ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ΠΤΥΧΙΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων (Introduction in Game Theory) Υποβληθείσα στην καθηγήτρια μαθηματικό Δρ Πολυχρονίδου Περσεφόνη από τον σπουδαστή Καλογεράκο Κωνσταντίνο (Ξενοφώντος 67,Κορυδαλλός, 18120) Παράδοση: 14 Νοεμβρίου ΚΑΒΑΛΑ 2012

Copyright Καλογεράκος Κωνσταντίνος, 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. 2

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την ολοκλήρωση της πτυχιακής μου εργασίας, θα ήθελα να ευχαριστήσω την επιβλέπουσα καθηγήτριά μου Δρ. Περσεφόνη Πολυχρονίδου, μαθηματικό του τμήματος Λογιστικής της Σχολής Διοίκησης και Οικονομίας του ΑΤΕΙ Καβάλας, για τη δυνατότητα που μου έδωσε να ολοκληρώσω την πτυχιακή μου με ένα τόσο ενδιαφέρον και επίκαιρο θέμα και τη συνολική στήριξή της κατά τη διάρκεια της ακαδημαϊκής μου μαθητείας. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαριστήσω τους καθηγητές μου, το διοικητικό προσωπικό της σχολής, τους συμφοιτητές μου και όσους συναναστράφηκα σε αυτή την πόλη, που με την άφιξή μου προ τεσσάρων ετών με περιέβαλαν με απροϋπόθετη αποδοχή και συμπαράσταση στο δύσκολο εγχείρημα για την απόκτηση ενός δεύτερου πτυχίου. Τέλος, τους οικείους μου, φίλους συμπαραστάτες. Η ες αεί ευγνωμοσύνη μου περισσεύει. Καβάλα, Οκτώβριος 2012 3

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Ευχαριστίες... 3 Κατάλογος περιεχομένων... 4 Κατάλογος εικονογραφήσεων... 6 Κατάλογος Πινάκων... 7 Πρόλογος... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1.Φύση της θεωρίας και συστατικά που την αποτελούν...13 1.1Ορισμός...13 1.2 Ιστορική αναδρομή...15 1.2.1. 19ος -20ος αιώνας...15 1.2.2 Παλαιότερες αναφορές...17 Κεφάλαιο 2.Θεμελιωτές...19 2.1 John Forbes Nash...19 2.1.1 Η ζωή του Νας και τα χρόνια της επιτυχίας...19 2.1.2 Η σχιζοφρένεια του Νας... 21 2.1.3 Αναγνώριση και αποκατάσταση του Νας... 22 2.2 John Von Neumann... 23 2.2.1 Η ζωή και οι σπουδές του Νόιμαν... 23 2.2.2 Η συμβολή του στα πυρηνικά... 24 4

2.2.3 Ο Νόιμαν και η θεωρία των παιγνίων...24 2.2.4 Η θεωρία των παιγνίων και η οικονομική συμπεριφορά...25 2.3 John Harsanyi και Reinherd Selten...26 2.3.1 Οι σύγχρονοι συνεχιστές... 26 2.3.2 Η απροσδιοριστία και ο Selten...27 Η Ιερά Εξέταση και ο φιλόσοφος...27 Ο Αχιλλέας και η χελώνα...29 Κεφάλαιο 3 Περιγραφή και μοντελοποίηση...30 Κεφάλαιο 4 Ισορροπία Νας (Nash Equilibrium)...34 4.1 Προσέγγιση της ισορροπίας Νας...34 4.2 Το δίλημμα του φυλακισμένου (Prisoner s dilemma)...36 4.3 Δωρεάν λογισμικό λύσης παιγνίων... 40 4.4 Διαταραγμένα παιχνίδια... 41 Κεφάλαιο 5 Παιχνίδια... 43 5.1 Το παιχνίδι δίλημμα της εμπιστοσύνης...43 5.2 Η μάχη των φύλων...46 5.3 Το παιχνίδι του δειλού... 47 5.4 Το παιχνίδι Matching Pennies...48 5.5 Το παιχνίδι δίλημμα του εθελοντή...49 Το δίλημμα της Τόσκα... 49 Κεφάλαιο 6 Οικονομικές εφαρμογές και παραδείγματα... 51 6.1 Τα παίγνια στην πραγματική οικονομία... 51 5

6.1.1 Φορολογία και επανάσταση... 52 6.1.2 Αρχαία σεισάχθεια ή το πρώτο οικονομικό equilibrium...53 6.2 Ένα παράδειγμα από την οικονομία...54 Συμπεράσματα... 55 Βιβλιογραφικές αναφορές... 57 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΕΩΝ Εικ. 1.1 Σκάκι... 8 Εικ. 1.2 Στιγμιότυπο από την ταινία A beautiful mind...10 Εικ. 1.3 Στιγμιότυπο από την ταινία A beautiful mind...10 Εικ. 1.4 Στιγμιότυπο από την ταινία A beautiful mind...11 Εικ. 1.5 Στιγμιότυπο από την ταινία A beautiful mind...11 Εικ. 1.6 Στιγμιότυπο από την ταινία A beautiful mind...12 Εικ. 2.1 Σκίτσο...13 Εικ. 2.2 John Forbes Nash...19 E^. 2.3 John Von Neumann... 23 Εικ 2.4 Το βιβλίο σταθμός... 25 Εικ. 2.5 John Harsanyi... 26 Εικ. 2.6 Reinhard Selten... 26 Εικ. 2.7 O Γαλιλαίος στον Ιεροεξεταστή... 28 Εικ. 2.8 Σκίτσο «Ο Αχιλλέας και η χελώνα»... 29 Εικ. 4.1 Σκίτσο «Το δίλημμα του φυλακισμένου»... 39 6

Εικ 4.2 Screenshot εφαρμογής Gambit...40 Εικ 4.3 Screenshot εφαρμογής Gambit...41 Εικ. 5.1 Στιγμιότυπο τηλεπαιχνιδιού... 45 Εικ. 5.2 Battle of sexes (η μάχη των φύλων)...46 Εικ. 5.3 Στιγμιότυπο κινηματογραφικής ταινίας... 53 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίν. 3.1 Κανονική μορφή παιγνίου... 30 Πίν. 3.2 Κανονική μορφή παιγνίου... 31 Πίν. 3.3 Σχήμα δέντρου... 31 Πίν. 3.4 Σχήμα δέντρου... 32 Πίν. 3.5 Σχήμα δέντρου... 33 Πίν. 3.6 Αρχικό σχήμα δέντρου... 33 Πίν. 4.1 Πληρωμές του παιγνίου «Prisoner s Dilemma...38 Πίν. 4.2 Κανονική μορφή παιγνίου «Το δίλημμα του φυλακισμένου»...40 Πίν. 5.1 ^νονική μορφή παιγνίου...45 7

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η πτυχιακή μου εργασία πραγματεύεται το θεώρημα του John Forbes Nash, ενός αμερικάνου μαθηματικού και οικονομολόγου που διατυπώθηκε εκτενώς το 1950, ωστόσο η αρχική του σύλληψη τοποθετείται πίσω στα 1930 (John Von Neumann και Oscar Morgenstern, 1953). Ο Τζον Νας δημιούργησε ένα νέο μαθηματικό πεδίο που ονομάστηκε θεωρία των παιγνίων. Συστατικό της θεωρίας των παιγνίων είναι η κατάσταση -παίγνιο-, κατά την οποία οι παίχτες -άνθρωποι, οργανισμοί, χώρες-, επιλέγουν τρόπους ενέργειας που δημιουργούν καταστάσεις ανταγωνιστικής αλληλεξάρτησης (Οικονόμου, 1978). Εικ.1.1 Σκάκι Αυτό που κάνει τη θεωρία σύγχρονη, σημαντική και ενδιαφέρουσα, είναι πως αποσκοπεί κυρίως στην αναζήτηση εκείνης της κατάλληλης στρατηγικής που θα ωφελήσει εξίσου τους παίκτες, σε κατάσταση συνεργασίας ή μη συνεργασίας, και θα μεγιστοποιήσει το κέρδος τους. Θα βοηθήσει δηλαδή τους παίκτες στη λήψη της σωστής απόφασης για την κάλυψη του πραγματικού συμφέροντος. Ποιο είναι όμως το πραγματικό συμφέρον σε μια ομάδα; Ποια είναι η τέλεια στρατηγική; Πως και που εφαρμόζεται αυτή η θεωρία; Γιατί είναι τόσο δημοφιλής; Είναι πράγματι η θεωρία που ενοποιεί όλες τις επιστήμες, από βιολογία μέχρι οικονομικά; Και πώς αποτυπώνονται οι ανθρώπινες συμπεριφορές με μαθηματικές εξισώσεις; Γι αυτά, και για άλλα πολλά θα ασχοληθούμε στην παρούσα εργασία, με στόχο να κάνουμε τη θεωρία πιο προσιτή στον καθένα, πιο απλή στη διατύπωση, χωρίς όμως καμία έκπτωση στα σημαντικά. 8

