Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 10: Απλές Αποφάσεις Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Απλές Αποφάσεις Υποενότητα 1

Σκοποί 1 ης υποενότητας Να μάθουν οι φοιτητές την Αρχή της Μέγιστης Αναμενόμενης Χρησιμότητας και τις έννοιες των προτιμήσεων και των λοταριών Να γνωρίσουν οι φοιτητές τα αξιώματα της Θεωρίας Χρησιμοτήτων, τις συναρτήσεις χρησιμότητας, τη χρησιμότητα των χρημάτων και τις κλίμακες χρησιμότητας Να γνωρίσουν οι φοιτητές της έννοια της στοχαστικής κυριαρχίας και τις πολυκρητηριακές συναρτήσεις χρησιμότητας Να μάθουν οι φοιτητές να αντιμετωπίζουν περιπτώσεις προτιμήσεων χωρίς και με αβεβαιότητα Να μπορούν οι φοιτητές να εφαρμόσουν δίκτυα αποφάσεων για την επίλυση προβλημάτων λήψης απόφασης 3

Περιεχόμενα 1 ης υποενότητας Αρχή της Μέγιστης Αναμενόμενης Χρησιμότητας Προτιμήσεις και λοταρίες Αξιώματα της Θεωρίας Χρησιμοτήτων Χρησιμότητα, συναρτήσεις χρησιμότητας Χρησιμότητα των χρημάτων, κλίμακες χρησιμότητας Στοχαστική κυριαρχία Πολυκρητηριακές συναρτήσεις χρησιμότητας Προτιμήσεις χωρίς/με αβεβαιότητα Δίκτυα αποφάσεων 4

Αρχή της Μέγιστης Αναμενόμενης Χρησιμότητας (1/3) Συνάρτηση χρησιμότητας Αποδίδει μια αριθμητική τιμή για να εκφράσει πόσο επιθυμητή είναι μία κατάσταση Οι χρησιμότητες συνδυάζονται με τις πιθανότητες αποτελεσμάτων των ενεργειών για να δώσουν την αναμενόμενη χρησιμότητα κάθε ενέργειας U(S) Utility 5

Αρχή της Μέγιστης Αναμενόμενης Χρησιμότητας (2/3) Αναμενόμενη χρησιμότητα EU(A E) = Σ i P(Αποτέλεσμα i (A) Εκτέλεση(A), E) U(Αποτέλεσμα i (A)) A: ενέργεια, Ε: οι μαρτυρίες του πράκτορα σχετικά με τον «κόσμο» Αρχή της Μέγιστης Αναμενόμενης Χρησιμότητας: Θα πρέπει να επιλεχθεί η ενέργεια που μεγιστοποιεί την αναμενόμενη χρησιμότητα 6

Αρχή της Μέγιστης Αναμενόμενης Χρησιμότητας (3/3) Αρχικά, θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό της χρησιμότητας μόνο για μεμονωμένες ενέργειες (αποφάσεις μιας επιλογής, όχι ακολουθιακές αποφάσεις) 7

Προτιμήσεις και λοταρίες (σημειογραφία) (1/2) Προτιμήσεις Α Β το Α είναι προτιμότερο από το Β Α ~ Β ο πράκτορας είναι αδιάφορος μεταξύ των Α και Β (ισοδύναμες επιλογές) Α Β ο πράκτορας προτιμά το Α από το Β, ή είναι αδιάφορος μεταξύ αυτών (ισοδύναμες επιλογές) 8

Προτιμήσεις και λοταρίες (σημειογραφία) (2/2) Τα Α και Β μπορεί να είναι συγκεκριμένες Αιτιοκρατικές Ενέργειες ή Λοταρίες (lotteries) Λοταρία: Μια κατανομή πιθανοτήτων ως προς ένα σύνολο πραγματικών αποτελεσμάτων L= [p 1, C 1 ; p 2, C 2 ; p n, C n ] 9

Αξιώματα της Θεωρίας Χρησιμοτήτων (1/6) Διαταξιμότητα (A Β) (Β Α) (Α ~ Β) Με δεδομένες δύο οποιεσδήποτε καταστάσεις, ένας λογικός πράκτορας πρέπει να προτιμήσει είτε μία από τις δύο είτε να τις αξιολογήσει και τις δύο ως εξίσου προτιμητέες Με άλλα λόγια ο πράκτορας δεν μπορεί να αποφύγει την απόφαση 10

