Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος. f () β) Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = ln(+ ) α στο διάστηµα:. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη, και να βρεθούν οι τιµές του α για τις οποίες το µέγιστό της βρίσκεται στο αριστερό σύνορο: =. γ) Οι µεταβλητές {,} συνδέονται µε την εξίσωση: =. Να βρεθεί η ελαστικότητα του ως προς. δ) Να γίνει το γράφηµα και να υπολογιστεί το εµβαδό της περιοχής που βρίσκεται µεταξύ της καµπύλης (+ ) = και των θετικών ηµιαξόνων. (4 µονάδες) α) Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(, ) = + ικανοποιεί την εξίσωση: f + f = f / β) Θεωρούµε ότι το σύστηµα εξισώσεων: {+ = u, = } ορίζει πλεγµένα τα {,} ως συναρτήσεις των {u,}. Να βρεθεί η µερική παράγωγος του ως προς. 3 3 γ) Θεωρούµε τη συνάρτηση f(, ) = + +. Να διαπιστωθεί ότι το σηµείο (=, = ) είναι στάσιµο, και να χαρακτηριστεί. δ) Το περιορισµένο στάσιµο της συνάρτησης f = µε τον περιορισµό g= + = 6, είναι (=, = ). Να υπολογιστεί ο πολλαπλασιαστής Lagrange και να χαρακτηριστεί το στάσιµο ως ακρότατο γραφικά. Εφαρµογές 3.( µονάδες) Σε µια οικονοµία µε εθνικό εισόδηµα Y, ο πληθυσµός L αυξάνει συνεχώς µε ετήσιο ρυθµό %. Να βρεθούν: α) Ο ρυθµός αύξησης του κατά κεφαλή εισοδήµατος = Y / L αν το εθνικό εισόδηµα Y αυξάνει µε ρυθµό 3% β) Ο ελάχιστος ρυθµός αύξησης του εθνικού εισοδήµατος Y που θα επιτρέψει το κατά κεφαλή εισόδηµα = Y / L να διπλασιαστεί σε χρόνια. 4.( µονάδες) Μια παραγωγική µονάδα χρησιµοποιεί συντελεστή παραγωγής K µε µοναδιαίο κόστος και παράγει ποσότητα Q= K ενός προϊόντος το οποίο διατίθεται µε µοναδιαία τιµή. Να βρεθεί το µέγιστο κέρδος π ως συνάρτηση των παραµέτρων {,} και να διερευνηθούν οι ιδιότητες µονοτονίας, οµογένειας κυρτότητας και οιονεί κυρτότητας αυτής της συνάρτησης. Να ερµηνευτούν οι παραπάνω ιδιότητες, και να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθµικές της συνάρτησης µέγιστου κέρδους: π(,). ΤΕΛΟΣ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος. Λύση. Η συνάρτηση f() θα είναι:. Αύξουσα κυρτή µέχρι την γωνία, διότι η παράγωγος είναι θετική αύξουσα. Ειδικότερα θα είναι παραβολική, διότι η παράγωγος είναι γραµµική. Επίσης θα αρχίζει µε µηδενική κλίση, διότι η παράγωγος αρχίζει µε µηδενική τιµή.. Αύξουσα γραµµική µετά την γωνία, διότι η παράγωγος είναι σταθερή ιαγώνισµα 6. ΛΥΣΕΙΣ 3. εν θα κάνει γωνία (στην γωνία της παραγώγου) διότι η παράγωγος είναι συνεχής. β) Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = ln(+ ) α στο διάστηµα:. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη, και να βρεθούν οι τιµές του α για τις οποίες το µέγιστό της βρίσκεται στο αριστερό σύνορο: =. Λύση. α,α> Είναι κοίλη (γνήσια), διότι η δεύτερη παράγωγος είναι γνήσια αρνητική: f () = α = (+ ) α f () = (+ ) = < ln(+ ) + (+ ) Έχουµε πρόβληµα κυρτού προγραµµατισµού και το µέγιστο θα βρίσκεται στο αριστερό σύνορο αν ικανοποιείται η συνθήκη: f () α α Παρατήρηση. Για α η συνάρτηση α είναι µεγαλύτερη από