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η θεωρία των παιγνίων αποτελεί ένα συναρπαστικό θέμα. Όλοι γνωρίζουμε πολλά διασκεδαστικά παιγνίδια όπως το σκάκι, το πόκερ, το παιχνίδι «πέτρα, ψαλίδι, χαρτί» και πολλά ηλεκτρονικά παιγνίδια στρατηγικής. Ο κατάλογος είναι σχεδόν ατελείωτος. υπάρχουν κι άλλου είδους διαφορετικά «παίγνια», καταστάσεις δηλαδή σύγκρουσης Επιπλέον με παίκτες, όπως ο ανταγωνισμός μεταξύ των επιχειρήσεων, η σύγκρουση μεταξύ εργοδοτών και εργαζομένων, η απόδοση της δικαιοσύνης, οι διαπραγματεύσεις σε καιρό πολέμου ή ειρήνης μεταξύ χωρών, όλα αυτά αποτελούν παραδείγματα παιχνιδιών. Υπάρχουν επίσης ψυχολογικά παιχνίδια που παίζονται σε προσωπικό επίπεδο, όπου τα όπλα είναι τα λόγια, και η απολαβή είναι τα καλά ή τα κακά συναισθήματα. Υπάρχουν βιολογικά παιχνίδια, όπως ο ανταγωνισμός μεταξύ των ειδών, όπου η φυσική επιλογή μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένα παιχνίδι που παίζεται μεταξύ ειδών και γονιδίων. Κατ επέκταση υπάρχουν και μαθηματικά παιχνίδια ή και παιχνίδια της υπολογιστικής επιστήμης. Τα «παιχνίδια» άρα, χαρακτηρίζονται από έναν αριθμό φορέων λήψης αποφάσεων που αλληλεπιδρούν, ενδεχομένως να απειλούν ο ένας τον άλλον ή να σχηματίζουν συμμαχίες, να λαμβάνουν μέτρα κάτω από αβέβαιες συνθήκες και ως συνέπεια να απολαμβάνουν κάποια ωφέλεια ή κάποια ποινή ή απώλεια. Προκύπτουν λοιπόν κάποια μοντέλα παιχνιδιών με δομή τα φαινόμενα που μπορεί να προκύψουν από τη σύγκρουση ή τη συνεργασία. Απώτερος σκοπός είναι να υπάρχει η ικανότητα να προβλέπουμε κάποιες καταστάσεις, να είμαστε δηλαδή σε θέση να καταλάβουμε τί πρόκειται να συμβεί (Thomas S. Ferguson, 2008). 9

Εικ.1.2 «a Beautiful Mind, 2001 Η ταινία Ένας υπέροχος άνθρωπος, (Ron Howard, ξεν. τίτλος, A Beautiful Mind, 2001, http://www.imdb.com/title/tt0268978/), πραγματεύεται τη ζωή του Τζον Νας, θεμελιωτή της θεωρίας των παιγνίων. Σε κάποια σκηνή της ταινίας περιγράφει εύστοχα το θεώρημα μέσα από ένα προσωπικό του συμβάν: σε ένα μπαρ κάθεται ο Νας με τους συμφοιτητές του συζητούν και διασκεδάζουν. Ξαφνικά αυτό το σκηνικό αλλάζει και μέσα στο μπαρ μπαίνουν πέντε νέες όμορφες κοπέλες, μια εντυπωσιακή ξανθιά και τέσσερις μελαχρινές. Οι φίλοι με τη σειρά τους γοητεύονται και προκαλούν ο ένας τον άλλον να προσπαθήσει να κατακτήσει την εντυπωσιακή ξανθιά. Εικ.1.3 «ABeautiful Mind, 2001» 10

Εικ.1.4 «ΑΒθουΐί/υί Μίπά, 2001» Αναφέρονται έπειτα στη θεωρία του Άνταμ Σμιθ ( Ιούνιος 1723 - Ιούλιος 1790 ), σύμφωνα με την οποία η επιδίωξη του ατομικού συμφέροντος είναι η καλύτερη στρατηγική για να ωφεληθεί και η ομάδα στο σύνολο. "Στον ανταγωνισμό, η ατομική φιλοδοξία υπηρετεί το κοινό όφελος." Εικ.1.5 «Α Ββαυ,ΐίμυΐ Μίηά, 2001» 11

Ο Νας όμως κάνει την εξής παρατήρηση και λέει: «Αν προσπαθήσουμε όλοι να κατακτήσουμε την ξανθιά, τότε ο ένας θα εμποδίσει τον άλλον, ακυρώνοντας αμοιβαία τις προσπάθειες. Το αποτέλεσμα λοιπόν, θα είναι κανείς να μη μπορέσει να την κατακτήσει και θα συμβιβαστούμε με τις μελαχρινές. Κανείς μας δεν θα την καταφέρει. Εικ. 1.6 «A Beautiful Mind, 2001» Επειδή όμως σε καμιά δεν αρέσει να έρχεται δεύτερη θα μας απορρίψουν καί οι μελαχρινές άρα όλοι θα χάσουμε». Συμπερασματικά, για να ωφεληθεί ολόκληρη η ομάδα και για να περάσουν μια ευχάριστη βραδιά στο μπαρ, κανείς δεν πρέπει να δοκιμάσει να τα «ρίξει» στην ξανθιά. Είναι μια εύγλωττη σκηνή μυθοπλασίας από τους σεναριογράφους της ταινίας, θέλοντας να προσεγγίσουν έξυπνα το θεώρημα του Νας που μας περιγράφει, πως πολλές φορές και ίσως πάντα, το ατομικό συμφέρον δεν είναι η καλύτερη λύση και πως οι ατομικές επιδιώξεις όταν ανήκεις σε μια ομάδα, ακυρώνουν όχι μόνο το ατομικό καλό, αλλά και την πρόοδο της ομάδας συνολικά. 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Φύση της θεωρίας και συστατικά που την αποτελούν 1.1 Ορισμός Ως θ ε ω ρ ί α τ ω ν π α ι γ ν ί ω ν (game theory), ονομάζουμε μια μεθοδολογία ανάλυσης καταστάσεων μεταξύ μιας ομάδας σε κατάσταση ανταγωνισμού, που χρησιμοποιείται στη λήψη αποφάσεων. Στα προβλήματα που προκύπτουν είναι απαραίτητο να υπάρχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με διαφορετικούς σκοπούς, αλλά ταυτόχρονα με αλληλοσυνδεόμενες τύχες. Ο καθένας από τους π α ί κ τ ε ς, προσπαθεί μέσα από μια σ τ ρ α τ η γ ι κ ή, να αποκομίσει το μεγαλύτερο για αυτόν ό φ ε λ ο ς. Εικ.2.1 Σκίτσο Ως π α ί γ ν ι ο (game), ορίζεται η κατάσταση κατά την οποία ένας ή περισσότεροι παίκτες οδηγούνται σε μια σειρά κινήσεων, προκειμένου να ισχυροποιήσουν τη θέση τους, έναντι του ανταγωνιστή παίχτη. Πρόκειται για μια κατάσταση όπου άτομα, κυβερνήσεις, σωματεία, συνδικάτα κλπ (οι αποκαλούμενοι παίκτες), κάνουν κάποιες επιλογές με στόχο ο καθένας την εξυπηρέτηση του συμφέροντός του και που το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται μόνο από αυτόν τον ίδιο αλλά και από τις αποφάσεις των άλλων παικτών. Π.χ. το σκάκι, οι επιλογές τιμών μεταξύ ανταγωνιστικών επιχειρήσεων, οι εκλογές, η προσωπική συντήρηση του κινητήρα για το κοινό καθαρό περιβάλλον κλπ. (Βαρουφάκης, 2007). 13

Π α ί κ τ ε ς (player), καλούνται όχι μόνο πρόσωπα αλλά και χώρες, οργανισμοί, επιχειρήσεις, ομάδες, πάντως όμως συστήματα που αποτελούν αυτόνομες μονάδες λήψης αποφάσεων. Ο παίκτης επηρεάζει την έκβαση του αποτελέσματος του παιγνίου, με αντικειμενικό σκοπό την ωφέλειά του, μέσα από συγκεκριμένους κανόνες του παιχνιδιού και μέσα από επιλογές, προκρίνει την πιο κατάλληλη στρατηγική. Σ τ ρ α τ η γ ι κ ή (strategy), ενός παίκτη είναι το σύνολο των κανόνων οι οποίοι ορίζουν ποια από τις δυνατές επιλογές πρέπει να ακολουθήσει σε κάθε κίνηση μέχρι το τέλος του παιγνίου, έχοντας υπόψιν του όλες τις πληροφορίες τις σχετικές με τις κινήσεις του αντίπαλου παίκτη. Η έννοια της στρατηγικής είναι η ίδια σε όλα τα ανταγωνιζόμενα μέρη, είτε πρόκειται για άτομα, είτε για επιχειρήσεις είτε γενικότερα για ομάδες κοκ. Η στρατηγική διακρίνεται σε α μ ι - γ ή ς και μ ι κ τ ή (Οικονόμου, 1978). Α μ ι γ ή ς (pure strategy) σ τ ρ α τ η γ ι κ ή, ονομάζουμε εκείνη στην οποία κάθε παίκτης επιλέγει μία μόνο από τις επιλογές που έχει στη διάθεσή του, ενώ δεν επιλέγει καμιά από τις υπόλοιπες. Πιο απλά, αμιγής στρατηγική είναι ένα ολοκληρωμένο σχέδιο (από την έναρξη του παιχνιδιού έως και τη λήξη του, όλες οι επιλογές είναι προδιαγεγραμμένες). Αν δηλαδή, ο προορισμός είναι ένας συγκεκριμένος, αλλά υπάρχουν 30 δρόμοι για να φτάσεις στο ίδιο σημείο, έχουμε ήδη επιλέξει από την αρχή ποιο δρόμο θα ακολουθήσουμε. Μ ι κ τ ή σ τ ρ α τ η- γ ι κ ή (mixed strategy), ονομάζουμε ένα συνδυασμό στρατηγικών, διαθέσιμο στον παίκτη (Εμμ. Πετράκης,2011). Στενά συνδεδεμένο με τη στρατηγική είναι το α π ο τ έ λ ε σ μ α του παιγνίου, το οποίο εξαρτάται από τις κατάλληλες στρατηγικές που θα ακολουθήσει ο κάθε παίκτης και φυσικά ο αντίπαλός του. Όταν όλοι οι παίκτες ακολουθήσουν την άριστη για τον καθένα στρατηγική, τότε έχουμε τη λύση του παιγνίου. Όταν οι παίκτες είναι δύο, τότε το παιχνίδι καλείται παιχνίδι δ ύ ο παικτών. Για κάθε παραπάνω παίκτη (n > 2) το παιχνίδι καλείται παιχνίδι n - παικτών. 14