Αξιώματα της Θεωρίας Χρησιμοτήτων (2/6) Μεταβατικότητα (A B) (B C) (A C) Με δεδομένες τρεις οποιεσδήποτε καταστάσεις, εάν ένας πράκτορας προτιμά την κατάσταση Α από τη Β και τη Β από τη C, τότε πρέπει να προτιμά την Α από τη C A B C p [p, A; 1 p, C] ~ B 11

Συνέχεια Αξιώματα της Θεωρίας Χρησιμοτήτων (3/6) Εάν κάποια κατάσταση Β είναι σε προτίμηση μεταξύ των Α και C, τότε υπάρχει κάποια πιθανότητα p για την οποία ο λογικός πράκτορας θα είναι αδιάφορος μεταξύ του να επιλέξει τη Β για σίγουρα ή να επιλέξει μια λοταρία που δίνει την Α με πιθανότητα p και τη C με πιθανότητα 1 p 12

Αξιώματα της Θεωρίας Χρησιμοτήτων (4/6) Αντικαταστασιμότητα A ~ B [p, A;1 p, C] [p, B;1 p, C] Εάν ένας πράκτορας είναι αδιάφορος μεταξύ δύο λοταριών Α και Β, τότε ο πράκτορας είναι αδιάφορος μεταξύ δύο πιο πολύπλοκων λοταριών που είναι ίδιες με την εξαίρεση ότι το Β έχει πάρει τη θέση του Α σε μία από αυτές Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τις πιθανότητες και τα άλλα αποτελέσματα στις λοταρίες 13

Αξιώματα της Θεωρίας Μονοτονικότητα Χρησιμοτήτων (5/6) A B (p q [p, A; 1 p, B] [q, A; 1 q, B]) Έστω ότι υπάρχουν δύο λοταρίες Α και Β που έχουν τα ίδια δύο αποτελέσματα. Εάν ένας πράκτορας προτιμά το Α από το Β, τότε ο πράκτορας πρέπει να προτιμήσει τη λοταρία που έχει την υψηλότερη πιθανότητα για το Α 14

Αξιώματα της Θεωρίας Χρησιμοτήτων (6/6) Αποσυνθεσιμότητα [p, A; 1 p, [q, B; 1 q, C]] ~ [p, A; (1 p)q, B; (1 p)(1 q),c] Οι σύνθετες λοταρίες μπορούν να αναχθούν σε απλούστερες με χρήση των νόμων των πιθανοτήτων «Κανόνας της μη διασκέδασης στο τζόγο» Οι παρακάτω αναπαραστάσεις είναι ισοδύναμες A A p B p q (1 p)q B 1 p 1 q C (1 p)(1 q) C 15

Χρησιμότητα Αρχή της χρησιμότητας: U(A) > U(B) A B U(A) = U(B) A ~ B (ισοδύναμες καταστάσεις) Αρχή της μέγιστης αναμενόμενης χρησιμότητας: U p 1, S1;...; p n, S n piu S i Η χρησιμότητα μιας λοταρίας είναι το άθροισμα της πιθανότητας κάθε αποτελέσματος επί τη χρησιμότητα αυτού του αποτελέσματος i 16

Συναρτήσεις χρησιμότητας Χρηματικές αξίες: η χρησιμότητα των χρημάτων Έστω ότι σε ένα τηλεπαιχνίδι μας προσφέρεται η εξής δυνατότητα: [0.5, 3000000 ; 0.5, 0 ], [1.0, 1000000 ] Αναμενόμενη χρησιμότητα (k είναι η τρέχουσα οικονομική κατάσταση): EU( Αποδοχή) 1U( S 2 EU( Απόρριψη) U( S k ) 1 2 k 1.000.000 U( S ) k 3.000.000 ), 17

Χρησιμότητα των χρημάτων (1/2) Η χρησιμότητα των χρημάτων είναι σχεδόν ανάλογη με το λογάριθμο του χρηματικού ποσού (Bernoulli): U(M)= a log(b + c M) U Μ 18

