ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3
|
|
- Δελφίνια Κρεστενίτης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις από την άλλη. Οι συνολικές πωλήσεις του προϊόντος είναι σχετικά σταθερές. Για κάθε επιχείρηση υπάρχουν τέσσερις δυνατότητες: 1) Βελτίωση προϊόντος, 2) Καλύτερη συσκευασία, 3) Αυξημένη διαφημιστική δαπάνη, 4) Μείωση τιμής. Το κόστος των τεσσάρων εναλλακτικών στρατηγικών είναι περίπου ίδιο. Η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α σε βάρος της Β, για κάθε συνδυασμό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Επιχείρηση Α Επιχείρηση B Β3 Β4 Α Α Α Α Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιμή του παιγνίου. ΑΣΚΗΣΗ 2 Μία Επιτροπή εργαζομένων (παίκτης Α) βρίσκεται σε διαπραγματεύσεις με τη Διοίκηση της εργοδότριας εταιρείας (παίκτης Β) για την κατάρτιση της νέας σύμβασης εργασίας. Κάθε ένας από τους δύο παίκτες, δύναται να ακολουθήσει μία, από τέσσερις διαθέσιμες στρατηγικές, ώστε να αποσπάσει μεγαλύτερο όφελος. Στην προκειμένη περίπτωση, η Επιτροπή προσπαθεί να εξασφαλίσει μεγαλύτερο ποσοστό αύξησης του βασικού μισθού, ενώ η Διοίκηση προσπαθεί, από τη δική της πλευρά, να παραχωρήσει μικρότερο ποσοστό. Στον πίνακα πληρωμών που ακολουθεί, βλέπετε για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς στρατηγικών των δύο παικτών, το όφελος για την Επιτροπή ως ποσοστιαία αύξηση του βασικού μισθού. Επιτροπή (Α) Διοίκηση (Β) Β3 Β4 Α Α Α Α Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. 2. Διαγράψτε όλες τις υποδεέστερες στρατηγικές, ώστε να μειώσετε όσο περισσότερο μπορείτε τις διαστάσεις του πίνακα πληρωμών. 3. Συνεχίζοντας από το προηγούμενο ερώτημα, προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε παίκτη και την τιμή του παιγνιδιού. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δύο εταιρείες πληροφορικής, έστω Α και Β, ανταγωνίζονται στον τομέα της μηχανοργάνωσης μεγάλων έργων και ειδικότερα στον τομέα της υγείας. Καθεμία έχει καταθέσει τις προτάσεις της σχετικά με την υλοποίηση ενός πληροφοριακού συστήματος ενός μεγάλου ιδιωτικού νοσοκομείου και το συνολικό κόστος που προτείνουν είναι περίπου το ίδιο. Η κατακύρωση του έργου από την πλευρά του πελάτη μπορεί να γίνει τμηματικά και στις δύο εταιρείες. Κάθε εταιρεία, στην προσπάθειά της να αποσπάσει μεγαλύτερο τμήμα του έργου, μέχρι την ανακοίνωση της τελικής απόφασης εφαρμόζει κάποια στρατηγική δίνοντας επιπλέον παροχές προς τον πελάτη, π.χ. δωρεάν 1
2 ετήσια εκπαίδευση, συμβόλαια συντήρησης χαμηλότερου κόστους, νέες εκδόσεις σε ανταγωνιστικές τιμές, προσωπικό υποστήριξης με δικά τους έξοδα κλπ. Η εταιρεία Α μπορεί να εφαρμόσει τρεις στρατηγικές ενώ η Β τέσσερις. Αν θεωρήσουμε όλο το έργο ως 100%, τότε το ποσοστό του έργου που κατακυρώνεται στην επιχείρηση Α για κάθε συνδυασμό στρατηγικών, δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Επιχείρηση Α Επιχείρηση Β Β3 Β4 Α Α Α Εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, χωρίς να διαγράψετε καμία υποδεέστερη στρατηγική, για να ελέγξετε αν υπάρχει σημείο ισορροπίας. 2. Διαγράψτε τις υποδεέστερες στρατηγικές και εφαρμόστε την κατάλληλη μεθοδολογία ώστε να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε επιχείρηση και το ποσοστό του έργου που θα αναλάβει κάθε εταιρεία. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε ένα παίγνιο μηδενικού αθροίσματος συμμετέχουν δύο παίκτες, έστω Α, Β. Ο κάθε παίκτης έχει στη διάθεση του 2 ευρώ και από αυτά μπορεί να ποντάρει 0, 1 ή και τα 2 ευρώ. Το κέρδος του κάθε παίκτη προκύπτει από το αποτέλεσμα της ρίψης ενός νομίσματος και από το ποσό που πόνταρε αυτός καθώς και ο αντίπαλος του. Συγκεκριμένα, αν το αποτέλεσμα της ρίψης του νομίσματος είναι «ΚΕΦΑΛΗ» τότε τα κέρδη/ζημιές του παίκτη Α προσδιορίζονται από τον Πίνακα 1, ενώ αν είναι «ΓΡΑΜΜΑΤΑ» από τον Πίνακα 2. Και στους δύο πίνακες οι στρατηγικές των παικτών Α και Β, όταν ποντάρουν 0, 1, 2 ευρώ συμβολίζονται με Α0, Α1, Α2, και Β0,, αντίστοιχα. Πίνακας 1:Κέρδος/ζημία του Α για «ΚΕΦΑΛΗ» (σε ευρώ) Β0 Α Α Α Πίνακας 2: Κέρδος/ζημία του Α για «ΓΡΑΜΜΑΤΑ» (σε ευρώ) Β0 Α Α Α Να κατασκευάσετε τον πίνακα πληρωμών (αποτελεσμάτων) για τον παίκτη Α, θεωρώντας ότι τα αποτελέσματα της ρίψης του νομίσματος είναι ισοπίθανα. 2. Με βάση τον πίνακα πληρωμών (αποτελεσμάτων) για τον παίκτη Α που κατασκευάσατε στο ερώτημα 1, να εφαρμόσετε αρχικά το κριτήριο minimax (χωρίς διαγραφή υποδεέστερων στρατηγικών) για να ελέγξετε αν υπάρχει ισορροπία. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας την κατάλληλη μεθοδολογία να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική κάθε παίκτη, καθώς και την τιμή του παιγνίου. 3. Ο παίκτης Α «νοθεύει» το παίγνιο αλλάζοντας το νόμισμα με ένα κάλπικο που έχει «ΚΕΦΑΛΗ» και στις δύο όψεις. Ευνοεί το νοθευμένο παίγνιο τον παίκτη Α; ΑΣΚΗΣΗ 5 Η κεντρική ταχυδρομική υπηρεσία συνεργάζεται με δύο εταιρείες ταχυμεταφορών για τις ειδικές μεταφορές μεταξύ των κυριοτέρων πόλεων της χώρας. Ας ονομάσουμε τις δύο αυτές εταιρείες Α και Β. Επί του παρόντος, 2
