Κεφάλαιο 4 ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΑ Τα υποστυλώµατα έχουν συνήθως τη µορφή κατακόρυφου αµφίπακτου ραβδόµορφου φορέα όπως φαίνεται στο σχήµα 1.8. Τα τµήµατα του υποστυλώµατος µεταξύ πάκτωσης και σηµείου καµπής θα µπορούσαν να θεωρηθούν ως δύο ανεξάρτητοι πρόβολοι µε εξωτερική επιπόνηση τα κοινά εσωτερικά στατικά µεγέθη στο σηµείο καµπής. Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 1.3 (βλ. σχήµα 1.4), ο πρόβολος αποτελεί κατ ουσία το ήµισυ µίας νοητής αµφιέρειστης δοκού, συµµετρικής ως προς τη µεσαία διατοµή της. Έτσι, στο κεφάλαιο αυτό τα υποστυλώµατα θα εξεταστούν ως κατακόρυφες αµφιέρειστες δοκοί. Ο σχεδιασµός της σύνδεσης των δύο προβόλων στη θέση του σηµείου καµπής θα συµπληρωθεί στο έκτο κεφάλαιο. 4.1 Εξωτερικές δράσεις και επιπόνηση Η ανάληψη αξονικής θλιπτικής δύναµης αποτελεί την κύρια συµβολή του υποστυλώµατος στο µηχανισµό µεταφοράς των δράσεων της κατασκευής από το σηµείο εφαρµογής τους στο έδαφος. Ταυτόχρονα, όµως, µε την ανάληψη των αξονικών θλιπτικών φορτίων, από την αλληλεπίδρασή του µε τα άλλα στοιχεία της κατασκευής, το υποστύλωµα υπόκειται, επίσης, σε καµπτο-διατµητική επιπόνηση. Η επιπόνηση αυτή µπορεί να είναι µονοαξονική, όταν οι δράσεις που την προκαλούν ασκούνται σ έναν από τους δύο άξονες συµµετρίας της διατοµής, ή διαξονική, όταν οι δράσεις που την προκαλούν ασκούνται ταυτόχρονα και στους δύο άξονες 93
συµµετρίας ή κατά λοξή (τυχηµατική) διεύθυνση (στην περίπτωση αυτή η επιπόνηση αναλύεται σε δύο συνιστώσες κατά τους άξονες συµµετρίας της διατοµής). Ενδεικτικό παράδειγµα διαξονικής επιπόνησης κατά τη διεύθυνση των αξόνων συµµετρίας της διατοµής του υποστυλώµατος (βλ. σχήµα 4.1) είναι αυτή που προκαλείται από την αλληλεπίδρασή του µε τις δοκούς που συντρέχουν καθ ύψος του σε διάφορες στάθµες (βλ. σχήµα 1.1), ενώ παράδειγµα τυχηµατικής λοξής επιπόνησης είναι αυτή που προκαλείται από (έντονα) φυσικά φαινόµενα όπως, πχ, ο σεισµός, οι ισχυροί άνεµοι, κλπ. y M M y x M x Σχήµα 4.1 ιαξονική κάµψη Σύµφωνα µε τα παραπάνω, λοιπόν, η επιπόνηση του υποστυλώµατος διαφέρει από αυτήν της δοκού κυρίως ως προς την ύπαρξη σηµαντικής αξονικής θλιπτικής συνιστώσας και στο ότι η καµπτο-διατµητική συνιστώσα της ενδέχεται να είναι διαξονική. Κατ αντιδιαστολή µε την δοκό, στην οποία το εξωτερικό φορτίο µπορεί να ασκείται σε οποιοδήποτε σηµείο της, στο υποστύλωµα τα εξωτερικά (αξονικά και καµπτο-διατµητικά) φορτία ασκούνται, συνήθως, στα άκρα του. Η διαφοροποίηση αυτή, όµως, δεν αποτελεί ουσιαστική διαφορά στην επιπόνηση των δύο δοµικών στοιχείων, όπως ενδεικτικά φαίνεται στο σχήµα 4.2. 94
N M1 v v M2 N Σχήµα 4.2 Φορτίο υποστυλώµατος Οι διαφορές στην επιπόνηση και την εσωτερική ένταση µεταξύ υποστυλωµάτων και δοκών οδηγούν σε διαφορές στην όπλισή τους. Βασική διαφοροποίηση είναι ότι ο διαµήκης οπλισµός των υποστυλωµάτων τοποθετείται συνήθως συµµετρικά ως προς τους άξονες συµµετρίας της διατοµής τους (βλ. σχήµα 4.3). y h A s1 2 A s2 2 A s2 2 A s1 2 x b Σχήµα 4.3 ιαµήκης οπλισµός υποστυλώµατος Η συµµετρία αυτή του διαµήκη οπλισµού, επιβεβληµένη στην περίπτωση που τα αναµενόµενα οριζόντια φορτία είναι τυχηµατικά ως προς τη φορά τους (π.χ. σεισµός, ] 95
άνεµος), επεκτείνεται γενικότερα για κατασκευαστική ευχέρεια και αντιµετώπιση αθέλητων εκκεντροτήτων κατά τη διαδικασία της κατασκευής. 4.2 Φυσικό προσοµοίωµα Όπως και στην περίπτωση της αµφιέρειστης δοκού, η λειτουργία του υποστυλώµατος περιγράφεται, στη µεν οριακή κατάσταση λειτουργικότητας, από την απλουστευµένη θεωρία της γραµµικά ελαστικής δοκού µε τον τρόπο που έχει προσαρµοστεί για την περίπτωση του Ο.Σ. (βλ. ενότητα 3.5), στη δε οριακή κατάσταση αστοχίας (βλ. ενότητα 3.6), προσοµοιώνεται µε ισοστατικό δικτύωµα το οποίο, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.10, έχει ως διαµήκη θλιπτήρα και ελκυστήρα τη θλιβόµενη ζώνη και τον διαµήκη εφελκυόµενο οπλισµό, αντίστοιχα, ως εγκάρσιους ελκυστήρες τον εγκάρσιο οπλισµό, ενώ οι διαγώνιοι θλιπτήρες του σχηµατίζονται από το ρηγµατωµένο σκυρόδεµα της εφελκυόµενης ζώνης. Στην περίπτωση του υποστυλώµατος, η ταυτόχρονη δράση αξονικής θλιπτικής δύναµης αυξάνει το βάθος της θλιβόµενης ζώνης, µειώνοντας έτσι τη ρηγµάτωση (πλήθος, διαδροµή και εύρος ρωγµών) της εφελκυόµενης ζώνης, γεγονός που κάνει εγκυρότερη την προσαρµογή της θεωρίας της γραµµικά ελαστικής δοκού ώστε να περιγράφει πλέον αξιόπιστα τη συµπεριφορά ενός ραβδόµορφου φορέα από Ο.Σ. Παρόµοια είναι η επίδραση της αξονικής δύναµης στο προσοµοίωµα του δικτυώµατος που χρησιµοποιείται για την περιγραφή της συµπεριφοράς της δοκού στην οριακή κατάσταση αστοχίας. Η αύξηση του βάθους της θλιβόµενης ζώνης που προκαλεί η αξονική θλιπτική δύναµη µειώνει το πλήθος, τη διαδροµή και το εύρος τόσο των κεκλιµένων όσο και των καµπτικών ρωγµών, γεγονός που µειώνει το µέγεθος των δράσεων που αναλαµβάνουν οι εγκάρσιοι ελκυστήρες (εγκάρσιος οπλισµός) και οι διαγώνιοι θλιπτήρες (ρηγµατωµένο σκυρόδεµα εφελκυόµενης ζώνης), αποµακρύνοντας έτσι το ενδεχόµενο αστοχίας σε τέµνουσα. 96