Χρησιμότητα των χρημάτων (2/2) Αποστροφή/Επιζήτηση/Ουδετερότητα ρίσκου Βέβαιο ισοδύναμο Η χρηματική αξία που θα αποδεχθεί ένας πράκτορας έναντι μιας λοταρίας Ασφάλιστρο Η διαφορά μεταξύ της αναμενόμενης χρηματικής αξίας μιας λοταρίας και του βέβαιου ισοδύναμού της 19

Κλίμακες χρησιμότητας Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί (δεν μεταβάλλεται η συμπεριφορά του πράκτορα) U (S) = k 1 + k 2 U(S), k 1,k 2 >0 Κανονικοποιημένες χρησιμότητες Στο διάστημα [ u = 0, u = 1 ] Πρότυπη λοταρία (standard lottery) [p, u ; (1 p), u ] 20

Πολυκριτηριακές συναρτήσεις χρησιμότητας Διάνυσμα κριτηρίων: X = x 1,, x n Αυστηρή κυριαρχία x 2 Β Αυτή η περιοχή κυριαρχεί επί του Δ Α Δ Γ x 1 21

Στοχαστική κυριαρχία (1/3) Εάν το Α 1 κυριαρχεί στοχαστικά έναντι του Α 2, τότε για οποιαδήποτε μονοτονικά μη φθίνουσα συνάρτηση χρησιμότητας U(x) η αναμενόμενη χρησιμότητα του Α 1 είναι τουλάχιστον εξίσου υψηλή με την αναμενόμενη χρησιμότητα του Α 2 Συνεπώς, αν μια ενέργεια κυριαρχείται στοχαστικά από κάποια άλλη ως προς όλα τα κριτήρια, τότε μπορεί να απορριφθεί 22

Στοχαστική κυριαρχία (2/3) Κόστος κατασκευής αεροδρομίου (ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή): Θέση Α 1 : U[3,8 10 6, 5,8 10 6 ](x) Θέση Α 2 : U[4,0 10 6, 6,2 10 6 ](x) Η χρησιμότητα φθίνει με το κόστος, δηλαδή αυξάνεται το κόστος ελαττώνεται η χρησιμότητα Σωρευτικές κατανομές: x x x p1 2 x dx p x dx 23

Στοχαστική κυριαρχία (3/3) 0,6 0,5 Α 1 1,2 1,0 Πιθανότητα 0,4 0,3 0,2 Α 2 Πιθανότητα 0,8 0,6 0,4 Α 2 Α 1 0,1 0,2 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 Κόστος (αρνητικό) 7 6,5 6 5,5 5 4,5 4 3,5 Κόστος (αρνητικό) 24

Προτιμήσεις χωρίς αβεβαιότητα (1/2) Κανονικότητα στη δομή των προτιμήσεων U(x 1,, x n ) = f [ f 1 (x 1 ),, f n (x n ) ] όπου η f() είναι συνήθως η πρόσθεση Ανεξαρτησία προτιμήσεων (Χ 1,Χ 2 ) ως προς το Χ 3 Δύο κριτήρια X 1 και X 2 είναι ανεξάρτητα ως προς την προτίμηση από ένα κριτήριο Χ 3, εάν η προτίμηση μεταξύ των αποτελεσμάτων (x 1, x 2, x 3 ) και (x' 1, x' 2, x 3 ) δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη τιμή x 3 του κριτηρίου Χ 3 25

Προτιμήσεις χωρίς αβεβαιότητα (2/2) Αμοιβαία ανεξαρτησία προτιμήσεων Εάν τα κριτήρια Χ 1,,Χ n παρουσιάζουν αμοιβαία ανεξαρτησία προτιμήσεων, τότε η συμπεριφορά προτίμησης του πράκτορα μπορεί να περιγραφεί ως μεγιστοποίηση της συνάρτησης V x x V x 1,..., όπου κάθε V i είναι μια συνάρτηση αξίας που αναφέρεται μόνο στο κριτήριο X i n i i i 26

