα σχεδιάζουμε ως ορθογώνια, αυτοκίνητα κλπ. Για αυτόν τον λόγο δεν μπορούν να εκτελέσουν πολύπλοκες κινήσεις, όπως η ανατροπή που αναφέρεται στο προηγούμενο παραλληλόγραμμο. Θεωρούμε λοιπόν ότι όλες οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα, ασκούνται στο κέντρο μάζας του. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όταν έχουμε σώματα που βρίσκονται το ένα κοντά στο άλλο, είναι ιδιαίτερα σημαντικό το να σχεδιάζουμε τις δυνάμεις ώστε να είναι ξεκάθαρο το ποιες δυνάμεις ασκούνται σε κάθε σώμα. Ένα απλό όργανο μέτρησης δύναμης είναι το δυναμόμετρο ελατηρίου. Η λειτουργία του βασίζεται στον νόμο του Hooke (Robert Hooke, 1653-1703): «Οι ελαστικές παραμορφώσεις είναι ανάλογες με τα αίτια που τις προκαλούν». Τα ελατήρια είναι ελαστικά. Επομένως η παραμόρφωση Δl (επιμήκυνση ή συσπείρωση) ενός ελατηρίου θα είναι ανάλογη με το μέτρο F της δύναμης (δηλαδή του αιτίου) που την προκάλεσε. Στη γλώσσα των μαθηματικών: F = k Δl Όπου k είναι μια ποσότητα που δεν εξαρτάται από τη δύναμη που ασκούμε, χαρακτηριστική για κάθε ελατήριο (σταθερά του ελατηρίου). Λύνοντας ως προς k: του k είναι Επομένως οι μονάδες μέτρησης. Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι εάν ένα ελατήριο έχει σταθερά k = 10N/m, εάν θέλουμε να το επιμηκύνουμε (ή να το συσπειρώσουμε) κατά 1m θα πρέπει να του ασκήσουμε δύναμη 10Ν. Όσο μεγαλύτερη είναι η σταθερά ενός ελατηρίου τόσο μεγαλύτερη δύναμη θα πρέπει να ασκήσουμε για να πετύχουμε την ίδια παραμόρφωση, άρα τόσο «σκληρότερο» είναι το ελατήριο. Με βάση το νόμο του Hooke, η κατασκευή ενός δυναμομέτρου βασίζεται στην εξής απλή ιδέα: Εάν ασκήσουμε μια γνωστή δύναμη, π.χ. μέτρου 1N, σε ένα ελατήριο, παρατηρούμε ότι προκαλείται μια συγκεκριμένη επιμήκυνση. Εάν ασκήσουμε διπλάσια δύναμη θα έχουμε διπλάσια επιμήκυνση, τριπλάσια δύναμη θα προκαλέσει τριπλάσια επιμήκυνση, κ.ο.κ. Προσαρμόζουμε κατάλληλα στο ελατήριο μια κλίμακα που περιλαμβάνει

3 την αρχική επιμήκυνση, το διπλάσιό της, το τριπλάσιο κλπ. Βαθμολογούμε την κλίμακα, όχι σε μονάδες μήκους αλλά σε μονάδες δύναμης: 1Ν, 2Ν, 3Ν, Σύνθεση συγγραμμικών δυνάμεων Εάν δυο (ή περισσότερες) δυνάμεις ασκούνται στο ίδιο σώμα, μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με μια, που να έχει το ίδιο αποτέλεσμα με αυτές. Αυτή η μια δύναμη λέγεται συνισταμένη και θα την συμβολίζουμε. Οι δυνάμεις που αντικαθιστά η συνισταμένη λέγονται συνιστώσες. Η διαδικασία υπολογισμού της συνισταμένης λέγεται σύνθεση δυνάμεων. Σε κάθε περίπτωση, η συνισταμένη είναι το διανυσματικό άθροισμα των συνιστωσών. Ισχύει δηλαδή: Όμως η σχέση από την οποία υπολογίζουμε το μέτρο της συνισταμένης, μπορεί να είναι διαφορετική. Για την ώρα θα εξετάσουμε συγγραμμικές δυνάμεις. Δηλαδή δυνάμεις που είναι ομόρροπες ή αντίρροπες. 1) Ομόρροπες δυνάμεις Η συνισταμένη δυο ομόρροπων δυνάμεων έχει μέτρο ίσο με το άθροισμα των συνιστωσών και ίδια κατεύθυνση με αυτές. ΣF = F 1 + F 2 2) Αντίρροπες δυνάμεις Η συνισταμένη δυο αντίρροπων δυνάμεων έχει μέτρο ίσο με τη διαφορά του μέτρου της μεγαλύτερης συνιστώσας μείον το μέτρο της μικρότερης και κατεύθυνση ίδια με εκείνη της μεγαλύτερης. ΣF = F 1 - F 2 εάν F 1 > F 2 ΣF = F 2 - F 1 εάν F 2 > F 1