Π α ι χ ν ί δ ι μ η δ ε ν ι κ ο ύ α θ ρ ο ί σ μ α τ ο ς έχουμε όταν το κέρδος του ενός είναι η απώλεια του άλλου, δηλαδή όταν ο ένας παίκτης ωφελείται ίσα με τη ζημία του αντιπάλου. Εδώ μιλάμε για παιχνίδια αυστηρού ανταγωνισμού. Ένα απλό παράδειγμα έχουμε όταν το κέρδος είναι τα κομμάτια μιας τούρτας. Και οι δυο παίκτες επιθυμούν τα περισσότερα κομμάτια από την ολόκληρη τούρτα. Έτσι οι απώλειες του ενός θα είναι τα κέρδη του άλλου. Όσα κομμάτια καρπωθεί ο ένας, τόσα δε θα είναι διαθέσιμα στον άλλον. Όταν αυτό δε συμβαίνει επειδή οι παίκτες μπορεί όλοι να υποφέρουν εξίσου, ή όλοι οι παίκτες να τα αποκτήσουν όλα, τότε έχουμε παιχνίδι μ η μ η δ ε ν ι κ ο ύ α θ ρ ο ί σ μ α τ ο ς. Για παράδειγμα όταν μια χώρα εμπορεύεται τις περίσσιες μπανάνες με μια άλλη χώρα που εμπορεύεται τα περίσσια μήλα. Και οι δύο μπορούν να ωφεληθούν και στο τέλος να έχουν και οι δύο περισσότερα κέρδη από όταν ξεκίνησαν. Ένα παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος δύο παικτών αποτυπώνεται σε μια μήτρα ωφέλειας (payoff matrix), ένα πίνακα δηλαδή που δείχνει ποιες πληρωμές πρέπει να γίνουν μετά το τέλος του παιχνιδιού (Οικονόμου, 1978). 1.2 Ιστορική αναδρομή 1.2.1 19ος - 20ος αιώνας Μια αρχική αναφορά στη θεωρία των παιγνίων όπως την ξέρουμε, έγινε τον 18ο αιώνα (1838) από τον Γάλλο οικονομολόγο Augustin Cournot, ο οποίος προσπάθησε να αναλύσει καταστάσεις ολιγοπωλίου με παρόμοιο τρόπο που ενδείκνυται στις μεθόδους της θεωρίας των παιγνίων (Ρεφανίδης, Θ. Παιγνίων, 2002). Η ουσιαστική ανάπτυξη αποδίδεται στον Ούγγρο φυσικό και μαθηματικό John Von Neumann (1903-1957), ο οποίος το 1928 τεκμηρίωσε, πως τα παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος έχουν πάντα λύση και πως η ωφέλεια του ενός παίκτη 15

είναι πάντα ίση με την απώλεια του άλλου κ έτσι ξεκίνησαν ως ένα ανεξάρτητο και αυτόνομο πεδίο των επιστημών. Τα άρθρα διαπραγματεύονταν στρατηγικές, που θα έφερναν τη νίκη σε όσους εφάρμοζαν διάφορα «παιχνίδια» και καθόλου δεν προμήνυαν της εισαγωγή μιας από τις πιο ενδιαφέρουσες θεωρίες. Καθοριστική ήταν και η συμβολή μιας έκδοσης για τη θεωρία των παιγνίων που δημοσιεύτηκε το 1944 με τίτλο Theory of Games & Economic Behavior από τους John von Neumann και Oskar Morgenstern που γίνεται λόγος παρακάτω. Στα 1950 ο Αμερικανός μαθηματικός και οικονομολόγος John Nash εισήγαγε μια ισορροπία για παιχνίδια μη-μηδενικού αθροίσματος, γνωστή ως ισορροπία Νας. Πρόκειται για μια κατάσταση από την οποία κανένα παίκτη δε συμφέρει να απομακρυνθεί δεδομένων των επιλογών των αντιπάλων τους. Ήταν η εποχή που εμφανίστηκε και το περίφημο prisoners dilemma (δίλημμα του φυλακισμένου) για το οποίο θα κάνουμε λόγο παρακάτω. Η ζωή του, όπως προαναφέραμε, έγινε ταινία με τίτλο «Ένας υπέροχος άνθρωπος» και τον υποδύθηκε ο Ράσελ Κρόου, περιγράφοντας την προσφορά του Νας στην επιστήμη, αλλά και την προσωπική του μάχη με το σύνδρομο καταδίωξης και σχιζοφρένειας που έπασχε από την ηλικία των 29 ετών. Γύρω στο 1965 ο Reinhard Selten ανέπτυξε κι άλλο τη θεωρία, ενώ το 1975 ο John Harsanyi γενίκευσε τις ιδέες του Τζον Νας. Το 1994 ο Τζον Νας μοιράζεται το νόμπελ της Σουηδικής Ακαδημίας Επιστημών με τους άλλους δύο. Τη δεκαετία του 1970 εισήχθη η θεωρία στη Βιολογία, από τον John Maynard Smith, που ασχολήθηκε με την εξελικτική στρατηγική, την εφαρμογή δηλαδή της θεωρίας στην επιβίωση των ειδών του φυσικού κόσμου (evolutionary stable strategy) (Stanford, encyclopedia o f philosophy, 2010). Στα τέλη της δεκαετίας του 1990, η θεωρία εφαρμόστηκε στο σχεδιασμό των δημοπρασιών, ενώ άλλοι επιστήμονες την εισήγαγαν στις τηλεπικοινωνίες, με 16

σκοπό να κατανείμουν τον άριστο χώρο κάθε φορά ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, στους χρήστες της κινητής τηλεφωνίας. Το 2005 ο Αμερικανός επιστήμονας Tomas Schelling και ο Γερμανός θεωρητικός παιγνίων Robert Aumann κέρδισαν το βραβείο Νόμπελ για τις Οικονομικές επιστήμες επειδή εμπλούτισαν την αντίληψη μας σχετικά με τις έννοιες του ανταγωνισμού και της συνεργασίας μέσω της παιγνιοθεωρητικής ανάλυσης. Τους ακολούθησαν το 2007 οι Roger Myerson, Leonid Hurwicz και Eric Maskin για τη θεμελίωση της θεωρίας σχεδιασμού μηχανισμών " (Βλαχοπούλου Msc,2010). Σήμερα, παρά τα χρόνια που έχουν περάσει, η ισορροπία του Νας, εξακολουθεί να αποτελεί το κέντρο της θεωρίας των παιγνίων. Χαρακτηριστικά, η ισορροπία Νας ονομάζεται «Λύδια λίθος», της θεωρίας των παιγνίων (Γιάννης Βαρουφάκης, 2007). 1.2.2 Παλαιότερε αναφρρέ Σύμφωνα όμως με ιστορικές αναδρομές, η λογική βάση που θεμελίωσε τη θεωρία των παιγνίων βρίσκεται πιο πίσω σε πολύ παλαιότερες εποχές. Για παράδειγμα, σε δύο από τα κείμενα του Πλάτωνα, στο Συμπόσιο και στο Λάχη, ο Σωκράτης υπενθυμίζει ένα επεισόδιο από τη μάχη του Δήλιου. Και λέει: «Σκεφτείτε ένα στρατιώτη στο μπροστινό μέρος μιας φάλαγγας, περιμένοντας με τους συντρόφους του να αποκρούσει την επίθεση του εχθρού. Εάν η άμυνά είναι επιτυχής, τότε η προσωπική του συμβολή θα καταλογιστεί ως απαραίτητη. Είναι όμως πολύ πιθανό αυτός να τραυματιστεί θανάσιμα και να σκοτωθεί. Από την άλλη πλευρά, αν ο εχθρός πρόκειται να κερδίσει τη μάχη, πάλι ο στρατιώτης έχει περισσότερεςeς πιθανότητες να τραυματιστεί ή να σκοτωθεί. Με βάση αυτή τη λογική, είναι συμφέρον για το στρατιώτη να αποδράσει από τη μάχη ανεξάρτητα από το ποιός θα την κερδίσει. Φυσικά αν όλοι το έκαναν αυτό, τότε θα είχαν χαθεί 17

όλες οι μάχες. Τι όμως τους κρατάει τους στρατιώτες στη θέση τους; Φυσικά ο μεγαλύτερος φόβος τους είναι, πως η μάχη θα χαθεί και η μεγαλύτερη πίστη τους είναι πως η μάχη θα κερδηθεί. Άρα το λιγότερο που έχουν να κάνουν είναι να κάτσουν κ να πολεμήσουν» (Stanford, encyclopedia of philosophy, 2010). Ένα άλλο παράδειγμα, είναι η άφιξη του Cortez στην Αμερική (Ισπανός εξερευνητής-15οςαι.) και οι μάχες που δόθηκαν με τους ιθαγενείς. Όταν καταφθάνει ο κατακτητής στο Μεξικό με μια μικρή δύναμη ανδρών, που ήταν πολύ λογικό να φοβούνται τους πολυάριθμους Αζτέκους, έκαψε τα πλοία του, ώστε κανείς να μην είχε τη δυνατότητα να υποχωρήσει. Αφού λοιπόν η υποχώρηση κατέστη ανέφικτη, οι Ισπανοί στρατιώτες δεν είχαν άλλη επιλογή από το να κάτσουν και να πολεμήσουν με μεγαλύτερη από πριν αποφασιστικότητα. Έκαψε τα πλοία με διάθεση προβολής, ώστε και οι Αζτέκοι να δουν με ποιους έχουν να κάνουν. Αιτιολογήθηκε ως εξής «κανείς» είπε, «δε μπορεί να επιτεθεί και να κερδίσει κάποιον, ο οποίος δεν έχει τίποτε να χάσει και δεν του δίνεται καμιά άλλη επιλογή παρά μόνο η νίκη.» Και είχε δίκιο. Το αποτέλεσμα ήταν οι Αζτέκοι να δραπετεύσουν στους γύρω λόφους (Stanford, encyclopedia of philosophy, 2010). Και τα δύο παραδείγματα είναι χαρακτηριστικά ομάδων σε καταστάσεις σύγκρουσης. Έχουμε το σχετικό παιχνίδι, τους παίκτες, τη στρατηγική και επίσης όλες τις πληροφορίες διαθέσιμες. Είναι σίγουρο πως το συμφέρον του κάθε στρατιώτη είναι να δραπετεύσει κινούμενος από ιδιοτέλεια, αλλά έχει στη διάθεσή του και τη βεβαιότητα πως κανείς άλλος δε θα το κάνει από τους δικούς του. Σ αυτή την περίπτωση αποτελούν αυτόνομη ομάδα που λειτουργεί ολόκληρη ως παίκτης. Αυτές οι αναφορές δείχνουν πόσο πίσω χρονολογικά βρίσκεται η βάση για την αναζήτηση της θεωρίας των παιγνίων και πόσο σημαντική ήταν η θεμελίωσή της τα τελευταία χρόνια για την επιστήμη και την ερμηνεία της ανθρώπινη συμπεριφορά γενικότερα (Stanford university, encyclopedia o f philosophy 1997). 18

