Παράγωγοι ανώτερης τάξης Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικά Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglks.gr 2 3 / 1 0 / 2 0 1 6 σε μερικές παραγώγους σε μέγιστα, ελάχιστα σε κυρτότητα 26 Ασκήσεις εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα για τις παραγώγους ανώτερης τάξης Ισοσταθμικές καμπύλες Έστω συνάρτηση z, και επίπεδο με εξίσωση : z c παράσταση της C το οποίο τέμνει τη γραφική (προφανώς το επίπεδο είναι παράλληλο προς το -επίπεδο και ο αριθμός c δείχνει την απόσταση των δύο επιπέδων). Τα κοινά σημεία των z,, z c θα είναι σημεία της μορφής,, c, τα οποία αν τα προβάλουμε στο -επίπεδο (z=0) τότε θα δημιουργείται μία καμπύλη από σημεία της μορφής ισοσταθμική καμπύλη.,,0 στο χώρο αλλά στο -επίπεδο θα έχουν τη μορφή, c Αν είναι γραμμή πίεσης ονομάζεται ισοβαρής. Αν είναι γραμμή δυναμικού ονομάζεται ισοδυναμική. Αν είναι γραμμή ύψους ονομάζεται ισουψής. Πρώτης τάξης : ως προς :, ως προς :, Μερική παράγωγος για την, (θεωρώ μεταβλητή σταθερά) και (θεωρώ τη μεταβλητή χ σταθερά) Κλίση της gra στο σημείο, δείχνει προς ποια κατεύθυνση η συνάρτηση αυξάνει γρηγορότερα : η οποία θα αποτελεί είναι ένα διάνυσμα ( ανάδελτα) το οποίο συμβολίζεται και,,,,,,, Δεύτερης τάξης : ως προς :,, ως προς :,, ως προς, :,, δύο τελευταίες καλούνται μικτές μερικές παράγωγοι Διαφορικό 1ης τάξης : στο σημείο, : αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης και είναι συνεχείς στο σημείο τότε η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σ αυτό το σημείο και ολικό διαφορικό της, οι 1 www.kglks.gr
συνάρτησης στο σημείο είναι :,, για κάθε μικρή μεταβολή των, Διαφορικό 2ης τάξης : Εσσιανή μήτρα : της στο,, : H,. Εκφράζει τη μεταβολή της συνάρτησης 2 2 είναι η μέτρα όλων των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης στο Το νου σου (διαφορικό) : Αν u,, t, t Πεπλεγμένη μορφή : έστω συνάρτηση : Γραμμική προσέγγιση : της στο, u u u t t t, 0 u,, u 0 u u u, αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι 1 ης & 2 ης τάξης και είναι συνεχείς στο σημείο τότε η,,,, Συνάρτηση ζήτησης : q D p Συνάρτηση προσφοράς : q S p D S. Οικονομικές Συναρτήσεις Σημείο Ισορροπίας : market equilibrium : το σημείο στο οποίο q S q D z p D p S p Συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης : Νεκρό σημείο : break event pint : το σημείο όπου το κέρδος είναι 0 (έσοδα=έξοδα) Συνολική συνάρτηση : () Οριακή συνάρτηση : Μέση συνάρτηση : () Συνολικά έσοδα : ttal revenue : TRq Οριακό κόστος : marginal cst : MC q TC q μικρή μεταβολή κατά μία μονάδα της παραγόμενης ποσότητας q εκφράζει τη μεταβολή του κόστους που οφείλεται σε 2 www.kglks.gr
