- PDF Free Download

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "www.onlineclassroom.gr"

Έλλη Καραμήτσος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα πληρωμών που αφορά στην ομάδα Α. Β Β Β Α t 1 0 Α t 2-1 Α t 4 3 Όπου t>0. Ερώτημα 1 Εφαρμόστε το κριτήριο Minimax στον πίνακα πληρωμών. Υπάρχει σημείο ισορροπίας; Δηλ. εξετάστε αν υπάρχει τιμή του t που να οδηγεί σε ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές. (5 μονάδες) Η ομάδα Α εφαρμόζει τη στρατηγική maximin δηλαδή από τα ελάχιστα κάθε γραμμής επιλέγει το μέγιστο (maximum των minimum) ενώ η ομάδα Β επιλέγει minimax στρατηγική δηλαδή από τα μέγιστα κάθε στήλης επιλέγει το ελάχιστο (minimum των maximum). Β Β Β Ελάχιστα γραμμών maximin Α 0 Α t 1 0 -t Α t Α t 4 3-2t Μέγιστα στηλών t 4 3 To minimax του Β θα είναι είτε το t αν t<3 είτε το 3 αν t>3. Για να έχω σημείο ισορροπίας πρέπει η επιλογή του Α να είναι ίση με την επιλογή του Β κάτι που δεν συμβαίνει εδώ εφόσον t>0. Επομένως για να έχω ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές θα πρέπει t=0. 1

Ερώτημα 1 Εφαρμόστε το κριτήριο Minimax στον πίνακα πληρωμών. Υπάρχει σημείο ισορροπίας; Δηλ. εξετάστε αν υπάρχει τιμή του t που να οδηγεί σε ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές.

2 Ερώτημα 2 Να βρείτε τις υποδεέστερες στρατηγικές για t>0, να τις διαγράψετε και να γράψετε τον νέο Πίνακα πληρωμών που προκύπτει. (5 μονάδες) Η ισορροπία λοιπόν θα επέλθει από την εφαρμογή μικτών στρατηγικών, δηλαδή από συνδυαστικές κινήσεις δύο στρατηγικών από κάθε ομάδα. Συνεπώς θα πρέπει και οι δύο ομάδες να μείνουν στο παιχνίδι με δύο στρατηγικές κάθε μία. Αυτό θα γίνει διαγράφοντας από κάθε ομάδα τις τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές. Για την ομάδα Α υποδεέστερη στρατηγική είναι αυτή που δίνει μικρότερα ή ίσα ποσά σε σύγκριση με κάποια άλλη στρατηγική του Α ό,τι κι αν επιλέξει ο Β. Έτσι η ομάδα Α θα διαγράψει τη στρατηγική Α2 ως υποδεέστερη της Α1. ΟΜΑ ΔΑ Α Β Β Β Α t 1 0 Αντίθετα μεταξύ Α1 και Α3 δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική. ΟΜΑ ΔΑ Α Β Β Β Α t 2-1 Όπως όμοια μεταξύ Α1 και Α4 δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική. ΟΜΑ ΔΑ Α Β Β Β Α t 4 3 Επομένως από τον παίκτη Α διαγράφεται η στρατηγική Α2. 2

Συνεπώς θα πρέπει και οι δύο ομάδες να μείνουν στο παιχνίδι με δύο στρατηγικές κάθε μία. Αυτό θα γίνει διαγράφοντας από κάθε ομάδα τις τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές.

3 Για την ομάδα Β υποδεέστερη θεωρείται μία στρατηγική που συνεπάγεται μεγαλύτερα ή ίσα νούμερα έναντι μιας άλλης στρατηγικής ό,τι κι αν κάνει ο παίκτης Α Όσον αφορά την ομάδα Β μεταξύ Β1 και Β2 δεν διαγράφεται καμία στρατηγική λόγω αμφιβολιών στην περίπτωση άσκησης της στρατηγικής Α3 εκ μέρους του Α καθώς δεν γνωρίζουμε αν t>2. Β Β Α Α t 1 Α t 2 Α t 4 Μεταξύ των Β1 και Β3 δεν διαγράφεται καμία στρατηγική καθώς: Β Β Α t 0 Α t -1 Α t 3 Ωστόσο μεταξύ των Β2 και Β3 διαγράφεται η στρατηγική Β2 ως υποδεέστερη της Β3 Β Β Α Α Α Α Έτσι ο αρχικός πίνακας διαμορφώνεται ως εξής Β Β Α t -1 Α t 3 3

Β1 4-3-3 Β2 4-3-3 Α1 4-4-2 0 4 Α2 4-3-3 -t 1 Α3 4-2-2 t 2 Α4 4-2-4-2t 4 Μεταξύ των Β1 και Β3 δεν διαγράφεται καμία στρατηγική καθώς: Β1 4-3-3 Β3 5-3-2 Α2 4-3-3 -t 0 Α3 4-2-2 t -1 Α4 4-2-4-2t