4 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΗ Ο Isaac Newton (1642 1727) υπήρξε ο πρώτος που όρισε τη δύναμη έτσι ώστε να συνδέεται σωστά με την κίνηση των σωμάτων, τουλάχιστον στις περισσότερες από τις περιπτώσεις που συνήθως παρατηρούμε γύρω μας. Για να το πετύχει αυτό, χρειάστηκε να ανοίξει νέους δρόμους στα μαθηματικά, ορίζοντας τους ρυθμούς μεταβολής («ροές» τους ονόμαζε ο ίδιος). Η ταχύτητα και η επιτάχυνση, μεγέθη που μας είναι απαραίτητα για την περιγραφή των κινήσεων, ορίστηκαν σύμφωνα με τον τρόπο που τα χρησιμοποιούμε από τον Newton. Οι νόμοι του Newton για την κίνηση υπήρξαν η βάση της σύγχρονης Φυσικής, από τον 17 ο μέχρι τον 20 ο αιώνα. Ακόμα και σήμερα, αν εξαιρέσουμε τις «περιοχές» των πολύ μικρών διαστάσεων και των πολύ μεγάλων διαστάσεων και ταχυτήτων, οι νόμοι αυτοί περιγράφουν, εξηγούν και προβλέπουν ικανοποιητικά τα περισσότερα φαινόμενα της μηχανικής. 1 ος νόμος: Εάν σε ένα σώμα δεν ασκείται καμία δύναμη, ή η συνισταμένη αυτών που ασκούνται είναι ίση με μηδέν, τότε το σώμα παραμένει ακίνητο ή κινείται με σταθερή ταχύτητα (δηλαδή εκτελεί Ε.Ο.Κ.). Στη γλώσσα των μαθηματικών: 2 ος νόμος: Η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώμα είναι ανάλογη της συνισταμένης δύναμης που ασκείται σε αυτό και αντιστρόφως ανάλογη της μάζας του. Στη γλώσσα των μαθηματικών: Πριν προχωρήσουμε στον 3 ο νόμο, καλό είναι να σταθούμε σε ορισμένες σημαντικές παρατηρήσεις: 1. Σύμφωνα με τον 1 ο νόμο, ένα σώμα που είναι ακίνητο, θα παραμείνει ακίνητο εκτός εάν κάποιος το αναγκάσει να κινηθεί ασκώντας του δύναμη. Εάν ένα σώμα κινείται θα πρέπει επίσης να του ασκηθεί δύναμη για να σταματήσει. Με άλλα λόγια: Τα σώματα δεν ξεκινούν να κινούνται ούτε σταματάνε στα καλά καθούμενα! Ή, αν προτιμάτε : Ένα ακίνητο σώμα δεν έχει καμιά διάθεση να αρχίσει να κινείται και ένα κινούμενο σώμα δεν έχει καμιά διάθεση να σταματήσει. 2. Η τάση αυτή των σωμάτων, να διατηρούν την κινητική τους κατάσταση ονομάζεται αδράνεια. Η αδράνεια ενός σώματος εξαρτάται από τη μάζα του. Είναι δηλαδή ευκολότερο να μεταβάλλουμε την ταχύτητα (κινητική κατάσταση) ενός σώματος μικρής μάζας παρά ενός σώματος μεγάλης μάζας. 3. Για να παραμένει ακίνητο ένα σώμα (να ισορροπεί) θα πρέπει οπωσδήποτε η συνισταμένη δύναμη που δέχεται να είναι μηδέν. 4. Ο 1 ος νόμος μπορεί να θεωρηθεί υποπερίπτωση του 2 ου, για 5. Από τη μαθηματική μορφή του 2 ου νόμου μπορούμε να βρούμε πώς ορίζεται το 1Ν με βάση τις μονάδες μέτρησης των θεμελιωδών μεγεθών. Μπορείτε να βρείτε πώς; 6. Από τη μαθηματική μορφή του 2 ου νόμου και επειδή πάντοτε m>0, προκύπτει ότι η επιτάχυνση ενός σώματος είναι πάντοτε ομόρροπη της συνισταμένης δύναμης που ασκείται σε αυτό.