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Θεμελιωτές 2.1 John Forbes Nash, jr (1928-) 2.1.1 Η ζωή του Νας και τα χρόνια της επιτυχίας Ένας από τους βασικούς θεμελιωτές της θεωρίας των παιγνίων είναι ο John Forbes Nash, στον οποίο οφείλεται η ευρεία αποδοχή και η δημοφιλία της θεωρίας. Ο Νας εισήγαγε στα παίγνια την ιδέα της ισορροπίας, η οποία πλέον χρησιμοποιείται ευρέως σε όλους τους κλάδους της σύγχρονης επιστήμης. Εικ.2.2 John Forbes Nash Ο Νας γεννήθηκε στη Δυτική Βιρτζίνια των Ηνωμένων Πολιτειών, το 1928. Αν και ενδιαφερόταν για τα οικονομικά, αποφάσισε να ακολουθήσει το επάγγελμα του πατέρα του που ήταν ηλεκτρολόγος-μηχανικός στην εταιρεία Appalachian electric power. H μητέρα του Μάργκαρετ, ήταν δασκάλα και γεννήθηκε στη Βιρτζίνια. Και οι δύο γονείς του ενδιαφέρθηκαν για την παιδεία του, παρέχοντάς του εγκυκλοπαίδειες και προχωρημένα μαθήματα στα μαθηματικά. Το 1945 γράφτηκε στο Carnegie Institute of Technology του Pittsburgh και ακολούθησε τον κλάδο της χημείας, κάτι που δεν του άρεσε και τελικά επέστρεψε στα μαθηματικά με τα οποία και ασχολήθηκε. Το 1948 ήταν ήδη ένας από τους κορυφαίους στη θεωρία των παιγνίων και δέχτηκε υποτροφία στο Πανεπιστήμιο του Princeton, όπου συνέχισε τις μεταπτυχιακές του σπουδές στα μαθηματικά. Είχε ασχοληθεί με τα «προβλήματα συμφωνιών», δηλαδή τις καταστάσεις στις οποίες οι παίκτες συνολικά. μοιράζονται κάποια κοινή ωφέλεια (http://en.wikipedia.org/wiki/john_forbes_nash,_jr. ). 19

Με τη φράση αυτός ο άντρας είναι ιδιοφυία περιέγραψε τον John Nash στους υπόλοιπους καθηγητές του Princeton University, ο καθηγητής R. L. Duffin. Η πιο σπουδαία εργασία του όμως ήταν αυτή που ασχολήθηκε με την ισορροπία στη θεωρία των παιγνίων, η οποία προς τιμήν του ονομάστηκε «Ισορροπία Νας». Η πρώτη σύλληψη της ιδέας για την ισορροπία τοποθετείται όταν ο Νας ήταν μόλις 21 ετών. Αργότερα, το 1950, δημοσιεύτηκε με δισέλιδη αναφορά, στο Proceedings of the National Academy of Sciences με τον τίτλο Equilibrium Points in n-person Games και περιέγραφε περιληπτικά την ύπαρξη λύσεων για παίγνια με παίκτες. Μια μεγαλύτερη έκδοση δημοσιεύτηκε το 1951 στο Annals of Mathematics με τίτλο Non-cooperative Games (http://en.wikipedia. org/wiki/ John_Forbes_Nash,_Jr. ). Από την άλλη, πατέρας της θεωρίας των παιγνίων θεωρείται ο John von Neumann, ένας Αυστρο-Ούγγρος επιστήμονας για τον οποίο θα κάνουμε λόγο παρακάτω, αρχικά με ένα άρθρο του το 1928 και 16 χρόνια αργότερα με το μνημειώδες έργο του, «Η θεωρία των παιγνίων και η οικονομική συμπεριφορά» σε συνεργασία με τον Όσκαρ Μόργκενστερ. Όμως η θεωρία αυτή θα είχε ξεχαστεί χωρίς τη συμβολή του Τζον Νας (Σεμκογλου, 2008). Το 1951, ο Νας πήγε στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης ως εκπαιδευτής στη σχολή μαθηματικών. Εκεί γνώρισε μια φοιτήτρια της φυσικής, την Αλίσια Λόπεζ την οποία παντρεύτηκε και έκανε και ένα παιδί. Μεταξύ 1950 και 1953, με τρία άρθρα του υποστήριξε ότι επέλυσε όλα τα παίγνια που απαρτίζουν το κοινωνικό γίγνεσθαι. Ο Nash σκαρφίστηκε μια γενική λύση για όλα τα παίγνια και απέδειξε ότι κάθε τέτοιο παίγνιο διαθέτει τουλάχιστον μια τέτοια λύση. Έτσι κατάφερε ένα μεγάλο χτύπημα στην απροσδιοριστία. Βοήθησε να επεκτείνει τη θεωρία του Νόϊμαν η οποία μέχρι τότε είχε αποτελματωθεί και να χρησιμοποιήσει τη θεωρία των παιγνίων στις διαπραγματεύσεις. 20

Η προσέγγιση του Nash για την θεωρία παιγνίων, τον οδήγησε στην απόκτηση του βραβείου Νόμπελ στις οικονομικές επιστήμες το 1994 (http://en.wikipedia.org/ wik^/john_forbes_nash,_jr. ). 2.1.2 Η σχιζοφρένεια του Νας Οι ψυχικές του διαταραχές είχαν προκύψει τους πρώτους μήνες του 1959, όταν η σύζυγός του ήταν έγκυος. Όπως η ίδια αναφέρει, ο Νας έβλεπε τον εαυτό του ως έναν αγγελιοφόρο ή ως άνθρωπο με ειδική αποστολή, με αντιπάλους που προσπαθούν να τον εμποδίσουν ή ως ερμηνευτή αποκρυπτογράφο της θείας αποκάλυψης. Το 1959 ο Νας παραδέχτηκε πως πάσχει από σχιζοφρένεια και νοσηλεύτηκε σε ψυχιατρικό νοσοκομείο. Άρχισε να εμφανίζει σημάδια υπερβολικής παράνοιας και η σύζυγός του περιγράφει την κατάστασή του τότε ως ασταθή. Ο ίδιος άρχισε να έχει συμπτώματα καταδίωξης και πίστευε πως όποιος φορούσε κάτι κόκκινο, ήταν μέλος μιας κομμουνιστικής συνωμοσίας εναντίον του. Ο ίδιος αργότερα πρότεινε ως αίτιο αυτής της κατάστασης, τη δυστυχία που ένιωθε και την ανάγκη να αισθάνεται σημαντικός. Εισήχθη στο νοσοκομείο Μακλήν, ως παρανοϊκός σχιζοφρενής. Είχε σταθερές πεποιθήσεις, στηριζόμενες σε ψευδής εντυπώσεις και φαινομενικές εμπειρίες, ώστε συνέχεε την πραγματικότητα με τις διαταραχές του, οι οποίες ήταν ακουστικές. Ακολούθησε έλλειψη κινήτρων για τη ζωή και ήπια κλινική κατάθλιψη. Μετά την αποιδρυματοποίησή του, πήγε στην Ευρώπη όπου ζήτησε πολιτικό άσυλο στη Γαλλία και την Ανατολική Γερμανία, προσπαθώντας να αποκηρύξει την ιδιότητα του ως πολίτη των ΗΠΑ. Συνελήφθη εκεί από τη γαλλική αστυνομία και απελάθηκε. Από το 1961 του χορηγήθηκαν αντιψυχωσικά φάρμακα και θεραπείες σοκ (http://en.wikipedia.org/wiki/john Forbes Nash, Jr.). 21

2.1.3. Αναγνώριση και αποκατάσταση του Νας Στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον από τα χρόνια που εργαζόταν, είχε γίνει ήδη θρύλος. Τον ονόμαζαν, "The Phantom of Fine Hall". Τον περιέγραφαν ως μια σκοτεινή φιγούρα που έλυνε εξισώσεις σε πίνακες στη μέση της νύχτας. Το 1978, ο Νας τιμήθηκε με το βραβείο θεωρίας John Von Neumann για την προσφορά του στις μη συνεργατικές ισορροπίες, που σήμερα ονομάζεται Νας ισορροπία. Κέρδισε το Leroy P. Steele Prize. To 1994 τιμήθηκε με το memorial prize Nobel, μαζί με τον John Harsanyi και τον Reinhard Selten, ως αποτέλεσμα της εργασίας του όταν ήταν απόφοιτος στο Πρίνστον. Μεταξύ άλλων, το 1999 ο Τζον Νας έλαβε τιμητικό βαθμό ως Διδάκτωρ της Επιστήμης και Τεχνολογίας από το Carnegie Mellon University, το 2003 τιμητικό πτυχίο από στα οικονομικά από το Πανεπιστήμιο της Νάπολης Federico II, το 2007 τιμητικό διδακτορικό στα οικονομικά από το Πανεπιστήμιο της Αμβέρσας και ήταν ο κεντρικός ομιλητής σε συνέδριο για τη Θεωρία των Παιγνίων. Υπήρξε επίσης προσκεκλημένος ομιλητής σε μια σειρά γεγονότων παγκόσμιου κύρους, όπως η διάσκεψη κορυφής Οικονομικών το 2005, που πραγματοποιήθηκε στο Πανεπιστήμιο του Warwick (http://en.wikipedia.ors/wiki/john_forbes_nash,_jr.). Ο Τζον Νας αφιέρωσε ολοκληρωτικά τη ζωή του στην επιστήμη και στη θεωρία του, σε τέτοιο βαθμό που για πολλά χρόνια έχασε την επαφή του με την πραγματικότητα. Ήταν το αντίτιμο για τη συμβολή του στην επιστήμη και την πρόοδό της. Ο ίδιος αναγνωρίζει τον κλονισμό της υγείας του αλλά όπως αργότερα εξήγησε σαρκαστικά, «αν σκεφτόμουν φυσιολογικά, δε θα είχα επιστημονικές ιδέες» εννοώντας πως η ασθένεια ήταν μέρος της ιδιοφυίας του. 22