3 η εταιρεία Α κατέχει ένα μερίδιο 30% στη συνεργασία αυτή και η Β το υπόλοιπο 70%. Η ταχυδρομική υπηρεσία έχει προκηρύξει διαγωνισμό, από τα αποτελέσματα του οποίου θα προκύψει η συνεργασία για το επόμενο έτος. Οι εταιρεία Α θα κάνει μία προσφορά εκ τριών που συζητιούνται στο διοικητικό της συμβούλιο, ας τις ονομάσουμε τις προσφορές αυτές Α1, Α2 και Α3. Αντίστοιχα η εταιρεία Β έχει τρεις άλλες στρατηγικές στη διάθεσή της, τις, και Β3. Ανάλογα με την προσφορά που θα κάνουν οι δύο εταιρείες (πράγμα το οποίο γίνεται ταυτόχρονα με την κατάθεση κλειστών φακέλων χωρίς να γνωρίζουν οι αντίπαλοι την προσφορά που τελικά επέλεξε ο αντίπαλός τους πριν να ανοιχτούν οι φάκελοι) υπάρχουν τέσσερα πιθανά ενδεχόμενα: (α) Η εταιρεία Α κερδίζει το διαγωνισμό και την αποκλειστικότητα, οπότε ανεβάζει το ποσοστό της από 30% που κατέχει τώρα στο 100%. Το ποσοστό της εταιρείας Β εκμηδενίζεται. (β) Η εταιρεία Β κερδίζει το διαγωνισμό και ανεβάζει αυτή το ποσοστό της από 70% που έχει τώρα στο αποκλειστικό 100%. Το ποσοστό της εταιρείας Α εκμηδενίζεται. (γ) Ο διαγωνισμός κατακυρώνεται και στις δύο κατά το ήμισυ (ισοπαλία) οπότε ουσιαστικά η Α ανεβάζει το ποσοστό της στο 50% (από το 30% που είχε μέχρι τώρα) και η Β χάνει ένα τμήμα της αγοράς αφού πέφτει στο 50% (από το 70% που κατείχε. μέχρι τώρα). (δ) Τα ποσοστά για την επόμενη χρονιά αντιστρέφονται (δηλαδή η Α θα αναλαμβάνει το 70% των εργασιών και η Β το 30%). Στον επόμενο πίνακα βλέπετε το πιθανό αποτέλεσμα του διαγωνισμού ανάλογα με το συνδυασμό στρατηγικών που εφαρμόζει κάθε εταιρεία. Εταιρεία Β Προσφορά Προσφορά Προσφορά Β3 Εταιρεία Α Προσφορά Α1 ισοπαλία κερδίζει η Β κερδίζει η Α Προσφορά Α2 αντιστροφή ποσοστών κερδίζει η Α κερδίζει η Β Προσφορά Α3 ισοπαλία κερδίζει η Β κερδίζει η Β 1. Διαμορφώστε το παραπάνω πρόβλημα ως παίγνιο δύο παικτών, θεωρώντας κάθε μία εταιρεία ως παίκτη (εταιρεία Α = παίκτης Α και εταιρεία Β = παίκτης Β), κατασκευάζοντας τον πίνακα πληρωμών για τον παίκτη Α. 2. Προσδιορίστε την άριστη στρατηγική για κάθε πλευρά και την τιμή του παιγνιδιού. Ποιο είναι το φυσικό νόημα της άριστης στρατηγικής για κάθε παίκτη και της τιμής του παιγνίου; 3
4 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την μη ύπαρξη ισορροπίας. Πράγματι, το maximin σημείο των σειρών του παραπάνω πίνακα είναι η τιμή 2 στην τομή των στρατηγικών Α1 και, ενώ το minimax σημείο των στηλών είναι η τιμή 3 στην τομή των στρατηγικών Α1 και. Επομένως δεν υπάρχει ισορροπία (δεν υπάρχουν αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) οπότε θα καταφύγουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Έτσι, συνεχίζουμε την επίλυση με διαγραφή κατ αρχήν όσων περισσοτέρων υποδεέστερων στρατηγικών. Οι στρατηγικές Α2 και Α4 διαγράφονται επειδή είναι υποδεέστερες της Α1 (στην προκειμένη περίπτωση είναι υποδεέστερες και της Α3) και δεν εφαρμόζονται ποτέ από έναν ορθολογιστή παίκτη Α (δηλαδή έχουν μηδενική πιθανότητα εφαρμογής). Στη συνέχεια, μπορούν να διαγραφούν και οι στρατηγικές Β3 και Β4 διότι είναι τώρα υποδεέστερες της (αφού τα εναπομένοντα στοιχεία των στηλών τους είναι όλα μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα της ) και ο ορθολογιστής παίκτης Β δεν θα τις εφάρμοζε. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 2 2 και δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. y 1-y Α1 x 2 3 Α3 1-x 4 1 Αν τώρα, ονομάσουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, τότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α3. Ομοίως, έστω y η πιθανότητα ο Β να ακολουθήσει τη στρατηγική του, οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική του. Έτσι, για τον παίκτη Α έχουμε ότι V(A, B1) = 2x + 4(1-x) = -2x + 4 και V(A, B2) = 3x + 1(1-x) = 2x + 1. Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B2) έχουμε ότι: -2x + 4 = 2x + 1 δηλαδή 4x = 3 που δίνει x=0.75 άρα 1-x = Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B2) δηλαδή είναι V = = 2.5. Για τον παίκτη B, με όμοιο τρόπο, έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A3) απ όπου προκύπτει μετά τις πράξεις ότι y + 3 = 3y + 1 που δίνει y = 0.5 οπότε 1-y = 0.5. Ανακεφαλαιώνοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0.75, 0, 0.25, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0.5, 0.5, 0, 0 Τιμή του παιγνίου V = 2.5 (αναμενόμενο κέρδος στον παίκτη Α, ζημιά του παίκτη Β) 4