5 7. Στις περιπτώσεις που θα εξετάσουμε, η μάζα παραμένει σταθερή. Επομένως, με βάση τον 2 ο νόμο, εάν η συνισταμένη δύναμη παραμένει σταθερή το σώμα θα κινείται με σταθερή επιτάχυνση, θα εκτελεί δηλαδή ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Στην περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης υπό την επίδραση σταθερής συνισταμένης δύναμης: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη Με άλλα λόγια, αρκεί να γνωρίζουμε την ταχύτητα με την οποία κινείται ένα σώμα και τη συνισταμένη δύναμη που δέχεται για να καταλάβουμε τι είδους κίνηση θα κάνει. 8. Παρατηρήστε ότι οι νόμοι αναφέρονται απλώς σε «σώματα». Πουθενά δεν γίνεται αναφορά στο είδος των σωμάτων. Αυτό σημαίνει ότι οι νόμοι του Newton αναφέρονται σε κάθε σώμα, ανεξάρτητα από το εάν είναι έμβιο ή άβιο, ελαφρύ ή βαρύ, σκληρό ή μαλακό κλπ. Η παρατήρηση μπορεί σε ορισμένους να φαίνεται περιττή, όμως καλό είναι να γνωρίζουμε ότι μέχρι την εποχή του Newton αυτή η «ισότητα» των σωμάτων απέναντι στην δύναμη και την κίνηση δεν ήταν καθόλου αυτονόητη, ιδιαίτερα ανάμεσα στα ουράνια και τα επίγεια σώματα. (Γνωρίζετε τι υποστήριζε ο Αριστοτέλης για την κίνηση των σωμάτων;) 3 ος νόμος: Εάν ένα σώμα Α ασκεί μια δύναμη σε ένα σώμα Β, τότε και το Β ασκεί μια δύναμη στο Α. Αυτές οι δύο δυνάμεις αποτελούν ένα ζευγάρι δράσης αντίδρασης και ισχύει: - Ας παρατηρήσουμε τα εξής: 1. Καμιά από τις δυο δυνάμεις δεν προηγείται της άλλης, ούτε είναι δυνατό να πούμε ότι μια από αυτές είναι η δράση ενώ η άλλη είναι η αντίδραση. Η κάθε μια είναι αντίδραση της άλλης. 2. Παρατηρήστε ότι δράση και αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώματα (η μια στο Α και η άλλη στο Β). Εάν ψάχνω να βρω την αντίδραση μιας δύναμης θα πρέπει να αναρωτηθώ «ποιος ασκεί σε ποιον αυτή τη δύναμη;». (Ας σκεφτούμε παραδείγματα.) 3. Με δεδομένο ότι δράση και αντίδραση είναι μεταξύ τους αντίθετες, θα έπρεπε να έχουν συνισταμένη μηδέν. Αυτό, σε συνδυασμό με τον 1 ο νόμο, σημαίνει ότι ο κόσμος θα έπρεπε να αποτελείται από ακίνητα αντικείμενα και από σώματα που κινούνται ευθύγραμμα ομαλά. Αυτό είναι κάτι που προφανέστατα δε συμβαίνει. Θα ήταν επίσης απίθανο το λάθος να βρίσκεται στους νόμους του Newton και να επιμένουμε να αφιερώνουμε τόσο χρόνο και ενέργεια στη διδασκαλία τους! Επομένως το λάθος βρίσκεται κάπου αλλού στον παραπάνω συλλογισμό. Πού; 4. Εάν βρήκατε την απάντηση στο ερώτημα, ας σκεφτείτε τώρα το εξής: Ας πούμε ότι ένα παιδί κρατάει ένα νήμα, στην άκρη του οποίου είναι δεμένο ένα παιχνίδι-τρενάκι. Εάν το παιδί τραβήξει το νήμα, θα ασκήσει δύναμη στο τρενάκι ενώ ταυτόχρονα το τρενάκι θα ασκήσει μια δύναμη στο

