Α2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις επιχειρήσεις παράγουν ένα οµοιογενές αγαθό του οποίου η (αντίστροφη) καµπύλη ζήτησης δίνεται από p=120 (q 1 +q 2 +q 3 ), όπου q ι παριστάνει την ποσότητα που παράγει η επιχείρηση ι=1, 2, 3. Κάθε επιχείρηση παράγει µε οριακό κόστος ίσο µε 20 (το σταθερό κόστος είναι µηδέν). Οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται εκλέγοντας ταυτόχρονα την ποσότητα τους. (α) Ποια είναι η ισορροπία Cournot-Nash στον κλάδο; Ποια είναι τα κέρδη κάθε επιχείρησης στην ισορροπία αυτή; (β) Έχουν κίνητρο δύο οποιεσδήποτε επιχειρήσεις να συγχωνευθούν και να δρουν ως µια επιχείρηση οπότε φυσικά ο κλάδος θα µετατραπεί σε δυοπώλιο; ικαιολογήσατε την απάντηση σας. 2. Ένας πωλητής και ένας αγοραστής µε την αγοραπωλησία µπορεί να δηµιουργήσουν ένα πλεόνασµα ίσο µε 1. Η διαπραγµάτευση που κάνουν για να µοιράσουν το πλεόνασµα έχει ως ακολούθως. Ο αγοραστής κάνει µια προσφορά, την οποία αποδέχεται ή απορρίπτει ο πωλητής. Αν την αποδεχτεί, οι δύο παίκτες µοιράζονται το πλεόνασµα σύµφωνα µε την προσφορά του αγοραστή. Αν την απορρίψει, τότε ο πωλητής κάνει µια αντιπροσφορά που ο αγοραστής µπορεί να αποδεχτεί η να απορρίψει. Αν η προσφορά απορριφθεί, η αγοραπωλησία ναυαγεί και έτσι οι παίκτες κερδίζουν µηδέν. ιαφορετικά, το πλεόνασµα διαµοιράζεται σύµφωνα µε την προσφορά του πωλητή. Υποθέσατε ότι οι δύο παίκτες έχουν τον ίδιο συντελεστή προεξόφλησης δ, 0 < δ < 0.5. (α) Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική µορφή (µορφή δένδρου). είξατε ότι η διαπραγµάτευση αυτή έχει άπειρες ισορροπίες κατά Nash. Σχολιάστε γιατί υπάρχουν τόσες πολλές ισορροπίες κατά Nash. (β) Προσδιορίστε την µοναδική τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων της διαπραγµάτευσης αυτής; Ποιο είναι το αποτέλεσµα της ισορροπίας αυτής, πότε επιτυγχάνεται και ποιος από τους δύο παίκτες έχει πλεονέκτηµα και γιατί; 3. ύο άτοµα, ο Α και ο Β, µοιράζονται ένα διαµέρισµα όπου καθένας έχει το δικό του δωµάτιο. Όσον αφορά την διακόσµηση του διαµερίσµατος, κάθε ένας πρέπει να αποφασίσει µε ποιο τρόπο θα κατανείµει τους πίνακες ζωγραφικής που έχει στην κατοχή του. Πιο συγκεκριµένα, πόσους πίνακες να κρεµάσει στο δωµάτιο του και πόσους στο σαλόνι. Υποθέσατε ότι ο καθένας παίρνει ξεχωριστά την απόφαση του, οι πίνακες τοποθετούνται ανάλογα και κατόπιν δεν µπορούν να ξεκρεµαστούν. Έστω X A και X B ο αριθµός των πινάκων που τα άτοµα Α και Β αποφασίζουν να κρεµάσουν στο δωµάτιο τους (οπότε Χ S είναι ο αριθµός των πινάκων που µένουν για το σαλόνι). Η συνάρτηση χρησιµότητας του Α είναι U A (X A,X S )=X A (3+2X S ) και του Β είναι U Β (X Β,X S )=X Β (3+2X S ). (α) Ποιες είναι οι στρατηγικές καθενός από τα δύο άτοµα; Παραστήσατε το παίγνιο σε µορφή µήτρας. (β) Προσδιορίσατε τη µοναδική ισορροπία κατά Nash. Είναι το αποτέλεσµα αυτό καλό για τα δύο άτοµα; 4. (α) Βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash του ακόλουθου παιγνίου. Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0 (β) Προσδιορίσατε τουλάχιστον δύο συνδυασµούς στρατηγικών που οδηγούν σε µεγαλύτερα κέρδη από τα κέρδη που επιτυγχάνουν οι παίκτες στις παραπάνω ισορροπίες. Εξηγήσατε εν συντοµία πώς οι δύο παίκτες θα µπορούσαν να συντονιστούν και έτσι να πετύχουν τα µεγαλύτερα αυτά κέρδη αν το παίγνιο επαναλαµβανότανε άπειρες φορές.

