ΤΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΟΥΣ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙ ΟΣΗ

ΤΑ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΟΥΣ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙ ΟΣΗ Χρίστου, Κ., Πίττα-Πανταζή,. & ηµητρίου, Α. Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση της σχέσης µεταξύ των Εξειδικευµένων οµικών Συστηµάτων (Ε ΟΣ) (Demetriou, Efklides, & Platsidou, 1993) και της επίδρασής τους στην επίδοση των µαθητών στα µαθηµατικά. Τετρακόσιοι οκτώ µαθητές µεταξύ 12 και 18 χρόνων εξετάστηκαν µε τη χρήση πέντε σειρών έργων. Οι τέσσερις σειρές έργων αποσκοπούσαν στην εξέταση των ικανοτήτων που περιλαµβάνονται στα Ε ΟΣ: (1) το ποιοτικό-αναλυτικό, (2) το αιτιώδες-πειραµατικό, (3) το εικονικό-χωροταξικό, (4) το λεκτικό-προτασιακό. Η πέµπτη σειρά έργων εξέταζε την επίδοση των µαθητών στα µαθηµατικά. Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι τα Ε ΟΣ επηρεάζουν σηµαντικά την επίδοση των µαθητών στα µαθηµατικά ανεξάρτητα από την ηλικία τους. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από το 1935 ο Hamley έγραψε ότι η µαθηµατική ικανότητα αποτελείται από τη γενική ευφυΐα, την οπτική απεικόνιση και την ικανότητα αντίληψης των αριθµών (αναφορά στο McGee, 1979). Από τότε µέχρι σήµερα οι έρευνες για την περιγραφή της αρχιτεκτονικής της νοηµοσύνης συνεχίζονται και περισσότερες πληροφορίες έρχονται στην επιφάνεια για τη δοµή και την οργάνωση του νου. Ο σχεδιασµός της παρούσας εργασίας βασίζεται στη θεωρία ηµητρίου για την αρχιτεκτονική της αναπτυσσόµενης νοηµοσύνης (Demetriou, Efklides, & Platsidou, 1993). Βασικός σκοπός της είναι να παρουσιάσει τη δοµή και την ανάπτυξη των Εξειδικευµένων οµικών Συστηµάτων (Ε ΟΣ) και την επίδρασή τους στην επίδοση των µαθητών στα µαθηµατικά. Το άρθρο αυτό αποτελεί µέρος µιας µεγαλύτερης έρευνας που σκοπό έχει να εξηγήσει τη δοµή και συνεργασία των διαφόρων συστηµάτων που σύµφωνα µε το ηµητρίου κ.α. (1993) αποτελούν τη γνωστική ανάπτυξη. Συγκεκριµένα στην εργασία αυτή εξετάζουµε τους µηχανισµούς τους οποίους έχει στη διάθεσή του το άτοµο για να επιτύχει σε διάφορα θέµατα των µαθηµατικών. Στη διδακτική των µαθηµατικών αποτελεί συνηθισµένη πρακτική η εξέταση της επίδρασης διαφόρων γνωστικών παραγόντων στη µαθηµατική επίδοση, όπως η απεικόνιση και η ικανότητα του µαθηµατικού συλλογισµού (Brown & Presmeg, 1993; English, 1997). Η πρακτική αυτή στηρίζεται κυρίως στην πεποίθηση ότι η εξέταση διαφόρων πτυχών της γνωστικής ανάπτυξης, συµβάλλει στην καλύτερη κατανόηση της ανάπτυξης των ικανοτήτων των µαθητών στα µαθηµατικά. Είναι ελάχιστες, αν όχι ανύπαρκτες, οι εργασίες που εξετάζουν την επίδραση ολόκληρου του νοητικού συστήµατος στην επίδοση στα µαθηµατικά. Αυτό το άρθρο έχει ως στόχο να εξετάσει συνολικά τη σχέση µεταξύ των Ε ΟΣ