Προτιμήσεις με αβεβαιότητα (1/2) Ανεξαρτησία χρησιμότητας Ένα σύνολο κριτηρίων Χ είναι ανεξάρτητο ως προς την χρησιμότητα από ένα σύνολο κριτηρίων Υ εάν οι προτιμήσεις μεταξύ των λοταριών επί των κριτηρίων του Χ είναι ανεξάρτητες από τις συγκεκριμένες τιμές των κριτηρίων στο Υ Ένα σύνολο κριτηρίων παρουσιάζει Αμοιβαία Ανεξαρτησία Χρησιμότητας, αν όλα τα υποσύνολά του είναι ανεξάρτητα ως προς τη χρησιμότητα από τα υπόλοιπα κριτήρια 27

Προτιμήσεις με αβεβαιότητα (2/2) Πολλαπλασιαστική συνάρτηση χρησιμότητας για την περίπτωση 3 κριτηρίων (Keeney): + 28

Δίκτυα αποφάσεων (1/7) Γενικός μηχανισμός για τη λήψη ορθολογικών αποφάσεων Στη γενικότερη μορφή του αναπαριστά πληροφορίες σχετικά με την τρέχουσα κατάσταση του πράκτορα, τις δυνατές ενέργειές του, την κατάσταση που θα προκύψει από κάθε ενέργειά του και τη χρησιμότητα αυτής της κατάστασης 29

Δίκτυα αποφάσεων (2/7) Περιλαμβάνει τρεις τύπους κόμβων 1. Κόμβοι τύχης (μεταβλητές μαρτυρίας ή καταστάσεις αποτελέσματος) Σχήμα έλλειψης Αναπαριστούν τυχαίες μεταβλητές 30

Δίκτυα αποφάσεων (3/7) 2. Κόμβοι απόφασης Σχήμα ορθογώνιο Αναπαριστούν σημεία όπου αυτός που λαμβάνει την απόφαση έχει επιλογή ενεργειών 3. Κόμβοι χρησιμότητας Σχήμα ρόμβου Αναπαριστούν τη συνάρτηση χρησιμότητας του πράκτορα 31

Δίκτυα αποφάσεων (4/7) Πρόβλημα Χωροθέτησης Αεροδρομίου Κόμβος απόφασης Θέση αεροδρομίου Κόμβοι τύχης (Καταστάσεις αποτελέσματος) Εναέρια κυκλοφορία Θάνατοι Κόμβος χρησιμότητας Κόμβοι Τύχης Δικαστήρια Θόρυβος U (Μεταβλητές μαρτυρίας)) Κατασκευή Κόστος 32

Δίκτυα αποφάσεων (5/7) Απλοποιημένη μορφή δικτύων αποφάσεων Έχουν απαλειφθεί οι κόμβοι τύχης που αντιστοιχούν σε καταστάσεις αποτελέσματος Θέση αεροδρομίου Εναέρια κυκλοφορία Δικαστήρια U Κατασκευή 33

Δίκτυα αποφάσεων (6/7) Μεθοδολογία αποτίμησης δικτύων αποφάσεων 1. Καθορισμός των μεταβλητών μαρτυρίας για την τρέχουσα κατάσταση 34

Δίκτυα αποφάσεων (7/7) 2. Για κάθε δυνατή τιμή του κόμβου απόφασης Απόδοση αυτής της τιμής στον κόμβο απόφασης (β) Υπολογισμός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων για τους γονικούς κόμβους του κόμβου χρησιμότητας, με χρήση ενός συνήθους αλγόριθμου πιθανοτικού συμπερασμού (γ) Υπολογισμός της προκύπτουσας χρησιμότητας της ενέργειας 3. Επιστροφή της ενέργειας με την υψηλότερη χρησιμότητα 35

Τέλος Υποενότητας 1

Ασκήσεις Λήψης Απλών Αποφάσεων Υποενότητα 2

Σκοποί 2 ης υποενότητας Να μπορούν οι φοιτητές, χρησιμοποιώντας τη θεωρία που διδάχθηκαν, να επιλύουν ασκήσεις σχετικές με Λοταρίες Αναμενόμενα οφέλη / κόστη αποφάσεων Δέντρα απόφασης Υπολογισμό αναμενόμενων χρησιμοτήτων 38

Περιεχόμενα 2 ης υποενότητας 1 η Άσκηση: Λοταρία 2 η Άσκηση: Αναμενόμενο κέρδος αγοράς 3 η Άσκηση: Δέντρο απόφασης, υπολογισμός αναμενόμενων χρησιμοτήτων 39