την ln(+ ), όπως φαίνεται στο γράφηµα, οπότε η f() έχει παντού f() αρνητικές τιµές µε µέγιστη µηδενική στο =. γ) Οι µεταβλητές {,} συνδέονται µε την εξίσωση: =. Να βρεθεί η ελαστικότητα του ως προς. Λύση. Λύνοντας ως προς βρίσκουµε συνάρτηση δύναµης: / / / = Εποµένως η ζητούµενη ελαστικότητα είναι: E= /. ηλαδή, αν το αυξηθεί κατά %, τότε (οριακά) το θα πρέπει να µειωθεί κατά (/ )%, ώστε να διατηρηθεί σταθερό το µέγεθος: = δ) Να γίνει το γράφηµα και να υπολογιστεί το εµβαδό της περιοχής που βρίσκεται µεταξύ της καµπύλης (+ ) = και των θετικών ηµιαξόνων. Λύση. (+ ) = = Το γράφηµα είναι η υπερβολική καµπύλη =, µετατοπισµένη κατακόρυφα κατά, οπότε έχει κατακόρυφη ασύµπτωτο στο =, και οριζόντια ασύµπτωτο στο =. Το ζητούµενο εµβαδό είναι άπειρο διότι δίνεται από το ολοκλήρωµα: + + = E= d= ln(+ ) = ln( + ) ln=+ + + Εναλλακτικά δίνεται από το ολοκλήρωµα: = E ( )d ln (ln ) (ln ) = = = =+ f() f ()

3 (4 µονάδες) α) Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(, ) = + ικανοποιεί την εξίσωση: f + f = f / Λύση. Η συνάρτηση είναι προφανώς οµογενής βαθµού / : / / f(t, t) = (t) + (t) = t + = t f(, ) και εποµένως ικανοποιεί την παραπάνω εξίσωση Euler βαθµού /. Λύση. Υπολογίζουµε τις µερικές παραγώγους: / / / f ( ) {f (/ )( ) = + = +, f = (/ )(+ ) } και αντικαθιστούµε στο αριστερό µέρος, οπότε βρίσκουµε το ζητούµενο: / / f + f = (/ )(+ ) + (/ )(+ ) = + + = + = / / ( )( ) / ( ) / f / β) Θεωρούµε ότι το σύστηµα εξισώσεων: {+ = u, = } ορίζει πλεγµένα τα {,} ως συναρτήσεις των {u,}. Να βρεθεί η µερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Γράφουµε τις εξισώσεις στην κανονική µορφή, και χρησιµοποιώντας τους τύπους πλεγµένης παραγώγισης µε Ιακωβιανές ορίζουσες, βρίσκουµε: f f (f,g) f(,,u,) = + u= (,) g g = = = = = g(,,u, ) = = (f,g) f f + (, ) g g Λύση. Παραγωγίζουµε πλεγµένα ως προς για σταθερό u, και λύνουµε αλγεβρικά ως προς : + = u + = + = = = = + (Προσθέσαµε τις δύο εξισώσεις κατά µέρη για να απαλλαγούµε από το ) 3 3 γ) Θεωρούµε τη συνάρτηση f(, ) = + +. Να διαπιστωθεί ότι το σηµείο (=, = ) είναι στάσιµο, και να χαρακτηριστεί. Λύση. Είναι στάσιµο διότι µηδενίζει τις παραγώγους ης τάξης: 3 3 f(, ) = + + {f = 3 + =, f = 3 + = } Για τις παραγώγους ης τάξης στο ίδιο σηµείο βρίσκουµε: f = 6 f = H f = {f =, f =, f = Hf = 36 = < } f = f = 6 Έχει αρνητική ορίζουσα και εποµένως ο Εσσιανός πίνακας είναι αόριστος και το στάσιµο είναι σαγµατικό. Ειδικά δεν είναι ακρότατο, ούτε τοπικό. δ) Το περιορισµένο στάσιµο της συνάρτησης f = µε τον περιορισµό g= + = 6, είναι (=, = ). Να υπολογιστεί ο πολλαπλασιαστής Lagrange και να χαρακτηριστεί το στάσιµο ως ακρότατο γραφικά. Λύση. Υπολογίζουµε τον πολλαπλασιαστή στο σηµείο (,)από τη σχέση: f f g g 4 λ= = λ= = = Τα δύο κλάσµατα είναι ίσα διότι το σηµείο είναι περιορισµένο στάσιµο. Όπως φαίνεται στο γράφηµα, το σηµείο δίνει γνήσιο περιορισµένο ολικό µέγιστο διότι ο περιορισµός βρίσκεται γνήσια στην κάτω σταθµική της αντικειµενικής συνάρτησης. g= 6 ma f = (4, 4) f = 4