2 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Τελική Εξέταση: 8/06/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Η καµπύλη ζήτησης ενός αγαθού είναι, P(Q) = 160 Q. Το τρέχον οριακό κόστος παραγωγής είναι ίσο µε 40. Στην αγορά είναι διαθέσιµη µία νέα τεχνολογία που µειώνει το οριακό κόστος παραγωγής από 40 σε 10. Στην αγορά λειτουργεί µια επιχείρηση µε την τρέχουσα τεχνολογία. Αν η επιχείρηση αυτή αποφασίσει να υιοθετήσει την νέα τεχνολογία θα πρέπει να πληρώσει Μια άλλη επιχείρηση που διαθέτει ήδη την νέα τεχνολογία σκέφτεται να εισέλθει ή όχι στον κλάδο. Το κόστος εισόδου είναι ίσο µε Αν αποφασίσει να εισέλθει στον κλάδο η νέα επιχείρηση, οι δύο επιχειρήσεις θα ανταγωνίζονται επιλέγοντας ταυτόχρονα τις ποσότητες τους (ανταγωνισµός a la Cournot). (a) Βρείτε την ισορροπία Cournot-Nash, ως και τα καθαρά κέρδη των δύο επιχειρήσεων στην ισορροπία αυτή, (ι) στην περίπτωση που η υπάρχουσα επιχείρηση δεν υιοθετήσει την νέα τεχνολογία και (ιι) στην περίπτωση που την υιοθετήσει. Είναι και στις δύο περιπτώσεις κερδοφόρα η είσοδος της νέας επιχείρησης στον κλάδο; (b) Ας υποθέσοµε τώρα ότι πρώτα αποφασίζει η εγκατεστηµένη στον κλάδο επιχείρηση αν θα υιοθετήσει ή όχι την νέα τεχνολογία. Κατόπιν η ενδιαφερόµενη να εισέλθει στον κλάδο επιχείρηση, αφού παρατηρήσει την ενέργεια της αντιπάλου της, αποφασίζει να εισέλθει ή όχι στον κλάδο. Βρείτε την τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Θα υιοθετήσει ή όχι την νέα τεχνολογία η ήδη υπάρχουσα επιχείρηση; Θα εισέλθει ή όχι στον κλάδο η νέα επιχείρηση; Θα διέφερε το αποτέλεσµα αν η υπάρχουσα επιχείρηση δεν αντιµετώπιζε τον κίνδυνο να εισέλθει η νέα επιχείρηση στον κλάδο; 2. Ένας πωλητής και ένας αγοραστής µε την αγοραπωλησία µπορεί να δηµιουργήσουν ένα πλεόνασµα ίσο µε 100. Η διαπραγµάτευση που κάνουν για να µοιράσουν το πλεόνασµα έχει ως ακολούθως. Ο πωλητής κάνει µια προσφορά, την οποία αποδέχεται ή απορρίπτει ο αγοραστής. Αν την αποδεχτεί, οι δύο παίκτες µοιράζονται το πλεόνασµα σύµφωνα µε την προσφορά του πωλητή. Αν την απορρίψει, τότε ο αγοραστής κάνει µια αντιπροσφορά που ο πωλητής µπορεί να αποδεχτεί η να απορρίψει. Αν η προσφορά απορριφθεί, η αγοραπωλησία ναυαγεί και έτσι οι παίκτες κερδίζουν µηδέν. ιαφορετικά, το πλεόνασµα διαµοιράζεται σύµφωνα µε την προσφορά του αγοραστή. Υποθέσατε ότι οι δύο παίκτες έχουν τον ίδιο συντελεστή προεξόφλησης δ, 0.5<δ 1. (a) Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική µορφή (µορφή δένδρου). Βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash της διαπραγµάτευσης αυτής. Τι παρατηρείτε; (b) Ποια είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων της διαπραγµάτευσης αυτής; Ποιο είναι το αποτέλεσµα της ισορροπίας, πότε επιτυγχάνεται και ποιος από τους δύο παίκτες έχει πλεονέκτηµα; Αν δ=1, θα άλλαζε το αποτέλεσµα αν κάθε παίκτης είχε την δυνατότητα να κάνει 10 προσφορές, µε τον πωλητή να κάνει πάλι την προσφορά πρώτος; 3. Ένας πελάτης επισκέπτεται ένα καλό εστιατόριο όπου αναλαµβάνει να τον εξυπηρετήσει ένα από τα γκαρσόνια. Το γκαρσόνι πρέπει να αποφασίσει αν παρέχει καλή ή