και την επίδρασή τους πάνω στην επίδοση των µαθητών στα µαθηµατικά καθώς επίσης κατά πόσο η επίδραση αυτή επηρεάζεται από την ηλικία των µαθητών. Στο πρώτο µέρος του άρθρου γίνεται µια περίληψη των βασικών αρχών της θεωρίας ηµητρίου και στο δεύτερο µέρος παρουσιάζουµε τη δοµή και την επίδραση των τεσσάρων Ε ΟΣ στην µαθηµατική επίδοση. ΕΜΠΕΙΡΙΚΟΣ ΟΜΙΣΜΟΣ: Η ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΜΕΝΗΣ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗΣ Σύµφωνα µε τη θεωρία ηµητρίου (2002), ο νους είναι οργανωµένος σε τρία επίπεδα. Το πρώτο επίπεδο περιλαµβάνει ένα σύνολο Ε ΟΣ που καθορίζεται από το περιβάλλον. Το σύνολο αυτό των Ε ΟΣ αποτελούν εξειδικευµένες ικανότητες οι οποίες επιτρέπουν στο άτοµο να αναπαριστά, να χειρίζεται και να κατανοεί ειδικά θέµατα. Ο ηµητρίου κ.α. (2002) έχουν εντοπίσει πέντε εξειδικευµένα δοµικά συστήµατα (1) το ποιοτικό-αναλυτικό το (2) το ποσοτικό-συσχετικό (3) το αιτιώδες-πειραµατικό (4) το εικονικό-χωροταξικό και το (5) το λεκτικό-προτασιακό. Το δεύτερο επίπεδο περιλαµβάνει υψηλότερου επιπέδου δοµές οι οποίες ελέγχουν την αυτοαντίληψη, τον αυτοέλεγχο και την αυτορρύθµιση (υπεργνωστικό σύστηµα). Το τρίτο επίπεδο περιλαµβάνει δοµές οι οποίες είναι υπεύθυνες για την επεξεργασία πληροφοριών. Το τελευταίο αυτό επίπεδο θεωρείται ως ένα δυναµικό πεδίο στο οποίο οι πληροφορίες συλλέγονται, επεξεργάζονται από το άτοµο για ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα ώστε το άτοµο να κατανοήσει τις πληροφορίες και να επιλύσει ένα συγκεκριµένο πρόβληµα. Αν και τα Ε ΟΣ, το υπεργνωστικό σύστηµα και το σύστηµα επεξεργασίας πληροφοριών θεωρούνται ότι είναι σε συνεχή αλληλεπίδραση κατά τη διάρκεια της γνωστικής ανάπτυξης, στην παρούσα εργασία θα εξετάσουµε µόνο την επίδραση του ποιοτικού-αναλυτικού, του αιτιώδους-πειραµατικού, του εικονικό-χωροταξικού και του λεκτικού-προτασιακού στην επίδοση των µαθητών 12-18 χρόνων στα µαθηµατικά. Στη συνέχεια παρουσιάζουµε τις συνιστώσες των πιο πάνω Ε ΟΣ που θεωρούµε ότι επηρεάζουν την επίδοση των µαθητών. Το ποιοτικό-αναλυτικό Ε ΟΣ Το ποιοτικό-αναλυτικό Ε ΟΣ περιλαµβάνει ικανότητες που επιτρέπουν στο άτοµο να αναπαριστά και να επεξεργάζεται οµοιότητες και διαφορές. Ειδικότερα το σύστηµα αυτό επιτρέπει στο άτοµο να ενεργεί πάνω σε κατηγορικές δοµές ή σε σειρές. Έτσι το άτοµο είναι σε θέση να αντιλαµβάνεται τις σχέσεις που υπάρχουν σε µια κατηγορία ή σε µια σειρά δεδοµένων ( ηµητρίου, κ.α., 1993). Το αιτιώδες-πειραµατικό Ε ΟΣ Το αιτιώδες-πειραµατικό Ε ΟΣ περιλαµβάνει ικανότητες του ατόµου να αποµονώνει τις πραγµατικές αιτιώδεις σχέσεις µέσα από ένα ευρύτερο δίκτυο. Οι ικανότητες που θεωρούνται απαραίτητες στο αιτιώδες-πειραµατικό πεδίο έχουν άµεση σχέση µε τις ικανότητες που απαιτούνται για κατανόηση των µαθηµατικών ιδεών. Στις ικανότητες αυτές περιλαµβάνονται: (α) οι συνδυαστικές ικανότητες (β) οι ικανότητες διαµόρφωσης υποθέσεων