4.3 Σχεδιασµός 4.3.1 Αρχές και µεθοδολογία σχεδιασµού Οι αρχές και η διαδικασία σχεδιασµού είναι αυτές που αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.4 για την αµφιέρειστη δοκό. Ο σχεδιασµός, η διαδικασία του οποίου είναι επαναληπτική, βασίζεται στον υπολογισµό της φέρουσας ικανότητας. εδοµένου ότι στην κατάσταση λειτουργίας το βέλος κάµψης των υποστυλωµάτων είναι συνήθως µικρό δεν απαιτείται ο έλεγχός του στην κατάσταση λειτουργικότητας της κατασκευής. Όπως αναπτύχθηκε στην ενότητα 3.7.2, φέρουσα ικανότητα ενός φορέα ορίζεται ο δυσµενέστερος συνδυασµός των τιµών των φορτίων του φορέα που δρουν σ αυτόν λίγο πριν την αστοχία του. Εάν, λοιπόν, θεωρηθεί ότι η τιµή της δρώσας αξονικής δύναµης Ν είναι γνωστή, αποµένει να υπολογιστεί η συνιστώσα της φέρουσας ικανότητας που αντιστοιχεί στην καµπτο-διατµητική δράση υπό σταθερή αξονική δύναµη Ν. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η καµπτο-διατµητική δράση στην οποία υπόκειται το υποστύλωµα είναι εν γένει διαξονική (δηλ. έχει δύο συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις των αξόνων συµµετρίας της διατοµής). Στα επόµενα θα παρουσιαστεί αρχικά µία µέθοδος υπολογισµού της φέρουσας ικανότητας για την περίπτωση συνδυασµού µονοαξονικής κάµψης (δηλ. κάµψης ως προς τον ένα άξονα συµµετρίας της διατοµής του υποστυλώµατος) και αξονικής θλίψης (δηλ. θλιπτικής δύναµης ασκούµενης στο γεωµετρικό κέντρο της διατοµής) και στη συνέχεια η µέθοδος θα επεκταθεί και στην περίπτωση συνδυασµού διαξονικής κάµψης και αξονικής θλίψης. 4.3.2 Φέρουσα ικανότητα υπό µονοαξονική κάµψη και σταθερά αξονική θλίψη Υιοθετώντας ως φυσικό προσοµοίωµα για την κατάσταση αστοχίας το δικτύωµα, αστοχία του υποστυλώµατος προκαλείται όταν υπό τη δράση του 97
εξωτερικού φορτίου ένα τουλάχιστον από τα µέλη του δικτυώµατος (δηλ. ο οριζόντιος θλιπτήρας, οι διαγώνιοι θλιπτήρες, ο διαµήκης ελκυστήρας και οι εγκάρσιοι ελκυστήρες) αστοχήσει (δηλ. εξαντλήσει την αντοχή του). Επειδή εν γένει δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποιο από τα µέλη του φυσικού προσοµοιώµατος θα αστοχήσει πρώτο λόγω εξάντλησης της αντοχής του, εξετάζεται ξεχωριστά η αστοχία καθενός µέλους του φυσικού προσοµοιώµατος. Σε κάθε µία από αυτές τις αστοχίες αντιστοιχεί µία τιµή του εξωτερικού φορτίου, η µικρότερη από τις οποίες θα αποτελεί τη φέρουσα ικανότητα της δοκού. Ο υπολογισµός των αντοχών των στοιχείων του φυσικού προσοµοιώµατος και οι τιµές του εξωτερικού φορτίου που αντιστοιχούν σ αυτές γίνεται όπως περιγράφεται εις τα επόµενα. 4.3.2.1 Αντοχή διαγώνιων θλιπτήρων και εγκάρσιων ελκυστήρων Η µέθοδος υπολογισµού της αντοχής των διαγώνιων θλιπτήρων και εγκάρσιων ελκυστήρων διαφέρει από αυτήν που χρησιµοποιείται για την περίπτωση δοκών µόνο ως προς την εκτίµηση της συµβολής των επικουρικών µηχανισµών αντοχής σε τέµνουσα που περιγράφηκαν στην ενότητα 3.4. Η δράση της αξονικής θλίψης Ν, µε την αύξηση της θλιβόµενης ζώνης που προκαλεί και τη συνεπαγόµενη µείωση του πλήθους, της διαδροµής και του εύρους των ρωγµών, οδηγεί σε εντονότερη συµβολή των µηχανισµών αυτών στην ανάληψη τέµνουσας. Το µέγεθος της συµβολής αυτής, θεωρούµενο ανάλογο µε το βάθος της θλιβόµενης ζώνης, εκφράζεται από τη σχέση v c,n =v c (x N /x), όπου v c είναι η συµβολή σε τέµνουσα των επικουρικών µηχανισµών αντοχής και x το βάθος της θλιβόµενης ζώνης για Ν=0, ενώ v c,n και x N είναι τα αντίστοιχα µεγέθη για Ν 0. (Το βάθος της θλιβόµενης ζώνης για Ν=0 υπολογίζεται όπως περιγράφεται στην ενότητα 3.7.2.1 (βλ. σχήµα 3.15), ενώ ο υπολογισµός του βάθους της θλιβόµενης ζώνης για Ν 0 θα περιγραφεί στα επόµενα.) Σηµειώνεται ότι η αύξηση της συµβολής των επικουρικών µηχανισµών, οφειλόµενη στην αύξηση της θλιβόµενης ζώνης και γι αυτό στην µείωση των ορθών εφελκυστικών τάσεων, δεν υπονοεί αύξηση της εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος. 98
4.3.2.2 Αντοχή διαµήκους θλιπτήρα και ελκυστήρα Ο υπολογισµός της αντοχής του διαµήκους θλιπτήρα και ελκυστήρα του φυσικού προσοµοιώµατος του υποστυλώµατος βασίζεται στην ισοδυναµία εσωτερικών και εξωτερικών µεγεθών που φαίνεται στο σχήµα 4.4, όπως περιγράφηκε στην ενότητα 3.7.2.1 για την περίπτωση της αµφιέρειστης δοκού. Συγκρίνοντας τα εσωτερικά και εξωτερικά µεγέθη που απεικονίζονται στα σχήµατα 4.4 και 3.15 για τις διατοµές του υποστυλώµατος και της δοκού, αντίστοιχα, διαπιστώνονται µικρές µόνο διαφορές στα εσωτερικά µεγέθη οφειλόµενες στην αξονική δύναµη Ν που δρα στο υποστύλωµα. d' b 0.35% 0.85f cd d' A s /2 A s /2 d h x ε s ε' s ε' s = 0.0035(x-d')/x ε s = 0.0035(d-x)/x 0.8 x F c F s Eσωτερικές δυνάµεις F' s 0.4 x Eξωτερικές δυνάµεις M u N Σχήµα 4.4 Eσωτερική επιπόνηση διατοµής υπό τη συνδυασµένη δράση αξονικής δύναµης και µονοαξονικής κάµψης Η παρουσία της Ν µεταβάλλει το συσχετισµό των εσωτερικών αξονικών µεγεθών, των οποίων το αλγεβρικό άθροισµα ισούται τώρα µε Ν, αντί µε µηδέν, ενώ για σηµαντικές τιµές της Ν καθίσταται ανέφικτη η διαρροή του εφελκυόµενου χάλυβα στην οριακή κατάσταση αστοχίας. Έτσι, σύµφωνα µε την παραδοχή ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς του χάλυβα, για τιµές της ανηγµένης παραµόρφωσης (ε s ) µικρότερες αυτής (ε y ) που αντιστοιχεί στην τάση διαρροής (f yd ), η τάση που αναπτύσσεται στο χάλυβα προκύπτει από τη σχέση σ s =ε s Ε s, όπου Ε s είναι το µέτρο ελαστικότητας του υλικού, ενώ για µεγαλύτερες τιµές, σ s = f yd. 99
Η ισοδυναµία των εσωτερικών και εξωτερικών µεγεθών που απεικονίζονται στο σχήµα 4.4 εκφράζεται από τις σχέσεις: F c + F s - F s = N...... 4.1 F c (0.5 h 0.4 x) + (F s + F s )(0.5 h - d ) = M u.. 4.2 όπου, όπως και στην περίπτωση της καθαρής κάµψης (βλ. ενότητες 3.6.1 και 3.7.2.1), ισχύει F c =0.68bxf cd. Ανάλογα µε την εντατική κατάσταση του διαµήκη χάλυβα, η διατύπωση των σχέσεων 4.1 και 4.2 εξειδικεύεται διακρίνοντας της ακόλουθες περιπτώσεις: (α) ιαρροή εφελκυόµενου διαµήκη οπλισµού µόνο Για σχετικά µικρές τιµές της αξονικής θλίψης (π.χ. της τάξης του 10% της αντοχής της διατοµής σε αξονική θλίψη), ο διαµήκης οπλισµός επιλέγεται έτσι ώστε οι συνθήκες ισοδυναµίας µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών µεγεθών (σχέσεις 4.1 και 4.2) να ικανοποιούνται όταν ο εφελκυόµενος οπλισµός ευρίσκεται σε κατάσταση διαρροής, γεγονός που δεν εξασφαλίζει και τη διαρροή του θλιβόµενου οπλισµού. Στην περίπτωση αυτή οι τιµές των F s και F s είναι ίσες µε F s =0.5A s f yd, και F s =0.5A s E s ε s, όπου E s 200000 MPa είναι το µέτρο ελαστικότητας του χάλυβα και ε s η (ελαστική) ανηγµένη παραµόρφωση του θλιβόµενου χάλυβα. Όπως φαίνεται στο σχήµα 4.4, η ε s συνδέεται µε την ανηγµένη παραµόρφωση ε c του σκυροδέµατος στην ακραία θλιβόµενη ίνα της διατοµής της, η οποία ισούται µε 0.0035, µε τη σχέση ε s =0.0035(1-d /x). (Υπενθυµίζεται ότι, σύµφωνα µε τις παραδοχές που διατυπώθηκαν στην ενότητα 3.7.2.1, η τιµή της ε c ίση µε 0.0035 ορίζει την οριακή κατάσταση αστοχίας.) Αντικαθιστώντας τις παραπάνω αναλυτικές εκφράσεις των δυνάµεων F s και F s στις σχέσεις 4.1 και 4.2 προκύπτει η ακόλουθη διατύπωση: 0.68bxf cd + 350A s (1-d /x) 0.5A s f yd = N... 4.3 0.68bxf cd (0.5 h 0.4 x) + [350A s (1-d /x)+0.5a s f yd ](0.5 h - d )= M u 4.4 100
ιαιρώντας και τα δύο µέλη των σχέσεων 4.3 και 4.4 µε f cd bh και f cd bh 2 αντιστοίχως και επαναδιατυπώνοντάς τες ως συναρτήσεις του x, προκύπτει 0.68(x/h) 2 +[(350ρ/f cd )(d/h) (0.5f yd ρ/f cd )(d/h) ν](x/h) (350ρ/f cd )(d /h) = 0 4.5 0.68(x/h)[0.5-0.4(x/h)]+{(350ρ/f cd )[1-(d /h)/(x/h)]+0.5f yd ρ/f cd }(0.5 d /h) (d/h) = m u 4.6 όπου ρ=a s /bh, ν=n/(bhf cd ) και m u =M u /(bh 2 f cd ). Με την αύξηση της αξονικής θλιπτικής δύναµης αυξάνεται και το βάθος x της θλιβόµενης ζώνης, γεγονός που, όπως φαίνεται από τις σχέσεις ε s =0.0035(1- d /x) και ε s =0.0035(d/x-1), προκαλεί αύξηση της ανηγµένης παραµόρφωσης ε s του θλιβόµενου οπλισµού και µείωση της ανηγµένης παραµόρφωσης του εφελκυόµενου οπλισµού. Συνεπώς, για να ισχύουν οι σχέσεις 4.3 έως 4.6 θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες ε s =0.0035(1-d /x)<f yd /200000 και ε s =0.0035(d/x-1) f yd /200000 από τις οποίες προκύπτει ότι θα πρέπει x/h<min[700(d /h)/(700- f yd ),700(d/h)/(700+f yd )] ή x/h<700(d /h)/(700-f yd ) για f yd 450 MPa και d/h>0.85 (d /h<0.15). (β) ιαρροή συνολικού διαµήκη οπλισµού Υπό την προϋπόθεση ότι ισχύει f yd 450 MPa και d/h>0.85 (d /h<0.15), διαρροή του συνολικού διαµήκη οπλισµού θα προκληθεί όταν 700(d /h)/(700-f yd ) x/h 700(d/h)/(700+f yd ). Θέτοντας στη σχέση 4.1 τα F s και F s ίσα µε F s =F s =0.5A s f yd προκύπτει F c =N, ενώ η σχέση 4.2 παραµένει αµετάβλητη. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκφράσεις των F c και F c στις σχέσεις 4.1 και 4.2 και διαιρώντας και τα δύο µέλη των σχέσεων αυτών µε f cd bh 2 προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: 0.68(x/h) ν = 0....... 4.7 0.68(x/h)[0.5-0.4(x/h)] +( f yd ρ/f cd )[0.5 d /h] (d/h) = m u.. 4.8 101