2.2 John Von Neumann (1903-1957) 2.2.1 Η ζωή και οι σπουδές του Νόϊμαν Εικ.2.3 John Von Neumann Ο Νόϊμαν ήταν ένας Ούγγρο-Αμερικάνος μαθηματικός και πολυμαθής ο οποίος έκανε σημαντικές συνεισφορές σε ένα μεγάλο εύρος επιστημών, συμπεριλαμβανομένων των μαθηματικών, τη φυσική και τη στατιστική. Γενικά θεωρείται ως ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της σύγχρονης ιστορίας. Έχει αποκαλεστεί ως ο τελευταίος των μεγαλύτερων μαθηματικών, ως η πιο τρομακτική ανδρεία και ως σπινθηροβόλα διάνοια του αιώνα και ως εγκέφαλος ανώτερου είδους ανθρώπου. Γεννήθηκε στη Βουδαπέστη το 1903. Ήταν ο μεγαλύτερος από τα τρία αδέρφια του. Ο πατέρας του ήταν τραπεζίτης με διδακτορικό στη νομική. Η οικογένειά του αποκόμισε σπουδαίες θέσεις και αναγνώριση από την Αυστρο- Ουγγρική αυτοκρατορία. Από την ηλικία των 6 ετών γνώριζε άπταιστα λατινικά και αρχαία ελληνικά και κατείχε μεγάλο πάθος για την αρχαία ιστορία. Κάποιος καθηγητής βυζαντινής ιστορίας ανέφερε πως ο Νόϊμαν είχε περισσότερες γνώσεις στο αντικείμενο από αυτόν τον ίδιο. Ο Νόϊμαν μπήκε στο γερμανόφωνο Λουθηρανικό γυμνάσιο στη Βουδαπέστη το 1911. Από νωρίς όμως διδασκόταν τα μαθήματα των επόμενων τάξεων από ιδιωτικούς εκπαιδευτικούς. Η μαθηματική του διάννοια έγινε φανερή από νωρίς, ενώ στα 19 του είχε ήδη μαθηματικές δημοσιεύσεις στο όνομά του. Έλαβε το διδακτορικό του στα μαθηματικά σε ηλικία 22 ετών. Ταυτόχρονα πήρε το δίπλωμα του στη Χημεία από Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης στην Ελβετία (http://en.wikipedia.org/wiki/john_von_neumann). 23

2.2.2 Η συμβολή του στα πυρηνικά Γύρω στα 1930 ο Νόϊμαν ανέπτυξε τεχνογνωσία για τις εκρήξεις. Αυτό τον ανέδειξε ως στρατιωτικό σύμβουλο και τον οδήγησε στη συμμετοχή του στο σχέδιο Μανχάταν. Η ζωή του περιελάμβανε ταξίδια σε μυστικές εγκαταστάσεις στο Νέο Μεξικό. Ο Νόϊμαν συνέλαβε σημαντικά στην ατομική βόμβα και στη συμπίεση του πλουτωνίου, και θεωρείται ως στέλεχος της επιτροπής που επέλεξαν τις Ιαπωνικές πόλεις Ναγκασάκι και Χιροσίμα ως πρώτους στόχους της ατομικής βόμβας. Ο θάνατος του το 1955 θεωρήθηκε από μια βιογράφο του, ως αποτέλεσμα της συμμετοχής του σε πυρηνικές δοκιμές. Διαγνώστηκε με καρκίνο των οστών ή του παγκρέατος και πέθανε απομονωμένος υπό στρατιωτική φρουρά, για να αποτραπεί διέρρευση κρατικών μυστικών από τον ετοιμοθάνατο Νόϊμαν. 2.2.3. Ο Νόϊμαν και η θεωρία των παιγνίων Η συμβολή του Νόϊμαν στη θεωρία των παιγνίων υπήρξε σημαντική. Το 1928 απέδειξε το ΜίηίΜαχ θεώρημα. Αυτό ορίζει ότι σε μηδενικού αθροίσματος παιχνίδια -εκεί δηλαδή που το κέρδος του ενός είναι η απώλεια του άλλου, όπως προαναφέραμε και η πληροφόρηση είναι πλήρης- υπάρχει ένα ζευγάρι στρατηγικών για τους δύο παίκτες που επιτρέπει σε κάθε έναν να ελαχιστοποιηθούν οι απώλειές του κατ ανώτατο όριο. Ο παίκτης ακολουθεί συνέχεια τη στρατηγική που θα έχει ως αποτέλεσμα την ελαχιστοποίηση της μέγιστης απώλειάς του. Αυτές οι στρατηγικές ονομάζονται βέλτιστες. Το 1944 όμως και θέλοντας να βελτιώσει την έννοια της στρατηγικής minimax, εξέδωσε το έργο «Θεωρία των παιγνίων και οικονομική συμπεριφορά», με τον Όσκαρ Μόργκενστερ. Εκεί θέλησε να επεκτείνει το θεώρημα και να περιλάβει και παιχνίδια που σχετίζονται με ατελή πληροφόρηση και παιχνίδια με περισσότερους 24

από δύο παίκτες. Το ενδιαφέρον του κοινού ήταν τέτοιο που οι New York Times αφιέρωσαν ολόκληρο πρωτοσέλιδο. Όμως ο Νόϊμαν δεν προέβαλε το θεώρημά του ως τη βάση μιας μελλοντικής ενοποιητικής θεωρίας των πάντων. Την ανέδειξε ως μια χρήσιμη θεωρία σε ανταγωνιστικές καταστάσεις, όπου το κέρδος του ενός είναι η ζημία του άλλου (δες παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος), όπως για παράδειγμα το σκάκι, το τάβλι ή κάποιο χαρτοπαίγνιο. Ο Νόϊμαν βρήκε τη λύση τους! Απέδειξε δηλαδή πως οι παίκτες μπορούν να παίξουν με μια συγκεκριμένη στρατηγική, που θα μεγιστοποιεί συνέχεια τις πιθανότητες να κερδίσουν(θεώρημα minimax) (http://en. wikipedia.org/wiki/john_von_neumann). 2.2.4. «Η Θεωρία Των Παιγνίων Και Η Οικονομική Συμπεριφορά» Εικ.2.4 Το βιβλίο σταθμός Ο Νόϊμαν είναι ένας από τους δύο συγγραφείς ενός θεμελιώδους έργου σε συνεργασία με τον Όσκαρ Μόργκενστερν υπό τον τίτλο «Θεωρία των παιγνίων και οικονομική Συμπεριφορά, 1944, Princeton University, USA». Σε αυτό το έργο αναλύονται οι βέλτιστες στρατηγικές για παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος για δύο παίκτες. Αποτελεί σταθμό στην ιστορία θεμελίωσης της θεωρίας των παιγνίων και επαναστατικό κείμενο, που δημιούργησε επιστημονικό ενθουσιασμό. Το βιβλίο περιγράφηκε ως «το κλασσικό έργο, πάνω στο οποίο βασίζεται η θεωρία των παιγνίων» (Princeton university Press). 25

2.3 John Harsanyi και Reinhard Selten 2.3.1 Οι σύγχρονοι συνεχιστές Όπως αναφέραμε, η Λύδια λίθος για τον Νας ήταν η αρχή της απροσδιοριστίας. Αυτό που προσπαθούσε να αποδείξει ήταν πως όλες οι συγκρούσεις έχουν κάποια λύση, μια ισορροπία που τα αντικρουόμενα μέρη ωφελούνται με τα μέγιστα για το καθένα κέρδη, ή τις μικρότερες για το καθένα ζημίες. Από τη δεκαετία του 80 η θεωρία φιγουράρει ως «επιστήμη της κοινωνίας» Εικ.2.5 John Harsanyi και αυτό οφείλεται σε δύο συνεχιστές του Νας, στον John Harsanyi και τον Reinhard Selten. Σκοπός τους ήταν να δώσουν μια πιο ρεαλιστική ισορροπία, συνεχίζοντας στη βάση που θεμελίωσε ο Νας καταλήγοντας σε μια μέθοδο βελτίωσης της έννοιας της ισορροπίας. Όπως θα δούμε παρακάτω, πολλά παιχνίδια έχουν πάνω από μία ισορροπίες Νας. Στην επιλογή των ακριβέστερων στρατηγικών, συνέλαβαν οι δυο αυτοί «επίγονοι». Αυτοί δεν έκαναν τίποτα παραπάνω από το να ακολουθήσουν τα ήδη σκιαγραφημένα βήματα που έπρεπε να γίνουν προς την κατεύθυνση της βελτίωσης της θεωρίας του και που ο ίδιος είχε ορίσει. Το πρώτο που έκαναν ήταν να υπολογίσουν την αβεβαιότητα των παικτών. Πάνω σ αυτό ασχολήθηκε ο Harsanyi. (http://en.wikipedia.or2/wiki/john_harsanvi). H δεύτερη ιδέα ήταν, ότι ένα παιχνίδι έχει μία συγκεκριμένη χρονική διάρκεια. Σε αυτήν εξελίσσεται μια μάχη μεταξύ των παικτών, ακολουθώντας στρατηγικές διάφορες και παραλλαγές αυτών. Με αυτό ασχολήθηκε ο Selten. Εικ.2.6 Reinhard Selten 26