5 ΑΣΚΗΣΗ 2 Έχουμε ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, όπως βλέπουμε στον πίνακα παρακάτω, δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, το maximin σημείο του παίκτη Α των σειρών (της Επιτροπής) του παραπάνω πίνακα, είναι η τιμή 1 στην τομή των στρατηγικών Α1 - και Α1 - Β4 αλλά και στην τομή των στρατηγικών Α3 - Β3. Από την άλλη πλευρά, το minimax σημείο του παίκτη Β των στηλών (της Διοίκησης) είναι η τιμή 2 στην τομή δύο ζευγών, δηλαδή των στρατηγικών Α1 - Β3 και των στρατηγικών Α3 - Β4. Επομένως, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Β3 Β4 row min Α Α Α Α column max Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Η στρατηγική Α2 διαγράφεται ως υποδεέστερη της Α3. Η στρατηγική Α4 διαγράφεται επειδή είναι υποδεέστερη και της Α1 και της Α3. Στη συνέχεια, μπορεί να διαγραφεί η στρατηγική επειδή είναι υποδεέστερη όλων των υπολοίπων στρατηγικών του παίκτη Β. Τέλος, διαγράφεται η επειδή είναι υποδεέστερη της Β4. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 2 2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β3 y Β4 1-y Α1 x 2 1 Α3 1-x 1 2 Ας ονομάσουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, τότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α3. Ομοίως, έστω y η πιθανότητα ο Β να ακολουθήσει τη στρατηγική του Β3, οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Β4. Έτσι, για τον παίκτη Α έχουμε ότι η προσδοκώμενη τιμή, όταν ο Β εφαρμόζει την Β3, είναι V(A, B3) = 2x +1 (1-x) = x + 1 και όταν ο Β εφαρμόζει τη Β4 είναι V(A, B4) = 1 x + 2(1-x) = -x + 2. Επειδή πρέπει να ισχύει V(A, B3) = V(A, B4) είναι: x + 1 = -x + 2, δηλαδή 2x = 1 που δίνει x = 0,5 άρα 1-x = 0,5. Η τιμή του παιγνίου (το κέρδος του Α) βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων x και 1-x σε οποιοδήποτε από τα V(A, B3) ή V(A, B4) δηλαδή V = = = 1.5 είναι το προσδοκώμενο κέρδος του παίκτη Α. Για τον παίκτη B, με όμοιο τρόπο, έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A3), απ όπου προκύπτει μετά τις πράξεις ότι y + 1 = -y + 2, που δίνει y = 0.5 οπότε 1-y = 0.5. Άλλωστε, παρατηρήστε ότι ο παραπάνω πίνακας είναι συμμετρικός και όπως ήταν αναμενόμενο οι τιμές των πιθανοτήτων y και 1-y θα ήταν αντίστοιχες με αυτές των τιμών x και 1-x. Με αντικατάσταση των τιμών των πιθανοτήτων y και 1-y σε οποιαδήποτε από τις σχέσεις V(B, A1) ή V(B, A3), επαληθεύουμε ότι πράγματι η τιμή του παιγνίου (η ζημιά του Β) είναι V = 1.5, όσο δηλαδή το κέρδος του Α, κάτι που πρέπει να συμβαίνει αφού έχουμε παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Ανακεφαλαιώνοντας, το τελικό αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0.5, 0, 0.5, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0, 0, 0.5, 0.5) Τιμή του παιγνίου V = 1.5 (αναμενόμενο κέρδος για τον παίκτη Α, ζημιά του παίκτη Β) 5
6 ΑΣΚΗΣΗ 3 Έχουμε ένα παίγνιο δύο παικτών σταθερού αθροίσματος όπου το άθροισμα είναι το ποσοστό 100% το οποίο οι παίκτες μοιράζονται. Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα χωρίς διαγραφή υποδεέστερων στρατηγικών δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα: Β3 Β4 row min Α Α Α column max Συνεπώς το maximin σημείο των σειρών του παραπάνω πίνακα (το 20) είναι διαφορετικό από το minimax σημείο των στηλών (το 40) και δεν υπάρχει ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές. Άρα θα πρέπει να προχωρήσουμε στον εντοπισμό των μεικτών στρατηγικών. Οι στρατηγικές και Β3 είναι υποδεέστερες της Β4 και διαγράφονται. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3 2 και δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Επιχείρηση Α Επιχείρηση Β y Β4 1-y Α Α Α Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική επίλυση ονομάζοντας y την πιθανότητα ο παίκτης Β να ακολουθήσει τη στρατηγική οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β4. Για τον παίκτη Β με τις δύο στρατηγικές έχουμε ότι: V(B, A1) = 50y + 15(1-y) = 35y + 15 V(B, A2) = 40y + 20(1-y) = 20y +20 V(B, A3) = 20y + 40(1-y) = -20y + 40 Σύρουμε δύο παράλληλους κάθετους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη B. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(B, Ai), i=1,2,3)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο A και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη B είτε της B1 είτε της B4. 6