(γ) ιαρροή θλιβόµενου διαµήκη οπλισµού µόνο Για 700(d/h)/(700+f yd )< x/h d/h, ο θλιβόµενος διαµήκης χάλυβας είναι σε κατάσταση διαρροής, ενώ ο εφελκυόµενος χάλυβας βρίσκεται σε ελαστική κατάσταση. Για την περίπτωση αυτή, ακολουθώντας τη διαδικασία που ακολουθήθηκε για την περίπτωση (α) και θέτοντας F s =0.5A s E s ε s, αντί F s =0.5A s f yd, και F s =0.5A s f yd, αντί F s =0.5A s E s ε s, όπου ε s =0.0035(d/x-1), προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: 0.68(x/h) 2 + [(350ρ/f cd ) (d/h) + (0.5f yd ρ/f cd ) (d/h) ν)(x/h) (350ρ/f cd )(d/h) 2 = 0 4.9 0.68(x/h)[0.5-0.4(x/h)]+{(350ρ/f cd )[(d/h)/(x/h)-1]+0.5f yd ρ/f cd }(0.5 d /h)(d/h)=m u 4.10 (δ) Συνολικός οπλισµός σε θλίψη και µόνο ο πλέον θλιβόµενος οπλισµός σε διαρροή Στην περίπτωση αυτή, που ισχύει για τιµές του x/h που ικανοποιούν τις απαιτήσεις x/h>d/h και ε s =0.0035(1-d/x) f yd /200000, από τις οποίες προκύπτει d/h<x/h 700(d/h)/(700-f yd ), όλη η διατοµή υπόκειται σε θλίψη η οποία θεωρούµενη αξονική (ακόµα και στην περίπτωση d/h<x/h<h/d για την οποία η θλιπτική δύναµη, µεγέθους F c =0.85f cd bh, είναι έκκεντρη) δεν συµβάλλει στην ανάληψη καµπτικής ροπής. Προσαρµόζοντας τις σχέσεις 4.9 και 4.10 ώστε να πληρούνται τα παραπάνω προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: [(350ρ/f cd )(d/h)+ (0.5f yd ρ/f cd ) (d/h) + 0.85 ν)(x/h) (350ρ/f cd )/(d/h) 2 = 0. 4.11 {0.5f yd ρ/f cd (350ρ/f cd )[1-(d/h)/(x/h)]}(0.5 d /h) (d/h) = m u. 4.12 4.3.2.3 ιαγράµµατα αλληλεπίδρασης Για δεδοµένα γεωµετρικά χαρακτηριστικά (ρ, d /h, d/h) και ποιότητα υλικών (f cd, f yd ), η επίλυση των εξισώσεων 4.5 έως 4.12 ως προς ν και m u, για διάφορες τιµές του x/h µεταξύ εκείνης που αντιστοιχεί σε ν = 0 και της τιµής 700(d/h)/(700-f yd ) που αντιστοιχεί σε m u =0, οδηγεί σε ένα έµµεσο προσδιορισµό της σχέσης µεταξύ ν και 102
m u. Ειδικότερα, λαµβάνοντας ως δεδοµένα ρ=2%, d /h=0.15, d/h=0.85, f cd =30/1.5=20 MPa και f yd =500/1.15435 MPa και υπολογίζοντας τις τιµές των ν και m u για x/h=0.197, 0.396, 0.524, 0.85 και 2.24, που αντιστοιχούν στα όρια εφαρµογής των εξισώσεων 4.5 έως 4.12, η σχέση µεταξύ ν και m u που προκύπτει απεικονίζεται από το διάγραµµα στο σχήµα 4.5. ιαγράµµατα αυτής της µορφής, που µπορούν να κατασκευαστούν για διάφορες τιµές των δεδοµένων, αναφέρονται ως διαγράµµατα αλληλεπίδρασης. Για τιµές ν 0.356, το διάγραµµα του σχήµατος 4.5 δείχνει ότι στην οριακή κατάσταση αστοχίας το υποστύλωµα χαρακτηρίζεται από διαρροή του εφελκυόµενου χάλυβα, γεγονός που, όπως αναπτύχθηκε στην ενότητα 3.7.2.1, συνεπάγεται πλάστιµη συµπεριφορά του δοµικού στοιχείου. Αντίθετα, για µεγαλύτερες τιµές του ν, ο εφελκυόµενος οπλισµός ευρίσκεται σε ελαστική κατάσταση και συνεπώς η συµπεριφορά του υποστυλώµατος στην οριακή κατάσταση αστοχίας του είναι ψαθυρή. 4.3.3 Φέρουσα ικανότητα υπό διαξονική κάµψη και σταθερή αξονική θλίψη 4.3.3.1 Αντοχή διαγώνιων θλιπτήρων και εγκάρσιων ελκυστήρων Η αντοχή των διαγώνιων θλιπτήρων και των εγκάρσιων ελκυστήρων υπολογίζεται όπως περιγράφηκε στην ενότητα 4.3.2.1 για την περίπτωση µονοαξονικής κάµψης, χρησιµοποιώντας την κρισιµότερη από τις δύο τέµνουσες σχεδιασµού που δρουν κατά τις διευθύνσεις των αξόνων συµµετρίας της διατοµής. 4.3.3.2 Αντοχή διαµήκους θλιπτήρα και ελκυστήρα Ο υπολογισµός της αντοχής του διαµήκους θλιπτήρα και ελκυστήρα µπορεί να γίνει µε τρόπο ανάλογο αυτού που περιγράφηκε στην ενότητα 4.3.2.2 για την 103
περίπτωση της µονοαξονικής κάµψης. Για την περίπτωση της διαξονικής κάµψης, όµως, η διατύπωση των εξισώσεων, από την επίλυση των οποίων προκύπτουν οι συνδυασµοί των δράσεων N, M x, M y που προκαλούν αστοχία, επιτυγχάνεται µετά από κοπιώδη διαδικασία, γεγονός που οφείλεται στο ότι ο προσδιορισµός της θλιβόµενης ζώνης δεν ορίζεται µόνο από το βάθος της x, αλλά και από τη διεύθυνση της ουδετέρας γραµµής (βλ. σχήµα 4.2). Η διαδικασία αυτή µπορεί να παρακαµφθεί, χωρίς ουσιαστική απώλεια ακρίβειας των υπολογισµών, µε τη χρησιµοποίηση των εξισώσεων 4.5 έως 4.12 που απεικονίζονται στο σχήµα 4.5 µε τη µορφή διαγράµµατος αλληλεπίδρασης και περιγράφουν τη σχέση µεταξύ αξονικής θλίψης και µονοαξονικής κάµψης, κατά τη διεύθυνση ενός άξονος συµµετρίας της διατοµής, στην οριακή κατάσταση αστοχίας του υποστυλώµατος. ν = N / (f cd bh) 1.285 x/h=2.24 0.796 x/h=0.85 0.356 0.269 0 0.1 x/h=0.524 x/h=0.396 x/h=0.197 m u 0.2 0.3 m u = M u / (f cd bh 2 ) Σχήµα 4.5 Τυπικό διάγραµµα αλληλεπίδρασης αξονικής δύναµης και µονοαξονικής κάµψης για δεδοµένο ρ. 104