(γ) οι ικανότητες για πειραµατισµό και (δ) οι ικανότητες για µοντελοποίηση διαφόρων φαινοµένων ή προβληµάτων. Το εικονικό-χωροταξικό Ε ΟΣ Το εικονικό-χωροταξικό σύστηµα επιτρέπει στο άτοµο να κατανοεί «µε τα µάτια του µυαλού» (Kosslyn, 1978) αντικείµενα και τις µεταξύ τους σχέσεις στο χώρο και στο χρόνο. Το σύστηµα αυτό περιλαµβάνει τις ικανότητες που επιτρέπουν στο άτοµο να προβαίνει νοερά σε ενέργειες που θα µπορούσε να τις εκτελεί και µε πραγµατικά αντικείµενα, π.χ. να µετακινεί και να περιστρέφει νοερά αντικείµενα, να προσθέτει ή να αφαιρεί νοερά χαρακτηριστικά µιας εικόνας ή ενός σχήµατος. Το λεκτικό-προτασιακό Ε ΟΣ Το λεκτικό-προτασιακό Ε ΟΣ περιλαµβάνει την ικανότητα κωδικοποίησης µιας σειράς λεκτικών προτάσεων και επεξεργασίας σύµφωνα µε τους κανόνες του προτασιακού διαλογισµού. Το σύστηµα αυτό αναφέρεται κυρίως στην ικανότητα συλλογισµού, επαγωγικού και παραγωγικού. Βασικό χαρακτηριστικό αυτού του συστήµατος είναι η ικανότητα διάκρισης µεταξύ των σηµαντικών και µη σηµαντικών στοιχείων για την διεκπεραίωση του καθορισµένου στόχου. Έτσι το σύστηµα από τη µια απωθεί πληροφορίες και από την άλλη δηµιουργεί νόηµα. Στην παρούσα εργασία εξετάζουµε την επίδραση των τεσσάρων αυτών Ε ΟΣ πάνω στην επίδοση µαθητών 12-18 χρόνων στα µαθηµατικά. Για τον σκοπό αυτό θεωρούµε την µαθηµατική ικανότητα ως µια εξαρτηµένη µεταβλητή ενώ τα υπόλοιπα Ε ΟΣ ως ανεξάρτητες µεταβλητές. Η ΠΑΡΟΥΣΑ ΕΡΓΑΣΙΑ Βασικός σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να προσφέρει ένα θεωρητικό πλαίσιο επεξήγησης ή και ανάπτυξης των µαθηµατικών ικανοτήτων του ατόµου. Προτείνουµε ένα θεωρητικό µοντέλο που βασίζεται στη θεωρία ηµητρίου κ.α. (1993), όπως αδροµερώς έχει αναφερθεί πιο πάνω. Πιο συγκεκριµένα, το µοντέλο που παρουσιάζεται στην εργασία αυτή περιλαµβάνει τέσσερις παράγοντες που αντιπροσωπεύουν τα τέσσερα Ε ΟΣ, το ποιοτικόαναλυτικό, το αιτιώδες-πειραµατικό, το εικονικό-χωροταξικό και το λεκτικό προτασιακό και εξετάζει κατά πόσο τα συστήµατα αυτά επηρεάζουν την επίδοση των µαθητών στα µαθηµατικά. Το πρώτο ερώτηµα της µελέτης αυτής αναφέρεται στην εγκυρότητα του προτεινόµενου µοντέλου και το δεύτερο ερώτηµα που επιχειρούµε να απαντήσουµε είναι κατά πόσο οι ικανότητες που περιλαµβάνονται στα Ε ΟΣ επηρεάζουν σε διαφορετικό βαθµό άτοµα διαφορετικών ηλικιών. Το Μοντέλο Το προτεινόµενο µοντέλο βασίζεται στη θεωρητική υπόθεση ότι η επίδοση των µαθητών στα µαθηµατικά επηρεάζεται από τα Ε ΟΣ. Το ιάγραµµα 1 παρουσιάζει τη δοµή και την οργάνωση του προτεινόµενου µοντέλου. Το µοντέλο αποτελείται από επτά παράγοντες πρώτης τάξης και δύο παράγοντες δεύτερης τάξης. Οι τέσσερις από τους επτά παράγοντες πρώτης τάξης αναφέρονται στο ποιοτικό-αναλυτικό Ε ΟΣ (F1), στο αιτιώδεςπειραµατικό Ε ΟΣ (F2), στο εικονικό-χωροταξικό Ε ΟΣ (F3) και στο λεκτικό προτασιακό Ε ΟΣ (F4). Οι υπόλοιποι τρεις παράγοντες πρώτης τάξης παρουσιάζουν την επίδοση των