7 Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με πιο έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο δηλαδή το σημείο Κ, όπως σημειώνεται. Ως εκ τούτου, η στρατηγική A2 από την πλευρά του παίκτη A απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minimax σημείου Κ και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών: Επιχείρηση Α Επιχείρηση Β y Β4 1-y Α1 x Α3 1-x Ας ονομάσουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α3. Έτσι, για τον παίκτη Α έχουμε ότι V(A, B1) = 50x + 20(1-x) = 30x + 20 και V(A, B4) = 15x + 40(1-x) = -25x Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B4) έχουμε ότι: 30x + 20 = -25x + 40 που δίνει 55x = 20 δηλαδή x=4/11 άρα 1-x = 7/11. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B4) δηλαδή είναι V = 30 4/ = 340/11 ( ) Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1)=V(B, A3) απ όπου προκύπτει ότι 35y + 15 = -20y + 40 που μετά τις πράξεις δίνει y = 5/11 οπότε 1-y = 6/11. Ανακεφαλαιώνοντας, το αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο: Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (4/11, 0, 7/11, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (5/11, 0, 0, 6/11) Τιμή του παιγνίου V = 340/11, δηλαδή περίπου που παριστάνει το αναμενόμενο ποσοστό του έργου που θα αναλάβει η εταιρεία Α ενώ η εταιρεία Β θα αναλάβει ποσοστό περίπου 69.09% του έργου. Όλα αυτά εφόσον οι δύο εταιρείες εφαρμόζουν τις μεικτές στρατηγικές που βρέθηκαν. 7
8 ΑΣΚΗΣΗ 4 Επειδή τα αποτελέσματα της ρίψης του νομίσματος είναι ισοπίθανα και δεδομένου ότι δεν υπάρχει κάποιο τρίτο ενδεχόμενο, η πιθανότητα εμφάνισης του κάθε ενός ισούται με p = 0.5. Συνεπώς το αναμενόμενο κέρδος/ζημία του παίκτη Α για ένα συνδυασμό στρατηγικών (Α, Β) δίνεται από το σταθμισμένο μέσο των τιμών των κελιών των Πινάκων 1 και 2 που αντιστοιχούν στο συνδυασμό (Α, Β). Η στάθμιση γίνεται με την πιθανότητα p = 0.5. Παράδειγμα, το αναμενόμενο κέρδος/ζημία του παίκτη Α για το συνδυασμό (Α1, Β0) είναι ίσο με 0.5 (1) (-1) = 0, όπου 1 είναι η τιμή του κελιού (Α1, Β0) στον Πίνακα 1 και -1 η τιμή του κελιού (Α1, Β0) στον Πίνακα 2 αντίστοιχα. Άρα ο πίνακας πληρωμών (αποτελεσμάτων) για τον παίκτη Α είναι: Αναμενόμενο κέρδος/ζημία για τον παίκτη Α Β0 Α Α1 0 0,5-1 Α ,5 Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η maximin τιμή του παίκτη Α είναι ίση με 0 (τομή των στρατηγικών Α2 ) και η minimax τιμή του παίκτη Β είναι ίση με 0.5 (τομή των στρατηγικών Α1 ). Β0 Ελάχιστο Γραμμής Α Α Α ,5 0 Μέγιστο Στήλης Επομένως, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. H στρατηγική Β0 είναι υποδεέστερη της και συνεπώς διαγράφεται. Τελικά, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3 2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Α0-1 1 Α1 0,5-1 Α2 0 0,5 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Για τον προσδιορισμό των άριστων μεικτών στρατηγικών θεωρούμε ότι ο παίκτης Β εφαρμόζει την στρατηγική με πιθανότητα y, οπότε 1-y είναι η πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική. Η γραφική επίλυση του παιγνίου ακολουθεί. 8
9 K Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο δηλαδή το σημείο Κ, όπως σημειώνεται. Ως εκ τούτου, η στρατηγική A0 από την πλευρά του παίκτη A απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minimax σημείου Κ και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών: y 1 - y x Α1 0, x Α2 0 0,5 Από αυτό το σημείο και μετά επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2 κάτι που ως γνωστό γίνεται ως εξής: ονομάζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2. Έτσι, για τον παίκτη Β έχουμε ότι V(B, A1) = 0.5y - 1(1 y) V(B, A1) = 0y + 0.5(1 y) Θέτοντας V(B, A1)= V(B, A1) και αντικαθιστώντας έχουμε y = 0.75, οπότε 1- y = 0.25 Η τιμή του παιγνίου για τον παίκτη Β προκύπτει με αντικατάσταση του y στην V(B,A 1) ή στην V(B, A2) και είναι ίση με ευρώ. Για τον παίκτη Α ισχύει: V(Α, )= 0.5x + 0(1 x) και V(Α, ) = -x + 0.5(1 x) Θέτοντας V(Α, )= V(Α, ) και αντικαθιστώντας βρίσκουμε x = 0.25 και 1 x = 0.75 Η τιμή του παιγνίου για τον παίκτη Α προκύπτει από την αντικατάσταση του x είτε στην V(Α, ) ή στην V(Α, ) και είναι ίση με ευρώ. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0, 0.25, 0.75) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0, 0.75, 0.25) Τιμή του παιγνίου V = ευρώ Για το ερώτημα 3, Πρέπει να λυθεί το παίγνιο με πίνακα κέρδους/ζημίας του παίκτη Α τον Πίνακα 1. Εύκολα βλέπουμε ότι η στρατηγική Β0 είναι υποδεέστερη της οπότε απορρίπτεται, και ο Πίνακας 1 γίνεται: 9
10 Α0-1 2 Α1 0-1 Α2 1 2 Στον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι η στρατηγική Α2 κυριαρχεί τόσο επί της στρατηγικής Α0 όσο και επί της Α1. Άρα οι δύο αυτές στρατηγικές απορρίπτονται και ο πίνακας γίνεται: Α2 1 2 Τώρα μπορούμε να απαλείψουμε τη στρατηγική αφού είναι υποδεέστερη της και επομένως προκύπτει το σημείο ισορροπίας (Α2, ) στο οποίο το κέρδος για τον παίκτη Α είναι 1 ευρώ. Άρα το νοθευμένο παίγνιο ευνοεί τον παίκτη Α. 10