4 Εφαρµογές 3.( µονάδες) Σε µια οικονοµία µε εθνικό εισόδηµα Y, ο πληθυσµός L αυξάνει συνεχώς µε ετήσιο ρυθµό %. Να βρεθούν: α) Ο ρυθµός αύξησης του κατά κεφαλή εισοδήµατος = Y / L αν το εθνικό εισόδηµα Y αυξάνει µε ρυθµό 3% β) Ο ελάχιστος ρυθµός αύξησης του εθνικού εισοδήµατος Y που θα επιτρέψει στο κατά κεφαλή εισόδηµα = Y / L να διπλασιαστεί σε χρόνια. Λύση. Ο ποσοστιαίος ρυθµός µεταβολής του λόγου δίνεται από την διαφορά των ποσοστιαίων ρυθµών µεταβολής των δύο όρων. Εποµένως: α) Το κατά κεφαλή εισόδηµα θα µεταβάλλεται µε ρυθµό 3% % = %, δηλαδή θα αυξάνει µε ετήσιο ρυθµό %. β) Γενικότερα, αν το εθνικό εισόδηµα αυξάνει µε ρυθµό %, τότε το κατά κεφαλή εισόδηµα θα αυξάνει µε ρυθµό ( )%, δηλαδή µε συντελεστή: r = ( ) / Αν είναι το αρχικό κατά κεφαλή εισόδηµα, τότε µετά από χρόνια θα είναι: r = e οπότε θα είναι διπλάσιο του αρχικού αν ικανοποιείται η συνθήκη: r = e = r = (ln) / Αντικαθιστώντας βρίσκουµε για το : ( ) / = (ln) / = + 5ln ηλαδή το εθνικό εισόδηµα πρέπει να αυξάνει µε ρυθµό τουλάχιστον 5 ln 3.5% µεγαλύτερο από τον ρυθµό αύξησης του πληθυσµού.

5 4.( µονάδες) Μια παραγωγική µονάδα χρησιµοποιεί συντελεστή παραγωγής K µε µοναδιαίο κόστος και παράγει ποσότητα Q= K ενός προϊόντος το οποίο διατίθεται µε µοναδιαία τιµή. Να βρεθεί το µέγιστο κέρδος π ως συνάρτηση των παραµέτρων {,} και να διερευνηθούν οι ιδιότητες µονοτονίας, οµογένειας, κυρτότητας και οιονεί κυρτότητας αυτής της συνάρτησης. Να ερµηνευτούν οι παραπάνω ιδιότητες ιδιότητες, και να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθµικές της συνάρτησης µέγιστου κέρδους: π(,). Λύση. Η συνάρτηση κέρδους: Π(K) = R(K) C(K) = Q(K) K= K K είναι κοίλη µε µέγιστο στο στάσιµο σηµείο: Π (K) = / K = K = / 4 Το µέγιστο κέρδος είναι: Π(K ) = K K = = = / Ως συνάρτηση των παραµέτρων είναι:. αύξουσα, φθίνουσα. Το µέγιστο κέρδος αυξάνει όταν αυξάνει η τιµή του προιόντος ή όταν µικραίνει το κόστος του συντελεστή. Οµογενής βαθµού. Αν η τιµή του προιόντος και το κόστος του συντελεστή αυξηθούν κατά το ίδιο ποσοστό, τότε το µέγιστο κέρδος θα αυξηθεί κατά το ίδιο αυτό ποσοστό. 3. κυρτή, κυρτή, (,) κυρτή, διότι ο Εσσιανός πίνακας H π είναι θετικά ηµιορισµένος: 3 {π = /,π = / 4}, {π = /,π = / 4,π = / } = = = 4 4 ππ (π ) {π >,π >, = } Hπ. Καθώς η τιµή του προιόντος αυξάνει ή/και το κόστος του συντελεστή µικραίνει, το µέγιστο κέρδος αυξάνει µε αύξοντα ρυθµό 4. (,) οιονεί κυρτή, διότι είναι (,) κυρτή. Εξάλλου οι κάτω σταθµικές περιοχές είναι κυρτές, όπως φαίνεται στο γράφηµα, διότι δίνονται από το εσωτερικό παραβολών. π c 3 c c κάτω σταθµική: c / 4c 4 Ακραίοι συνδυασµοί τιµής του προιόντος και κόστους του συντελεστή: {A,B}, είναι περισσότερο κερδοφόροι από ενδιάµεσους συνδυασµούς C. Έχουµε: π(a) = π(b) = c, αλλά π(c) < c Επίσης καθώς το αυξάνει τότε για να διατηρηθεί σταθερή η κερδοφορία: c, θα πρέπει βέβαια και το να αυξάνει αλλά µε φθίνοντα ρυθµό, διότι: = c = c 4 είναι αύξουσα κοίλη A C B π c / 4c c ΤΕΛΟΣ