κακή εξυπηρέτηση. Το κόστος ευκαιρίας της καλής εξυπηρέτησης είναι ίσο µε 100 δρχ., ενώ της κακής εξυπηρέτησης είναι µηδενικό. Ο πελάτης, αφού παρατηρήσει αν του προσφέρθηκε καλή ή κακή εξυπηρέτηση, αποφασίζει αν θα αφήσει ή όχι φιλοδώρηµα. Υποθέσατε ότι τα µόνα φιλοδωρήµατα που επιτρέπονται είναι 200 δρχ. ή 0 (τίποτα). Ο πελάτης εκτιµά την καλή εξυπηρέτηση σε 600 δρχ., και την κακή εξυπηρέτηση σε 0. (a) (b) Παραστήσατε το παίγνιο σε µορφή δένδρου (αναλυτική) και µήτρας (στρατηγική). Προσδιορίσατε τις ισορροπίες κατά Nash στην στρατηγική µορφή του παιγνίου αυτού και τις τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων στην αναλυτική µορφή του. Είναι οι ισορροπίες αυτές βέλτιστες κατά Pareto; 4. (α) Βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash του ακόλουθου παιγνίου. Α1 10,0 5,2 10,-2 9,20 Β1 2,1-2,9 0,2 0,7 Γ1 15,-3 14,3 7,1 8,12 1 1,2 0,5 3,0-1,0 (β) Προσδιορίσατε τουλάχιστον δύο συνδυασµούς στρατηγικών που οδηγούν σε µεγαλύτερα κέρδη από τα κέρδη που επιτυγχάνουν οι παίκτες στις παραπάνω ισορροπίες. Εξηγήσατε εν συντοµία πώς οι δύο παίκτες θα µπορούσαν να συντονιστούν και έτσι να πετύχουν τα µεγαλύτερα αυτά κέρδη αν το παίγνιο επαναλαµβανότανε άπειρες φορές.

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΟΙΚ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Τελική Εξέταση: 22/5/2002 Απαντήστε σε όλα τα θέµατα. Όλα τα θέµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Η καµπύλη ζήτησης ενός αγαθού είναι P(Q) = 160 Q. Το οριακό κόστος παραγωγής του µε την τρέχουσα τεχνολογία είναι ίσο µε 40. Στην αγορά είναι διαθέσιµη µία νέα τεχνολογία που µειώνει το οριακό κόστος παραγωγής από 40 σε 10. Στην αγορά λειτουργεί ήδη µια επιχείρηση µε την τρέχουσα τεχνολογία. Αν η επιχείρηση αυτή αποφασίσει να υιοθετήσει την νέα τεχνολογία θα πρέπει να πληρώσει Μια άλλη επιχείρηση που διαθέτει ήδη την νέα τεχνολογία σκέφτεται να εισέλθει ή όχι στον κλάδο. Το κόστος εισόδου είναι ίσο µε Αν αποφασίσει να εισέλθει στον κλάδο η νέα επιχείρηση, οι δύο επιχειρήσεις θα ανταγωνίζονται επιλέγοντας ταυτόχρονα τις ποσότητες τους (ανταγωνισµός a la Cournot). (α) Βρείτε την ισορροπία Cournot-Nash, ως και τα καθαρά κέρδη των δύο επιχειρήσεων στην ισορροπία αυτή, (ι) στην περίπτωση που η υπάρχουσα επιχείρηση δεν υιοθετήσει την νέα τεχνολογία και (ιι) στην περίπτωση που την υιοθετήσει. Είναι και στις δύο περιπτώσεις κερδοφόρα η είσοδος της νέας επιχείρησης στον κλάδο; (β) Ας υποθέσοµε τώρα ότι πρώτα αποφασίζει η εγκατεστηµένη στον κλάδο επιχείρηση αν θα υιοθετήσει ή όχι την νέα τεχνολογία. Κατόπιν η ενδιαφερόµενη να εισέλθει στον κλάδο επιχείρηση, αφού παρατηρήσει την ενέργεια της αντιπάλου της, αποφασίζει να εισέλθει ή όχι στον κλάδο. Βρείτε την τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Θα υιοθετήσει ή όχι την νέα τεχνολογία η ήδη υπάρχουσα επιχείρηση; Θα εισέλθει ή όχι στον κλάδο η νέα επιχείρηση; Θα διέφερε το αποτέλεσµα αν η υπάρχουσα επιχείρηση δεν αντιµετώπιζε τον κίνδυνο να εισέλθει η νέα επιχείρηση στον κλάδο; 2. Ένας πωλητής και ένας αγοραστής µε την αγοραπωλησία δηµιουργούν