6 παιδί. Οι δυο δυνάμεις έχουν ίσα μέτρα (δράση αντίδραση). Ξέρουμε όμως ότι παρά το γεγονός ότι οι δυνάμεις έχουν ίσα μέτρα, το τρενάκι θα κινηθεί προς το παιδί και όχι το αντίστροφο. Γιατί άραγε; Τι θα συνέβαινε εάν στην άλλη άκρη του νήματος υπήρχε ένα πραγματικό (ακίνητο!) τρένο και όχι παιχνίδι; Μάζα και βάρος Εκτός από τους τρεις αυτούς νόμους (και πολλά άλλα, σημαντικά ή ασήμαντα) ο Newton κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δυο οποιαδήποτε σώματα με μάζες m 1, m 2 που βρίσκονται σε απόσταση r μεταξύ τους, έλκουν η μια την άλλη με δύναμη μέτρου: (Νόμος παγκόσμιας έλξης). Η έλξη αυτή είναι μηδαμινή όταν οι μάζες είναι μικρές. Όταν όμως τουλάχιστον το ένα από τα δυο σώματα είναι πολύ μεγάλης μάζας, όπως η Γη, η δύναμη γίνεται σημαντική. Το βάρος κάθε σώματος είναι ακριβώς η έλξη που δέχεται το σώμα από τη Γη. (Πού ασκείται άραγε η αντίδραση του βάρους σας;) Γνωρίζουμε ότι το βάρος ενός σώματος μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: Όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, περίπου ίση με 10m/s 2. Ασκήσεις 1. Σε σώμα μάζας m = 10kg που ηρεμεί σε λείο και οριζόντιο δάπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη F. Αν το σώμα διανύει διάστημα s = 50m σε χρόνο t = 5s, να υπολογιστούν α) η επιτάχυνση του σώματος β) το μέτρο της δύναμης F. 2. Σε σώμα μάζας m = 2kg, που είναι αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ασκούνται δυο δυνάμεις F 1 = 8N και F 2 = 6N που είναι α) ομόρροπες β) αντίρροπες. Να υπολογιστούν α) το διάστημα β) η ταχύτητα του σώματος μετά από χρόνο t = 4s από τη στιγμή που εφαρμόστηκαν οι δυνάμεις για κάθε περίπτωση. 3. Σώμα μάζας m = 100kg κινείται ευθύγραμμα σε λείο και οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα υ 0 = 5m/s. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 στο σώμα ασκείται δύναμη F = 100N με φορά αντίθετη από τη φορά της υ 0. Να υπολογιστούν α) οι χρονικές στιγμές που η ταχύτητα του σώματος 1) γίνεται υ 0 /3 2) μηδενίζεται β) η μετατόπιση και το διάστημα τη χρονική στιγμή t = 10s. Να γίνουν τα διαγράμματα υ = f(t), x = f(t) και s = f(t). 4. Ένα σώμα Α, με μάζα m A = 4kg, ισορροπεί επάνω στην οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζιού. Α) Να σχεδιάσετε ένα σχήμα όπου θα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Α, ένα σχήμα όπου θα φαίνονται οι δυνάμεις που στην επιφάνεια του τραπεζιού και να υπολογίσετε το μέτρο της κάθε μιας. Β) Επάνω στο σώμα Α ακουμπάμε ένα σώμα Β, μάζας m B = 1kg. Να σχεδιάσετε τρία διαφορετικά σχήματα, όπου θα φαίνονται οι δυνάμεις που ασκούνται στα δυο σώματα και την επιφάνεια και να υπολογίσετε τα μέτρα τους.