Η μη επίλυση αυτών των προβλημάτων οδηγεί σε πιο ισχυρή απροσδιοριστία και προκαλεί πολλές ισορροπίες. Οι σημαντικές εξελίξεις που σημείωσαν οι δύο επιστήμονες, στον τομέα της απροσδιοριστίας, έδωσαν το έναυσμα για να αναστηθεί η θεωρία των παιγνίων. Δεν υπάρχει σήμερα τομέας που να μην έχει επηρεαστεί από τη θεωρία του Νας και των επιγόνων του. Οι λύσεις τις οποίες προέβαλαν στις αρχές της απροσδιοριστίας που κατακλύζουν κάθε κοινωνικό κλάδο, έκαναν τη θεωρία αρκετά χρήσιμη και ελκυστική(http://en.wikipedia. ου2^ι&/εβιηηαυά_8β!ΐβη). Το 1994 ο δοκ^η και ο ΗαΓ8αηγΐ, μοιράστηκαν το βραβείο Νόμπελ Οικονομικών. 2.3.2 Η απροσδιοριστία και ο δβκβπ Η ιερά εξέταση και ο φιλόσοφος Ο δοκ«η, ασχολήθηκε μεθοδικά με τη λύση παιγνίων, που η απροσδιοριστία τους συνέβαινε λόγω της χρονικής έκτασης και ιδιότητας του παιγνίου. Το παράδειγμα του Φιλοσόφου και την Ιεράς εξέτασης δείχνει εύστοχα, την απροσδιοριστία λύσης και ισορροπιών. Ένας φιλόσοφος, συλλαμβάνεται από την Ιερά εξέταση γιατί πιστεύει λίγο. Ο Μεγάλος Ιεροεξεταστής του απαγγέλει τις κατηγορίες και την ποινή του θανάτου του, με δύο όμως περίεργους όρους, «Σε καταδικάζω..», του είπε, «...να καείς στην πυρά. Δε θα σου πω όμως ποια μέρα θα καείς. Μόνο πως θα καείς μέχρι την επόμενη Κυριακή το πολύ και θα γίνει μέρα που δε θα είσαι απόλυτα σίγουρος πως θα καείς εκείνη τη μέρα.» Με το που άκουσε ο κατάδικος την απόφασή του, χαμογέλασε και είπε, «φτηνά τη γλύτωσα!». Που οφείλεται τώρα η αισιοδοξία του φιλοσόφου πως γλύτωσε. Κατέληξε σε αυτό το συμπέρασμα, με την ίδια δομή, που και ο Σέλτεν έλυνε παρόμοια παιχνίδια απροσδιοριστίας και έβρισκε ισορροπίες. Όπως και ο Σέλτεν, εφαρμόζει την προς τα πίσω επαγωγή και αναλύει το πρόβλημα που του έθεσε ο 27

ιεροεξεταστής βήμα-βήμα. Το κάθε στάδιο ανάλυσης, είναι η κάθε ημέρα της ερχόμενης εβδομάδας ξεκινώντας από την παραμονή της τελευταίας. Ας πούμε πως ο φιλόσοφος ζει μέχρι τα μεσάνυχτα του Σαββάτου. Σκέφτεται λοιπόν: Αφού και σήμερα είμαι ζωντανός, και δεδομένου του όρου του ιεροεξεταστή πως θα με κάψει Εικ.2.7 ο Γαλιλαίος στον Ιεροεξεταστή μέχρι την Κυριακή, αύριο θα με κάψουν. Σύμφωνα όμως με τον όρο πως θα είναι μέρα που δε θα το περιμένω, δε μπορεί να είναι η αυριανή γιατί είναι απόλυτα σίγουρος για αύριο. Άρα εάν είμαι ζωντανός μέχρι τα μεσάνυχτα του Σαββάτου, τότε έχω γλυτώσει. Αλλά ούτε και το Σάββατο θα μπορεί να με κάψει, γιατί δεδομένου του γεγονότος πως η Κυριακή έχει αποκλειστεί, τότε θα είμαι σίγουρος πως θα καώ το Σάββατο, αλλά αφού δε θα καώ μέρα που θα είμαι βέβαιος τότε αποκλείεται και το Σάββατο. Άρα αν είμαι ζωντανός μέχρι τα μεσάνυχτα της Παρασκευής τότε την έχω γλυτώσει.. ναι αλλά αυτό ισχύει και για την Παρασκευή και για την Πέμπτη κλπ, επομένως θα ζήσω!» Αυτό το παιχνίδι όπως φαίνεται διέπεται από την αρχή της απροσδιοριστίας. Το ερώτημα που θέτει ο Ιεροεξεταστής είναι θα τον κάψω δε θα το κάψω, οι επιλογές του φιλοσόφου είναι θα καώ δε θα καώ, και αν το σχηματοποιούσαμε σε πίνακα θα παίρναμε συνεχόμενες ισορροπίες, δηλαδή απροσδιοριστία. Όταν όμως το παιχνίδι εκτυλίσσεται σε πραγματικό χρόνο και οι επιλογές των παικτών δε γίνονται ταυτόχρονα και σε μια χρονική στιγμή, τότε οι ισορροπίες απορρίπτονται πλην μιας: της ισορροπίας 8ο1ίοπ (Σεμκογλου,2008). Η ίδια αρχή διέπει και το παράδειγμα του Αχιλλέα με τη χελώνα. 28

Ο Αγιλλέας και η χελώνα Πρώτος έθεσε το δίλημμα ο Ζήνων ο Ελεάτης (Μαθηματικός, 494-435 π.χ.), ο οποίος υποστήριξε πως ποτέ ο Αχιλλέας δε θα προσπεράσει μια χελώνα, αφού όρος απαράβατος πριν να αγωνιστούν, ήταν η Εικ.2.8,Σκίτσο Αχιλλέας και ηχελώνα χελώνα να προπορευτεί του Αχιλλέα, το μισό της συνολικής διαδρομής. Άρα ποτέ δε θα την προσπεράσει, αφού πάντα αυτή θα προπορεύεται έως το μισό την υπόλοιπης διαδρομής. Είναι επίσης ένα παιχνίδι απόλυτης απροσδιοριστίας και με άπειρες ισορροπίες. Και εδώ επίσης το πρόβλημα βρίσκεται στο ότι οι στρατηγικές δε συμβαίνουν ταυτόχρονα και σε μια χρονική στιγμή. Έτσι σύμφωνα με τον 8ο^η, προκύπτει η απόρριψη όλων των ισορροπιών (http://mpra.ub.uni-muenchen.de/23370/). 29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Περιγραφή και μοντελοποίηση Σε αυτό το σημείο είναι απαραίτητο να περιγράψουμε και να σχηματίσουμε τον τρόπο με τον οποίο διάφορες στρατηγικές, αποφάσεις, παίκτες, οφέλη ή ζημίες, αποτυπώνονται σε πίνακες, προκειμένου να είναι κατανοητή στη συνέχεια της εργασίας, η ανάλυση του θεωρήματος και διαφόρων παραδειγμάτων. Ας ορίσουμε ένα παιχνίδι από την παιδική μας ηλικία, το «Πέτρα, Ψαλίδι, Χαρτί». Σε αυτό το παιχνίδι : Πέτρα Χαρτί Ψαλίδι ΠΑΙΚΤΗΣ Α Πέτρα Χαρτί Ψαλίδι 0, 0-1,1 ι,-ι 1,-1 0,0 -ι,ι -1,1 1,-1 0,0 Η πέτρα κερδίζει το ψαλίδι (1), αλλά χάνει από το χαρτί. (-1). Το ψαλίδι κερδίζει το χαρτί(1), αλλά χάνει από την πέτρα(-1). Το χαρτί κερδίζει την πέτρα(1), αλλά χάνει από το ψαλίδι(-1). ι Πίνακας 3.1 Κανονική μορφή παιχνιδιού Εδώ παρατηρούμε την κανονική μορφή παιχνιδιού, όπου 1 είναι η νίκη, -1 είναι η ήττα και 0 η ισοπαλία. Η πρώτη τιμή είναι για τον παίκτη Β και η δεύτερη τιμή είναι για τον παίκτη Α, 30

π.χ. Παίκτης Α Παίκτης Β Ψαλίδι Χαρτί Πέτρα Ψαλίδι Παίκτης Β^-1, Παίκτης -1 Παίκτης Β^Ό, Παίκτης Α ^ 0 Παίκτης Β^ -1, Παίκτης Α^-1 Παίκτης Β^ 1, Παίκτης Α ^-1 Πίνακας 3.2 Κανονική μορφή παιχνιδιού Με τον ίδιο τρόπο περιγράφονται και αναλύονται στρατηγικές που αφορούν τα πιο πολλά «παιχνίδια». Οι τιμές που παίρνουν μέσα οι πίνακες, ονομάζονται payoffs (http://en.wikipedia.org/wiki/normal-form game). Κάθε παίκτης έχει τρείς στρατηγικές, οι οποίες καθορίζονται από τον αριθμό στηλών και τον αριθμό σειρών. Οι τιμές της ωφέλειας περιγράφονται στο εσωτερικό των κελιών. Τα παιχνίδια σε κανονική μορφή, είναι συνήθως αυτά που οι στρατηγικές των αντιπάλων συμβαίνουν ταυτόχρονα. Ένας δεύτερος τρόπος με τον οποίο μπορούν να αποτυπωθούν οι στρατηγικές και τα μεγέθη, είναι η περιγραφή του δέντρου. Οι κουκίδες στο πάνω μέρος (Στάφορντ) του γραφήματος δηλώνουν την αρχική ενέργεια, έρχεται δηλαδή η ενέργεια νωρίτερα και οι πράξεις ακολουθούν σε αλληλουχία προς τα κάτω. Πίνακας 3.3 Σχήμα δέντρου 31

Αυτό το σχήμα κατανοείται καλύτερα με την επαγωγική μέθοδο. Δηλαδή με τη λογική «προς τα πίσω». Ερευνούνται δηλαδή πρώτα τα αποτελέσματα και μετά οι ενέργειες που οδήγησαν σε αυτά 1 Πίνακας 3.4 Σχήμα δέντρου Οι ορισμοί των εννοιών που είναι χρήσιμες για την ανάλυση των παιχνιδιών - δέντρων είναι οι εξής: Κόμβος : (1,2,3) Ένα σημείο στο οποίο ο παίκτης επιλέγει μια ενέργεια. Αρχικός κόμβος: ( 1) Το σημείο στο οποίο η πρώτη ενέργεια στο παιχνίδι λαμβάνει χώρα. Τερματικός κόμβος : (2,2-4,0 κλπ) Κάθε κόμβος που, αν επιτευχθεί, το παιχνίδι τελειώνει. Κάθε τερματικός κόμβος αντιστοιχεί σε ένα αποτέλεσμα. Subgame : Κάθε συνδεδεμένο σύνολο των κόμβων και των κλάδων προερχόμενο από ένα μοναδικό κόμβο. Πληρωμή : ένας αριθμός που δηλώνει την ωφέλεια από τη στρατηγική. Αποτέλεσμα : το σύνολο των απολαβών για κάθε παίκτη στο παιχνίδι. 32

Στρατηγική : ένα εκτελεστικό πρόγραμμα για κάθε παίκτη, που λαμβάνει δράση σε κάθε κόμβο στο δέντρο, όπου θα μπορούσε ενδεχομένως να κληθεί να επιλέξει. (http://plato.stanford.edu/entries/game-theory/) Η ανάγνωση του σχήματος δέντρου θα είχε ως εξής: 1 Πίνακας 3.5 Σχήμα δέντρου Ο παίκτης 1 κινείται πρώτος και επιλέγει είτε F είτε U στρατηγική. Ο παίκτης 2 βλέπει την κίνηση του παίκτη 1 και στη συνέχεια επιλέγει στρατηγική A ή R (http://en.wikipedia.org/wiki/extensive_form_game). Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης 1 επιλέξει U και στη συνέχει ο παίκτης 2 επιλέξει Α, τότε ο πρώτος παίρνει 8 και ο έτερος 2. H εικόνα που ακολουθεί είναι η αρχική πρωτότυπη αποτύπωση στρατηγικής σε δέντρο, όπως σχηματίστηκε από τον Τζον Βον N0ιμαν και τον Όσκαρ Μόργκενστερ στο βιβλίο «Θεωρία των παιγνίων και η οικονομική συμπεριφορά, 1953» Πιν.3.6 Αρχικό σχήμα δέντρου 33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ισορροπία Νας (Nash Equilibrium) 4.1 Προσέγγιση της ισορροπίας Νας Όπως προαναφέραμε η σημαντικότερη εργασία και συμβολή του Τζον Νας στη θεωρία των Παιγνίων, ήταν αυτή που ασχολήθηκε με την ισορροπία στα παίγνια, και που ονομάστηκε προς τιμήν του ισορροπία Νας (Nash Equilibrium). Ο Νας διετύπωσε μια γενική λύση για όλα τα παιχνίδια και τεκμηρίωσε πως κάθε παιχνίδι έχει μια τέτοια λύση. Η θεωρία του Νας έχει δύο συγκεκριμένες προϋποθέσεις: i) Ο κάθε παίκτης κάνει την επιλογή του βασιζόμενος σε ορθολογική απόφαση που προέρχεται από τις εκτιμήσεις του για το τι θα πράξει ο ανταγωνιστής του. ii) Κάθε εκτίμηση του παίκτη για την επιλογή του αντιπάλου του, είναι σωστή (Βλαχοπούλου, 2010). Ο Νας διαπίστωσε, πως κάθε παίγνιο με συγκεκριμένο αριθμό παικτών και ενεργειών έχει τουλάχιστον ένα σημείο ισορροπίας, σύμφωνα με το οποίο όλοι οι παίκτες είναι σε θέση να επιλέξουν τις καλύτερες για αυτούς στρατηγικές, γνωρίζοντας τις επιλογές του αντιπάλου. Αυτό αφορά παιχνίδια μηδενικού και μη-μηδενικού αθροίσματος. Οι παίκτες σκέφτονται τί μπορεί να επιλέξει ο αντίπαλός τους, δηλαδή προσπαθούν να καταλάβουν πως θα συμπεριφερθούν, και ανάλογα επιλέγουν τη δική τους στρατηγική. Η επιτυχία του Νας ήταν ότι ανακάλυψε μια νέα μορφή λύσης των παιγνίων η οποία αναγνωρίζει τη σημασία των προσδοκιών των άλλων. Δηλαδή όταν η στρατηγική ενός παίκτη, αποτελεί την καλύτερη ανταπόκριση στη στρατηγική του άλλου παίκτη, αυτός ο συνδυασμός αποτελεί την ισορροπία Νας. Από αυτή την ισορροπία κανείς παίκτης δεν έχει συμφέρον να φύγει μονομερώς. Από τη στιγμή που ο παίκτης δεν 34

έχει να κερδίσει τίποτε παραπάνω από τα ήδη κεκτημένα και οποιαδήποτε μεταβολή, του επιφέρει μικρότερο όφελος, δεν υπάρχει και κανένας λόγος να μετακινηθεί από αυτή τη στρατηγική, δηλαδή ισορροπεί (http://www.cdam.lse.ac.uk/reports/files/cdam-2001-09.pdf). Όταν λέμε πως ένα σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία, εννοούμε ότι βρίσκεται σε μια σταθερή κατάσταση, εκείνη κατά την όποια όλες οι εσωτερικές δυνάμεις, που είναι η αιτία για την ισορροπία, βρίσκονται σε «κατάσταση ηρεμίας», μέχρις ότου να διαταραχθούν από κάποια εξωτερική παρέμβαση (http://plato.stanford.edu/entries/game-theory/#mot). Με απλά λόγια, σε ένα παιχνίδι μη-μηδενικού αθροίσματος δύο παικτών, ο παίκτης Α βρίσκεται σε ισορροπία με τον παίκτη Β αν έχουν επιλέξει και οι δύο τη βέλτιστη στρατηγική που τους αποφέρει το μεγαλύτερο και για τους δύο κέρδος λαμβάνοντας υπόψιν και τις επιλογές του αντιπάλου. Φυσικά η ισορροπία πολλές φορές καταστρατηγείται, όπως συμβαίνει στα καρτέλ. Ενώ οι καταναλωτές ως παίκτες έχουν την ικανότητα να επιλέξουν ένα πιο φθηνό προϊόν και να λάβουν μεγαλύτερη ωφέλεια από τη διάθεση των χρημάτων τους, ο αντίπαλος παίκτης, οι εταιρείες συνασπίζονται σε καρτέλ, άτυπες δηλαδή συμφωνίες που μεγιστοποιούν τα κέρδη τους ελέγχοντας τις τιμές της αγοράς. Εδώ η ισορροπία Νας ακυρώνεται γιατί ο ένας παίκτης, ο καταναλωτής, δεν έχει την πλήρη πληροφόρηση της συμφωνίας, και ακολουθεί τη στρατηγική σε λάθος βάση. Για να γίνει πιο κατανοητό, θα ακολουθήσουν παραδείγματα (Παπαδόπουλος Γεώργιος, 2011). Τρία είναι τα βασικά χαρακτηριστικά αυτής της τόσο σημαντικής έννοιας: ΐ)Η ισορροπία Νας δεν αφορά μόνο μια κατηγορία παιγνίων, αλλά όλα τα παίγνια μεταξύ η-ατόμων. ΐΐ) Η ισορροπία Νας αναδεικνύει τη μεγάλη διαφορά μεταξύ ατομικού και συλλογικού συμφέροντος. Ας θυμηθούμε το παράδειγμα του στρατιώτη στη μάχη. Το συμφέρον του είναι να σωθεί. Κάθε μάχη γίνεται για να κερδηθεί και να σωθούν από τον εισβολέα. Εάν ο καθένας το δει ατομικά και το σκάσει από τη 35

μάχη, τότε και η μάχη θα χαθεί και κανείς δε θα γλυτώσει από τον κατακτητή. Αν όμως το δουν συλλογικά, τότε όλοι θα μείνουν στη μάχη και για να αντιμετωπίσουν τον εχθρό, αλλά και για να βοηθήσουν ο ένας τον άλλον. Είναι ένα καίριο πλεονέκτημα της συμβολής του Νας, αφού δείχνει και πόσο παρακινδυνευμένο είναι μερικές φορές η ταύτιση του ατομικού συμφέροντος με το συλλογικό συμφέρον. ΐπ) Το μεγάλο του επίτευγμα ήταν ένα θεώρημα το οποίο αποδεικνύει πως όλα τα παίγνια έχουν τουλάχιστον από μια ισορροπία Νας, ανεξάρτητα από πολιτικές και κοινωνικές αλληλεπιδράσεις. Αυτή ήταν η πρώτη υπέροχη ιδέα του. Αυτό ενέπνευσε και πολλούς μετέπειτα θεωρητικούς να ελπίσουν στη διατύπωση μιας θεωρίας η οποία ενοποιεί όλες τις υπόλοιπες (Σεμκογλου, 2008). Συνοψίζοντας προκύπτει ο ορισμός της ισορροπίας Νας στα εξής: Έστω ένα σύνολο στρατηγικών, μια για κάθε παίκτη, σα για τον παίκτη Α, σβ για τον παίκτη Β, σγ για τον παίκτη Γ. Το σύνολο αυτών των στρατηγικών αποτελεί την ισορροπία Νας εφόσον η σα για τον παίκτη Α, είναι η καλύτερη απάντηση στις άλλες, η σβ για τον παίκτη Β είναι η καλύτερη απάντηση στις άλλες κ.ο.κ.. 4.2 Το δίλλημα του φυλακισμένου (Prisoner s dilemma) Το δίλημμα του φυλακισμένου αποτελεί το πιο γνωστό και σημαντικό παράδειγμα στην ιστορία της θεωρίας των παιγνίων. Η σύλληψή του τοποθετείται τον Ιανουάριο του 1950 όταν ο Melvin Dresher και ο Merril Flood το επινόησαν όταν εργάζονταν για τη RAND (Research ANd Development) μία επιστημονική, μη κερδοσκοπική οργάνωση που αρχικά προσέφερε τις υπηρεσίες της στις ένοπλες δυνάμεις των Η.Π.Α. Στη συνέχεια ο Albert W. Tucker μορφοποίησε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας πίνακες πληρωμών και του προσέδωσε την τελική 36

του μορφή, αποδίδοντάς του παράλληλα και την ονομασία Prisoner s Dillema (PD) το έτος 1992 (http://en.wikipedia.org/wiki/prisoner%27s dilemma ). Το δίλημμα του κρατούμενου, εντυπωσίασε τους κοινωνικούς επιστήμονες επειδή πρόκειται για μια περίπτωση όπου το ατομικό συμφέρον αυτόυπονομεύεται όσο περισσότερο προσπαθούμε να το υπηρετήσουμε. Το κάθε άτομο πράττει αυτό που θεωρεί για τον εαυτό του το καλύτερο που όμως μπορεί να αποβεί μοιραίο και καταστροφικό για όλους. Ακούγεται πράγματι παράδοξο, πως το κυνήγι της εξυπηρέτησης του ατομικού μας συμφέροντος, μας απομακρύνει πολλές φορές να πετύχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Είναι γνωστή η τραγωδία του Μίδα μέσα από το γνωστό μύθο, που ευχήθηκε ότι ακουμπάει να μετατρέπεται σε χρυσό και στο τέλος κατέληξε στην απόλυτη δυστυχία. Παρόμοια και το δίλημμα του κρατούμενου, ενθουσίασε και ενέπνευσε πολλούς κοινωνιολόγους να επιχειρηματολογήσουν εναντίον της ατομικής επιδίωξης, να ηθικολογήσουν, αλλά και να ρίξουν φως στις πάμπολλες καταστάσεις όπου το κοινωνικό αποτέλεσμα των ατομικών μας επιδιώξεων αποδεικνύεται κατώτερο των προσδοκιών μας (Βαρουφάκης, 2011). Αυτό το παράδειγμα παρουσιάστηκε στο Πανεπιστήμιο του Στάφορντ σε ένα σεμινάριο και από τότε έμεινε στην ιστορία κάνοντας τη θεωρία των παιγνίων γνωστή σε όλες τις κοινωνικές επιστήμες, ενώ πολλοί μελετητές έχουν ασχοληθεί με αυτό, γράφοντας διάφορα βιβλία (Βλαχοπουλου, 2010) Είναι με βεβαιότητα το πιο ευρέως διαδεδομένο και αναλυμένο παράδειγμα της θεωρίας των παιγνίων (Παπαδόπουλος, 2011) και έχει ως εξής: Δύο ληστές, ο Bob και o Al, συλλαμβάνονται κοντά στο σημείο που έγινε μια ληστεία αλλά η αστυνομία δεν έχει αρκετές πληροφορίες για να τους καταδικάσει. Τους βάζουν σε ξεχωριστούς χώρους και ο ανακριτής προσφέρει και στους δύο - χωρίς οι ύποπτοι να το γνωρίζουν- μια παρόμοια συμφωνία: αν και οι δύο παραμείνουν σιωπηλοί, θα καταδικαστούν για παράνομη οπλοκατοχή, μόνο με ένα μήνα φυλάκιση. 37

αν και οι δύο ομολογήσουν και παραδεχτούν την ενοχή τους, θα φυλακιστούν για δέκα χρόνια. αν ομολογήσει μόνο ο ένας θα αφεθεί ελεύθερος και, αυτός που δεν ομολογεί θα καταδικαστεί με 20 χρόνια φυλάκιση με τις μέγιστες κατηγορίες. Πως λοιπόν λύνεται αυτό το παίγνιο; Ποιες στρατηγικές είναι ορθολογικές ώστε και οι δύο παίκτες να ελαχιστοποιήσουν τον χρόνο παραμονής στη φυλακή; Ο Αλ λοιπόν θα σκεφτεί τα εξής : Δύο πράγματα μπορούν να συμβούν: είτε ο Bob θα ομολογήσει είτε όχι. Τότε εγώ αν δεν ομολογήσω θα μπω στη φυλακή για είκοσι χρόνια, αλλά αν ομολογήσω θα μπω φυλακή για δέκα. Οπότε το καλύτερο που έχω να κάνω είναι να ομολογήσω. Αν όμως ο Bob δεν ομολογήσει, τότε εάν και εγώ δεν ομολογήσω φυλακίζομαι μόνο για 1 μήνα: εάν όμως ομολογήσω θα αφεθώ ελεύθερος. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση είναι καλύτερα να ομολογήσω. Όμοια ο Bob πιθανότατα να πράξει τον ίδιο συλλογισμό, οπότε και οι δύο καταλήγουν να ομολογήσουν και να καταδικαστούν σε δεκαετή φυλάκιση έκαστος. Σ αυτό το παιχνίδι η κυρίαρχη στρατηγική είναι η στρατηγική ομολογώ. Ο κρατούμενος Α παραμένει σιωπηλός Ο κρατούμενος Β Ο κρατούμενος Β Παραμένει σιωπηλός καταθέτει (-1,-1 ) ( -2 0,0 ) Ο κρατούμενος Α (0,- 2 0 ) ( -1 0,-1 0 ) καταθέτει Πίνακας 4.1 πληρωμές του παιγνίου Prisoner s Dilemma 38

Οι στρατηγικές σε αυτή την περίπτωση είναι δύο, ομολογώ και δεν ομολογώ. Οι απολαβές είναι τα χρόνια φυλάκισης. Οι παίκτες είναι ο Bob και ο Al (Σεμκογλου, 2008). Με δεδομένο ότι δεν υπάρχει οποιαδήποτε επικοινωνία ή δυνατότητα συνεννόησης μεταξύ των δύο κρατουμένων, κάθε λογικός παίκτης αναμένεται να παίξει με βάση την αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική του. Το ίδιο όμως θα πράξει και ο αντίπαλός του και αυτό θα έχει ως συνέπεια την καταδίκη και των δύο σε δεκαετή φυλάκιση. Αυτή είναι και η μοναδική ισορροπία Νας. Μια άλλη περίπτωση είναι οι δυο κατάδικοι, να μην ομολογήσουν μόνο αν γνωρίζουν πως κανένας από τους δύο δε θα ομολογήσει. Αυτή η ισορροπία λέγεται υπό-παιγνιακή ισορροπία Νας και αφορά ειδική παράμετρο που δε γενικεύει τις αρχές της θεωρίας. Εικ.4.1,Σκίτσο «Το δίλημμα του φυλακισμένου» Το δίλημμα του φυλακισμένου αν και με μια πρώτη ματιά δεν έχει εφαρμογή στην καθημερινότητα, εν τούτοις μπορούμε να το διακρίνουμε παντού, σε όλα τα κοινωνικά φαινόμενα. 39

4.3 Δωρεάν λογισμικό λύσης παιγνίων Ένα πολύ απλό, εύχρηστο, διασκεδαστικό και κυρίως δωρεάν λογισμικό, είναι το Gambit. Μπορεί ο καθένας να το κατεβάσει από την διαδικτυακή διεύθυνση http://sourceforpe.net/proiects/pambit/. Είναι ένα πρακτικό πρόγραμμα λύσης της ισορροπίας Νας. Για παράδειγμα ας αποτυπώσουμε στην εφαρμογή το προηγούμενο παράδειγμα του διλήμματος του φυλακισμένου. Ο κρατούμενος Β Ο κρατούμενος Β Παραμένει σιωπηλός καταθέτει Ο κρατούμενος Α παραμένει σιωπηλός Ο κρατούμενος Α καταθέτει (-1,-1) (-20,0) (0,-20) (-10,-10) Πιν.4.2,Κανονική μορφή παιγνίου «Το δίλημμα του φυλακισμένου» Στην εφαρμογή Gambit θα καταχωρηθούν οι τιμές ωφέλειας ως παρακάτω: Εικ.4.2 Screenshot εφαρμογής Gambit 40

Κατόπιν θα αναζητήσουμε μέσω της σχετικής εντολής την ισορροπία Νας. Και προκύπτουν τα εξής, Εικ.4.3 Screenshot εφαρμογής Gambit Όπως φαίνεται και όπως δείξαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, η ισορροπία Νας βρίσκεται στην επιλογή να ομολογήσουν και οι δύο. 4.4 Διαταραγμένα παιχνίδια Διαταραγμένα παιχνίδια ή αλλιώς «τρέμουλο των χεριών», είναι τα παιχνίδια στα οποία οι παίκτες, δεν ελέγχουν 100% τις πράξεις τους. Είναι δηλαδή σαν το χέρι τους να τρέμει τη στιγμή της λήψης της απόφασης ή σαν να έχουν προσωρινά απολέσει τη λογική τους. Το αποτέλεσμα είναι παρόμοιο, την ύστατη στιγμή μπορεί να επιλέξουν μια κίνηση που δε θα είναι αυτή που σκόπευαν να επιλέξουν. Έτσι ακόμα και οι κυριαρχούμενες καθαρές στρατηγικές, την τελευταία στιγμή μπορεί να προκύψουν κατά λάθος. Οι ορθολογικά σκεπτόμενοι παίκτες, ενώ επιλέγουν τις στρατηγικές τους, την τελευταία στιγμή που πάνε να την υλοποιήσουν συμβαίνει το τρέμουλο των χεριών ή η προσωρινή απώλεια της λογικής και έτσι να επιλέξουν λάθος στρατηγική. Το συμπέρασμα αυτής της 41