Συντονισµός Εξαναγκασµένη Ταλάντωση Κατά την εξαναγκασµένη ταλάντωση οι γραφικές παραστάσεις του πλάτους της Μηχανικής ταλάντωσης, καθώς και του πλάτους του φορτίου κατά την ηλεκτρική ταλάντωση φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. Παρατηρούµε ότι το πλάτος Α της Μηχανικής ταλάντωσης, καθώς και το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή γίνονται µέγιστα για µια συχνότητα f του διεγέρτη λίγο µικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f 0 του ταλαντούµενου συστήµατος. Το ερώτηµα όµως είναι: Τι ονοµάζουµε συντονισµό; Στη Μηχανική Ταλάντωση: Την κατάσταση εκείνη που το πλάτος Α της εξαναγκασµένης ταλάντωσης γίνεται µέγιστο. Στην Ηλεκτρική Ταλάντωση: Την κατάσταση εκείνη που το πλάτος του ρεύµατος Ι που διαρρέει το κύκλωµα γίνεται µέγιστο. Αλλά η γραφική παράσταση του πλάτους του ρεύµατος που διαρρέει ένα κύκλωµα το οποίο εκτελεί εξαναγκασµένη Ηλεκτρική ταλάντωση, δίνεται στο διπλανό σχήµα. Ας προσέξουµε ότι στην Ηλεκτρική ταλάντωση συντονισµό έ- χουµε όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση ακριβώς µε την ιδιοσυχνότητα f 0 του κυκλώµατος. Παρατήρηση: Σε µια εξαναγκασµένη Ταλάντωση δεν ισχύει γενικά ότι U mαx =Κ mαx. Η σχέση µεταξύ Q και Ι προκύπτει µε παραγώγιση: Ι=ωQ όπου ω η κυκλική συχνότητα του διεγέρτη.
Μόνο αν έχουµε συντονισµό, οπότε ω=ω 0 θα ισχύει 0 2 2 Q C = 0 2 LΙ2. Παράδειγµα ο: Η τάση της γεννήτριας δίνεται από την εξίσωση: v=40ηµ(4000t + φ). ίνεται για το Β κύκλωµα C=20µF, L=2mΗ και R=0,5Ω ενώ διαρρέεται από ρεύµα πλάτους Ι=0,A, όπου για t=0, i= - 0,Α i) Ποια η γωνιακή (κυκλική) ιδιοσυχνότητα του Β κυκλώµατος; ii) Να βρεθεί η εξίσωση της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το Β κύκλωµα καθώς και του φορτίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση µε το χρόνο. iii) Να υπολογιστεί η µέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο και στον πυκνωτή του Β κυκλώµατος. iv) Πόση θερµότητα παράγεται στον αντιστάτη σε χρονικό διάστηµα 20s; Λύση i) Έχουµε ω 0 = = = 5000rad/s 3 6 LC 2 0 20 0 ii) Έστω η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή q=q ηµ(ωt+φ 0 ), () οπότε η εξίσωση της έντασης του ρεύµατος i=ισυν(ωt+φ 0 ) (2). Αντικαθιστώντας στην (2) t=0 παίρνουµε: i=iσυνφ 0 ή Ι=Ισυνφ 0 ή συνφ 0 = - ή φ 0 =π. I 0, Ενώ Ι=Qω άρα Q= = = 25 0-6 C. ω 4000 έτσι οι εξισώσεις είναι: q=25k0-6 ηµ(4000t+π) και i= 0,συν(4000t+π) ή q= - 25K0-6 ηµ4000t και i= - 0,συν4000t iii) Η µέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι: U=½ Q 2 /C=56,25K0-7 J,
ενώ του πηνίου U=½ LI 2 = ½ 2K0-3 K0,0J =0-5 J. iv) Η θερµότητα που παράγεται στον αντιστάτη είναι Q=I 2 εν Rt ή 0, 2 Q= ( ) 0,5 20= 0,05J. 2 Σχόλιο: Παρατηρήστε τη µέγιστη ενέργεια του Μαγνητικού πεδίου του πηνίου και τη µέγιστη ενέργεια του πυκνωτή. Είναι διαφορετικές. Εφαρµογή η: Για το κύκλωµα Β του σχήµατος δίνονται L=2Η και C=2µF. Η γεννήτρια έχει τάση V=200ηµ500t, οπότε η ένδειξη του αµπεροµέτρου είναι 3*2 mα. (υπενθυµίζεται: Ι=Ι εν *2). Να βρεθούν: i) Το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή, ii) Η µέγιστη ενέργεια του πυκνωτή και του πηνίου. Να σχολιάστε το αποτέλεσµα. iii) Σε µια στιγµή που το φορτίο του πυκνωτή είναι µέγιστο, έστω t=0, ανοίγουµε το διακόπτη δ. α) Να κάνετε τα διαγράµµατα q=f(t) και i=f(t) (ποιοτικά διαγράµµατα). β) Η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης θα είναι ίση, µεγαλύτερη ή µικρότερη από 500rαd/s;
Συντονισµός Εξαναγκασµένη Ταλάντωση Κατά την εξαναγκασµένη ταλάντωση οι γραφικές παραστάσεις του πλάτους της Μηχανικής ταλάντωσης, καθώς και του πλάτους του φορτίου κατά την ηλεκτρική ταλάντωση φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. Παρατηρούµε ότι το πλάτος Α της Μηχανικής ταλάντωσης, καθώς και το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή γίνονται µέγιστα για µια συχνότητα f του διεγέρτη λίγο µικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f 0 του ταλαντούµενου συστήµατος. Το ερώτηµα όµως είναι: Τι ονοµάζουµε συντονισµό; Στη Μηχανική Ταλάντωση: Την κατάσταση εκείνη που το πλάτος Α της εξαναγκασµένης ταλάντωσης γίνεται µέγιστο. Στην Ηλεκτρική Ταλάντωση: Την κατάσταση εκείνη που το πλάτος του ρεύµατος Ι που διαρρέει το κύκλωµα γίνεται µέγιστο. Αλλά η γραφική παράσταση του πλάτους του ρεύµατος που διαρρέει ένα κύκλωµα το οποίο εκτελεί εξαναγκασµένη Ηλεκτρική ταλάντωση, δίνεται στο διπλανό σχήµα. Ας προσέξουµε ότι στην Ηλεκτρική ταλάντωση συντονισµό έ- χουµε όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση ακριβώς µε την ιδιοσυχνότητα f 0 του κυκλώµατος. Παρατήρηση: Σε µια εξαναγκασµένη Ταλάντωση δεν ισχύει γενικά ότι U mαx =Κ mαx. Η σχέση µεταξύ Q και Ι προκύπτει µε παραγώγιση: Ι=ωQ όπου ω η κυκλική συχνότητα του διεγέρτη.
Μόνο αν έχουµε συντονισµό, οπότε ω=ω 0 θα ισχύει 0 2 Q 2 C = 0 2 LΙ2. Παράδειγµα ο: Η τάση της γεννήτριας δίνεται από την εξίσωση: v=40ηµ(4000t + φ). ίνεται για το Β κύκλωµα C=20µF, L=2mΗ και R=0,5Ω ενώ διαρρέεται από ρεύµα πλάτους Ι=0,A, όπου για t=0, i= - 0,Α i) Ποια η γωνιακή (κυκλική) ιδιοσυχνότητα του Β κυκλώµατος; ii) Να βρεθεί η εξίσωση της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το Β κύκλωµα καθώς και του φορτίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση µε το χρόνο. iii) Να υπολογιστεί η µέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο και στον πυκνωτή του Β κυκλώµατος. iv) Πόση θερµότητα παράγεται στον αντιστάτη σε χρονικό διάστηµα 20s; Λύση i) Έχουµε ω 0 = = = 5000rad/s 3 6 LC 2 0 20 0 ii) Έστω η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή q=qηµ(ωt+φ 0 ), () οπότε η εξίσωση της έντασης του ρεύµατος i=ισυν(ωt+φ 0 ) (2). Αντικαθιστώντας στην (2) t=0 παίρνουµε: i=iσυνφ 0 ή Ι=Ισυνφ 0 ή συνφ 0 = - ή φ 0 =π. I 0, Ενώ Ι=Qω άρα Q= = = 25 0-6 C. ω 4000 έτσι οι εξισώσεις είναι: q=25k0-6 ηµ(4000t+π) και i= 0,συν(4000t+π) ή q= - 25K0-6 ηµ4000t και i= - 0,συν4000t iii) Η µέγιστη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι: U=½ Q 2 /C=56,25K0-7 J,
ενώ του πηνίου U=½ LI 2 = ½ 2K0-3 K0,0J =0-5 J. iv) Η θερµότητα που παράγεται στον αντιστάτη είναι Q=I 2 εν Rt ή 0, 2 Q= ( ) 0,5 20= 0,05J. 2 Σχόλιο: Παρατηρήστε τη µέγιστη ενέργεια του Μαγνητικού πεδίου του πηνίου και τη µέγιστη ενέργεια του πυκνωτή. Είναι διαφορετικές. Εφαρµογή η: Για το κύκλωµα Β του σχήµατος δίνονται L=2Η και C=2µF. Η γεννήτρια έχει τάση V=200ηµ500t, οπότε η ένδειξη του αµπεροµέτρου είναι 3*2 mα. (υπενθυµίζεται: Ι=Ι εν *2). Να βρεθούν: i) Το µέγιστο φορτίο του πυκνωτή, ii) Η µέγιστη ενέργεια του πυκνωτή και του πηνίου. Να σχολιάστε το αποτέλεσµα. iii) Σε µια στιγµή που το φορτίο του πυκνωτή είναι µέγιστο, έστω t=0, ανοίγουµε το διακόπτη δ. α) Να κάνετε τα διαγράµµατα q=f(t) και i=f(t) (ποιοτικά διαγράµµατα). β) Η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης θα είναι ίση, µεγαλύτερη ή µικρότερη από 500rαd/s;