µαθητών στις αναλογίες (F5), στην άλγεβρα (F6) και στα αριθµητικά µοτίβα (F7). Το µοντέλο περιλαµβάνει επίσης δύο παράγοντες δεύτερης τάξης, τον παράγοντα που αντιπροσωπεύει όλα τα Ε ΟΣ (F8), και τον παράγοντα που αντιπροσωπεύει τη µαθηµατική επίδοση των µαθητών (F9). Με αυτό τον τρόπο οι παράγοντες δεύτερης τάξης θεωρούνται ως δύο πιο αφηρηµένες αναπαραστάσεις των Ε ΟΣ και της µαθηµατικής επίδοσης και αντιπροσωπεύουν ως ολότητες τη δοµή και την οργάνωση των Ε ΟΣ και των µαθηµατικών. Στο µοντέλο φαίνεται ότι ο παράγοντας των Ε ΟΣ επιδρά στην µαθηµατική επίδοση και εποµένως επηρεάζει την κατανόηση στα µαθηµατικά. V1.46 (.52) [.49].36 (.61) [.48] V13 V2 V3.98 (.98) [.96].56 (.66) [.73] F1 F5.36 (.27) [.53].42 (.54) [.49] V14 V15 V4 V5.63 (.82) [.99].50 (.33) [.20] F2.71 (.56) [.66].96 (.85) [.84].63 (.65) [.50] V16 V6.48 (.57) [.49] F6.67 (.56) [.49] V17 V7.70 (.46) [.46].93 (.95) [.72] F8 F9.95 (.92) [.70].65 (.62) [.56] V18 V8 V9.40 (.49) [.86].56 (.54) [.63] F3.30 (.72) [.40].82 (.86) [.81].53 (.63) [.77].49 (.55) [.75] V19 V10.59 (.82) [.88] F7.96 (.78) [.86] V20 V11.51 (.83) [.88] F4.71 (.67) [.79] V21 V12.56 (.88) [.90] Πίνακας 1. Το προτεινόµενο µοντέλο F1=Ποιοτικό-αναλυτικό Ε ΟΣ, F2=Αιτιώδες-Πειραµατικό Ε ΟΣ, F3=Εικονικό-χωροταξικό Ε ΟΣ, F4=Λεκτικό-Προτασιακό Ε ΟΣ, F5=Προβλήµατα Αναλογίας, F6=Αλγεβρικά προβλήµατα, F7=Αριθµητικά µοτίβα, F8=Ε ΟΣ, (παράγοντας δεύτερης τάξης), F9=Μαθηµατική Επίδοση, (παράγοντας δεύτερης τάξης); V1-V21=τα έργα στο ερωτηµατολόγιο.

ΜΕΘΟ ΟΣ Υποκείµενα-Έργα Στην έρευνα αυτή συµµετείχαν τετρακόσια οκτώ άτοµα. Εκατόν τριάντα οκτώ τελειόφοιτοι µαθητές δηµοτικού σχολείου (12 χρόνων, οµάδα Α), 150 τελειόφοιτοι µαθητές γυµνασίου (15 χρόνων, οµάδα Β) και 120 πρωτοετείς φοιτητές πανεπιστηµίου (18 χρόνων, οµάδα Γ). Ο διαχωρισµός των µαθητών σύµφωνα µε την ηλικία τους ήταν αναγκαίος, για να µπορέσουµε να εξετάσουµε κατά πόσο η επίδραση των Ε ΟΣ επηρεάζεται από την ηλικία των µαθητών. Οι µαθητές του δηµοτικού και γυµνασίου επιλέγηκαν τυχαία από δηµοτικά και γυµνάσια της Κύπρου, ενώ οι πρωτοετείς φοιτητές επιλέγηκαν τυχαία από τους πρωτοετείς φοιτητές του Πανεπιστηµίου Κύπρου. Οι µαθητές και οι φοιτητές εξετάστηκαν σε επτά οµάδες έργων. Οι τέσσερις οµάδες έργων αφορούσαν τις ικανότητες που περιλαµβάνονται στα Ε ΟΣ ενώ οι άλλες τρεις οµάδες έργων αναφέρονται στη µαθηµατική ικανότητα των µαθητών και περιλάµβαναν προβλήµατα αναλογιών, άλγεβρας και αριθµητικών µοτίβων. Στη συνέχεια γίνεται µια σύντοµη αναφορά στα έργα που χρησιµοποιήθηκαν. Τα έργα για το Ποιοτικό-Αναλυτικό Ε ΟΣ Για την εξέταση του Ποιοτικού-Αναλυτικού Ε ΟΣ χρησιµοποιήθηκαν 18 έργα. Τα πρώτα έξι αναφέρονταν στην ικανότητα των ατόµων να κατανοούν µια λεκτική αναλογία όπως «µελάνι: στυλό:: µπογιά (χρώµα, πινέλο, χαρτί)». Οι µαθητές καλούνταν να επιλέξουν τη λέξη που συµπλήρωνε την αναλογία. Στη συνέχεια οι µαθητές καλούνταν να µελετήσουν εικόνες και να κρίνουν την ορθότητα ή όχι δεδοµένων προτάσεων, όπως φαίνεται στον Πίνακα 1. Με βάση την πιο πάνω εικόνα να απαντήσετε στην ερώτηση: Ποια είναι τα πιο πολλά, τα παιδιά ή τα αγόρια; α) Τα παιδιά β) Τα αγόρια γ) Ίσα δ) εν µπορώ να αποφασίσω. Πίνακας 1: Παράδειγµα Έργων του Ποιοτικού-Αναλυτικού Ε ΟΣ Τέλος, οι υπόλοιπες ερωτήσεις αποτελούνταν από µια σειρά από εικόνες ή µοτίβα µε ένα από τα κοµµάτια να λείπει. Οι συµµετέχοντες έπρεπε να βρουν το κοµµάτι που έλειπε όπως φαίνεται στον Πίνακα 2 (Raven, 2002). α β γ δ Πίνακας 2: Παράδειγµα Έργων του Ποιοτικού-Αναλυτικού Ε ΟΣ

Τα έργα για το Αιτιώδες-Πειραµατικό Ε ΟΣ Τα 18 έργα που χρησιµοποιήθηκαν για την εξέταση του Αιτιώδους-Πειραµατικού Ε ΟΣ εστιάζονταν στη συνδυαστική ικανότητα, στην ικανότητα διαµόρφωσης υποθέσεων, στην πειραµατική ικανότητα και στην ικανότητα µοντελοποίησης. Ένα τέτοιο παράδειγµα ήταν η παρουσίαση µερικών ράβδων οι οποίες διέφεραν σε τρία χαρακτηριστικά: µήκος (µακριές και κοντές ράβδοι), πάχος (λεπτές και χοντρές ράβδοι) και σχήµα (στρογγυλές και τριγωνικές ράβδοι). Οι µαθητές καλούνταν να εντοπίσουν ένα ζεύγος ράβδων τις οποίες θα µπορούσαν να χρησιµοποιήσουν, για να εξετάσουν την υπόθεση ότι «οι µακριές ράβδοι λυγίζουν πιο εύκολα από τις κοντές ράβδους». Τα έργα για το Εικονικό-Χωροταξικό Ε ΟΣ Τα έργα σε αυτό το σύστηµα εξέταζαν διάφορες δεξιότητες που αναφέρονται στην οπτική αντίληψη, στην χωρική απεικόνιση, στη νοητική περιστροφή και το χωρικό προσανατολισµό, όπως φαίνεται στον Πίνακα 3. Ένα δοχείο είναι σε όρθια στάση και περιέχει κάποιο υγρό. Η επιφάνεια του υγρού είναι παράλληλη µε την οριζόντια επιφάνεια πάνω στην οποία ακουµπά το µπουκάλι. Ζωγράφισε την επιφάνεια του υγρού µέσα στο µπουκάλι όταν αυτό γέρνει στη µια πλευρά µε γωνία 45 µοιρών. Πως θα φαίνεται το πιο κάτω κοµµάτι χαρτί όταν διπλωθεί γύρω από τον άξονα που φαίνεται; Πως θα φαίνεται το σχήµα που βρίσκεται πάνω στον κατακόρυφο δείκτη όταν αυτός περιστραφεί ώστε να είναι σε οριζόντια θέση; α) β γ δ Πίνακας 3: Παραδείγµατα Έργων του Εικονικό-Χωροταξικού Ε ΟΣ

Τα έργα για το Λεκτικό-Προτασιακό Ε ΟΣ Τα έργα περιελάµβαναν 12 συλλογισµούς. Κάθε συλλογισµός περιελάµβανε δύο δηλώσεις και ένα συµπέρασµα. Οι µαθητές καλούνταν να εξετάσουν την εγκυρότητα του συµπεράσµατος (π.χ. Τα πουλιά µπορούν να πετάνε. Ο ελέφαντας είναι πουλί. Οι ελέφαντες µπορούν να πετάνε). Τα έργα για τα Μαθηµατικά Η επίδοση των µαθητών στα µαθηµατικά µετρήθηκε µε βάση τις απαντήσεις που έδωσαν οι µαθητές σε τρία είδη προβληµάτων αναλογίας, αλγεβρικών εξισώσεων και αριθµητικών µοτίβων. Παραδείγµατα των ασκήσεων που δόθηκαν παρουσιάζονται στον Πίνακα 4. Προβλήµατα Αναλογίας (7 αντικείµενα) Στην τάξη Α1 υπάρχουν 28 παιδιά. Από αυτά τα 3 στα 4 είναι αγόρια. Στην τάξη Α2 υπάρχουν 30 παιδιά. Από αυτά τα 5 στα 6 είναι κορίτσια. Αν λογαριάσουµε και τις δυο τάξεις µαζί: α) Τα αγόρια είναι περισσότερα β) Τα κορίτσια είναι περισσότερα γ) Είναι ίσα Αλγεβρικές εξισώσεις (7 ασκήσεις) Πότε ισχύει το πιο κάτω; Λ+Μ+Ν=Λ+Π+Ν, όταν α)μ-π=0, β)μ+π=2, γ)λ+ν=μ, δ) Λ+Ν=Μ+Π Συµπλήρωση αριθµητικών µοτίβων 2 5 11 20 32 47 --- α) 65 β) 63 γ) 59 δ) 67 Πίνακας 4: Παραδείγµατα Έργων που εξέταζαν τη µαθηµατική επίδοση ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η αξιολόγηση του µοντέλου βασίζεται στην ανάλυση της πολλαπλής συνδιακύµανσης κατά οµάδες, η οποία αποτελεί µέρος µιας γενικότερης οµάδας στατιστικών προσεγγίσεων δοµικών µοντέλων. Για την ανάλυση των δεδοµένων χρησιµοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο EQS 6.0 (Bentler, 1993). Στα δοµικά µοντέλα ανάλυσης χρησιµοποιούνται συνήθως τρεις δείκτες: ο λόγος του χ 2 προς τους βαθµούς ελευθερίας (χ 2 /df), και οι δείκτες CFI και RMSEA. Όταν ο δείκτης χ 2 /df είναι µικρότερος του 2, ο δείκτης CFI είναι µεγαλύτερος από το 0.9 και ο δείκτης RMSEA πλησιάζει προς το µηδέν, τότε το υπό εξέταση µοντέλο θεωρείται ως ικανοποιητικό και αποδεκτό (Marcoulides & Hershberger, 1997). Ο βασικός σκοπός αυτής της εργασίας ήταν να εξετάσει τη δοµή και τις σχέσεις µεταξύ της επίδοσης των µαθητών στα µαθηµατικά και των Ε ΟΣ. Αν και θεωρητικά µπορεί κανείς να κάνει υποθέσεις για διαφορετικές σχέσεις µεταξύ των Ε ΟΣ και της µαθηµατικής επίδοσης, δεν υπάρχουν εµπειρικές µελέτες που να εξετάζουν τις σχέσεις αυτές. Λόγω ακριβώς αυτής της έλλειψης εµπειρικών στοιχείων που να υποστηρίζουν την πιο πάνω

υπόθεση, τα δεδοµένα αναλύθηκαν µε βάση το θεωρητικό µοντέλο που παρουσιάζεται στο ιάγραµµα 1. Πρώτο ερώτηµα της εργασίας αυτής ήταν η εξέταση της εγκυρότητας του θεωρητικού µοντέλου. Από τα αποτελέσµατα της ανάλυσης φαίνεται ότι το µοντέλο µπορεί να υποστηριχτεί από τα εµπειρικά δεδοµένα, γιατί ο δείκτης CFI = 0.948, ο δείκτης χ 2 /df =1.5 και ο δείκτης RMSEA =0.05. Αυτό σηµαίνει ότι τα Ε ΟΣ και η µαθηµατική επίδοση των µαθητών µπορούν να αναπαρασταθούν από τους αντίστοιχους παράγοντες 2 ης τάξης. Επιπρόσθετα, τα αποτελέσµατα έχουν δείξει ότι η επίδραση των Ε ΟΣ στη µαθηµατική επίδοση των µαθητών είναι σηµαντική (δείτε ιάγραµµα 1). Το δεύτερο ερώτηµα της έρευνας αφορούσε την εξέταση του παράγοντα της ηλικίας στη δοµή του µοντέλου. Για το σκοπό αυτό έγινε πολλαπλή κατά οµάδες ανάλυση που έδειξε ότι ανεξάρτητα από την ηλικία των µαθητών η δοµή του µοντέλου παραµένει σταθερή και η επίδραση των Ε ΟΣ στη µαθηµατική επίδοση υφίσταται σε όλες τις υπό εξέταση ηλικίες µαθητών. Τονίζεται ότι η επίδραση των Ε ΟΣ στη µαθηµατική επίδοση των µαθητών είναι αρκετά υψηλή και στις τρεις οµάδες (.806 στην οµάδα A,.912 στην οµάδα B, και.901 στην οµάδα Γ). Το