ένα πλεόνασµα ίσο µε 100. Η διαπραγµάτευση που κάνουν για να µοιράσουν το πλεόνασµα έχει ως ακολούθως. Ο πωλητής κάνει µια προσφορά, την οποία αποδέχεται ή απορρίπτει ο αγοραστής. Αν την αποδεχτεί, οι δύο παίκτες µοιράζονται το πλεόνασµα σύµφωνα µε την προσφορά του πωλητή. Αν την απορρίψει, τότε ο αγοραστής κάνει µια αντιπροσφορά που ο πωλητής µπορεί να αποδεχτεί η να απορρίψει. Αν η προσφορά απορριφθεί, ένας µεσολαβητής µοιράζει εξ ίσου το πλεόνασµα την επόµενη περίοδο στους δύο παίκτες. ιαφορετικά, το πλεόνασµα µοιράζεται σύµφωνα µε την προσφορά του αγοραστή. Υποθέσατε ότι οι δύο παίκτες έχουν τον ίδιο συντελεστή προεξόφλησης δ, δ=0.9. (α) Παραστήσατε το παίγνιο σε αναλυτική µορφή (µορφή δένδρου) και αναφέρατε πόσες ισορροπίες κατά Nash έχει η διαπραγµάτευση αυτή. (β) Ποια είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων της διαπραγµάτευσης αυτής; Ποιο είναι το αποτέλεσµα της ισορροπίας, πότε επιτυγχάνεται και ποιος από τους δύο παίκτες έχει πλεονέκτηµα; (γ) Υποθέσατε τώρα ότι δεν υπάρχει µεσολαβητής και ότι η διαπραγµάτευση έχει δυνητικά άπειρο αριθµό προσφορών-αντιπροσφορών. Ποια είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων σε αυτή την περίπτωση; 3. Στον κλάδο υπάρχουν δύο επιχειρήσεις που παράγουν ένα οµογενές αγαθό και ανταγωνίζονται θέτοντας τις τιµές τους κάθε περίοδο. Υποθέσατε ότι η συνάρτηση ζήτησης δίνεται από D(p) = 10 p και ότι το οριακό κόστος παραγωγής κάθε επιχείρησης είναι ίσο µε 2 (και το σταθερό κόστος παραγωγής είναι µηδενικό). (α) Αν ο ανταγωνισµός στην αγορά λαµβάνει χώρα µόνο µια περίοδο, ποιες θα είναι οι τιµές και τα κέρδη των επιχειρήσεων; Σχολιάσατε. (β) Εξηγήσατε γιατί το αποτέλεσµα δεν θα άλλαζε αν οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονταν στην αγορά για 100 περιόδους. (γ) Αν ο κοινός συντελεστής προεξόφλησης των δύο επιχειρήσεων είναι ίσος µε δ = 0.9, εξηγήσατε πως οι δύο επιχειρήσεις θα επιτύχουν να συνεργαστούν και βρείτε τι κέρδη (σε όρους παρούσας αξίας) θα κάνουν στην τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Τι θα συνέβαινε αν δ =.4; Ποιος είναι ο ελάχιστος συντελεστής προεξόφλησης που επιτρέπει την σιωπηρή συνέργια των δύο ανταγωνιστών; Πως ο συντελεστής αυτός µεταβάλλεται όταν αυξάνεται ο αριθµός των ανταγωνιστών στην αγορά; Σχολιάσατε.

4 4. Στο παρακάτω παίγνιο στρατηγικής µορφής, ποιες είναι οι στρατηγικές που επιβιώνουν µετά από την διαδοχική απαλοιφή των αυστηρά κυριαρχούµενων στρατηγικών; Ποιες είναι οι ισορροπίες κατά Nash; L C R T 2, 0 1, 1 4, 2 M 3, 4 1, 2 2, 3 B 1, 3 0, 2 3, 0 5. ύο άτοµα παίζουν ένα παίγνιο ταιριάσµατος (matching) αριθµών. Καθένας επιλέγει µεταξύ 1, 2 ή 3. Αν οι επιλεγµένοι αριθµοί είναι οι ίδιοι, τότε ο παίκτης 2 πληρώνει στον παίκτη 1 τρεις λίρες. Αν διαφέρουν µεταξύ τους, τότε ο παίκτης 1 πληρώνει στον παίκτη 2 µια λίρα. (α) Προσδιορίσατε την στρατηγική µορφή του παιγνίου αυτού και δείξατε ότι δεν έχει καµία ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές. (β) Βρείτε την ισορροπία κατά Nash σε µικτές στρατηγικές και τα αναµενόµενα κέρδη κάθε παίκτη στην ισορροπία αυτή.