Τα διαγράµµατα αλληλεπίδρασης που αντιστοιχούν στον καθένα από τους δύο άξονες συµµετρίας της διατοµής αποτελούν στην ουσία τις τοµές µίας επιφάνειας αλληλεπίδρασης στον χώρο N, M x, M y µε τα επίπεδα N, M x και N, M y, όπως απεικονίζεται στο σχήµα 4.6. M uy = N u e x Ν Ν uz x y e x Ν u M x φ M y Ν u M ux Mu M uy M ux = N u e y M x - M y καµπύλη ε y M x M y x y Ν u Σχήµα 4.6 Eπιφάνεια αλληλεπίδρασης αξονικής δύναµης και διαξονικής κάµψης. Εάν θεωρηθούν ως δεδοµένες οι τοµές της επιφάνειας αλληλεπίδρασης µε τα επίπεδα N, M x και N, M y, τότε η επιφάνεια αυτή θα µπορούσε να ορισθεί από µία αναλυτική σχέση ικανή να περιγράψει τον τρόπο µεταβολής των τοµών της µε επίπεδα παράλληλα στο επίπεδο M x, M y που αντιστοιχούν σε τιµές 0 Ν Ν uz, όπου Ν uz είναι η αντοχή της διατοµής σε αξονική θλίψη. Έχει βρεθεί ότι µία τέτοια αναλυτική σχέση έχει την µορφή. 32 (M x /M ux ) a N + (M y /M uy ) a N = 1.... 4.13 όπου M x και M y είναι οι συνιστώσες κατά τις διευθύνσεις των αξόνων συµµετρίας της διατοµής της διαξονικής καµπτικής αντοχής Μ u που αντιστοιχεί σε δεδοµένη τιµή Ν, 105
M ux και M uy είναι οι µονοαξονικές αντοχές ως προς τους παραπάνω άξονες για την ίδια τιµή Ν, α Ν είναι παράµετρος η τιµή της οποίας προσδιορίζεται πειραµατικά ως συνάρτηση του λόγου Ν/Ν uz. Εάν η αντοχή της διατοµής σε θλίψη υπολογισθεί από τη σχέση Ν uz = f cd bh +A s f yd...... 4.14 όπου f cd και f yd ορίζονται στην ενότητα 3.7.2.1, ενώ Α s, b και h ορίζονται στο σχήµα 4.4 τότε η παράµετρος α Ν έχει τις παρακάτω τιµές: Ν/Ν uz 0.2 0.4 0.6 0.8 α Ν 1.0 1.33 1.67 2.0 Για ενδιάµεσες τιµές του λόγου Ν/Ν uz η τιµή της παραµέτρου α Ν υπολογίζεται µε γραµµική παρεµβολή. 4.3.4 ιαδικασία σχεδιασµού 4.3.4.1 Αρχική επιλογή γεωµετρικών χαρακτηριστικών Όπως αναφέρθηκε και για την αµφιέρειστη δοκό, ο σχεδιασµός είναι µία επαναληπτική διαδικασία που ξεκινάει µε την επιλογή των γεωµετρικών χαρακτηριστικών του δοµικού στοιχείου και συνεχίζει µε τον έλεγχο της καταλληλότητας αυτής της επιλογής. Κριτήρια καταλληλότητας αποτελούν οι απαιτήσεις σχεδιασµού που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 1.2.1 και είναι 106
ενσωµατωµένες στη λογική σχεδιασµού που περιγράφηκε στην ενότητα 1.2.2. Αν ο έλεγχος καταλληλότητας δεν καταλήξει σε θετικό αποτέλεσµα, ακολουθεί νέα επιλογή των γεωµετρικών χαρακτηριστικών και η διαδικασία ελέγχου επαναλαµβάνεται µέχρις ότου η επιλογή αποδειχθεί κατάλληλη. Εάν υποθέσουµε ότι σ ένα υποστύλωµα το σηµείο καµπής σχηµατίζεται περί το µέσον του ύψους του, τότε σύµφωνα µε τα περί αναγωγής σε αµφιέρειστο φορέα που αναπτύχθηκαν στην ενότητα 1.3, ένα αµφίπακτο υποστύλωµα µε µεταθετά άκρα θα µπορούσε να θεωρηθεί ισοδύναµο µε µία αµφιέρειστη δοκό του ιδίου µήκους. Έτσι, για την περίπτωση συνήθων κτιρίων, η αρχική επιλογή του στατικού ύψους d της διατοµής ενός υποστυλώµατος µήκους l θα µπορούσε να γίνει όπως και για την αµφιέρειστη δοκό (βλ. ενότητα 3.7.4.1) από τη σχέση d=l/12. Προσθέτοντας σ αυτό την επικάλυψη του οπλισµού (ορθότερα, την απόσταση d του κέντρου βάρους του οπλισµού από την πλησιέστερη ακραία ίνα) προκύπτει το ύψος της διατοµής h. Η τιµή του πλάτους της διατοµής θα µπορούσε να επιλεγεί όπως και στην περίπτωση µιας δοκού, αν και τα υποστυλώµατα συνήθως έχουν τετραγωνική διατοµή. Επειδή, όµως, ο παραπάνω τρόπος επιλογής αγνοεί την ύπαρξη αξονικής θλίψης, θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί ταυτόχρονα και ένας εναλλακτικός τρόπος επιλογής του στατικού ύψους βασιζόµενος στην εκτίµηση του µεγέθους της ορθής τάσης που θα ήταν ανεκτό να αναπτυχθεί στη διατοµή του υποστυλώµατος λόγω της δράσης της αξονικής θλιπτικής δύναµης. Όπως φαίνεται στο διάγραµµα αλληλεπίδρασης του σχήµατος 4.5, που ισχύει για ποσοστό συνολικού διαµήκη οπλισµού ρ=2%, όταν η αξονική θλίψη λαµβάνει τιµές µεγαλύτερες από 0.356f c bh, ο εφελκυόµενος διαµήκης οπλισµός, σε αντίθεση µε τον θλιβόµενο, δεν ευρίσκεται σε κατάσταση διαρροής στην οριακή κατάσταση αστοχίας του υποστυλώµατος, γεγονός που αναµένεται να οδηγήσει σε ανεπιθύµητη ψαθυρή αστοχία. Για να αποφευχθεί αυτός ο τρόπος αστοχίας γίνεται κατάλληλη επιλογή της τιµής της µέγιστης ανεκτής τάσης σ αν, εξαρτώµενης από το ποσοστό του διαµήκη οπλισµού. 107
Με δεδοµένες τις τιµές της σ αν και της αξονικής θλιπτικής δύναµης σχεδιασµού N d, το απαιτούµενο εµβαδόν διατοµής A c είναι ίσο µε A c = N d /σ αν, από το οποίο προκύπτουν οι διαστάσεις τις διατοµής (για παράδειγµα σε περίπτωση τετραγωνικής διατοµής προκύπτει b=h= A c ). Οι παραπάνω δύο τρόποι επιλογής των διαστάσεων της διατοµής θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν ταυτόχρονα και η τελική επιλογή να είναι αυτή της κρισιµότερης (µεγαλύτερης) διατοµής. Η εκτίµηση του απαιτούµενου οπλισµού (A s ) βασίζεται στη χονδροειδή παραδοχή ότι, στην οριακή κατάσταση αστοχίας υπό τη συνδυασµένη δράση της ροπής σχεδιασµού (M d ) και της αξονικής δύναµης σχεδιασµού (N d ), ο οπλισµός ευρίσκεται σε κατάσταση διαρροής, µε την θλιπτική δύναµη να ασκείται σε απόσταση από τον άξονα συµµετρίας (γεωµετρικό κέντρο της διατοµής) ίση µε το ήµισυ της εκκεντρότητας e = M d /N d του αξονικού φορτίου, όχι όµως µεγαλύτερη από h/2-(c+φ/2), όπου c και Φ είναι η επικάλυψη και η διάµετρος των ράβδων του οπλισµού, αντίστοιχα. Σύµφωνα µε την παραπάνω παραδοχή από την ισοδυναµία των ροπών των εσωτερικών και των εξωτερικών δυνάµεων προκύπτει ότι A s =(M d N d z )/df yd, όπου z = e/2 h/2-(c+φ/2). 