αποτέλεσµα αυτό επιβεβαιώνεται επίσης από το υψηλό ποσοστό επεξήγησης της διασποράς της επίδοσης στα µαθηµατικά από την επίδραση των Ε ΟΣ (65% στην οµάδα A, 83% στην οµάδα B, και 81% στην οµάδα Γ). ΣΥΖΗΤΗΣΗ Οι περισσότερες έρευνες που έχουν γίνει µέχρι σήµερα στη διδακτική των µαθηµατικών µε σκοπό τη διερεύνηση του τρόπου µε τον οποίο διαφορετικοί γνωστικοί παράγοντες επηρεάζουν την επίδοση των ατόµων στα µαθηµατικά, επικεντρώνονται στην εξέταση ενός και µόνο γνωστικού παράγοντα κάθε φορά (Brown & Presmeg, 1993; English, 1997). Είναι ελάχιστες, αν όχι ανύπαρκτες, οι έρευνες που προβάλλουν µια πιο ολοκληρωµένη θεωρία για τον τρόπο µε τον οποίο η επίδοση στα µαθηµατικά επηρεάζεται από διάφορα συστήµατα τα οποία συνιστούν την οργάνωση και ανάπτυξη του ανθρώπινου γνωστικού συστήµατος. Με βάση τη θεωρία ηµητρίου κ.α. (1993), η µαθηµατική ικανότητα θεωρείται ένα από τα πέντε Ε ΟΣ σε συνδυασµό µε το ποιοτικό-αναλυτικό Ε ΟΣ, το αιτιώδεςπειραµατικό, το εικονικό-χωροταξικό και το λεκτικό-προτασιακό. Σε αυτή την εργασία εξετάσαµε πως τα Ε ΟΣ επηρεάζουν την επίδοση στα µαθηµατικά και για αυτό το λόγο θεωρήσαµε τη µαθηµατική επίδοση ως µια εξαρτηµένη µεταβλητή ενώ τα υπόλοιπα Ε ΟΣ ως ανεξάρτητες µεταβλητές. Μέσω της επιβεβαιωτικής παραγοντικής ανάλυσης φάνηκε ότι το ποιοτικό-αναλυτικό, αιτιώδες-πειραµατικό, εικονικό-χωροταξικό, λεκτικό-προτασιακό αποτελούν ένα παράγοντα 2 ης τάξης. Με παρόµοιο τρόπο θεωρήσαµε ότι τα προβλήµατα αναλογίας, οι αλγεβρικές εξισώσεις και τα αριθµητικά µοτίβα αποτελούν ένα παράγοντα 2 ης τάξης που καθορίζει γενικά τη µαθηµατική επίδοση των ατόµων. Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι η µαθηµατική επίδοση των µαθητών επηρεάζεται σηµαντικά από τα Ε ΟΣ και ότι η επίδραση αυτή υφίσταται ανεξάρτητα από την ηλικία των ατόµων.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάσαµε παράγοντες που φαίνεται να επηρεάζουν την κατανόηση στα µαθηµατικά. Αυτοί οι παράγοντες βασίζονται σε έρευνες που προέρχονται από τη γνωστική ψυχολογία. Τα αποτελέσµατα αυτής της εργασίας οδηγούν σε κάποια γενικά συµπεράσµατα τα οποία µπορούν να διευρύνουν τις γνώσεις µας για τη δοµή και την ανάπτυξη της µαθηµατικής γνώσης και τον τρόπο µε τον οποίο τα Ε ΟΣ µπορούν να επηρεάσουν την µαθηµατική επίδοση. Επιπρόσθετα, η χρήση τέτοιων θεωριών στη διδακτική των µαθηµατικών µπορεί να προσφέρει σηµαντικά στοιχεία και να έχει επιπτώσεις στο τρόπο διδασκαλίας των µαθηµατικών, αν ληφθεί υπόψη ότι στην ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών συµβάλλουν σε µεγάλο βαθµό γενικότερα συστήµατα, όπως είναι τα Ε ΟΣ. Τα αποτελέσµατα φαίνεται να υποδεικνύουν ότι η βελτίωση της επίδοσης στα µαθηµατικά δεν είναι µόνο αποτέλεσµα επιµονής στη διδασκαλία του συγκεκριµένου µαθηµατικού θέµατος. Αυτό που διαφαίνεται είναι ότι η µαθηµατική επίδοση µπορεί να είναι αποτέλεσµα συντονισµένης βελτίωσης των ικανοτήτων που περιλαµβάνονται στα Ε ΟΣ, τα οποία µε τη σειρά τους επηρεάζουν τη µαθηµατική επίδοση. Υποθέτουµε ότι βελτίωση αυτών των ικανοτήτων µπορεί να οδηγήσει σε βελτίωση της επίδοσης σε διάφορα θέµατα των µαθηµατικών. Επιβάλλεται, ωστόσο, να συνεχιστεί η πιο λεπτοµερής εξέταση του τρόπου µε τον οποίο τα Ε ΟΣ επηρεάζουν τη µαθηµατική επίδοση. Θα ήταν επίσης σηµαντικό να εξεταστεί πως η κατανόηση στα µαθηµατικά µπορεί να επιταχυνθεί, αν ενισχύσουµε τις ικανότητες που περιλαµβάνονται στο κάθε εξειδικευµένο δοµικό σύστηµα ξεχωριστά. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Bentler, P.M. (1993). EQS: Structural equations program manual. Los Angeles: BMDP Statistical software. Brown, D., & Presmeg, N. (1993). Types of imagery used by elementary and secondary school students in mathematical reasoning. Proceedings of the Seventeenth International Conference of Psychology of Mathematics Education. Tsukuba, Japan. Demetriou, A., Christou, C., Spanoudis, G., & Platsidou, M. (2002). The development of mental processing: Efficiency, working memory, and thinking. Monographs of the Society of Research in Child Development (Serial Number 267). Demetriou, A., Efklides, A., & Platsidou, M. (1993) The architecture and dynamics of developing mind: Experiential structuralism as a frame for unifying cognitive developmental theories. Monographs of the Society for Research in Child Development, 58 (5-6, Serial No. 234). English, L. D. (1997) Mathematical reasoning: analogies, metaphors, and images. Mahwah, NJ: L. Erlbaum Associates. Marcoulides G.A. & Hershberger, S.L. (1997). Multivariate Statistical Methods: A first course. Hillsdale, N.J: Lawrence Erlbaum Associates. McGee, M.G. (1979) Human spatial abilities Psychometric studies, environmental, genetic, hormonal and neurological influences. Psychological Bulletin, 6(5), 889-918.

Raven, J. (2000). The Raven s Progressive Matrices: Change and stability over culture and time. Cognitive Psychology, 41, 1-48. Abstract The aim of this study is to investigate the relationship between the Specialized Structural Systems (SSS) (Demetriou, 1993) and their effect on mathematical performance. Four hundred and eight students between the ages of 12 to 18 years were tested with five series of task batteries. Four of them addressed to the abilities involved in the SSSs: (1) the qualitative-analytic, (2) the causal-experimental, (3) the spatial-imaginal, and (4) the verbal-propositional while the fifth battery addressed students mathematical performance. The main purpose of the study was to investigate how these SSSs relate to mathematical performance across ages. The results suggest that the SSSs significantly affect mathematical performance independently of the age of the individuals.