1 η Άσκηση (1/3) Οι λαχνοί για μια λοταρία κοστίζουν 1 Υπάρχουν δύο δυνατά έπαθλα Ένα έπαθλο 10 με πιθανότητα 1/50 Ένα έπαθλο 1.000.000 με πιθανότητα 1/2.000.000 Ποια είναι η αναμενόμενη αξία ενός λαχνού της λοταρίας; 40

1 η Άσκηση (2/3) Πότε είναι λογικό να αγοράσουμε λαχνούς; Παρουσιάστε μια εξίσωση που να περιλαμβάνει χρησιμότητες για να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 41

1 η Άσκηση (3/3) Θεωρείστε ότι η τρέχουσα περιουσία του πιθανού αγοραστή ενός λαχνού είναι k και ότι U(S k ) = 0 Επίσης, θεωρείστε ότι U(S k+10 )=10 x U(S k+1 ), αλλά δεν μπορείτε να κάνετε την ίδια υπόθεση για το U(S k+1.000.000 ) 42

2 η Άσκηση (1/7) Ένας αγοραστής μεταχειρισμένων μοτοσικλετών μπορεί να κάνει διάφορους ελέγχους, με διαφορετικό κόστος ο καθένας, και μετά, ανάλογα με το αποτέλεσμα των ελέγχων, να αποφασίσει ποια μοτοσικλέτα θα αγοράσει Ας υποθέσουμε ότι ο αγοραστής αποφασίζει το εάν θα αγοράσει τελικά τη μοτοσικλέτα μ 1, το ότι έχει χρόνο να κάνει μόνο έναν έλεγχο και το ότι ο έλεγχος για την μ 1 είναι ο ε 1 και έχει κόστος 200 43

2 η Άσκηση (2/7) Μια μοτοσικλέτα μπορεί να είναι σε καλή κατάσταση (ποιότητα κ + ) ή σε κακή κατάσταση (ποιότητα κ ) Οι έλεγχοι μπορούν να βοηθήσουν στην αναγνώριση της κατάστασης μιας μοτοσικλέτας Η μοτοσικλέτα μ 1 έχει κόστος αγοράς 1300 ενώ η εμπορική της αξία είναι 2200, εάν είναι σε καλή κατάσταση 44

2 η Άσκηση (3/7) Διαφορετικά, αν είναι σε κακή κατάσταση απαιτούνται 1000 για να επανέλθει σε καλή κατάσταση Η εκτίμηση του αγοραστή είναι ότι η μοτοσικλέτα μ 1 έχει 65% πιθανότητα να είναι σε καλή κατάσταση 45

2 η Άσκηση ερώτημα α) (4/7) Υπολογίστε το αναμενόμενο καθαρό κέρδος από την αγορά της μ 1, χωρίς κανένα έλεγχο 46

2 η Άσκηση ερώτημα β) (5/7) Οι έλεγχοι μπορούν να περιγραφούν από την πιθανότητα ότι η μοτοσικλέτα θα επιτύχει ή θα αποτύχει στον έλεγχο, με δεδομένο το ότι βρίσκεται σε καλή ή σε κακή κατάσταση Έχουμε τις παρακάτω πληροφορίες: P(επιτυχής_έλεγχος(μ 1, ε 1 )/κ + (μ 1 )) = 0.85 P(επιτυχής_έλεγχος(μ 1, ε 1 )/κ (μ 1 )) = 0.25 Υπολογίσετε την πιθανότητα ότι η μοτοσικλέτα θα επιτύχει (ή θα αποτύχει) στον έλεγχο 47

2 η Άσκηση ερώτημα γ) (6/7) Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα Απόφασης του Bayes για να υπολογίσετε τις εκ των υστέρων πιθανότητες ότι η μοτοσικλέτα είναι σε καλή κατάσταση, με δεδομένο κάθε δυνατό αποτέλεσμα ελέγχου (θετικό αρνητικό) 48

2 η Άσκηση ερώτημα δ) (7/7) Ποιο θα είναι το αναμενόμενο καθαρό κέρδος από την αγορά της μοτοσυκλέτας υπό την προϋπόθεση ότι δε θα περάσει τον έλεγχο ε 1 ; 49