5 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΟΙΚ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Ενδιάµεση Εξέταση: 11/4/2002 Απαντήστε σε όλα τα θέµατα. Όλα τα θέµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Ένας πελάτης επισκέπτεται ένα καλό εστιατόριο όπου αναλαµβάνει να τον εξυπηρετήσει ένα από τα γκαρσόνια. Το γκαρσόνι πρέπει να αποφασίσει αν παρέχει καλή ή κακή εξυπηρέτηση. Το κόστος ευκαιρίας της καλής εξυπηρέτησης είναι ίσο µε 1 λίρα, ενώ της κακής εξυπηρέτησης είναι µηδενικό. Ο πελάτης, αφού παρατηρήσει αν του προσφέρθηκε καλή ή κακή εξυπηρέτηση, αποφασίζει αν θα αφήσει ή όχι φιλοδώρηµα. Υποθέσατε ότι τα µόνα φιλοδωρήµατα που επιτρέπονται είναι 2 λίρες ή 0 (τίποτα). Ο πελάτης εκτιµά την καλή εξυπηρέτηση σε 6 λίρες και την κακή εξυπηρέτηση σε 0. (α) Παραστήσατε το παίγνιο σε µορφή δένδρου (αναλυτική) και µήτρας (στρατηγική). (β) Προσδιορίσατε τις ισορροπίες κατά Nash στην στρατηγική µορφή του παιγνίου αυτού και τις τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων στην αναλυτική µορφή του. Είναι οι ισορροπίες αυτές βέλτιστες κατά Pareto; (γ) Θα άλλαζε η ισορροπία αν οι δύο παίκτες αποφάσιζαν ταυτόχρονα την στρατηγική τους; ικαιολογήσατε την απάντηση σας. 2 (α) Βρείτε όλες τις ισορροπίες κατά Nash του ακόλουθου παιγνίου. Ποιο θα είναι το αποτέλεσµα κάθε ισορροπίας; Α1 1,0-5,-2-1,-2-2,-1 Β1 2,1-2,0 0,2 0,0 Γ1 0,5-1,3 2,1 0,4 1 1,2 0,1 3,0 1,0 (β) Προσδιορίσατε πιθανούς συνδυασµούς στρατηγικών που οδηγούν σε µεγαλύτερα συνολικά κέρδη από τα κέρδη που επιτυγχάνουν οι παίκτες στις παραπάνω ισορροπίες. Εξηγήσατε γιατί δεν ακολουθούν αυτές τις στρατηγικές οι παίκτες. 3. υο επιχειρήσεις, η 1 και η 2, που λειτουργούν στον ίδιο κλάδο και παράγουν οµογενή προϊόντα αποφασίζουν ταυτόχρονα την ποσότητα που θα παράγουν για την παρούσα περίοδο. Γνωρίζουν ότι το κόστος παραγωγής τους είναι C(q ι )=1 + q i, ι=1, 2, και ότι η καµπύλη ζήτησης του προϊόντος είναι P(q 1 +q 2 )=16 (q 1 +q 2 ). (α) Ποιες είναι οι στρατηγικές κάθε επιχείρησης και τα κέρδη τους για κάθε ζευγάρι στρατηγικών; Βρείτε τις καµπύλες αντίδρασης αν κάθε επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της. Προσδιορίσατε την ισορροπία κατά Nash και τα κέρδη των επιχειρήσεων στην ισορροπία. (β) Ποια θα ήταν η ισορροπία κατά Nash αν οι επιχειρήσεις αποφάσιζαν ταυτόχρονα τις τιµές τους; (γ) Ποιο θα ήταν το αποτέλεσµα στην αγορά (τιµή, ποσότητες παραγωγής και κέρδη) αν οι δύο επιχειρήσεις υπέγραφαν συµβόλαιο συνεργασίας µεταξύ τους; Υποθέσατε ότι στην περίπτωση αυτή οι επιχειρήσεις µοιράζονται τα κέρδη µεταξύ τους.