4 Ερώτημα 3 Στον Πίνακα πληρωμών που προέκυψε από το προηγούμενο ερώτημα 2, να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική όταν t=1 για κάθε ομάδα καθώς και την αναμενόμενη διαφορά των γκολ κάτω από τις μικτές στρατηγικές ισορροπίας. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα. (15 μονάδες) Αν αντικαταστήσουμε την τιμή t με 1 (t = 1) ο πίνακας θα γίνει Β Β Α Α Η ομάδα Α θα διαγράψει ακόμα μία στρατηγική χρησιμοποιώντας τη γραφική επίλυση του παιγνίου 3 1 Α3 Κ 2 0 Α1 Α Β 1 Β 3 Η ομάδα Β η οποία έχει απομείνει με δύο μόνο στρατηγικές απεικονίζεται στις δύο στήλες και μέσα στο διάγραμμα απεικονίζονται οι στρατηγικές της αντίπαλης ομάδας. Η ομάδα Β καθορίζει τη στρατηγική που θα εφαρμοστεί προκειμένου να διαγραφεί μία ακόμα στρατηγική της ομάδας Α έτσι ώστε να μείνει και αυτή με δύο μόνο επιλογές. Εφόσον η ομάδα Β εφαρμόζει τη στρατηγική minimax, δηλαδή από τα μέγιστα επιλέγει το ελάχιστο, από την πάνω γραμμή του διαγράμματος θα επιλέξουμε το χαμηλότερο σημείο που είναι το σημείο Κ ως σημείο ισορροπίας. 4

(15 μονάδες) Αν αντικαταστήσουμε την τιμή t με 1 (t = 1) ο πίνακας θα γίνει Β1 4-4-2 Β3 5-3-2 Α3 4-2-2 1-1 Α4 4-2-4-2 3 Η ομάδα Α θα διαγράψει ακόμα μία στρατηγική χρησιμοποιώντας τη γραφική επίλυση

5 Από αυτό το σημείο Κ διέρχονται οι ευθείες Α1 και Α3 άρα η Α4 απορρίπτεται ως υποδεέστερη. Ο τελικός πίνακας λοιπόν θα είναι : Β Β Α Χ 0 2 Α Χ 1-1 Στη συνέχεια ορίζουμε x την πιθανότητα η ομάδα Α να εφαρμόσει τη στρατηγική Α1 και 1-x την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Α3. Έτσι προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις V(B1,A)= V(B3,A) => 0*x+1*(1-X) = 2*x 1*(1-x) Επομένως έχουμε 0 * x 1*(1 x) 2*x 1*(1 x) 1 x 2x 1+ x 1+1= 2x + x x 2 4x x 0,5 ή 50% Άρα υπάρχει 50% πιθανότητα, αν το παίγνιο επαναληφθεί n φορές, να εφαρμοστεί η στρατηγική Α1 και επίσης 50% (1-x) να εφαρμοστεί η στρατηγική Α3. 5

στρατηγική Α1 και 1-x την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Α3.

6 Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για την ομάδα Β όπου θα ορίσουμε y την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β1 και 1-y την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β3. Β Β % 75% Α Έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις: V(A1,B)=V(A2,B) => 0*y+2*(1-y) = 1*y-1*(1-y) Επομένως έχουμε 2 2y y 1 y 3 4y y =0,75 ή 75% Άρα υπάρχει 75% πιθανότητα, αν το παίγνιο επαναληφθεί n φορές, η ομάδα Β να εφαρμόσει τη στρατηγική Β1 και 25% (1-y) πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β3. Η τιμή του παιγνίου θα προκύψει αν αντικαταστήσουμε είτε το x σε μία από τις εξισώσεις του παίκτη Α είτε το y σε μία από τις εξισώσεις του παίκτη Β. Για επαλήθευση προτείνεται αντικατάσταση τόσο του x όσο και του y σε μία τουλάχιστον εξίσωση. Άρα η τιμή του παιγνίου θα προκύψει αν αντικαταστήσουμε x = 0,5 στην V(B1,A) =1 x 1 0,5 0,5 Για επαλήθευση αντικαθιστούμε y = 0,75 στην V(A1,B) =2 2y 2 1,5 0,5 Η τιμή του παιγνίου αναφέρεται στην ομάδα Α και σημαίνει ότι οι δύο ομάδες θα έχουν αναμενόμενη διαφορά 0,5 τέρματα υπέρ της Α. info@onlineclassroom.gr 6

παίγνιο επαναληφθεί n φορές, η ομάδα Β να εφαρμόσει τη στρατηγική Β1 και 25% (1-y) πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β3.

Σχετικά έγγραφα

ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες