3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

Transcript

1 Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα υποπαίγνια έχουµε: 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Σκεφτείτε ότι το Α υποπαίγνιο έχει την µορφή της µάχης των δύο φύλων. ηλαδή ότι έχει δύο ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές και µια ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. Άρα, στο Α υπάρχουν 3 ισορροπίες. Και το υποπαίγνιο Β, έχει µια παρόµοια δοµή. Και θέλουµε τώρα να ορίσουµε τις τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων. Ας πούµε ότι υπάρχει µια συγκεκριµένη απόφαση του Ι, η οποία δεδοµένης της συγκεκριµένης συνέχειας του παιγνίου είναι βέλτιστη. ηλαδή δεν υπάρχει αδιαφορία µεταξύ των δύο. 159

2 Πως θα βρούµε τις τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων; Προφανώς πρέπει να συνδυάσουµε όλες τις ισορροπίες των υποπαιγνίων και να βρούµε την συνολική ισορροπία. ηλαδή, θα πάρουµε την πρώτη ισορροπία από το Α και θα την συνδυάσουµε µε την πρώτη, την δεύτερη και τρίτη ισορροπία από το Β. Άρα συνολικά υπάρχουν 9 ισορροπίες υποπαιγνίων. Πως θα διαλέξουµε µεταξύ αυτών των 9 ισορροπιών; εν µπορεί να µας δώσει απάντηση η θεωρία παιγνίων. Μπαίνουν κοινωνικές απαντήσεις. Αυτά, για να κλείσουµε το θέµα του ορισµού και των παραδειγµάτων της τέλειας ισορροπίας υποπαιγνίων. Θα δώσουµε επίσης ένα παράδειγµα το οποίο είναι ΚΡΙΤΙΚΗ της τέλειας ισορροπίας υποπαιγνίων. ΚΡΙΤΙΚΗ: ΣΑΡΑΝΤΑΠΟ ΑΡΟΥΣΑ ΤΟΥ Rosenberg Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα φιλάνθρωπο ο οποίος διαθέτει ένα µεγάλο ποσό, Καλεί τους πρυτάνεις δύο πανεπιστηµίων και τους λέει: θα σας δώσω αυτά τα λεφτά, αλλά θα σας τα µοιράσω µε τον εξής τρόπο. Κάνει µια προσφορά µιας λίρας στον πρύτανη του πανεπιστηµίου Α. Αν την δεχθεί την προσφορά τελειώνει το παιγνίδι εκεί: παίρνει ο πρύτανης του Πανεπιστηµίου Α την 1 και άλλος παίρνει µηδέν. Αν δεν την δεχθεί την προσφορά, ο φιλάνθρωπος κάνει µια προσφορά στον πρύτανη του πανεπιστηµίου Β για 10. Αν την δεχτεί ο Πρύτανης του Πανεπιστηµίου Β τελειώνει το παιχνίδι. Αν δεν την δεχτεί, ο φιλάνθρωπος κάνει µια προσφορά 100 στον Α. Σηµείωση: όποιος δεν πάρει προσφορά δεν παίρνει ούτε χρήµατα. Οπότε η ιστορία συνεχίζει µέχρι να φτάσει το ποσό στα Ποια είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; Ποιο είναι το αποτέλεσµα της τέλειας ισορροπίας υποπαιγνίων; Το (1, 0). Ο πρύτανης Α θα πάρει την 1 και θα φύγει. Γιατί συµβαίνει αυτό; Στο 160

3 ( ,0) ο Α θα δεχθεί την προσφορά. Πάµε πίσω ξέροντας ότι ο Α θα δεχθεί την προσφορά, είναι καλύτερο για τον Β να δεχθεί την προσφορά µια περίοδο πριν. Πάµε πίσω µε αυτή την λογική. Οπότε µε την ίδια λογική, κάθε πρύτανης ξέροντας ότι ο άλλος πρύτανης θα δεχθεί την προσφορά, δέχεται αµέσως την προσφορά. Με αποτέλεσµα, να συµβεί το γελοίο πράγµα όπου ο πρύτανης Α δέχεται 1 και να φεύγει. Αυτή είναι η µόνη τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Προφανώς είναι και κριτική της τέλειας ισορροπίας υποπαιγνίων. Το θέµα είναι κατά πόσον έχει νόηµα η ισορροπία (1, 0) και τι άλλο µπορούµε να βάλουµε µέσα σε αυτό το παίγνιο για να πάρουµε µια άλλη ισορροπία. Μια λογική είναι η εξής: κανείς δεν θα δεχθεί 1 ούτε 10 ούτε 100, διότι µόνο το ταξίδι να κάνουνε κοστίζει. Οπότε υπάρχει κάποιο ελάχιστο το οποίο καθένας από τους δύο πρυτάνεις θα έχει στο µυαλό του να δεχθεί ή όχι. Μπορεί για παράδειγµα να είναι Αλλά πάντως ότι και να κάνουµε, ακόµα και αν είναι το ελάχιστο που θα δεχθεί ο πρύτανης, αυτό που θα συµβεί είναι ότι ο πρύτανης ξέροντας ότι ο άλλος θα δεχθεί την επόµενη προσφορά θα την δεχθεί µια περίοδο προηγουµένως. υστυχώς, το παίγνιο αυτό δεν έχει µια λύση λογική. Αυτό το παίγνιο βέβαια έχει πολλές ισορροπίες κατά Nash, διότι αν πει κάποιος από τους δυο για ορισµένο αριθµό περιόδων απορρίπτω, απορρίπτω..., απορρίπτω, µπορούµε φτιάξουµε µια ισορροπία κατά Nash, έτσι ώστε να παίρνει ένας από τους δύο πρυτάνεις ένα ποσό λογικό. Οπότε µε το παράδειγµα βλέπουµε ότι και η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων δεν είναι πάντα τέλεια. Ορισµένες φορές βγάζει πράγµατα που δεν περιµέναµε να τα δούµε στην πραγµατικότητα. Αυτό δεν σηµαίνει ότι δεν πρέπει να την χρησιµοποιούµε. Απλώς ορισµένες φορές πρέπει να είµαστε λίγο προσεχτικοί για το κατά πόσον είναι λογική η χρήση της. Σηµείωση: Και συνεργασία να υπάρχει (συνεννόηση εκ των προτέρων) το µόνο που µπορεί να γίνει είναι να υπογράψουν συµβόλαιο µεταξύ τους και να µοιραστούνε το ποσό. Υπάρχουν λύσεις αλλά χρειάζεται η δυνατότητα να µπορούν να κάνουν µεταξύ τους commitment (δέσµευση). Το αποτέλεσµα (1, 0) δεν είναι Pareto efficient διότι και οι δύο θα µπορούσαν να πάρουν συνολικά ενώ θα πάρουν µόνο 1. Το παράδειγµα αυτό µας λέει ότι πρέπει να είµαστε προσεχτικοί: ορισµένες φορές πρέπει να δούµε και άλλα πράγµατα εκτός παιγνίου, τα οποία µπορούν να µας δώσουν µια καλύτερη ισορροπία. 161

4 ΙΑΠΡΑΓΜΑΤΕΥΣΕΙΣ (BARGAINING) Γενικά τι συµβαίνει στις διαπραγµατεύσεις; Υπάρχει κάποιο πλεόνασµα το οποίο προσπαθούν δύο άτοµα να µοιράσουν µεταξύ τους. Οι διαπραγµατεύσεις µεταξύ των συνδικάτων και των επιχειρήσεων είναι ένα καλό παράδειγµα. Η παραγωγική διαδικασία δηµιουργεί ένα πλεόνασµα. Αν η εργατική δύναµη δεν έχει καµιά δύναµη, το παίρνουν όλο το πλεόνασµα οι επιχειρηµατίες και καθόλου οι εργάτες. Αν έχουν όλη τη δύναµη οι εργάτες, το παίρνουν οι εργάτες το πλεόνασµα. Γενικά όµως υπάρχει ένας ανταγωνισµός για το ποιος θα πάρει περισσότερο πλεόνασµα. Πως λύνονται τα παίγνια αυτού του τύπου; Θα εξετάσουµε στην αρχή απλά παίγνια όπου το συνολικό πλεόνασµα είναι ίσο µε 1, αλλά αυτό δεν σηµαίνει ότι δεν µπορούµε να επεκτείνουµε την µεθοδολογία σε γενικότερα παίγνια όπου το πλεόνασµα εξαρτάται από διάφορες παραµέτρους. Υπάρχουν διάφοροι τύποι διαπραγµατεύσεων. Το πιο απλό µοντέλο διαπραγµατεύσεων δεν είναι ουσιαστικά µια διαπραγµάτευση, αλλά αυτό που γίνεται µε τα καταστήµατα: µπαίνει κάποιος σε κάποιο κατάστηµα. Βλέπει την τιµή του προϊόντος είτε το αγοράζει και πληρώνει την τιµή, είτε φεύγει. Αυτό λέγεται ΠΑΙΓΝΙΟ ΤΟΥ ULTIMATUM /TAKE-IT-OR-LEAVE-IT-OFFER. Tι σηµαίνει αυτό; Αυτό είναι ακριβώς ότι είπαµε. Όταν µπει κάποιος σε ένα κατάστηµα ο πωλητής του προσφέρει το προϊόν σε µια συγκεκριµένη τιµή και αυτός αποφασίζει αν θα το αγοράσει ή όχι. Ας πούµε ότι από αυτή την αγοραπωλησία προκύπτει ένα πλεόνασµα ίσο µε 1. Πως µπορούµε να παραστήσουµε το παίγνιο; Προφανώς, ο πωλητής µπορεί να κάνει µια οποιαδήποτε προσφορά µεταξύ 0 και 1. ιότι όταν το πλεόνασµα είναι 1, ο πωλητής µπορεί να θέλει όλο το πλεόνασµα, το µισό πλεόνασµα κ.ο.κ. Οπότε είµαστε ήδη σε άπειρες στρατηγικές. Ένας τρόπος να το παρουσιάσουµε αυτό σε δέντρο είναι να πούµε ο πωλητής κάνει µια προσφορά x, όπου 0 x 1, και ο αγοραστής είτε δέχεται (ΝΑΙ) είτε απορρίπτει. Αν δεν εχθεί και οι δύο θα πετύχουν µηδέν. εν γίνεται η αγοραπωλησία, δεν υπάρχει πλεόνασµα. Αν πει ναι ο αγοραστής θα πάρει x ο πωλητής και 1 x ο αγοραστής. Άρα µπορούµε να παραστήσουµε το παίγνιο στην απλή µορφή που βλέπουµε. Ποια είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; Ποια θα είναι η στρατηγική του αγοραστή; 162

5 Ποτέ θα αποδεχτεί και πότε θα απορρίπτει; Αγοραστής {Αποδέχοµαι x, 0 x 1} (1) Όταν x=1, ο αγοραστής είναι αδιάφορος. Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να πάρουµε µια απόφαση εµείς. Το λογικό είναι να πούµε ότι θα αποδεχτεί. Γιατί; Γιατί αλλιώς, αντί να του κάνει µια προσφορά 1, ο πωλητής θα του κάνει µια προσφορά 1 ε, ε>0 την οποία ο αγοραστής θα αποδεχτεί. Άρα στο όριο όπου το ε τείνει στο µηδέν, αποδέχεται την προσφορά. Οπότε η στρατηγική του αγοραστή σε όλα τα υποπαίγνια είναι η (1), όπου αποδέχεται όλα τα x. Άρα, όποιο και αν είναι το υποπαίγνιο (το υποπαίγνιο ορίζεται από το x, οπότε έχουµε άπειρα υποπαίγνια αφού έχουµε άπειρα x), η βέλτιστη στρατηγική του αγοραστή είναι αποδοχή. Το {Αποδέχοµαι x, 0 x 1} (1) είναι ένας τρόπος να γράψουµε την στρατηγική του αγοραστή σε όλα τα υποπαίγνια. Άρα δεδοµένου του (1), τι θα κάνει ο πωλητής; Θα πάρει x=1. Άρα η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων είναι: [x*=1, {Αποδέχοµαι x, 0 x 1}] Υπάρχει ένα version αυτού του παιγνίου, το οποίο είναι το διακριτό. Τι είναι το διακριτό; Η λογική είναι η εξής: το νόµισµα δεν υποδιαιρείται άπειρα, έχει µια ελάχιστη υποδιαίρεση που είναι το 1/100 της λίρας. Οπότε το x παίρνει τις τιµές 0, 1/100, 1/200,... µέχρι το 1. Αν είναι έτσι το παίγνιο, ποια θα είναι η ισορροπία; Θα έχει µια µόνο τέλεια κατά Nash ισορροπία; Όχι θα έχει 2: η µια η ίδια µε πριν και η άλλη θα λέει: [x*=1, {Αποδέχεται x, 0 x 1}] αποδέχεται x * = 0.99, απορρίπτει x 0,99 x = 1 Άρα, ο πωλητής θα θέσει x=0.99 αν το νόµισµα δεν διαιρείται. Όµως δεν αλλάζει τίποτα το ουσιαστικό από το x*=0,99 στο x*=1. Και αν το x* 1 αλλά x*=10000 θα έχουµε x*=9999,99. Άρα ουσιαστικά είναι το ίδιο πράγµα µε το να έχουµε την ισορροπία της αντίστοιχης συνεχούς µορφής του παιγνίου. 163

6 [x*=1, {Αποδέχεται x, 0 x 1}] Συνεχής µορφή. Οπότε ας συγκεντρωθούµε στη λύση του συνεχούς παιγνίου που είναι πιο λογική. Σε αυτό το παίγνιο πόσες ισορροπίες κατά Nash υπάρχουν; Το [x*=1, {Αποδέχοµαι x, 0 x 1}] είναι µια µοναδική τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων (Sub game perfect equilibrium (SBE)). Πόσες ισορροπίες κατά Nash υπάρχουν στο παίγνιο αυτό; Έχουµε άπειρες ισορροπίες κατά Nash. Τα πάντα είναι ισορροπία κατά Nash. Για παράδειγµα µια ισορροπία κατά Nash είναι: αποδέχεται X x* = 1/ 2, απορρίπτει X,,x 1/2 x f 1/2 Προφανώς σε µια ισορροπία κατά Nash, ο πρώτος θα κάνει µια προσφορά (π.χ. x=½). Πως θα φερθεί ο αγοραστής; Για να είναι το ½, η προσφορά που θα κάνει ο πωλητής, τι πρέπει να πει ο αγοραστής; Θα αποδέχεται για όλα τα x, έτσι ώστε x ½ και θα απορρίπτει για x > ½. Επαναλαµβάνουµε τη λογική: Μπαίνει ο αγοραστής στο µαγαζί. Το πλεόνασµα το ξέρει. Και λέει το προϊόν θα το αγοράσω µόνο αν έχω το µισό πλεόνασµα, αλλιώς δεν το αγοράζω. Απορρίπτει το x, αν x > ½. ηλαδή, αν το x > ½ το 1 x < ½ οπότε µένει ο αγοραστής µε µικρότερο πλεόνασµα του µισού. Αποδέχεται οποιοδήποτε x, αν το x του δίνει τουλάχιστον το µισό πλεόνασµα. Είναι µια απειλή που δεν είναι αξιόπιστη. Ισορροπίες κατά Nash x* = y, Αποδέχεται X,x y 1 0 y 1 Απορρίπτει X,x > y Άρα οτιδήποτε µπορεί να βγει σαν ισορροπία κατά Nash. Οποιαδήποτε αποτέλεσµα µπορεί να είναι ισορροπία κατά Nash. Εξαρτάται από το ότι θα κάνει ο αγοραστής. Ο αγοραστής µπορεί να είναι τρελός και να πει: εγώ δεν αγοράζω τίποτε αν δεν πάρω όλο το πλεόνασµα. Τι θα κάνει ο πωλητής; Θα του δώσει δωρεάν. εν είναι αξιόπιστη απειλή, γι αυτό και δεν είναι η τέλεια ισορροπία κατά Nash. Αλλά είναι ισορροπία κατά Nash, διότι δεδοµένου του τι κάνει ο αγοραστής (ο αγοραστής λέει ότι δεν παίρνει το προϊόν εκτός και αν έχει όλο το πλεόνασµα) το µόνο που µπορεί να κάνει ο πωλητής είναι να του το δώσει σε τιµή µηδέν. Αυτό που προκύπτει στα καταστήµατα είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash. ηλαδή, ο πωλητής βάζει ότι θέλει, έτσι ώστε να εξάγει όλο το πλεόνασµα και να αφήσει τον αγοραστή µε µηδέν. [x*=1, {Αποδέχοµαι x, 0 x 1}] Πρόκειται για την τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων όπου τα παίρνει όλα ο πωλητής. Στην ισορροπία κατά Nash ο,τιδήποτε µπορεί να συµβεί γιατί όλες οι απειλές θεωρούνται ότι είναι 164

7 αξιόπιστες. Όµως ξέρουµε ότι και οι ισορροπίες κατά Nash έχουν τα προβλήµατα τους δεν έχουν την διαχρονική συνέπεια. Αν οι απειλές του αγοραστή είναι αξιόπιστες, οποιοδήποτε µοίρασµα του πλεονάσµατος είναι µια ισορροπία κατά Nash. x* = y, Αποδέχοµαι x,x y 0 y 1 Απορρίπτω x,x > y Άρα έχουµε µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων και άπειρες κατά Nash. Σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ σηµαντικό να διαλέξουµε µεταξύ των ισορροπιών και η πιο λογική από τις ισορροπίες είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίου. Ποιος από τους δύο παίχτες έχει πλεονέκτηµα: Αυτός που κάνει την προσφορά ή αυτός που απαντά; Στο [x*=1, {Αποδέχοµαι x, 0 x 1}], ο πωλητής παίρνει όλο το πλεόνασµα και καθόλου ο αγοραστής. Άρα, αυτός που κάνει την προσφορά έχει πλεονέκτηµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Ας δούµε τώρα την εξής διαπραγµάτευση. Ο παίχτης Ι κάνει µια προσφορά x. Ο παίχτης ΙΙ είτε αποδέχεται την προσφορά, είτε απορρίπτει την προσφορά και κάνει µια αντιπροσφορά. Η αντιπροσφορά, ας πούµε ότι είναι y, όπου y είναι το µερίδιο που θα πάρει ο Ι. Πάλι το πλεόνασµα είναι ένα. Για παράδειγµα x=(30, 70) και y=(20, 80). Αν ο παίχτης I απορρίψει την προσφορά του ΙΙ θα πάρουν και οι δύο από µηδέν. Αν αποδεχθεί την αντιπροσφορά του Ι, ποιο θα είναι το αποτέλεσµα; Θα είναι [y, (1 y)], αν και µόνο αν ο χρόνος δεν παίζει πόλο. Αν δεν υπάρχει προεξόφληση. Όµως θεωρείται ότι αν κάνεις διαπραγµάτευση, 165