11 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ο πίνακας πληρωμών προκύπτει ως εξής: Όταν το αποτέλεσμα του διαγωνισμού είναι ισοπαλία τότε οι δύο εταιρείες παίρνουν ποσοστό από 50% της αγοράς. Αυτό σημαίνει ότι η Α κερδίζει 20 ποσοστιαίες μονάδες (από το 30% πάει στο 50%) και η Β χάνει 20 μονάδες (από το 70% πάει στο 50%), Όταν κερδίζει το διαγωνισμό η εταιρεία Α τότε ανεβάζει το ποσοστό της στο 100% επομένως κερδίζει 70 ποσοστιαίες μονάδες τις οποίες χάνει η Β της οποίας το ποσοστό εκμηδενίζεται. Όταν κερδίζει το διαγωνισμό η Β τότε ανεβάζει αυτή το ποσοστό της στο 100% δηλαδή κερδίζει 30 ποσοστιαίες μονάδες τις οποίες χάνει η Α της οποίας το ποσοστό εκμηδενίζεται. Τέλος, όταν αντιστρέφονται τα ποσοστά η Α κερδίζει 40 ποσοστιαίες μονάδες ανεβάζοντας το ποσοστό της στο 70%, μονάδες τις οποίες χάνει η Β η οποία πέφτει στο 30%. Έτσι ο πίνακας πληρωμών για τον παίκτη Α διαμορφώνεται ως εξής: Εταιρεία Α Προσφορά Α1 Προσφορά Α2 Προσφορά Α3 Προσφορά Εταιρεία Β Προσφορά Προσφορά Β Αν εφαρμόσουμε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών τότε έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα. Προσφορά Προσφορά Προσφορά Β3 row min Προσφορά Α Προσφορά Α Προσφορά Α column max Παρατηρούμε ότι η maximin τιμή είναι ίση με 30 (μάλιστα από τρία διαφορετικά στοιχεία του πίνακα) και η minimax είναι ίση με 40 (οπότε ) συνεπώς δεν υπάρχουν αμιγείς στρατηγικές και δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας. Επομένως θα πρέπει να εντοπιστούν μεικτές στρατηγικές. Πρώτα ελέγχουμε αν μπορούν να διαγραφούν υποδεέστερες στρατηγικές. Πράγματι η στρατηγική Α3 είναι υποδεέστερη της Α1 (και της Α2) και διαγράφεται. Ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 2 3 και δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. y1 y2 Β3 y3 Α1 x Α2 1-x Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Ονομάζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2. Για τον παίκτη Β ονομάζουμε y1 την πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική του, y2 να εφαρμόσει την και y3 να εφαρμόσει την Β3. Προφανώς y1+y2+y3 =1. Για τον παίκτη με δύο στρατηγικές (δηλαδή τον Α) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις: V(A, B1) = 20x +40(1-x) = -20x + 40, V(A, B2) = -30x+70(1-x) = -100x + 70 και V(A, B3) = 70x - 30(1-x) = 100x
12 Σύρουμε δύο παράλληλους κάθετους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις στρατηγικές του παίκτη Α. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας x. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(A, Bi), i=1, 2, 3) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο Β και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη Α είτε της Α1 είτε της Α2. Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(A, B1) συνδέουμε το 20 με το 40, για το V(A, B2) συνδέουμε το -30 με το 70 και για την ευθεία V(A, B3) συνδέουμε το 70 με το -30. Επειδή ο παίκτης Α επιλέγει maximin στρατηγική, αυτό συνεπάγεται ότι επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα. Δηλαδή θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην κατώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με πιο έντονες γραμμές και επάνω σε αυτήν θα επιλέξει το υψηλότερο σημείο δηλαδή το σημείο Κ. Ως εκ τούτου, η στρατηγική από την πλευρά του παίκτη Β απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του maximin σημείου Κ και πρακτικά το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διάστασης 2 2 με πίνακα πληρωμών τον ακόλουθο: y2 Β3 y3 Α1 x Α2 1-x Από αυτό το σημείο και μετά επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2 2. Για να βρούμε αλγεβρικά τις τιμές των μεικτών στρατηγικών και την τιμή του παιγνίου εξισώνουμε τις V(A, B2) και V(A, B3) και έχουμε -100x + 70 = 100x - 30 που δίνει 200x = 100 άρα x = 1/2 και 1 - x = 1/2 (στο σχήμα πράγματι φαίνεται ότι η τιμή της πιθανότητας x είναι στο 1/2). Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B2) ή V(A, B3) δηλαδή είναι V = 100 1/2-30 = 20 (πράγματι στο σχήμα καταδεικνύεται η τιμή του παιγνίου η οποία είναι στο 20). Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A2) δηλαδή -30y2 +70y3 = 70y2-30y3 που δίνει y2 = y3. Επίσης, y2 + y3 = 1 οπότε προφανώς y2 = y3 = 1/2. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(B, A1) είτε στο V(B, A2) θα πρέπει να πάρουμε τιμή του παιγνίου ίση με V = 20 που βρήκαμε πριν και πράγματι έτσι είναι. Συνοψίζοντας το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (1/2, 1/2, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0, 1/2, 1/2) Τιμή του παιγνίου V = 20 12