4.3.4.2 Υπολογισµός καµπτικής αντοχής υπό δεδοµένη αξονική θλίψη Έχοντας προσδιορίσει πλήρως τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά µε τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω, επακολουθεί ο υπολογισµός της καµπτικής αντοχής M u υπό δεδοµένη αξονική δύναµη µε το τρόπο που περιγράφηκε στην ενότητα 4.3.2. (Εάν βρεθεί ότι M u <M d, ενισχύεται το υποστύλωµα µε πρόσθετο εφελκυόµενο και θλιβόµενο οπλισµό και η διαδικασία υπολογισµού επαναλαµβάνεται). Με την καµπτική αντοχή του υποστυλώµατος γνωστή και µε γνωστή τη µορφή του διαγράµµατος τεµνουσών δυνάµεων V u που αντιστοιχεί στη διάταξη του φορτίου που ασκείται στο υποστύλωµα, προκύπτει η µέγιστη τιµή του φορτίου (φέρουσα ικανότητα). 108
4.3.4.3. Εξασφάλιση καµπτικής αστοχίας Όπως και στην περίπτωση της δοκού, η διαδικασία υπολογισµού της καµπτικής αντοχής και της αντίστοιχης φέρουσας ικανότητας, που αναπτύχθηκε παραπάνω, προϋποθέτει επάρκεια αντοχής τόσο στους διαγώνιους θλιπτήρες όσο και στους εγκάρσιους ελκυστήρες του δικτώµατος που αποτελεί το προσοµοίωµα της δοκού στο διατµητικό µήκος. Αποµένει, λοιπόν, να ελεγχθεί η επάρκεια των διαγώνιων θλιπτήρων και να υπολογιστεί ο απαιτούµενος οπλισµός που θα αποτελέσει τους εγκάρσιους ελκυστήρες του δικτυώµατος, έτσι ώστε να αποκλεισθεί το ενδεχόµενο αστοχίας σε τέµνουσα πριν να εξαντληθεί η καµπτική αντοχή της δοκού. Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.7.2.2, η τέµνουσα δύναµη που αντιστοιχεί στην αντοχή του διαγώνιου θλιπτήρα είναι V max =( 2/2)D=(1/4)bzf cd. Για να αποκλειστεί το ενδεχόµενο αστοχίας του θλιπτήρα αυτού πριν την καµπτική αστοχία, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη V max >V u. Εάν V max <V u, αυξάνεται η διατοµή του υποστυλώµατος µέχρις ότου αλλάξει η φορά της ανισότητας. Όµως, η ικανοποίηση της παραπάνω συνθήκης δεν αρκεί για να αποκλειστεί το ενδεχόµενο αστοχίας σε τέµνουσα πριν να εξαντληθεί η καµπτική αστοχία. Για να συµβεί αυτό θα πρέπει ο οπλισµός που απαιτείται για να σχηµατιστεί ένας εγκάρσιος ελκυστήρας να µπορεί να αναλάβει µια δύναµη V s ίση µε V u -V c, όπου V c είναι η τέµνουσα δύναµη που αναλαµβάνουν οι επικουρικοί µηχανισµοί αστοχίας που αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.4 (βλ. επίσης ενότητα 3.7.2.2) και συµπληρώθηκαν στην ενότητα 4.3.2.1 για την περίπτωση του υποστυλώµατος. Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.7.2.2, ο απαιτούµενος οπλισµός είναι A sv =(V u -V c )/f yd. O οπλισµός αυτός που απαιτείται σε µήκος z, τοποθετείται υπό µορφή συνδετήρων σε ίσες αποστάσεις µεταξύ τους και εκτείνεται στο τµήµα του διατµητικού µήκους µεταξύ της διατοµής που απέχει απόσταση z από τη στήριξη και της διατοµής που περιέχει το σηµείο φόρτισης. Η απόσταση των διαδοχικών συνδετήρων που επιλέγεται πρέπει να είναι τέτοια ώστε να υπάρχει η δυνατότητα σχηµατισµού δικτυώµατος. 109
4.3.5 Παραδείγµατα σχεδιασµού υποστυλωµάτων Παράδειγµα 1: Σχεδιάζεται υποστύλωµα ύψους Η = 3.00 m (βλ. σχήµα 4.7), ικανό να αναλάβει συνδυασµό αξονικής δύναµης N d =300 kn και µονοαξονικής ροπής M d =100 knm, χρησιµοποιώντας σκυρόδεµα και χάλυβα µε χαρακτηριστικές τιµές της θλιπτικής αντοχής (κυλίνδρου) και τάσης διαρροής, αντίστοιχα, f ck =26 MPa και f yk =500 MPa, όταν οι αντίστοιχοι µερικοί συντελεστές ασφαλείας είναι γ c =1.5 και γ s =1.15. N d M d V d H V d =2M d /H M d N d Σχήµα 4.7 Φορτία υποστυλώµατος παραδείγµατος 1 (α) Εκτίµηση γεωµετρικών χαρακτηριστικών (βλ. ενότητα 4.3.4.1) Επιλέγεται τετραγωνική διατοµή µε d3000/12=250 mm. Υποθέτοντας ότι η απόσταση του γεωµετρικού κέντρου του οπλισµού από την πλησιέστερη ακραία ίνα της διατοµής είναι 50 mm, λαµβάνεται h=b=300 mm. Για την αποφυγή ψαθυρής αστοχίας επιδιώκεται η ανηγµένη αξονική θλίψη, ν=n d /(bhf ck /γ c ), να έχει τιµή ν<0.356 που να επιτρέπει τη διαρροή του εφελκυόµενου οπλισµού. Για την διατοµή που επιλέχθηκε, η ανηγµένη αξονική θλίψη είναι ν = 300000/(300 300 26/1.5) 0.192. Σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 4.3.2.3, η τιµή αυτή του ν 110