Μέσο κόστος : average cst : AC q Οριακό έσοδο : marginal revenue : MR q TC q q και εκφράζει το κόστος ανά μονάδα προιόντος TR q στη μεταβολή κατά 1 μονάδα της παραγόμενης ποσότητας Μέσο έσοδο : average revenue : AR q TRq q q, εκφράζει τη μεταβολή των εσόδων που οφείλεται, εκφράζει το έσοδο κατά μονάδα προιόντος Ελατικότητα : elasticit : της ως προς ορίζεται ο λόγος :, εκφράζει τη μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής όταν η ανεξάρτητη μεταβληθεί κατά 1% Αν p η τιμή, q η ποσότητα q D p Τελείως ελαστική q p ελαστικότητα ζήτησης p q 1 Ελαστική : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά ένα μεγαλύτερο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση 1 Μοναδιαία ελαστικότητα : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά το ίδιο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση 0 1 Ανελαστική : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά ένα μικρότερο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση 0 Τελείως ανελαστική Ελαστικότητα της ζήτησης Q ως προς το εισόδημα Ι: 0 0 0 Κανονικά αγαθά Κατώτερα αγαθά Ουδέτερα αγαθά Q Q Κυρτότητα : (,) (,) εσσιανή θετικά ορισμένη (ή ημιορισμένη) εσσιανή αρνητικά ορισμένη (ή ημιορισμένη) 3 www.kglks.gr
Έστω συνάρτηση... Υπολογίζω, δηλαδή '(), ''() οπότε λύνω το 0... H στην οποία αντικαθιστώ την τιμή του χ που βρήκα H1*1 0 min H1*1 0 ma Έστω συνάρτηση,... Υπολογίζω,,,,, οπότε λύνω το σύστημα 0...,... 0 H στην οποία αντικαθιστώ τις τιμές των, που έχω βρει H 0, H 0 min 1*1 2*2 H 0, H 0 ma 1*1 2*2 Έστω συνάρτηση,, z... Υπολογίζω,, z,,, z,,, z, z, z, zz οπότε λύνω το σύστημα 0 0...,..., z... z 0 z H z z z zz στην οποία αντικαθιστώ τις τιμές των,, z που έχω βρει H 0, H 0, H 0 min 1*1 2*2 3*3 H 0, H 0, H 0 ma 1*1 2*2 3*3 Έστω συνάρτηση,... με συνθήκη g, Υπολογίζω L, L, L & g, g L 0 οπότε λύνω το σύστημα L 0...,...,... L 0 c τότε δημιουργώ την L,, c g, 0 g g H g L L στην οποία αντικαθιστώ τις τιμές των, που έχω βρει g L L H 0 min H 0 m a 4 www.kglks.gr
Έστω συνάρτηση,, z... με συνθήκες,,,,, g z c g z c τότε δημιουργώ την 1 1 L,, z,,, z c g,, z c g,, z Υπολογίζω L, L, L & g, g L L οπότε λύνω το σύστημα L 1 1 1 1 z L 0 0...,..., z...,... 0 0 H 0 0 0 0 g g g 1 1 1z g g g 2 2 2z g1 g2 L L Lz στην οποία αντικαθιστώ τις τιμές των,, z που έχω βρει g g L L L 1 2 z g g L L L 1z 2z z z zz H 0 min H 0 m a 1. 2. Να υπολογίσεις τα ακρότατα των συναρτήσεων : (,) 5 3 2 (,) 3 1, 4 2 3. 4. 5. 6. 7. 3 3 (,) 9 27 (,) 3 3 3 (,) 9 6 2 3 2 1 1 (,) 8 8. (,) 3 2 1 9. (,) 5 8 5 Ασκήσεις για λύση : 10. Τα συνολικά κόστη μιας επιχείρησης συνδέονται με το εργατικό δυναμικό L και τον κεφαλαιακό εξοπλισμό Κ με τη συνάρτηση TC L K L K LK Να υπολογίσεις τα ακρότατα με συνθήκη :,, 1 11. 10 10 25 50 5 2000, να υπολογίσεις το TCmin 5 www.kglks.gr
,, 1 8 2 3 3 (,), 2 0 12. 13. 14. 15. (,) 2, 1 (,) 2, 1 0 16. (,), 1 0 17. (,), 7 1 18. (,), 40 19. 20. 21. 22. (,), 2 3 2 (,) 2, 10 (,), 100 (,) 3 2 4 1, 16,, z z, z 1, 1 23. 2 24. 25. 26. Να βρεις την κυρτότητα των συναρτήσεων : (,) 2 (,) (,) 2 6 www.kglks.gr