13 Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές το παιγνίδι με τους ίδιους όρους (δηλαδή σε πολλές επαναλήψεις του διαγωνισμού), το μέσο (αναμενόμενο) κέρδος του Α σε βάρος του Β ως προς το μερίδιο αγοράς είναι 20 ποσοστιαίες μονάδες που πρακτικά σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα η εταιρεία Α κερδίζει κατά μέσο όρο 20 μονάδες και η εταιρεία Β τις χάνει. Σε κάθε επανάληψη του διαγωνισμού φυσικά πότε κερδίζει ποσοστά η Α, πότε κερδίζει ποσοστά η Β σύμφωνα με τον πίνακα πληρωμών. Το αποτέλεσμα που δίνει η τιμή του παιγνίου είναι η μέση τιμή. 13
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
Θεωρία Παιγνίων Μελέτη στοιχείων που χαρακτηρίζουν καταστάσεις ανταγωνιστικής άλληλεξάρτησης με έμφαση στη διαδικασία λήψης αποφάσεων περισσοτέρων από ένα ληπτών απόφασης (αντιπάλων). Παίγνια δύο παικτών
Διαβάστε περισσότερα2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ
2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τα παίγνια αποτελούν τη δεύτερη μορφή επιχειρησιακής έρευνας που θα εξετάζουμε. Πρόκειται για μία μέθοδο ανάλυσης προβλημάτων που έχουν σχέση με τον τρόπο λήψης αποφάσεων σε καταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραwww.onlineclassroom.gr
ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου οι προπονητές των δύο αντίπαλων ομάδων αποφάσισαν ότι έχουν 4 και 3 επιλογές συστήματος, αντίστοιχα. Η αναμενόμενη διαφορά τερμάτων δίνεται από τον παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων
Διαβάστε περισσότερα( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή
ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι τα εβδομαδιαία έσοδα μιας επιχείρησης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1000 και τυπική απόκλιση 15. α. Ποια η πιθανότητα i. η επιχείρηση να έχει έσοδα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την
Διαβάστε περισσότεραΠακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #02 ==============================================================
Πακέτο Επιχειρησιακή Έρευνα #0 www.maths.gr www.facebook.com/maths.gr Tηλ.: 69790 e-mail: maths@maths.gr Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα Λυµένες Ασκήσεις Βοήθεια στη λύση Εργασιών ==============================================================
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 213 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Μια κατασκευαστική εταιρεία ετοιμάζει την ενεργειακή μελέτη ενός
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α
Από ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Η UCC είναι μια μικρή εταιρεία παραγωγής εντομοκτόνων. Σε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-7 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ ο Η METRO WATER DISTRICT είναι μια εταιρεία η οποία λειτουργεί ως διαχειριστής
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων
Κεφ. 9 Ανάλυση αποφάσεων Η θεωρία αποφάσεων έχει ως αντικείμενο την επιλογή της καλύτερης στρατηγικής. Τα αποτελέσματα κάθε στρατηγικής εξαρτώνται από παράγοντες, οι οποίοι μπορεί να είναι καταστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης
Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14
Διαβάστε περισσότεραΒ. Βασιλειάδης Αν. Καθηγητής. Επιχειρησιακή Ερευνα Διάλεξη 6 η - Θεωρεία Παιγνίων
Β. Βασιλειάδης Αν. Καθηγητής Επιχειρησιακή Ερευνα Διάλεξη 6 η - Θεωρεία Παιγνίων Περιεχόμενα Θεωρία Αποφάσεων o Αποφάσεις χωρίς πιθανότητα o Αποφάσεις με πιθανότητα Θεωρία Παιγνίων o Παίγνια Μηδενικού
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 1. Ανάλυση ευαισθησίας. (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων
Περιεχόμενα (1) Ανάλυση ευαισθησίας (2) Δυϊκό πρόβλημα (κανονική μορφή) (3) Δυαδικός προγραμματισμός (4) Ανάλυση αποφάσεων 1. Ανάλυση ευαισθησίας Λυμένο παράδειγμα 7 από το βιβλίο, σελ.85, λύση σελ.328
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστικά Παίγνια. ιαµόρφωση Παιγνίων. Θέµατα σε Πάιγνια Μηδενικού Αθροίσµατος
Συνδυαστικά Παίγνια 1. Σε ένα παιγνίδι 2 παικτών µηδενικού αθροίσµατος οι παίκτες αναγγέλουν εναλλάξ ένα αριθµό µεταξύ {2,3,4}. Ο παίκτης που κάνει το άθροισµα των αριθµών που έχουν αναγγελθεί να φθάσει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ
ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (8,33% ΑΝΑ ΘΕΜΑ) ΘΕΜΑ A.1 Αν η συνάρτηση του οριακού κόστους μιας επιχείρησης είναι
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις. Ιωάννα Καντζάβελου. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1
Ασκήσεις Ιωάννα Καντζάβελου Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 1. Επιλογή Διαδρομής 2. Παραλλαγή του Matching Pennies 3. Επίλυση Matching Pennies με Βέλτιστες Αποκρίσεις 4. Επίλυση BoS με Βέλτιστες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I.
ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ I. Γενικά Σε μαθήματα όπως η επιχειρησιακή έρευνα και ή λήψη αποφάσεων αναφέραμε τις αποφάσεις κάτω από συνθήκες βεβαιότητας, στις οποίες και εφαρμόζονται κυρίως οι τεχνικές της επιχειρησιακής
Διαβάστε περισσότερα10/3/17. Μικροοικονομική. Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων. Μια σύγχρονη προσέγγιση. Εφαρµογές της θεωρίας παιγνίων. Τι είναι τα παίγνια;
HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι οι
Διαβάστε περισσότεραΛήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον. Θεωρία Παιγνίων
Λήψη απόφασης σε πολυπρακτορικό περιβάλλον Θεωρία Παιγνίων Αβεβαιότητα παρουσία άλλου πράκτορα Μια άλλη πηγή αβεβαιότητας είναι η παρουσία άλλου πράκτορα στο περιβάλλον, ακόμα κι όταν ένας πράκτορας είναι
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.
ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης
Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Τρίτη 15 Ιανουαρίου 2008 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (13:00-16:00) ΘΕΜΑ 1 ο (2,5
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13
Άσκηση 1 η 4 η Εργασία ΔEO13 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την τέταρτη εργασία της ενότητας ΔΕΟ13 Μια βιομηχανική επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα εργοστάσιο (Ε) για την παραγωγή των προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Βfi 1 2 Αfl 1 1, 2 0, 1 2 2, 1 1, 0
ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνιο: Συμμετέχουν τουλάχιστον δύο παίκτες με τουλάχιστον δύο στρατηγικές ο καθένας και αντίθετα συμφέροντα. Το αποτέλεσμα για κάθε παίκτη καθορίζεται από τις συνδυασμένες επιλογές όλων
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει
Διαβάστε περισσότεραHAL R. VARIAN. Μικροοικονομική. Μια σύγχρονη προσέγγιση. 3 η έκδοση
HAL R. VARIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Θεωρία παιγνίων Η θεωρία παιγνίων βοηθά στην ανάλυση της στρατηγικής συμπεριφοράς από φορείς που κατανοούν ότι
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα6. Παίγνια αλληλοδιαδοχικών κινήσεων και η αξία του περιορισμού των επιλογών κάποιου ατόμου
Θεωρία παιγνίων 1 1. Παρακίνηση: Honda και Toyota 2. Ισορροπία κατά Nash 3. Το δίλημμα του φυλακισμένου 4. Ισορροπία με κυρίαρχη στρατηγική 5. Μειονεκτήματα της ισορροπίας κατά Nash 6. Παίγνια αλληλοδιαδοχικών
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 9: Λύσεις παιγνίων δύο παικτών Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ
ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Δευτέρα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (16:30-19:30)
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΓραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.
ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,
Διαβάστε περισσότεραΚ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-
3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης
Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 1 η Διάλεξη Ορισμός Θεωρίας Παιγνίων και Παιγνίου Κατηγοριοποίηση παιγνίων Επίλυση παιγνίου Αξία (τιμή) παιγνίου Δίκαιο παίγνιο Αναπαράσταση Παιγνίου Με πίνακα Με
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ
Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ «ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ» Του σπουδαστή ΚΑΡΑΜΙΓΚΟΥ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2006 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA Σελίδα ΕIΣΑΓΩΓΗ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότερα2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
.5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραf(x) = 2x+ 3 / Α f Α.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε
Διαβάστε περισσότερα2. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις
. Διαφήμιση σε Αγορές όπου υπάρχουν πολλές Επιχειρήσεις Α. Ενημερωτική Διαφήμιση στη Μονοπωλιακά Ανταγωνιστική Αγορά (Butters, Gerard 977, Equilibrium Distribution of Prices and Advertising) -To υπόδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΙσορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων
Ισορροπία σε Αγορές Διαφοροποιημένων Προϊόντων - Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές αγαθό, οπότε η τιμή είναι η μοναδική μεταβλητή που ενδιαφέρει τους καταναλωτές και οι καταναλωτές
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο (α) Αµιγείς Στρατηγικές (β) Μεικτές Στρατηγικές (α) Αµιγείς Στρατηγικές. Επαναλαµβάνουµε:
Κεφάλαιο 2 ο Μέχρι τώρα δώσαµε τα στοιχεία ενός παιγνίου σε µορφή δέντρου και σε µορφή µήτρας. Τώρα θα ορίσουµε τη στρατηγική στην αναλυτική µορφή του παιγνίου (η στρατηγική ορίζεται από κάθε στήλη ή γραµµή
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑ Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότερα8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων
8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 (1.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση:
Θέμα (.Α) Το κόστος παραγωγής ενός προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση: Να βρεθεί η ποσότητα που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής και στη συνέχεια να υπολογιστεί το ελάχιστο κόστος παραγωγής. (0%) Κριτήριο
Διαβάστε περισσότεραΜικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash. Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1
Μικτές Στρατηγικές σε Παίγνια και σημεία Ισορροπίας Nash Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής και Υπολογιστών 1 Σημεία ισορροπίας Nash: Yπάρχουν πάντα; Έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας; - Ναι, στην εξιδανικευμένη
Διαβάστε περισσότερα- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να
Διαβάστε περισσότεραΟ Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B)
ΑΣΚΗΣΗ Β Μέγιστο στήλης Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο 60 5 55 65 5*maximin (A) Π 50 75 70 45 45 Ε 56 30 30 50 30 Υ 40 30 35 55 30 *60 75 70 65 minimax (B) Επειδή maximin (A) minimax (B) δεν υπάρχει ισορροπία
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.
Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:
Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΣΥΝΘΕΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α. Με ολοκληρωμένη λύση ΘΕΜΑ 1 ο Επιχείρηση χρησιμοποιεί την εργασία ως μοναδικό μεταβλητό παραγωγικό συντελεστή. Τα στοιχεία κόστους της επιχείρησης δίνονται στον επόμενο πίνακα:
Διαβάστε περισσότεραΑ Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΑκαδημαϊκό Έτος: Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα
Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 7-8 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα ΤΡΙΤΗ, 8 Μαΐου 8, και ώρα 4: ΑΣΚΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 4: Μεικτές Στρατηγικές Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Μεικτές στρατηγικές σε παίγνια 2 Σημεία ισορροπίας: Ύπαρξη Δεν έχουν όλα τα παίγνια σημείο ισορροπίας Π.χ. Το Matching
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σύμφωνα με το νόμο της προσφοράς: α) Η προσφερόμενη ποσότητα ενός αγαθού αυξάνεται όταν μειώνεται η τιμή του στην αγορά β) Η προσφερόμενη
Διαβάστε περισσότεραΑ2 Β2 Γ2 2 Α1 1,0 5,-1-1,-2 9,-2 Β1 2,1-2,0 0,2 0,-1 Γ1 0,3 14,2 2,1 8,1 1 1,2 0,1 3,0-1,0
ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ιδάσκων: Ε. Πετράκης. Επαναληπτική Εξέταση: 15/09/99 Απαντήστε στα τρία από τα τέσσερα θέµατα. Όλα τα υποερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. 1. Θεωρήσατε ένα ολιγοπωλιακό κλάδο όπου τρεις
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σύμφωνα με το νόμο της προσφοράς: α) Η προσφερόμενη ποσότητα ενός αγαθού αυξάνεται όταν μειώνεται η τιμή του στην αγορά β) Η προσφερόμενη
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)
Διαβάστε περισσότεραΚριτικές στο Υπόδειγμα Cournot
Κριτικές στο Υπόδειγμα Cournot -To υπόδειγμα Cournot έχει υποστεί τρία είδη κριτικής: () Το υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί μόνο τα δικά της κέρδη και, επομένως, δε λαμβάνει
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ
ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ ΔΕΟ 34 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ 1 ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2012 1 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 34 ΚΟΣΤΗ Ν.
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29
Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά. , :: x, :: x. , :: x, :: x. , :: x, :: x
Γενικά Μαθηματικά Κεφάλαιο Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,,,3, Ακέραιοι 0,,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x, :: x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία
Διαβάστε περισσότεραΕ ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης
Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.
ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων
HA. VAIAN Μικροοικονομική Μια σύγχρονη προσέγγιση 3 η έκδοση Εκδόσεις Κριτική Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ύλη για τη Μίκρο ΙΙ: κεφάλαιο 29.1, 29.2, 29.4, 29.7, 29.8 Κεφάλαιο 29 Θεωρία παιγνίων Ταυτόχρονα
Διαβάστε περισσότεραΚυριαρχία και μεικτές στρατηγικές Μεικτές στρατηγικές και κυριαρχία Είδαμε ότι μια στρατηγική του παίκτη i είναι κυριαρχούμενη, αν υπάρχει κάποια άλλη
Θεωρία παιγνίων: Μεικτές στρατηγικές και Ισορροπία Nash Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 18 Μαρτίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Μεικτές στρατηγικές 18 Μαρτίου 2012 1 / 9 Κυριαρχία και μεικτές
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
Διαβάστε περισσότεραΟλιγοπωλιακή Ισορροπία
Ολιγοπωλιακή Ισορροπία - Χρησιμοποιούμε τις βασικές αρχές της θεωρίας παιγνίων για να εξετάσουμε τη στρατηγική αλληλεπίδραση των επιχειρήσεων σε ατελώς ανταγωνιστικές αγορές, εστιάζοντας την προσοχή μας
Διαβάστε περισσότερα5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y
. Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.
Διαβάστε περισσότερα(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του Salop
(2β) Το Υπόδειγμα της Κυκλικής Πόλης ή Υπόδειγμα του alop (alop, teve 979, Moopolstc Competto wth Outsde Goods) - Υποθέτουμε μια πόλη που παριστάνεται από την περιφέρεια ενός κύκλου με περίμετρο L=. p
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 1 Φεβρουαρίου 26 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:-18:) ΘΕΜΑ 1 ο (2.5) Κάθε ένας
Διαβάστε περισσότερα