είναι ικανή να προκαλέσει διαρροή του εφελκυόµενου χάλυβα και, συνεπώς, η επιλογή της διατοµής ικανοποιεί και αυτή την απαίτηση. Η εκτίµηση του απαιτούµενου διαµήκη χάλυβα βασίζεται στην τιµή της εκκεντρότητας της αξονικής δύναµης e=m d /N d =100 10 6 /(300 10 3 )333 από την οποία προκύπτει η θέση, z =e/2 h/2-(c+φ/2), του σηµείου στο οποίο ασκείται η θλιπτική δύναµη που αναλαµβάνει το σκυρόδεµα της θλιβόµενης ζώνης. Επειδή e/2167 και h/2-(c+φ/2)=150-50=100, z =100. Έτσι, από τη σχέση A s =(M d N d z )/df yd προκύπτει A s =(100 10 6-100 300 10 3 )/(200 500/1.15)805 mm 2. Επιλέγεται συνολικός οπλισµός 8Φ16, 4Φ16 (804 mm 2 ) θλιβόµενος και 4Φ16 (804 mm 2 ) εφελκυόµενος οπλισµός. (β) Υπολογισµός M u υπό δεδοµένη Ν d (βλ. ενότητα 4.3.2.2) Τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της διατοµής µε b=h και A s =A s είναι παρόµοια µε αυτά που µαζί µε µια σχηµατική παράσταση της εσωτερικής έντασης και των εσωτερικών και εξωτερικών δράσεων απεικονίζονται στο σχήµα 4.4. Το σχήµα επίσης περιέχει τις σχέσεις που περιγράφουν τις ανηγµένες παραµορφώσεις του χάλυβα ως συναρτήσεις της ανηγµένης παραµόρφωσης της ακραίας θλιβόµενης ίνας του σκυροδέµατος, στην οριακή κατάσταση αστοχίας της διατοµής, που, όπως και στην περίπτωση της δοκού (βλ. ενότητα 3.7.2.1) λαµβάνεται ίση µε 0.0035. Υποθέτοντας ότι στην οριακή κατάσταση αστοχίας ο εφελκυόµενος οπλισµός ευρίσκεται στην κατάσταση διαρροής, ενώ ο θλιβόµενος χάλυβας λειτουργεί ελαστικά, οι εσωτερικές δράσεις (θλιπτικές δυνάµεις F c και F s που αναλαµβάνουν το σκυρόδεµα και ο χάλυβας, αντίστοιχα, στη θλιβόµενη ζώνη και η εφελκυστική δύναµη F s που αναλαµβάνει ο εφελκυόµενος οπλισµός) υπολογίζονται ως ακολούθως: F c = (0.85f cd )(0.8x)b=(0.85 26/1.5)(0.8x)300=3536x. 4.15(α) F s =ε s E s A s /2=[0.0035(x-50)/x]200000 803.84=562688(x-50)/x 4.15(β) 111
F s =f yd A s /2=(500/1.15) 803.84=349496. 4.15(γ) Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στην εξίσωση που εκφράζει την ισοδυναµία µεταξύ των εσωτερικών και εξωτερικών αξονικών δυνάµεων και διατάσσοντας τους όρους της ως προς x, προκύπτει: x 2 24.55x 7956.56=0..... 4.16 και x102 mm, γεγονός που επαληθεύει τις παραδοχές για διαρροή του εφελκυόµενου χάλυβα και ελαστική συµπεριφορά του θλιβόµενου χάλυβα (ε s = 0.0035(250-102)/102 0.5% > ε s = f yd /E s = 0.217%, ε s = 0.0035(102-50)/102 0.178% < 0.217%). Αντικαθιστώντας x = 102 mm στις σχέσεις 4.15 προκύπτουν οι τιµές των εσωτερικών δράσεων F c = 361768 Ν, F s = 287696 Ν και F s = 349496 Ν, το αλγεβρικό άθροισµα των οποίων (299968 Ν) αποκλίνει ελάχιστα από την τιµή της Ν d = 300000 Ν. Με τις εσωτερικές δυνάµεις γνωστές και τα σηµεία εφαρµογής τους επίσης γνωστά εύκολα προκύπτει υπό αξονική θλίψη N d = 300 kn η καµπτική αντοχή της διατοµής Μ u = 103.16 knm, που είναι ελάχιστα µεγαλύτερη από την ροπή σχεδιασµού M d = 100 knm, και συνεπώς δεν υπάρχει ανάγκη επανάληψης της διαδικασίας για διόρθωση της αρχικής επιλογής των γεωµετρικών χαρακτηριστικών. (γ) Έλεγχος αντοχής σε τέµνουσα δύναµη (βλ. ενότητες 3.7.2.2 και 4.3.2.1) Όπως φαίνεται στο σχήµα 4.7, για M d = M u η δρώσα τέµνουσα δύναµη είναι V d = 2M u /H = 2 103.16/3 = 68.77 kn. Η αντοχή του διαγώνιου θλιπτήρα (βλ. ενότητα 3.7.2.2) επιτρέπει την ανάπτυξη V max = 0.25bzf cd, όπου z = d-0.4 x = 250-0.4 102 = 209.2 mm. Έτσι, V max = 0.25 300 209.2 26/1.5 272 kn >> V d = 68.77 kn. 112
Οι επικουρικοί µηχανισµοί αντοχής σε τέµνουσα µπορούν να αναλάβουν (βλ. ενότητα 4.3.2.1) V c = bdf ctd (x N /x), όπου η τιµή του x από την εξίσωση 4.16 στην οποία αντί N d =300 kn τίθεται N d = 0 kn προκύπτει ίση µε 64 mm. Έτσι, η τιµή της V c είναι V c = 300 250 0.67 (102/64) 80.09 kn > V d = 68.77 kn και συνεπώς δεν απαιτείται υπολογισµός συνδετήρων. Παρά ταύτα τοποθετείται για τον λόγο που αναπτύχθηκε στην ενότητα 3.7.4.3 ένας ελάχιστος αριθµός συνδετήρων ικανός να αναλάβει εφελκυστική τάση ίση µε f ctd = 0.67 MPa. Έτσι, ο ανά µέτρο µήκους του υποστυλώµατος απαιτούµενος εγκάρσιος οπλισµός είναι A s = 300 1000 0.67/(500/1.15 462.3 mm 2. Επιλέγονται συνδετήρες Φ8/200. Τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά και η διάταξη του οπλισµού του υποστυλώµατος φαίνονται στο σχήµα 4.8. παράδειγµα 1 παράδειγµα 2 300 50 300 50 16 8 12 16 300 50 60 300 60 80 50 50 60 60 50 4 16 16 8/200 4 16 Σχήµα 4.8 Γεωµετρικά χαρακτηριστικά διατοµής και οπλισµός των υποστυλωµάτων των παραδειγµάτων 1και 2. 113