8 χάνεις χρόνο αν δεν συµφωνήσεις αµέσως. Οπότε υποθέτουµε ότι το δ είναι ο συντελεστής προεξόφλησης. Αν πάρουν τα χρήµατα τους αµέσως από την πρώτη περίοδο, τα χρήµατα (x, (1 x)) είναι σε σηµερινούς όρους. Αν περιµένουν ακόµα µια περίοδο, θα τα πάρουνε προεξοφληµένα. Ποια είναι η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; Προφανώς θα αρχίσουµε από το τέλος. Ποια είναι η απάντηση του παίχτη Ι στην προσφορά του ΙΙ; I: [Αποδέχοµαι y, 0 y 1] (*) Αυτή είναι η απάντηση Ι. εδοµένης της απάντησης αυτής τι θα κάνει ο ΙΙ; ΙΙ: y*=0 Τι θα συµβεί; Ποια θα είναι τα αποτελέσµατα; Επαναλαµβάνουµε: ο Ι αποδέχεται όλες τις προσφορές (*). Άρα τι προσφορά θα του κάνει ο ΙΙ; θα του δώσει y*=0. Όµως δεν σηµαίνει ότι το πλεόνασµα του ΙΙ θα είναι 1; ΟΧΙ, διότι το παίρνει αργότερα, χάνει λόγω του χρόνου. Ας δούµε τώρα τι θα γίνει µε τον ΙΙ. Τι θα δεχθεί και τι θα απορρίψει ο ΙΙ; Αποδέχοµαι X, 1- x δ ΙΙ: Απορρίπτω X, 1- x < δ Ι: x*=1-δ Ο ΙΙ περιµένοντας, έχει µια αξιόπιστη απειλή να επιβάλει αυτό που θέλει. Επιβάλλει αυτό που θέλει, αλλά χάνει επειδή υπάρχει προεξόφληση. Άρα το µόνο που µπορεί να κερδίσει ο Ι, είναι η διαφορά που προκύπτει από την προεξόφληση x*=1 δ. Αν για παράδειγµα δ=0.95 τότε το x*=0.05, που είναι πολύ µικρό. Το περισσότερο το παίρνει ο ΙΙ. Ας φτιάξουµε τώρα την τέλεια ισορροπία Υποπαιγνίων: Αποδέχοµαι X, 1- x δ { x* = 1 δ,( Αποδέχοµαιy,όπου 0 y 1)},, y* = Απορρίπτω X, 1- x p δ Στρατηγική Ι Στρατηγική ΙΙ 166

9 Αυτή είναι η τέλεια ισορροπία κατά Nash: προσδιορίζει για κάθε δυνατό δρόµο που θα πάρει το παίγνιο, µια επιλογή για κάθε ένα από τους παίχτες. Ας θυµηθούµε ότι οι στρατηγικές είναι ένα πλήρες σχέδιο. Σε αυτό το παίγνιο έχει πλεονέκτηµα αυτός που κάνει τελευταίος την προσφορά. Γενικά ισχύει ότι ο τελευταίος που κάνει προσφορά έχει το πλεονέκτηµα. Άρα βρήκαµε την τέλεια ισορροπία κατά Nash που µας δίνει το αποτέλεσµα (1 δ, δ). Βλέπουµε ότι όποιος κάνει τελευταίος την προσφορά κερδίζει το µεγαλύτερο µέρος του πλεονάσµατος. Αυτό προφανώς δεν είναι πολύ δίκαιο. Υπάρχει κανένας τρόπος να αλλάξουµε το αποτέλεσµα αυτό; Τι µπορεί να κάνουµε για να έχουν τις ίδιες δυνατότητες στην κοινωνία οι δύο παίχτες; Να ρίχνουµε ένα κέρµα. Οπότε για να κάνουµε πιο δίκαιο το αποτέλεσµα, µπορούµε να βάζουµε πρώτα την φύση /τύχη να επιλέγει το ποιος θα κάνει την πρώτη προσφορά, και µε αυτό τον τρόπο θα έχουµε τα εξής αποτελέσµατα: Η τύχη µε πιθανότητα ½ επιλέγει την πρώτη προσφορά να την κάνει ο Ι και µε πιθανότητα ½, να την κάνει ο ΙΙ την πρώτη προσφορά. Η συνέχεια του παιγνίου είναι ίδια µε πριν γι αυτό θα βάλουµε απευθείας τα αποτελέσµατα του παιγνίου (1 δ, δ) και (δ, 1 δ). Οπότε σε αναµενόµενους όρους έχουµε: Ι: 1 2 (1 δ)+ 1 2 δ=½ ΙΙ: 1 2 δ+ 1 2 (1 δ)=½ Βέβαια το αποτέλεσµα θα εξαρτηθεί από την επιλογή της τύχης. 167