3 η Άσκηση ερώτημα α) (1/9) Ο Δρ. No έχει έναν ασθενή ο οποίος είναι βαριά άρρωστος Χωρίς κάποια θεραπεία ο ασθενής έχει περίπου 3 μήνες ζωής Η μόνη θεραπεία που μπορεί να του χορηγηθεί είναι μια εναλλακτική θεραπεία που εμπεριέχει μια επικίνδυνη για τη ζωή του εγχείριση 50

3 η Άσκηση ερώτημα α) (2/9) Ο ασθενής εκτιμάται ότι θα ζήσει περίπου 12 μήνες αν επιζήσει από την εγχείριση. Η πιθανότητα να επιζήσει από την εγχείριση είναι 0.7 Με U(x) συμβολίζουμε τη συνάρτηση ωφελιμότητας του ασθενούς, όπου x είναι ο αριθμός των μηνών που πρόκειται να ζήσει 51

3 η Άσκηση ερώτημα α) (3/9) 1. Σχεδιάστε το δέντρο απόφασης για αυτό το πρόβλημα λήψης απλής απόφασης Στους τελικούς κόμβους να βάλετε τις αντίστοιχες ωφελιμότητες 2. Αν U(12)=1 και U(0)=0, με τι θα πρέπει να ισούται η ωφελιμότητα του να ζήσει για 3 μήνες, U(3), για να επιλέξει να κάνει την εγχείριση; 52

3 η Άσκηση ερώτημα β) (4/9) Ο Δρ. No ανακαλύπτει ένα λιγότερο επικίνδυνο τεστ το οποίο θα του παρέχει πληροφορία (όχι 100% αξιόπιστη) για το εάν ο ασθενής θα επιβιώσει ή όχι μετά από την εγχείριση Εάν το συγκεκριμένο τεστ είναι θετικό, η πιθανότητα ο ασθενής να επιβιώσει μετά από την εγχείριση αυξάνεται 53

3 η Άσκηση ερώτημα β) (5/9) Το τεστ έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Η πιθανότητα το τεστ να έχει βγει θετικό αν στη συνέχεια ο ασθενής επιβιώσει μετά από την εγχείριση είναι 0.9 Η πιθανότητα το τεστ να βγει αρνητικό αν στη συνέχεια ο ασθενής επιβιώσει μετά από την εγχείριση είναι 0.1 54

3 η Άσκηση ερώτημα β) (6/9) Θεωρώντας ότι U(3)=0.8, απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποια είναι η πιθανότητα ο ασθενής να επιβιώσει μετά από την εγχείριση αν το τεστ είναι θετικό; 2. Αν ο ασθενής πραγματοποιήσει το τεστ και αυτό βγει θετικό, θα πρέπει ο Δρ. No να πραγματοποιήσει την εγχείριση; 55

3 η Άσκηση ερώτημα γ) (7/9) Αν το τεστ έχει τελικά κάποιες επιπλοκές οι οποίες μπορεί να οδηγήσουν στο θάνατο του ασθενή, τίθεται και το θέμα της πραγματοποίησης ή όχι του τεστ, πριν από την εγχείριση Σχεδιάστε ένα δέντρο απόφασης που να παρουσιάζει όλες τις επιλογές (αποφάσεις) και τα αντίστοιχα αποτελέσματα του προβλήματος απόφασης του Δρ. No 56

3 η Άσκηση ερώτημα γ) (8/9) Υπόδειξη: θα πρέπει να υπολογίσετε και την πιθανότητα ο ασθενής να επιβιώσει μετά από την εγχείριση αν το τεστ είναι αρνητικό 57

3 η Άσκηση ερώτημα δ) (9/9) Έστω ότι η πιθανότητα να καταλήξει ο ασθενής μετά από το τεστ είναι 0.005 Πρέπει ο Δρ. No να συμβουλέψει τον ασθενή να πραγματοποιήσει το τεστ πριν να αποφασίσει για το εάν θα πραγματοποιήσει ή όχι την εγχείριση; 58

Τέλος Υποενότητας 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 60

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 62

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. Απλές Αποφάσεις». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/document/document.php?course=deapt1 12. 63

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by nc sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 64