Παράδειγµα 2: Σχεδιάζεται τετραγωνικής διατοµής υποστύλωµα ύψους 3.00 m, ικανό να αναλάβει στα άκρα του συνδυασµό αξονικής δύναµης N d =300 kn και διαξονικής κάµψης µε ροπές (ως προς τους άξονες συµµετρίας x και y της διατοµής) M dx = M dy = 60 knm, χρησιµοποιώντας σκυρόδεµα και χάλυβα µε χαρακτηριστικές τιµές της θλιπτικής αντοχής (κυλίνδρου) και τάσης διαρροής, αντίστοιχα, f ck =26 MPa και f yk =500 MPa, όταν οι αντίστοιχοι µερικοί συντελεστές ασφαλείας είναι γ c =1.5 και γ s =1.15. Επιλέγεται η διατοµή του σχήµατος 4.9 µε b=h=300 mm και συνολικό διαµήκη οπλισµό 12Φ16, συµµετρικά διατεταγµένο, όπως φαίνεται στο σχήµα, µε τον ίδιο αριθµό ράβδων κατά τις δύο διευθύνσεις και µε απόσταση του γεωµετρικού κέντρου των ράβδων από την πλησιέστερη πλευρά της διατοµής ίση µε 50 mm. 300 300 12 16 50 60 80 x 0.35% ε s1 ε s2 0.8 x 0.85f cd F s2 F s3 F s1 F c M u 60 50 ε ε s3 s4 F s4 N d 50 60 80 60 50 Σχήµα 4.9 Eσωτερικά µεγέθη της διατοµής του υποστυλώµατος του παραδείγµατος 2 υπό µονοαξονική κάµψη. (α) Υπολογισµός των M ux και M uy υπό δεδοµένη Ν d (βλ. ενότητα 4.3.2.2) Επειδή ο οπλισµός είναι ισόποσα κατανεµηµένος στις δύο διευθύνσεις, M ux = M uy και, συνεπώς, αρκεί να υπολογισθεί η καµπτική αντοχή σε µία µόνο κατεύθυνση. Ο υπολογισµός της αντοχής αυτής γίνεται όπως περιγράφεται στην 114
παράγραφο (β) του προηγούµενου παραδείγµατος λαµβάνοντας, όµως, υπόψη και τον πλησιέστερο στον άξονα συµµετρίας οπλισµό. Υποθέτοντας ότι στην οριακή κατάσταση αστοχίας µόνο ο πλησιέστερος στην εφελκυόµενη πλευρά οπλισµός ευρίσκεται στην κατάσταση διαρροής, οι εσωτερικές δράσεις (F c η δύναµη που αναλαµβάνει το σκυρόδεµα και F s1, F s2, F s3 και F s4 οι δυνάµεις που αναλαµβάνει ο χάλυβας) υπολογίζονται ως ακολούθως: F c = (0.85f cd )(0.8x)b=(0.85 26/1.5)(0.8x)300=3536x. 4.17(α) F s1 =ε s E s A s /3=[0.0035(x-50)/x]200000 803.84=562688(x-50)/x 4.17(β) F s2 =ε s E s A s /6=[0.0035(x-110)/x]200000 401=281344(x-110)/x 4.17(γ) F s3 =ε s E s A s /6=[0.0035(x-190)/x]200000 401=281344( x-190)/x 4.17(δ) F s4 =f yd A s /3=(500/1.15) 803.84=349496.. 4.15(ε) Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στην εξίσωση που εκφράζει την ισοδυναµία µεταξύ των εσωτερικών και εξωτερικών αξονικών δυνάµεων και διατάσσοντας τους όρους της ως προς x, προκύπτει: x 2 + 134.58 31826.244 = 0..... 4.18 και x124 mm, γεγονός που επαληθεύει τις παραδοχές για διαρροή του πλησιέστερου στην ακραία εφελκυόµενη ίνα χάλυβα και ελαστική συµπεριφορά του υπόλοιπου χάλυβα (ε s4 = 0.0035(250-124)/124 0.35% > ε y = f yd /E s = 0.217%, ε s1 = 0.0035(124-50)/124 0.21% < 0.217%, ε s2 = 0.0035(124-110)/124 0.04% < 0.217%, ε s3 = 0.0035(124-110)/124 0.04% < 0.217%). Αντικαθιστώντας x = 124 mm στις σχέσεις 4.17 προκύπτουν οι τιµές των εσωτερικών δράσεων F c = 436272 Ν, F s1 = 334658 Ν, F s2 = 30510 Ν, F s3 = 151914 Ν και F s4 = 349496 Ν, το αλγεβρικό άθροισµα των οποίων (300030 Ν) αποκλίνει ελάχιστα από την τιµή της Ν d = 300000 Ν. 115
Με τις εσωτερικές δυνάµεις γνωστές και τα σηµεία εφαρµογής τους επίσης γνωστά εύκολα προκύπτει υπό αξονική θλίψη N d = 300 kn η καµπτική αντοχή της διατοµής Μ ux = (Μ uy =) 119.63 knm. (β) Έλεγχος διαξονικής καµπτικής αντοχής (βλ. ενότητα 4.3.3.2) Θέτοντας Μ x = Μ y = 60 knm, Μ ux = Μ uy = 119.63 knm και α Ν =1 (διότι Ν/Ν uz = 0.192 < 0.2) στη σχέση 4.14, προκύπτει : (60/119.63) 1 + (60/119.63) 1 = 2 60/119.63 = 1.003 που είναι ελάχιστα µεγαλύτερο από τη µονάδα και, συνεπώς, δεν υπάρχει ανάγκη επανάληψης της διαδικασίας για διόρθωση της αρχικής επιλογής των γεωµετρικών χαρακτηριστικών. (γ) Έλεγχος αντοχής σε τέµνουσα δύναµη (βλ. ενότητες 3.7.2.2 και 4.3.2.1) Ο έλεγχος αντοχής σε τέµνουσα γίνεται ξεχωριστά για κάθε µια από τις διευθύνσεις x και y και ο εγκάρσιος οπλισµός που προκύπτει αθροίζεται. (Στην προκειµένη περίπτωση, επειδή Μ x = Μ y (Μ ux = Μ uy ), ο εγκάρσιος οπλισµός διπλασιάζεται.) Ο έλεγχος για κάθε διεύθυνση (έστω x) γίνεται όπως περιγράφεται στην παράγραφο (γ) του παραδείγµατος 1. Έτσι, η δρώσα τέµνουσα δύναµη είναι V d = 2M ux /l = 2 119.63/3 = 79.75 kn. Η αντοχή του διαγώνιου θλιπτήρα (βλ. ενότητα 3.7.2.2) επιτρέπει την ανάπτυξη V max = 0.25bzf cd, όπου z = d-0.4 x = 250-0.4 124 = 200 mm. Έτσι, V max = 0.25 300 200 26/1.5 260 kn >> V d = 68.77 kn. Οι επικουρικοί µηχανισµοί αντοχής σε τέµνουσα µπορούν να αναλάβουν (βλ. ενότητα 4.3.2.1) V c = bdf ctd (x N /x), όπου η τιµή του x από την εξίσωση 4.18 στην οποία αντί N d =300 kn τίθεται N d = 0 kn προκύπτει ίση µε 92 mm. Έτσι, η τιµή της V c είναι V c = 300 250 0.67 (124/92) 67.73 kn < V d = 79.75 kn και συνεπώς απαιτείται υπολογισµός συνδετήρων για να αναλάβουν V s = 79.75-67.73 = 12.02 kn σε κάθε µια από τις διευθύνσεις x και y, δηλαδή η συνολική τέµνουσα που απαιτείται να αναλάβουν οι συνδετήρες είναι V s = 2V s = 2 12.02 = 24.04 kn. Όµως, 116
ο ελάχιστος αριθµός συνδετήρων που απαιτείται είναι ικανός να αναλάβει εφελκυστική τάση ίση µε f ctd = 0.67 MPa, ισοδύναµη µε τέµνουσα δύναµη ίση µε V ελαχ = bz f ctd =300 200 0.67 40 kn > V s = 24.04 kn. Έτσι, ο ανά µέτρο µήκους του υποστυλώµατος απαιτούµενος εγκάρσιος οπλισµός είναι A s = 300 1000 0.67/(500/1.15 462.3 mm 2. Επιλέγονται συνδετήρες Φ8/200. 117